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Traitement du SignalSignaux deterministes
Nicolas Dobigeon
Universite de ToulouseIRIT/INP-ENSEEIHT
Equipe Signal & Communications
http://www.enseeiht.fr/~dobigeon
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 1 / 83
Plan du cours
Correlations et spectresTransformee de FourierClasses de signaux deterministesProprietes de Rx (τ) et sx(f)
Filtrage lineaireDefinition et caracterisationRelations de Wiener-LeeFormules des interferencesExemples
EchantillonnageEchantillonnage idealEchantillonnage reelRestitution
Filtrage non-lineaireQuadrateurQuantification
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 2 / 83
Correlations et spectres
Plan du cours
Correlations et spectresTransformee de FourierClasses de signaux deterministesProprietes de Rx (τ) et sx(f)
Filtrage lineaire
Echantillonnage
Filtrage non-lineaire
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 3 / 83
Correlations et spectres
Transformee de Fourier
Plan du cours
Correlations et spectresTransformee de FourierClasses de signaux deterministesProprietes de Rx (τ) et sx(f)
Filtrage lineaire
Echantillonnage
Filtrage non-lineaire
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 4 / 83
Correlations et spectres
Transformee de Fourier
Transformee de Fourier
DefinitionLa transformee de Fourier (TF[·]) d’un signal x(t) est definie par
X(f) = TF[x(t)] =
∫Rx(t)e−j2πftdt
et admet une formule inverse
x(t) = TF−1[X(f)] =
∫RX(f)ej2πftdf
Proprietes
I Linearite
I Parite
I Translation et modulation
I Similitude
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 5 / 83
Correlations et spectres
Transformee de Fourier
Proprietes
I Produits de convolution
TF [x(t) ∗ y(t)] = X(f)Y (f)
TF [x(t)y(t)] = X(f) ∗ Y (f)
I Egalite de Parseval∫Rx(t)y∗(t)dt =
∫RX(f)Y ∗(f)df
I ConjugaisonTF [x∗(t)] = X∗(−f)
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 6 / 83
Correlations et spectres
Transformee de Fourier
Distributions
On introduit la distribution de Dirac δ(t) telle que
δ(t) =
{+∞, t = 00, t 6= 0
avec
∫Rδ(t)dt = 1
Remarque : interpretation.
I Localisationx(t)δ(t− t0) = x(t0)δ(t− t0)
I Produit de convolution
x(t) ∗ δ(t− t0) = x(t− t0)
I Transformee de Fourier
TF [δ(t)] = 1 TF [1] = δ(f)TF [δ(t− t0)] = e−j2πft0 TF
[ej2πf0t
]= δ(f − f0)
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 7 / 83
Correlations et spectres
Classes de signaux deterministes
Plan du cours
Correlations et spectresTransformee de FourierClasses de signaux deterministesProprietes de Rx (τ) et sx(f)
Filtrage lineaire
Echantillonnage
Filtrage non-lineaire
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 8 / 83
Correlations et spectres
Classes de signaux deterministes
Signaux deterministes a energie finie
Definition
E =
{x(t) : C→ C
∣∣∣∣∫R|x(t)|2dt <∞
}= L2 (C)
Remarque 1 : egalite de Parseval.Remarque 2 : cas des signaux a duree limitee.Remarque 3 : espace de Hilbert a l’aide du produit scalaire
〈x(t), y(t)〉 =
∫Rx(t)y∗(t)dt
Fonction d’autocorrelation
Rx(τ) = 〈x(t), x(t− τ)〉 =
∫Rx(t)x∗(t− τ)dt
Remarque 1 : notations.Remarque 2 : mesure de “ressemblance”.
