Post on 24-May-2018
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Signal
électrique
Traitement du signal
• Télécommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, …)• Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation écho, Analyse, Synthèse, …)• Médical (Échographie, Imagerie, Biosignaux, …)• Radar, géophysique, Acoustique (sous-marine)• …
Grandeur
physique
Milieu de
transmissionCapteur
Bruit
Traitement du
signal
Information
2
Signaux et systèmes
Les signaux :- Déterministes
- Impulsionnels
- Périodiques
- Aléatoires : bruits (bruit blanc), données, information, …
Les systèmes :– Linéaires Invariant dans le Temps (SLIT) : canaux de transmission,
composants électroniques passifs (R,L,C), filtres analogiques et numériques, …
� régis par l'opération de convolution� ayant les signaux sinusoïdaux comme fonctions propres
� Fonction de transfert et analyse de Fourrier
– Non linéaires ou non stationnaires : non linéarités (saturation),
3
Traitement Numérique du Signal
Numérisation : double discrétisation�Discrétisation temporelle : Echantillonnage�Discrétisation numérique : Quantification
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Plan du coursIntroduction
Rappels� Systèmes linéaires invariants dans le temps� Analyse de Fourier
Echantillonnage� Théorème de l'échantillonnage� Bruit de quantification
Transformée de Fourier Discrète (TFD)� Transformée de Fourier Discrète Rapide : FFT (Fast Fourier Transform)
Filtrage numérique� Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)� Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)� Transformée en Z
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Plan du cours
Introduction � Classification des signaux et des systèmes� Chaîne de traitement du signal numérique
Rappels� Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps (SLIT) - Convolution - Fonctions propres� Analyse de Fourier – Série de Fourier – Transformée de Fourier - Parseval
Echantillonnage� Spectre d'un signal échantillonné - Transformée de Fourier d'un signal échantillonné� Théorème de l'échantillonnage� Reconstruction – Interpolation - Suréchantillonnage.� Bruit de quantification - Facteur de crête
Transformée de Fourier Discrète (TFD)� Périodisation temporelle � Echantillonnage fréquentiel - Fenêtrage� Transformée de Fourier Discrète Rapide : FFT (Fast Fourier Transform) - Fonctions Matlab� Filtrage dans le domaine fréquentiel, filtrage 2D� OFDM (évocation)
Filtres numériques� SLIT à temps discret – Réponse impulsionnelle - Convolution discrète – Réponse en fréquence – Fonction filtrage� Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) - Filtre à phase linéaire (retard) – Filtre de Hilbert – Phase minimale� Synthèse par la méthode directe – Phénomène de Gibbs – Fenêtrage - Synthèse par TFD – Fonctions Matlab� Filtre RIF à ondulations réparties – Nb de coefficients - Algorithme de Remez (évocation) – Fonctions Matlab� Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII) – Equations aux différences – Réponse impulsionnelle � Stabilité� Transformée en Z – Factorisation - Stabilité de la cellule récursive du premier ordre – Stabilité d'un filtre RII� Pôles et Zéros - Interprétation géométrique� Synthèse – Fonctions modèles – Transformée bilinéaire - Filtres Elliptiques – Gabarit – Ordre� Étude de la cellule du premier ordre – Application à l'estimation – Mise en œuvre en virgule fixe� Étude de la cellule du second ordre – Résonance – Réponse impulsionnelle - Décomposition en éléments simples� Cellule du second ordre générale - Filtre réjecteur – Déphaseur pur� Mise en œuvre en virgule fixe – Structure cascade – Quantification des coefficients – Bruit de calcul - Nb de bits – Règles
Applications� Filtrage multicadence – Bancs de filtres – Transformation IQ
