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Traitement du Signal - Signaux Aléatoires Jean-Yves Tourneret (1) (1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA Thème 1 : Analyse et Synthèse de l’Information [email protected] Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 1/106

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Traitement du Signal - Signaux Aléatoires

Jean-Yves Tourneret(1)

(1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA

Thème 1 : Analyse et Synthèse de l’Information

[email protected]

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 1/106

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Bibliographie

J. Max et J.-L. Lacoume, Méthodes et techniques detraitement du signal, Dunod, 5ème édition, 2004.

Athanasios Papoulis and S. Unnikrishna Pillai, Probability,Random Variable and Stochastic Processes, McGraw HillHigher Education, 4th edition, 2002.

B. Solaiman, Processus stochastiques pour l’ingénieur,Presses polytechniques et universitaires romandes, 2006.

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Transformée de Fourier

Classes de signaux déterministes et aléatoires

Propriétés de Rx(τ) et de sx(f)

Ergodicité

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de Poisson

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Transformée de Fourier

DéfinitionsFormule directe

X(f) =

R

x(t) exp (−j2πft) dt

Formule inverse

x(t) =

R

X(f) exp (j2πft) df

HypothèsesTF sur L1 ou L2

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Propriétés

Linéarité

TF [ax(t) + by(t)] = aX(f) + bY (f)

Parité x(t) réelle paire ⇒ X(f) réelle paire

Translation et Modulation

TF [x(t− t0)] = exp(−j2πft0)X(f)

TF [x(t) exp(j2πf0t)] = X(f − f0)

Similitude

TF [x(at)] =1

|a|X(f

a

)

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Propriétés

Produits de Convolution

TF [x(t) ∗ y(t)] = X(f)Y (f)

TF [x(t)y(t)] = X(f) ∗ Y (f)

Égalite de Parseval∫

R

x(t)y∗(t)dt =

R

X(f)Y ∗(f)df

ConjugaisonTF [x∗(t)] = X∗(−f)

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Distributions

Localisation

x(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0)

Produit de Convolution

x(t) ∗ δ(t− t0) = x(t− t0)

Transformées de Fourier

TF [δ(t)] = 1, TF [1] = δ(f)

TF [δ(t− t0)] = exp(−j2πft0), TF [exp(j2πf0t)] = δ(f − f0)

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Résumé des propriétés

T.F.

ax(t) + by(t) ⇋ aX(f) + bY (f)

x(t− t0) ⇋ X(f)e−i2πft0

x(t)e+i2πf0t ⇋ X(f − f0)

x∗(t) ⇋ X∗(−f)

x(t) . y(t) ⇋ X(f) ∗ Y (f)

x(t) ∗ y(t) ⇋ X(f) . Y (f)

x(at+ b) ⇋1|a|

X(

fa

)

ei2πb

af

dx(n)(t)dtn

⇋ (i2πf)n X(f)

(−i2πt)n x(t) ⇋dX(n)(f)

dfn

Formule de Parseval Série de Fourier

Rx(t)y∗(t)dt =

RX(f)Y ∗(f)df

n∈Z

cne+i2πnf0t ⇋

n∈Z

cnδ (f − nf0)

R|x(t)|2 dt =

R|X(f)|2 df

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Tables

T.F.

1 ⇋ δ (f)

δ (t) ⇋ 1

e+i2πf0t ⇋ δ (f − f0)

δ (t− t0) ⇋ e−i2πft0

∐∐T (t) =∑

k∈Z

δ (t− kT ) ⇋1T

∐∐1/T (f)

cos (2πf0t) ⇋12[δ (f − f0) + δ (f + f0)]

sin (2πf0t) ⇋12i

[δ (f − f0)− δ (f + f0)]

e−a|t|⇋

2aa2+4π2f2

e−πt2⇋ e−πf2

ΠT (t) ⇋ Tsin(πTf)

πTf= T sin c (πTf)

ΛT (t) ⇋ T sin c2 (πTf)

B sin c (πBt) ⇋ ΠB (f)

B sin c2 (πBt) ⇋ ΛB (f)

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Transformée de Fourier

Classes de signaux déterministes et aléatoires

Propriétés de Rx(τ) et de sx(f)

Ergodicité

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de Poisson

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Classes de signaux déterministes et aléatoires

Classe 1 : signaux déterministes à énergie finie

Classe 2 : signaux déterministes périodiques àpuissance finie

Classe 3 : signaux déterministes non périodiques àpuissance finie

Classe 4 : signaux aléatoires stationnaires

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Signaux déterministes à énergie finie

Définition E =∫R|x(t)|2dt =

∫R|X(f)|2df < ∞

Fonction d’autocorrélation

Rx(τ) =

R

x(t)x∗(t− τ)dt = 〈x(t), x(t− τ)〉

Fonction d’intercorrélation

Rxy(τ) =

R

x(t)y∗(t− τ)dt = 〈x(t), y(t− τ)〉

Produit scalaire

〈x(t), y(t)〉 =∫

R

x(t)y∗(t)dt

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Densité spectrale d’énergie

Définitionsx(f) = TF [Rx(τ)]

