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Traitement du Signal - Signaux Aléatoires
Jean-Yves Tourneret(1)
(1) Université of Toulouse, ENSEEIHT-IRIT-TéSA
Thème 1 : Analyse et Synthèse de l’Information
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 1/106
Bibliographie
J. Max et J.-L. Lacoume, Méthodes et techniques detraitement du signal, Dunod, 5ème édition, 2004.
Athanasios Papoulis and S. Unnikrishna Pillai, Probability,Random Variable and Stochastic Processes, McGraw HillHigher Education, 4th edition, 2002.
B. Solaiman, Processus stochastiques pour l’ingénieur,Presses polytechniques et universitaires romandes, 2006.
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 2/106
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Transformée de Fourier
Classes de signaux déterministes et aléatoires
Propriétés de Rx(τ) et de sx(f)
Ergodicité
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
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Transformée de Fourier
DéfinitionsFormule directe
X(f) =
∫
R
x(t) exp (−j2πft) dt
Formule inverse
x(t) =
∫
R
X(f) exp (j2πft) df
HypothèsesTF sur L1 ou L2
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Propriétés
Linéarité
TF [ax(t) + by(t)] = aX(f) + bY (f)
Parité x(t) réelle paire ⇒ X(f) réelle paire
Translation et Modulation
TF [x(t− t0)] = exp(−j2πft0)X(f)
TF [x(t) exp(j2πf0t)] = X(f − f0)
Similitude
TF [x(at)] =1
|a|X(f
a
)
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Propriétés
Produits de Convolution
TF [x(t) ∗ y(t)] = X(f)Y (f)
TF [x(t)y(t)] = X(f) ∗ Y (f)
Égalite de Parseval∫
R
x(t)y∗(t)dt =
∫
R
X(f)Y ∗(f)df
ConjugaisonTF [x∗(t)] = X∗(−f)
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Distributions
Localisation
x(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0)
Produit de Convolution
x(t) ∗ δ(t− t0) = x(t− t0)
Transformées de Fourier
TF [δ(t)] = 1, TF [1] = δ(f)
TF [δ(t− t0)] = exp(−j2πft0), TF [exp(j2πf0t)] = δ(f − f0)
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Résumé des propriétés
T.F.
ax(t) + by(t) ⇋ aX(f) + bY (f)
x(t− t0) ⇋ X(f)e−i2πft0
x(t)e+i2πf0t ⇋ X(f − f0)
x∗(t) ⇋ X∗(−f)
x(t) . y(t) ⇋ X(f) ∗ Y (f)
x(t) ∗ y(t) ⇋ X(f) . Y (f)
x(at+ b) ⇋1|a|
X(
fa
)
ei2πb
af
dx(n)(t)dtn
⇋ (i2πf)n X(f)
(−i2πt)n x(t) ⇋dX(n)(f)
dfn
Formule de Parseval Série de Fourier
∫
Rx(t)y∗(t)dt =
∫
RX(f)Y ∗(f)df
∑
n∈Z
cne+i2πnf0t ⇋
∑
n∈Z
cnδ (f − nf0)
∫
R|x(t)|2 dt =
∫
R|X(f)|2 df
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Tables
T.F.
1 ⇋ δ (f)
δ (t) ⇋ 1
e+i2πf0t ⇋ δ (f − f0)
δ (t− t0) ⇋ e−i2πft0
∐∐T (t) =∑
k∈Z
δ (t− kT ) ⇋1T
∐∐1/T (f)
cos (2πf0t) ⇋12[δ (f − f0) + δ (f + f0)]
sin (2πf0t) ⇋12i
[δ (f − f0)− δ (f + f0)]
e−a|t|⇋
2aa2+4π2f2
e−πt2⇋ e−πf2
ΠT (t) ⇋ Tsin(πTf)
πTf= T sin c (πTf)
ΛT (t) ⇋ T sin c2 (πTf)
B sin c (πBt) ⇋ ΠB (f)
B sin c2 (πBt) ⇋ ΛB (f)
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Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Transformée de Fourier
Classes de signaux déterministes et aléatoires
Propriétés de Rx(τ) et de sx(f)
Ergodicité
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
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Classes de signaux déterministes et aléatoires
Classe 1 : signaux déterministes à énergie finie
Classe 2 : signaux déterministes périodiques àpuissance finie
Classe 3 : signaux déterministes non périodiques àpuissance finie
Classe 4 : signaux aléatoires stationnaires
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Signaux déterministes à énergie finie
Définition E =∫R|x(t)|2dt =
∫R|X(f)|2df < ∞
Fonction d’autocorrélation
Rx(τ) =
∫
R
x(t)x∗(t− τ)dt = 〈x(t), x(t− τ)〉
Fonction d’intercorrélation
Rxy(τ) =
∫
R
x(t)y∗(t− τ)dt = 〈x(t), y(t− τ)〉
Produit scalaire
〈x(t), y(t)〉 =∫
R
x(t)y∗(t)dt
