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T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 1
Traitement du SignalAnalyse spectrale
Plan1. Analyse de Fourier signaux continus
1. TF2. Distributions3. Systèmes linéaires
2. Signaux Numériques1. Échantillonnage2. Quantification, Bruit de quantification3. TFD-TFR
3. Analyse spectrale des signaux déterministes1. Fenêtres d’apodisation2. Spectre d’amplitude2. Estimation de la Densité Spectrale de Puissance
4. Analyse spectrale des signaux aléatoires1. Propriétés temporelles des signaux aléatoires2. Propriétés fréquentielles des signaux aléatoires3. Estimation de la densité spectrale de puissance4. Applications
5. Application 1. Calcul du seuil de perception auditive dans MPEG
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Un signal représente l’évolution au cours du temps (pas toujours) d’une grandeur physique (courant, tension, pression etc…)Ce signal est porteur d’une information produite par la source qui l’a émis:
- signal de parole (acoustique)- signal radio (EM)- signal radar (EM)
Analyser le signal c’est extraire l’information produite par la source pour:
- la reproduire fidèlement: radio- détecter des évènements: surveillance, détection- connaître les propriétés de la source: bande passante…
Quelques notions…
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Quelques applications…
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Quelques applications…
Bonjour
« B » de Bonjour
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Déterministe / Aléatoire
Systèmephysique capteur Canal de transmission Récepteur
MEFTraitement
Information utilePour décision par ex
bruit bruit
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Traitementsnumériques
ConvertisseurA/NCapteur
grandeur électrique
grandeur physique
Information recherchée
suite chronologique de nombres
Tesla
Volts
quantum
Organisation d’un système de traitement numérique du signal
Introduction
Traitement numérique = Programme de traitement
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Exemple : Compression Audio
H0(z)
HM-1(z) FM-1(z)
F0(z)M M
M M
)(nx∧
)(nxQuantification
codage
Allocation
Dynamique
De bits
Estimation spectrale +
Modèle auditif
M filtres passe-bande Décimation d’un facteur M
Sous-échantillonnage critique d’un facteur M
Sur-échantillonnaged’un facteur Majout de M-1 zéros
M filtres interpolateurs
+
Analyse spectrale numériqueFiltrage numériqueCodage - Compression
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1. Analyse de Fourier
Intérêt:
- Décomposition d’un signal quelconque sur une base orthogonale de signaux élémentaires.-Facilite l’étude des systèmes répondant au principe de superposition.
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Signaux Harmoniques Analogiques
Représentation temporelle
t est la variable, A et fo sont les 2 paramètres qui caractérisent complètement le signal
x t A f tA
jf t jf to o o( ) cos( ) (exp( ) exp( ))= = + −22
2 2π π π
-0
-0
-0
-0
0
0
0
0
X f A fA
fA
fo o o( ) ( ) ( ) ( )= = + −δ δ δ2 2
Représentation fréquentielle
f est la variable, A et fo sont les 2 paramètres qui caractérisent complètement le signal
mono-latérale A bi-latéraleA/2
of of− of
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Signaux Périodiques Analogiques (1)
Décomposition en série de FourierTout signal périodique de période peut s'écrirex tp ( ) T
foo
=1
)2sin()2cos()(11
0 tnfbtnfaatx on
non
np ππ ∑∑+∞
=
+∞
=
++=
)2cos(2
)(1
22
non
nnop tnf
baatx ϕπ +
++= ∑
∞+
=
aT
x t dtoo
p
To
= ∫1
0( ) a
Tx t nf t dtn
op o
To
= ∫2
20
( ) cos( )π bT
x t nf t dtno
p o
To
= ∫2
20
( ) sin( )π
ϕnn
nArctg
ba
= ( )
avec
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 11
Signaux Périodiques Analogiques (1)
X fa b
f nfn no( ) ( )=
+−
2 2
2δ
Un signal périodique présente donc un spectre de raies :
Spectre d’amplitude Spectre de phase
ϕnn
nArctg
ba
= ( )
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Signaux Périodiques Analogiques (2)
Exemple, cas d'un signal carré :
T/2 TSpectre d'amplitude Spectre de phase
f 3f 5f 7f f 3f 5f 7f
21
=oa an = 0
impairnsin
bn π2
=
ϕπ
n Arctg= ∞ =( )2
onbn sin0=
1 harmonique 5 7 10 harmoniques
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Signaux Analogiques (1)
Signaux périodiques – Série de Fourier – Notations complexes
spectre de raies∑+∞
∞−= )2exp()( tjnfXtx onp π
∫ −=oT
opn dttjnftxTX0
)2exp()(1 π
∫∑ =+∞
−∞=
T
nn dttxTX
0
22)(1Égalité de Bessel-Parseval:
On peut calculer la puissance sur la représentation temporelle ou sur la représentation fréquentielle
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Signaux Analogiques (2)
Signaux quelconques – Transformée de Fourieron considère que le signal a une période infinie
X f x t jft dt( ) ( ) exp( )= −−∞
+∞
∫ 2πx t X f jft df( ) ( ) exp( )=−∞
+∞
∫ 2π
X f X f X f( ) Re ( ( ) Im ( ( )= +2 2 Φ( ) (Im( ( )Re( ( )
)f ArctgX fX f
=
Spectres: les spectres deviennent continus
∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−= dttxdffX 22 )()(
Conservation de l’énergie – Bessel parsseval:
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Signaux Analogiques (3)
Propriétés de la TF:dérivation )(2))((2)]('[ fXjftxFjftxF ππ ==
)()2exp()]([ fXjftxF τπτ −=−retard
)/(1)]([ afXa
atxF =dilatation
)()()]()([ fUfXtutxF ×=⊗
Produit de convolution (Filtrage)
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Signaux Analogiques (4)
nR
fD
Distributions:Définie sur l’espace vectoriel des fonctions de indéfiniment dérivables et à support borné
Exemple:Soit f une fonction sommable sur tout ensemble borné, elle définit une distribution par la relation: ∫
+∞
∞−= dtttfDf )()(, ϕϕ
)0(),( ϕϕδ =t )(),( xxt ϕϕδ =−Dirac:
tDtD
∂∂−=∂
∂ ϕϕ ,,Dérivation:
ϕϕ FDFD ,, = ϕδϕδ FF ,, =Transformée de Fourier:
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 17
Signaux Analogiques (5)
La distribution de Dirac:
)0(),( ϕϕδ =t )(),( xxt ϕϕδ =−
)()(0
02 ffeF tfj
−= δπ
1))(( =tF δ
)()1( fF δ=
[ ])()(21))2(cos(
000fffftfF ++−= δδπ
[ ])()(21))2(sin(
000ffff
jtfF +−−= δδπ
0
0
2))(( tfjettF πδ −=−
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 18
2. Signaux numériques
Échantillonnage: Te est la période d’échantillonnage
Quantification: q: pas de quantificationdu CAN
)()( ek kTxtx =
))(()(qtxarronditxq =
))(()(qkTxarrondikTx e
eq =
Incidence des 2 opérations dans l’analyse du signal?
