Traitement du signal - Freeluc.fety.free.fr/ftp/EI1/Traitement du signal.pdf · Traitement...

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Signal électrique Traitement du signal Télécommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, …) Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation écho, Analyse, Synthèse, …) Médical (Échographie, Imagerie, Biosignaux, …) Radar, géophysique, Acoustique (sous-marine) Grandeur physique Milieu de transmission Capteur Bruit Traitement du signal Exploitation

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  • Signal

    électrique

    Traitement du signal

    • Télécommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, …)• Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation écho, Analyse, Synthèse, …)• Médical (Échographie, Imagerie, Biosignaux, …)• Radar, géophysique, Acoustique (sous-marine)• …

    Grandeur

    physique

    Milieu de

    transmissionCapteur

    Bruit

    Traitement du

    signal

    Exploitation

  • Signaux et Systèmes

    Les signaux :- Déterministes

    - Impulsionnels

    - Périodiques

    - Aléatoires : bruits (bruit blanc), données, information, …

    Les systèmes :– Linéaires Invariant dans le Temps (SLIT) : canaux de transmission,

    composants électroniques passifs (R,L,C), filtres analogiques et numériques, …

    � régis par l'opération de convolution� ayant les signaux sinusoïdaux comme fonctions propres

    � Fonction de transfert et analyse de Fourrier

    – Non linéaires ou non stationnaires : non linéarités (saturation),

  • Traitement Numérique du Signal

    Numérisation : double discrétisation�Discrétisation temporelle : Echantillonnage�Discrétisation numérique : Quantification

  • Plan du coursIntroduction

    Rappels� Systèmes linéaires invariants dans le temps� Analyse de Fourier

    Echantillonnage� Théorème de l'échantillonnage� Bruit de quantification

    Filtrage numérique� Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)� Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)� Transformée en Z

    Transformée de Fourier Discrète (TFD)� Transformée de Fourier Discrète Rapide : FFT (Fast Fourier Transform)

  • Références

    Les livres :• Traitement numérique du signal, Maurice BELLANGER (Dunod) ;• Méthodes et techniques de traitement du signal, J.MAX (Masson) ;• Traitement numérique des signaux, M.KUNT (Dunod) ;• Digital signal processing, J. G. Proakis, D. G. Manolakis, (Prentice Hall)

    Sur Internet :• Wikipédia : site en pleine progression• Luc Vandendorpe :

    http://www.tele.ucl.ac.be/EDU/ELEC2900/tout_2900b.pdf• Joël Le Roux : http://users.polytech.unice.fr/~leroux/

    Exercices, Devoirs surveillés et documents de cours :• http://luc.fety.free.fr• http://luc.fety.free.fr/ftp/EI1/• http://luc.fety.free.fr/ftp/ELE102/

  • Systèmes linéaires invariants dans le temps

    Linéarité :

    Invariance temporelle :

    Exemples : canaux de transmission, systèmes optiques, filtrage, …

    )(tx SLIT )(ty

    )(1 tx )(1 ty

    )(2 tx )(2 ty

    )()( 2211 txtx αα + )()( 2211 tyty αα +

    )(tx )(ty

    )( τ−tx )( τ−ty

    Principede

    superposition

    Stationnarité

  • Convolution

    Réponse impulsionnelle :

    Un signal quelconque peut être exprimé comme une somme d'impulsions :

    En vertu de la linéarité et de l'invariance temporelle :

    Cette opération s'appelle le produit de convolution :

    )(tδ SLIT )(th

    ττδτ dtxtx )()()( −= ∫+∞

    ∞−

    τττ dthxty )()()( −= ∫+∞

    ∞−

    )()()( thtxty ∗=

  • Propriétés du produit de convolution

    Le produit de convolution est– commutatif :

    – associatif :

    – distributif :

    L'élément neutre est l'impulsion de Dirac :

    La convolution par opère une translation de :

    Évaluation graphique :

    (Wikipedia)