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Densité spectrale d’énergie
Définitionsx(f) = TF [Rx(τ)]
Propriété
sx(f) = |X(f)|2
Preuve
sx(f) =
∫
R
[∫
R
x(t)x∗(t− τ)dt
]exp(−j2πfτ)dτ
=
∫
R
[∫
R
x∗(t− τ) exp(−j2πfτ)dτ
]x(t)dt
=
∫
R
[∫
R
x∗(u) exp [j2πf(u− t)] du
]x(t)dt
= X∗(f)X(f)Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 13/106
Exemple
Fenêtre rectangulaire
x(t) = ΠT (t) =
{1 si − T
2 < t < T2
0 sinon
Fonction d’autocorrélation
Rx(τ) = TΛT (τ)
Densité spectrale d’énergie
sx(f) = T 2sinc2(πTf) = |X(f)|2
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Signaux déterministes périodiques
Définition P = 1T0
∫ T0/2−T0/2
|x(t)|2dt < ∞
Fonction d’autocorrélation
Rx(τ) =1
T0
∫ T0/2
−T0/2
x(t)x∗(t− τ)dt = 〈x(t), x(t− τ)〉
Fonction d’intercorrélation
Rxy(τ) =1
T0
∫ T0/2
−T0/2
x(t)y∗(t− τ)dt = 〈x(t), y(t− τ)〉
Produit scalaire
〈x(t), y(t)〉 = 1
T0
∫ T0/2
−T0/2
x(t)y∗(t)dt
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Densité spectrale de puissance
Définitionsx(f) = TF [Rx(τ)]
Propriété
sx(f) =∑
k∈Z
|ck|2δ(f − kf0)
avec x(t) =∑
k∈Z ck exp(j2πkf0t).
Preuve
Rx(τ) =∑
k,l
ckc∗l exp (j2πlf0τ)
[1
T0
∫ T0/2
−T0/2
exp [j2π(k − l)f0t] dt
]
=∑
k
|ck|2 exp(j2πkf0τ)
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Exemple
Sinusoïdex(t) = A cos(2πf0t)
Fonction d’autocorrélation
Rx(τ) =A2
2cos(2πf0τ)
Densité spectrale de puissance
sx(f) =A2
4[δ(f − f0) + δ(f + f0)]
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Signaux déterministes à puissance finie
Définition P = limT→∞
1T
∫ T/2−T/2 |x(t)|2dt < ∞
Fonction d’autocorrélation
Rx(τ) = limT→∞
1
T
∫ T/2
−T/2
x(t)x∗(t− τ)dt = 〈x(t), x(t− τ)〉
Fonction d’intercorrélation
Rxy(τ) = limT→∞
1
T
∫ T/2
−T/2
x(t)y∗(t− τ)dt = 〈x(t), y(t− τ)〉
Produit scalaire
〈x(t), y(t)〉 = limT→∞
1
T
∫ T/2
−T/2
x(t)y∗(t)dt
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Densité spectrale de puissance
Définitionsx(f) = TF [Rx(τ)]
Propriété
sx(f) = limT→∞
1
T|XT (f)|2
avec
XT (f) =
∫ T/2
−T/2
x(t) exp(−j2πft)dt
Exemple
x(t) = A1 cos(2πf1t) + A2 cos(2πf2t)
avec f1 et f2 non commensurables.
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Signaux aléatoires stationnaires
DéfinitionMoyenne : E[x(t)] indépendant de t
Moment d’ordre 2 : E[x(t)x∗(t− τ)] indépendant de t
Fonction d’autocorrélation
Rx(τ) = E[x(t)x∗(t− τ)] = 〈x(t), x(t− τ)〉
Fonction d’intercorrélation
E[x(t)y∗(t− τ)] = 〈x(t), y(t− τ)〉
Produit scalaire〈x(t), y(t)〉 = E[x(t)y∗(t)]
Remarques : stationnarité au sens strict, large, à l’ordre deux, tests de stationnarité.
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Densité spectrale de puissance
Puissance moyenne
P = Rx(0) = E[|x(t)|2
]=
∫
R
sx(f)df
Densité spectrale de puissanceDéfinition
sx(f) = TF [Rx(τ)]
Propriété
sx(f) = limT→∞
1
TE[|XT (f)|2
]
mais en général X(f) n’existe pas !
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Exemples
Exemple 1 : Sinusoïde
x(t) = A cos(2πf0t+ θ)
θ va uniforme sur [0, 2π].Fonction d’autocorrélation
Rx(τ) =A2
2cos(2πf0τ)
Densité spectrale de puissance
sx(f) =A2
4[δ(f − f0) + δ(f + f0)]
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Exemples
Exemple 2 : Bruit blancFonction d’autocorrélation
Rx(τ) =N0
2δ(τ)
Densité spectrale de puissance
sx(f) =N0
2
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Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Transformée de Fourier
Classes de signaux déterministes et aléatoires
Propriétés de Rx(τ) et de sx(f)
Ergodicité
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
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Propriétés de Rx(τ )
Symétrie Hermitienne : R∗x(−τ) = Rx(τ)
Valeur maximale : |Rx(τ)| ≤ Rx(0)
Distance entre x(t) et x(t− τ) : si x(t) est un signal réel
d2 [x(t), x(t− τ)] = 2 [Rx(0)− Rx(τ)]
Donc Rx(τ) mesure le lien entre x(t) et x(t− τ).
Décomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité desapplications, on a
Rx(τ) = R1(τ) +R2(τ)
où R1(τ) est une somme de fonctions périodiques etR2(τ) tend vers 0 lorsque τ → ∞.
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Propriétés de sx(f )
DSP réellesx(f) ∈ R
De plus, si x(t) signal réel, sx(f) réelle paire
Positivité : sx(f) ≥ 0
Lien entre DSP et puissance/énergie
P ou E = Rx(0) =
∫
R
sx(f)df
Décomposition de Lebesgue : dans la quasi-totalité desapplications, on a sx(f) = s1(f) + s2(f), où s1(f) est unspectre de raies et s2(f) un spectre continu (casgénéral : partie singulière).
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Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Transformée de Fourier
Classes de signaux déterministes et aléatoires
Propriétés de Rx(τ) et de sx(f)
Ergodicité
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
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Ergodicité et stationnarité
DéfinitionOn dit qu’un processus aléatoire stationnaire X(t) est ergodique aupremier ordre si
YT =1
T
∫T
0
X(u)dumq−→
T→+∞
E [X(t)]
Remarques
Convergence en moyenne quadratique
YT
mq−→T→+∞
E [X(t)] = m ⇔ limT→∞
E[(YT −m)2
]= 0.
Lien entre stationnarité et ergodicité
Ergodicité ⇒ Stationnarité mais Stationnarité ; Ergodicité
moyenne statistique = moyenne temporelle
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Exemples
Exemple 1 : le secteur
X(t) = cos (2πf0t+ θ)
avec f0 = 50Hz et θ uniformément répartie sur [0, 2π].
Exemple 2 : le carré du secteur
Y (t) = A cos2 (2πf0t+ θ)
= A
[1
2+
1
2cos (4πf0t+ 2θ)
]
où θ est une variable aléatoire uniformément répartie sur[0, 2π] et A une variable aléatoire de moyenne m et devariance σ2 > 0.
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Théorème
Pour un processus aléatoire stationnaire au sens large X(t)
de moyenne E [X(t)] = m, de fonction d’autocorrélationRX (τ) = E [X(t)X∗ (t− τ)] et de densité spectrale depuissance sX(f) = TF [RX (τ)], on a
YT = 1T
∫ T
0X(u)du
mq−→T→+∞
m ⇔ ∆SX (0) = |m|2 (1)
avec ∆SX (0) = SX (0+)− SX (0−) et sX (f) = dSX(f)df
.
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Applications du théorème
Exemple 1 : le secteur
X(t) = cos (2πf0t+ θ)
avec f0 = 50Hz et θ uniformément répartie sur [0, 2π].
Exemple 2 : le carré du secteur
Y (t) = A cos2 (2πf0t+ θ)
= A
[1
2+
1
2cos (4πf0t+ 2θ)
]
où θ est une variable aléatoire uniformément répartie sur[0, 2π] et A une variable aléatoire de moyenne m et devariance σ2 > 0.
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Résultats intéressants
Un signal aléatoire x(t) est ergodique au premier ordre siet seulement si
1
T
∫ T
0
c(τ)dτ −→T→+∞
0
où c(τ) = E[x(t)x∗(t− τ)]− |m|2 est l’autocovariance dex(t) (Preuve : livre de Papoulis).
Condition suffisante d’ergodicité au premier ordre : sic(τ) −→
τ→+∞0, alors x(t) est ergodique au premier ordre
(Preuve : voir livre Papoulis).
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Que faut-il savoir ?
Reconnaître si un signal est à énergie finie, àpuissance finie périodique ou aléatoire.
Qu’est ce qu’un signal aléatoire stationnaire ?
Les différentes définitions d’une fonctiond’autocorrélation Rx(τ)
La définition unifiée d’une densité spectrale : sx(f) = ?
Les différentes définitions d’une densité spectrale
Ce qu’est un bruit blanc
Ce qu’est un bruit gaussien
Propriétés de Rx(τ) et de sx(f)
Qu’est ce qu’un signal ergodique ?
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Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Introduction
Relations de Wiener-Lee
Formule des interférences
Filtre adapté
Filtre de Wiener
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de PoissonCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 34/106
Introduction
On cherche une opération avec les propriétés suivantes
Linéarité : T [a1x1(t) + a2x2(t)] = a1T [x1(t)] + a2T [x2(t)]
Invariance dans le tempsSi y(t) = T [x(t)] alors T [x(t− t0)] = y(t− t0)
Stabilité BIBOSi |x(t)| ≤ Mx alors il existe My tel que
|y(t)| = |T [x(t)] | ≤ My
“Limitation” du spectre d’un signal
☞ Convolution
y(t) = x(t) ∗ h(t) =∫
R
x(u)h(t− u)du = h(t) ∗ x(t)
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ECG avant filtrage
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ECG après filtrage
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Commentaires
La linéarité ne suffit pas. Contre-exemples
y(t) = m(t)x(t) ou y(t) = x(0)
CNS de Stabilité BIBO∫
R
|h(t)|dt < ∞, i.e., h ∈ L1
Réponse impulsionnelle et Transmittance
H(f) = TF [h(t)] =
∫
R
h(t) exp(−j2πft)dt
Si x(t) = δ(t) alors y(t) = h(t). Ceci permet d’obtenir laseule réponse impulsionnelle possible.
