traitement de signal numérique

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Professeur :Dr El Hithmy Mohammed Année universitaire 2008-2009 Université mohammed I Faculté des Sciences Oujda Département de physique Oujda Année universitaire 2008-2009 ESCOM 1 ère Année Mai 2009 Etudiants : ALLA Mimoun ELOTMANI Saber GAAMOUCHE Raja GUIRI Mohammed Travaux Pratiques : de Traitement de Signal Numérique Travaux Pratiques Série 1 : Signal numérique, théorème d’échantillonnage, FFT de signaux numériques. Objectifs de la série : Mettre en œuvre de façon concrète, les acquis théoriques de traitement de signal numérique, en particulier ceux en relation avec les caractères d’un signal numérique, le théorème d’échantillonnage, et la « FFT » (Transformée de Fourier Rapide) Travail pratique N° 1 : Echantillonnage d’un signal sinusoïdal : 1.1 Effet de la fréquence de l’échantillonnage sur la FFT d’un signal sinusoïdal : Nous avons étudié, par visualisation sur Matlab, l’effet de la fréquence de l’échantillonnage sur la Transformée de Fourier Rapide d’un signal donné. Le signal à échantillonner est défini par : y(t) = sin(2πft). Nous avons entré d’abord sur Matlab, le script suivant : Script N°1 : (1)fs=200; (2)t=0:1/fs:1; (3)f1=50; (4)y=sin(2*pi*f1*t); (5)plot (t,y); (6)figure ; (7)Stem (t,y); TP série N°1 : de traitement de signal numérique. 1

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Professeur :Dr El Hithmy Mohammed

Anne universitaire 2008-2009

Universit mohammed I Facult des Sciences Oujda Dpartement de physique Oujda Etudiants :

Anne universitaire 2008-2009 ESCOM 1re Anne Mai 2009

ALLA Mimoun ELOTMANI Saber GAAMOUCHE Raja GUIRI Mohammed Travaux Pratiques : de Traitement de Signal Numrique Travaux Pratiques Srie 1 : Signal numrique, thorme dchantillonnage, FFT de signaux numriques.

Objectifs de la srie :Mettre en uvre de faon concrte, les acquis thoriques de traitement de signal numrique, en particulier ceux en relation avec les caractres dun signal numrique, le thorme dchantillonnage, et la FFT (Transforme de Fourier Rapide)

Travail pratique N 1 : Echantillonnage dun signal sinusodal :1.1 Effet de la frquence de lchantillonnage sur la FFT dun signal sinusodal :Nous avons tudi, par visualisation sur Matlab, leffet de la frquence de lchantillonnage sur la Transforme de Fourier Rapide dun signal donn. Le signal chantillonner est dfini par : y(t) = sin(2ft). Nous avons entr dabord sur Matlab, le script suivant : Script N1 : (1)fs=200; (2)t=0:1/fs:1; (3)f1=50; (4)y=sin(2*pi*f1*t); (5)plot (t,y); (6)figure ; (7)Stem (t,y); Interprtation de quelques commandes : Les commandes suivantes on pour significations :* (2)t=0:1/fs:1 Dfinition de la marge de variation de 0 1 avec un pas de fs-1 (200 valeurs de 0 ; avec un pas de 5ms). (3)f1=50 Dfinition de la frquence de y(t). (4)y=sin(f1*t) Dfinition de y(t) : signal tudier. (5)plot (t,y) Remplie une matrice de y= f(t)et dessine y(t) non chantillonn. (6)figure Cre une nouvelle fentre de figure. (7)Stem (t,y) Trace le signal y=f(t)chantillonn.

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Essai : Nous avons enregistr ce script sous sinus1 et lavons excut. Aprs avoir modifi la ligne (2) comme suit : (2)t=0:1/fs:1; dans le but davoir des figures plus claires, les figures rendues par Matlab sont les suivantes :

Signal y(t) chantillonn 200Hz Signal y(t) non chantillonn Interprtation du rsultat : Sur la courbe de gauche, le signal dit rel est trs lisse mais il ressemble plus un signal triangulaire qu un signal sinusodal : ceci est du au pas daffichage de y(t) qui est 1 1 1 1 = = 5ms qui est un pas daffichage trs grand pour une priode de = = 20ms , Fs 200 F1 50 ce qui ne permet pas dafficher toutes les valeurs de y(t). Sur la gauche, nous remarquons que nous avons une srie de valeurs de y(t) chantillonne, jointes les unes aux autres, dans le but de former une sinusode, mais en fait ce ne sont que 1 1 = = 5ms qui est quelques btonnets : ceci est du la priode dchantillonnage Fs 200 1 1 = = 20ms par rapport ce qui est requis pour la trs grande devant la priode F1 50 frquence du signal tudi. Autres essais : Nous avons remplac la premire ligne du script par : (1)fs=1000;et puis par (1)fs=2000; et nous avons obtenu les rsultats suivants : Pour une frquence dchantillonnage de 1000Hz