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Références
Les livres :• Traitement numérique du signal, Maurice BELLANGER (Dunod) ;• Méthodes et techniques de traitement du signal, J.MAX (Masson) ;• Traitement numérique des signaux, M.KUNT (Dunod) ;• Digital signal processing, J. G. Proakis, D. G. Manolakis, (Prentice Hall)
Sur Internet :• Wikipédia : site en pleine progression• Luc Vandendorpe : http://www.tele.ucl.ac.be/EDU/ELEC2900/tout_2900b.pdf• Joël Le Roux : http://users.polytech.unice.fr/~leroux/
Exercices, Devoirs surveillés et documents de cours :• http://luc.fety.free.fr• http://luc.fety.free.fr/ELE102• http://luc.fety.free.fr/ftp/
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Systèmes linéaires invariants dans le temps
Linéarité :
Invariance temporelle :
Exemples : canaux de transmission, systèmes optiques, filtrage, …
)(tx SLIT )(ty
)(1 tx )(1 ty
)(2 tx )(2 ty
)()( 2211 txtx αα + )()( 2211 tyty αα +
)(tx )(ty
)( τ−tx )( τ−ty
Principede
superposition
Stationnarité
8
Convolution
Réponse impulsionnelle :
Un signal quelconque peut être exprimé comme une somme d'impulsions :
En vertu de la linéarité et de l'invariance temporelle :
Cette opération s'appelle le produit de convolution :
)(tδ SLIT )(th
ττδτ dtxtx )()()( −= ∫+∞
∞−
τττ dthxty )()()( −= ∫+∞
∞−
)()()( thtxty ∗=
9
Propriétés du produit de convolution
Le produit de convolution est– commutatif :
– associatif :
– distributif :
L'élément neutre est l'impulsion de Dirac :
La convolution par opère une translation de :
Évaluation graphique :
(Wikipedia)
)()()()( xfxgxgxf ∗=∗)())()(())()(()( xhxgxfxhxgxf ∗∗=∗∗
)()()()())()(()( xhxfxgxfxhxgxf ∗+∗=+∗
)()()()()( xfduuxfuxxf =−=∗ ∫+∞
∞−δδ
)()()()()( axfduuxfauaxxf −=−−=−∗ ∫+∞
∞−δδ
)( ax −δ a
duuxgufxgxf )()()()( −=∗ ∫+∞
∞−
10
Fonctions propres
Fonctions telles que
�
Proposition : �
)()()( txdtxh ⋅=−∫+∞
∞−λτττ
)(tx )()()( txthtx ⋅=∗ λ
atetx =)( )()( )( txeeeetx aatata ⋅=⋅==− −−− ττττ
44 344 21λ
ττ ττττ dehedeh aatta −+∞
∞−
−+∞
∞− ∫∫ ⋅= )()( )(
11
Exprimer le signal d'entrée comme une somme de fonctions propres :
ou
Pour déterminer plus facilement le signal de sortie :
ou
est appelée " Transformée de ". est appelée " Fonction de Transfert ".
Base de fonctions propres
∑ ⋅=a
ateaXtx )()( ∫ ⋅=a
atdaeaXtx )()(
∑ ⋅⋅=a
at
aY
eaXaty43421)(
)()()( λ ∫ ⋅⋅=a
at
aY
daeaXaty43421)(
)()()( λ
)(tx )(tySLIT
)(aX )(tx
)(aλ )()()( aXaaY ⋅= λ
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Différentes transformées :
• Laplace :
• Fourier :
• En Z dans le cas des signaux échantillonnés, …
ωα jpa +== ∫ ⋅=p
ptdpepXtx )()(
fja π2= ∫+∞
∞−⋅= dfefXtx ftπ2)()(
13
Exemple de décomposition
tftx 02cos)( π= ?)( =tySLIT
tfjtfj eetx 00 22
2
1
2
1)( ππ −+=
SLIT
SLIT
+
tfje 022
1 π
tfje 022
1 π−
tfjfH e 02
21
)0(π
⋅
tfjfH e 02
21
)0(π−
⋅−
))0(02cos()0()( ftffHty ϕπ +=
*)0()0( fHfHsi =−
14
Exemple de SLIT
)(tx +τ
)()()( τ−+= txtxty
)1()(
22)(222
0
0000043421
fH
fjtfjtfjtfjtfj eeeee τππτπππ −− +=+→
)1()(
22)(222
0
0000043421fH
fjtfjtfjtfjtfj eeeee−
+−−−−− +=+→ τππτπππ
tfjefHtfjefHtytfjetfjetftx 00
00
000
2)(212)(
21)(2
212
212cos)( πππππ −⋅−+⋅=→−+==
τπτπτπτπτπτπτπ 000
00
0000 cos2)(cos2)()( fj
effHetfj
effj
efj
efj
efH+⋅=−−⋅=−⋅−++=
)2cos(cos2)2(
21)2(
21cos2)( 000
00000 τππτπτππτππτπ ftff
ftfje
ftfjefty −⋅=
−−⋅+−⋅=
15
Ce qu'il faut retenir
Les traitements des signaux sont le plus souvent des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps .
Ils sont régis par le produit de convolution :
est la réponse impulsionnelle du système. Elle caractérise entièrement le système.
Les transformées de Laplace et de Fourier sont très utilisées pour l'étude des SLIT car elles sontbasées sur des fonctions propres des SLIT de la forme .
Elles transforment le produit de convolution en produit simple.
