Rapport stage

Université Joseph FourrierDépartement Licence Sciences & Technologies

Rapport de stage

"Produits financiers en temps discret :simulation et couverture"

Anne-Laure Ducrocq

Laboratoire d’accueil : Laboratoire Jean KuntzmannDirecteur du laboratoire : Eric BonnetierMaître de stage : Jérôme Lelong

L1 Mathématiques-Informatique03-28 Juin 2013

Remerciements

Je tiens dans un premier temps à remercier Bernard Ycart pour son soutien, son entière confiance àmon égare et enfin pour sa coopération. Ainsi que Patricia Cajot, responsable des stages d’excellence

du DLST, qui a permis la réalisation de ce stage d’un point de vue administratif. Je remercie aussitout particulièrement Jérome Lelong, mon maître de stage au sein du labo de Maths Financières qui asu repérer mes difficultés dues à mes connaissances restreintes et ainsi adapter le stage à mon niveau.

Je suis tout à fait consciente du temps et de la patience que M. Lelong et M.Ycart m’ont accordée.

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Sommaire

I Introduction 9

II Le modèle de Cox, Ross et Rubinstein 11

1 Présentation 121.1 Un exemple concret : le raffineur qui doit acheter des barils de pétrole . . . . . . . . 131.2 La problèmatique des options . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141.3 Hypothèses et notations du modèle CRR . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151.4 But : trouver une stratégie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

2 Modèle à une période 212.1 Cas d’une option d’achat (CALL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.1.1 Calcul de E[V1(Φ)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.1.2 Système d’équation solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

2.2 Cas d’une option de vente (PUT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.1 Calcul de E[V1(Φ)] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.2.2 Système d’équation solution . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 Comparaison CALL vs PUT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3 Modèle à deux périodes 243.1 Cas d’une option d’achat (CALL) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25

3.1.1 Résolution de φ02 et φ2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25


3.1.3 Vérification de la stratégie sous Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Cas d’une option de vente (PUT) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27



3.2.3 Vérification de la stratégie sous Scilab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 283.3 Cas particulier : non modification de la répartition du portefeuille . . . . . . . . . . . 29

4 Cas général : Modèle à N périodes 30

5 Etude asymptotique 31

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A propos du LJK

4

Le laboratoire Jean Kuntzmann est un laboratoire de Mathématiques Appliquées et d’Informa-tique. Il doit son nom à Jean Kuntzmann (1912-1992) pionnier de l’informatique et des mathématiquesappliquées à Grenoble et pionnier du décloisonnement des sciences numériques vers l’industrie et lesautres disciplines. Il regroupe des équipes de cultures assez différentes (dont 7 de l’INRIA) : mathé-maticiens, numériciens, spécialistes de l’informatique graphique, du traitement d’images et de visionpar ordinateur. Cette diversité favorise des interactions très riches autour de la modélisation numé-rique et du calcul, où les enjeux sont la complexité des systèmes (multi-échelles, multi-physiques),les données massives, le calcul temps réel.

Le LJK joue aussi un rôle d’interface vers d’autres disciplines : les modèles et algorithmes qui ysont développés trouvent des applications dans les domaines de l’environnement, des nanosciences,de la biologie, des mathématiques financières, de la synthèse d’images et des sciences sociales.

Le laboratoire est structuré en 3 départements :- Géométrie-Image regroupe des équipes de modélisation géométrique, de traitement, d’analyse et desynthèse d’images et de vidéos et vision par ordinateur.- Modèles et Algorithmes Déterministes centre ses activités sur la modélisation (par systèmes dyna-miques, par équations aux dérivées partielles) et sur des outils pour le calcul numérique et symbolique.- Probabilités/Statistique regroupe quant à lui des probabilistes, statisticiens et spécialistes de l’ana-lyse des données et du traitement du signal.

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Département Géométrie-Image

Le département Géométrie-Image développe des recherches en Modélisation Géométrique, Ana-lyse d’Image, Informatique Graphique et Vision par ordinateur. Les recherches poursuivies ont pourcadre commun le traitement informatique de la géométrie et des images. Les applications incluentles systèmes informatiques de conception géométrique pour l’industrie manufacturière, la création defilms d’animation pour l’industrie du loisir, ou encore l’indexation et la fouille de grandes banquesd’images pour les technologies de l’information et de la communication. Ce regroupement d’exper-tises informatiques en synthèse et analyse d’image, vision et géométrie est rare et constitue un creusetidéal pour le développement de recherches innovantes vers une insertion totale de la géométrie 3D etdes images dans la Société de l’Information.

Ce département est consitué des équipes suivantes :– ARTIS Acquisition, Représentation et Transformations pour l’Image de Synthèse (projet IN-

RIA)– IMAGINE Modélisation Intuitive et Animation pour les Mondes 3D Interactifs et les Environ-

nements Narratifs (projet INRIA)– LEAR Apprentissage et Reconnaissance en Vision (projet INRIA)– MGMI Modélisation Géométrique et Multirésolution pour l’Images– PERCEPTION Interpretation et Modelisation d’Images et Vidéos (projet INRIA)– MORPHEO Capture et analyse de formes en mouvement (projet INRIA)

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Département Modèles et AlgorithmesDéterministes

Le département MAD regroupe les chercheurs qui développent des outils numériques et symbo-liques pour la résolution d’équations différentielles ordinaires ou d’équations aux dérivées partielleset pour l’optimisation. Le département est structuré en 4 équipes :

– BIPOP : Modélisation, simulation et commande des systèmes dynamiques non réguliers, opti-misation non-différentiable (projet INRIA)

– CASYS : Calcul exact, analyse et contrôle de systèmes dynamiques hybrides(symboliques/exacts/numériques)

– EDP : Modélisation, analyse et calcul scientifique appliqué aux sciences du vivant et auxsciences des matériaux

