1-Traitement Du Signal

Dpt. Télécommunications, Services & Usages Traitement du Signal H. Benoit-Cattin 1

Traitement du Signal

Hugues BENOIT-CATTIN


• 1. Les transformées du Traitement du Signal : Fourier,

Laplace, Z (1h),TD

• 2. La chaîne de traitement numérique : échantillonnage,

quantification, restitution (2h), TP

• 3. Introduction aux signaux aléatoires (4h), TD

• 4. Filtrage numérique (5h),TD,TP

• 5. Filtrage adaptatif (2h), TP

• 6. Architecture des DSP (2h), TP

• 7. Traitement de la parole et du son (8h), TD TP

Plan


1. Les transformées du TS• Transformée de Fourier– Définition– Échantillonnage et périodisation– Signaux de durée limitée et signaux périodiques– Signaux échantillonnés de durée limitée– Signaux discrets

• Transformée de Laplace– Définition– Relation avec la transformée de Fourier

• Transformée en Z– Définition – Relation avec la transformée de Fourier– Relation avec la transformée de Laplace


1.1 Transformée de Fourier (1811)

X f x t j f t dt t R f R( ) ( ) exp( ) , ,

2

x t X f j f t df t R f R( ) ( ) exp( ) , ,

2

• Définition

• Quelques propriétés– Linéarité

– X(f) module |X(f)|, phase Arg[X(f)]

– x(t) réel Re[X(f)] paire, Im[X(f)] impaire, module pair, phase impaire

– x(t) réel pair X(f) réel pair

– x(t) réel impair X(f) imaginaire impair

– x(t)*y(t) X(f).Y(f) et x(t).y(t) X(f)*Y(f)


• Quelques relations– x(t)*d(t-t0)= x(t-t0) X(f) exp(-2jp f t0)

– x(t) exp(2 j p t f0) X(f-f0)

– x*(t) X*(-f)

– x(at) |a|-1 X(f/a)

– dnx(t)/dtn (2 j p f )n X(f)

• Signaux importants– d(t) 1

– 1(t) ½ d(f) + 1/(2 j p f )

– cos(2pf0t) [d(f-f0) +d(f+f0)]/2 et sin(2pf0t) [d(f-f0) -d(f+f0)]/2j

– Sd(t+nT) Fe Sd(f+kFe) avec Fe=1/T

– Rect(t) 2a.Sinc(pfa)


Échantillonnage et périodisation

• Échantillonnage idéal...

• ...Transformée de Fourier...

... périodisation en fréquence.

x t x t t x t t kT x kT t kTe Tkk

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) [ ] ( )

X fT

X f fT

X fk

Te

T k

( ) ( ) * ( ) ( )

1 11

Échantillonnage temporel <=> périodisation en fréquenceÉchantillonnage en fréquence <=> périodisation temporelle


Signaux de durée finie et signaux périodiques

1

T

x(t)

0 T t f

X(f)Transformée de

Fourier

Echantillonnage

en fréquence

f2

T

00 T 2T

Xe(f)

xT(t)

Transformée

inverse de

Fourier


Signaux échantillonnés de durée finie

x t x k t kTe

N

( ) ( )

0

1

xe(t)

0 NT t f

X(f)Transformée de

Fourier

Echantillonnage

en fréquence

f1

N T

00 NT 2NT

Xe(f)

xTe

(t)

Transformée

de Fourier

1

T

1

T

0

Périodisation


Transformée de Fourier des signaux discrets

• Signal discret x[k]

• Transformée de Fourier discrète, périodique

Fréquence définie sur la période principale de 0 à 1 ou de -½ à ½

• Fréquence d’échantillonnage réelle Fe=1/Te

Fréquence définie de 0 à Fe ou de -Fe/2 à Fe/2

• Mêmes propriétés que la transformée de Fourier des signaux continus

X f x k j f kk

( ) [ ]exp( )

2

X f x kT j f k Te ek

( ) [ ]exp( )

2


1.2 Transformée de Laplace (1820)

X f x t j f t rt dt( ) ( ) exp( ) exp( )

2

X s x t s t dt t R s C( ) ( ) exp( ) , ,

en posant : wjrfjrs ..2.

• Définition

Introduite pour palier aux limitations de la transformée de Fourier

CsRtdstssXtx

,,)exp()()(


Systèmes différentiels et Laplace

Pour les systèmes continus linéaires invariant de réponse impulsionnelle h(t)

M

M

MN

N

N dt

tydp

dt

tdyptup

dt

tydq

dt

tdyqtyq

)(...