Signal y(t) non chantillonn

Signal y(t) chantillonn 1000Hz

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En multipliant par cinq la frquence dchantillonnage du dpart fs=200 Hz x 5 =1000 Hz, laffichage du signal samliore beaucoup, on aperoit quil prend une allure affirme dune sinusode. Quant au signal chantillonn, la juxtaposition prend lapparence dune sinusode. Pour une frquence dchantillonnage de 2000Hz

Signal y(t) non chantillonn Signal y(t) chantillonn 1000Hz En multipliant par dix (2000 Hz) la frquence dchantillonnage, laffichage du signal dorigine ne samliore pas beaucoup, lallure de la sinusode est presque la mme que celle pour fs = 1000 Hz. Quant au signal chantillonn, la juxtaposition est beaucoup plus serre et prend lapparence dune sinusode plus claire que celle donne par une frquence dchantillonnage de 1000 Hz. Conclusion : Le pas daffichage dun signal doit tre trs petit pour un affichage clair, mais pas trop car le gain en clart nest pas trs important, surtout si on doit le payer en mmoire et temps de traitement. Quant au signal chantillonn, la frquence dchantillonnage doit tre au moins deux fois celle du signal concern (thorme de Shannon). Plus elle est grande, mieux le signal est reprsent par sa Transforme de Fourier Rapide (FFT).

1.2 Somme de deux sinusodes des frquences diffrentes et chantillonnes la mme la frquence :Nous avons tudi, par visualisation sur Matlab, le rsultat de la somme de deux signaux sinusodaux chantillonns la mme la frquence de lchantillonnage. Les signaux chantillonner sont dfinis par : y1(t) = sin(2f1t) et = sin(2f2t) leur somme et y(t)= . y1(t)+ y2(t). Nous avons entr dabord sur Matlab, le script suivant : Script N1 : (1) fs=4000; (2) t=0:1/fs:0.05; (3) f1=80; (4) f2=120; (5) y1=2*sin(2*pi*f1*t); (6) y2=2*sin(2*pi*f2*t); (7) y=y1+y2; (8) plot(t,y); (9) figure ; (10) stem(t,y);

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Essai : Nous avons enregistr ce script sous sinus2 et lavons excut. Aprs avoir modifi la ligne (2) t=0:1/fs:1;comme suit : (2) t=0:1/fs:0.05; dans le but davoir des figures plus claires, et avoir au moins deux priodes du signal rsultant afin destimer sa priodicit : les figures rendues par Matlab sont les suivantes :

Signal y(t) non chantillonn Signal y(t) chantillonn 200Hz Interprtation du rsultat : Le signal rsultant est un signal ressemblant une sinusode disloque : caractristique dune somme de deux sinusodes de frquences diffrentes et voisines. La reprsentation du signal rsultant est parfaite (frquence dchantillonnage = 4000 Hz est trs grande devant le double des frquences composantes f1= 80 et f2=120Hz). Cette bonne reprsentation du signal est tributaire la haute frquence dchantillonnage qui est largement suprieur mme la frquence de la plus haute composante du signal (f2=120Hz) respectant ainsi le thorme de Shannon. La frquence du signal rsultant tant de 39,215 Hz : 4000 Hz>>2x 39,215 Hz =78,43 Hz. Conclusion : Le thorme de Shannon reste valable pour des signaux priodiques non sinusodaux.

Travail pratique N 2 : la FFT dun signal numrique de longueur N :Nous avons tudi le signal y(t)=2sin(2f1t)+5sin(2f2t) chantillonn la frquence fs

2.1 La Transforme de Fourier analogique du signal compos :La Transforme de Fourier analogique du signal de y(t) se compose des Transformes de Fourier analogiques de ces deux composantes savoir y1(t)=2sin(2f1t) et y2(t)=5sin(2f2t), et ceci par la linarit de la transforme de Fourier : TF(a x f(t)+b x g(t))= a x TF(f(t)+b x TF(g(t). TF(y(t))= TF(y1(t)+ TF(y2(t))=2 x TF(sin(2f1t))+5 x TF(sin(2f2t)). Les deux signaux se rsument une fonction de sin(2f0t) qui a pour Transforme de Fourier: j [ ( f + f 0 ) ( f f 0 )] 2

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La T.F. de y(t) serait donc gale : TF(y(t))= 2*TF(sin(2f1t))+5*TF(sin(2f2t)) j j TF(y(t)) = 2 [ ( f + f 1 ) ( f f 1 )] + 5 [ ( f + f 2 ) ( f f 2 )] ; 2 2 5 TF(y(t)) = j [ ( f + f 1 ) ( f f 1 )] + j [ ( f + f 2 ) ( f f 2 )] 2