Fonction d’intercorrelation
Rxy(τ) = 〈x(t), y(t− τ)〉 =
∫Rx(t)y∗(t− τ)dt
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 9 / 83
Correlations et spectres
Classes de signaux deterministes
Signaux deterministes a energie finieDensite spectrale d’energie
Definition
sx(f) = TF [Rx(τ)]
Propriete
sx(f) = |X(f)|2
Energie
E =∫R sx(f)df =
∫R |X(f)|2df
=∫R |x(t)|2dt = ‖x(t)‖2
= 〈x(t), x(t)〉 = Rx(0)
Remarque : egalite de Parseval.
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Correlations et spectres
Classes de signaux deterministes
Signaux deterministes a energie finieExemple
Fenetre rectangulaire
x(t) = ΠT (t) =
{1, si t ∈
[−T
2, T
2
];
0, sinon.
Fonction d’autocorrelation
Rx (τ) = TΛT (τ)
Densite spectrale d’energie
sx (f) = T 2sinc2(πTf) = |X(f)|2.
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Correlations et spectres
Classes de signaux deterministes
Signaux deterministes periodiques
Definition
PT0 =
{x(t) : C→ C
∣∣∣∣∣x(t− T0) = x(t) et1
T0
∫ +T02
−T02
|x(t)|2dt <∞
}Remarque : produit scalaire defini par
〈x(t), y(t)〉 =1
T0
∫ +T02
−T02
x(t)y∗(t)dt
Fonction d’autocorrelation
Rx(τ) = 〈x(t), x(t− τ)〉 =1
T0
∫ +T02
−T02
x(t)x∗(t− τ)dt
Fonction d’intercorrelation
Rxy(τ) = 〈x(t), y(t− τ)〉 =1
T0
∫ +T02
−T02
x(t)y∗(t− τ)dt
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 12 / 83
Correlations et spectres
Classes de signaux deterministes
Signaux deterministes periodiquesDensite spectrale de puissance
Definition
sx(f) = TF [Rx(τ)]
Propriete
sx(f) =∑k∈Z
|ck|2δ (f − kf0)
avecx(t) =
∑k∈Z
ck exp (j2πkf0t) .
Remarque : demo.
Puissance
P =∫R sx(f)df
=∑k∈Z |ck|
2
= 〈x(t), x(t)〉 = Rx(0)
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Correlations et spectres
Classes de signaux deterministes
Signaux deterministes periodiquesExemple
Sinusoıde
x(t) = A cos(2πf0t)
Fonction d’autocorrelation
Rx (τ) =A2
2cos(2πf0τ)
Densite spectrale de puissance
sx (f) =A2
4[δ(f − f0) + δ(f + f0)]
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 14 / 83
Correlations et spectres
Classes de signaux deterministes
Signaux deterministes a puissance finie
Definition
P =
{x(t) : C→ C
∣∣∣∣∣ limT→+∞
1
T
∫ +T2
−T2
|x(t)|2dt <∞
}Remarque : produit scalaire defini par
〈x(t), y(t)〉 = limT→+∞
1
T
∫ +T2
−T2
x(t)y∗(t)dt
Fonction d’autocorrelation
Rx(τ) = 〈x(t), x(t− τ)〉 = limT→+∞
1
T
∫ +T2
−T2
x(t)x∗(t− τ)dt
Fonction d’intercorrelation
Rxy(τ) = 〈x(t), y(t− τ)〉 = limT→+∞
1
T
∫ +T2
−T2
x(t)y∗(t− τ)dt
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 15 / 83
Correlations et spectres
Classes de signaux deterministes
Signaux deterministes a puissance finieDensite spectrale de puissance
Definition
sx(f) = TF [Rx(τ)]
Propriete
sx(f) = limT→+∞
1
T|XT (f)|2
avec
XT (f) =
∫ +T2
−T2
x(t)e−j2πftdt
Puissance
P =∫R sx(f)df
= 〈x(t), x(t)〉 = Rx(0)
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 16 / 83
Correlations et spectres
Proprietes de Rx (τ) et sx(f)
Plan du cours
Correlations et spectresTransformee de FourierClasses de signaux deterministesProprietes de Rx (τ) et sx(f)
Filtrage lineaire
Echantillonnage
Filtrage non-lineaire
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 17 / 83
Correlations et spectres
Proprietes de Rx (τ) et sx(f)
Proprietes de Rx (τ)
Symetrie hermitienne
Rx(τ) = R∗x(−τ)
Remarque : cas reel.