Propriété

sx(f) = |X(f)|2

Preuve

sx(f) =

R

[∫

R

x(t)x∗(t− τ)dt

]exp(−j2πfτ)dτ

=

R

[∫

R

x∗(t− τ) exp(−j2πfτ)dτ

]x(t)dt

=

R

[∫

R

x∗(u) exp [j2πf(u− t)] du

]x(t)dt

= X∗(f)X(f)Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 13/106

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Exemple

Fenêtre rectangulaire

x(t) = ΠT (t) =

{1 si − T

2 < t < T2

0 sinon

Fonction d’autocorrélation

Rx(τ) = TΛT (τ)

Densité spectrale d’énergie

sx(f) = T 2sinc2(πTf) = |X(f)|2

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Signaux déterministes périodiques

Définition P = 1T0

∫ T0/2−T0/2

|x(t)|2dt < ∞

Fonction d’autocorrélation

Rx(τ) =1

T0

∫ T0/2

−T0/2

x(t)x∗(t− τ)dt = 〈x(t), x(t− τ)〉

Fonction d’intercorrélation

Rxy(τ) =1

T0

∫ T0/2

−T0/2

x(t)y∗(t− τ)dt = 〈x(t), y(t− τ)〉

Produit scalaire

〈x(t), y(t)〉 = 1

T0

∫ T0/2

−T0/2

x(t)y∗(t)dt

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Densité spectrale de puissance

Définitionsx(f) = TF [Rx(τ)]

Propriété

sx(f) =∑

k∈Z

|ck|2δ(f − kf0)

avec x(t) =∑

k∈Z ck exp(j2πkf0t).

Preuve

Rx(τ) =∑

k,l

ckc∗l exp (j2πlf0τ)

[1

T0

∫ T0/2

−T0/2

exp [j2π(k − l)f0t] dt

]

=∑

k

|ck|2 exp(j2πkf0τ)

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Exemple

Sinusoïdex(t) = A cos(2πf0t)

Fonction d’autocorrélation

Rx(τ) =A2

2cos(2πf0τ)

Densité spectrale de puissance

sx(f) =A2

4[δ(f − f0) + δ(f + f0)]

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Signaux déterministes à puissance finie

Définition P = limT→∞

1T

∫ T/2−T/2 |x(t)|2dt < ∞

Fonction d’autocorrélation

Rx(τ) = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2

x(t)x∗(t− τ)dt = 〈x(t), x(t− τ)〉

Fonction d’intercorrélation

Rxy(τ) = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2

x(t)y∗(t− τ)dt = 〈x(t), y(t− τ)〉

Produit scalaire

〈x(t), y(t)〉 = limT→∞

1

T

∫ T/2

−T/2

x(t)y∗(t)dt

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Densité spectrale de puissance

Définitionsx(f) = TF [Rx(τ)]

Propriété

sx(f) = limT→∞

1

T|XT (f)|2

avec

XT (f) =

∫ T/2

−T/2

x(t) exp(−j2πft)dt

Exemple

x(t) = A1 cos(2πf1t) + A2 cos(2πf2t)

avec f1 et f2 non commensurables.

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Signaux aléatoires stationnaires

DéfinitionMoyenne : E[x(t)] indépendant de t

Moment d’ordre 2 : E[x(t)x∗(t− τ)] indépendant de t

Fonction d’autocorrélation

Rx(τ) = E[x(t)x∗(t− τ)] = 〈x(t), x(t− τ)〉

Fonction d’intercorrélation

E[x(t)y∗(t− τ)] = 〈x(t), y(t− τ)〉

Produit scalaire〈x(t), y(t)〉 = E[x(t)y∗(t)]

Remarques : stationnarité au sens strict, large, à l’ordre deux, tests de stationnarité.

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Densité spectrale de puissance

Puissance moyenne

P = Rx(0) = E[|x(t)|2

]=

R

sx(f)df

Densité spectrale de puissanceDéfinition

sx(f) = TF [Rx(τ)]

Propriété

sx(f) = limT→∞

1

TE[|XT (f)|2

]

mais en général X(f) n’existe pas !

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Exemples

Exemple 1 : Sinusoïde

x(t) = A cos(2πf0t+ θ)

θ va uniforme sur [0, 2π].Fonction d’autocorrélation

Rx(τ) =A2

2cos(2πf0τ)

Densité spectrale de puissance

sx(f) =A2

4[δ(f − f0) + δ(f + f0)]

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Exemples

Exemple 2 : Bruit blancFonction d’autocorrélation

Rx(τ) =N0

2δ(τ)

Densité spectrale de puissance

sx(f) =N0

2

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Transformée de Fourier

Classes de signaux déterministes et aléatoires

Propriétés de Rx(τ) et de sx(f)

Ergodicité

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de Poisson

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Propriétés de Rx(τ )

Symétrie Hermitienne : R∗x(−τ) = Rx(τ)

Valeur maximale : |Rx(τ)| ≤ Rx(0)

Distance entre x(t) et x(t− τ) : si x(t) est un signal réel

d2 [x(t), x(t− τ)] = 2 [Rx(0)− Rx(τ)]

Donc Rx(τ) mesure le lien entre x(t) et x(t− τ).

Décomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité desapplications, on a

Rx(τ) = R1(τ) +R2(τ)

où R1(τ) est une somme de fonctions périodiques etR2(τ) tend vers 0 lorsque τ → ∞.

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Propriétés de sx(f )

DSP réellesx(f) ∈ R

De plus, si x(t) signal réel, sx(f) réelle paire

Positivité : sx(f) ≥ 0

Lien entre DSP et puissance/énergie

P ou E = Rx(0) =

R

sx(f)df

Décomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité desapplications, on a sx(f) = s1(f) + s2(f), où s1(f) est unspectre de raies et s2(f) un spectre continu (casgénéral : partie singulière).

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Transformée de Fourier

Classes de signaux déterministes et aléatoires

Propriétés de Rx(τ) et de sx(f)

Ergodicité

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de Poisson

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Ergodicité et stationnarité

DéfinitionOn dit qu’un processus aléatoire stationnaire X(t) est ergodique aupremier ordre si

YT =1

T

∫T

0

X(u)dumq−→

T→+∞

E [X(t)]

Remarques

Convergence en moyenne quadratique

YT

mq−→T→+∞

E [X(t)] = m ⇔ limT→∞

E[(YT −m)2

]= 0.

Lien entre stationnarité et ergodicité

Ergodicité ⇒ Stationnarité mais Stationnarité ; Ergodicité

moyenne statistique = moyenne temporelle

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Exemples

Exemple 1 : le secteur

X(t) = cos (2πf0t+ θ)

avec f0 = 50Hz et θ uniformément répartie sur [0, 2π].

Exemple 2 : le carré du secteur

Y (t) = A cos2 (2πf0t+ θ)

= A

[1

2+

1

2cos (4πf0t+ 2θ)

]

où θ est une variable aléatoire uniformément répartie sur[0, 2π] et A une variable aléatoire de moyenne m et devariance σ2 > 0.

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Théorème

Pour un processus aléatoire stationnaire au sens large X(t)

de moyenne E [X(t)] = m, de fonction d’autocorrélationRX (τ) = E [X(t)X∗ (t− τ)] et de densité spectrale depuissance sX(f) = TF [RX (τ)], on a

YT = 1T

∫ T

0X(u)du

mq−→T→+∞

m ⇔ ∆SX (0) = |m|2 (1)

avec ∆SX (0) = SX (0+)− SX (0−) et sX (f) = dSX(f)df

.

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Applications du théorème

Exemple 1 : le secteur

X(t) = cos (2πf0t+ θ)

avec f0 = 50Hz et θ uniformément répartie sur [0, 2π].

Exemple 2 : le carré du secteur

Y (t) = A cos2 (2πf0t+ θ)

= A

[1

2+

1

2cos (4πf0t+ 2θ)

]

où θ est une variable aléatoire uniformément répartie sur[0, 2π] et A une variable aléatoire de moyenne m et devariance σ2 > 0.

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Résultats intéressants

Un signal aléatoire x(t) est ergodique au premier ordre siet seulement si

1

T

∫ T

0

c(τ)dτ −→T→+∞

0

où c(τ) = E[x(t)x∗(t− τ)]− |m|2 est l’autocovariance dex(t) (Preuve : livre de Papoulis).

Condition suffisante d’ergodicité au premier ordre : sic(τ) −→

τ→+∞0, alors x(t) est ergodique au premier ordre

(Preuve : voir livre Papoulis).

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Que faut-il savoir ?

Reconnaître si un signal est à énergie finie, àpuissance finie périodique ou aléatoire.

Qu’est ce qu’un signal aléatoire stationnaire ?

Les différentes définitions d’une fonctiond’autocorrélation Rx(τ)

La définition unifiée d’une densité spectrale : sx(f) = ?

Les différentes définitions d’une densité spectrale

Ce qu’est un bruit blanc

Ce qu’est un bruit gaussien

Propriétés de Rx(τ) et de sx(f)

Qu’est ce qu’un signal ergodique ?

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Introduction

Relations de Wiener-Lee

Formule des interférences

Filtre adapté

Filtre de Wiener

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de PoissonCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 34/106

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Introduction

On cherche une opération avec les propriétés suivantes

Linéarité : T [a1x1(t) + a2x2(t)] = a1T [x1(t)] + a2T [x2(t)]

Invariance dans le tempsSi y(t) = T [x(t)] alors T [x(t− t0)] = y(t− t0)

Stabilité BIBOSi |x(t)| ≤ Mx alors il existe My tel que

|y(t)| = |T [x(t)] | ≤ My

“Limitation” du spectre d’un signal

☞ Convolution

y(t) = x(t) ∗ h(t) =∫

R

x(u)h(t− u)du = h(t) ∗ x(t)

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ECG avant filtrage

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 36/106

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ECG après filtrage

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Commentaires

La linéarité ne suffit pas. Contre-exemples

y(t) = m(t)x(t) ou y(t) = x(0)

CNS de Stabilité BIBO∫

R

|h(t)|dt < ∞, i.e., h ∈ L1

Réponse impulsionnelle et Transmittance

H(f) = TF [h(t)] =

R

h(t) exp(−j2πft)dt

Si x(t) = δ(t) alors y(t) = h(t). Ceci permet d’obtenir laseule réponse impulsionnelle possible.

