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-
Signal
lectrique
Traitement du signal
Tlcommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, ) Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation cho, Analyse, Synthse, ) Mdical (chographie, Imagerie, Biosignaux, ) Radar, gophysique, Acoustique (sous-marine)
Grandeur
physique
Milieu de
transmissionCapteur
Bruit
Traitement du
signal
Information
-
Signaux et systmes
Les signaux :- Dterministes
- Impulsionnels
- Priodiques
- Alatoires : bruits (bruit blanc), donnes, information,
Les systmes : Linaires Invariant dans le Temps (SLIT) : canaux de transmission,
composants lectroniques passifs (R,L,C), filtres analogiques et numriques,
rgis par l'opration de convolution ayant les signaux sinusodaux comme fonctions propres
Fonction de transfert et analyse de Fourrier
Non linaires ou non stationnaires : non linarits (saturation),
-
Traitement Numrique du Signal
Numrisation : double discrtisationDiscrtisation temporelle : EchantillonnageDiscrtisation numrique : Quantification
-
Plan du coursIntroduction
Rappels Systmes linaires invariants dans le temps Analyse de Fourier
Echantillonnage Thorme de l'chantillonnage Bruit de quantification
Transforme de Fourier Discrte (TFD) Transforme de Fourier Discrte Rapide : FFT (Fast Fourier Transform)
Filtrage numrique Filtre Rponse Impulsionnelle Finie (RIF) Filtre Rponse Impulsionnelle Infinie (RII) Transforme en Z
-
Plan du cours
Introduction Classification des signaux et des systmes Chane de traitement du signal numrique
Rappels Systmes Linaires Invariants dans le Temps (SLIT) - Convolution - Fonctions propres Analyse de Fourier Srie de Fourier Transforme de Fourier - Parseval
Echantillonnage Spectre d'un signal chantillonn - Transforme de Fourier d'un signal chantillonn Thorme de l'chantillonnage Reconstruction Interpolation - Surchantillonnage. Bruit de quantification - Facteur de crte
Transforme de Fourier Discrte (TFD) Priodisation temporelle Echantillonnage frquentiel - Fentrage Transforme de Fourier Discrte Rapide : FFT (Fast Fourier Transform) - Fonctions Matlab Filtrage dans le domaine frquentiel, filtrage 2D OFDM (vocation)
Filtres numriques SLIT temps discret Rponse impulsionnelle - Convolution discrte Rponse en frquence Fonction filtrage Filtre Rponse Impulsionnelle Finie (RIF) - Filtre phase linaire (retard) Filtre de Hilbert Phase minimale Synthse par la mthode directe Phnomne de Gibbs Fentrage - Synthse par TFD Fonctions Matlab Filtre RIF ondulations rparties Nb de coefficients - Algorithme de Remez (vocation) Fonctions Matlab Filtre Rponse Impulsionnelle Infinie (RII) Equations aux diffrences Rponse impulsionnelle Stabilit Transforme en Z Factorisation - Stabilit de la cellule rcursive du premier ordre Stabilit d'un filtre RII Ples et Zros - Interprtation gomtrique Synthse Fonctions modles Transforme bilinaire - Filtres Elliptiques Gabarit Ordre tude de la cellule du premier ordre Application l'estimation Mise en uvre en virgule fixe tude de la cellule du second ordre Rsonance Rponse impulsionnelle - Dcomposition en lments simples Cellule du second ordre gnrale - Filtre rjecteur Dphaseur pur Mise en uvre en virgule fixe Structure cascade Quantification des coefficients Bruit de calcul - Nb de bits Rgles