– MOISE : Méthodes mathématiques et numériques, calcul scientifique pour la modélisation di-recte et inverse en géophysique (projet INRIA)

– STEEP : Soutenabilité, Territoire, Environnement, Economie et Politique

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Département Probabilités/Statistique

Le département Probabilités et Statistique regroupe les chercheurs qui travaillent en probabilités,statistique, mathématiques financières et traitement du signal et de l’image. Le département est struc-turé en six équipes :-MS3 Méthodologie Statistique et Sciences Sociales-FIGAL Fiabilité et Géométrie Aléatoire-MISTIS Modélisation et Inférence de phénomènes aléatoires complexes et structurés (projet INRIA)-IPS Inférence Processus Stochastiques-SAM Statistique Apprentissage Machine-MATHFI Mathématiques financières

MATHFI

La gestion des risques financiers est devenue une préoccupation majeure des banques, assurances,énergéticiens et autres entreprises exposées aux variations des marchés financiers. Ces phénomènesaléatoires sont de nature complexe, car ils mettent souvent en jeu des variables de grande dimen-sion avec des dépendances peu simples. L’équipe MATHFI étudie la modélisation/calibration de cesphénomènes complexes par des processus stochastiques, leur simulation afin d’avoir une perceptiondynamique des risques futurs, leur analyse mathématique et numérique. La formalisation mathéma-tique des problèmes de couverture, de liquidité, d’imperfection de marchés, de risques extrêmes estaussi au cœur de nos préoccupations.

Les compétences scientifiques de l’équipe portent sur :-les processus stochastiques markoviens-les équations aux dérivées partielles associées-les méthodes numériques probabilistes dont celles de Monte Carlo-le calcul de Malliavin-le calcul parallèle pour la financeCes compétences permettent de relever des enjeux en gestion du risque et calculs temps réel, enrésolvant des problèmes de calcul de prix d’actifs complexes, d’optimisation de portefeuilles, d’éva-luation de risques extrêmes... cela s’applique au secteur de la finance, de l’assurance et des marchésénergétiques.

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Première partie

Introduction

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Etudiante en Licence 1 de Mathématique et d’Informatique (MIN) à l’Université Joseph Fourierde Grenoble, j’ai effectué dans le cadre de ma formation un stage d’excellence dans ce dernier dépar-tement de Probabilités et Statistique, en particulier dans l’équipe de MATHFI. Lorsque je recherchaisun stage, beaucoup de ceux proposés m’ont attirée. Mais quand j’ai aperçu sur le site de l’ENSIMAGla spécialité d’ingénierie financière, cela m’a immédiatement interpellée. Pourtant je ne connaissaispas du tout ce milieu mais c’est justement pour cette raison que j’ai voulu postuler. Effectivement, lesautres applications mathématiques sont plus concrètes dans notre perception de 1ère année.

Les mathématiques financières sont une branche des mathématiques appliquées ayant pour but lamodélisation, la quantification et la compréhension des phénomènes régissant les marchés financiers.Elles utilisent principalement des outils issus de l’actualisation, de la théorie des probabilités, ducalcul stochastique, des statistiques et du calcul différentiel.

Faire un stage dans ce domaine s’est avéré particulièrement difficile, autant d’un point de vuepurement mathématique que d’un point de vue finance. C’est pourquoi, au début de mon stage j’ai dume concentrer sur l’apprentissage théorique de ces notions.

Ensuite, mon maitre de stage, M. Lelong, a pris du temps pour adapter le sujet de mon stage àmon niveau de connaissances. Nous nous sommes alors concentrés sur le modèle de Cox, Ross etRubinstein (noté CRR).

Pour commencer, j’ai étudier ce modèle à seulement une puis deux périodes avant de pouvoirgénéraliser les notions au cas de N périodes. Au fur et à mesure, j’ai fait des simulations grâce aulogiciel libre de calcul numérique Scilab pour entre autres vérifier mes calculs.

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Deuxième partie

Le modèle de Cox, Ross et Rubinstein

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Chapitre 1

Présentation

Ce modèle binomial fournit une méthode numérique pour l’évaluation des options. Il a été pro-posé pour la première fois par Cox, Ross et Rubinstein en 1979. Il s’agit d’un modèle discret pourla dynamique du sous-jacent. L’évaluation de l’option est calculée par application de la probabilitérisque-neutre pour laquelle les prix actualisés sont des martingales (notion mathématique difficile quenous n’aborderons pas). La méthode binomiale, pour valoriser les options, est très largement utili-sée car elle est capable de prendre en compte un nombre important de conditions pour lesquellesl’application d’autres modèles n’est pas aisée. Cela vient en grande partie du fait que la méthodebinomiale prend en compte les variations de l’actif sous-jacent (contrairement aux autres méthodesqui ne prennent en compte qu’un point fixe). Par exemple la méthode binomiale est utilisée pourles options américaines (celles-ci peuvent être exercées à tout moment) et les options des Bermudes(celles-ci peuvent être exercées à différents moments). La méthode binomiale est de plus mathémati-quement relativement simple et peut être facilement programmée en logiciel (ou éventuellement surune feuille de calcul). Bien que plus lente que la méthode de Black-Scholes, la méthode binomialeest considérée comme plus précise, particulièrement pour les options à long terme et les options surtitre versant des dividendes. C’est pourquoi il existe plusieurs versions du modèle binomial qui sontutilisées par les personnes travaillant sur le marché des options. Pour les options comportant plusieurssources d’incertitudes ou pour les options complexes l’application de la méthode binomiale en « arbre» présente des difficultés et n’est pas pratique. Dans ces cas-là il vaut mieux utiliser la Méthode deMonte-Carlo.

Le but est de comprendre le principe de la couverture ou réplication de produits financiers dans cemodèle.

John C.Cox, Stephen A.Ross, Mark E.Rubinstein

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1.1 Un exemple concret : le raffineur qui doit acheter des barilsde pétrole

Nous allons tout d’abord commencer par étudier un exemple concret afin de comprendre l’utilitéde ce modèle.

