Traitement du signal

Traitement du Signal

Jean-Yves Tourneret(1)

(1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA

Thème 1 : Analyse et Synthèse de l’Information

[email protected]

Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 1/82

Bibliographie

J. Max et J.-L. Lacoume, Méthodes et techniques detraitement du signal, Dunod, 5me édition, 2004.

Athanasios Papoulis and S. Unnikrishna Pillai, Probability,Random Variable and Stochastic Processes, McGraw HillHigher Education, 4th edition, 2002.


Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Transformée de Fourier

Classes de signaux déterministes et aléatoires

Propriétés de Rx(τ) et de sx(f)

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de Poisson

Chapitre 6 : Signaux des télécommunications



DéfinitionsFormule directe

X(f) =

∫

R

x(t) exp (−j2πft) dt

Formule inverse

x(t) =

∫

R

X(f) exp (j2πft) df

HypothèsesTF sur L1 ou L2


Propriétés

Linéarité

TF [ax(t) + by(t)] = aX(f) + bY (f)

Parité x(t) réelle paire ⇒ X(f) réelle paire

Translation et Modulation

TF [x(t− t0)] = exp(−j2πft0)X(f)

TF [x(t) exp(j2πf0t)] = X(f − f0)

Similitude

TF [x(at)] =1

|a|X

(f

a

)


Propriétés

Produits de Convolution

TF [x(t) ∗ y(t)] = X(f)Y (f)

TF [x(t)y(t)] = X(f) ∗ Y (f)

Égalite de Parseval∫

R

x(t)y∗(t)dt =

∫

R

X(f)Y ∗(f)df

ConjugaisonTF [x∗(t)] = X∗(−f)


Distributions

Localisation

x(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0)

Produit de Convolution

x(t) ∗ δ(t− t0) = x(t− t0)

Transformées de Fourier

TF [δ(t)] = 1, TF [1] = δ(f)

TF [δ(t− t0)] = exp(−j2πft0), TF [exp(j2πf0t)] = δ(f − f0)


Plan du cours












Classe 1 : signaux déterministes à énergie finie

Classe 2 : signaux déterministes périodiques àpuissance finie

Classe 3 : signaux déterministes non périodiques àpuissance finie

Classe 4 : signaux aléatoires stationnaires


Signaux déterministes à énergie finie

Définition E =∫R|x(t)|2dt =

∫R|X(f)|2df < ∞

Fonction d’autocorrélation

Rx(τ) =

∫

R

x(t)x∗(t− τ)dt = 〈x(t), x(t− τ)〉

Fonction d’intercorrélation

Rxy(τ) =

∫

R

x(t)y∗(t− τ)dt = 〈x(t), y(t− τ)〉

Produit scalaire

〈x(t), y(t)〉 =

∫

R

x(t)y∗(t)dt


Densité spectrale d’énergie

Définitionsx(f) = TF [Rx(τ)]

Propriétésx(f) = |X(f)|2

Preuve

sx(f) =

∫

R

[∫

R

x(t)x∗(t− τ)dt

]exp(−j2πfτ)dτ

=

∫

R

[∫

R

x∗(t− τ) exp(−j2πfτ)dτ

]x(t)dt

=

∫

R

[∫

R

x∗(u) exp [j2πf(u− t)] du

]x(t)dt

= X∗(f)X(f)Cours Traitement du Signal, 2010 – p. 11/82

Exemple

Fenêtre rectangulaire

x(t) = ΠT (t) =

{1 si − T

2 < t < T2

0 sinon


Rx(τ) = TΛT (τ)

Densité spectrale d’énergie

sx(f) = T 2sinc2(πTf) = |X(f)|2


Signaux déterministes périodiques

Définition P = 1T0

∫ T0/2−T0/2

|x(t)|2dt < ∞


Rx(τ) =1

T0

∫ T0/2

−T0/2

x(t)x∗(t− τ)dt = 〈x(t), x(t− τ)〉


Rxy(τ) =1

T0

∫ T0/2

−T0/2

x(t)y∗(t− τ)dt = 〈x(t), y(t− τ)〉

Produit scalaire

〈x(t), y(t)〉 =1

T0

∫ T0/2

−T0/2

x(t)y∗(t)dt


Densité spectrale de puissance


Propriété

sx(f) =∑

k∈Z

|ck|2δ(f − kf0)

avec x(t) =∑

k∈Z ck exp(j2πkf0t).