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Réalisabilité d’un filtre
Domaine temporel(1) h(t) réelle
(2) h(t) ∈ L1 (stabilité)(3) h(t) causale (filtre sans mémoire)
Domaine spectral(1) Symétrie hermitienne : H∗(−f) = H(f)
(2) ne peut se traduire
(3) H(f) = −jH(f), où H(f) = H(f) ∗ 1πf est la
transformée de Hilbert de H (preuve dans le coursmanuscrit).
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Identifier une relation de filtrage linéaire
Signaux déterministes
y(t) = x(t) ∗ h(t) ⇔ Y (f) = X(f)H(f)
Signaux aléatoires : Isométrie fondamentale
Si x(t)I↔ ej2πft, alors y(t)
I↔ ej2πftH(f)
Exemplesy(t) =
∑nk=1 akx(t− tk)
y(t) = x′(t)
y(t) = x(t)m(t)
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Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Introduction
Relations de Wiener-Lee
Formule des interférences
Filtre adapté
Filtre de Wiener
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de PoissonCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 41/106
Relations de Wiener Lee
Densité spectrale de puissance
sy(f) = sx(f)|H(f)|2
Intercorrélation
Ryx(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ)
Autocorrélation
Ry(τ) = Rx(τ) ∗ h(τ) ∗ h∗(−τ)
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Preuves (signaux à énergie finie)
Densité spectrale de puissance
sy(f) = |Y (f)|2 = |X(f)H(f)|2 = sx(f)|H(f)|2
Intercorrélation
Ryx(τ) =
∫
R
y(u)x∗(u− τ)du
=
∫
R
Y (f)[e−j2πfτX(f)
]∗df
=
∫
R
X(f)H(f)[ej2πfτX∗(f)
]df
=
∫
R
sx(f)H(f)ej2πfτdf = TF−1[sx(f)H(f)] CQFD
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Preuve (signaux à puissance finie)
Intercorrélation
Ryx(τ) =1
T0
∫ T0/2
−T0/2
y(t)x∗(t− τ)dt
=1
T0
∫ T0/2
−T0/2
[∫
R
h(v)x(t− v)dv
]x∗(t− τ)dt
=
∫
R
h(v)
[1
T0
∫ T0/2
−T0/2
x(t− v)x∗(t− τ)dt
]dv
=
∫
R
h(v)Rx(τ − v)dv CQFD
etc ...
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Preuves (signaux aléatoires)
Intercorrélation
Ryx(τ) =E[y(t)x∗(t− τ)]
=〈y(t), x(t− τ)〉
=〈ej2πftH(f), ej2πf(t−τ)〉
=
∫
R
ej2πftH(f)e−j2πf(t−τ)sX(f)df
=
∫
R
H(f)ej2πfτsX(f)df
= h(τ) ∗Rx(τ) CQFD
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Preuves (signaux aléatoires)
Autocorrélation
Ry(τ) =E[y(t)y∗(t− τ)]
=〈y(t), y(t− τ)〉
=〈ej2πftH(f), ej2πf(t−τ)H(f)〉
=
∫
R
ej2πftH(f)e−j2πf(t−τ)H∗(f)sx(f)df
=
∫
R
|H(f)|2sx(f)ej2πfτdf
=TF−1{sx(f)|H(f)|2}= h(τ) ∗ h∗(−τ) ∗Rx(τ) CQFD
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 46/106
Preuves (signaux aléatoires)
Autocorrélation
Ry(τ) = TF−1{sx(f)|H(f)|2}
Densité Spectrale de Puissance
sy(f) = sx(f)|H(f)|2 CQFD
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 47/106
Valeur moyenne
PropriétéE[y(t)] = E[x(t)]H(0)
Preuve
E[y(t)] =E
[∫
R
x(t− u)h(u)du
]
=
∫
R
E[x(t− u)]h(u)du
=E[x(t)]
∫
R
h(u)du (signal stationnaire)
=E[x(t)]H(0) CQFD
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 48/106
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Introduction
Relations de Wiener-Lee
Formule des interférences
Filtre adapté
Filtre de Wiener
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de PoissonCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 49/106
Formule des interférences
Hypothèses
y1(t) = x(t) ∗ h1(t) et y2(t) = x(t) ∗ h2(t)
Conclusion
Ry1y2(τ) =
∫
R
sx(f)H1(f)H∗2(f)e
j2πfτdf
Preuve
Ry1y2(τ) = E[y1(t)y∗2(t− τ)]
=
∫
R
ej2πftH1(f)e−j2πf(t−τ)H∗
2 (f)sx(f)df
=
∫
R
H1(f)H∗2(f)e
j2πfτsx(f)df CQFD
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Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Introduction
Relations de Wiener-Lee
Formule des interférences
Filtre adapté
Filtre de Wiener
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de PoissonCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 51/106
Filtre adapté : maximisation du SNR
Signal observé
x(t) = s(t) + n(t), t ∈ [0, T ]
s(t) signal déterministe à énergie finie et n(t) signal aléatoire
stationnaire de moyenne nulle et de densité spectrale de
puissance sn(f).