Imaginons un raffineur ABC qui, au 1er janvier, sait que, pour son activité, il devra acheter au30 juin 1 000 000 de barils de pétrole brut. Ce jour-là, le 1er janvier, le pétrole brut s’échange sur lemarché à 50$ par baril. Or, ABC anticipe une forte reprise économique ayant pour conséquence unehausse des prix du pétrole. Au-delà de 60$ par baril, ABC commence à perdre de l’argent. Il décidedonc d’utiliser sa trésorerie pour acheter 1 000 000 de calls de prix d’exercice 60$ de date d’échéancele 30 juin, et de prime 2$ par baril. Que va-t-il se passer au 30 juin ? Il aura la possibilité d’exercer ounon ses calls.

– Cas 1 : le pétrole brut s’échange à 40$ par baril.Le scénario anticipé par ABC ne s’est pas réalisé, et le call n’a plus aucune valeur. ABC aban-donne l’option. Le bilan financier de l’opération est une perte de 2 000 000$. ABC va pouvoiracheter son pétrole sur le marché à 40$ par baril, et aura dépensé au total 42$ par baril pour cela.

– Cas 2 : le pétrole brut s’échange à 55$ par baril.Le scénario anticipé par ABC s’est en partie réalisé, mais le call n’a plus aucune valeur puisquele prix d’exercice est supérieur au prix du marché : ce cas est en fait équivalent au précédent.ABC abandonne l’option. Le bilan financier de l’opération est une perte de 2 000 000$. ABCva pouvoir acheter son pétrole sur le marché à 55$ par baril, et aura dépensé au total 57$ parbaril pour cela.

– Cas 3 : le pétrole brut s’échange à 80$ par baril.L’anticipation d’ABC s’est réalisée. Celui-ci va exercer son call : il va donc pouvoir acheter 1000 000 barils à 60$ et, ainsi, limiter ses pertes. Il aura dépensé au total 62$ par baril pour cela.S’il avait dû s’approvisionner sur le marché, il aurait payé 80$ par baril, soit une économie de18$ par baril. Le raffineur ABC a donc protégé son approvisionnement contre une hausse tropimportante pour lui du prix du pétrole brut. En revanche, cette assurance a un coût. À lui dedécider si ce dernier est intéressant pour lui ou pas...

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1.2 La problèmatique des options

Une option sur un actif S de maturité N est une assurance qui donne à son détenteur le droit, et nonl’obligation d’acheter (resp. de vendre) une certaine quantité d’actif financier S à une date convenue(l’échéance N) et à un prix fixé d’avance par le contrat (K).Le vendeur d’une option d’achat (resp. de vente) s’engage à donner au détenteur du contrat la somme(SN −K)+ (resp. (K − SN)+).La description précise d’une option se fait à partir de :-La nature de l’option : Call (pour une option d’achat) ou Put (pour une option de vente).-L’actif sous-jacent-Le montant : la quantité d’actif sous-jacent à acheter ou à vendre-Le prix d’exercice qui est le prix fixé d’avance auquel se fait la transaction en cas d’exercice de l’op-tion.-L’échéance, qui limite la durée de vie de l’option : si l’option peut être exercée à nimporte quel ins-tant avant l’échéance, on parle d’option américaine, si l’option ne peut être exercée qu’à l’échéance,on parle d’option européenne.-Le prix de l’option elle-même appelé prime.

Il faut bien retenir que le détenteur n’est pas obligé d’exercer son option. Effectivement, si le prixde son actif à la date N est inférieur au prix d’exercice, il ne va pas avoir besoin de l’exercer.

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Dans le cas d’un call européen, soit Sn le cours de l’action à la date n. Il est clair que si, àl’échéance N, le cours SN est inférieur au prix K, le détenteur de l’option n’a aucun intérêt à l’exer-cer. Par contre, si SN > K, l’exercice de l’option permet à son détenteur de faire un profit égale àSN − K en achetant l’action au prix K et en la revendant sur le marché au cours SN . On voit qu’àl’échéance la valeur du Put est donné par la quantité :

(SN −K)+ = max(SN −K, 0)

Pour le vendeur de l’option, il s’agit, en cas d’exercice, d’être en mesure de fournir une action auprix K et donc de pouvoir produire à l’échéance N une richesse égale à (SN −K)+. Au moment dela vente de l’option (n=0), le cours SN est donc inconnu et 2 questions se posent :

1. Combien faut-il faire payer à l’acheteur de l’option, comment évaluer à l’instant n=0 une ri-chesse (SN −K)+ disponible à la date N ? C’est le problème du PRICING.

2. Comment le vendeur, qui touche la prime à n=0 parviendra-t-il à produire la richesse (SN−K)+

à la date N ? C’est le problème de la COUVERTURE.

1.3 Hypothèses et notations du modèle CRR

On se place dans un marché idéalisé en faisant les 3 hypothèses économiques suivantes :– Le marché est sans friction– Il y a Absence d’Opportunité d’Arbitrage : il est impossible de faire des profits sans prendre de

risques– Les investisseurs sont insatiables

Par ailleurs :– On se place en temps discret– On suppose qu’il n’y a qu’un seul actif à risque noté Sn à l’instant n.– On suppose qu’il n’y a qu’un seul actif sans risque de rendement certain R sur une période notéS0n.

S0n = (1 + R)n où R > 0 représente le taux d’intérêt sur une période. S0

n correspond à la sommeobtenue à l’instant n pour un investissement de 1 à n = 0. C’est à dire que si l’on place x au taux R àl’instant n, on obtient (1 +R)x à l’instant n+ 1.

L’évolution du cours d’un actif est modélisée par la suite de variables aléatoires discrètes (Sn)0≤n≤N

définie par :

Sn+1 =

{Sn × (1 + b)avec probabilité pSn × (1 + a)avec probabilité 1-p

où −1 < a < b et p ∈ [0; 1].On définit également la suite des rendements (Tn)n≥1 par Tn = Sn

Sn−1.

