traitement de signal numérique

Professeur :Dr El Hithmy Mohammed Année universitaire 2008-2009

Université mohammed IFaculté des Sciences OujdaDépartement de physique

Oujda

Année universitaire 2008-2009ESCOM 1ère AnnéeMai 2009

Etudiants : ALLA MimounELOTMANI SaberGAAMOUCHE RajaGUIRI Mohammed

Travaux Pratiques : de Traitement de Signal NumériqueTravaux Pratiques Série 1 : Signal numérique, théorème d’échantillonnage, FFT de signaux numériques.

Objectifs de la série :Mettre en œuvre de façon concrète, les acquis théoriques de traitement de signal numérique, en particulier ceux en relation avec les caractères d’un signal numérique, le théorème d’échantillonnage, et la « FFT » (Transformée de Fourier Rapide)

Travail pratique N° 1 : Echantillonnage d’un signal sinusoïdal :

1.1 Effet de la fréquence de l’échantillonnage sur la FFT d’un signal sinusoïdal :Nous avons étudié, par visualisation sur Matlab, l’effet de la fréquence de l’échantillonnage sur la Transformée de Fourier Rapide d’un signal donné.Le signal à échantillonner est défini par : y(t) = sin(2πft).Nous avons entré d’abord sur Matlab, le script suivant :Script N°1 :

(1)fs=200;(2)t=0:1/fs:1;(3)f1=50;(4)y=sin(2*pi*f1*t);(5)plot (t,y);(6)figure ;(7)Stem (t,y);

Interprétation de quelques commandes :Les commandes suivantes on pour significations :* (2)t=0:1/fs:1 Définition de la marge de variation de 0 à 1

avec un pas de fs-1 (200 valeurs de 0 ; avec

un pas de 5ms).(3)f1=50 Définition de la fréquence de y(t).(4)y=sin(f1*t) Définition de y(t) : signal à étudier.(5)plot (t,y) Remplie une matrice de y= f(t)et dessine

y(t) non échantillonné.(6)figure Crée une nouvelle fenêtre de figure.(7)Stem (t,y) Trace le signal y=f(t)échantillonné.

TP série N°1 : de traitement de signal numérique. 1


Essai :Nous avons enregistré ce script sous « sinus1 » et l’avons exécuté. Après avoir modifié la ligne (2) comme suit : « (2)t=0:1/fs:1; » dans le but d’avoir des figures plus claires, les figures rendues par Matlab sont les suivantes :

Signal y(t) non échantillonné Signal y(t) échantillonné à 200HzInterprétation du résultat :Sur la courbe de gauche, le signal dit « réel » est très lisse mais il ressemble plus à un signal triangulaire qu’à un signal sinusoïdal : ceci est du au pas d’affichage de y(t) qui est

qui est un pas d’affichage très grand pour une période de , ce

qui ne permet pas d’afficher toutes les valeurs de y(t).Sur la gauche, nous remarquons que nous avons une série de valeurs de y(t) échantillonnée, jointes les unes aux autres, dans le but de former une sinusoïde, mais en fait ce ne sont que

quelques « bâtonnets » : ceci est du à la période d’échantillonnage qui est

très grande devant la période par rapport à ce qui est requis pour la fréquence

du signal étudié.Autres essais :

Nous avons remplacé la première ligne du script par : (1)fs=1000;et puis par (1)fs=2000; et nous avons obtenu les résultats suivants :

Pour une fréquence d’échantillonnage de 1000Hz

Signal y(t) non échantillonné Signal y(t) échantillonné à 1000Hz



En multipliant par cinq la fréquence d’échantillonnage du départ fs=200 Hz x 5 =1000 Hz, l’affichage du signal s’améliore beaucoup, on aperçoit qu’il prend une allure affirmée d’une sinusoïde.Quant au signal échantillonné, la juxtaposition prend l’apparence d’une sinusoïde.