Filtrage
y(t) = ys(t) + yn(t) = s(t) ∗ h(t) + n(t) ∗ h(t)
Rapport signal sur bruit
SNR(t0) =y2s(t0)
E [y2n(t0)]
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 52/106
Expression équivalente du SNR
SNR(t0) =y2s(t0)
E [y2n(t0)]=
∣∣∫RH(f)S(f)ej2πft0df
∣∣2∫R|H(f)|2 sn(f)df
Numérateur
ys(t) = TF−1 [S(f)H(f)] =
∫
R
H(f)S(f)ej2πftdf
Dénominateur
Wiener Lee
syn(f) = sn(f) |H(f)|2
Puissance
Pyn = E[y2n(t0)
]= Ryn (0) =
∫
R
sn(f) |H(f)|2 dfCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 53/106
Inégalité de Cauchy-Schwartz
∣∣∣∣∫
R
a(f)b∗(f)df
∣∣∣∣2
≤∫
R
a(f)a∗(f)df
∫
R
b(f)b∗(f)df
Numérateur∣∣∣∣∫
R
H(f)S(f)ej2πftdf
∣∣∣∣2
=
∣∣∣∣∫
R
a(f)b∗(f)df
∣∣∣∣2
avec a(f) =√
sn(f)H(f) et b(f) = S∗(f)√sn(f)
e−j2πft0 .
Dénominateur∫
R
sn(f) |H(f)|2 df =
∫
R
a(f)a∗(f)df
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 54/106
Expression du filtre adapté
Cauchy-Schwartz
SNR(t0) =
∣∣∫RH(f)S(f)ej2πft0df
∣∣2∫R|H(f)|2 sn(f)df
≤∫
R
b(f)b∗(f)df
avec égalité pour a(f) = kb(f), i.e.,
H(f) = kS∗(f)
sn(f)e−j2πft0
Cas d’un bruit blanc
H(f) = KS∗(f)e−j2πft0 ⇔ h(t) = Ks∗ (t0 − t)
Symétrie oy + Translation
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SNR maximum
Définition
SNR(t0)max =
∫
R
b(f)b∗(f)df =
∫
R
2
N0|S(f)|2 df =
2E
N0
où E est l’énergie du signal. On voit donc que le lerapport signal à bruit maximal ne dépend pas de laforme du signal mais uniquement de son énergie.
Page wikipedia Matched Filter
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Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Introduction
Relations de Wiener-Lee
Formule des interférences
Filtre adapté
Filtre de Wiener
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de PoissonCours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 57/106
Filtre de Wiener
HypothèsesSoient I(t) et B(t) deux processus aléatoiresstationnaires de moyennes nulles E[B(t)] = E[I(t)] = 0,de fonctions d’autocorrélation RI(τ), RB(τ) et de densitésspectrales de puissance sI(f) et sB(f).
ProblèmeOn observe
X(t) = I(t) + B(t), t ∈ ∆ ⊂ R
et on cherche la meilleure estimation linéaire de I(t)
(notée I(t)) obtenue par filtrage linéaire de X(t).
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 58/106
Projection Orthogonale
{ }∆∈ttX ),(
)(tI
)(ˆ tI
)(ˆ)( tItI −
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 59/106
Equations Normales
Définition
E{[
I(t)− I(t)]X∗(u)
}= 0 ∀u
ou
E [I(t)I∗(u)] = E[I(t)X∗(u)
]∀u
Résolution
E [I(t)I∗(u)] = RI(t− u)
E[I(t)X∗(u)
]=
∫h(t− v)RX(v − u)dv
=
∫h(x)RX(t− u− x)dx
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 60/106
Equations Normales
Résolution
RI(y) =
∫h(x)RX(y − x)dx = h(y) ∗RX(y) ∀y
Filtre optimal
H(f) =sI(f)
sX(f)=
sI(f)
sI(f) + sB(f)
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 61/106
Erreur d’estimation
Définition
σ2 = E[|I(t)− I(t)|2
]
= E{[
I(t)− I(t)]I∗(t)
}
= RI(0)− E[I(t)I∗(t)
]
Second terme
E[I(t)I∗(t)
]=
∫h(t− u)E [I(u)I∗(t)] du
+
∫h(t− u)E [B(u)I∗(t)]
=
∫h(x)R∗
I(x)dx
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 62/106
Erreur d’estimation
Conclusion
σ2 =
∫sI(f)df −
∫H(f)sI(f)df
=
∫sI(f)sB(f)
sI(f) + sB(f)df
Remarques
l’erreur est nulle lorsqu’il n’y a pas de bruit
l’erreur est nulle lorsque les DSP du signal et du bruitont des supports disjoints
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Image d’origine
Original image
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120 40
60
80
100
120
140
160
180
200
220
240
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 64/106
Image bruitée
Noisy image | SNR = 19.1517
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
0
50
100
150
200
250
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 65/106
Image débruitée
Denoised image | SNR = 22.5345
20 40 60 80 100 120
20
40
60
80
100
120
50
100
150
200
250
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 66/106
Que faut-il savoir ?
