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Traitement du SignalSignaux deterministes

Nicolas Dobigeon

Universite de ToulouseIRIT/INP-ENSEEIHT

Equipe Signal & Communications

http://www.enseeiht.fr/~dobigeon

nicolas.dobigeon@enseeiht.fr

Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 1 / 83

Plan du cours

Correlations et spectresTransformee de FourierClasses de signaux deterministesProprietes de Rx (τ) et sx(f)

Filtrage lineaireDefinition et caracterisationRelations de Wiener-LeeFormules des interferencesExemples

EchantillonnageEchantillonnage idealEchantillonnage reelRestitution

Filtrage non-lineaireQuadrateurQuantification

Correlations et spectres

Plan du cours

Filtrage lineaire

Echantillonnage

Filtrage non-lineaire

Transformee de Fourier

Plan du cours

Filtrage lineaire

Echantillonnage

DefinitionLa transformee de Fourier (TF[·]) d’un signal x(t) est definie par

X(f) = TF[x(t)] =

∫Rx(t)e−j2πftdt

et admet une formule inverse

x(t) = TF−1[X(f)] =

∫RX(f)ej2πftdf

Proprietes

I Linearite

I Parite

I Translation et modulation

I Similitude

Proprietes

I Produits de convolution

TF [x(t) ∗ y(t)] = X(f)Y (f)

TF [x(t)y(t)] = X(f) ∗ Y (f)

I Egalite de Parseval∫Rx(t)y∗(t)dt =

∫RX(f)Y ∗(f)df

I ConjugaisonTF [x∗(t)] = X∗(−f)

Distributions

On introduit la distribution de Dirac δ(t) telle que

δ(t) =

{+∞, t = 00, t 6= 0

∫Rδ(t)dt = 1

Remarque : interpretation.

I Localisationx(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0)

I Produit de convolution

x(t) ∗ δ(t− t0) = x(t− t0)

I Transformee de Fourier

TF [δ(t)] = 1 TF [1] = δ(f)TF [δ(t− t0)] = e−j2πft0 TF

[ej2πf0t

]= δ(f − f0)

Classes de signaux deterministes

Plan du cours

Filtrage lineaire

Echantillonnage

Signaux deterministes a energie finie

Definition

{x(t) : C→ C

∣∣∣∣∫R|x(t)|2dt <∞

}= L2 (C)

Remarque 1 : egalite de Parseval.Remarque 2 : cas des signaux a duree limitee.Remarque 3 : espace de Hilbert a l’aide du produit scalaire

〈x(t), y(t)〉 =

∫Rx(t)y∗(t)dt

Fonction d’autocorrelation

Rx(τ) = 〈x(t), x(t− τ)〉 =

∫Rx(t)x∗(t− τ)dt

Remarque 1 : notations.Remarque 2 : mesure de “ressemblance”.

Fonction d’intercorrelation

Rxy(τ) = 〈x(t), y(t− τ)〉 =

∫Rx(t)y∗(t− τ)dt

Signaux deterministes a energie finieDensite spectrale d’energie

Definition

sx(f) = TF [Rx(τ)]

Propriete

sx(f) = |X(f)|2

Energie

E =∫R sx(f)df =

∫R |X(f)|2df

=∫R |x(t)|2dt = ‖x(t)‖2

= 〈x(t), x(t)〉 = Rx(0)

Remarque : egalite de Parseval.

Signaux deterministes a energie finieExemple

Fenetre rectangulaire

x(t) = ΠT (t) =

{1, si t ∈

0, sinon.

Rx (τ) = TΛT (τ)

Densite spectrale d’energie

sx (f) = T 2sinc2(πTf) = |X(f)|2.

Signaux deterministes periodiques

Definition

{x(t) : C→ C

∣∣∣∣∣x(t− T0) = x(t) et1

∫ +T02

−T02

|x(t)|2dt <∞

}Remarque : produit scalaire defini par

〈x(t), y(t)〉 =1

∫ +T02

−T02

x(t)y∗(t)dt

Rx(τ) = 〈x(t), x(t− τ)〉 =1

∫ +T02

−T02

x(t)x∗(t− τ)dt

Rxy(τ) = 〈x(t), y(t− τ)〉 =1

∫ +T02

−T02

x(t)y∗(t− τ)dt

Signaux deterministes periodiquesDensite spectrale de puissance

Definition

sx(f) = TF [Rx(τ)]

Propriete

sx(f) =∑k∈Z

|ck|2δ (f − kf0)

avecx(t) =

∑k∈Z

ck exp (j2πkf0t) .