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 19
Quantification
Exemple: Quantification par arrondi
Erreur de quantification:
)()()( tetxtx q +=
Puissance de l’erreur:
∫−==2/
2/2
2)(1
12τ
ττ dtteq
B
Uniformément répartie en fréquence (bruit blanc)
f
)( fP
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 20
Quantification(2)
Dynamique de codage d’un signalPour un convertisseur sur N bits, un signal est quantifié correctement (sans écrêtage)si son amplitude A est dans l’intervalle avec ],[ mm AA− qA Nm 12 −=
dBNBP Nc 76,102,6
232 2 +⇒=
La dynamique de codage est le rapport signal sur bruit maximal
Avec écrêtage
mA
mA−
mA
mA−
sans écrêtage
2322
22
qAP Nmc
−==
On appelle puissance de crête d’un convertisseur, la puissance du signal sinusoïdal ayant l’amplitude maximale admissible sans écrêtage mAA =
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 21
Description Fréquentielle des signaux numériques
Transformée de Fourier d’un signal numériqueles intégrales deviennent des sommes discrètes
f en Hz∑+∞
−∞=
−=k
ekTfjkxfX )2exp()()( π
Propriétés
Périodicité le spectre d’un signal numérique est périodiqueX f X f fe( ) ( )= +
∑+∞
∞−
= )2cos()())(Re( efkTkxfX πParité paire
impaire∑+∞
∞−
= )2sin()())(Im( efkTkxfX π
22 ))(Im())(Re()( fXfXfX += )))(Re())(Im(())((
fXfXArctgfXArg =Spectres
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 22
Un signal analogique Xa(t) dont le spectre d’amplitude Xa(f) occupe la bande [-B;+B]Peut être représenté par un signal numérique x(k) de spectre périodique X(f) de période Fe
-B BSi on retrouve complètement sur une période de
Si il y a repliement de sur une période de
Conséquences (1)
)(fXa
Bfe<2
X fa ( ) X f( )X f( )
X f( )
Bfe>2 X fa ( ) X f( )
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 23
Conséquences (2)
Un signal analogique xa(t) occupant la bande de fréquence [0,B] ne peut être reconstitué exactement à partir de ses échantillons x(k)que si ceux-ci ont été prélevés avec une fréquence d'échantillonnage fe telle que fe> 2B
Théorème de Shannon
Traitementsnumériques
ConvertisseurA/N , Fe , gCapteur Filtre AR
Fc < Fe/2
Conséquence du théorème de Shannon
Il faut placer des filtre anti-repliement (AR) avant le convertisseur
( )∑∞+
−∞= −−
=k e
ee kTt
kTtkTxtx)/(
)/(sin)()(π
πFormule de l’interpolateur idéal de Schannon
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 24
Description Fréquentielle des signaux numériques
Transformée de Fourier d’un signal numériqueles intégrales deviennent des sommes discrètes
f en HzX f x k jfkTek
( ) ( ) exp( )= −= −∞
+∞
∑ 2π
X f X f fe( ) ( )= + X X( ) ( )ν ν= + 1
Re( ( )) ( ) cos( )X x k kν πν=−∞
+∞
∑ 2
Im( ( )) ( ) sin( )X x k kν πν=−∞
+∞
∑ 2
X X X( ) Re( ( )) Im( ( ))ν ν ν= +2 2 Arg X ArctgXX
( ( )) (Im( ( ))Re( ( ))
)ννν
=
Propriétés
Périodicité
Parité paire
impaire
Spectres
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 25
Transformée de Fourrier Discrète
Rappel des relations de base
Réciproquement
X f x k jfkTek
( ) ( ) exp( )= −= −∞
+∞
∑ 2π
∫−
=2/
2/
)2exp()()(e
e
f
fe dfjfkTfXkx π
Pour calculer X(f) il faut discrétiser f- on choisit N pts sur une période entre 0 et Fe
- chaque fréquence de la TFD s’écrit
- Est la période d’échantillonnage en fréquence
f
f∆
ef
fNfe ∆=
efNnfnf =∆=
f∆
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 26
Transformée de Fourrier Discrète (2)
Définition:si x(k) est un signal numérique de durée N échantillons, échantillonnéà la période Te alors les deux relations suivantes définissent respectivement latransformée de Fourier Discrète directe et inverse de x(k)
- les fréquences n∆f sont les fréquences harmoniques de la TFD
- N est le nombre d’échantillons temporels et fréquentiels c’est la durée du signal
∑−
=
∆−=∆1
0
)2exp()()(N
kefkTjnkxfnX π
∑−
=
=1