Reconnaître une relation de filtrage linéaire
Densité spectrale de puissance de la sortie d’un filtre
Intercorrélation entre l’entrée et la sortie d’un filtre
Moyenne de la sortie d’un filtre
Formule des interférences
Filtre adapté
Filtre de Wiener
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 67/106
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Échantillonnage idéal
Échantillonnage réel
Méthodes pratiques de restitution
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 68/106
Échantillonnage idéal
Signaux à énergie finieDomaine temporel
xe(t) =∑
k∈Z
x(kTe)δ(t− kTe) = x(t)∑
k∈Z
δ(t− kTe)
Domaine Fréquentiel
Xe(f) = X(f) ∗ Fe
∑
k∈Z
δ(f − kFe) = Fe
∑
k∈Z
X(f − kFe)
Périodisation du spectre
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 69/106
Commentaires
Théorème de Shannon
Fe > 2fmax
Restitution
Xr(f) =1
FeXe(f)ΠFe
(f)
Interpolateur de Shannon
xr(t) =∑
k∈Z
x(kTe)sinc [πFe(t− kTe)]
Généralisation
xr(t) =∑
k∈Z
x(kTe)h (t− kTe)
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 70/106
Commentaires
Fréquences normalisées
Fe > 2fmax ⇔ f =f
Fe≤ 1
2
Repliement et filtre anti-repliement
Généralisation : signaux déterministes à puissance finie
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 71/106
Échantillonnage d’une sinusoïde
Signal et spectre
x(t) = A cos(2πf0t) ⇔ X(f) =A
2[δ(f − f0) + δ(f + f0)]
Cas particulierFe = 2f0
Repliement
f0 = 5kHz et Fe = 100kHz
f0 = 5kHz et Fe = 8kHz
Filtre de restitution ΠFe(f)
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 72/106
Signaux aléatoires stationnaires
Theorème de ShannonSi x(t) est un signal aléatoire stationnaire à bandelimitée, i.e.,
sx(f) = 0 |f | > fmax
et que Fe > 2fmax alors
xN (t) =
N∑
k=−N
x(kTe)sinc [πFe(t− kTe)]MQ→N→∞
x(t)
Preuvevoir livre de Papoulis page 478.
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 73/106
Signaux aléatoires stationnaires
Autocorrélation
Rx(τ) =∑
k∈Z
Rx(kTe)sinc [πFe(τ − kTe)]
Interpolateur de Shannon pour Rx(τ) = TF−1[sx(f)].
Densité spectrale de puissanceSi on pose y(n) = x(nTe) alors
sy
(f)=∑
k∈Z
Ry(k)e−j2πkf = Fe
∑
k∈Z
sx
(f − k
Te
)
Périodisation de la densité spectrale de puissance
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 74/106
Preuve
sy
(f)=∑
k∈Z
Ry(k)e−j2πkf
=∑
k∈Z
Ry(k)
∫
R
e−j2πftδ(t− k)dt
=
∫
R
e−j2πft
[∑
k∈Z
Rx(kTe)δ(t− k)
]dt
=TF
[Rx(tTe)
∑
k∈Z
δ(t− k)
]
=1
Tesx
(f
Te
)∗∑
k∈Z
δ(f − k
)CQFD
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 75/106
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Échantillonnage idéal
Échantillonnage réel
Méthodes pratiques de restitution
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 76/106
Échantillonnage bloqueur
Domaine temporel
xb(t) =∑
k∈Z
x(kTe)πτ
(t− τ
2− kTe
)= xe(t) ∗ πτ
(t− τ
2
)
Domaine spectral
Xb(f) =τ
Tee−jπτfsinc(πτf)
∑
k∈Z
X(f − kFe)
Spectre d’ordre 0
X0(f) =τ
Tee−jπτfsinc(πτf)X(f)
Conditions de restitution
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 77/106
Échantillonnage réel
Échantillonnage moyenneurvoir TD
Échantillonnage à porte analogique...
ExemplesTéléphone
fmax = 3400Hz et Fe = 8kHz
Audiofmax = 15kHz et Fe = 44.1kHz
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 78/106
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Échantillonnage idéal
Échantillonnage réel
Méthodes pratiques de restitution
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 79/106
Restitution
Filtrage passe bas
H(f) = ΠFe(f)
Interpolation linéaireFiltre non causal
Bloqueur d’ordre 0Utilisé dans la quasi-totalité des applications
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Que faut-il savoir ?