)()(

)(....

)()( 1010

uQ

Py

)(

)(

N

ii

M

jj

ps

zs

KsQ

sPsHthTLsH

1

1

)(

)(

)(

)()())(()( avec

Causal : N M

• Fonction de transfert

zéros

pôles

Système stable ||h(t)||1< Re(pi) < 0


Relations entre Laplace et Fourier

fjrjwrs 2.

• Pour s imaginaire pur, et on retombe sur Fourier H(s)=H(f)fjjws 2.

• H(f) = H(s) évaluée sur l'axe imaginaire du plan de Laplace

• Exemple : h(t)=exp(-at) 1(t)

-a

s=j w

j

r

))((1

)(

),exp(1

)(

jHArgjH

jjH

et

H ss a

( ) 1

un pôle en s=-a

v le vecteur du plan complexe reliant les point s et -a

)exp(. jasv


1.3 Transformée en Z

n

n

znxzX

Somme de série... donc problèmes de convergence !

fjerz 2

• Définition

• Quelques propriétés

– Linéarité

– Décalage temporel :

– Convolution :– Multiplication par série

exponentielle :

x n i z X zT Z i . . ( )

x n x n X z X zT Z1 2 1 2* ( ) ( ). .

a x n Xz

an T Z. . ( )


Systèmes différentiels et TZ

• Fonction de transfert

NQ

MP zzXbzzXbzXbzzYazzYazY )(...)()()(...)()( 1

101

1

M

ii

N

jj

MP

NQ

pz

zz

Kzaza

zbzbb

zX

zYzH

1

1

11

110

)(

)(

...1

...

)(

)()(

)(...)1()()(...)1()( 101 NnxbnxbnxbMnyanyany QP

Causal : N M

Système stable |pi|< 1

H(z)=TZ(h(t))


Relations entre TZ et Fourier

z = exp(j2pf) on restreint z au cercle unité

X z x k j f k X fz k

( ) [ ]exp( ) ( )

1

2

f=1

Re(z)

Im(z)

f croissante

1-1

f=0f=1/2

f=1/4

On retrouve la transformée de Fourier discrète du signal x[k], et sa périodicité


Relations entre Laplace et TZ

X s x kT t kT st dtek

( ) [ ] ( ) exp( )

x kT t kT st dt

x kT ksTk

[ ] ( ) exp( )

[ ]exp( )

Transformée de Laplace de x[kT], signal échantillonné :

= X(z) avec z=exp(sT)

En posant s = r + jw= r +j2pf

on obtient z =exp(rT)exp(j2pfT)

c.à.d une périodicite de 1/T dans le plan des Z


Plan de Laplace Plan des Z

Re(s)

Im(s)Im(z)

Re(z)

2Fe

4Fe

6Fe

-2Fe

-4Fe

-6Fe

01

f=0f=1

entierk , ,...,0,...,

)(2

kT

kfjrs

Plan de Laplace Plan des Z

Re(s)=r

Im(s)= wIm(z)

Re(z)

2pFe=2p/T

01

f=0

f=1

0


Interprétation géométrique de la TZ

Plan des Z

Re(z)1

f=0f=1

0-a

r

j

X zz a

( ) 1

|a|<1

X f( ) 1

Arg X f( ( ))

Périodicité de X(f)


2. Chaîne de traitement numérique du signal

• Chaîne de traitement numérique

• Échantillonnage– Échantillonnage idéal : Th. de Shannon– Filtre anti-repliement– Échantillonnage réel

• Quantification– Pas, niveaux, erreur et bruit – Quantification scalaire uniforme linéaire– Quantification scalaire non uniforme, loi de compression

• Restitution– Restitution idéale – Restitution réelle


2.1 Chaîne de traitement numérique du signal

• Avantages des systèmes numériques- Faibles tolérances des composants- Sensibilité réduite, Précision contrôlée- Reproductibilité, pas de réglage- Souplesse, nombre d’opérations illimité- Systèmes non réalisables en analogique

• Inconvénients- Inconvénients des systèmes numériques- Source d’énergie nécessaire- Limitations en haute fréquence- CAN/CNA- Bande passante nécessaire importante


...6, 9, 12, 15,18, 17, 13, 17,19,...