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En introduisant une suite de variables aléatoires indépendantes et identiquement distribuées (i.i.d)(Yi)1≤i≤N selon la loi de Bernoulli de paramètre p à valeurs dans {1 + a, 1 + b}, on peut écrireSn+1 = Sn × Yn+1.

Voici ci-dessous l’arbre probabilisé qui représente les évolutions possibles du cours Sn à chaqueinstant t de S0 à S3. Il est important de remarquer que si le cours augmente puis diminue, sa valeurest identique s’il diminue puis augmente.

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Calculs d’espérances :

E[(1 +R)−(n+1)Sn+1|Sn] = (1 +R)−(n+1)E[Sn+1|Sn] = (1 +R)−(n+1)E[Sn × Yn+1|Sn] =

(1+R)−(n+1)SnE[Yn+1|Sn] = (1+R)−(n+1)SnE[Yn+1] = (1+R)−(n+1)Sn[p(1+ b)+(1−p)(1+a)]

E[(1+R)−1Tn+1|Sn] = (1+R)−1E[Tn+1|Sn] = (1+R)−1E[Sn+1

Sn|Sn] = (1+R)−1E[

Sn × Yn+1

Sn|Sn] =

(1+R)−1E[Yn+1|Sn] = (1+R)−1E[Yn+1] = (1+R)−1[p(1+b)+(1−p)(1+a)] = E[(1+R)−1Tn+1]

Relation entre p, R, a et b pour que E[(1 +R)−(n+1)Sn+1|Sn] = (1 +R)−nSn :

E[(1 +R)−(n+1)Sn+1|Sn] = (1 +R)−nSn

⇔ (1 +R)−(n+1)Sn[p(1 + b) + (1− p)(1 + a)] = (1 +R)−nSn

⇔ p(1 + b) + (1− p)(1 + a) = 1 +R

⇔ pb+ (1− p)a = R

R est donc une combinaison convexe de a et b donc R ∈]a; b[

De plus, on obtient : p = R−ab−a

Sous cette condition, on observe que E[Tn+1|Sn] = 1 +R

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1.4 But : trouver une stratégie

On appelle stratégie toute suite de variables aléatoires Φ = (φ0n, φn)0≤n≤N telles que :

– φ00 et φ0 soient des quantités déterministes

– à n > 0 fixé, les variables aléatoires φ0n et φn ne dépendent que de l’information jusqu’à l’instant

n− 1.– Pour tout n < N ,

φ0n+1S

0n + φn+1Sn = φ0

nS0n + φnSn

Cette dernière condition s’appelle condition d’autofinancement qui interdit de réinjecter de l’ar-gent supplémentaire à toute date n > 0.

La variable φ0n (resp. φn) représente la quantité d’actif S0

n (resp. Sn) détenus à l’instant n. La valeurà l’instant n de cette stratégie sera notée Vn(Φ) et vaut :

Vn(Φ) = φ0nS

0n + φnSn

Remarque : La composition du portefeuille à l’instant n est décidée à l’instant n− 1.

Le but de la suite de cette présentation du modèle CRR est donc de comprendre comment on peutconstruire une stratégie Φ telle que VN(Φ) = (SN − K)+ dans le cas d’une option d’achat (resp.VN(Φ) = (K − SN)+ dans le cas d’une option de vente).

Une stratégie de valeur finale (SN − K)+ (resp. (K − SN)+) s’appelle stratégie de couverture

pour l’option d’achat (resp. de vente).

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On peut observer une relation intéressante entre Vn et Vn−1 si on calcule l’espérance suivante :

E[(1 +R)-nVn(Φ)|(S0, S1, ..., Sn−1)]

E[(1+R)−nVn(Φ)|(S0, S1, ..., Sn−1)] = (1+R)−nE[Vn(Φ)|Sn−1] = (1+R)−nE[φ0nS

0n+φnSn|Sn−1]

Mais φ0n et φn ne dépendent pas de S0, ..., Sn−1 donc :

(1 +R)−n[φ0nE[S0

n|Sn−1] + φnE[Sn|Sn−1]] = (1 +R)−n[φ0n(1 +R)n + φnE[Sn−1 × Yn|Sn−1]] =

(1+R)−n[φ0n(1+R)n+φnSn−1E[Yn|Sn−1]] = (1+R)−n[φ0

n(1+R)n+φnSn−1[p(1+b)+(1−p)(1+a)]] =

Or [p(1 + b) + (1− p)(1 + a)] = 1 +R d’après p = R−ab−a

(1 +R)−n[φ0n(1 +R)n + φnSn−1(1 +R)] = φ0

n + φnSn−1(1 +R)−(n−1) =

[φ0n(1 +R)n−1 + φnSn−1](1 +R)−(n−1) = [φ0

nS0n−1 + φnSn−1](1 +R)−(n−1) =

D’après la condition d’autofinancement, on obtient :

[φ0n−1S

0n−1 + φn−1Sn−1](1 +R)−(n−1) = Vn−1(Φ)(1 +R)−(n−1)

Finalement :

E[(1 +R)−nVn(Φ)|(S0, S1, ..., Sn−1)] = Vn−1(Φ)(1 +R)−(n−1)

D’autre part, le calcul de Vn+1−Vn est particulièrement intéressant pour la suite de notre analyse.

Vn+1−Vn = φ0n+1S

0n+1+φn+1Sn+1−(φ0

nS0n+φnSn) = φ0

n+1S0n+1+φn+1Sn+1−(φ0

n+1S0n+φn+1Sn) =

φ0n+1(S

0n+1 − S0

n) + φn+1(Sn+1 − Sn)

De cette dernière relation, on peut exprimer Vn(Φ) d’une autre manière :(Hn) : Vn(Φ) = V0(Φ) +

∑ni=1 φi∆Si +

∑ni=1 φ

0i∆S

0i

où ∆Si = Si − Si−1 et ∆S0i = S0

i − S0i−1

Preuve par récurrence :*Vrai pour n=0.*Supposons (Hn) vraie.