Pour une fréquence d’échantillonnage de 2000Hz

Signal y(t) non échantillonné Signal y(t) échantillonné à 1000HzEn multipliant par dix (2000 Hz) la fréquence d’échantillonnage, l’affichage du signal d’origine ne s’améliore pas beaucoup, l’allure de la sinusoïde est presque la même que celle pour fs = 1000 Hz.Quant au signal échantillonné, la juxtaposition est beaucoup plus serrée et prend l’apparence d’une sinusoïde plus claire que celle donnée par une fréquence d’échantillonnage de 1000 Hz.Conclusion :Le pas d’affichage d’un signal doit être très petit pour un affichage clair, mais pas trop car le gain en clarté n’est pas très important, surtout si on doit le payer en mémoire et temps de traitement.Quant au signal échantillonné, la fréquence d’échantillonnage doit être au moins deux fois celle du signal concerné (théorème de Shannon). Plus elle est grande, mieux le signal est représenté par sa Transformée de Fourier Rapide (FFT).

1.2 Somme de deux sinusoïdes à des fréquences différentes et échantillonnées à la même la fréquence :Nous avons étudié, par visualisation sur Matlab, le résultat de la somme de deux signaux sinusoïdaux échantillonnés à la même la fréquence de l’échantillonnage.Les signaux à échantillonner sont définis par : y1(t) = sin(2πf1t) et = sin(2πf2t) leur somme et y(t)= . y1(t)+ y2(t).Nous avons entré d’abord sur Matlab, le script suivant :Script N°1 :

(1) fs=4000;(2) t=0:1/fs:0.05;(3) f1=80;(4) f2=120;(5) y1=2*sin(2*pi*f1*t);(6) y2=2*sin(2*pi*f2*t);(7) y=y1+y2;(8) plot(t,y);(9) figure ;(10) stem(t,y);



Essai :Nous avons enregistré ce script sous « sinus2 » et l’avons exécuté. Après avoir modifié la ligne (2) t=0:1/fs:1;comme suit : « (2) t=0:1/fs:0.05; » dans le but d’avoir des figures plus claires, et avoir au moins deux périodes du signal résultant afin d’estimer sa périodicité : les figures rendues par Matlab sont les suivantes :

Signal y(t) non échantillonné Signal y(t) échantillonné à 200HzInterprétation du résultat :Le signal résultant est un signal ressemblant à une sinusoïde disloquée : caractéristique d’une somme de deux sinusoïdes de fréquences différentes et voisines.La représentation du signal résultant est parfaite (fréquence d’échantillonnage = 4000 Hz est très grande devant le double des fréquences composantes f1= 80 et f2=120Hz).Cette bonne représentation du signal est tributaire à la haute fréquence d’échantillonnage qui est largement supérieur même à la fréquence de la plus haute composante du signal (f2=120Hz) respectant ainsi le théorème de Shannon.La fréquence du signal résultant étant de 39,215 Hz : 4000 Hz>>2x 39,215 Hz =78,43 Hz.Conclusion :Le théorème de Shannon reste valable pour des signaux périodiques non sinusoïdaux.

Travail pratique N° 2 : la FFT d’un signal numérique de longueur N :

Nous avons étudié le signal y(t)=2sin(2πf1t)+5sin(2πf2t) échantillonné à la fréquence fs

2.1 La Transformée de Fourier analogique du signal composé :La Transformée de Fourier analogique du signal de y(t) se compose des Transformées de Fourier analogiques de ces deux composantes à savoir y1(t)=2sin(2πf1t) et y2(t)=5sin(2πf2t), et ceci par la linéarité de la transformée de Fourier :

TF(a x f(t)+b x g(t))= a x TF(f(t)+b x TF(g(t).TF(y(t))= TF(y1(t)+ TF(y2(t))=2 x TF(sin(2πf1t))+5 x TF(sin(2πf2t)).

Les deux signaux se résument à une fonction de sin(2πf0t) qui a pour Transformée de Fourier:

La T.F. de y(t) serait donc égale : TF(y(t))= 2*TF(sin(2πf1t))+5*TF(sin(2πf2t))



;

2.2 Conditions pour appliquer le théorème de ShannonNous avons donc les deux conditions pour appliquer le théorème de Shannon respectées :1ère condition : le signal y(t) est à spectre à support borné [Y(f) =0 pour ] ;2ère condition : la fréquence d’échantillonnage est très supérieure au double de la fréquence du signal : fs>>(f+fmax).

N est le nombre d’échantillons de y(t), n = 0,1,2,…,N-1, on a: .

