Traitement du signal 1 - luc.fety.free.frluc.fety.free.fr/ELE102/2010-2011/Traitement du signal...

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Signal électrique Traitement du signal Télécommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, …) Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation écho, Analyse, Synthèse, …) Médical (Échographie, Imagerie, Biosignaux, …) Radar, géophysique, Acoustique (sous-marine) Grandeur physique Milieu de transmission Capteur Bruit Traitement du signal Information

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  • Signal

    lectrique

    Traitement du signal

    Tlcommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, ) Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation cho, Analyse, Synthse, ) Mdical (chographie, Imagerie, Biosignaux, ) Radar, gophysique, Acoustique (sous-marine)

    Grandeur

    physique

    Milieu de

    transmissionCapteur

    Bruit

    Traitement du

    signal

    Information

  • Signaux et systmes

    Les signaux :- Dterministes

    - Impulsionnels

    - Priodiques

    - Alatoires : bruits (bruit blanc), donnes, information,

    Les systmes : Linaires Invariant dans le Temps (SLIT) : canaux de transmission,

    composants lectroniques passifs (R,L,C), filtres analogiques et numriques,

    rgis par l'opration de convolution ayant les signaux sinusodaux comme fonctions propres

    Fonction de transfert et analyse de Fourrier

    Non linaires ou non stationnaires : non linarits (saturation),

  • Traitement Numrique du Signal

    Numrisation : double discrtisationDiscrtisation temporelle : EchantillonnageDiscrtisation numrique : Quantification

  • Plan du coursIntroduction

    Rappels Systmes linaires invariants dans le temps Analyse de Fourier

    Echantillonnage Thorme de l'chantillonnage Bruit de quantification

    Transforme de Fourier Discrte (TFD) Transforme de Fourier Discrte Rapide : FFT (Fast Fourier Transform)

    Filtrage numrique Filtre Rponse Impulsionnelle Finie (RIF) Filtre Rponse Impulsionnelle Infinie (RII) Transforme en Z

  • Plan du cours

    Introduction Classification des signaux et des systmes Chane de traitement du signal numrique

    Rappels Systmes Linaires Invariants dans le Temps (SLIT) - Convolution - Fonctions propres Analyse de Fourier Srie de Fourier Transforme de Fourier - Parseval

    Echantillonnage Spectre d'un signal chantillonn - Transforme de Fourier d'un signal chantillonn Thorme de l'chantillonnage Reconstruction Interpolation - Surchantillonnage. Bruit de quantification - Facteur de crte

    Transforme de Fourier Discrte (TFD) Priodisation temporelle Echantillonnage frquentiel - Fentrage Transforme de Fourier Discrte Rapide : FFT (Fast Fourier Transform) - Fonctions Matlab Filtrage dans le domaine frquentiel, filtrage 2D OFDM (vocation)

    Filtres numriques SLIT temps discret Rponse impulsionnelle - Convolution discrte Rponse en frquence Fonction filtrage Filtre Rponse Impulsionnelle Finie (RIF) - Filtre phase linaire (retard) Filtre de Hilbert Phase minimale Synthse par la mthode directe Phnomne de Gibbs Fentrage - Synthse par TFD Fonctions Matlab Filtre RIF ondulations rparties Nb de coefficients - Algorithme de Remez (vocation) Fonctions Matlab Filtre Rponse Impulsionnelle Infinie (RII) Equations aux diffrences Rponse impulsionnelle Stabilit Transforme en Z Factorisation - Stabilit de la cellule rcursive du premier ordre Stabilit d'un filtre RII Ples et Zros - Interprtation gomtrique Synthse Fonctions modles Transforme bilinaire - Filtres Elliptiques Gabarit Ordre tude de la cellule du premier ordre Application l'estimation Mise en uvre en virgule fixe tude de la cellule du second ordre Rsonance Rponse impulsionnelle - Dcomposition en lments simples Cellule du second ordre gnrale - Filtre rjecteur Dphaseur pur Mise en uvre en virgule fixe Structure cascade Quantification des coefficients Bruit de calcul - Nb de bits Rgles

    Applications Filtrage multicadence Bancs de filtres Transformation IQ

  • Rfrences

    Les livres : Traitement numrique du signal, Maurice BELLANGER (Dunod) ; Mthodes et techniques de traitement du signal, J.MAX (Masson) ; Traitement numrique des signaux, M.KUNT (Dunod) ; Digital signal processing, J. G. Proakis, D. G. Manolakis, (Prentice Hall)

    Sur Internet : Wikipdia : site en pleine progression Luc Vandendorpe : http://www.tele.ucl.ac.be/EDU/ELEC2900/tout_2900b.pdf Jol Le Roux : http://users.polytech.unice.fr/~leroux/