Preuve

Rx(τ) =∑

k,l

ckc∗l exp (j2πlf0τ)

[1

T0

∫ T0/2

−T0/2

exp [j2π(k − l)f0t] dt

]

=∑

k

|ck|2 exp(j2πkf0τ)


Exemple

Sinusoïdex(t) = A cos(2πf0t)


Rx(τ) =A2

2cos(2πf0τ)


sx(f) =A2

4[δ(f − f0) + δ(f + f0)]


Signaux déterministes à puissance finie

Définition P = limT→∞

1T

∫ T/2−T/2 |x(t)|

2dt < ∞


Rx(τ) = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2

x(t)x∗(t− τ)dt = 〈x(t), x(t− τ)〉


Rxy(τ) = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2

x(t)y∗(t− τ)dt = 〈x(t), y(t− τ)〉

Produit scalaire

〈x(t), y(t)〉 = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2

x(t)y∗(t)dt




Propriété

sx(f) = limT→∞

1

T|XT (f)|

2

avec

XT (f) =

∫ T/2

−T/2

x(t) exp(−j2πft)dt

Exemple

x(t) = A1 cos(2πf1t) + A2 cos(2πf2t)

avec f1 et f2 non commensurables.


Signaux aléatoires stationnaires

DéfinitionMoyenne : E[x(t)] indépendant de t

Moment d’ordre 2 : E[x(t)x∗(t− τ)] indépendant de t


Rx(τ) = E[x(t)x∗(t− τ)] = 〈x(t), x(t− τ)〉


E[x(t)y∗(t− τ)] = 〈x(t), y(t− τ)〉

Produit scalaire〈x(t), y(t)〉 = E[x(t)y∗(t)]

Remarques : stationnarité au sens strict, large, à l’ordre deux, tests de stationnarité.



Puissance moyenne

P = Rx(0) = E[|x(t)|2

]=

∫

R

sx(f)df

Densité spectrale de puissanceDéfinition

sx(f) = TF [Rx(τ)]

Propriété

sx(f) = limT→∞

1

TE[|XT (f)|

2]

mais en général X(f) n’existe pas !


Exemples

Exemple 1 : Sinusoïde

x(t) = A cos(2πf0t+ θ)

θ va uniforme sur [0, 2π].Fonction d’autocorrélation

Rx(τ) =A2

2cos(2πf0τ)


sx(f) =A2

4[δ(f − f0) + δ(f + f0)]


Exemples

Exemple 2 : Bruit blancFonction d’autocorrélation

Rx(τ) =N0

2δ(τ)


sx(f) =N0

2


Plan du cours











Propriétés deRx(τ )

Symétrie Hermitienne : R∗x(−τ) = Rx(τ)

Valeur maximale : |Rx(τ)| ≤ Rx(0)

Distance entre x(t) et x(t− τ) : si x(t) est un signal réel

d2 [x(t), x(t− τ)] = 2 [Rx(0)−Rx(τ)]

Donc Rx(τ) mesure le lien entre x(t) et x(t− τ).

Décomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité desapplications, on a

Rx(τ) = R1(τ) +R2(τ)

où R1(τ) est une somme de fonctions périodiques etR2(τ) tend vers 0 lorsque τ → ∞.


Propriétés desx(f )

DSP réellesx(f) ∈ R

De plus, si x(t) signal réel, sx(f) réelle paire

Positivité : sx(f) ≥ 0

Lien entre DSP et puissance/énergie

P ou E = Rx(0) =

∫

R

sx(f)df

Décomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité desapplications, on a sx(f) = s1(f) + s2(f), où s1(f) est unspectre de raies et s2(f) un spectre continu (casgénéral : partie singulière).