)(tx )(tySLIT
τττ dthxthtxty )()()()()( −=∗= ∫+∞
∞−
)(th
ate
16
Traitement Numérique du Signal
Le traitement numérique des signaux requiert leur numérisation :
1) Les calculateurs sont des systèmes discrets : Ils peuvent tout au plus mémoriser et calculer les valeurs des signaux à des instants dénombrables. � Il faut donc opérer une discrétisation temporelle :
L'Echantillonnage
2) Les mémoires disponibles dans les calculateurs sont elles-mêmes constituées d'un nombre fini de bits : Elles peuvent tout au plus mémoriser des valeurs arrondies des échantillons des signaux. � il s'agit d'une discrétisation numérique :
La Quantification
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L'Echantillonnage
L'échantillonnage d'un signal consiste à mesurer et ne conserver que ses valeurs à des instantsparticuliers :
Le signal obtenu est un signal discret :
est l'indice (ou indexe) des échantillons.
est le symbole de Kronecker :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
{ }LL 9.06.06.09.009.0)()( −−−==↑
nTexnx A
)(nx
)(txA
∑+∞
−∞=
−⋅=i
inixnx )()()( δ
)(nδ
=≠
=01
00)(
nsi
nsinδ
Nn∈
TeefTe
=1
: Période d'échantillonnageTe
: Fréquence d'échantillonnageef
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Reconstruction
Problème : Plusieurs signaux présentent les mêmes échantillons :
Il faut certainement compléter l'information contenue dans les échantillons pardes hypothèses supplémentaires.
Solution retenue : Hypothèses dans le domaine spectral
� Le théorème d'échantillonnage
τττ dthxthtxty )()()()()( −=∗= ∫+∞
∞−
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
19
Spectre d'un signal échantillonné
Considérons l'expression analogique du signal numérique :
Peut-on exprimer comme une somme de sinusoïdes ?
ou peut-être
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1 )(txA
)(txN
)(txN
)(txN
∑=f
ftjfN eatx π2)( ∫=
f
ftjfN dfeatx π2)(
20
Spectre d'un signal échantillonné
Les signaux présentent tous les mêmes échantillons :tkftxtx eAk π2cos)()( ⋅=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
tfeπ2cos
tftx eA π2cos)( ⋅
tfeπ4cos
tftx eA π4cos)( ⋅
)(txA
)(txA
21
Spectre d'un signal échantillonné
Si nous faisons la somme de ces signaux : ∑= + −
⋅+K
k ee
eAA
tekfjtekfj
tkftxtx1 22
2cos2)()(43421
ππ
π
1=K
2=K
3=K
4=K
5=K
)(txA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-101
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-202
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10
010
Nous obtenons un signal constitué d'impulsions approchant .)(txN
22
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Spectre d'un signal échantillonné50=K
8.8 8.9 9 9.1 9.2
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000500=K
⋅+⋅= ∑
∞
=1
2cos2)()()(k
eAAN tkftxtxfetx π
∑∞
−∞=
−⋅=n
AN nTetnTextx )()()( δ
)(ˆ txN
)()(ˆ2
2
nTexdttx A
nTe
nTeN
Te
Te≈⋅∫
+
−
∑∞
−∞=
⋅⋅=k
tkfjAN
eetxfetx π2)()(
230 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 9.4
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Vérification du facteur 1=fe
10=fe
ef
0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
1=Te
1.0=Te
24
Modulation � Périodisation
∑+∞
−∞=
−⋅=k
eAN kffXfefX )()(
∑∞
−∞=
⋅⋅=k
tkfjAN