19

Vn(Φ) = V0(Φ) +n∑i=1

φi∆Si +n∑i=1

φ0i∆S

0i

Vn+1(Φ) = V0(Φ) +n∑i=1

φi∆Si + φn+1(Sn+1 − Sn) +n∑i=1

φ0i∆S

0i + φ0

n+1(S0n+1 − S0

n)

(Hn+1) : Vn+1(Φ) = V0(Φ) +n+1∑i=1

φi∆Si +n+1∑i=1

φ0i∆S

0i

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Chapitre 2

Modèle à une période

Dans cette section, on se restreint au mo-dèle à une période, c’est-à-dire que N=1.Nous n’avons alors que 2 possibilitéspour la valeur de S1.

2.1 Cas d’une option d’achat (CALL)

Soit Φ la stratégie de couverture de valeur finale V1(Φ) = (S1 −K)+.

2.1.1 Calcul de E[V1(Φ)]

D’après 1.4.1 :

E[V1(Φ)] = V0(Φ)(1 +R)

Donc

V0(Φ) = E[V1(Φ)](1+R)−1 = E[(S1−K)+](1+R)−1 = [p(S0(1+b)−K)++(1−p)(S0(1+a)−K)+](1+R)−1

= [R− ab− a

(S0(1 + b)−K)+ −R− bb− a

(S0(1 + a)−K)+](1 +R)−1

2.1.2 Système d’équation solution

V1(Φ) = (S1 −K)+

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φ01S

01 + φ1S1 = (S1 −K)+

S :

{φ01(1 +R) + φ1S0(1 + b) = (S0(1 + b)−K)+

φ01(1 +R) + φ1S0(1 + a) = (S0(1 + a)−K)+

S :

{φ1 = 1

S0(b−a) [(S0(1 + b)−K)+ − (S0(1 + a)−K)+]

φ01 = 1

1+R[1+aa−b (S0(1 + b)−K)+ − 1+b

a−b(S0(1 + a)−K)+]

2.2 Cas d’une option de vente (PUT)

2.2.1 Calcul de E[V1(Φ)]

D’après 1.4.1 :

E[V1(Φ)] = V0(Φ)(1 +R)

Donc

V0(Φ) = E[V1(Φ)](1+R)−1 = E[(K−S1)+](1+R)−1 = [p(K−S0(1+b))++(1−p)(K−S0(1+a))](1+R)−1

= [R− ab− a

(K − S0(1 + b))+ −R− bb− a

(K − S0(1 + a))+](1 +R)−1

2.2.2 Système d’équation solution

V1(Φ) = (K − S1)+

φ01S

01 + φ1S1 = (K − S1)+

S :

{φ01(1 +R) + φ1S0(1 + b) = (K − S0(1 + b))+

φ01(1 +R) + φ1S0(1 + a) = (K − S0(1 + a))+

S :

{φ1 = 1

S0(b−a) [(K − S0(1 + b))+ − (K − S0(1 + a))+]

φ01 = 1

1+R[1+aa−b (K − S0(1 + b))+ − 1+b

a−b(K − S0(1 + a))+]

22

2.3 Comparaison CALL vs PUT

Nous allons nous concentrer ici sur la comparaison entre un call et un put européen de mêmeéchéance n=1 et de même prix d’exercice K, sur une action de cours Sn à l’instant n.

On remarque que :

φ1− φ1 =1

S0(b− a)[(S0(1+b)−K)+−(K−S0(1+b))++(K−S0(1+a))+−(S0(1+a)−K)+] =

1

S0(b− a)[(S0(1+b)−K)+(K−S0(1+a))] =

1

S0(b− a)[S0(1+b)−S0(1+a)] =

1

(b− a)[(1+b)−(1+a)] = 1

φ01−φ0

1 =1

1 +R[1 + a

a− b(S0(1+b)−K)+

1 + b

a− b(K−S0(1+a))] =

1

1 +R[K(

1 + b

a− b−1 + a

a− b)] = − K

1 +R

V1(Φ)− V1(Φ) = φ01S

01 + φ1S1 − (φ0

1S01 + φ1S1) = S0

1(φ01 − φ0

1) + S1(φ1 − φ1) = S1 −K

On appelle cette égalité la relation de parité call-put.On observe alors qu’avec l’opportunité de détenir à la fois un call et un put, si l’on achète un put

V1(Φ) et une action S1 et si l’on vend un call V1(Φ), on obtient un profit égal à :

V1(Φ)− V1(Φ)− S1

A la date N=1, deux cas peuvent se présenter :– S1 > K alors on exerce le call et on se retrouve avec une richesse égale àK+V1(Φ)−V1(Φ)−S1

– S1 <= K alors on exerce le put et comme précédemment on se retrouve avec une richesseégale à K + V1(Φ)− V1(Φ)− S1

Dans les 2 cas, on réalise un profit positif sans mise de fond initial. Donc il est effectivementintéréssant d’avoir l’opportunité de détenir à la fois un call et un put.

23

Chapitre 3

Modèle à deux périodes

Dans cette section, on se restreint aumodèle à deux périodes, c’est-à-direque N=2. Une stratégie Φ peut doncse représenter comme un quadruplet(φ0

1, φ1, φ02, φ2)

S2 =

S0(1 + b)2 avec probabilité p2

S0(1 + a)(1 + b) avec probabilité 2p(1-p)S0(1 + a)2 avec probabilité (1− p)2

S2 peut donc prendre 3 valeurs notées :1 + a = (1 + a)2

1 + b = (1 + b)2

1 + c = (1 + a)(1 + b)

24

3.1 Cas d’une option d’achat (CALL)

Soit Φ la stratégie de couverture de valeur finale V2(Φ) = (S2 −K)+.