    Exercices, Devoirs surveills et documents de cours : http://luc.fety.free.fr http://luc.fety.free.fr/ELE102 http://luc.fety.free.fr/ftp/

  • Systmes linaires invariants dans le temps

    Linarit :

    Invariance temporelle :

    Exemples : canaux de transmission, systmes optiques, filtrage,

    )(tx SLIT )(ty

    )(1 tx )(1 ty

    )(2 tx )(2 ty

    )()( 2211 txtx + )()( 2211 tyty +

    )(tx )(ty

    )( tx )( ty

    Principede

    superposition

    Stationnarit

  • Convolution

    Rponse impulsionnelle :

    Un signal quelconque peut tre exprim comme une somme d'impulsions :

    En vertu de la linarit et de l'invariance temporelle :

    Cette opration s'appelle le produit de convolution :

    )(t SLIT )(th

    dtxtx )()()( = +

    dthxty )()()( = +

    )()()( thtxty =

  • Proprits du produit de convolution

    Le produit de convolution est commutatif :

    associatif :

    distributif :

    L'lment neutre est l'impulsion de Dirac :

    La convolution par opre une translation de :

    valuation graphique :

    (Wikipedia)

    )()()()( xfxgxgxf =)())()(())()(()( xhxgxfxhxgxf =

    )()()()())()(()( xhxfxgxfxhxgxf +=+

    )()()()()( xfduuxfuxxf == +

    )()()()()( axfduuxfauaxxf == +

    )( ax a

    duuxgufxgxf )()()()( = +

  • Fonctions propres

    Fonctions telles que

    Proposition :

    )()()( txdtxh =+

    )(tx )()()( txthtx =

    atetx =)( )()( )( txeeeetx aatata ===

    44 344 21

    dehedeh aatta +

    +

    = )()()(

  • Exprimer le signal d'entre comme une somme de fonctions propres :

    ou

    Pour dterminer plus facilement le signal de sortie :

    ou

    est appele " Transforme de ". est appele " Fonction de Transfert ".

    Base de fonctions propres

    =a

    ateaXtx )()( = aatdaeaXtx )()(

    =a

    at

    aY

    eaXaty43421

    )(

    )()()( = aat

    aY

    daeaXaty43421

    )(

    )()()(

    )(tx )(tySLIT

    )(aX )(tx

    )(a )()()( aXaaY =

  • Diffrentes transformes :

    Laplace :

    Fourier :

    En Z dans le cas des signaux chantillonns,

    jpa +== = ppt dpepXtx )()(

    fja 2= +

    = dfefXtx ft2)()(

  • Exemple de dcomposition

    tftx 02cos)( = ?)( =tySLIT

    tfjtfj eetx 00 222

    1

    2

    1)( +=

    SLIT

    SLIT

    +

    tfje 022

    1

    tfje 022

    1

    tfjfH e 02

    21

    )0(

    tfjfH e 02

    21

    )0(

    ))0(02cos()0()( ftffHty +=

    *)0()0( fHfHsi =

  • Exemple de SLIT

    )(tx +

    )()()( += txtxty

    )1()(

    22)(222

    0

    0000043421

    fH

    fjtfjtfjtfjtfj eeeee +=+

    )1()(

    22)(222

    0

    0000043421

    fH

    fjtfjtfjtfjtfj eeeee

    + +=+

    tfjefHtfjefHtytfjetfjetftx 00000002)(

    212)(

    21)(2

    212

    212cos)( +=+==

    000000000 cos2)(cos2)()(fj

    effHetfj

    effj

    efj

    efj

    efH+==++=

    )2cos(cos2)2(21)2(

    21cos2)( 00000000

    ftffftfjeftfjefty =

    ++=

  • Ce qu'il faut retenir

    Les traitements des signaux sont le plus souvent des Systmes Linaires Invariants dans le Temps.

    Ils sont rgis par le produit de convolution :

    est la rponse impulsionnelle du systme. Elle caractrise entirement le systme.

    Les transformes de Laplace et de Fourier sont trs utilises pour l'tude des SLIT car elles sontbases sur des fonctions propres des SLIT de la forme .

    Elles transforment le produit de convolution en produit simple.