eetxfetx π2)()(
)( fX A
f0
)( fXN
f0efef ef2ef2−
∫+∞
∞−= dfefXtx ftj
AAπ2)()(
∑ ∫∞
−∞=∫ −
+∞
∞−
+
∞+∞−
⋅=k
dfekffX
tkffjAN
ftjeA
e dfefXfetx4444 34444 21
π
π
2)(
)(2)()(
)( eA ffX − )2( eA ffX −)( eA ffX +)2( eA ffX +
25
Transformée de Fourier de
∑∞
−∞=
−⋅=n
AN nTetnTextx )()()( δ
∑∞
−∞=
−⋅=n
fnTejAN enTexfX π2)()(
)(txN
∫+∞
∞−
−= dtetxfX ftjNN
π2)()(
∫ ∑∞+
∞−
−+∞
−∞=
−⋅= dtenTetnTexfX ftj
nAN
πδ 2)()()(
or
∑ ∫+∞
−∞=
+∞
∞−
−−⋅=n
ftjAN dtenTetnTexfX πδ 2)()()(
26
Reconstruction
)()()( fHfXfX NA ⋅=
)( fH
f0
)( fXN
f0efef− ef2ef2−
)( eAe ffXf +⋅ )( fXf Ae ⋅)2( eAe ffXf +⋅ )( eAe ffXf −⋅ )2( eAe ffXf −⋅
)( fX A
f0
2ef
2ef−
ef1
∫+
−⋅= 2
2
21 )()(ef
efedfefXtx ftj
NfAπ
27
Formule de Shannon (reconstruction)
∫+
−⋅= 2
2
21 )()(ef
efedfefXtx ftj
NfAπ
∑+∞
−∞=
−=n
fnTejAN enTexfX π2)()(
∫ ∑+
−
+∞
−∞=
− ⋅
= 2
2
221 )()(ef
efedfeenTextx ftj
n
fnTejAfA
ππ ∑ ∫+∞
−∞=
+
−
−
=
n
nTetfjfAA
ef
efedfenTextx
2
2
)(21)()( π
∑+∞
−∞=
−−−−
−=
n
nTetjnTetjnTetjfAA
efef
eeenTextx )(2)(2
)(211 22)()( ππ
π ( )∑+∞
−∞=−
−=n
nTetjnTetfj
fAAe
enTextx
)(2)(sin(21)()( π
π
∑+∞
−∞=−
−=n
nTetfnTetf
AAe
enTextx)(
)(sin()()( ππ
or
�
�
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Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon
)( fX A
f0
)( fXN
f0efef− ef2ef2− 2
ef2ef−
)(ˆ fX A
f0efef− ef2ef2− 2
ef2ef−
maxf
2maxeff < Au moins2 échantillons par période
Repliement de spectre
29
∑∞
−∞=
−⋅=n
AN nTetnTextx )()()( δ ∑∞
−∞=
⋅⋅=k
tkfjAeN
eetxftx π2)()(
∑∞
−∞=
−⋅=n
AN nTettxtx )()()( δ ∑∞
−∞=
⋅=k
tkfjeAN
eeftxtx π2)()(
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
=−k
tkfje
n
eefnTet πδ 2)(
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
− −=k
een
fnTej kfffe )(2 δπ
∑∞
−∞=
−∗=k
eeAN kffffXfX )()()( δ∑∞
−∞=
−∗=n
fnTejAN efXfX π2)()(
TF
TFTF
En définitive
∑∞
−∞=
−=k
eAeN kffXffX )()(∑∞
−∞=
−=n
fnTejAN enTexfX π2)()(
TF TF
30
Pour être mémorisés, les échantillons de signal doivent être codés avec un nombre fini de bits. Or, avec bits, il n'est possible de coder que états. Dès lors, les échantillons qui pouvaient prendre un nombre infini de valeurs doivent être approximés (quantifiés) au plus proche état codé (état de quantification).
Quantification
N2N
Exemple : Quantification linéaire entre et avec bits A− NA+
N
Aq
2
2=
Val
eurs
qua
ntifi
ées
Valeurs initiales
tionquantifica de états 1624 =→= NN
-1.5A -A -0.5A 0 0.5A A 1.5A-A
-0.5A
0
0.5A
A
31
La quantification des échantillons peut être interprétée comme l'ajout d'un bruit :
Bruit de quantification
{bruit
)()()( nenxnxq +=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-A
-0.5A
0
0.5A
Asignal analogique x(t)échantillons x(n)valeurs quantifiées xq(n)erreur e(n)
32
Densité de probabilité du bruit de quantification
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
signal initial x(t)
signal quantifié xq(t)
erreur de quantification e(t)
2q+
2q−
� Toutes les valeurs sont équiprobables dans cet intervalle.2q+� L’erreur de quantification est comprise entre et2
q−
En définitive, lorsque le signal varie "normalement" et que N est grand, l’erreur de quantification peut être considérée comme un phénomène aléatoire dont les échantillons sont équiprobables entre et et sont indépendants .