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 38/106

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Réalisabilité d’un filtre

Domaine temporel(1) h(t) réelle

(2) h(t) ∈ L1 (stabilité)(3) h(t) causale (filtre sans mémoire)

Domaine spectral(1) Symétrie hermitienne : H∗(−f) = H(f)

(2) ne peut se traduire

(3) H(f) = −jH(f), où H(f) = H(f) ∗ 1πf est la

transformée de Hilbert de H (preuve dans le coursmanuscrit).

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 39/106

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Identifier une relation de filtrage linéaire

Signaux déterministes

y(t) = x(t) ∗ h(t) ⇔ Y (f) = X(f)H(f)

Signaux aléatoires : Isométrie fondamentale

Si x(t)I↔ ej2πft, alors y(t)

I↔ ej2πftH(f)

Exemplesy(t) =

∑nk=1 akx(t− tk)

y(t) = x′(t)

y(t) = x(t)m(t)

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Introduction

Relations de Wiener-Lee

Formule des interférences

Filtre adapté

Filtre de Wiener

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de PoissonCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 41/106

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Relations de Wiener Lee

Densité spectrale de puissance

sy(f) = sx(f)|H(f)|2

Intercorrélation

Ryx(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ)

Autocorrélation

Ry(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ) ∗ h∗(−τ)

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 42/106

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Preuves (signaux à énergie finie)

Densité spectrale de puissance

sy(f) = |Y (f)|2 = |X(f)H(f)|2 = sx(f)|H(f)|2

Intercorrélation

Ryx(τ) =

R

y(u)x∗(u− τ)du

=

R

Y (f)[e−j2πfτX(f)

]∗df

=

R

X(f)H(f)[ej2πfτX∗(f)

]df

=

R

sx(f)H(f)ej2πfτdf = TF−1[sx(f)H(f)] CQFD

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 43/106

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Preuve (signaux à puissance finie)

Intercorrélation

Ryx(τ) =1

T0

∫ T0/2

−T0/2

y(t)x∗(t− τ)dt

=1

T0

∫ T0/2

−T0/2

[∫

R

h(v)x(t− v)dv

]x∗(t− τ)dt

=

R

h(v)

[1

T0

∫ T0/2

−T0/2

x(t− v)x∗(t− τ)dt

]dv

=

R

h(v)Rx(τ − v)dv CQFD

etc ...

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 44/106

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Preuves (signaux aléatoires)

Intercorrélation

Ryx(τ) =E[y(t)x∗(t− τ)]

=〈y(t), x(t− τ)〉

=〈ej2πftH(f), ej2πf(t−τ)〉

=

R

ej2πftH(f)e−j2πf(t−τ)sX(f)df

=

R

H(f)ej2πfτsX(f)df

= h(τ) ∗Rx(τ) CQFD

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 45/106

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Preuves (signaux aléatoires)

Autocorrélation

Ry(τ) =E[y(t)y∗(t− τ)]

=〈y(t), y(t− τ)〉

=〈ej2πftH(f), ej2πf(t−τ)H(f)〉

=

R

ej2πftH(f)e−j2πf(t−τ)H∗(f)sx(f)df

=

R

|H(f)|2sx(f)ej2πfτdf

=TF−1{sx(f)|H(f)|2}= h(τ) ∗ h∗(−τ) ∗Rx(τ) CQFD

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 46/106

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Preuves (signaux aléatoires)

Autocorrélation

Ry(τ) = TF−1{sx(f)|H(f)|2}

Densité Spectrale de Puissance

sy(f) = sx(f)|H(f)|2 CQFD

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 47/106

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Valeur moyenne

PropriétéE[y(t)] = E[x(t)]H(0)

Preuve

E[y(t)] =E

[∫

R

x(t− u)h(u)du

]

=

R

E[x(t− u)]h(u)du

=E[x(t)]

R

h(u)du (signal stationnaire)

=E[x(t)]H(0) CQFD

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 48/106

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Introduction

Relations de Wiener-Lee

Formule des interférences

Filtre adapté

Filtre de Wiener

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de PoissonCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 49/106

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Formule des interférences

Hypothèses

y1(t) = x(t) ∗ h1(t) et y2(t) = x(t) ∗ h2(t)

Conclusion

Ry1y2(τ) =

R

sx(f)H1(f)H∗2(f)e

j2πfτdf

Preuve

Ry1y2(τ) = E[y1(t)y∗2(t− τ)]

=

R

ej2πftH1(f)e−j2πf(t−τ)H∗

2 (f)sx(f)df

=

R

H1(f)H∗2(f)e

j2πfτsx(f)df CQFD

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Introduction

Relations de Wiener-Lee

Formule des interférences

Filtre adapté

Filtre de Wiener

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de PoissonCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 51/106

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Filtre adapté : maximisation du SNR

Signal observé

x(t) = s(t) + n(t), t ∈ [0, T ]

s(t) signal déterministe à énergie finie et n(t) signal aléatoire

stationnaire de moyenne nulle et de densité spectrale de

puissance sn(f).