3.1.1 Résolution de φ02 et φ2

V2(Φ) = (S2 −K)+

φ02S

02 + φ2S2 = (S2 −K)+

S :

{φ02(1 +R)2 + φ2S1(1 + b) = (S1(1 + b)−K)+

φ02(1 +R)2 + φ2S1(1 + a) = (S1(1 + a)−K)+

S :

{φ2 = 1

S1(b−a) [(S1(1 + b)−K)+ − (S1(1 + a)−K)+]

φ02 = 1

(1+R)2[1+aa−b (S1(1 + b)−K)+ − 1+b

a−b(S1(1 + a)−K)+]


E[(S2 −K)+|S1] = E[(S1Y2 −K)+] = p(S1(1 + b)−K)+ + (1− p)(S1(1 + a)−K)+ =

R− ab− a

(S1(1 + b)−K)+ +b−Rb− a

(S1(1 + a)−K)+

D’après 1.4.1, E[Vn+1(Φ)] = Vn(Φ)(1 +R) donc E[V2(Φ)] = V1(Φ)(1 +R)

E[(S2 −K)+] = V1(Φ)(1 +R)

V1(Φ)(1 +R) =R− ab− a

(S1(1 + b)−K)+ +b−Rb− a

(S1(1 + a)−K)+

(φ01S

01 + φ1S1)(1 +R) =

R− ab− a

(S1(1 + b)−K)+ +b−Rb− a

(S1(1 + a)−K)+

(φ01(1 +R) + φ1S1)(1 +R) =

R− ab− a

(S1(1 + b)−K)+ +b−Rb− a

(S1(1 + a)−K)+

{φ01(1 +R)2 + φ1S0(1 + b)(1 +R) = R−a

b−a (S0(1 + b)2 −K)+ + b−Rb−a (S0(1 + a)(1 + b)−K)+

φ01(1 +R)2 + φ1S0(1 + a)(1 +R) = R−a

b−a (S0(1 + a)(1 + b)−K)+ + b−Rb−a (S0(1 + a)2 −K)+

φ1 =1

S0(1 +R)(b− a)2[(R−a)(S0(1+b)2−K)++(R−b)(S0(1+a)2−K)++(b+a−2R)(S0(1+a)(1+b)−K)+]

25

φ01 =

1

(1 +R)2(b− a)2[(1 + a)(a−R)(S0(1 + b)2 −K)+ + (1 + b)(b−R)(S0(1 + a)2 −K)+

+((b− a)(b−R) + (1 + b)(2R− a− b))(S0(1 + a)(1 + b)−K)+]

3.1.3 Vérification de la stratégie sous Scilab

/ / Modele a deux p e r i o d e s

f u n c t i o n f = p o s i t i v e ( x )

i f x<0 then f =0 ;

e l s e f =x ;

endendfunc t ion

a =0 .2 ; b =0 .7 ; K=1 ; R=0 .5 ; p =0 .5 ;

S02 =(1+R) ∗ (1+R) ; S01 =(1+R) ; S00=1 ;

f u n c t i o n S=s ( n )

i f ( n ==0) then S=1 ;

e l s ei f rand ( 1 , 1 ) <p then S=s ( n−1)∗ (1+ b ) ;

e l s e S=s ( n−1)∗ (1+ a ) ;

endend

endfunc t ion

ph i2 = ( 1 / s ( 1 ) ∗ ( b−a ) ) ∗ ( p o s i t i v e (K−s ( 1 ) ∗ (1+ b ) )−p o s i t i v e (K−s ( 1 ) ∗ (1+ a ) ) ;

ph i02 = ( 1 / ( 1 +R) ∗ (1+R) ) ∗ ( ( ( 1 + a ) / ( a−b ) ) ∗ p o s i t i v e (K−s ( 1 ) ∗ (1+ b ) ) −((1+b ) / ( a−b ) )

∗ p o s i t i v e (K−s ( 1 ) ∗ (1+ a ) ) ) ;

ph i1 = ( 1 / s ( 0 ) ∗ (1+R) ∗ ( b−a ) ) ∗ ( p o s i t i v e (K−s ( 0 ) ∗ (1+ b ) ∗ (1+R) )−p o s i t i v e (K−s ( 0 )

∗ (1+ a ) ∗ (1+R) ) ) ;

ph i01 = ( 1 / ( 1 +R) ∗ (1+R) ) ∗ ( ( ( 1 + a ) / ( a−b ) ) ∗ p o s i t i v e (K−s ( 0 ) ∗ (1+ b ) ∗ (1+R) ) −((1+b )

/ ( a−b ) ) ∗ p o s i t i v e (K−s ( 0 ) ∗ (1+ a ) ∗ (1+R) ) ) ;

V2= ph i02 ∗S02+ ph i2 ∗ s ( 2 ) ;

V1= ph i01 ∗S01+ ph i1 ∗ s ( 1 ) ;

26

3.2 Cas d’une option de vente (PUT)

Soit Φ la stratégie de couverture de valeur finale V2(Φ) = (K − S2)+.