Applications Filtrage multicadence Bancs de filtres Transformation IQ
-
Rfrences
Les livres : Traitement numrique du signal, Maurice BELLANGER (Dunod) ; Mthodes et techniques de traitement du signal, J.MAX (Masson) ; Traitement numrique des signaux, M.KUNT (Dunod) ; Digital signal processing, J. G. Proakis, D. G. Manolakis, (Prentice Hall)
Sur Internet : Wikipdia : site en pleine progression Luc Vandendorpe : http://www.tele.ucl.ac.be/EDU/ELEC2900/tout_2900b.pdf Jol Le Roux : http://users.polytech.unice.fr/~leroux/
Exercices, Devoirs surveills et documents de cours : http://luc.fety.free.fr http://luc.fety.free.fr/ELE102 http://luc.fety.free.fr/ftp/
-
Systmes linaires invariants dans le temps
Linarit :
Invariance temporelle :
Exemples : canaux de transmission, systmes optiques, filtrage,
)(tx SLIT )(ty
)(1 tx )(1 ty
)(2 tx )(2 ty
)()( 2211 txtx + )()( 2211 tyty +
)(tx )(ty
)( tx )( ty
Principede
superposition
Stationnarit
-
Convolution
Rponse impulsionnelle :
Un signal quelconque peut tre exprim comme une somme d'impulsions :
En vertu de la linarit et de l'invariance temporelle :
Cette opration s'appelle le produit de convolution :
)(t SLIT )(th
dtxtx )()()( = +
dthxty )()()( = +
)()()( thtxty =
-
Proprits du produit de convolution
Le produit de convolution est commutatif :
associatif :
distributif :
L'lment neutre est l'impulsion de Dirac :
La convolution par opre une translation de :
valuation graphique :
(Wikipedia)
)()()()( xfxgxgxf =)())()(())()(()( xhxgxfxhxgxf =
)()()()())()(()( xhxfxgxfxhxgxf +=+
)()()()()( xfduuxfuxxf == +
)()()()()( axfduuxfauaxxf == +
)( ax a
duuxgufxgxf )()()()( = +
-
Fonctions propres
Fonctions telles que
Proposition :
)()()( txdtxh =+
)(tx )()()( txthtx =
atetx =)( )()( )( txeeeetx aatata ===
44 344 21
dehedeh aatta +
+
= )()()(
-
Exprimer le signal d'entre comme une somme de fonctions propres :
ou
Pour dterminer plus facilement le signal de sortie :
ou
est appele " Transforme de ". est appele " Fonction de Transfert ".
Base de fonctions propres
=a
ateaXtx )()( = aatdaeaXtx )()(
=a
at
aY
eaXaty43421
)(
)()()( = aat
aY
daeaXaty43421
)(
)()()(
)(tx )(tySLIT
)(aX )(tx
)(a )()()( aXaaY =
-
Diffrentes transformes :
Laplace :
Fourier :
En Z dans le cas des signaux chantillonns,
jpa +== = ppt dpepXtx )()(
fja 2= +
= dfefXtx ft2)()(
-
Exemple de dcomposition
tftx 02cos)( = ?)( =tySLIT
tfjtfj eetx 00 222
1
2
1)( +=
SLIT
SLIT
+
tfje 022
1
tfje 022
1
tfjfH e 02
21
)0(
tfjfH e 02
21
)0(
))0(02cos()0()( ftffHty +=
*)0()0( fHfHsi =
-
Exemple de SLIT
)(tx +
)()()( += txtxty
)1()(
22)(222
0
0000043421
fH
fjtfjtfjtfjtfj eeeee +=+
)1()(
22)(222
0
0000043421
fH
fjtfjtfjtfjtfj eeeee
+ +=+
tfjefHtfjefHtytfjetfjetftx 00000002)(
212)(
21)(2
212
212cos)( +=+==
000000000 cos2)(cos2)()(fj
effHetfj
effj
efj
efj
efH+==++=
)2cos(cos2)2(21)2(
21cos2)( 00000000
ftffftfjeftfjefty =
++=
-
Ce qu'il faut retenir
Les traitements des signaux sont le plus souvent des Systmes Linaires Invariants dans le Temps.
Ils sont rgis par le produit de convolution :
est la rponse impulsionnelle du systme. Elle caractrise entirement le systme.
Les transformes de Laplace et de Fourier sont trs utilises pour l'tude des SLIT car elles sontbases sur des fonctions propres des SLIT de la forme .
Elles transforment le produit de convolution en produit simple.