Remarque : demo.

Puissance

P =∫R sx(f)df

=∑k∈Z |ck|

= 〈x(t), x(t)〉 = Rx(0)

Signaux deterministes periodiquesExemple

Sinusoıde

x(t) = A cos(2πf0t)

Rx (τ) =A2

2cos(2πf0τ)

Densite spectrale de puissance

sx (f) =A2

4[δ(f − f0) + δ(f + f0)]

Signaux deterministes a puissance finie

Definition

{x(t) : C→ C

∣∣∣∣∣ limT→+∞

∫ +T2

|x(t)|2dt <∞

}Remarque : produit scalaire defini par

〈x(t), y(t)〉 = limT→+∞

∫ +T2

x(t)y∗(t)dt

Rx(τ) = 〈x(t), x(t− τ)〉 = limT→+∞

∫ +T2

x(t)x∗(t− τ)dt

Rxy(τ) = 〈x(t), y(t− τ)〉 = limT→+∞

∫ +T2

x(t)y∗(t− τ)dt

Signaux deterministes a puissance finieDensite spectrale de puissance

Definition

sx(f) = TF [Rx(τ)]

Propriete

sx(f) = limT→+∞

T|XT (f)|2

XT (f) =

∫ +T2

x(t)e−j2πftdt

Puissance

P =∫R sx(f)df

= 〈x(t), x(t)〉 = Rx(0)

Proprietes de Rx (τ) et sx(f)

Plan du cours

Filtrage lineaire

Echantillonnage

Proprietes de Rx (τ)

Symetrie hermitienne

Rx(τ) = R∗x(−τ)

Remarque : cas reel.

Valeur maximale

∀τ ∈ R, |Rx(τ)| ≤ Rx(0)

Distance entre 2 signauxSi x(t) est un signal reel

d [x(t), x(t− τ)]2 = ‖x(t)− x(t− τ)‖2 = 2 [Rx(0)− Re {Rx(τ)}]

Remarque 1 : mesure de ressemblance.Remarque 2 : cas des signaux reels.

Proprietes de sx (f)

Densite spectrale reelle

sx(f) ∈ RRemarque : si x(t) reel, sx(f) reelle paire.

Positivite

sx(f) ≥ 0

Lien entre DSP et energie/puissance

P ou E = Rx(0) =

∫Rsx(f)

Filtrage lineaire

Plan du cours

Echantillonnage

Filtrage lineaire

Definition et caracterisation

Plan du cours

Echantillonnage

Filtrage lineaire

Filtrage LIT ?

DefinitionOn cherche une operation F : x(t) 7→ y(t) qui possede les proprietes :

I linearite (principe de superposition verifie)

F [a1x1(t) + a2x2(t)] = a1F [x1(t)] + a2F [x2(t)]

I invariance dans le temps

y(t) = F [x(t)]⇔ y(t− t0) = F [x(t− t0)]

Solution : convolutionAlors, il existe h(t) telle que

y(t) = h(t) ∗ x(t) =

∫Rx(u)h(t− u)du

Autre propriete recherchee :I stabilite (BIBO)

∃Mx ∈ R, ∀t ∈ R, |x(t)| ≤Mx ⇒ ∃My ∈ R, ∀t ∈ R, |y(t)| = |F [x(t)]| ≤My

Filtrage lineaire

Filtrage LIT ?

LIT 6= lineaireLa linearite ne suffit pas a avoir un filtre LIT. Contre-exemple :

F : x(t) 7→ y(t) = m(t)x(t)

CNS de stabilite

F est stable⇔∫R|h(t)|dt <∞ (i.e., h ∈ L1(R))

CaracterisationF completement caracterise par

I reponse impulsionnelle

si x(t) = δ(t) alors y(t) = F [δ(t)] , h(t)

I transmittanceH(f) = TF [h(t)]

Filtrage lineaire

Realisabilite d’un filtre

Domaine temporel

I h(t) reelle (entree reelle ⇒ sortie reelle)

I h(t) ∈ L1 (stabilite BIBO)

I h(t) causale (filtre sans memoire)

Domaine spectral

I H∗(−f) = H(f) (symetrie hermitienne)

I H(f) = −jH(f) ou H(·) est la transformee de Hilbert

H(f) = H(f) ∗ 1

Remarque 1 : ecriture equivalente parties reelle et imaginaire.Remarque 2 : H(f) causal completement definie par partie reelle ouimaginaire.