2q−
2q+
)(xfb
x2q− 2
q+
q1
)(nrbb
n
bP
n f
)( fPb
2Fe+2
Fe−
FePb
1)( =∫+∞
∞−dxxfb )()( nPnr bbb δ= bb PdffP
Fe
Fe=∫
+
−
2
2
)(
TF
Bruit blanc
33
Puissance du bruit de quantification
)(xfb
x2q− 2
q+
q1
1)( =∫+∞
∞−dxxfb
[ ] [ ] 2
2
2
2
33112122
)()(q
q
q
qxdxxdxxfxnbEP qqbb
+
−
+
−
+∞
∞−==== ∫∫ 12
2qPb =
12
2qPb =
Explications : Imaginons un phénomène dont une période vaut :
{ }41122211)( =ns
La puissance du phénomène peut être calculée de la manière suivante :
( ) ( )222222222222412314
8
141122211
8
1)(
1 ×+×+×=+++++++== ∑n
nsN
P
Soit encore : et donc :{
{{
{{
{2
3
22
32
2
1
1
48
12
8
31
8
4
vp
vp
vp
P ×+×+×= ∑ ×=n
kk vpP2
Dans le cas d'une variable continue : ∫+∞
∞−=
321xP
dxxfxP )(2
34
Rapport Signal à Bruit
Dans le cas d'un signal sinusoïdal occupant la pleine échelle [ ]AA +− ;
( )N
Aq
A
b
x
N
A
P
P
B
S 22
22
2
12
2 22
362
2
×====
Soit encore en dB :
44 344 2143421 NdB
NB
S
02.676.1
)2log(2102
3log10 ××+
×=
NB
S
dB
02.676.1 +=
35
∑∞
−∞=
−⋅=n
nTetnxtx )()()( δ
∫+∞
∞−
−⋅= dtetxfX ftj π2)()(
Transformée de Fourier Discrète (TFD)
∑∞
−∞=
−=n
fnTejenxfX π2)()(
Nous savons que la transformée de Fourier :
appliquée au signal échantillonné défini de la manière suivante :
conduit à la définition de la Transformée de Fourier du signal échantillonné :
La "Transformée de Fourier discrète " en est une version calculable :
( ) ∑−
=
−==
1
0
2)(ˆ)(
N
n
N
knj
Nkfe enxXkX
πN
knfnTe N
kFef
→=
Echantillonnage fréquentiel Horizon fini
36
La réduction de l'horizon temporel peut-être interprété comme la multiplication du signal par une porte de durée :NTe
Troncature temporelle
Le spectre obtenu est alors le "vrai spectre" convolué par la TF de la porte :
∑∑−
=
−+∞
−∞=
− →1
0
22 )()(N
n
fnTej
n
fnTej enxenx ππ
( )∏ −−⋅→NTe
N Tettxtx2
1)()(
( )
−∗→ ∏ −
NTe
N TetTFfXfX2
1)()(ˆ( )fTe
fTe
ππsin
( )∏τ
t
2
τ2
τ−
1
t
f*fFe Fe2Fe−
)( fX
fFe Fe2Fe−
)(ˆ fX
)( fG
37
L'échantillonnage dans le domaine fréquentiel induit une périodisation dans le temporel :
Echantillonnage fréquentiel
( ) ( )N
kFeXfX →
( ) ( )∑∑ −∗→−⋅kk
NkFe kNTettxffX δδ )()(
0 tNTe
1
)(tx
*t
0
NTe NTe2NTe−
tNTe NTe2NTe−
0
1)(tp
)(txp
38
1) Fenêtrage :
Reprenons …
0 tNTe
1)(tx
( )∏ −−⋅=NTe
N Tettxtx2
1)()(π
( )∏NTe
t
0 tNTe
( ) TeN
fj
fG
efNTe
fNTeNTefXfX 2
12
)(
sin)()(
−−∗=
ππ π
π
44 344 21
)(txπ
0f0f− f2eF
2eF−
)( fXπ
0f0f−
NTe
f2eF
2eF−
)( fX)( fG
39
0 NTe
2) Périodisation
∑ −∗=k
p NTettxtx )()()( δππ
∑ −⋅=k
NkFe
p ffXfX )()()( δππ
t
)(txπ
0 NTe
0f0f− f2eF
2eF−
)( fXπ
t
0f0f− f2eF
2eF−
)( fX pπ
40
0 NTe
3) Echantillonnage :
∑ −⋅=n
ppN nTettxtx )()()( δππ
∑ −∗=k
ppN kFefFefXfX )()()( δππ
t
)(txπ
0 NTe t
0f− f2eF
2eF−
)( fX pπ
0ff
2eF−
23 eF−
)( fX pNπ
0f−2eF
0f2
3 eFFe− Fe
41
0 NTe
Quand ça se passe bien
∑ −⋅=n
ppN nTettxtx )()()( δππ
∑ −∗=k
ppN kFefFefXfX )()()( δππ
t
)(txπ
0 NTe t
0f− f2eF
2eF−
)( fX pπ
0ff
2eF−
23 eF−
)( fX pNπ
0f−2eF
0f2
3 eFFe− Fe
42
Filtres Numériques
Linéarité :
Invariance temporelle :
)(nx SLIT discret )(ny
)(1 nx )(1 ny
)(2 nx )(2 ny
)()( 2211 nxnx αα + )()( 2211 nyny αα +
)(nx )(ny
)( τ−nx )( τ−ny
Principede
superposition