2.3 Script :Nous avons introduit dans un fichier Matlab le script suivant :Script N°2 :

(1) fs=4000;(2) t=0:1/fs:0.05;(3) f1=80;(4) f2=120;(5) y1=2*sin(2*pi*f1*t);(6) y2=5*sin(2*pi*f2*t);(7) y=y1+y2;(8) plot(t,y);(9) figure(10) stem(t,y);(11) spect=abs(fft(y))/fs;(12) N=length(t);(13) if mod(N,2)==1(14) N=N-1(15) T=t(1:N);(16) end(17) freq=(0:N-1)*fs/N;(18) figure;(19) plot(freq(1:N/18),spect(1:N/18));

Nous avons enregistré ce fichier sous le nom de « ffts2 » et a rendu les figures suivantes :

Signal y(t) non échantillonné Signal y(t) échantillonné à 200HzInterprétation du résultat :


Le spectre du signal montrant les deux composantes (fréquences et amplitudes)

(2)t=0:1/fs:0.6;(19)plot(freq(1:N/20),spect(1:N/20));


Le signal original à droite est reproduit échantillonné à gauche. La FTT du signal échantillonné montre la reproduction des composantes f1 et f2 avec leurs fréquences et amplitudes respectives.Conclusion :L’échantillonnage permet de représenter assez fidèlement les signaux.

Travail pratique N° 3 : Reconstruction d’un signal analogique à partir d’échantillons le représentant :

Le signal à étudier est défini par : : y(t) = sin(2πft). Il a été échantillonné à une fréquence fs.En utilisant le théorème d’interpolation de Shannon qui donne la formule de reconstruction

comme suit : ; avec t=nTs alors f(t)=f(nTs).

On a opté pour un échantillonnage uniforme et les deux conditions de Shannon satisfaites, ce qui rend cette formule valide, et on s’attend à ce que le signal reconstruit s’identifie au signal d’origine.

On a d’abord, pris des échantillons de sur un intervalle de temps de 0 à 6, et pour la

reconstruction du signal, nous avions considéré trente valeurs régulièrement espacées de

entre deux échantillons successifs.

Script N°3 :(1) fs=input('donner la fréquence d''échantillonnage fs');(2) ts=1/fs;(3) t=0:1/fs:6;(4) N=length(t);(5) f=input('donner la fréquence du signal f');(6) y=sin(2*pi*f*t);(7) plot(t,y);(8) t1=0:1/(30*fs):6;(9) N1=length(t1);(10) for i=1:N1, y1(i)=0,end(11) for j=1:N , if((t1(i)-(j*ts))==0) y1(i)=y(j);(12) break;(13) else

y1(i)=y1(i)+(y1(j)*((sin((pi*(t1(i)-(j*ts)))/ts))/((pi*(t1(i)-(j*ts)))/ts)));

(14) end ;(15) plot(t1,y1);

Interprétation du résultat :Nous avons enregistré ce script sous Matlab avec comme nom :”echs1”, et son exécution a généré suivants les valeurs de fs et de f les figures suivantes :



Cas où la fréquence d’échantillonnage est très grande devant le double de la plus grande fréquence composante du signal.

fs= 40 >>2xf=2x2=4 (10 fois plus).

fs= 400 >>2xf=2x2=4 (100 fois plus).

Nous remarquons que le signal a été bien reconstitué à partir de ses échantillons puisque fs>>2 x f.Ce qui vérifie le théorème de Shannon.



Cas où la fréquence d’échantillonnage est juste un peu grande devant le double de la plus grande fréquence composante du signal.

fs=5 et f=2 (fs>2 x f =2 x 2 =4)

fs=9 et f=2 (fs>2 x f =2 x 2 =4)Nous constatons des distorsions remarquables dans le signal résultant, les échantillons n’ont pas reconstitué le signal original pour fs peu grande devant 2 x f.



Cas où la fréquence d’échantillonnage est inférieure devant le double de la plus grande fréquence composante du signal.

fs=3 et f=2 2 (fs<2 x f =2 x 2 =4)

fs=6 et f=4 2 (fs<2 x f =2 x 2 =4)Nous remarquons des distorsions notables, le signal reconstitué n’est plus que proche d’un signal triangulaire et n’a rien de la forme sinusoïdale d’origine.Conclusion :Les échantillons d’un signal permettent de reconstituer assez fidèlement les signaux, à conditions qu’ils soient en nombre suffisant.


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