Plan du cours



Introduction

Relations de Wiener-Lee

Formule des interférences

Exemples




Chapitre 6 : Signaux des télécommunicationsCours Traitement du Signal, 2010 – p. 25/82

Introduction

On cherche une opération avec les propriétés suivantes

Linéarité : T [a1x1(t) + a2x2(t)] = a1T [x1(t)] + a2T [x2(t)]

Invariance dans le tempsSi y(t) = T [x(t)] alors T [x(t− t0)] = y(t− t0)

Stabilité BIBOSi |x(t)| ≤ Mx alors il existe My tel que

|y(t)| = |T [x(t)] | ≤ My

“Limitation” du spectre d’un signal

☞ Convolution

y(t) = x(t) ∗ h(t) =

∫

R

x(u)h(t− u)du = h(t) ∗ x(t)


Commentaires

La linéarité ne suffit pas. Contre-exemple

y(t) = m(t)x(t)

CNS de Stabilité BIBO∫

R

|h(t)|dt < ∞, i.e., h ∈ L1

Réponse impulsionnelle et Transmittance

H(f) = TF [h(t)] =

∫

R

h(t) exp(−j2πft)dt

Si x(t) = δ(t) alors y(t) = h(t). Ceci permet d’obtenir laseule réponse impulsionnelle possible.


Réalisabilité d’un filtre

Domaine temporel(1) h(t) réelle

(2) h(t) ∈ L1 (stabilité)(3) h(t) causale (filtre sans mémoire)

Domaine spectral(1) Symétrie hermitienne : H∗(−f) = H(f)

(2) ne peut se traduire

(3) H(f) = −jH̃(f), où H̃(f) = H(f) ∗ 1πf est la

transformée de Hilbert de H (preuve dans le coursmanuscrit).


Écriture équivalente

En écrivant H(f) = Hr(f) + jHi(f), on obtient

Hr(f) =Hi(f) ∗1

πf

Hi(f) =−Hr(f) ∗1

πf


Identifier une relation de filtrage linéaire

Signaux déterministes

y(t) = x(t) ∗ h(t) ⇔ Y (f) = X(f)H(f)

Signaux aléatoires : Isométrie fondamentale

Si x(t)I↔ ej2πft, alors y(t)

I↔ ej2πftH(f)

Exemplesy(t) =

∑nk=1 akx(t− tk)

y(t) = x′(t)

y(t) = x(t)m(t)


Plan du cours



Introduction



Exemples





Relations de Wiener Lee


sy(f) = sx(f)|H(f)|2

Intercorrélation

Ryx(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ)

Autocorrélation

Ry(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ) ∗ h∗(−τ)


Preuves (signaux à énergie finie)


sy(f) = |Y (f)|2 = |X(f)H(f)|2 = sx(f)|H(f)|2

Intercorrélation

Ryx(τ) =

∫

R

y(u)x∗(u− τ)du

=

∫

R

Y (f)[e−j2πfτX(f)

]∗df

=

∫

R

X(f)H(f)[ej2πfτX∗(f)

]df

=

∫

R

sx(f)H(f)ej2πfτdf = TF−1[sx(f)H(f)] CQFD


Preuve (signaux à puissance finie)

Intercorrélation

Ryx(τ) =1

T0

∫ T0/2

−T0/2

y(t)x∗(t− τ)dt

=1

T0

∫ T0/2

−T0/2

[∫

R

h(v)x(t− v)dv

]x∗(t− τ)dt

=

∫

R

h(v)

[1

T0

∫ T0/2

−T0/2

x(t− v)x∗(t− τ)dt

]dv

=

∫

R

h(v)Rx(τ − v)dv CQFD

etc ...


Preuves (signaux aléatoires)

Intercorrélation

Ryx(τ) =E[y(t)x∗(t− τ)]

=〈y(t), x(t− τ)〉

=〈ej2πftH(f), ej2πf(t−τ)〉

=

∫

R

ej2πftH(f)e−j2πf(t−τ)sX(f)df

=

∫

R

H(f)ej2πfτsX(f)df

= h(τ) ∗Rx(τ) CQFD

etc ...