0)2exp()(1)(
N
ne N
nkjnXN
kTx π
∑−
=
−=∆1
0
)2exp()()(N
k NnkjkxfnX π
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 27
Transformée de Fourrier Discrète (3)
Propriétés
Celles de la TF
Périodicité fréquentielleX(n∆f) est de période feX(n) est de période N échantillons
X(ν=n/N) est de période 1
Périodicité temporelleDu fait de l’échantillonnage en fréquence à la période
on introduit une période temporelle égale
à la durée du signal
Nff e=∆
DNTfN
f ee
===∆1
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 28
Propriétés de la TFD
Périodicité temporelle égale à la durée du signal
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 20 40 60 80 100 120-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 29
Transformée de Fourrier Rapide (Cooley-Tukey 1965)
Premier algorithme de calcul rapide de la TFD
L'application des formules de base nécessite pour le calcul directe d'une TFDN (N multiplications complexes + (N-1) sommes complexes)donc un nombre d'opérations proportionnel à N2
L'algorithme rapide nécessite un nombre d'opérations proportionnel à N log2(N)
Principe de calcul d'une TFRla formule de base est
si N est pair
soit encore
X n x k jnkNk
N( ) ( ) exp( )= −
=
−
∑ 20
1π
X n x i jn iN
x i jn i
Ni
N
i
N( ) ( ) exp( ) ( ) exp(
( ))
/ /= − + + −
+
=
−
=
−
∑ ∑2 22
2 1 22 1
0
2 1
0
2 1π π
X n x i jn iN
jnN
x i jn iNi
N
i
N( ) ( ) exp( ) exp( ) ( ) exp( )
/ /= − + − + −
=
−
=
−
∑ ∑2 22
2 2 1 22
0
2 1
0
2 1π π π
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 30
Transformée de Fourrier Rapide (2)
Finalement
avec
X n x i jn iN
jnN
x i jn iNi
N
i
N( ) ( ) exp( ) exp( ) ( ) exp( )
/ /= − + − + −
=
−
=
−
∑ ∑2 22
2 2 1 22
0
2 1
0
2 1π π π
)()()( nTFDWnTFDnX impairsn
Npairs +=
⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −
=N
jWNπ2exp
8W2
8W38W
48W
∑∑−
=
−
=
−++−=12/
0
12/
0)
22exp()12()
22exp()2()(
N
i
nN
N
i NnijixWN
nijixnX ππ
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 31
TFR (3)
TFD surles
échantillonspairs
X(0)
X(i)
X(N/2-1)
X(N/2)
X(i+N/2)
X(N-1)
TFD surles
échantillonsimpairs
WNi−
WNi N− +( / )2
Si N est pair on met en œuvre une étape Papillon
x(0)
x(2j)
x(N-2)
x(1)
x(2j+1)
x(N-1)
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 32
TFR (4)
Si N est pair multiple de 4 alors N/2 est encore pair et on peut écrire
∑∑−
=
−
=
−+−+−=12/
0
12/
0)22exp()12()2exp()22exp()2()(
N
i
N
i Ninjix
Nnj
NinjixnX πππ
∑∑∑−
=
−
=
−
=
+−++−=−
14/
0
14/
0
12/
0))24(2exp()24()42exp()4()22exp()2(
N
i
N
i
N
i Ninjix
Ninjix
Ninjix πππ
∑∑−
=
−
=
−+−+−=14/
0
14/
0)
42exp()24()22exp()
42exp()4(
N
i
N
i Nnijix
NnjN
nijix πππ
∑∑−
=
−
=
−++−=14/
02
14/
0)
42exp()24()
42exp()4(
N
i
nN
N
i NnijixWN
nijix ππ
)()( 42
4 nTFDWnTFD ultiplesdepairesnonmn
Nemultiplesd +
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 33
TFR (5)
Si N est pair multiple de 4 alors N/2 est encore pair et on peut écrire
∑∑−
=
−
=
−+−+−=12/
0
12/
0)22exp()12()2exp()22exp()2()(
N
i
N
i Ninjix
Nnj
NinjixnX πππ
∑∑∑−
=
−
=
−
=
+−++−+=−+
14/
0
14/
0
12/
0))24(2exp()34()42exp()14()22exp()12(
N
i
N
i
N
i Ninjix
Ninjix
Ninjix πππ
∑∑−
=
−
=
+−++−+=
14/
0
214/
0))24(2exp()34())4(2exp()14(
N
i
nN
N
i NinjixW
Ninjix ππ
∑∑−
=
−
=
−++−+=14/
02
14/
0)
42exp()34()
42exp()14(
N
i
nN
N
i NnijixWN
nijix ππ
)()( 342
14 nTFDWnTFD nN ++ +=
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 34
TFR (6)
Exemple : 7 étapes papillons pour N = 8
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 35
TFR (7)
Finalement si N = 2T
le calcul de la TFD se ramène à T TFD binaires et (N-1)-T opérations papillons non binaires
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 36
3. Analyse Spectrale non paramétrique
Calcul de spectres par TFD:
- Respecter théorème d’échantillonnage (filtres AR)- Périodicité sur la durée N d’observation (???)