Valeur maximale
∀τ ∈ R, |Rx(τ)| ≤ Rx(0)
Distance entre 2 signauxSi x(t) est un signal reel
d [x(t), x(t− τ)]2 = ‖x(t)− x(t− τ)‖2 = 2 [Rx(0)− Re {Rx(τ)}]
Remarque 1 : mesure de ressemblance.Remarque 2 : cas des signaux reels.
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Correlations et spectres
Proprietes de Rx (τ) et sx(f)
Proprietes de sx (f)
Densite spectrale reelle
sx(f) ∈ RRemarque : si x(t) reel, sx(f) reelle paire.
Positivite
sx(f) ≥ 0
Lien entre DSP et energie/puissance
P ou E = Rx(0) =
∫Rsx(f)
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Filtrage lineaire
Plan du cours
Correlations et spectres
Filtrage lineaireDefinition et caracterisationRelations de Wiener-LeeFormules des interferencesExemples
Echantillonnage
Filtrage non-lineaire
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Filtrage lineaire
Definition et caracterisation
Plan du cours
Correlations et spectres
Filtrage lineaireDefinition et caracterisationRelations de Wiener-LeeFormules des interferencesExemples
Echantillonnage
Filtrage non-lineaire
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 21 / 83
Filtrage lineaire
Definition et caracterisation
Filtrage LIT ?
DefinitionOn cherche une operation F : x(t) 7→ y(t) qui possede les proprietes :
I linearite (principe de superposition verifie)
F [a1x1(t) + a2x2(t)] = a1F [x1(t)] + a2F [x2(t)]
I invariance dans le temps
y(t) = F [x(t)]⇔ y(t− t0) = F [x(t− t0)]
Solution : convolutionAlors, il existe h(t) telle que
y(t) = h(t) ∗ x(t) =
∫Rx(u)h(t− u)du
Autre propriete recherchee :I stabilite (BIBO)
∃Mx ∈ R, ∀t ∈ R, |x(t)| ≤Mx ⇒ ∃My ∈ R, ∀t ∈ R, |y(t)| = |F [x(t)]| ≤My
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 22 / 83
Filtrage lineaire
Definition et caracterisation
Filtrage LIT ?
LIT 6= lineaireLa linearite ne suffit pas a avoir un filtre LIT. Contre-exemple :
F : x(t) 7→ y(t) = m(t)x(t)
CNS de stabilite
F est stable⇔∫R|h(t)|dt <∞ (i.e., h ∈ L1(R))
CaracterisationF completement caracterise par
I reponse impulsionnelle
si x(t) = δ(t) alors y(t) = F [δ(t)] , h(t)
I transmittanceH(f) = TF [h(t)]
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Filtrage lineaire
Definition et caracterisation
Realisabilite d’un filtre
Domaine temporel
I h(t) reelle (entree reelle ⇒ sortie reelle)
I h(t) ∈ L1 (stabilite BIBO)
I h(t) causale (filtre sans memoire)
Domaine spectral
I H∗(−f) = H(f) (symetrie hermitienne)
I ??
I H(f) = −jH(f) ou H(·) est la transformee de Hilbert
H(f) = H(f) ∗ 1
πf
Remarque 1 : ecriture equivalente parties reelle et imaginaire.Remarque 2 : H(f) causal completement definie par partie reelle ouimaginaire.