Plan du cours



Introduction



Exemples






Hypothèses

y1(t) = x(t) ∗ h1(t) et y2(t) = x(t) ∗ h2(t)

Conclusion

Ry1y2(τ) =

∫

R

sx(f)H1(f)H∗2(f)e

j2πfτdf

Preuve

Ry1y2(τ) =

∫

R

y1(t)y∗2(t− τ)dt

=

∫

R

Y1(f)[e−j2πfτY2(f)

]∗df

=

∫

R

H1(f)X(f)ej2πfτH∗2 (f)X

∗(f)df CQFD


Plan du cours



Introduction



Exemples





Exemples

Filtre Passe-basTransmittance

H(f) = ΠF (f)

Réponse impulsionnelle

h(t) = F sinc (πFt)

non causale et /∈ L1 ⇒ troncature + décalage

Filtres liaisons montante et descendante d’une chaînede transmission


Plan du cours




Échantillonnage idéal

Échantillonnage réel

Méthodes pratiques de restitution






Signaux à énergie finieDomaine temporel

xe(t) =∑

k∈Z

x(kTe)δ(t− kTe) = x(t)∑

k∈Z

δ(t− kTe)

Domaine Fréquentiel

Xe(f) = X(f) ∗ Fe

∑

k∈Z

δ(f − kFe) = Fe

∑

k∈Z

X(f − kFe)

Périodisation du spectre


Commentaires

Théorème de Shannon

Fe > 2fmax

RestitutionXr(f) = Xe(f)Πfe(f)

Interpolateur de Shannon

xr(t) = Fe

∑

k∈Z

x(kTe)sinc [πFe(t− kTe)]

Généralisation

xr(t) =∑

k∈Z

x(kTe)h (t− kTe)


Commentaires

Fréquences normalisées

Fe > 2fmax ⇔ f̃ =f

Fe≤

1

2

Repliement et filtre anti-repliement


Échantillonnage d’une sinusoïde

Signal et spectre

x(t) = A cos(2πf0t) ⇔ X(f) =A

2[δ(f − f0) + δ(f + f0)]

Cas particulierFe = 2f0

Repliement

f0 = 5kHz et Fe = 100kHz

f0 = 5kHz et Fe = 8kHz

Filtre de restitution ΠFe(f)


Plan du cours











Échantillonnage bloqueur

Domaine temporel

xb(t) =∑

k∈Z

x(kTe)πτ

(t−

τ

2− kTe

)= xe(t) ∗ πτ

(t−

τ

2

)

Domaine spectral

Xb(f) =τ

Tee−jπτfsinc(πτf)

∑

k∈Z

X(f − kFe)

Spectre d’ordre 0

X0(f) =τ

Tee−jπτfsinc(πτf)X(f)

Conditions de restitution



Échantillonnage moyenneurvoir TD

Échantillonnage à porte analogique...

ExemplesTéléphone

fmax = 3400Hz et Fe = 8kHz

Audiofmax = 15kHz et Fe = 44.1kHz


Plan du cours











Restitution

Filtrage passe bas

H(f) = ΠFe(f)

Interpolation linéaireFiltre non causal

Bloqueur d’ordre 0Utilisé dans la quasi-totalité des applications


Plan du cours





Introduction

Quadrateur

Quantification




Introduction

Transformation sans mémoire

y(t) = g [x(t)]

ExemplesQuadrateur

y(t) = x2(t)

Quantificationy(t) = xQ(t)


Plan du cours





Introduction

Quadrateur

Quantification




Quadrateur

Signaux déterministes

Y (f) = X(f) ∗X(f)

ExemplesSinusoïde : x(t) = A cos(2πf0t)

Y (f) =A2

2δ(f) +

A2

4[δ(f − 2f0) + δ(f + 2f0)]

Disparition de la fréquence f0 et apparition de lafréquence 2f0Somme de sinusoïdes : Termes d’intermodulationSinus cardinal : doublement de la largeur de bande


Quadrateur pour signaux aléatoires

Théorème de PriceHypothèses(X1, X2) vecteur Gaussien de moyenne nulleY1 = g(X1) et Y2 = g(X2)