)(tx )(tySLIT
dthxthtxty )()()()()( == +
)(th
ate
-
Traitement Numrique du Signal
Le traitement numrique des signaux requiert leur numrisation :
1) Les calculateurs sont des systmes discrets : Ils peuvent tout au plus mmoriser et calculer les valeurs des signaux des instants dnombrables. Il faut donc oprer une discrtisation temporelle :
L'Echantillonnage
2) Les mmoires disponibles dans les calculateurs sont elles-mmes constitues d'un nombre fini de bits : Elles peuvent tout au plus mmoriser des valeurs arrondies des chantillons des signaux. il s'agit d'une discrtisation numrique :
La Quantification
-
L'Echantillonnage
L'chantillonnage d'un signal consiste mesurer et ne conserver que ses valeurs des instantsparticuliers :
Le signal obtenu est un signal discret :
est l'indice (ou indexe) des chantillons.
est le symbole de Kronecker :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
{ }LL 9.06.06.09.009.0)()( ==
nTexnx A
)(nx
)(txA
+
=
=i
niixnx )()()(
)(n
=
=01
00)(
nsi
nsin
Nn
TeefTe
=1
: Priode d'chantillonnageTe
: Frquence d'chantillonnageef
-
Reconstruction
Problme : Plusieurs signaux prsentent les mmes chantillons :
Il faut certainement complter l'information contenue dans les chantillons pardes hypothses supplmentaires.
Solution retenue : Hypothses dans le domaine spectral
Le thorme d'chantillonnage
dthxthtxty )()()()()( == +
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
-
Spectre d'un signal chantillonn
Considrons l'expression analogique du signal numrique :
Peut-on exprimer comme une somme de sinusodes ?
ou peut-tre
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1 )(txA
)(txN
)(txN
)(txN
=f
ftjfN eatx
2)( = fftj
fN dfeatx2)(
-
Spectre d'un signal chantillonn
Les signaux prsentent tous les mmes chantillons :tkftxtx eAk 2cos)()( =
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
tfe2cos
tftx eA 2cos)(
tfe4cos
tftx eA 4cos)(
)(txA
)(txA
-
Spectre d'un signal chantillonn
Si nous faisons la somme de ces signaux : = +
+K
k ee
eAA
tekfjtekfj
tkftxtx1 22
2cos2)()(43421
1=K
2=K
3=K
4=K
5=K
)(txA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-101
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-202
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10
010
Nous obtenons un signal constitu d'impulsions approchant .)(txN
-
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Spectre d'un signal chantillonn100=K
8.8 8.9 9 9.1 9.2
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
10001000=K
+=
=1
2cos2)()()(k
eAAN tkftxtxfetx
=
=n
AN nTetnTextx )()()(
)( txN
)()(2
2
nTexdttx AnTe
nTeN
Te
Te
+
=
=k
tkfjAN
eetxfetx 2)()(
-
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 9.4
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Vrification du facteur 1=fe
10=fe
ef
0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
1=Te
1.0=Te
-
Modulation Priodisation
+
=
=k
eAN kffXfefX )()(
=
=k
tkfjAN
eetxfetx 2)()(
)( fX A
f0
)( fX N
f0efef ef2ef2
+
= dfefXtx ftjAA
2)()(
=
+
+
+
=k
dfekffX
tkffjAN
ftjeA
e dfefXfetx4444 34444 21
2)(
)(2)()(
)( eA ffX )2( eA ffX )( eA ffX +)2( eA ffX +
-
Transforme de Fourier de
=
=n
AN nTetnTextx )()()(
=
=n
fnTejAN enTexfX
2)()(
)(txN
+
= dtetxfX ftjNN2)()(
+
+
=
= dtenTetnTexfX ftj
nAN
2)()()(
or
+
=
+
=n