Filtrage

y(t) = ys(t) + yn(t) = s(t) ∗ h(t) + n(t) ∗ h(t)

Rapport signal sur bruit

SNR(t0) =y2s(t0)

E [y2n(t0)]

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Expression équivalente du SNR

SNR(t0) =y2s(t0)

E [y2n(t0)]=

∣∣∫RH(f)S(f)ej2πft0df

∣∣2∫R|H(f)|2 sn(f)df

Numérateur

ys(t) = TF−1 [S(f)H(f)] =

R

H(f)S(f)ej2πftdf

Dénominateur

Wiener Lee

syn(f) = sn(f) |H(f)|2

Puissance

Pyn = E[y2n(t0)

]= Ryn (0) =

R

sn(f) |H(f)|2 dfCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 53/106

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Inégalité de Cauchy-Schwartz

∣∣∣∣∫

R

a(f)b∗(f)df

∣∣∣∣2

≤∫

R

a(f)a∗(f)df

R

b(f)b∗(f)df

Numérateur∣∣∣∣∫

R

H(f)S(f)ej2πftdf

∣∣∣∣2

=

∣∣∣∣∫

R

a(f)b∗(f)df

∣∣∣∣2

avec a(f) =√

sn(f)H(f) et b(f) = S∗(f)√sn(f)

e−j2πft0 .

Dénominateur∫

R

sn(f) |H(f)|2 df =

R

a(f)a∗(f)df

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 54/106

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Expression du filtre adapté

Cauchy-Schwartz

SNR(t0) =

∣∣∫RH(f)S(f)ej2πft0df

∣∣2∫R|H(f)|2 sn(f)df

≤∫

R

b(f)b∗(f)df

avec égalité pour a(f) = kb(f), i.e.,

H(f) = kS∗(f)

sn(f)e−j2πft0

Cas d’un bruit blanc

H(f) = KS∗(f)e−j2πft0 ⇔ h(t) = Ks∗ (t0 − t)

Symétrie oy + Translation

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 55/106

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SNR maximum

Définition

SNR(t0)max =

R

b(f)b∗(f)df =

R

2

N0|S(f)|2 df =

2E

N0

où E est l’énergie du signal. On voit donc que le lerapport signal à bruit maximal ne dépend pas de laforme du signal mais uniquement de son énergie.

Page wikipedia Matched Filter

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 56/106

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Introduction

Relations de Wiener-Lee

Formule des interférences

Filtre adapté

Filtre de Wiener

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de PoissonCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 57/106

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Filtre de Wiener

HypothèsesSoient I(t) et B(t) deux processus aléatoiresstationnaires de moyennes nulles E[B(t)] = E[I(t)] = 0,de fonctions d’autocorrélation RI(τ), RB(τ) et de densitésspectrales de puissance sI(f) et sB(f).

ProblèmeOn observe

X(t) = I(t) + B(t), t ∈ ∆ ⊂ R

et on cherche la meilleure estimation linéaire de I(t)

(notée I(t)) obtenue par filtrage linéaire de X(t).

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 58/106

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Projection Orthogonale

{ }∆∈ttX ),(

)(tI

)(ˆ tI

)(ˆ)( tItI −

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 59/106

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Equations Normales

Définition

E{[

I(t)− I(t)]X∗(u)

}= 0 ∀u

ou

E [I(t)I∗(u)] = E[I(t)X∗(u)

]∀u

Résolution

E [I(t)I∗(u)] = RI(t− u)

E[I(t)X∗(u)

]=

∫h(t− v)RX(v − u)dv

=

∫h(x)RX(t− u− x)dx

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 60/106

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Equations Normales

Résolution

RI(y) =

∫h(x)RX(y − x)dx = h(y) ∗RX(y) ∀y

Filtre optimal

H(f) =sI(f)

sX(f)=

sI(f)

sI(f) + sB(f)

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 61/106

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Erreur d’estimation

Définition

σ2 = E[|I(t)− I(t)|2

]

= E{[

I(t)− I(t)]I∗(t)

}

= RI(0)− E[I(t)I∗(t)

]

Second terme

E[I(t)I∗(t)

]=

∫h(t− u)E [I(u)I∗(t)] du

+

∫h(t− u)E [B(u)I∗(t)]

=

∫h(x)R∗

I(x)dx

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 62/106

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Erreur d’estimation

Conclusion

σ2 =

∫sI(f)df −

∫H(f)sI(f)df

=

∫sI(f)sB(f)

sI(f) + sB(f)df

Remarques

l’erreur est nulle lorsqu’il n’y a pas de bruit

l’erreur est nulle lorsque les DSP du signal et du bruitont des supports disjoints

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 63/106

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Image d’origine

Original image

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120 40

60

80

100

120

140

160

180

200

220

240

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 64/106

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Image bruitée

Noisy image | SNR = 19.1517

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

0

50

100

150

200

250

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 65/106

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Image débruitée

Denoised image | SNR = 22.5345

20 40 60 80 100 120

20

40

60

80

100

120

50

100

150

200

250

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 66/106

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Que faut-il savoir ?