Conclusion

∂E(Y1Y2)

∂E(X1X2)= E

(∂Y1∂X1

∂Y2∂X2

)

Application au quadrateur

RY (τ) = 2R2X(τ) +K


Remarques

Loi Gaussienne bivariée

p(x1, x2) =1

2π√

|Σ|exp

(−1

2xTΣ−1

x

)

Stationnarité

E [Y (t)Y (t− τ)] =

∫ ∫g (x1) g (x2) p (x1, x2) dx1dx2

avec x1 = X(t), x2 = X(t− τ) et

Σ =

(RX(0) RX(τ)

RX(τ) RX(0)

)


Détermination deK

Moments d’une loi Gaussienne centrée

E(X2n+1

)= 0, E

(X2n

)= [(2n−1)×(2n−3)...×3×1]σ2n

τ = 0

E[Y 2(t)

]= E

[X4(t)

]= 3R2

X(0) = 2R2X(0) +K

Autocorrélation

RY (τ) = 2R2X(τ) +R2

X(0)


sY (f) = 2sX(f) ∗ sX(f) +R2X(0)δ(f)


Plan du cours





Introduction

Quadrateur

Quantification




Quantification

Principe

xQ(t) = i∆qi = xi et xi −∆qi2

≤ x(t) ≤ xi +∆qi2

DéfinitionsPas de quantification ∆qi

Quantification uniforme ∆qi = ∆q = 2Amax

N

Niveaux de quantification: xiNombre de bits de quantification N = 2n


Erreur de quantification

Hypothèse

ǫ(t) suit la loi uniforme sur[−∆q

2 , ∆q2

], i.e., N ≥ 28

Rapport signal sur bruit de quantification

SNRdB = 10 log10

(σ2xσ2ǫ

)

Variance du bruit : σ2ǫ = (∆q)2

12

Sinusoïde : σ2x = A2

2

ConclusionSNRdB = 6n+ 1.76


Remarques

Généralisation à un signal Gaussien

2Sσ = N∆q ⇒ SNRdB = 6n+ ...

Quantification non uniforme


Plan du cours






Définition

Signal des télégraphistes

Introduction aux files d’attente



Processus de Poisson homogène

NotationsInstants : {tj}j∈ZNombre d’instants dans [t, t+ τ [ : N(t, τ)

HypothèsesStationnarité (régime établi) : Pn(τ) = P [N(t, τ) = n]est indépendante de t.Indépendance du passé et de l’avenir (nonembouteillage) : si [t, t+ τ [ et [t′, t′ + τ ′[ sont desintervalles disjoints, alors N(t, τ) et N(t′, τ ′) sont desva indépendantes.Non accumulation (non simultanéité des instants ti) :si φ(τ) = P [N(t, τ) ≥ 2], alors φ(τ)

τ →τ→0

0


Conclusions

Loi de N(t, τ)N(t, τ) suit une loi de Poisson de paramètre λτ , où λ estle nombre moyen d’instants dans un intervalle delargeur τ = 1.

Loi des largeurs d’intervalles :Si Ln = tn+1 − tn, alors {Ln}n∈Z est une suite de vaindépendantes de lois exponentielles de paramètre λ(utile pour la simulation)

Loi des instantsSi l’intervalle [0, t[ contient n instants t1, ..., tn, alorschaque instant ti suit une loi uniforme sur [0, t[.


Plan du cours






Définition


Introduction aux files d’attente




Définition

X(t) =

A si t = 0

A si N(0, t) pair−A si N(0, t) impair

où A est uniforme sur {−1,+1}.

StationnaritéMoyenne

E [X(t)] = 2P [X(t) = 1]− 1 = 0


E [X(t)X(t− τ)] = e−2λ|τ |, τ ∈ R




sX(f) =λ

λ2 + π2f2

ApplicationImagerie radar à synthèse d’ouverture (Imagerie SAR)


Plan du cours






Définition


Introduction aux Files d’attente



Introduction aux Files d’attente

Hypothèses

Un guichet

Une file d’attente

Arrivée des clients décrite par un processus dePoisson de paramètre λ

Temps de service Ts ∼ E(µ) avec E(Ts) = 1/µ

Conclusion (admise)Probabilité d’avoir n clients dans le système à l’instant t

P [X(t) = n] = (1−Q)Qn, n ∈ N

avec Q = λ/µ < 1.