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Filtrage lineaire
Definition et caracterisation
Identification d’un filtrage LIT
Classes des signaux deterministesAu choix :
y(t) = h(t) ∗ x(t)Y (f) = H(f)X(f)
Exemples et contre-exemples
I y(t) =∑k akx(t− Tk)
I y(t) = x(0)
I y(t) = m(t)x(t)
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Filtrage lineaire
Relations de Wiener-Lee
Plan du cours
Correlations et spectres
Filtrage lineaireDefinition et caracterisationRelations de Wiener-LeeFormules des interferencesExemples
Echantillonnage
Filtrage non-lineaire
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 26 / 83
Filtrage lineaire
Relations de Wiener-Lee
Relations de Wiener-Lee
Fonction d’intercorrelation
Ryx (τ) = h(τ) ∗Rx (τ)
Fonction d’autocorrelation
Ry (τ) = h(τ) ∗ h∗(−τ) ∗Rx (τ)
Densite spectrale
sy(f) = sx(f)|H(f)|2
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Filtrage lineaire
Formules des interferences
Plan du cours
Correlations et spectres
Filtrage lineaireDefinition et caracterisationRelations de Wiener-LeeFormules des interferencesExemples
Echantillonnage
Filtrage non-lineaire
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 28 / 83
Filtrage lineaire
Formules des interferences
Formules des interferences
Hypotheses
y1(t) = h1(t) ∗ x(t)
y2(t) = h2(t) ∗ x(t)
Conclusion
Ry1y2 (τ) =
∫Rsx(f)H1(f)H2(f)ej2πfτdf
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Filtrage lineaire
Exemples
Plan du cours
Correlations et spectres
Filtrage lineaireDefinition et caracterisationRelations de Wiener-LeeFormules des interferencesExemples
Echantillonnage
Filtrage non-lineaire
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 30 / 83
Filtrage lineaire
Exemples
Exemples
Filtre passe-bas ideal
I TransmittanceH(f) = ΠF (f)
I Reponse impulsionnelle
h(t) = F sinc(πFt)
Remarque : Non-causale et 6∈ L1 donc troncature puis decalage.
Filtre passe-bande ideal
I Transmittance
H(f) = ΠF (f − f0) + ΠF (f + f0)
I Reponse impulsionnelleh(t) = ...
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Echantillonnage
Plan du cours
Correlations et spectres
Filtrage lineaire
EchantillonnageEchantillonnage idealEchantillonnage reelRestitution
Filtrage non-lineaire
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 32 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Plan du cours
Correlations et spectres
Filtrage lineaire
EchantillonnageEchantillonnage idealEchantillonnage reelRestitution
Filtrage non-lineaire
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 33 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage ideal
analogique numeriquex(t) xe(t)
Domaine temporel
xe(t) =∑k∈Z x(kTe)δ(t− kTe)
= x(t)∑k∈Z δ(t− kTe)
Remarque : notation xe(t) ? {xe(k)}k ?
Domaine frequentiel
Xe(f) = X(f) ∗ Fe∑k∈Z δ(f − kFe)
= Fe∑k∈ZX(f − kFe)
⇒ periodisation du spectre !⇒ phenomene de repliement !
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Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage ideal
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Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage ideal
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Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage ideal
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Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage ideal
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 38 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage ideal
analogique numeriquex(t) {xe(k)}k
Domaine temporel
xe(t) =∑k∈Z x(kTe)δ(t− kTe)
= x(t)∑k∈Z δ(t− kTe)
Remarque : notation xe(t) ? {xe(k)}k ?
Domaine frequentiel
Xe(f) = X(f) ∗ Fe∑k∈Z δ(f − kFe)
= Fe∑k∈ZX(f − kFe)
⇒ periodisation du spectre !⇒ phenomene de repliement !
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 39 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage ideal
Theoreme de Shannon
Fe > 2fmax
Remarque 1 : Pour une sinusoıde, plus de 2 points par periode.Remarque 2 : Cas limite Fe = 2fmax.