Reconnaître une relation de filtrage linéaire

Densité spectrale de puissance de la sortie d’un filtre

Intercorrélation entre l’entrée et la sortie d’un filtre

Moyenne de la sortie d’un filtre

Formule des interférences

Filtre adapté

Filtre de Wiener

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 67/106

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Chapitre 3 : Échantillonnage

Échantillonnage idéal

Échantillonnage réel

Méthodes pratiques de restitution

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de Poisson

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 68/106

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Échantillonnage idéal

Signaux à énergie finieDomaine temporel

xe(t) =∑

k∈Z

x(kTe)δ(t− kTe) = x(t)∑

k∈Z

δ(t− kTe)

Domaine Fréquentiel

Xe(f) = X(f) ∗ Fe

k∈Z

δ(f − kFe) = Fe

k∈Z

X(f − kFe)

Périodisation du spectre

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 69/106

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Commentaires

Théorème de Shannon

Fe > 2fmax

Restitution

Xr(f) =1

FeXe(f)ΠFe

(f)

Interpolateur de Shannon

xr(t) =∑

k∈Z

x(kTe)sinc [πFe(t− kTe)]

Généralisation

xr(t) =∑

k∈Z

x(kTe)h (t− kTe)

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 70/106

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Commentaires

Fréquences normalisées

Fe > 2fmax ⇔ f =f

Fe≤ 1

2

Repliement et filtre anti-repliement

Généralisation : signaux déterministes à puissance finie

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 71/106

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Échantillonnage d’une sinusoïde

Signal et spectre

x(t) = A cos(2πf0t) ⇔ X(f) =A

2[δ(f − f0) + δ(f + f0)]

Cas particulierFe = 2f0

Repliement

f0 = 5kHz et Fe = 100kHz

f0 = 5kHz et Fe = 8kHz

Filtre de restitution ΠFe(f)

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 72/106

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Signaux aléatoires stationnaires

Theorème de ShannonSi x(t) est un signal aléatoire stationnaire à bandelimitée, i.e.,

sx(f) = 0 |f | > fmax

et que Fe > 2fmax alors

xN (t) =

N∑

k=−N

x(kTe)sinc [πFe(t− kTe)]MQ→N→∞

x(t)

Preuvevoir livre de Papoulis page 478.

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 73/106

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Signaux aléatoires stationnaires

Autocorrélation

Rx(τ) =∑

k∈Z

Rx(kTe)sinc [πFe(τ − kTe)]

Interpolateur de Shannon pour Rx(τ) = TF−1[sx(f)].

Densité spectrale de puissanceSi on pose y(n) = x(nTe) alors

sy

(f)=∑

k∈Z

Ry(k)e−j2πkf = Fe

k∈Z

sx

(f − k

Te

)

Périodisation de la densité spectrale de puissance

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 74/106

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Preuve

sy

(f)=∑

k∈Z

Ry(k)e−j2πkf

=∑

k∈Z

Ry(k)

R

e−j2πftδ(t− k)dt

=

R

e−j2πft

[∑

k∈Z

Rx(kTe)δ(t− k)

]dt

=TF

[Rx(tTe)

k∈Z

δ(t− k)

]

=1

Tesx

(f

Te

)∗∑

k∈Z

δ(f − k

)CQFD

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 75/106

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Chapitre 3 : Échantillonnage

Échantillonnage idéal

Échantillonnage réel

Méthodes pratiques de restitution

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de Poisson

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 76/106

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Échantillonnage bloqueur

Domaine temporel

xb(t) =∑

k∈Z

x(kTe)πτ

(t− τ

2− kTe

)= xe(t) ∗ πτ

(t− τ

2

)

Domaine spectral

Xb(f) =τ

Tee−jπτfsinc(πτf)

k∈Z

X(f − kFe)

Spectre d’ordre 0

X0(f) =τ

Tee−jπτfsinc(πτf)X(f)

Conditions de restitution

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 77/106

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Échantillonnage réel

Échantillonnage moyenneurvoir TD

Échantillonnage à porte analogique...

ExemplesTéléphone

fmax = 3400Hz et Fe = 8kHz

Audiofmax = 15kHz et Fe = 44.1kHz

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 78/106

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Chapitre 3 : Échantillonnage

Échantillonnage idéal

Échantillonnage réel

Méthodes pratiques de restitution

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de Poisson

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 79/106

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Restitution

Filtrage passe bas

H(f) = ΠFe(f)

Interpolation linéaireFiltre non causal

Bloqueur d’ordre 0Utilisé dans la quasi-totalité des applications

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 80/106

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Que faut-il savoir ?