    )(tx )(tySLIT

    dthxthtxty )()()()()( == +

    )(th

    ate

  • Traitement Numrique du Signal

    Le traitement numrique des signaux requiert leur numrisation :

    1) Les calculateurs sont des systmes discrets : Ils peuvent tout au plus mmoriser et calculer les valeurs des signaux des instants dnombrables. Il faut donc oprer une discrtisation temporelle :

    L'Echantillonnage

    2) Les mmoires disponibles dans les calculateurs sont elles-mmes constitues d'un nombre fini de bits : Elles peuvent tout au plus mmoriser des valeurs arrondies des chantillons des signaux. il s'agit d'une discrtisation numrique :

    La Quantification

  • L'Echantillonnage

    L'chantillonnage d'un signal consiste mesurer et ne conserver que ses valeurs des instantsparticuliers :

    Le signal obtenu est un signal discret :

    est l'indice (ou indexe) des chantillons.

    est le symbole de Kronecker :

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    { }LL 9.06.06.09.009.0)()( ==

    nTexnx A

    )(nx

    )(txA

    +

    =

    =i

    niixnx )()()(

    )(n

    =

    =01

    00)(

    nsi

    nsin

    Nn

    TeefTe

    =1

    : Priode d'chantillonnageTe

    : Frquence d'chantillonnageef

  • Reconstruction

    Problme : Plusieurs signaux prsentent les mmes chantillons :

    Il faut certainement complter l'information contenue dans les chantillons pardes hypothses supplmentaires.

    Solution retenue : Hypothses dans le domaine spectral

    Le thorme d'chantillonnage

    dthxthtxty )()()()()( == +

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

  • Spectre d'un signal chantillonn

    Considrons l'expression analogique du signal numrique :

    Peut-on exprimer comme une somme de sinusodes ?

    ou peut-tre

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    -0.5

    0

    0.5

    1 )(txA

    )(txN

    )(txN

    )(txN

    =f

    ftjfN eatx

    2)( = fftj

    fN dfeatx2)(

  • Spectre d'un signal chantillonn

    Les signaux prsentent tous les mmes chantillons :tkftxtx eAk 2cos)()( =

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    tfe2cos

    tftx eA 2cos)(

    tfe4cos

    tftx eA 4cos)(

    )(txA

    )(txA

  • Spectre d'un signal chantillonn

    Si nous faisons la somme de ces signaux : = +

    +K

    k ee

    eAA

    tekfjtekfj

    tkftxtx1 22

    2cos2)()(43421

    1=K

    2=K

    3=K

    4=K

    5=K

    )(txA

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-101

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-202

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    -505

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

    010

    Nous obtenons un signal constitu d'impulsions approchant .)(txN

  • 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100

    -80

    -60

    -40

    -20

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    Spectre d'un signal chantillonn100=K

    8.8 8.9 9 9.1 9.2

    -5

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1000

    -800

    -600

    -400

    -200

    0

    200

    400

    600

    800

    10001000=K

    +=

    =1

    2cos2)()()(k

    eAAN tkftxtxfetx

    =

    =n

    AN nTetnTextx )()()(

    )( txN

    )()(2

    2

    nTexdttx AnTe

    nTeN

    Te

    Te

    +

    =

    =k

    tkfjAN

    eetxfetx 2)()(

  • 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000

    -800

    -600

    -400

    -200

    0

    200

    400

    600

    800

    1000

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100

    -80

    -60

    -40

    -20

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 9.4

    -5

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    Vrification du facteur 1=fe

    10=fe

    ef

    0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94

    -50

    0

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    1=Te

    1.0=Te

  • Modulation Priodisation

    +

    =

    =k

    eAN kffXfefX )()(

    =

    =k

    tkfjAN

    eetxfetx 2)()(

    )( fX A

    f0

    )( fX N

    f0efef ef2ef2

    +

    = dfefXtx ftjAA

    2)()(

    =

    +

    +

    +

    =k

    dfekffX

    tkffjAN

    ftjeA

    e dfefXfetx4444 34444 21

    2)(

    )(2)()(

    )( eA ffX )2( eA ffX )( eA ffX +)2( eA ffX +

  • Transforme de Fourier de

    =

    =n

    AN nTetnTextx )()()(

    =

    =n

    fnTejAN enTexfX

    2)()(

    )(txN

    +

    = dtetxfX ftjNN2)()(

    +

    +

    =

    = dtenTetnTexfX ftj

    nAN

    2)()()(

    or

    +

    =

    +

    =n

    ftjAN dtenTetnTexfX

    2)()()(

  • Reconstruction

    )()()( fHfXfX NA =

    )( fH

    f0

    )( fX N

    f0efef ef2ef2

    )( eAe ffXf + )( fXf Ae )2( eAe ffXf + )( eAe ffXf )2( eAe ffXf

    )( fX A

    f0

    2ef

    2ef

    ef1

    +

    = 2

    2

    21 )()(ef

    efedfefXtx ftjNfA

  • Formule de Shannon (reconstruction)

    +

    = 2

    2

    21 )()(ef

    efedfefXtx ftjNfA

    +

    =

    =n

    fnTejAN enTexfX

    2)()(

    +

    +

    =

    = 2

    2

    221 )()(ef

    efedfeenTextx ftj

    n

    fnTejAfA

    +

    =

    +

    =

    n

    nTetfjfAA

    ef

    efedfenTextx

    2

    2

    )(21)()(

    +

    =

    =

    n

    nTetjnTetjnTetjfAA

    efef

    eeenTextx )(2)(2

    )(211 22)()( ( )