Restitution
Xr(f) = Xe(f)Π2a(f)
avec fmax < a < Fe − fmax
Interpolateur de ShannonRestitution avec a = fmax = Fe
2:
xr(t) = Fe∑k∈Z
x(kTe)sinc [πFe(t− kTe)]
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Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage ideal
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Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage ideal
Generalisation
Xr(f) = Fe∑k∈Z
x(kTe)hr(t− kTe)
Remarque : hr(t) = fonction d’interpolation
Repliement/anti-repliementPresence d’un filtre anti-repliement (analogique) avant echantillonnage.
Frequences normalisees
Fe > 2fmax ⇔ f ,f
Fe<
1
2
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Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage idealExemple : sinusoıde
Signal et spectre
x(t) = cos(2πf0t)X(f) = 1
2[δ(f − f0) + δ(f + f0)]
Echantillonnage
f0 = 1Hz et Fe = 7Hz
Restitution
xr(t) = cos(2πfrt) avec fr = 1Hz
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 43 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage idealExemple : sinusoıde
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 44 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage idealExemple : sinusoıde
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 45 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage idealExemple : sinusoıde
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 46 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage idealExemple : sinusoıde
Signal et spectre
x(t) = cos(2πf0t)X(f) = 1
2[δ(f − f0) + δ(f + f0)]
Echantillonnage
f0 = 1Hz et Fe = 7Hz
Restitution
xr(t) = cos(2πfrt) avec fr = 1Hz
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 47 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage idealExemple : sinusoıde
Signal et spectre
x(t) = cos(2πf0t)X(f) = 1
2[δ(f − f0) + δ(f + f0)]
Echantillonnage
f0 = 1Hz et Fe = 1.2Hz
Restitution
xr(t) = cos(2πfrt) avec fr = 0.2Hz
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 48 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage idealExemple : sinusoıde
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 49 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage idealExemple : sinusoıde
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 50 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage idealExemple : sinusoıde
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 51 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage ideal
Echantillonnage idealExemple : sinusoıde
Signal et spectre
x(t) = cos(2πf0t)X(f) = 1
2[δ(f − f0) + δ(f + f0)]
Echantillonnage
f0 = 1Hz et Fe = 1.2Hz
Restitution
xr(t) = cos(2πfrt) avec fr = 0.2Hz
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 52 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage reel
Plan du cours
Correlations et spectres
Filtrage lineaire
EchantillonnageEchantillonnage idealEchantillonnage reelRestitution
Filtrage non-lineaire
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 53 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage reel
Echantillonnage reelEchantillonneur bloqueur
Domaine temporel
xb(t) =∑k∈Z x(kTe)Πτ (t− τ
2− kTe)
Domaine frequentiel
Xb(f) = Xe(f)τsinc (πτf) e−jπτf
= Feτsinc (πτf) e−jπτf∑k∈ZX(f − kFe)
Restitution (spectre d’ordre 0)
Xbr(f) = Feτsinc (πτf) e−jπτfX(f)
Remarque 1 : si condition de Shannon verifiee...Remarque 2 : cas τ petit
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 54 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage reel
Echantillonnage reelEchantillonneur a porte analogique
Domaine temporel
xa(t) = x(t)∑k∈Z Πτ (t− kTe)
= x(t)[Πτ (t) ∗
∑k∈Z δ(t− kTe)
]Domaine frequentiel
Xa(f) = X(f) ∗[τsinc (πτf)Fe
∑k∈Z δ(f − kFe)
]= Feτ
∑k∈Z sinc (πτkFe)X(f − kFe)
Restitution (spectre d’ordre 0)
Xar(f) = FeτX(f)
Remarque 1 : si condition de Shannon verifiee...
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 55 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage reel
Echantillonnage reelEchantillonneur moyenneur
Voir T.D.