2.2 Conditions pour appliquer le thorme de ShannonNous avons donc les deux conditions pour appliquer le thorme de Shannon respectes : 1re condition : le signal y(t) est spectre support born [Y(f) =0 pour f > f max = f + f 2 ] ; 2re condition : la frquence dchantillonnage est trs suprieure au double de la frquence du signal : fs>>(f+fmax). f N est le nombre dchantillons de y(t), n = 0,1,2,,N-1, on a: X a (n s ) = Ts X (n) . N

2.3 Script :Nous avons introduit dans un fichier Matlab le script suivant : Script N2 : (1) fs=4000; (2) t=0:1/fs:0.05; (3) f1=80; (4) f2=120; (5) y1=2*sin(2*pi*f1*t); (6) y2=5*sin(2*pi*f2*t); (7) y=y1+y2; (8) plot(t,y); (9) figure (10) stem(t,y); (11) spect=abs(fft(y))/fs; (12) N=length(t); (13) if mod(N,2)==1 (14) N=N-1 (15) T=t(1:N); Le spectre du signal montrant les deux (16) end composantes (frquences et amplitudes) (17) freq=(0:N-1)*fs/N; (2)t=0:1/fs:0.6; (19)plot(freq(1:N/20),spect(1:N/20)) (18) figure; ; (19) plot(freq(1:N/18),spect(1:N/18)); Nous avons enregistr ce fichier sous le nom de ffts2 et a rendu les figures suivantes :

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Signal y(t) chantillonn 200Hz

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Interprtation du rsultat : Le signal original droite est reproduit chantillonn gauche. La FTT du signal chantillonn montre la reproduction des composantes f1 et f2 avec leurs frquences et amplitudes respectives. Conclusion : Lchantillonnage permet de reprsenter assez fidlement les signaux.

Travail pratique N 3 : Reconstruction dun signal analogique partir dchantillons le reprsentant :Le signal tudier est dfini par : : y(t) = sin(2ft). Il a t chantillonn une frquence fs. En utilisant le thorme dinterpolation de Shannon qui donne la formule de reconstruction sin( (t nTs )) + Ts comme suit : f (t ) = f (nTs ) ; avec t=nTs alors f(t)=f(nTs). n = (t nTs ) Ts On a opt pour un chantillonnage uniforme et les deux conditions de Shannon satisfaites, ce qui rend cette formule valide, et on sattend ce que le signal reconstruit sidentifie au signal dorigine. 1 = Ts sur un intervalle de temps de 0 6, et pour la On a dabord, pris des chantillons de fs reconstruction du signal, nous avions considr trente valeurs rgulirement espaces de 1 entre deux chantillons successifs. 30 fs Script N3 : (1) fs=input('donner la frquence d''chantillonnage fs'); (2) ts=1/fs; (3) t=0:1/fs:6; (4) N=length(t); (5) f=input('donner la frquence du signal f'); (6) y=sin(2*pi*f*t); (7) plot(t,y); (8) t1=0:1/(30*fs):6; (9) N1=length(t1); (10) for i=1:N1, y1(i)=0,end (11) for j=1:N , if((t1(i)-(j*ts))==0) y1(i)=y(j); (12) break; (13) else y1(i)=y1(i)+(y1(j)*((sin((pi*(t1(i)(j*ts)))/ts))/((pi*(t1(i)-(j*ts)))/ts))); (14) end ; (15) plot(t1,y1); Interprtation du rsultat : Nous avons enregistr ce script sous Matlab avec comme nom :echs1, et son excution a gnr suivants les valeurs de fs et de f les figures suivantes :

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Cas o la frquence dchantillonnage est trs grande devant le double de la plus grande frquence composante du signal.

fs= 40 >>2xf=2x2=4 (10 fois plus).

fs= 400 >>2xf=2x2=4 (100 fois plus).Nous remarquons que le signal a t bien reconstitu partir de ses chantillons puisque fs>>2 x f.

Ce qui vrifie le thorme de Shannon.

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Cas o la frquence dchantillonnage est juste un peu grande devant le double de la plus grande frquence composante du signal.

fs=5 et f=2 (fs>2 x f =2 x 2 =4)

fs=9 et f=2 (fs>2 x f =2 x 2 =4) Nous constatons des distorsions remarquables dans le signal rsultant, les chantillons nont pas reconstitu le signal original pour fs peu grande devant 2 x f.

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Cas o la frquence dchantillonnage est infrieure devant le double de la plus grande frquence composante du signal.

fs=3 et f=2 2 (fs