    )()()()( xfxgxgxf ∗=∗)())()(())()(()( xhxgxfxhxgxf ∗∗=∗∗

    )()()()())()(()( xhxfxgxfxhxgxf ∗+∗=+∗

    )()()()()( xfduuxfuxxf =−=∗ ∫+∞

    ∞−δδ

    )()()()()( axfduuxfauaxxf −=−−=−∗ ∫+∞

    ∞−δδ

    )( ax −δ a

    duuxgufxgxf )()()()( −∗=∗ ∫+∞

    ∞−

  • Fonctions propres

    Fonctions telles que

    Proposition : �

    )()()( txdtxh ⋅=−∫+∞

    ∞−λτττ

    )(tx )()()( txthtx ⋅=∗ λ

    atetx =)( )()( )( txeeeetx aatata ⋅=⋅==− −−− ττττ

    44 344 21

    λ

    ττ ττττ dehedeh aatta −+∞

    ∞−

    −+∞

    ∞− ∫∫ ⋅= )()()(

  • Exprimer le signal d'entrée comme une somme de fonctions propres :

    ou

    Pour déterminer plus facilement le signal de sortie :

    ou

    est appelée " Transformée de ". est appelée " Fonction de Transfert ".

    Base de fonctions propres

    ∑ ⋅=a

    ateaXtx )()( ∫ ⋅= aatdaeaXtx )()(

    ∑ ⋅⋅=a

    at

    aY

    eaXaty43421

    )(

    )()()( λ ∫ ⋅⋅= aat

    aY

    daeaXaty43421

    )(

    )()()( λ

    )(tx )(tySLIT

    )(aX )(tx

    )(aλ )()()( aXaaY ⋅= λ

  • Différentes transformées :

    • Laplace :

    • Fourier :

    • En Z dans le cas des signaux échantillonnés, …

    ωα jpa +== ∫ ⋅= pptdpepXtx )()(

    fja π2= ∫+∞

    ∞−⋅= dfefXtx ftπ2)()(

  • Exemple de décomposition

    tftx 02cos)( π= ?)( =tySLIT

    tfjtfj eetx 00 222

    1

    2

    1)( ππ −+=

    SLIT

    SLIT

    +

    tfje 022

    1 π

    tfje 022

    1 π−

    tfjfH e 02

    21

    )0(π

    tfjfH e 02

    21

    )0(π−

    ⋅−

    ))0(02cos()0()( ftffHty ϕπ +=

    *)0()0( fHfHsi =−

  • Exemple de SLIT

    )(tx +τ

    )()()( τ−+= txtxty

    )1()(

    22)(222

    0

    0000043421

    fH

    fjtfjtfjtfjtfj eeeee τππτπππ −− +=+→

    )1()(

    22)(222

    0

    0000043421

    fH

    fjtfjtfjtfjtfj eeeee−

    +−−−−− +=+→ τππτπππ

    tfjefHtfjefHtytfjetfjetftx 00000002)(

    212)(

    21)(2

    212

    212cos)( πππππ −⋅−+⋅=→−+==

    τπτπτπτπτπτπτπ 000000000 cos2)(cos2)()(fj

    effHetfj

    effj

    efj

    efj

    efH+⋅=−−⋅=−⋅−++=

    )2cos(cos2)2(21)2(

    21cos2)( 00000000 τππτπ

    τππτππτπ ftffftfjeftfjefty −⋅=

    +−⋅+−⋅=

  • Ce qu'il faut retenir

    Les traitements des signaux sont le plus souvent des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps .

    Ils sont régis par le produit de convolution :

    est la réponse impulsionnelle du système. Elle caractérise entièrement le système.

    Les transformées de Laplace et de Fourier sont très utilisées pour l'étude des SLIT car elles sontbasées sur des fonctions propres des SLIT de la forme .

    Elles transforment le produit de convolution en produit simple.