Filtrage lineaire

Identification d’un filtrage LIT

Classes des signaux deterministesAu choix :

y(t) = h(t) ∗ x(t)Y (f) = H(f)X(f)

Exemples et contre-exemples

I y(t) =∑k akx(t− Tk)

I y(t) = x(0)

I y(t) = m(t)x(t)

Filtrage lineaire

Relations de Wiener-Lee

Plan du cours

Echantillonnage

Filtrage lineaire

Relations de Wiener-Lee

Ryx (τ) = h(τ) ∗Rx (τ)

Ry (τ) = h(τ) ∗ h∗(−τ) ∗Rx (τ)

Densite spectrale

sy(f) = sx(f)|H(f)|2

Filtrage lineaire

Formules des interferences

Plan du cours

Echantillonnage

Filtrage lineaire

Formules des interferences

Hypotheses

y1(t) = h1(t) ∗ x(t)

y2(t) = h2(t) ∗ x(t)

Conclusion

Ry1y2 (τ) =

∫Rsx(f)H1(f)H2(f)ej2πfτdf

Filtrage lineaire

Exemples

Plan du cours

Echantillonnage

Filtrage lineaire

Exemples

Filtre passe-bas ideal

I TransmittanceH(f) = ΠF (f)

I Reponse impulsionnelle

h(t) = F sinc(πFt)

Remarque : Non-causale et 6∈ L1 donc troncature puis decalage.

Filtre passe-bande ideal

I Transmittance

H(f) = ΠF (f − f0) + ΠF (f + f0)

I Reponse impulsionnelleh(t) = ...

Echantillonnage

Plan du cours

Filtrage lineaire

Echantillonnage

Echantillonnage ideal

Plan du cours

Filtrage lineaire

Echantillonnage

analogique numeriquex(t) xe(t)

Domaine temporel

xe(t) =∑k∈Z x(kTe)δ(t− kTe)

= x(t)∑k∈Z δ(t− kTe)

Remarque : notation xe(t) ? {xe(k)}k ?

Domaine frequentiel

Xe(f) = X(f) ∗ Fe∑k∈Z δ(f − kFe)

= Fe∑k∈ZX(f − kFe)

⇒ periodisation du spectre !⇒ phenomene de repliement !

Echantillonnage

analogique numeriquex(t) {xe(k)}k

Domaine temporel

xe(t) =∑k∈Z x(kTe)δ(t− kTe)

= x(t)∑k∈Z δ(t− kTe)

Remarque : notation xe(t) ? {xe(k)}k ?

Domaine frequentiel

Xe(f) = X(f) ∗ Fe∑k∈Z δ(f − kFe)

= Fe∑k∈ZX(f − kFe)

⇒ periodisation du spectre !⇒ phenomene de repliement !

Echantillonnage

Theoreme de Shannon

Fe > 2fmax

Remarque 1 : Pour une sinusoıde, plus de 2 points par periode.Remarque 2 : Cas limite Fe = 2fmax.

Restitution

Xr(f) = Xe(f)Π2a(f)

avec fmax < a < Fe − fmax

Interpolateur de ShannonRestitution avec a = fmax = Fe

xr(t) = Fe∑k∈Z

x(kTe)sinc [πFe(t− kTe)]

Echantillonnage

Generalisation

Xr(f) = Fe∑k∈Z

x(kTe)hr(t− kTe)

Remarque : hr(t) = fonction d’interpolation

Repliement/anti-repliementPresence d’un filtre anti-repliement (analogique) avant echantillonnage.