N échantillons vues comme un signal discontinu
0 10 20 30 40 50 60-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
0 20 40 60 80 100 120-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 37
Fenêtres d’apodisation(1)
0 50 100 150 200 250-1
-0.8
-0.6
-0.4
-0.2
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
)()()( krectkxkx NN ×=
Limitation de la durée du signal
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 38
Fenêtres d’apodisation(2)
En fréquence on a donc
fenêtre fréquentielle
)(Re)()( fctfxfX NN ⊗=
40 60 80 100 120 140 1600
5
10
15
20
25
30
35
40
45
⊗0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 1000
0
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 1000
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
=
Le spectre théorique est filtré en fréquence par Rect(f)
Il faut choisir le « moins mauvais » filtre (fenêtre)
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 39
Fenêtres d’apodisation(3)
Paramètres caractéristiques
Résolution fréquentiellec’est la distance la plus faible entre deux fréquences que l’on peut distinguer
ffN
Rf wew ∆== γγ
wγLargeur normalisée de la fenêtre
fRfff >− 12
Les 2 fréquences se distinguentl’une de l’autre
fRfff <− 12
Les 2 fréquences ne se distinguentplus l’une de l’autre
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 40
Fenêtres d’apodisation(4)Paramètres caractéristiquesRésolution en amplitudeC’est le rapport d’amplitude que l’on peut distinguer pour deux fréquences à la limite de la résolution fréquentielleDeux fréquences proches ayant un rapport d’amplitude inférieur ne sont pas distinguables
)1()(
SecondaireLobeerAlLobeCentraARa =
)(1020 RaLogw =λOn l’exprime en décibel
fRa
AA
<2
1
Les 2 fréquences se distinguentl’une de l’autre
fRa
AA
>2
1
Les 2 fréquences ne se Distinguent plus l’une de l’autre
dBadBdB RAA <− 21 dBadBdB RAA >− 21
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 41
Fenêtre Rectangulaire
20 40 60 80 100 120 140 160 180
-20
-10
0
10
20
30
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
2
4
6
8
10
12
14
16
18
20
dBr 13=λ
⎩⎨⎧ −<=
on
Nksikwrsin0
211)(
2=rγ
∑−
−−=
−=2
1
2)1(
)2exp()()(N
Nk
rr kjkwW νπν
( )( )πνπνπν sin
sin)exp()( NjfWr =
La Transformée de Fourier de la fenêtre rectangulaire échantillonnée vaut:
2/N
13 dB
Fenêtre temporelle Fenêtre fréquentielle en décibels
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 42
Définie en fréquence forme temporelle
Fenêtre temporelle Fenêtre fréquentielle en décibels
Fenêtre de hanning
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
4=hγ
))2/(cos(5,05,0)( NNkkwh
++= π
dBh 32=λ
( ) ( ) ( )NWWNWW rrrh1
41
211
41)( −+++= νννν
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
32 dB4/N
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 43
Fenêtre de HammingRichard Wesley Hamming 1915-1998
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-40
-30
-20
-10
0
10
20
30
w kk N
NH ( ) , , cos(( / )
)= ++
0 54 0 462π dBH 43=λγ H = 4
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
Fenêtre temporelle Fenêtre fréquentielle en décibels
43 dB
4/N
Une variante de la fenêtre de hanning
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 44
Fenêtre de Blackman
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200-60
-50
-40
-30
-20
-10
0
10
20
dBB 59=λ6=Bγ
w kk N
Nk N
NB ( ) , ( , cos(( / )
) , cos(( / )
))= ++
++
0 42 2 0 252 2
0 044 2π π
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 2000
1
2
3
4
5
6
7
8
Fenêtre temporelle Fenêtre fréquentielle en décibels
59 dB
6/N
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 200
0.1
0.2
0.3
0.4
0.5
0.6
0.7
0.8
0.9
1
On étend le principe de construction de hanning à 2 cosinus
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 45
Calcul d’un spectre d’amplitude par TFD (1)
Le spectre obtenu doit être corrigé selon la fenêtre utilisée
Il faut diviser par l’amplitude du pic de la fenêtre en 0 (le continu)
Le spectre d’amplitude mis à l’échelle est donc calculé par
)()()( fWfXfX N ⊗=
∑−
=1
0)()0(
N
kwW
)0()()(
)(W
fWfXfX N
⊗=
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 46
Calcul d’un spectre d’amplitude par TFD (2)
N=100;nu=0.305;k=[0:N-1];signal = sin(2*pi*nu*k);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fenetre = Hanning(N);
Signal = signal.*fenetre';
spectre = fft(Signal);
WO = sum(fenetre); % coefficient de normalisation
plot(k,20*log10(abs(spectre)./WO),'r');
Instructions MatLab
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 47
Calcul d’un spectre d’amplitude par TFD(3)
Fenêtre Rectangulaire
Amplitude 1N=100
300,0=νOn trouve bien le spectre d’amplitude Bilatéral avec des amplitude 0,5
Fenêtre Rectangulaire
Amplitude 1N=100
305,0=ν On ne retrouve pas le spectre d’amplitude bilatéral par l’effet de filtrage
Les deux pics sont affaiblis et élargis
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 48
Calcul d’un spectre d’amplitude par TFD(4)
Fenêtre Rectangulaire
Amplitude 1N=100
300,0=ν en décibel
On retrouve le résultat théoriqueavec 2 pics à -3dB
Fenêtre Rectangulaire
Amplitude 1N=100
305,0=νOn ne retrouve pas le résultatdu fait de l’effet de filtrage de la fenêtre
2 pics larges apparaissent avec une amplitude de -10dB
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 49
Calcul d’un spectre d’amplitude par TFD(5)
Spectre d’amplitude d’un sinus
Amplitude 1N=100
305,0=ν
Rectangulaire
RectaHamming
Hanning
Blackman
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 50
Le calcul du spectre d’amplitude par transformée de Fourier Discrète est inutilisable du fait de la limitation de la durée du signal. On parvient à limiter cet effet en utilisant une fenêtre d’apodisation mais sans l’annuler toutefois.
Le spectre d’amplitude se trouve filtré par la fenêtre spectrale, et de ce faitl’amplitude est distribuée sur plusieurs harmoniques.