Stationarité
Ce sont des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps discrets :
43
Convolution discrète
Réponse impulsionnelle :
Un signal numérique peut être exprimé comme une somme d'impulsions :
En vertu de la linéarité et de l'invariance temporelle :
Cette opération s'appelle la convolution discrète :
)(nδ SLIT Discret )(nh
∑ −=k
knkxnx )()()( δ
)()()( nhnxny ∗=
∑ −=k
knhkxny )()()(
44
Le Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps discrets sont régis par
Convolution continue � discrète
∫+∞
∞−−=∗= duutxuhthtxty )()()()()(
Ce sont des Systèmes à temps discrets : ∑+∞
−∞=
−==n
N nTetnhthth )()()()( δ
Traitant des signaux à temps discrets : ∑+∞
−∞=
−==n
N nTetnxtxtx )()()()( δ
∫ ∑∑+∞
∞−
+∞
−∞=
+∞
−∞=
−−−= dulTeutlxkTeukhtylk
)()()()()( δδ
∑ ∑ ∫+∞
−∞=
+∞
−∞=+−
+∞
∞−−−−=
k lTelkt
dulTeutkTeulxkhty44444 344444 21
))((
)()()()()(
δ
δδ
l'opération de convolution continue :
knllknposons −=⇒+=
444 3444 2144 344 21)()(
)()()()()()(
ty
nn
ny
k
N
nTetnynTetknxkhty ∑∑ ∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
+∞
−∞=
−=−−= δδ ∑+∞
−∞=
−=k
knxkhny )()()(
)()()( ttt δδδ =∗
45
Réponse en fréquence
∑+∞
−∞=
−=k
knxkhny )()()(
Si alors :fnTejenx π2)( = 43421
444 3444 21 )(
2
)(
2)(2 )()()(nx
fnTej
fH
k
fkTej
k
Teknfj eekhekhny πππ
== ∑∑
+∞
−∞=
−+∞
−∞=
−
SLIT DiscretfnTeje π2 fnTejefH π2)( ⋅
∑+∞
−∞=
−=k
fkTejekhfH π2)()(
Les signaux de la forme sont les seuls pour lesquels ce phénomène est observé. Ce sont les fonctions propres des systèmes linéaires invariants dans le temps.
nTeeα
46
Fonction filtrage
Il est ainsi possible de créer des filtres passe-bas, passe-haut, passe-bande, réjecteur, etc …
Exemple de synthèse d'un filtre RIF passe-bas ( )
∑−
=
−=1
0
2)()(N
n
fnTejenhfH π
� Voir la fonction "sptool" de Matlab
Bande de transition
Gabarit
Bande affaiblie
Bande passante
)( fH
2δ
0
11 δ+
11 δ−
1
1f 2f2Fe f
f∆
6Fe
cF =
78 n
79=N
39
)(nh
0
47
Filtrage
∑ −=k
knxkhny )()()(
)(nx )(nh )(ny
Le filtrage d'un signal consiste en sa convolution par la réponse impulsionnelle du filtre :
Exemple :
n0
Remarque : Le signal de sortie est déphasé� diagramme de Bode
)(ny
)(nx
Fef 3.02 =Fef 03.01 =
48
2Fe
Diagramme de Bode
0
0
1
f
2Fe0 f
)( fH
dBfH )(
60−
4Fe
2Fe f
4Fe
π−
π+
)( fϕ
Exemple pour un filtre récursif
49
Filtrage dans le domaine fréquentiel
dfefXnx fnTej
∫+∞
∞−= π2)()(
Convolution par)(nx )(ny
dfefHfXny fnTej
fY
∫+∞
∞−= π2
)(
)()()(43421
)(nh
)( fX)( fHMultiplication par
)( fY
TF TF -1
)()()( fHfXfY ⋅=
Résolution théorique, traitement d'images, traitement par blocs, …
50
Comme leur nom l'indique, leur réponse impulsionnelle est finie ; c'est-à-dire nulle en
dehors d'un intervalle borné : par exemple dans le cas d'un filtre causal :
Filtres à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)
∑∑−
=
+∞
−∞=
−=−=1
0
)()()()()(N
kk
knxkhknxkhny
)(nδ RIF )(nh
1−N n0n0
{ }LL4444 34444 21
LLL 00)1()1()0(00)(termesN
Nhhhnh −=
L'opération de convolution requière N multiplication-accumulations et elle est
généralement mise en œuvre telle qu'elle dans le processeur de traitement.