ftjAN dtenTetnTexfX
2)()()(
-
Reconstruction
)()()( fHfXfX NA =
)( fH
f0
)( fX N
f0efef ef2ef2
)( eAe ffXf + )( fXf Ae )2( eAe ffXf + )( eAe ffXf )2( eAe ffXf
)( fX A
f0
2ef
2ef
ef1
+
= 2
2
21 )()(ef
efedfefXtx ftjNfA
-
Formule de Shannon (reconstruction)
+
= 2
2
21 )()(ef
efedfefXtx ftjNfA
+
=
=n
fnTejAN enTexfX
2)()(
+
+
=
= 2
2
221 )()(ef
efedfeenTextx ftj
n
fnTejAfA
+
=
+
=
n
nTetfjfAA
ef
efedfenTextx
2
2
)(21)()(
+
=
=
n
nTetjnTetjnTetjfAA
efef
eeenTextx )(2)(2
)(211 22)()( ( )
+
=
=n
nTetjnTetfj
fAAe
enTextx
)(2)(sin(21)()(
+
=
=n
nTetfnTetf
AAe
enTextx)(
)(sin()()(
or
-
Thorme d'chantillonnage de Nyquist-Shannon
)( fX A
f0
)( fX N
f0efef ef2ef2 2
ef2ef
)( fX A
f0efef ef2ef2 2
ef2ef
maxf
2maxeff < Au moins 2 chantillons par priode
Repliement de spectre
-
=
=n
AN nTetnTextx )()()(
=
=k
tkfjAeN
eetxftx 2)()(
=
=n
AN nTettxtx )()()(
=
=k
tkfjeAN
eeftxtx 2)()(
=
=
=k
tkfje
n
eefnTet 2)(
=
=
=k
een
fnTej kfffe )(2
=
=k
eeAN kffffXfX )()()(
=
=n
fnTejAN efXfX
2)()(TF
TFTF
En dfinitive
=
=k
eAeN kffXffX )()(
=
=n
fnTejAN enTexfX
2)()(
TF TF
-
Pour tre mmoriss, les chantillons de signal doivent tre cods avec un nombre fini de bits. Or, avec bits, il n'est possible de coder que tats. Ds lors, les chantillons qui pouvaient prendre un nombre infini de valeurs doivent tre approxims (quantifis) au plus proche tat cod (tat de quantification).
Quantification
N2N
Exemple : Quantification linaire entre et avec bits A NA+
N
Aq
2
2=
Val
eurs
qua
ntifi
es
Valeurs initiales
tionquantifica de tats 1624 == NN
-1.5A -A -0.5A 0 0.5A A 1.5A-A
-0.5A
0
0.5A
A
-
La quantification des chantillons peut tre interprte comme l'ajout d'un bruit :
Bruit de quantification
{bruit
)()()( nenxnxq +=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-A
-0.5A
0
0.5A
Asignal analogique x(t)chantillons x(n)valeurs quantifies xq(n)erreur e(n)
-
Densit de probabilit du bruit de quantification
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
signal initial x(t)
signal quantifi xq(t)
erreur de quantification e(t)
2q+
2q
Toutes les valeurs sont quiprobables dans cet intervalle.2q+ Lerreur de quantification est comprise entre et2
q
En dfinitive, lorsque le signal varie "normalement" et que N est grand, lerreur de quantification peut tre considre comme un phnomne alatoire dont les chantillons sont quiprobables entre et et sont indpendants.
2q
2q+
)(xfb
x2q 2
q+
q1
)(nrbb
n
bP
n f
)( fPb
2Fe+2Fe
FePb
1)( =+
dxxfb )()( nPnr bbb = bb PdffP
Fe
Fe=
+
2
2
)(
TF
Bruit blanc
-
Puissance du bruit de quantification
)(xfb
x2q 2
q+
q1
1)( =+
dxxfb
[ ] [ ] 22
2
2
33112122 )()(
q
q
q
qxdxxdxxfxnbEP qqbb
+
+
+
==== 12
2qPb = 12
2qPb =
Explications : Imaginons un phnomne dont une priode vaut :
{ }41122211)( =nsLa puissance du phnomne peut tre calcule de la manire suivante :
( ) ( )222222222222 4123148
141122211
8
1)(
1 ++=+++++++== n
nsN
P
Soit encore : et donc :{
{
{
{
{
{2
3
22
32
2
1
1
48
12
8
31
8
4
vp
vp
vp
P ++= =n
kk vpP2
Dans le cas d'une variable continue : +
=
321
xP
dxxfxP )(2
-
Rapport Signal Bruit
Dans le cas d'un signal sinusodal occupant la pleine chelle [ ]AA + ;
( )N
Aq
A
b
x
N
A
P
P
B
S 22
22
2
12
2 22
362
2
====
Soit encore en dB :
44 344 2143421 NdB
NB
S
02.676.1
)2log(2102
3log10 +
=
NB
S
dB
02.676.1 +=