Echantillonnage = périodisation du spectre
Théorème de Shannon pour les signaux déterministeset aléatoires
Interpolateur de Shannon
Filtre anti-repliement
Fréquences normalisées
Effets du repliement spectral
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 81/106
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Introduction
Quadrateur
Quantification
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 82/106
Introduction
Transformation sans mémoire
y(t) = g [x(t)]
ExemplesQuadrateur
y(t) = x2(t)
Quantificationy(t) = xQ(t)
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 83/106
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Introduction
Quadrateur
Quantification
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 84/106
Quadrateur
Signaux déterministes
Y (f) = X(f) ∗X(f)
ExemplesSinusoïde : x(t) = A cos(2πf0t)
Y (f) =A2
2δ(f) +
A2
4[δ(f − 2f0) + δ(f + 2f0)]
Disparition de la fréquence f0 et apparition de lafréquence 2f0Somme de sinusoïdes : Termes d’intermodulationSinus cardinal : doublement de la largeur de bande
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Signal aléatoire gaussien
DéfinitionOn dit qu’un signal aléatoire X(t) est gaussien si pour tout ensemble d’instants(t1, ..., tn), le vecteur [X(t1), ...,X(tn)]
T est un vecteur gaussien de Rn.
Loi univariée de X(t)
La loi de X(t) est alors une loi gaussienne de densité
p[X(t)] =1
√
2πσ2(t)exp
{
−[X(t)−m(t)]2
2σ2(t)
}
.
Si le signal X(t) est stationnaire au sens large alors
m(t) = E[X(t)] = m, et σ2(t) = E[X2(t)]− E2[X(t)] = RX(0)−m2.
donc les paramètres de la densité de X(t) sont indépendants du temps.
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 86/106
Signal aléatoire gaussien
Loi bivariée de [X(t),X(t− τ)]
La loi du vecteur V (t) = [X(t),X(t− τ)]T est alors une loi gaussienne de R2 dedensité
p[x(t), x(t− τ)] =1
2π√
|Σ(t)|exp
{
−1
2[V (t)−m(t)]T Σ
−1(t) [V (t)−m(t)]
}
.
où m(t) = [m1(t),m2(t)]T ∈ R2 est le vecteur moyenne, avec m1(t) = E[X(t)] andm2(t) = E[X(t− τ)], et Σ(t) ∈ M2(R) est la matrice de covariance définie par
Σ(t) =
σ21(t, τ) σ1,2(t, τ)
σ1,2(τ) σ22(t, τ)
où σ21(t, τ) et σ2
2(t, τ) sont les variances de X(t) et de X(t− τ) et σ1,2(t, τ) est lacovariance [X(t),X(t− τ)]T . Si le signal X(t) est stationnaire au sens large alors
σi(t, τ) = RX(0)−m2, et σ1,2(t, τ) = E[X(t)X(t−τ)]−E[X(t)]E[X(t−τ)] = RX(τ)−m2,
donc les paramètres de la densité de V (t) sont indépendants du temps.
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 87/106
Stationnarité de Y (t) = g[X(t)]
Si X(t) est un signal aléatoire stationnaire, alors pour toute non-linéarité g, Y (t) estégalement un signal aléatoire stationnaire. En effet
Moyenne
E[Y (t)] = E {g[X(t)]} =
∫
g[x(t)]p[x(t)]dx(t).
Comme les paramètres de p[x(t)] ne dépendent que de RX (0) et de m, E[Y (t)] estune quantité indépendante de t.
Fonction d’autocorrélation
E [Y (t)Y (t− τ)] =
∫ ∫
g[x(t)]g[x(t− τ)]p[x(t), x(t− τ)]dx(t)dx(t− τ).
Comme les paramètres de p[x(t), x(t− τ)] ne dépendent que de RX (τ), RX (0) et dem, E[Y (t)Y (t− τ)] est une quantité indépendante de t.
Le signal Y (t) est donc stationnaire au sens large. Sa moyenne dépend de RX(0) et de m
et sa fonction d’autocorrélation dépend de RX (τ), RX(0) et de m.