Frequences normalisees

Fe > 2fmax ⇔ f ,f

Echantillonnage

Echantillonnage idealExemple : sinusoıde

Signal et spectre

x(t) = cos(2πf0t)X(f) = 1

2[δ(f − f0) + δ(f + f0)]

Echantillonnage

f0 = 1Hz et Fe = 7Hz

Restitution

xr(t) = cos(2πfrt) avec fr = 1Hz

Echantillonnage

Signal et spectre

2[δ(f − f0) + δ(f + f0)]

Echantillonnage

f0 = 1Hz et Fe = 7Hz

Restitution

xr(t) = cos(2πfrt) avec fr = 1Hz

Echantillonnage

Signal et spectre

2[δ(f − f0) + δ(f + f0)]

Echantillonnage

f0 = 1Hz et Fe = 1.2Hz

Restitution

xr(t) = cos(2πfrt) avec fr = 0.2Hz

Echantillonnage

Signal et spectre

2[δ(f − f0) + δ(f + f0)]

Echantillonnage

f0 = 1Hz et Fe = 1.2Hz

Restitution

xr(t) = cos(2πfrt) avec fr = 0.2Hz

Echantillonnage

Echantillonnage reel

Plan du cours

Filtrage lineaire

Echantillonnage

Echantillonnage reelEchantillonneur bloqueur

Domaine temporel

xb(t) =∑k∈Z x(kTe)Πτ (t− τ

2− kTe)

Domaine frequentiel

Xb(f) = Xe(f)τsinc (πτf) e−jπτf

= Feτsinc (πτf) e−jπτf∑k∈ZX(f − kFe)

Restitution (spectre d’ordre 0)

Xbr(f) = Feτsinc (πτf) e−jπτfX(f)

Remarque 1 : si condition de Shannon verifiee...Remarque 2 : cas τ petit

Echantillonnage

Echantillonnage reelEchantillonneur a porte analogique

Domaine temporel

xa(t) = x(t)∑k∈Z Πτ (t− kTe)

= x(t)[Πτ (t) ∗

∑k∈Z δ(t− kTe)

]Domaine frequentiel

Xa(f) = X(f) ∗[τsinc (πτf)Fe

∑k∈Z δ(f − kFe)

]= Feτ

∑k∈Z sinc (πτkFe)X(f − kFe)

Restitution (spectre d’ordre 0)

Xar(f) = FeτX(f)

Remarque 1 : si condition de Shannon verifiee...

Echantillonnage

Echantillonnage reelEchantillonneur moyenneur

Voir T.D.

Echantillonnage

Exemples

I Telephonefmax = 3400Hz et Fe = 8kHz

I Audiofmax = 15kHz et Fe = 44kHz

Cas spectre passe-bandeChoix astucieux de Fe < 2fmax

⇒ non respect de la condition de Shannon ! (voir T.D.)

Echantillonnage

Restitution

Plan du cours

Filtrage lineaire

Echantillonnage

Restitution

numerique analogiquexe(t) xr(t)

Filtrage passe-basD’apres theoreme de Shannon, restitution exacte si

H(f) = ΠFe(f)

Remarque : realisabilite du filtre...

Interpolation lineairefiltre non-causal

BloqueurLe plus utilise en pratique

Plan du cours

Filtrage lineaire

Echantillonnage

Introduction

Transformation sans memoire

y(t) = F [x(t)]

Exemples

I quadrateury(t) = x2(t)

I redresseury(t) = |x(t)|

I quantificateury(t) = xq(t)

Quadrateur

Plan du cours

Filtrage lineaire

Echantillonnage

Quadrateur

y(t) = x2(t)

Exemples

I sinusoıde x(t) = A cos(2πf0t)

Y (f) =A2

2δ(f) +

4[δ(f − 2f0) + δ(f + 2f0)]

⇒ composante continue + disparition de f0 + apparition de 2f0.

I somme de sinusoıdes x(t) = A2 cos(2πf1t) +A2 cos(2πf2t)

Y (f) = ...

⇒ + termes d’intermodulation

I sinus cardinal x(t) = 2Bsinc(2πBt)

Y (f) = ...