Echantillonnage = périodisation du spectre

Théorème de Shannon pour les signaux déterministeset aléatoires

Interpolateur de Shannon

Filtre anti-repliement

Fréquences normalisées

Effets du repliement spectral

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 81/106

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Introduction

Quadrateur

Quantification

Chapitre 5 : Processus de Poisson

Chapitre 6 : Signaux des télécommunications

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 82/106

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Introduction

Transformation sans mémoire

y(t) = g [x(t)]

ExemplesQuadrateur

y(t) = x2(t)

Quantificationy(t) = xQ(t)

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 83/106

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Introduction

Quadrateur

Quantification

Chapitre 5 : Processus de Poisson

Chapitre 6 : Signaux des télécommunications

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 84/106

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Quadrateur

Signaux déterministes

Y (f) = X(f) ∗X(f)

ExemplesSinusoïde : x(t) = A cos(2πf0t)

Y (f) =A2

2δ(f) +

A2

4[δ(f − 2f0) + δ(f + 2f0)]

Disparition de la fréquence f0 et apparition de lafréquence 2f0Somme de sinusoïdes : Termes d’intermodulationSinus cardinal : doublement de la largeur de bande

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 85/106

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Signal aléatoire gaussien

DéfinitionOn dit qu’un signal aléatoire X(t) est gaussien si pour tout ensemble d’instants(t1, ..., tn), le vecteur [X(t1), ...,X(tn)]

T est un vecteur gaussien de Rn.

Loi univariée de X(t)

La loi de X(t) est alors une loi gaussienne de densité

p[X(t)] =1

2πσ2(t)exp

{

−[X(t)−m(t)]2

2σ2(t)

}

.

Si le signal X(t) est stationnaire au sens large alors

m(t) = E[X(t)] = m, et σ2(t) = E[X2(t)]− E2[X(t)] = RX(0)−m2.

donc les paramètres de la densité de X(t) sont indépendants du temps.

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 86/106

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Signal aléatoire gaussien

Loi bivariée de [X(t),X(t− τ)]

La loi du vecteur V (t) = [X(t),X(t− τ)]T est alors une loi gaussienne de R2 dedensité

p[x(t), x(t− τ)] =1

2π√

|Σ(t)|exp

{

−1

2[V (t)−m(t)]T Σ

−1(t) [V (t)−m(t)]

}

.

où m(t) = [m1(t),m2(t)]T ∈ R2 est le vecteur moyenne, avec m1(t) = E[X(t)] andm2(t) = E[X(t− τ)], et Σ(t) ∈ M2(R) est la matrice de covariance définie par

Σ(t) =

σ21(t, τ) σ1,2(t, τ)

σ1,2(τ) σ22(t, τ)

où σ21(t, τ) et σ2

2(t, τ) sont les variances de X(t) et de X(t− τ) et σ1,2(t, τ) est lacovariance [X(t),X(t− τ)]T . Si le signal X(t) est stationnaire au sens large alors

σi(t, τ) = RX(0)−m2, et σ1,2(t, τ) = E[X(t)X(t−τ)]−E[X(t)]E[X(t−τ)] = RX(τ)−m2,

donc les paramètres de la densité de V (t) sont indépendants du temps.

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 87/106

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Stationnarité de Y (t) = g[X(t)]

Si X(t) est un signal aléatoire stationnaire, alors pour toute non-linéarité g, Y (t) estégalement un signal aléatoire stationnaire. En effet

Moyenne

E[Y (t)] = E {g[X(t)]} =

g[x(t)]p[x(t)]dx(t).

Comme les paramètres de p[x(t)] ne dépendent que de RX (0) et de m, E[Y (t)] estune quantité indépendante de t.

Fonction d’autocorrélation

E [Y (t)Y (t− τ)] =

∫ ∫

g[x(t)]g[x(t− τ)]p[x(t), x(t− τ)]dx(t)dx(t− τ).

Comme les paramètres de p[x(t), x(t− τ)] ne dépendent que de RX (τ), RX (0) et dem, E[Y (t)Y (t− τ)] est une quantité indépendante de t.

Le signal Y (t) est donc stationnaire au sens large. Sa moyenne dépend de RX(0) et de m

et sa fonction d’autocorrélation dépend de RX (τ), RX(0) et de m.

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 88/106

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Quadrateur pour signaux aléatoires

Théorème de PriceHypothèses(X1, X2) vecteur Gaussien de moyenne nulleY1 = g(X1) et Y2 = g(X2)

Conclusion

∂E(Y1Y2)

∂E(X1X2)= E

(∂Y1∂X1

∂Y2∂X2

)

Application au quadrateur

RY (τ) = 2R2X(τ) +K

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 89/106

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Détermination de K

Moments d’une loi Gaussienne centrée

E(X2n+1

)= 0, E

(X2n

)= [(2n−1)×(2n−3)...×3×1]σ2n

τ = 0

E[Y 2(t)

]= E

[X4(t)

]= 3R2

X(0) = 2R2X(0) +K

Autocorrélation

RY (τ) = 2R2X(τ) + R2

X(0)

Densité spectrale de puissance

sY (f) = 2sX(f) ∗ sX(f) +R2X(0)δ(f)