V2(Φ) = (K − S2)+

φ02S02 + φ2S2 = (K − S2)+

S :

{φ02(1 +R)2 + φ2S1(1 + b) = (K − S1(1 + b))+

φ02(1 +R)2 + φ2S1(1 + a) = (K − S1(1 + a))+

S :

{φ2 = 1

S1(b−a) [(K − S1(1 + b))+ − (K − S1(1 + a))+]

φ02 = 1(a−b)(1+R)2

[(1 + a)(K − S1(1 + b))+ − (1 + b)(K − S1(1 + a))+]


E[(K − S2)+|S1] = E[(K − S1Y2)+] = p(K − S1(1 + b))+ + (1− p)(K − S1(1 + a))+ =

R− ab− a

(K − S1(1 + b))+ +b−Rb− a

(K − S1(1 + a))+

D’après 1.4.1, E[Vn+1(Φ)] = Vn(Φ)(1 +R) donc E[V2(Φ)] = V1(Φ)(1 +R)

E[(K − S2)+] = V1(Φ)(1 +R)

V1(Φ)(1 +R) =R− ab− a

(K − S1(1 + b))+ +b−Rb− a

(K − S1(1 + a))+

(φ01S01 + φ1S1)(1 +R) =

R− ab− a

(K − S1(1 + b))+ +b−Rb− a

(K − S1(1 + a))+

(φ01(1 +R) + φ1S1)(1 +R) =R− ab− a

(K − S1(1 + b))+ +b−Rb− a

(K − S1(1 + a))+

{φ01(1 +R)2 + φ1S0(1 + b)(1 +R) = R−a

b−a (K − S0(1 + b)2)+ + b−Rb−a (K − S0(1 + a)(1 + b))+

φ01(1 +R)2 + φ1S0(1 + a)(1 +R) = R−ab−a (K − S0(1 + a)(1 + b))+ + b−R

b−a (K − S0(1 + a)2)+

φ1 =1

S0(1 +R)(b− a)2[(R−a)(K−S0(1+b)2)++(R−b)(K−S0(1+a)2)++(b+a−2R)(K−S0(1+a)(1+b))+]

φ01 =1

(1 +R)2(b− a)2[(1 + a)(a−R)(K − S0(1 + b)2)+ + (1 + b)(b−R)(K − S0(1 + a)2)+

+((b− a)(b−R) + (1 + b)(2R− a− b))(K − S0(1 + a)(1 + b))+]

27

3.2.3 Vérification de la stratégie sous Scilab

/ / Modele a deux p e r i o d e s

f u n c t i o n f = p o s i t i v e ( x )

i f x<0 then f =0 ;

e l s e f =x ;

endendfunc t ion

a =0 .2 ; b =0 .7 ; K=1 ; R=0 .5 ; p =0 .5 ;

S02 =(1+R) ∗ (1+R) ; S01 =(1+R) ; S00=1 ;

f u n c t i o n S=s ( n )

i f ( n ==0) then S=1 ;

e l s ei f rand ( 1 , 1 ) <p then S=s ( n−1)∗ (1+ b ) ;

e l s e S=s ( n−1)∗ (1+ a ) ;

endend

endfunc t ion

ph i2 = ( 1 / s ( 1 ) ∗ ( b−a ) ) ∗ ( p o s i t i v e (K−s ( 1 ) ∗ (1+ b ) )−p o s i t i v e (K−s ( 1 ) ∗ (1+ a ) ) ;

ph i02 = ( 1 / ( 1 +R) ∗ (1+R) ) ∗ ( ( ( 1 + a ) / ( a−b ) ) ∗ p o s i t i v e (K−s ( 1 ) ∗ (1+ b ) ) −((1+b ) / ( a−b ) )

∗ p o s i t i v e (K−s ( 1 ) ∗ (1+ a ) ) ) ;

ph i1 = ( 1 / s ( 0 ) ∗ (1+R) ∗ ( b−a ) ) ∗ ( p o s i t i v e (K−s ( 0 ) ∗ (1+ b ) ∗ (1+R) )−p o s i t i v e (K−s ( 0 )

∗ (1+ a ) ∗ (1+R) ) ) ;

ph i01 = ( 1 / ( 1 +R) ∗ (1+R) ) ∗ ( ( ( 1 + a ) / ( a−b ) ) ∗ p o s i t i v e (K−s ( 0 ) ∗ (1+ b ) ∗ (1+R) ) −((1+b )

/ ( a−b ) ) ∗ p o s i t i v e (K−s ( 0 ) ∗ (1+ a ) ∗ (1+R) ) ) ;

V2= ph i02 ∗S02+ ph i2 ∗ s ( 2 ) ;

V1= ph i01 ∗S01+ ph i1 ∗ s ( 1 ) ;

28

3.3 Cas particulier : non modification de la répartition du porte-feuille

Supposons qu’il existe une stratégie telle que φ01 = φ02 et que φ1 = φ2, c’est-à-dire telle que l’on ne modifie

pas la répartition du portefeuille entre les instants 1 et 2.

Voici les 3 équations vérifiées par le couple (φ01, φ1) si la valeur finale de cette stratégie est V2(Φ) =

(S2 −K)+ :

φ02(1 +R)2 + φ2S2 = (S2 −K)+

φ01(1 +R)2 + φ1S2 = (S2 −K)+

φ01(1 +R)2 + φ1S0(1 + b)2 = (S0(1 + b)2 −K)+

φ01(1 +R)2 + φ1S0(1 + a)2 = (S0(1 + a)2 −K)+

φ01(1 +R)2 + φ1S0(1 + a)(1 + b) = (S0(1 + a)(1 + b)−K)+

Si K ∈]S0(1 + a);S0(1 + b)[ alors ces 3 équations précédentes n’admettent aucune solution et donc il

n’existe pas de stratégies de couverture statique entre les instants 1 et 2.

Maintenant, si K /∈]S0(1 + a);S0(1 + b)[, il est possible de trouver des stratégies de couverture sans

réallocation après la date 1.

29

Chapitre 4

Cas général : Modèle à N périodes

Simulation sous Scilab de l’évolution du

cours Sn réalisée plusieurs fois sur le même

graphique. On reconnaît bien l’arbre proba-

bilisé où se rejoignent les courbes.

On considère dans cette section le modèle général à N périodes. Soit Φ une stratégie de couverture de l’op-

tion d’achat. On note c(n, Sn) la valeur Vn(Φ).

Pour chaque Sn le nombre de valeurs possibles différentes est de n+1.