    )(tx )(tySLIT

    τττ dthxthtxty )()()()()( −=∗= ∫+∞

    ∞−

    )(th

    ate

  • Traitement Numérique du Signal

    Le traitement numérique des signaux requiert leur numérisation :

    1) Les calculateurs sont des systèmes discrets : Ils peuvent tout au plus mémoriser et calculer les valeurs des signaux à des instants dénombrables. � Il faut donc opérer une discrétisation temporelle :

    L'Echantillonnage

    2) Les mémoires disponibles dans les calculateurs sont elles-mêmes constituées d'un nombre fini de bits : Elles peuvent tout au plus mémoriser des valeurs arrondies des échantillons des signaux. � il s'agit d'une discrétisation numérique :

    La Quantification

  • L'Echantillonnage

    L'échantillonnage d'un signal consiste à mesurer et ne conserver que ses valeurs à des instantsparticuliers :

    Le signal obtenu est un signal discret :

    est l'indice (ou indexe) des échantillons.

    est le symbole de Kronecker :

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    { }LL 9.06.06.09.009.0)()( −−−==↑

    nTexnx A

    )(nx

    )(txA

    ∑+∞

    −∞=

    −⋅=i

    niixnx )()()( δ

    )(nδ

    =≠

    =01

    00)(

    nsi

    nsinδ

    Nn∈

    TeefTe

    =1

    : Période d'échantillonnageTe

    : Fréquence d'échantillonnageef

  • Reconstruction

    Problème : Plusieurs signaux présentent les mêmes échantillons :

    Il faut certainement compléter l'information contenue dans les échantillons pardes hypothèses supplémentaires.

    Solution retenue : Hypothèses dans le domaine spectral

    � Le théorème d'échantillonnage

    τττ dthxthtxty )()()()()( −=∗= ∫+∞

    ∞−

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

  • Spectre d'un signal échantillonné

    Considérons l'expression analogique du signal numérique :

    Peut-on exprimer comme une somme de sinusoïdes ?

    ou peut-être

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    -0.5

    0

    0.5

    1 )(txA

    )(txN

    )(txN

    )(txN

    ∑=f

    ftjfN eatx

    π2)( ∫= fftj

    fN dfeatxπ2)(

  • Spectre d'un signal échantillonné

    Les signaux présentent tous les mêmes échantillons :tkftxtx eAk π2cos)()( ⋅=

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    tfeπ2cos

    tftx eA π2cos)( ⋅

    tfeπ4cos

    tftx eA π4cos)( ⋅

    )(txA

    )(txA

  • Spectre d'un signal échantillonné

    Si nous faisons la somme de ces signaux : ∑= + −

    ⋅+K

    k ee

    eAA

    tekfjtekfj

    tkftxtx1 22

    2cos2)()(43421

    ππ

    π

    1=K

    2=K

    3=K

    4=K

    5=K

    )(txA

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-101

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-202

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    -505

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

    010

    Nous obtenons un signal constitué d'impulsions approchant .)(txN

  • 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100

    -80

    -60

    -40

    -20

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    Spectre d'un signal échantillonné100=K

    8.8 8.9 9 9.1 9.2

    -5

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1000

    -800

    -600

    -400

    -200

    0

    200

    400

    600

    800

    10001000=K

    ⋅+⋅= ∑

    =1

    2cos2)()()(k

    eAAN tkftxtxfetx π

    ∑∞

    −∞=

    −⋅=n

    AN nTetnTextx )()()( δ

    )(ˆ txN

    )()(ˆ2

    2

    nTexdttx AnTe

    nTeN

    Te

    Te≈⋅∫

    +

    ∑∞

    −∞=

    ⋅⋅=k

    tkfjAN

    eetxfetx π2)()(

  • 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000

    -800

    -600

    -400

    -200

    0

    200

    400

    600

    800

    1000

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100

    -80

    -60

    -40

    -20

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 9.4

    -5

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    Vérification du facteur 1=fe