51
Représentation
∑−
=
−=1
0
)()()(N
k
knxkhny
{ })1()1()0()( −=↑
Nhhhnh L
)(nx
)(ny
Te Te Te TeL Te
+
)1(h
+
)2(h
+
)3(h
+ +
)1( −Nh)0(h L
L
)1( +− Nnx
52
Filtre à phase linéaire
Ces filtres présentent une réponse impulsionnelle symétrique :
M
)3()2(
)2()1(
)1()0(
−=−=−=
Nhh
Nhh
Nhh
0
5.0
78 n
)(nh
( ) ( ) ( )( )44444 344444 21
43421
)(
1
02
121
0
2221
0
22
21
2
21
21
21
2cos2)()()()(
fR
n
N
e
Tefj
n
TenfjTenfjTefjN
n
fnTej
N
fj
N
N
NNN
TenfnheeenheenhfH ∑∑∑−
=
−−−
=
−−−+−−
=
− −=
+==
−−−−π
α
πππππ
N pair :
N impair :
( ) ( ) ( )( )4444444 34444444 21
43421
)(
1
02
12
121
0
222
122
1
21
21
21
21
21
2cos2)()()()()(
fR
n
NN
e
Tefj
n
TenfjTenfjNTefj
N
fj
N
N
NNN
TenfnhheeenhhefH
−+=
++= ∑∑
−
=
−−−−
=
−−−+−−−
−−
−−−π
α
ππππ
53
π−π−
π+
Exemple de filtre à phase linéaire
{ }0.053700.0916-00.31310.50.313100.0916-00.0537)(↑
=nh
( ) ( ) ( )( )44444444444444 344444444444444 2143421
)(
52 10cos20.05376cos20.09162cos23131.05.0)(fRe
Tefj fTefTefTeefHfj
πππα
π ×+×−×+= −
1
π+
0 f
)( fR
fα
0 f
0 f
)( fϕ
R(f) et phase linéaire Diagramme de Bode : Module et argument
f
1
)( fH
0
)()( fRfH =
)0)( quand ()( <±= fRff παϕ
( )1−=± πje
54
Phase linéaire = Retard
{ }0.053700.0916-00.31310.50.313100.0916-00.0537)(↑
=nh
( ) ( ) ( )( )44444444444444 344444444444444 2143421
)(5 de retard
52 10cos20.05376cos20.09162cos23131.05.0)(fRTe
Tefj fTefTefTeefH ππππ ×+×−×+= −
ftje π2321)(
22)(2
fH
fjftjtfj eee τππτπ −− ×=τ
)(nx )(nyTe5)( fR
Un retard se traduit par un déphasage linéaire
Phase linéaire Retard pur⇔
55
)(ny
Phase linéaire = Retard
{ }0.053700.0916-00.31310.50.313100.0916-00.0537)(↑
=nh
( ) ( ) ( )( )44444444444444 344444444444444 2143421
)(5 de retard
52 10cos20.05376cos20.09162cos23131.05.0)(fRTe
Tefj fTefTefTeefH ππππ ×+×−×+= −
)( nx )( nh )( ny
n0
)(nx
n0
t0
)(tx
t0
f0
2Fe
2Fe−
)( fX
f2Fe
2Fe−
)( fY
f0
2Fe
2Fe−
)( fX
0
f0
2Fe
2Fe−
)( fY
Harmoniques de
5
Te5
)( fR
)(tyHarmoniques de
)( fR
Zoom
56
Réponse impulsionnelle antisymétrique
( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )44444444444444444444444 344444444444444444444444 2143421
)(9 de retard
92 18sin20.026714sin20.058410sin20.10496sin20.19912sin26323.0)(fRTe
Tefj fTefTefTefTefTejefH ππππππ ×+×+×+×+×= −
n0
)(nh
189
19=N
Déphasage de 2
π
)(nx )(nyτ)( fR
2π
{ }0267000584001049001991006323.0063230019910010490005840002670)( .........nh −−−−−=↑
57
Filtre de Hilbert
)(nx )(nxRτ
)(nh )(nxI
Partie réelle
Partie imaginaire
2Fe
2Fe
2Fe
0
1
π
π−2π−
2π
)(nh
n
f
f
f
)( fH dBfH )(
20−
40−
60−
{ }0267000584001049001991006323.0063230019910010490005840002670)( .........nh −−−−−=↑
58
Les autres catégories de filtre RIF
Filtres à phase minimale : Filtres dont tous les zéros de la fonction de transfert en Z sont à l'intérieur du cercle unité.
Filtres à phase maximale : Filtres dont tous les zéros de la fonction de transfert en Z sont à l'extérieur du cercle unité.
∑ −=n
nZnhZH )()(
La fonction de transfert en Z est le pendant de la transformée de Laplace pour les systèmes discrets :
Remarque :
( ) ( ) ( ) ∑∑ −−====
n
fnTej
n
nfTejfTej enhenheZHfH πππ 222 )()(
59
Synthèse des filtres RIF
)( fH )(nh
∑ −=n
fnTejenhfH π2)()(
1−TF
� Déterminer réalisant la fonction de filtrage désirée)(nh )( fH
On sait que est la Transformée de Fourier de :)( fH )(nh
� est la Transformée de Fourier Inverse de .)( fH)(nh
Mais encore ?