Calcul du Périodogramme (1)
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 51
Pourtant le théorème de Parseval est toujours vérifié
Pour une durée d’observation T la puissance est
que l’on ré-écrit
Où est le périodogramme,
c’est une densité de puissance en fonction de la fréquenceOn dit « Densité Spectrale de Puissance »
Calcul du Périodogramme (2)
∫∫+∞
∞−
+∞
∞−
Φ== dffdffXT
P xx )()(12
2)(1)( fXT
fx =Φ
xPdttxT
dffXT
==∫ ∫∞+
∞−
∞+
∞−
22 )(1)(1
∫ ∫+∞
∞−
+∞
∞−= dttxdffX 22 )()(
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 52
En numérique on calcule
Où P est un facteur de normalisation qui dépend de la fenêtre, il correspond à la puissance de la fenêtre
Calcul du Périodogramme (3)
2))()((1)( kwkxTFDNP
nx ×=Φ
∑−
=
=1
0
2)(N
k
kwP
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 53
Calcul du Périodogramme (4)
N=100;nu=0.305;k=[0:N-1];signal = sin(2*pi*nu*k);
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%fenetre = boxcar(N);Signal = signal.*fenetre';
% puissance de la fenetre pour la normalisation P = norm(fenetre)^2;spectre = fft(Signal);
% calcul de la puissance moyenne sur la duree d'observation Nperiodogramme = abs(spectre).^2./P/N;
% intègre le periodogramme sous le premier pic du sinus entre les harmoniques n=29 et n=35Puissance = sum(periodogramme(29:34));
% multiplie la puissance par deux pour prendre les deux pics en compte% Puissance = Puissance *2
plot(k,20*log10(periodogramme),'r');hold on;plot(k(29:34),20*log10(periodogramme(29:34)),'(o');
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 54
Calcul du Périodogramme (5)
Fenêtre rectangulaire Amplitude du sinus = 1
Puissance théorique =
Amplitude efficace =
Puissance mesurée = 0.4670
21
21
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 55
Calcul du Périodogramme (6)
Fenêtre de hanningAmplitude du sinus = 1
Puissance = 0,4999
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 56
Calcul du Périodogramme (7)
Fenêtre de HammingAmplitude du sinus = 1
Puissance = 0,4997
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 57
Calcul du Périodogramme (8)
Fenêtre de BlackmanAmplitude du sinus = 1
Puissance = 0,5
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 58
Calcul du Périodogramme (9)
Amplitude du sinus = 1Puissance = 0,5
Fenetre rectangulairePuissance = 0,4670
Fenêtre de hanningPuissance = 0,4999
Fenêtre de HammingPuissance = 0,4997
Fenêtre de BlackmanPuissance mesurée = 0,5
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 59
4. Analyse spectrale des signaux aléatoires
4.1. IntroductionLes signaux aléatoires ne sont pas exactement prédictibles au cours du temps
On souhaite développer des techniques pour- Analyser le contenu fréquentiel des signaux en présence de bruit- Déterminer les propriétés des systèmes qui ont générés ces signaux
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 60
4.2 Processus aléatoire (1)
DéfinitionOn définit un processus aléatoire comme une application qui à chaque expérience fait correspondre une fonction du temps qu’on appellera signal aléatoire
On le note souvent mais en toute rigueur on doit noter pour marquer son caractère aléatoire.
Il y a donc 2 façons d’analyser de représenter le signal aléatoire-pour une expérience donnée le signal aléatoire est une fonction du temps.
est une trajectoire du processus aléatoire
-pour un instant donnéest une variable aléatoire
)(tX ),( ωtX
ω
0ω
0t),( 0 ωtX
)(tX
)(ωX
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 61
4.2. Processus aléatoire (2)
Exemple:
4 trajectoires différentes du même processus provenant de 4 expériences différentes
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 62
Exemples:
Signal déterministe :dont on peut prédire avec exactitude la valeur à tout instant
Signal aléatoire :la prédiction ne peut être exacte, notion d’incertitude ou d’erreur
On veut connaître avec précision l’incertitude sur une mesure ou une prédiction
Chaque mesure ou prédiction s’accompagne d’un intervalle de confiancequi donne la probabilité que la mesure soit dans cet intervalle
4.2. Signaux Aléatoires (3)
)sin( tω
∫=<≤max
min)( )(max))((min dvvptXP toXo
dvvpdvvtXvP toXo )())(( )(=+<≤
τte−
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 63
La loi du processus caractérise complètement l’aspect aléatoire du signal :
En générale l’aspect aléatoire du signal est indésirable et provient du système de transmission : Bruit de fond
Un signal possède en générale un aspect déterministe (signal utile) et un aspect aléatoire (bruit de fond)
4.2. Signaux Aléatoires (4)
)()( vp toX
)()()( tbtutX +=
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 64
Exemples de bruitsBruit thermique - Bruit Johnson:
du à aux agitations aléatoires des électrons sous l’effet de la température présent dans tout composant actif ou passif présentant une certaine résistance même en l’absence de tension appliquée
Soit R la résistance du composant : alors courant comme tension suivent une loi gaussienne de moyenne
nulle et de d’écart types respectifs et (ce sont les valeurs efficaces)
Alors on a par la loi d’Ohm
et la puissance totale du courant électrique dans la bande de fréquence B est
k est la constante de Boltzmann et T la température (kT=4.10-21 à l’ambiante), on déduit que en V2 et en A2
Bruit de grenaille :Du à la fluctuation des porteurs de charges au passage d’une jonctionN’existe qu’en présence d’un courant moyen Io non nul
Il suit une loi aléatoire gaussienne
iu Rσσ =kTBui =σσ
Bki TR2 =σR
kTBu =2σ
)2
)(exp(
21)( 2
2
ig
o
ig
Iiip
σπσ−
−=
BeIoig 22 =σ
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 65