    10=fe

    ef

    0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94

    -50

    0

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    1=Te

    1.0=Te

  • Modulation � Périodisation

    ∑+∞

    −∞=

    −⋅=k

    eAN kffXfefX )()(

    ∑∞

    −∞=

    ⋅⋅=k

    tkfjAN

    eetxfetx π2)()(

    )( fX A

    f0

    )( fXN

    f0efef ef2ef2−

    ∫+∞

    ∞−= dfefXtx ftjAA

    π2)()(

    ∑ ∫∞

    −∞=∫ −

    ∞+

    ∞−

    +

    ∞+∞−

    ⋅=k

    dtekffX

    tkffjAN

    ftjeA

    e dfefXfetx444 3444 21

    π

    π

    2)(

    )(2)()(

    )( eA ffX − )2( eA ffX −)( eA ffX +)2( eA ffX +

  • Transformée de Fourier de

    ∑∞

    −∞=

    −⋅=n

    AN nTetnTextx )()()( δ

    ∑∞

    −∞=

    −⋅=n

    fnTejAN enTexfX

    π2)()(

    )(txN

    ∫+∞

    ∞−

    −= dtetxfX ftjNNπ2)()(

    ∫ ∑∞+

    ∞−

    −+∞

    −∞=

    −⋅= dtenTetnTexfX ftj

    nAN

    πδ 2)()()(

    or

    ∑ ∫+∞

    −∞=

    +∞

    ∞−

    −−⋅=n

    ftjAN dtenTetnTexfX

    πδ 2)()()(

  • Reconstruction

    )()()( fHfXfX NA ⋅=

    )( fH

    f0

    )( fXN

    f0efef ef2ef2−

    )( eAe ffXf +⋅ )( fXf Ae ⋅)2( eAe ffXf +⋅ )( eAe ffXf −⋅ )2( eAe ffXf −⋅

    )( fX A

    f0

    2ef

    2ef−

    ef1

    ∫+

    −⋅= 2

    2

    21 )()(ef

    efedfefXtx ftjNfA

    π

  • Formule de Shannon (reconstruction)

    ∫+

    −⋅= 2

    2

    21 )()(ef

    efedfefXtx ftjNfA

    π

    ∑+∞

    −∞=

    −=n

    fnTejAN enTexfX

    π2)()(

    ∫ ∑+

    +∞

    −∞=

    − ⋅

    = 2

    2

    221 )()(ef

    efedfeenTextx ftj

    n

    fnTejAfA

    ππ ∑ ∫+∞

    −∞=

    +

    =

    n

    nTetfjfAA

    ef

    efedfenTextx

    2

    2

    )(21)()( π

    ∑+∞

    −∞=

    −−−−

    −=

    n

    nTetjnTetjnTetjfAA

    efef

    eeenTextx )(2)(2

    )(211 22)()( πππ ( )∑

    +∞

    −∞=−

    −=n

    nTetjnTetfj

    fAAe

    enTextx

    )(2)(sin(21)()( π

    π

    ∑+∞

    −∞=−

    −=n

    nTetfnTetf

    AAe

    enTextx)(

    )(sin()()( ππ

    or

  • Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon

    )( fX A

    f0

    )( fXN

    f0efef ef2ef2− 2

    ef2ef−

    )(ˆ fX A

    f0efef ef2ef2− 2

    ef2ef−

    maxf

    2maxeff < Au moins2 échantillons par période

    Repliement de spectre

  • ∑∞

    −∞=

    −⋅=n

    AN nTetnTextx )()()( δ ∑∞

    −∞=

    ⋅⋅=k

    tkfjAeN

    eetxftx π2)()(

    ∑∞

    −∞=

    −⋅=n

    AN nTettxtx )()()( δ ∑∞

    −∞=

    ⋅=k

    tkfjeAN

    eeftxtx π2)()(

    ∑∑∞

    −∞=

    −∞=

    =−k

    tkfje

    n

    eefnTet πδ 2)(

    ∑∑∞

    −∞=

    −∞=

    − −=k

    een

    fnTej kfffe )(2 δπ

    ∑∞

    −∞=

    −∗=k

    eeAN kffffXfX )()()( δ∑∞

    −∞=

    −∗=n

    fnTejAN efXfX

    π2)()(TF

    TFTF

    En définitive

    ∑∞

    −∞=

    −=k

    eAeN kffXffX )()(∑∞

    −∞=

    −=n

    fnTejAN enTexfX

    π2)()(

    TF TF

  • Filtres Numériques

    Linéarité :