Filtre passe-bas

anti-repliementg(t), G(f)

Echantillonneur-bloqueur et

Convertisseur A/N

Système de

traitementnumérique

h[n],H(z)

Convertisseur N/A

Filtre de restitution

r(t), R(f)

x t e t g t( ) ( )* ( )=

...5, 9, 11, 16,18, 17, 14, 17,20,...

x t x kT t kT

x k

e( ) [ ] ( )

[ ]

= -å d

X fT

X fn

T

X z

e( ) ( )

( )

= -å1

e t( )

E f( ) X f E f G f( ) ( ) ( )=

y k x k h k

y t y kT t kT

[ ] [ ]* [ ]

( ) [ ] ( )

=

= -å d

Y z X z H z

Y f périodique

( ) ( ) ( )

( )

=

y t y t rect t Ta( ) ( )* ( / )=

Y f Y f TSinc Tfa ( ) ( ) ( )=

s t y t r ta( ) ( ) * ( )=

S f Y f R fa( ) ( ) ( )=


• Filtre analogique anti-repliement– Eliminer les hautes fréquences

• (Echantillonneur-bloqueur)– Maintien du signal à l’entrée du convertisseur

• Convertisseur analogique numérique (CAN)– Convertir en binaire l’amplitude des échantillons

• Système numérique de traitement– Calcul sur la suite de valeurs binaires

• Convertisseur numérique analogique (CNA)– Transformer une suite de valeurs binaires en un signal analogique

• (Filtre de restitution)– Eliminer les fréquences indésirables à la sortie du CNA


2.2 Echantillonnage

• ProblèmeOrage

Jour

Nuit

Nuit

Température

Temps

• Mesurer la température mais ... pour quelle application ?• Bande passante limitée de la chaîne de mesure analogique.

• Combien de mesures par jour ? 1 ou ... 10100 (ou plus !)• Comment ne pas perdre ou déformer l’information «utile»


Echantillonnage idéal

x t x t t x kT t kTe Tk

( ) ( ) ( ) [ ] ( )

X fT

X f fT

X fk

Te

T k

( ) ( ) * ( ) ( )

1 11

T=1/Fe-FMAX

-FMAX FMAX

FMAX0 Fe=1/T-1/T 2/T

Filtre derestitution

x(t) X(f)

xe(t) Xe(f)

t

t

f

f

0

Périodisation en fréquence


Echantillonnage idéal : Théorème de Shannon

• Si Fe > 2 Fmax alors les spectres périodisés ne se recouvrent pas

Reconstitution du signal analogique de départ théoriquement possible

• Si Fe < 2 Fmax il y a recouvrement de spectre

On ne peut pas reconstituer le signal analogique de départ et l’information est déformée


Filtre anti-repliement

• Pour éviter le repliement de spectre on élimine les

fréquences contenues dans le signal analogique

supérieures à Fe /2

• On utilise un filtre passe-bas analogique dit filtre

anti-repliement

• Le filtre anti-repliement définit Fmax !


Illustration : stromboscope

x t f t X f f f f fTF( ) cos( ) ( ) [ ( ) ( )] 21

20 0 0

X f f f f f f fe ( ) ( ( )) ( ( )) .... 1

2 0 0 0 0

X f f fe ( ) ( ) ( ) ....... 1

2

Fréquence d’échantillonnage Fe = f0+e

Fréquence apparente eXe(f)

Fe-Fe

-f0

f0e-e


Échantillonnage réel

• Fréquences résiduelles au delà de Fe / 2

– Filtre anti-repliement non idéal

– Filtre anti-repliement impossible (CCD)

– Bruit de la partie analogique de la chaîne d’acquisition

• Effet de l’échantillonneur-bloqueur

• Échantillonnage des signaux de fréquence proche de Fe/2

Fe > (2+k) Fmax


2.3 Quantification

Réduction d ’un espace de valeurs

Espace infini de valeurs Espace fini de valeurs niveaux de quantification

Écart entre 2 niveaux consécutifs pas (plage) de quantification (D)


Erreur (ou bruit) de quantification

)()()( txtxt qe

B

SqBS P

PR /

Le rapport signal sur bruit de quantification

PS : puissance du signal m(t)

PB : puissance du bruit de quantification

xe(t) : signal échantillonné non quantifié

xq(t) : signal échantillonné quantifié


Types de quantification

• Quantification scalaire = échantillon par échantillon

• Quantification vectorielle = groupe d ’échantillons (vecteur)