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 56 / 83
Echantillonnage
Echantillonnage reel
Echantillonnage reel
Exemples
I Telephonefmax = 3400Hz et Fe = 8kHz
I Audiofmax = 15kHz et Fe = 44kHz
Cas spectre passe-bandeChoix astucieux de Fe < 2fmax
⇒ non respect de la condition de Shannon ! (voir T.D.)
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 57 / 83
Echantillonnage
Restitution
Plan du cours
Correlations et spectres
Filtrage lineaire
EchantillonnageEchantillonnage idealEchantillonnage reelRestitution
Filtrage non-lineaire
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 58 / 83
Echantillonnage
Restitution
Restitution
numerique analogiquexe(t) xr(t)
Filtrage passe-basD’apres theoreme de Shannon, restitution exacte si
H(f) = ΠFe(f)
Remarque : realisabilite du filtre...
Interpolation lineairefiltre non-causal
BloqueurLe plus utilise en pratique
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 59 / 83
Filtrage non-lineaire
Plan du cours
Correlations et spectres
Filtrage lineaire
Echantillonnage
Filtrage non-lineaireQuadrateurQuantification
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 60 / 83
Filtrage non-lineaire
Introduction
Transformation sans memoire
y(t) = F [x(t)]
Exemples
I quadrateury(t) = x2(t)
I redresseury(t) = |x(t)|
I quantificateury(t) = xq(t)
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 61 / 83
Filtrage non-lineaire
Quadrateur
Plan du cours
Correlations et spectres
Filtrage lineaire
Echantillonnage
Filtrage non-lineaireQuadrateurQuantification
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 62 / 83
Filtrage non-lineaire
Quadrateur
Quadrateur
y(t) = x2(t)
Exemples
I sinusoıde x(t) = A cos(2πf0t)
Y (f) =A2
2δ(f) +
A2
4[δ(f − 2f0) + δ(f + 2f0)]
⇒ composante continue + disparition de f0 + apparition de 2f0.
I somme de sinusoıdes x(t) = A2 cos(2πf1t) +A2 cos(2πf2t)
Y (f) = ...
⇒ + termes d’intermodulation
I sinus cardinal x(t) = 2Bsinc(2πBt)
Y (f) = ...
⇒ doublement de la largeur de bande
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Filtrage non-lineaire
Quantification
Plan du cours
Correlations et spectres
Filtrage lineaire
Echantillonnage
Filtrage non-lineaireQuadrateurQuantification
Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 64 / 83
Filtrage non-lineaire
Quantification
Representation des nombres
Virgule fixe
I Nombre x code par
xq = (±)︸︷︷︸bit de signe
,
partie entiere︷ ︸︸ ︷bnE , . . . , b0, b−1, . . . , bnF︸ ︷︷ ︸
partie fractionnaire
avec bj ∈ {0, 1}
Virgule flottante
I Nombre x code par
xq = (±)︸︷︷︸bit de signe
,
partie entiere︷ ︸︸ ︷bnE , . . . , b0, b−1, . . . , bnF︸ ︷︷ ︸
partie fractionnaire
position virgule︷ ︸︸ ︷2±enV−1,...,e0
avec bj ∈ {0, 1} et ej ∈ {0, 1}
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Filtrage non-lineaire
Quantification
Operation de quantificationConversion Analogique-Numerique (CAN)
analogique numeriquex(t) xq(t)
PrincipeSoit le signal x(t) ∈ [Amin, Amax]. On introduit les intervalles
Ii =
[xi −
∆qi2, xi +
∆qi2
[, i = 0, . . . , N − 1
avec {x0 − ∆q0
2= Amin
xN−1 +∆qN−1
2= Amax
qui realisent une partition de [Amin, Amax].La version quantifiee du signal x(t) est donne par
x(t) ∈ Ii ⇒ xq(t) = xi (±∆qi2
)
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Quantification
Operation de quantificationConversion Analogique-Numerique (CAN)
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Quantification
Operation de quantificationConversion Analogique-Numerique (CAN)
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Quantification
Operation de quantificationConversion Analogique-Numerique (CAN)
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Quantification
Operation de quantificationConversion Analogique-Numerique (CAN)
analogique numeriquex(t) xq(t)
PrincipeSoit le signal x(t) ∈ [Amin, Amax]. On introduit les intervalles
Ii =
[xi −
∆qi2, xi +
∆qi2
[, i = 0, . . . , N − 1
avec {x0 − ∆q0
2= Amin
xN−1 +∆qN−1
2= Amax
qui realisent une partition de [Amin, Amax].La version quantifiee du signal x(t) est donne par
x(t) ∈ Ii ⇒ xq(t) =
{xi, si arrondi;
xi − ∆qi2, troncature.