Rapport signal/bruit
Rapport signal sur bruit
chiffre le degré de contamination du signal utile par du bruit (rapport des puissances)
Facteur de bruit d’un système
chiffre la détérioration d’un système
bruit
utile
PP
=ξ
sortie
entreFξξ
=
)()()( tbtutx +=
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 66
4.3 Rappel sur les Variables Aléatoires (1)
DéfinitionC’est une fonction X définie sur une espace d’expériences qui associe à toute partie de cette espace une valeur numérique réelle
est l’espace des expériences
est le résultat de l’expérience
RX →Ω:
)(ωX
Ω
)(ωω X→
ω
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 67
Rappel sur les Variables Aléatoires (2)
Loi d’une variable aléatoireLa loi de la variable aléatoire X est une fonction de probabilité que l’on note
telle que
C’est la fonction qui associe une probabilité aux résultats des expériences
Variable aléatoire discrèteLorsque l’espace des résultats possibles est de taille finie.Exemple : le dés
Variable aléatoire continueLorsque l’espace des résultats possibles est un intervalle de
alors
la loi de X notée est une densité de probabilité telle que
)(xPX ( )xXPxPX == )(/)( ωω
RxxPX ∀= ;0)(
1))( =∫+∞
∞−
duupX)(upX
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 68
Rappel sur les Variables Aléatoires
Paramètres caractéristiques d’une variable aléatoire
Espérance ou valeur attendue :
c’est la moyenne sur une infinité de mesures
Variance :
Écart type ou écart moyen à la moyenne:
∫+∞
∞−
= ))()( duuupXE X
∫+∞
∞−
−= duupXEuXVar X )())(()( 2
)(xVar=σ
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 69
Exemples
Loi uniforme : sur l’intervalle [a,b]
Loi normale :
abupX −
=1)(
2)( abXE −
=12
)()(2abXVar −
=
)2
)(exp(2
1)( 2
2
σπσmuupX
−−=
XmXE =)( 2)( σ=XVar
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 70
4.4 Description temporelle des Signaux aléatoires
On décrit les signaux aléatoires par les propriétés des variables aléatoires qui dépendent du temps
Moyenne
Fonction d’autocovariance
On montre que
( )( ) ( )( )( ))()()()(),( 221121 tXEtXtXEtXEttRXX −×−=
)),(()( tXEtmX ω=
( ) )()()()(),( 212121 tmtmtXtXEttR XXXX −×=
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 71
4.4. Signaux Stationnaires
Signal aléatoire Stationnaire au second ordre
Moyenne et variance ne dépendent pas du temps
( ) ( )( ) τττ ∀−+×−= XXXX mtXmtXER )()()(
ttXEmX ∀= ));,(( ω
( ) 2)()()( XXX mtXtXER −+×= ττ
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 72
4.4. Signaux Ergodiques
Calcule de la moyenne d’un signal stationnaire
D’après la définition ttXEmX ∀= ));,(( ω
On doit réaliser une moyenne en sur l’ensemble des expériences0t
1ω
2ω
3ω
4ω
5ω
0t
∑=
∞→=
N
iiNX tX
Nm
10 ),(1lim ω
ωω ∀),( 0tX0tOn doit choisir un instant quelconque et calculer la moyenne sur les différentes expériences qui donnent chacune une réalisation de
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 73
4.4. Signaux Ergodiques
Définition:Un signal stationnaire est ergodique si on peut estimer ses moments par des estimations au cours du temps
On confond moyenne d’ensemble et moyenne au cours du temps
∑=
∞→=
T
kTX kXT
m1
),(1lim ω
ω
On ne fait qu’une seule expérience, et on estime les paramètres sur la trajectoire mesurée
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 74
4.4. Fonction d’autocorrélationChiffre la ressemblance entre le signal et une version décalée de lui-même
))()(()( ττϕ += tXtXEXX
∑ +=∞→
N
NXX kXkXN 0
)()(1lim)( ττϕ
pour un signal numérique de durée N on aura
)0()( 2δστϕ =XXPour un signal parfaitement aléatoire on a :
dès qu’on le décale d’un seul échantillon, il n’y a plus de ressemblance avec lui-mêmeC’est un Bruit Blanc
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 75
4.4. Exemples
Signal Autocorrélation
Bruit Blanc
Bruit Blanc moyenné
Bruit Blanc avec sinus
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 76
4.4. Fonction de Covariance et d’autocorrélation
( ) 2)( XXXXX mR −= τϕτ
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 77
4.5. Densité Spectrale de Puissance
On cherche à représenter les signaux aléatoire en fréquence
Le « réflexe » est de calculer la transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation
∫+∞
∞−
−==Φ ττπτϕτϕ djfTFf XXXXXX )2exp()())(()(
∫+∞
∞−
− Φ=Φ= dfjfffTF XXXXXX )2exp()())(()( 1 τπτϕ
Par inversion de la TF on a également
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 78
4.5. Densité Spectrale de Puissance
Or la puissance du signal s’écrit
[ ] 2
0
2 )2exp()()0( XXXXXXX mdfjffmP +Φ=+==∫ τ
τπϕ
Théorème de Wiener-KintchineLa transformée de Fourier de la fonction d’autocorrélation est la densité spectrale de puissance
2)( XXXx mdffP +Φ= ∫soit finalement
)( fXXΦdonc est la densité spectrale de puissance du signal aléatoire
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 79
4.6. Notion d’estimation
• La théorie des probabilités et des variables aléatoires permet de calculer les grandeurs caractéristiques des signaux (moyennes, variances, covariances…) si on connaît les lois de probabilité
∫== dxxxpXEm XX )()(
∑=
∞→==
N
iiNX X
NXEm
1)(1lim)( ω
• La connaissance de la loi est équivalente à l’observation du processus sur une infinité d’expériences
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 80
4.6. Notion d’estimation
• Dans la pratique on fait un nombre d’expériences limité et on calcule la moyenne empirique
• C’est l’estimateur de la moyenne empirique• Le résultat de l’estimation est d’autant meilleur que le nombre d’expériences
est grand (exemple lancé de dé)
∑=
∧
=N
iiX X
Nm
1)(1 ω