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 90/106

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Introduction

Quadrateur

Quantification

Chapitre 5 : Processus de Poisson

Chapitre 6 : Signaux des télécommunications

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 91/106

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Quantification

Principe

xQ(t) = i∆qi = xi et xi −∆qi2

≤ x(t) ≤ xi +∆qi2

DéfinitionsPas de quantification : ∆qi

Quantification uniforme : ∆qi = ∆q = 2Amax

N

Niveaux de quantification : xiNombre de niveaux de quantification : N = 2n

Nombre de bits de quantification : n

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 92/106

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Erreur de quantification

Hypothèse

ǫ(t) suit la loi uniforme sur[−∆q

2 , ∆q2

], i.e., N ≥ 28

Rapport signal sur bruit de quantification

SNRdB = 10 log10

(σ2xσ2ǫ

)

Variance du bruit : σ2ǫ = (∆q)2

12

Sinusoïde : σ2x = A2

2

ConclusionSNRdB = 6n+ 1.76

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 93/106

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Remarques

Généralisation à un signal Gaussien

2Sσ = N∆q ⇒ SNRdB = 6n+ ...

Quantification non uniforme

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Que faut-il savoir ?

Traitement non-linéaire = possibilité de créer denouvelles fréquences

Savoir appliquer le théorème de Price. Intérêt ?

Définition et propriétés de la quantification

Savoir calculer le rapport signal sur bruit dequantification

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 95/106

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de Poisson

Définition

Signal des télégraphistes

Introduction aux files d’attente

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 96/106

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Processus de Poisson homogène

NotationsInstants : {tj}j∈ZNombre d’instants dans [t, t+ τ [ : N(t, τ)

HypothèsesStationnarité (régime établi) : Pn(τ) = P [N(t, τ) = n]est indépendante de t.Indépendance du passé et de l’avenir (nonembouteillage) : si [t, t+ τ [ et [t′, t′ + τ ′[ sont desintervalles disjoints, alors N(t, τ) et N(t′, τ ′) sont desva indépendantes.Non accumulation (non simultanéité des instants ti) :si φ(τ) = P [N(t, τ) ≥ 2], alors φ(τ)

τ →τ→0

0

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 97/106

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Conclusions

Loi de N(t, τ)N(t, τ) suit une loi de Poisson de paramètre λ|τ |, où λest le nombre moyen d’instants dans un intervalle delargeur τ = 1.

Loi des largeurs d’intervalles :Si Ln = tn+1 − tn, alors {Ln}n∈Z est une suite de vaindépendantes de lois exponentielles de paramètre λ(utile pour la simulation)

Loi des instantsSi l’intervalle [0, t[ contient n instants t1, ..., tn, alorschaque instant ti suit une loi uniforme sur [0, t[.

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 98/106

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de Poisson

Définition

Signal des télégraphistes

Introduction aux files d’attente

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 99/106

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Signal des télégraphistes

Définition

X(t) =

A si t = 0

A si N(0, t) pair−A si N(0, t) impair

où A est uniforme sur {−1,+1}.

StationnaritéMoyenne

E [X(t)] = 2P [X(t) = 1]− 1 = 0

Fonction d’autocorrélation

E [X(t)X(t− τ)] = e−2λ|τ |, τ ∈ R

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 100/106

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Signal des télégraphistes

Densité spectrale de puissance

sX(f) =λ

λ2 + π2f2

ApplicationImagerie radar à synthèse d’ouverture (Imagerie SAR)

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 101/106

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Plan du cours

Chapitre 1 : Corrélations et Spectres

Chapitre 2 : Filtrage Linéaire

Chapitre 3 : Échantillonnage

Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires

Chapitre 5 : Processus de Poisson

Définition

Signal des télégraphistes

Introduction aux Files d’attente

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 102/106

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Introduction aux Files d’attente

Hypothèses

Un guichet

Une file d’attente

Arrivée des clients décrite par un processus dePoisson de paramètre λ

Temps de service Ts ∼ E(µ) avec E(Ts) = 1/µ

Conclusion (admise)Probabilité d’avoir n clients dans le système à l’instant t

P [X(t) = n] = (1−Q)Qn, n ∈ N

avec Q = λ/µ < 1.

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 103/106

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Nombres moyens de clients

Dans le système

L = E [X(t)] =Q

1−Q

Dans la file d’attente

LQ = E[XQ(t)

]=

Q2

1−Q

Résultat utile

∞∑

n=1

nxn =x

(1− x)2, |x| < 1

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 104/106

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Temps de séjour moyen d’un client C

Dans le système

W = E (T ) = E [E (T |An)] =1

µ(1−Q)

où An est l’événement “il y a n clients dans le systèmelorsque C y rentre”.

Dans la file d’attente

WQ = E(TQ)= E (T )− 1

µ=

Q

µ(1−Q)

Formules de Little

L

W=

LQ

WQ= λ

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Que faut-il savoir ?

Signification de N(t, τ) pour un processus de Poissonhomogène

Loi de N(t, τ) pour un processus de Poisson homogène

Comment déterminer la moyenne et la fonctiond’autocorrélation du signal des télégraphistes

Quelques notions de base sur les files d’attente

Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 106/106