    +

    =

    =n

    nTetjnTetfj

    fAAe

    enTextx

    )(2)(sin(21)()(

    +

    =

    =n

    nTetfnTetf

    AAe

    enTextx)(

    )(sin()()(

    or

  • Thorme d'chantillonnage de Nyquist-Shannon

    )( fX A

    f0

    )( fX N

    f0efef ef2ef2 2

    ef2ef

    )( fX A

    f0efef ef2ef2 2

    ef2ef

    maxf

    2maxeff < Au moins 2 chantillons par priode

    Repliement de spectre

  • =

    =n

    AN nTetnTextx )()()(

    =

    =k

    tkfjAeN

    eetxftx 2)()(

    =

    =n

    AN nTettxtx )()()(

    =

    =k

    tkfjeAN

    eeftxtx 2)()(

    =

    =

    =k

    tkfje

    n

    eefnTet 2)(

    =

    =

    =k

    een

    fnTej kfffe )(2

    =

    =k

    eeAN kffffXfX )()()(

    =

    =n

    fnTejAN efXfX

    2)()(TF

    TFTF

    En dfinitive

    =

    =k

    eAeN kffXffX )()(

    =

    =n

    fnTejAN enTexfX

    2)()(

    TF TF

  • Pour tre mmoriss, les chantillons de signal doivent tre cods avec un nombre fini de bits. Or, avec bits, il n'est possible de coder que tats. Ds lors, les chantillons qui pouvaient prendre un nombre infini de valeurs doivent tre approxims (quantifis) au plus proche tat cod (tat de quantification).

    Quantification

    N2N

    Exemple : Quantification linaire entre et avec bits A NA+

    N

    Aq

    2

    2=

    Val

    eurs

    qua

    ntifi

    es

    Valeurs initiales

    tionquantifica de tats 1624 == NN

    -1.5A -A -0.5A 0 0.5A A 1.5A-A

    -0.5A

    0

    0.5A

    A

  • La quantification des chantillons peut tre interprte comme l'ajout d'un bruit :

    Bruit de quantification

    {bruit

    )()()( nenxnxq +=

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-A

    -0.5A

    0

    0.5A

    Asignal analogique x(t)chantillons x(n)valeurs quantifies xq(n)erreur e(n)

  • Densit de probabilit du bruit de quantification

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    signal initial x(t)

    signal quantifi xq(t)

    erreur de quantification e(t)

    2q+

    2q

    Toutes les valeurs sont quiprobables dans cet intervalle.2q+ Lerreur de quantification est comprise entre et2

    q

    En dfinitive, lorsque le signal varie "normalement" et que N est grand, lerreur de quantification peut tre considre comme un phnomne alatoire dont les chantillons sont quiprobables entre et et sont indpendants.

    2q

    2q+

    )(xfb

    x2q 2

    q+

    q1

    )(nrbb

    n

    bP

    n f

    )( fPb

    2Fe+2Fe

    FePb

    1)( =+

    dxxfb )()( nPnr bbb = bb PdffP

    Fe

    Fe=

    +

    2

    2

    )(

    TF

    Bruit blanc

  • Puissance du bruit de quantification

    )(xfb

    x2q 2

    q+

    q1

    1)( =+

    dxxfb

    [ ] [ ] 22

    2

    2

    33112122 )()(

    q

    q

    q

    qxdxxdxxfxnbEP qqbb

    +

    +

    +

    ==== 12

    2qPb = 12

    2qPb =

    Explications : Imaginons un phnomne dont une priode vaut :

    { }41122211)( =nsLa puissance du phnomne peut tre calcule de la manire suivante :

    ( ) ( )222222222222 4123148

    141122211

    8

    1)(

    1 ++=+++++++== n

    nsN

    P

    Soit encore : et donc :{

    {

    {

    {

    {

    {2

    3

    22

    32

    2

    1

    1

    48

    12

    8

    31

    8

    4

    vp

    vp

    vp

    P ++= =n

    kk vpP2

    Dans le cas d'une variable continue : +

    =

    321

    xP

    dxxfxP )(2

  • Rapport Signal Bruit

    Dans le cas d'un signal sinusodal occupant la pleine chelle [ ]AA + ;

    ( )N

    Aq

    A

    b

    x

    N

    A

    P

    P

    B

    S 22

    22

    2

    12

    2 22

    362

    2

    ====

    Soit encore en dB :

    44 344 2143421 NdB

    NB

    S

    02.676.1

    )2log(2102

    3log10 +

    =

    NB

    S

    dB

    02.676.1 +=