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Quantification
Operation de quantification
Terminologie
I pas de quantification : {∆qi}iI niveaux de quantification : {xi}iI quantification uniforme
∀i, ∆qi = ∆q =|Amax −Amin|
N
On s’arrange pour avoir Amax = −Amin > 0. Dans ce cas
∀i, ∆qi = ∆q =2Amax
N
I nombre de niveaux de quantification : N
I nombre de bits de quantification : n tel que 2n = N(+1)
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Quantification
Quantification uniforme
Figure : Quantification non-biaisee (arrondi) et biaisee (troncature).
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Quantification
Quantification uniforme
Figure : Quantification non-biaisee (arrondi) et biaisee (troncature).Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 73 / 83
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Quantification
Quantification uniforme
Figure : Quantification non-biaisee (arrondi) et biaisee (troncature).Nicolas Dobigeon Traitement du Signal - Signaux deterministes 74 / 83
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Quantification
Quantification uniformeQuantification de type A non-biaisee
Principe
I nombre impair de niveaux N avec N + 1 = 2n
I ∃i ∈ {0, . . . , N − 1} , xi = 0
I 2Amax = N∆q
I signal quantifie defini par
xq(t) =
. . .
−∆q, si x(t) ∈[− 3∆q
2,−∆q
2
[0, si x(t) ∈
[−∆q
2, ∆q
2
[∆q, si x(t) ∈
[∆q2, 3∆q
2
[. . .
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Quantification
Quantification uniformeQuantification de type A non-biaisee
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Quantification
Quantification uniformeQuantification de type B non-biaisee
Principe
I nombre pair de niveaux N avec N = 2n
I 6 ∃i ∈ {0, . . . , N − 1} , xi = 0
I 2Amax = N∆q
I signal quantifie defini par
xq(t) =
. . .
−∆q2, si x(t) ∈ [−∆q, 0[
∆q2, si x(t) ∈ [0,∆q[
. . .
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Quantification
Quantification uniformeQuantification de type B non-biaisee
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Quantification
Quantification uniformeQuantification A/B & biaisee/non-biaisee
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Quantification
Depassement
Si x = xmax + ∆q alors xq =
{−xmax
q , en absence de protection;xmax
q , avec protection.
Figure : Effet du depassement sans (gauche) et avec (droite) protection.
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Quantification
Et maintenant ?
UE Traitement du Signal : 1iere annee - semestre 6
I Traitement du Signal 1 (ce cours)
I Modelisation deterministeI Signal a temps continu
I Traitement Numerique du Signal
I Modelisation deterministeI Signal a temps discret
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Quantification
Et maintenant ?
UE Traitement du Signal et Telecom : 2ieme annee - semestre 7
I Traitement du Signal 2
I Modelisation aleatoireI Signal a temps continu
I Traitement Numerique du Signal
I Modelisation aleatoireI Signal a temps discret
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Quantification
Traitement du SignalSignaux deterministes
Nicolas Dobigeon
Universite de ToulouseIRIT/INP-ENSEEIHT
Equipe Signal & Communications
http://www.enseeiht.fr/~dobigeon
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