    Invariance temporelle :

    )(nx SLIT discret )(ny

    )(1 nx )(1 ny

    )(2 nx )(2 ny

    )()( 2211 nxnx αα + )()( 2211 nyny αα +

    )(nx )(ny

    )( τ−nx )( τ−ny

    Principede

    superposition

    Stationarité

    Ce sont des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps discret :

  • Convolution discrète

    Réponse impulsionnelle :

    Un signal numérique peut être exprimé comme une somme d'impulsions :

    En vertu de la linéarité et de l'invariance temporelle :

    Cette opération s'appelle la convolution discrète :

    )(nδ SLIT Discret )(nh

    ∑ −= )()()( knkxnx δ

    )()()( nhnxny ∗=

    ∑ −= )()()( knhkxny

  • Le Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps discrets sont régis par

    Convolution continue � discrète

    ∫+∞

    ∞−−=∗= duutxuhthtxty )()()()()(

    Ce sont des Systèmes à temps discrets : ∑+∞

    −∞=

    −==n

    N nTetnhthth )()()()( δ

    Traitant des signaux à temps discrets : ∑+∞

    −∞=

    −==n

    N nTetnxtxtx )()()()( δ

    ∫ ∑∑+∞

    ∞−

    +∞

    −∞=

    +∞

    −∞=

    −−−= dulTeutlxkTeukhtylk

    )()()()()( δδ

    ∑ ∑ ∫+∞

    −∞=

    +∞

    −∞=+−

    +∞

    ∞−−−−=

    k lTelkt

    dulTeutkTeulxkhty44444 344444 21

    ))((

    )()()()()(

    δ

    δδ

    l'opération de convolution continue :

    knllknposons −=⇒+=

    444 3444 2144 344 21

    )()(

    )()()()()()(

    ty

    nn

    ny

    k

    N

    nTetnynTetknxkhty ∑∑ ∑+∞

    −∞=

    +∞

    −∞=

    +∞

    −∞=

    −=−−= δδ ∑+∞

    −∞=

    −=k

    knxkhny )()()(

    )()()( ttt δδδ =∗

  • Réponse en fréquence

    ∑+∞

    −∞=

    −=k

    knxkhny )()()(

    Si alors :fnTejenx π2)( = 43421

    444 3444 21)(

    2

    )(

    2)(2 )()()(nx

    fnTej

    fH

    k

    fkTej

    k

    Teknfj eekhekhny πππ

    == ∑∑

    +∞

    −∞=

    −+∞

    −∞=

    SLIT DiscretfnTeje π2fnTejefH π2)( ⋅

    ∑+∞

    −∞=

    −=k

    fkTejekhfH π2)()(

    Les signaux de la forme sont les seuls pour lesquels ce phénomène est observé. Ce sont les fonctions propres des systèmes linéaires invariants dans le temps

    nTeeα

  • Importance de la décomposition de Fourier

    dfefXnx fnTej∫+∞

    ∞−= π2)()(

    Convolution par)(nx )(ny

    dfefHfXny fnTej

    fY

    ∫+∞

    ∞−= π2

    )(

    )()()(43421

    )(nh

    )( fX)( fHMultiplication par

    )( fY

    TF TF -1

    )()()( fHfXfY ⋅=

    Résolution théorique, traitement d'images, traitement par blocs, …

  • Comme leur nom l'indique, leur réponse impulsionnelle est finie ;

    Filtres à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)

    c'est-à-dire nulle en dehors d'un intervalle borné : par exemple dans le

    ∑∑−

    =

    +∞

    −∞=

    −=−=1

    0

    )()()()()(N

    kk

    knxkhknxkhny

    cas d'un filtre causal :

    )(nδ RIF )(nh

    1−N n0n0

    { }LL4444 34444 21

    LLL 00)1()1()0(00)(termesN

    Nhhhnh −=

    L'opération de convolution requière N multiplication-accumulations et elle

    est généralement mise en œuvre telle qu'elle dans le processeur de traitement.