• On montre que l’estimateur de la moyenne empirique converge vers l’espérance mathématique
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 81
4.6. Notion d’estimation
DéfinitionUn estimateur est une fonction qui détermine une valeur , estimation d’une grandeur à partir d’un échantillon de réalisations de variables aléatoires
on note
∧
αα
)(tX
( ))(),....,2(),1( NXXXf=∧
α
Or comme toute fonction de variables aléatoires est une variables aléatoire, un estimateur est une variable aléatoire
)(∧
∧ αα
p
Un estimateur est donc caractérisé par une densité de probabilités
On la note
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 82
4.6. Notion d’estimation
Biais et variance d’un estimateurintuitivement un bon estimateur doit avoir une grande probabilité de donner un résultat proche de la valeur que l’on cherche à estimer
1
α
)(∧
∧ αα
p
α
)(∧
∧ αα
p
32
1
La variance de l’estimateur 2 est plus faible que celle de 1La moyenne de 3 n’est pas la valeur de on dit que 3 est biaisé1 et 2 sont non biaisés
α
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 83
4.6. Notion d’estimation
Biais d’un estimateurLe biais d’un estimateur est la différence entre sa valeur moyenne et la vrai valeur que l’on veut estimer
ααα
−=∧
∧ )(Eb
Variance d’un estimateurC’est la variance de la variable aléatoire qu’il représente
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛ −=
∧∧
∧
2
)(var ααα
EE
Estimateur consistantun estimateur est consistant lorsque le biais et la variance tendent vers zéro lorsque le nombre d’observations tend vers l’infini
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 84
4.7. Estimation de la fonction d’autocorrélation
• Estimateur sans biaisLorsqu’on ne dispose que de N échantillons il n’y a que valeurspossibles des produits
)(τϕXX
∑ +=∞→
N
NXX kXkXN 0
)()(1lim)( ττϕ
• On veut estimer quand N est fini
τ−N)()( τ+kXkX
)(kX
)25( +kX
Pour N=50, et τ =25il n’y a que 25 termes non nuls
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 85
4.7. Estimation de la fonction d’autocorrélation
• Estimateur sans biais
– On montre que
– L’estimateur est donc consistant
∑−−∧
+−
=1
0)()(1)('
τ
ττ
τN
XX kXkXN
C
0)('
=∧τXXC
b
0varlim)('
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∧∞→ ττ XXC
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 86
4.7. Estimation de la fonction d’autocorrélation
• Estimateur biaisé
– On montre que
– On montre que cet estimateur est consistant
∑−−∧
+=1
0
)()(1)(τ
ττN
XX kXkXN
C
)()(
τϕττ
XXC N
bXX
−=∧
0varlim)(
=⎥⎦⎤
⎢⎣⎡
∧∞→ ττ XXC
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 87
4.8. Estimation de la densité spectrale de puissance
• Estimateur spectral simple de la densité spectral de puissance– Prendre la transformée de Fourier de l’estimateur de la fonction
d’autocorrélation
– C’est l’estimateur du périodogramme
– Comme l’estimateur de est biaisé l’estimateur du périodogramme est biaisé également
– On montre que la variance est non nulle et qu’elle ne dépend pas de la durée du signal, elle ne peut donc pas s’annuler à la limite
∑−
=
∧∧
−=Φ1
0)2exp()()(
N
kXXXX jnkkCn π
2)(1)( nXN
nXX =Φ∧
XXC∧
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 88
4.8. Estimation de la densité spectrale de puissance
• Estimateur spectral moyenné– Une manière simple pour réduire la variance est de calculer une moyenne sur
plusieurs estimateurs simples indépendants
– On découpe le signal en L tronçons de durée K tels que
∑∧
Φ=Φl
l nL
n )(1)(
KLN ×=)(1 kx )(2 kx )(3 kx
2)((1)( kxTFD
Nn ll =Φ
∧Alors avec
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 89
4.8. Estimation de la densité spectrale de puissance
• Estimateur spectral moyenné– La variance diminue par rapport à l’estimateur simple
XXXXVar
NKVar
LVar
ΦΦΦ ==1
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 90
4.8. Estimation de la densité spectrale de puissance
• Estimateur spectral adouci
– Les propriétés sont liées aux propriétés de la fenêtre: résolution fréquentielle
∑−
=
∧∧
−=1
0)2exp()()()(
N
kXXXX jnkkCkwnR π
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 91
4.8. Estimation de la densité spectrale de puissance
• Estimateur spectral modifié
∑=
=L
llx kwkxTFD
KPLfR
1
2))(*)((11)(
∑−
=
=1
0
2)(N
kkwP
KLN ×=
• La variance décroit avec L
XXXVar
LVar
R Φ=
1
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 92
Bruit Blanc de variance 1 échantillonné sur des tronçons de 1000 ptsR = 1 moy B= 8 moy J= 64 moy
Application (1)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-60
-55
-50
-45
-40
-35
-30
-25
-20
-15
∑=
Φ=2
1
)(f
ff
fP
9976,010*500 2027
==−
P
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 93
Application (2)
0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500-120
-100
-80
-60
-40
-20
0
Sinus d’amplitude 1 quantifié sur 8 bitsRectangulaire Hanning
5.0)(110
90=Φ=∑
=ffP
62078
10*92,710*500 −−
==Pbruit
622
10*12,512)255/2(
12−===
qPbruit
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 94
5. Principe du MP3: Modèle auditif de l’oreil
H0(z)
HM-1(z) FM-1(z)
F0(z)M M
M M
)(nx∧
)(nxQuantification
codage
Allocation
Dynamique
De bits
Estimation spectrale +
Modèle auditif
M filtres passe-bande Décimation d’un facteur M
Sous-échantillonnage critique d’un facteur M
Sur-échantillonnaged’un facteur Majout de M-1 zéros
M filtres interpolateurs
+
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 95
Effet de masquage
Seuil d’audition absolue et courbes de masquage d’une sinusoïde à la fréquence 5KHz pour des puissances de 20, 40 et 60 db
Inutile de coder ce que nous ne percevons pas dans le signal musical.Une compression avec perte est possible en utilisant le modèle auditif humain