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Quadrateur pour signaux aléatoires
Théorème de PriceHypothèses(X1, X2) vecteur Gaussien de moyenne nulleY1 = g(X1) et Y2 = g(X2)
Conclusion
∂E(Y1Y2)
∂E(X1X2)= E
(∂Y1∂X1
∂Y2∂X2
)
Application au quadrateur
RY (τ) = 2R2X(τ) +K
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Détermination de K
Moments d’une loi Gaussienne centrée
E(X2n+1
)= 0, E
(X2n
)= [(2n−1)×(2n−3)...×3×1]σ2n
τ = 0
E[Y 2(t)
]= E
[X4(t)
]= 3R2
X(0) = 2R2X(0) +K
Autocorrélation
RY (τ) = 2R2X(τ) + R2
X(0)
Densité spectrale de puissance
sY (f) = 2sX(f) ∗ sX(f) +R2X(0)δ(f)
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Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Introduction
Quadrateur
Quantification
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Chapitre 6 : Signaux des télécommunications
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Quantification
Principe
xQ(t) = i∆qi = xi et xi −∆qi2
≤ x(t) ≤ xi +∆qi2
DéfinitionsPas de quantification : ∆qi
Quantification uniforme : ∆qi = ∆q = 2Amax
N
Niveaux de quantification : xiNombre de niveaux de quantification : N = 2n
Nombre de bits de quantification : n
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Erreur de quantification
Hypothèse
ǫ(t) suit la loi uniforme sur[−∆q
2 , ∆q2
], i.e., N ≥ 28
Rapport signal sur bruit de quantification
SNRdB = 10 log10
(σ2xσ2ǫ
)
Variance du bruit : σ2ǫ = (∆q)2
12
Sinusoïde : σ2x = A2
2
ConclusionSNRdB = 6n+ 1.76
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 93/106
Remarques
Généralisation à un signal Gaussien
2Sσ = N∆q ⇒ SNRdB = 6n+ ...
Quantification non uniforme
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 94/106
Que faut-il savoir ?
Traitement non-linéaire = possibilité de créer denouvelles fréquences
Savoir appliquer le théorème de Price. Intérêt ?
Définition et propriétés de la quantification
Savoir calculer le rapport signal sur bruit dequantification
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 95/106
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Définition
Signal des télégraphistes
Introduction aux files d’attente
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 96/106
Processus de Poisson homogène
NotationsInstants : {tj}j∈ZNombre d’instants dans [t, t+ τ [ : N(t, τ)
HypothèsesStationnarité (régime établi) : Pn(τ) = P [N(t, τ) = n]est indépendante de t.Indépendance du passé et de l’avenir (nonembouteillage) : si [t, t+ τ [ et [t′, t′ + τ ′[ sont desintervalles disjoints, alors N(t, τ) et N(t′, τ ′) sont desva indépendantes.Non accumulation (non simultanéité des instants ti) :si φ(τ) = P [N(t, τ) ≥ 2], alors φ(τ)
τ →τ→0
0
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 97/106
Conclusions
Loi de N(t, τ)N(t, τ) suit une loi de Poisson de paramètre λ|τ |, où λest le nombre moyen d’instants dans un intervalle delargeur τ = 1.
Loi des largeurs d’intervalles :Si Ln = tn+1 − tn, alors {Ln}n∈Z est une suite de vaindépendantes de lois exponentielles de paramètre λ(utile pour la simulation)
Loi des instantsSi l’intervalle [0, t[ contient n instants t1, ..., tn, alorschaque instant ti suit une loi uniforme sur [0, t[.
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 98/106
Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Définition
Signal des télégraphistes
Introduction aux files d’attente
Cours Traitement du Signal, 2EEEA, 2020-2021 – p. 99/106
Signal des télégraphistes
Définition
X(t) =
A si t = 0
A si N(0, t) pair−A si N(0, t) impair
où A est uniforme sur {−1,+1}.
StationnaritéMoyenne
E [X(t)] = 2P [X(t) = 1]− 1 = 0
Fonction d’autocorrélation
E [X(t)X(t− τ)] = e−2λ|τ |, τ ∈ R
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Signal des télégraphistes
Densité spectrale de puissance
sX(f) =λ
λ2 + π2f2
ApplicationImagerie radar à synthèse d’ouverture (Imagerie SAR)
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Plan du cours
Chapitre 1 : Corrélations et Spectres
Chapitre 2 : Filtrage Linéaire
Chapitre 3 : Échantillonnage
Chapitre 4 : Traitements Non-linéaires
Chapitre 5 : Processus de Poisson
Définition
Signal des télégraphistes
Introduction aux Files d’attente
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Introduction aux Files d’attente
Hypothèses
Un guichet
Une file d’attente
Arrivée des clients décrite par un processus dePoisson de paramètre λ
Temps de service Ts ∼ E(µ) avec E(Ts) = 1/µ
Conclusion (admise)Probabilité d’avoir n clients dans le système à l’instant t
P [X(t) = n] = (1−Q)Qn, n ∈ N
avec Q = λ/µ < 1.
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Nombres moyens de clients
Dans le système
L = E [X(t)] =Q
1−Q
Dans la file d’attente
LQ = E[XQ(t)
]=
Q2
1−Q
Résultat utile
∞∑
n=1
nxn =x
(1− x)2, |x| < 1
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Temps de séjour moyen d’un client C
Dans le système
W = E (T ) = E [E (T |An)] =1
µ(1−Q)
où An est l’événement “il y a n clients dans le systèmelorsque C y rentre”.
Dans la file d’attente
WQ = E(TQ)= E (T )− 1
µ=
Q
µ(1−Q)
Formules de Little
L
W=
LQ
WQ= λ
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Que faut-il savoir ?
Signification de N(t, τ) pour un processus de Poissonhomogène
Loi de N(t, τ) pour un processus de Poisson homogène
Comment déterminer la moyenne et la fonctiond’autocorrélation du signal des télégraphistes
Quelques notions de base sur les files d’attente
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