⇒ doublement de la largeur de bande

Quantification

Plan du cours

Filtrage lineaire

Echantillonnage

Quantification

Representation des nombres

Virgule fixe

I Nombre x code par

xq = (±)︸︷︷︸bit de signe

partie entiere︷︸︸︷bnE , . . . , b0, b−1, . . . , bnF︸︷︷︸

partie fractionnaire

avec bj ∈ {0, 1}

Virgule flottante

I Nombre x code par

xq = (±)︸︷︷︸bit de signe

partie entiere︷︸︸︷bnE , . . . , b0, b−1, . . . , bnF︸︷︷︸

partie fractionnaire

position virgule︷︸︸︷2±enV−1,...,e0

avec bj ∈ {0, 1} et ej ∈ {0, 1}

Quantification

Operation de quantificationConversion Analogique-Numerique (CAN)

analogique numeriquex(t) xq(t)

PrincipeSoit le signal x(t) ∈ [Amin, Amax]. On introduit les intervalles

[xi −

∆qi2, xi +

∆qi2

[, i = 0, . . . , N − 1

avec {x0 − ∆q0

2= Amin

xN−1 +∆qN−1

2= Amax

qui realisent une partition de [Amin, Amax].La version quantifiee du signal x(t) est donne par

x(t) ∈ Ii ⇒ xq(t) = xi (±∆qi2

Quantification

analogique numeriquex(t) xq(t)

PrincipeSoit le signal x(t) ∈ [Amin, Amax]. On introduit les intervalles

[xi −

∆qi2, xi +

∆qi2

[, i = 0, . . . , N − 1

avec {x0 − ∆q0

2= Amin

xN−1 +∆qN−1

2= Amax

qui realisent une partition de [Amin, Amax].La version quantifiee du signal x(t) est donne par

x(t) ∈ Ii ⇒ xq(t) =

{xi, si arrondi;

xi − ∆qi2, troncature.

Quantification

Operation de quantification

Terminologie

I pas de quantification : {∆qi}iI niveaux de quantification : {xi}iI quantification uniforme

∀i, ∆qi = ∆q =|Amax −Amin|

On s’arrange pour avoir Amax = −Amin > 0. Dans ce cas

∀i, ∆qi = ∆q =2Amax

I nombre de niveaux de quantification : N

I nombre de bits de quantification : n tel que 2n = N(+1)

Quantification

Quantification uniforme

Figure : Quantification non-biaisee (arrondi) et biaisee (troncature).

Quantification

Figure : Quantification non-biaisee (arrondi) et biaisee (troncature).Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 73 / 83

Quantification

Figure : Quantification non-biaisee (arrondi) et biaisee (troncature).Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 74 / 83

Quantification

Quantification uniformeQuantification de type A non-biaisee

Principe

I nombre impair de niveaux N avec N + 1 = 2n

I ∃i ∈ {0, . . . , N − 1} , xi = 0

I 2Amax = N∆q

I signal quantifie defini par

xq(t) =

−∆q, si x(t) ∈[− 3∆q

2,−∆q

[0, si x(t) ∈

[−∆q

2, ∆q

[∆q, si x(t) ∈

[∆q2, 3∆q

[. . .

Quantification

Quantification uniformeQuantification de type A non-biaisee

Quantification

Quantification uniformeQuantification de type B non-biaisee

Principe

I nombre pair de niveaux N avec N = 2n

I 6 ∃i ∈ {0, . . . , N − 1} , xi = 0

I 2Amax = N∆q

I signal quantifie defini par

xq(t) =

−∆q2, si x(t) ∈ [−∆q, 0[

∆q2, si x(t) ∈ [0,∆q[

Quantification

Quantification uniformeQuantification de type B non-biaisee

Quantification

Quantification uniformeQuantification A/B & biaisee/non-biaisee

Quantification

Depassement

Si x = xmax + ∆q alors xq =

{−xmax

q , en absence de protection;xmax

q , avec protection.

Figure : Effet du depassement sans (gauche) et avec (droite) protection.

Quantification

Et maintenant ?

UE Traitement du Signal : 1iere annee - semestre 6

I Traitement du Signal 1 (ce cours)

I Modelisation deterministeI Signal a temps continu

I Traitement Numerique du Signal

I Modelisation deterministeI Signal a temps discret

Quantification

Et maintenant ?

UE Traitement du Signal et Telecom : 2ieme annee - semestre 7

I Traitement du Signal 2

I Modelisation aleatoireI Signal a temps continu

I Traitement Numerique du Signal

I Modelisation aleatoireI Signal a temps discret

Quantification

Traitement du SignalSignaux deterministes

Nicolas Dobigeon

Universite de ToulouseIRIT/INP-ENSEEIHT

Equipe Signal & Communications

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