  • Représentation

    ∑−

    =

    −=1

    0

    )()()(N

    k

    knxkhny

    { })1()1()0()( −=↑

    Nhhhnh L

    )(nx

    )(ny

    Te Te Te TeL Te

    +

    )1(h

    +

    )2(h

    +

    )3(h

    + +

    )1( −Nh)0(h L

    L

    )1( +− Nnx

  • Filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)

    ∑+∞

    =

    −=0

    )()()(k

    knxkhny

    Comme leur nom l'indique, leur réponse impulsionnelle est infinie :

    L'opération de convolution requière un nombre infini de multiplication-accumulations et ne peut donc pas être mise en œuvre directement dans le processeur de traitement.

    Solution : Systèmes récursifs

    Exemple :

    )(nx

    )(ny

    Te+b

    )1()()( −⋅+= nybnxny

    )()( nnx δ= � { }LL nbbbbnhny 321)()(↑

    ==

    � Vérifier qu'il s'agit bien d'un SLIT

  • Équations aux différences

    ∑∑−

    =

    =

    −=−1

    0

    1

    0

    )()()()(N

    k

    M

    k

    knxkaknykb

    Plus généralement, un Système Linéaire Invariant dans le Temps Discret peut être défini par son équation aux différences :

    Il s'agit bien d'un système linéaire car :

    ∑∑−

    =

    =

    −=−1

    01

    1

    01 )()()()(

    N

    k

    M

    k

    knxkaknykb

    ∑∑−

    =

    =

    −=−1

    02

    1

    02 )()()()(

    N

    k

    M

    k

    knxkaknykb

    Alors : ( ) ( )∑∑−

    =

    =

    −+−=−+−1

    021

    1

    021 )()()()()()(

    N

    k

    M

    k

    knxknxkaknyknykb

    Si :

    Et si :

  • Filtre récursif

    {

    44 344 2144 344 21

    récursivepartie

    M

    k

    transversepartie

    N

    k

    knykbknxkanyb ∑∑−

    =

    =

    −−−=1

    1

    ""

    1

    01

    )()()()()()0(

    Sous certaines conditions, il est possible de calculer récursivement le signal de sortie :

    Remarque : On peut faire en sorte que 1)0( =b

    )(nx

    )(ny

    Conditions : Il faut que les soient tels que le système soit stable .

    )(kb

    +

    )(ka )(kbTe Te Te TeL Te

    +

    )1(a

    +

    )2(a

    +

    )3(a

    + +

    )1( −Na)0(a L

    L

    Te Te Te TeL Te

    + +

    )3(b

    +

    )2(b)1( −Mb L

    L+

    )1(b

  • Réponse Impulsionnelle Infinie

    44 344 2144 344 21

    récursivepartie

    M

    k

    transversepartie

    N

    k

    knhkbknkanh ∑∑−

    =

    =

    −−−=1

    1

    ""

    1

    0

    )()()()()( δ

    )(nδ

    )(nh

    +

    )(ka )(kbTe Te Te TeL Te

    +

    )1(a

    +

    )2(a

    +

    )3(a

    + +

    )1( −Na)0(a L

    L

    Te Te Te TeL Te

    + +

    )3(b

    +

    )2(b)1( −Mb L

    L+

    )1(b

    { ( ) }L)0()1()1()1()0(*)2()2()0()1()1()0()( abababaabaanh ++++=↑

    0 20 40 60 80 100-20

    -10

    0

    10

    20

    0 20 40 60 80 100-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    Système stable : Système instable

    est difficile àdéterminer de cette manière !