Nombres moyens de clients

Dans le système

L = E [X(t)] =Q

1−Q

Dans la file d’attente

LQ = E[XQ(t)

]=

Q2

1−Q

Résultat utile

∞∑

n=1

nxn =x

(1− x)2, |x| < 1


Temps de séjour moyen d’un clientC

Dans le système

W = E (T ) = E [E (T |An)] =1

µ(1−Q)

où An est l’événement “il y a n clients dans le systèmelorsque C y rentre”.

Dans la file d’attente

WQ = E(TQ)= E (T )−

1

µ=

Q

µ(1−Q)

Formules de Little

L

W=

LQ

WQ= λ


Plan du cours








Signaux des télécommunications

Chaîne de transmissionÉchantillonnage et QuantificationCodageMise en formemodulation...

Le signal NRZ : soit {An}n∈Z une suite de va binairesindépendantes avec P [An = 1] = 1− P [An = 0] = p.

Modèle 1

X(t) = At

Modèle 2

Y (t) = X(t+ φ) = At+φ


Signal NRZ (modèle1)

MoyenneE[X(t)] = E[At] = p


E[X(t)X(t− τ)] dépend de t

Exemple : t = 14 , τ = −1

2 et t = 34 , τ = −1

2 .



MoyenneE[Y (t)] = p.


E[Y (t)Y (t− τ)] = p2 + (p− p2)Λ1(τ)


Preuves

Moyenne

E[Y (t)] = E[At+φ]

= E[φE[At+φ|φ]]

= E[p]

= p. CQFD


Preuves


E[Y (t)Y (t− τ)] = E[At+φAt−τ+φ]

= E[φE[At+φAt−τ+φ|φ]]

=

∫ 1

0

E[At+φAt−τ+φ]dφ

=

∫ t+1

t

E[AuAu−τ ]du

=

∫ 1

0

E[A0Au−τ ]du.


Preuves

τ ≤ −1

∫ 1

0

E[A0Au−τ ]du =

∫ 1

0

E[A0]E[Au−τ ]du

= p2.

−1 ≥ τ ≥ 0

∫ 1

0

E[A0Au−τ ]du =

∫ 1+τ

0

pdu+

∫ 1

1+τ

p2du

= p(1 + τ)− p2τ.





E[Y (t)Y (t− τ)] = p2 + (p− p2)Λ1(τ)


Généralisation

X(t) = At/T , Y (t) = X(t+ φ)



E[Y (t)Y (t− τ)] = p2 + (p− p2)ΛT (τ).


sY (f) = p2δ(f) + (p− p2)T sinc2(πTf)

Bande passante : B = 2T (si T ց, le débit ր et B ր)


Signal Biphase

Formes d’onde

m1(t) = 2ΠT/2

(t−

T

4

)− 1, m0(t) = −m1(t)

Moyenne : E[X(t)] = 0


E[X(t)X(t− τ)] = R1(τ) + R2(τ)

avec R1(τ) =∑

k∈Zm(τ − kT ) périodique, R2(τ) desupport [−T,+T ], et

m(t) = 2(2p− 1)2ΛT/2(τ)− (2p− 1)2ΠT (τ)


Signal Biphase


sX(f) = s1(f) + s2(f)

avec s1(f) spectre de raies

s1(f) =∑

k∈Z

M

(k

T

)δ

(f −

k

T

)

et s2(f) spectre continu

s2(f) = [1− (2p− 1)2]sin4

(πTf2

)

(πTf2

)2


Remarques

Fonction M

M

(2k

T

)= 0

M

(2k + 1

T

)=

4

π2(2p− 1)2

(2k + 1)2

pour k ∈ Z.☞ récupération de l’horloge


Traitement du signal

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