dans une ambiance parfaitement silencieuse l’oreille n’est sensible àune fréquence qu’à condition que sa puissance dépasse le seuil d’audition absolu (0dB)
Une fréquence masque ces voisines i.e. augmente le seuil de perception
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 96
Courbes de masquage du Modèle MPEG Audio 1
f2 perçue si P(f2 ) > Pf1(f2) courbe de masquage en f2 par la présence de f1
Si l’on exprime la fréquence en Bark (Barkhausen, 1881-1956)
alors les courbes de masquage peuvent être représentées par des segments de droites dont la pente ne dépend que de f1
La courbe de masquage s’écrit
f1 f
Pf1(f)
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠⎞
⎜⎝⎛+⎟
⎠⎞
⎜⎝⎛=
2
75005,3100076,013 hertzhertzbark
farctgfarctgf
),(()()(),,( 1211111122 PffMfafPPffP −++=
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 97
Courbes de masquage du Modèle MPEG Audio 1
La courbe de masquage s’écrit
Avec la puissance de la fréquence
l’indice de masquage tel que son tonal (sinus)son non tonal
),(()()(),,( 1211111122 PffMfafPPffP −++=
5,4275,0525,1)( 11 −−−= ffat)( 1fa
)( 11 fP 1f
5,0175,0525,1)( 11 −−−= ffan
13 21 −<−<− ff ( ) ( )64.0117),( 121121 +−+−=− PffPffM
01 21 <−<− ff
10 21 <−< ff
81 21 <−< ff
( )( )64.0),( 121121 +−=− PffPffM
( )21121 17),( ffPffM −−=−
( )( ) 1715.0171),( 121121 −−−−−=− PffPffM
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 98
Exemples
Courbes de masquage par 3 sons pursà 1, 5 et 10 KHz et une puissance de 50dB
Courbes de masquage par 3 bruits à bande étroiteP=50dB
Courbes de masquage par 3 sons pursà 1, 5 et 10 KHz et une puissance de 30dB
Courbes de masquage par 3 bruits à bande étroiteP=30dB
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 99
Notion de bande critique
C’est la bande de fréquence dont la perception est modifiée en présence d’une fréquence masquante
La largeur de la bande critique augmente avecla fréquence Masquante
1 Bark mesure la largeur d’une bande critique quelle quesoit sa position sur l’axe des fréquences
100/1 fBark=
)1000/log(491 fBark +=
Hzfsi 500<
Hzfsi 500>
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 100
Les 24 bandes critiques de la bande audible
HzKHzf 5,62512
32==∆
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 101
Calcul de la courbe de Masquage
• Il s’agit d’analyser la composition spectrale du signal pour déterminer les bandes de fréquence qui ne sont pas audibles
• On procède à des analyses locales pour avoir des propriétés de stationnarité du signal
• Le signal audio est donc analysé par tronçons successifs• N = 512 échantillons• D = 16 ms pour Fe = 33KHz• D = 11,6 ms pour Fe = 44 Khz
• On note les 512 échantillons du tronçon n° l• On note les 512 échantillons de la TFD du trançons
511,...,0)( =kkxl
)(1 kx )(2 kx )(3 kx
511,...,0)( =nnXl
511,...,0)( =kkxl
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 102
Les 25 bandes critiques du MPEG
HzKHzf 1,865121,44
==∆Pour KHzfe 1,44=
Limites des bandes critiques
N° de bandes
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
Fréquences (Hz)86 172 258 431 517 689 775 947 1120 1292 1464 1723 1981 2326 2756
16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
3187 3876 4479 5340 6374 7580 9302 11370 15504 19983
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 103
Calcul de la courbe de Masquage
• Etape 1: estimation de la densité spectrale de puissance par l’estimateur adouci(fenêtre de hanning mais sans moyennage)
• Etape 2: normalisation à 96dB (par translation + ou – du max)
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡×= 2
10 ))(*)((1log10)( kwkxTFDNP
nR ll
dBnRln96)(max =
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 104
Calcul de la courbe de Masquage
• Etape 3: Détection des composantes tonales vérifiant les 3 conditions
avec si (basses fréquences)
si (fréquences moyennes)
si (hautes fréquences)
dBjkSkSnSnSnSnS
7)()()1()()1()(
≥+−+≥−>
[ ] 2,263,3 +−=∈ jalorsk
[ ] 3,2,2,3126,64 ++−−=∈ jalorsk
[ ] 6,...,2,2,...,6250,127 ++−−=∈ jalorsk
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 105
Calcul de la courbe de Masquage
• Etape 4: Renforcement des composantes tonalesOn ajoute aux composantes tonales la puissance des deux harmoniques voisines
si n est tonale
( )10/)1(10/)(10/)1(101 101010log10)( +− ++×= nRnRnR lllnP
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 106
Calcul de la courbe de Masquage
• Etape 5: Renforcement des composantes non tonalesDans chaque bande critique on somme les puissances des composantes non tonales
si n est non tonale
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛×= ∑
fin
tonalenonndebut
nRlnP,
10/)(101 10log10)(
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 107
Calcul de la courbe de Masquage
• Etape 6: Elimination des fréquences tonales et non tonales inférieures au seuils d’audition
• Etape 7: passer à une échelle en Bark
• Etape 8: deux composantes tonales séparées de moins de 0,5 Bark entraînent l’élimination de la moins puissante
• Il reste Nt composantes tonales et Nn composantes non tonales
• Etape 9: calcul du seuil de masquage à la fréquence
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛++×= ∑∑
==
nta
N
j
PnnPN
j
PnnPnSm nS
1
10/),,(
1
10/),,(10/)(102
121212122 101010log10)(
T. Paquet Traitement du Signal L3-EEA 108
Bibliographie
M. Bellanger, Traitement numérique du signal, 6eme édition, Dunod, 1998
Blanchet, Charbit, Traitement numérique du signal, Hermes, 1998.
M. Kunt, Techniques modernes de traitement numérique du signal, Volume 1, PPUR, 1991.
P. Réfrégier, Théorie du signal, Masson, 1993.