    )(nh

  • En effet, si alors :

    Réponse en fréquence et fonction de transfert en Z

    Si la réponse impulsionnelle est divergente : alors :

    +fnTejenx π2)( =44 344 21

    43421

    )(

    0

    2

    )(

    2 )()(

    fH

    k

    fkTej

    nx

    fnTej ekheny ∑∞

    =

    −= ππ

    ∑∞

    =

    −=0

    2)()(k

    fkTejekhfH π

    ∑∞

    =

    −=0

    )()()(k

    knxkhny

    ∞→)( fH

    Mais il est toujours possible de calculer la réponse à un signal :

    ( )43421

    nfTeje

    fnTejnn eZπ

    πρ2

    2=

    nZnx =)( {43421

    )(

    0)(

    )()(

    ZH

    k

    k

    nx

    n ZkhZny ∑∞

    =

    −=

    ∑∞

    =

    −=0

    )()(k

    kZkhZH

    est la TF de )( fH )(nh

    Et si alors, amortit et rend la série convergente.minZ ρ> kZ −

    est la TZ de )(ZH )(nh

    réel)(kh

  • Transformée en Z

    La fonction de transfert en Z est la Transformée en Z de

    nZnx =)(

    ∑∞

    =

    −=0

    )()(k

    kZkhZH

    )(ZH )(nh

    { }L)3()2()1()0()( hhhhnh↑

    =

    TeZ de retard1 ≡−

    { {kTe

    k

    nx

    nkn ZZZknx −− ⋅==−)(

    )(

    )( pnh − )()'()(

    )''(0'

    )'( ZHZZkhZpkh p

    pkkpkkk

    pk

    pk

    k −

    +=→−=

    =

    +−∞

    =

    − ==− ∑∑

    )( pnx − ∑∞

    =

    −− =0

    )()( avec )(k

    kp ZkxZXZXZ

    Généralisation :

    La transformation en Z est l'équivalent de la transformation de Laplace : pTeeZ =

  • Application

    ∑∑−

    =

    =

    −=−1

    0

    1

    0

    )()()()(N

    k

    M

    k

    knxkaknykb

    De même si :

    ∑−

    =

    =

    =1

    0

    1

    0

    )(

    )(

    )(M

    k

    k

    N

    k

    k

    Zkb

    Zka

    ZH

    ∑∞

    =

    −=0

    )()()(k

    knxkhny

    ∑∑∞

    =

    −∞

    =

    − ⋅=⋅=00

    )()()()()(k

    k

    k

    k ZkhZXZZXkhZY

    ∑∞

    =

    −==0

    )()(

    )()(

    k

    kZkhZX

    ZYZH

    ∑∑−

    =

    −−

    =

    − =1

    0

    1

    0

    )()()()(N

    k

    kM

    k

    k ZkaZXZkbZY

  • Pour retrouver , il suffit de remplacer par

    )()( fHZH ↔

    fTejeZ π2↔

    )( fH ZfTeje π2

    ∑∑∞

    =

    =

    − =↔=0

    2

    0

    )()()()(k

    fkTej

    k

    k ekhfHZkhZH π

    Mais attention, il faut que la série converge pour 1=Z

    De même :

    ∑−

    =

    =−

    =

    =

    =↔=1

    0

    2

    1

    0

    2

    1

    0

    1

    0

    )(

    )(

    )(

    )(

    )(

    )(M

    k

    fkTej

    N

    k

    fkTej

    M

    k

    k

    N

    k

    k

    ekb

    eka

    fH

    Zkb

    Zka

    ZHπ

    π

    Remarque : )()( mais )()( 2 fTejeZHfHZfHfH π===≠

  • Factorisation

    ∑−

    =

    =

    =1

    0

    1

    0

    )(

    )(

    )(M

    k

    k

    N

    k

    k

    Zkb

    Zka

    ZH

    La fonction de transfert apparaît comme une fraction polynomiale et peut-être factorisée :

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )

    ( )∏

    =

    =

    =

    −−

    =

    −−

    =

    −−−−

    =

    −−−−

    −=

    −==

    M

    kk

    N

    kk

    M

    kk

    M

    N

    kk

    N

    M

    k

    kMM

    N

    k

    kNN

    ZPb

    ZZa

    PZbZ

    ZZaZ

    ZkbZ

    ZkaZ

    ZH

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    11

    1

    0

    11

    1)0(

    1)0(

    )0(

    )0(

    )(

    )(

    )(

    )(ZH

    Les racines du numérateur sont appelées zéros .kZ

    Les racines du dénominateur sont appelées pôles .kP

  • Cascade

    Toutes les cellules récursives doivent être stables !

    ( ) ∏∏=

    −=

    −×−=

    M

    k k

    N

    kk

    ZPZZaZH

    11

    1

    1

    1

    11)0()(

    )(ZX

    : Toujours stable

    )1()()()(

    )(

    1

    11

    −+=→=− −

    nyPnxnyZX

    ZY

    ZPk

    k: Cellule récursive

    du premier ordre

    111

    −− ZZ 121−− ZZ 11 −− ZZNL

    )(ZY111

    1−− ZP 121

    1−− ZP 11

    1−− ZPM

    L

    )1()()()(

    )(1 1 −+=→=− − nxZnxny

    ZX

    ZYZZ kk

  • Cellule récursive du 1er Ordre

    Si alors croît exponentiellement � divergence

    )(nx

    )(ny

    Te+b

    1>b

    { }LL nbbbbnh 321)(↑

    =

    { )1()()( −⋅+= nybnxnykP

    )(nh

    Si alors � mémoire infinie1=b 1)( =nh

    Si alors décroît exponentiellement � satisfaisant1

  • Interprétation Géométrique

    ( ) ( )

    ( ) ( )∏

    =

    −−

    =

    −−

    −=

    M

    k

    kM

    N

    kk

    N

    PZZ

    ZZZ

    aZH

    1

    1

    1

    1

    )0()(

    ( )

    ( )∏

    =

    −−

    =

    −−

    −===

    M

    kk

    fTejTeNfj

    N

    kk

    fTejTeNfj

    fTej

    Pee

    Zee

    aeZHfH

    1

    2)1(2

    1

    2)1(2

    2 )0()()(ππ

    ππ

    π

    =

    =

    =

    ==

    =M

    kk

    N

    k

    k

    M

    kdp

    kfTej

    N

    kdz

    kfTej

    fdp

    fdz

    a

    Pe

    Ze

    afH

    k

    k

    1

    1

    1

    2

    1

    2

    )(

    )(

    )0()0()(

    43421

    4434421

    π

    π

    Re

    Im

    0=f

    1

    j

    1−

    j−

    4Fef =

    43Fef =

    2Fef =

    1Z

    1Z

    1P

    1P

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

    0.5

    1

    1.5|H(f)|

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

    0

    2phase

    Phase non-linéaire

    Réponse en fréquence périodique

    )( fdz

    )( fdp

    fTeje π2

  • Synthèse

    La synthèse des filtres RII est basée comme en analogique sur les fonctions modèles : Butterworth , Tchebycheff, Cauer (Elliptique)

    Influence des pôles

    Influence des zéros

    (Source : Wikipédia)

  • Exemple sous Matlab (TP)

    [N, Wn] = ellipord(0.4, 0.6, 0.09, 60); � N = 6 Wn = 0.4

    [B,A] = ellip(N,0.09,60,Wn);

    � B = 0.0207 0.0585 0.1060 0.1255 0.1060 0.0585 0.0207

    � A = 1.0000 -1.9673 2.9074 -2.5353 1.5771 -0.5972 0.1163

    0 0.5 10

    0.5

    1

    1.5|H(f)|

    0 0.5 1-100

    -50

    0

    50|H(f)| (dB)

    0 0.5 10

    5

    10

    15

    20Groupe delay

    0 0.5 1-200

    -100

    0

    100

    200Phase (°)