• Quantification uniforme = plage constante

• Quantification non uniforme• Quantification optimale = Erreur minimale (plage+niveaux adaptés)


Quantification scalaire uniforme linéaire

• Plage de quantification D = cte

• Niveau de quantification = milieu des plages

• Nombre de niveaux : Nnq = dyn/D• Erreur de quantification : - D /2 e(t) <+ D /2


La puissance moyenne du bruit de quantification peut s’écrire :

12).(.)(

22

2/

2/

22

dftPB

où f() désigne la densité de probabilité de , supposée constante : Ctef

1)(

La puissance moyenne du signal dépend de sa densité probabilité.Si elle est de type gaussienne avec mmax=3

36

2

9

1 2max2

max2 m

mPS

NRNnqm

P

PR dBBS

B

SqBS 677.4

3

1

3

4/

22

2max

/

Nnq=2N


Bruit de quantification du CAN

• Plage d’entrée du CAN P• Nombre de bits en sortie N• Pas de quantification D = P/2N

)(log208.106 10/x

dBBS

PNR

Pour P= 8 sx (1 ech / 15000 > 4, sx)

on a : NR dBBS 627.7/

Pour un RSB d’environ 90 dB (qualité audio)il faut au moins N=16 bits.


Quantification scalaire non uniforme

Quantification uniforme (RS/N)q est non constant (peut devenir très faible!)

dépend de l’amplitude du signal

Erreur de quantification non constante


Les faibles amplitudes sont « amplifiées »

ou « favorisées » par rapport aux fortes valeurs

Loi de compression logarithmique

• Loi de compressionCompression

(loi)Quantification

uniforme

Pré-traitement des valeurs et conservation

d ’un quantificateur simple


maxmax mc

)t(mcy,

m

)t(mx Soit m(t) le signal à compresser et mc(t) le signal compressé :

Les valeurs de A = 87.6 et = 255 sont normalisées.

(RS/N)q est de l’ordre de 35 dB pour un niveau d’entrée maximal de 40 dB

• Loi de compression logarithmique A, m


L’obtention de caractéristiques analogiques de compression et d’expansion

réciproques est impossible Approximation par segments

1

1

• Compression logarithmique par segment


A chaque valeur échantillonnée et quantifiée mot de n bits -code-

Echantillonnage MICm(t) Quantification Codage

fréquence fe q niveaux n bits

CAN (q = 2n)

Modulation d ’impulsions codées (MIC, PCM)

Remarque : le codage toujours de longueur fixe à la numérisation

Le codage de source est un traitement numérique, bien qu ’une loi

de compression ait pour conséquence de réduire la redondance !!


Exemple : La téléphonie

L’utilisation d’un MIC à

à compression par segments

non uniforme (loi A) permet

de coder les 256 niveaux de

quantification par :

n = log2 256 =8 bits

Fe=8 kHzD = 8 *8=64 kbit/s


2.4 Restitution

Restitution idéale, interpolateur idéal

-FMAX

FMAX

t

f

x(t) X(f)

f0

-FMAX

FMAX

0 Fe=1/T-1/T 2/T

Filtre de

restitutionxe(t) X

e(f)

tT=1/F

e


• Interprétation temporelle

T X f rect f TF

X f rectf

FX fe

ee

e

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1

• Filtrage passe-bas

x t x kT t kTe e( ) [ ] ( ) X fT

X fk

Te ( ) ( ) 1

x kT t kT SinctTe[ ] ( ) * ( )= -å dt

x t x t SincTe( ) ( )* ( )=

x t x kT Sinct kT

Te( ) [ ] ( )


• Interpolateur idéal de Shannon

x t x kT Sinct kT

Te( ) [ ] ( )

L’interpolateur de Shannon est irréalisable car il correspond à un filtre non causal


Restitution réelle (CNA), interpolateur d ’ordre N

Tt

x(t)

• Cas N=0

x t x t rectt

Te

T

( ) ( ) * ( ) 2

• Conséquences spectrale

X f T X f Sinc f T j fT

e( ) ( ) ( ) exp( ) 22


• Conséquences spectrale, interpolateur ordre 0

-FMAX FMAXt

f

x(t) X(f)

f0

-FMAX FMAX0 Fe=1/T-1/T 2/T

Filtre derestitutionxe(t) Xe(f)

tT=1/Fe

Filtre de restitution (analogique, passe-bas)

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