D’après 1.4.1, E[Vn+1(Φ)] = Vn(1 +R) donc

E[Vn+1(Φ)|(S0, ..., Sn)] = Vn(1 +R)

E[c(n+ 1, Sn+1)] = c(n, Sn)(1 +R)

c(n+ 1,E[Sn+1]) = c(n, Sn)(1 +R)

c(n+ 1,E[SnYn+1]) = c(n, Sn)(1 +R)

c(n+ 1, Sn(1 + a))(1− p) + c(n+ 1, Sn(1 + b))p = c(n, Sn)(1 +R)

La suite (c(n, Sn))0≤n≤N est donc solution de la récurrence rétrograde :{c(N,SN ) = (SN −K)+

c(n, Sn) = (1 +R)−1[c(n+ 1, Sn(1 + a))(1− p) + c(n+ 1, Sn(1 + b))p]

30

Chapitre 5

Etude asymptotique

Dans cette partie, on considère le modèle CRR comme une discrétisation d’un modèle en temps continu

sur un intervalle [0 ;T]. On considère la subdivision tk = kTN , dans la suite on pose h = T

N . Dans une optique

de faire tendre N vers l’infini, il convient de faire dépendre les paramètres a, b et R de h. On pose alors

1 +R = erh; 1 + a = e−σ√h; 1 + b = eσ

√h

avec σ > 0 et r > 0. On remarquera que r s’interprète comme un taux d’intérêt instantané.

D’après 1.3, p(1 + b) + (1− p)(1 + a) = 1 +R d’où :

peσ√h + (1− p)e−σ

√h = erh

p(eσ√h − e−σ

√h) = erh − e−σ

√h

p =erh − e−σ

√h

eσ√h − e−σ

√h

Calculons maintenant la limite de p lorsque h tends vers 0 :

limh→0

p = limh→0

erh − e−σ√h

eσ√h − e−σ

√h

= limh→0

(erh − e−σ√h)(eσ

√h − e−σ

√h)

(eσ√h − e−σ

√h)(eσ

√h − e−σ

√h)

= limh→0

erh+σ√h − erh−σ

√h − 1 + e−2σ

√h

e2σ√h + e−2σ

√h − 2

=1

2

31

Nous allons maintenant tracé l’histogramme de log(Sn) pour :

σ = 0.2;T = 1;N = 100;h = T/N = 0.01; r = 0.05

Puis on trace aussi sur le même graphe la courbe de densité de la loi normale de moyenne (r − σ2

2 ) et de

variance σ2.

/ / E tude a s y m p t o t i q u e

M = 1000 ; / / nombre de t r a j e c t o i r e s

s igma =0 .2 ; T=1 ; N=1000 ; r =0 .05 ; h=T /N ; R=1−exp ( r ∗h ) ; s0 =1;

p =( exp ( r ∗h )−exp(− s igma ∗ s q r t ( h ) ) ) / ( exp ( s igma ∗ s q r t ( h ) )−exp(− s igma ∗ s q r t ( h ) ) )

;

Y=exp ( s igma ∗ s q r t ( h ) ∗ (1 − 2 ∗ bo o l2s ( rand (M,N) >p ) ) ) ;

Sn=prod (Y, ’ c ’ ) ;

LogSn= l o g ( Sn ) ;

h i s t p l o t ( 3 0 , LogSn )

/ / Comparaison l o i Normale N( mu , s igma ^ 2 )

mu=r −0.5∗ ( s igma ^2) ;

x= l i n s p a c e (−3 ∗ sigma , 3 ∗ sigma , 100) ’ ;

f =(1 . / ( s igma ∗ s q r t (2∗%pi ) ) ) ∗ exp (−0.5 ∗ ( ( ( x−mu) / s igma ) ^2 ) ) ;

pl o t2d ( x , f , s t y l e =5)

32

Histogramme obtenu :

33

Conclusion

Mon stage d’excellence au sein de l’équipe de MATHFI du laboratoire Jean Kuntzmann a été très enrichis-

sant aussi bien sur le plan de la recherche que sur le plan humain. En effet, les autres stagiaires et les thésards

ont été très accueillant pour permettre un travail dans une ambiance très conviviale.

Ce stage m’a apporté de réelles connaissances tant dans le domaine des mathématiques probabilistes que

dans celui de la finance. J’ai découvert un modèle financier très intéressant qui permet aux banques et autres

institutions financières de proposer des prix d’options judicieux, c’est-à-dire assez élevés pour ne pas avoir de

perte mais assez bas pour que les concurrents ne proposent mieux aux clients. C’est une version discrétisée du

modèle de Black Scholes qui lui aussi est intéressant mais n’est pas appliqué dans les mêmes conditions.

J’ai appris à travailler en autonomie mais d’un autre côté, M. Lelong et M. Ycart m’ont beaucoup épaulée

tout au long de ce mois de stage et m’ont permis d’avancer et de débloquer mes problèmes rencontrés de ma-

nière très pédagogue. J’ai notamment, grâce aux simulations effectuées à l’aide du logiciel Scilab, énormément

amélioré la maîtrise de cet outil que je ne maitrisais pas vraiment pour les applications statistiques.

Pour conclure, j’ai donc eu l’opportunité d’apprendre, durant ce dernier mois, un aspect du monde des

mathématiques financières que je ne connaissais pas du tout et que M. Lelong a su me faire apprécier.

34

Bibliographie

D. LAMBERTON et B. LAPEYRE, Introduction au Calcul Stochastique Appliqué à la Finance. 2012

B. JOURDAIN, Probabilités et Statistiques. 2009

R. BOURLES Chap. 9 : Le modèle Cox, Ross et Rubinstein Mathémtiques pour la finance, Cours Master

Finance Université Toulouse Sciences Sociales. 2010

A-V. AURIAULT Utilisation des arbres binomiaux pour le pricing des options américaines ENSIMAG.

2010

LJK - Laboratoire Jean Kuntzmann - http ://www-ljk.imag.fr/

35

Rapport stage

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