60
Synthèse des filtres RIF
est périodique. En effet :)( fH
)(.)()()(1
22)(2 fHeenhenhkFefHn
knFeTejfnTej
n
nTekFefj ===+ ∑∑ −−+−43421
πππ
� La transformation de Fourier adaptée aux fonctions périodiques est laSérie de Fourier :
∫−⋅=
T
tj dtetxT
nc Tnπ2)(
1)(
∑ +⋅=n
tj Tn
enctx π2)()(
Problème : est périodique dans le domaine fréquentiel …)( fH
� Série de Fourier Inverse
f
)(nc
tT T2T−
)(tx
0
61
Serie de Fourier Inverse
∫−⋅=
T
tj dtetxT
nc Tnπ2)(
1)(
∑ +⋅=n
tj Tn
enctx π2)()(
∫+
+⋅=Fe
e
fjdfefH
Fenh
fnTej
Fen
43421π
π
2
2)(1
)(
∑−
−⋅=n e
fj
fnTej
Fen
enhfH 43421π
π
2
2)()(
f
)(nc
tT T2T−
)(tx
0
n
)(nh
fFe Fe2Fe−
)( fH
0
62
Application
fFe2
Fe−
)( fH
0
∫+
−
+=c
c
f
f
fnTej dfeFe
nh π21)(
1
cf 2
Fe+
[ ]( )
444 3444 21nTefj
nTefjnTefj
c
cc eenTejFe
nhπ
ππ
π2sin2
22
2
11)( −+ −=
( )nTef
nTef
Fe
fnh
c
cc
ππ
2
2sin2)( =
∫+⋅=
Fe
fnTej dfefHFe
nh π2)(1
)(
Problème : n'est pas causal et est de longueur infinie !)(nh
� Il est nécessaire de tronquer et retarder …)(nh
n
)(nh
63
Troncature de
)(tw
� Il faut encore rendre causal …
t t
f f
)(nh )(2 nh
)( fH )(2 fH
)( fW
)()( twth ⋅
)()( fWfH ∗
)(2 nh
fNTe
fNTeNTefW
ππ )sin(
)( =
NTe
NTe1
)(nh
1
64
Rendre causal )(nh
n
)(2 nh )()( 23 Knhnh −=
K K
N
0N
nK
21−= NK
)()()( 22 nxnhny ∗= )()()()( 223 KnynxKnhny −=∗−=
)(2 nh KTe)(nx )(2 ny )(3 ny
)( fϕ Tef N2
12 −− π )(3 fϕ
f f f
fff
)( fH )( fR )(3 fH
π− π− π−
π+ π+ π+
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe
Représentationde Bode
H(f) idéale Représentationphase linéaire
65
Phénomène de Gibbs
)( fH
f
f
fn
n
n
)( fH
)( fH
)(nh
)(nh
)(nh
40
10
150
09,0
09,0
09,0
)( fH )( fH )( fH
2Fe
2Fe−
2Fe
2Fe
2Fe−
2Fe−
2Fe−
2Fe−
2Fe−
2Fe
2Fe
2Fe
)( 1τ−fcH
τ
)( fcH )( 1τ+fcH
66
Fenêtrage
)( fH
fn
)(nh
n
n
f
f
)( fH
)( fH
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe−
2Fe−
2Fe−10
40
150
)(nh
)(nh Hamming
)( fW
)( fWdB
fW )(
dBfW )(
f
f
2Fe
2Fe
2Fe−
2Fe−
2Fe
2Fe
2Fe−
2Fe−
Te10Te10−
)(tw
Te10Te10−
t
t
dB20−
0
0
dB40−
dB60−
dB20−
dB40−
dB60−
Hamming �
Boxcar �
67
Egaliser les ondulations
� Filtres RIF à ondulations réparties (equiripple)
�Algorithme de Remez
n
f
150
)(nh Hamming
)(nh
)(nh
dBfH )(
n
n
2Fe
2Fe
2Fe
2Fe−
2Fe−
2Fe−
dBfH )(
dBfH )(
f
f
10
40
68
Filtre Equiripple
� Voir la fonction "sptool" de Matlab
Fc=Fe/6f1=Fc-0.01*Fe;f2=Fc+0.01*Fe;d1=0.02; d2=0.02;[N,Fo,Ao,Wo] = firpmord(2*[f1 f2],[1 0],[d1 d2]);h = firpm(N,Fo,Ao,Wo);
( )2110
1103
2 logˆδδf
FeN
∆=
Bande de transition
Gabarit
Bande affaiblie
Bande passante
)( fH
2δ
0
11 δ+
11 δ−
1
1f 2f2Fe f
f∆
78 n
79=N
39
)(nh
0
93,79ˆ =→ N
69
Filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)
∑+∞
=
−=0
)()()(k
knxkhny
Comme leur nom l'indique, leur réponse impulsionnelle est infinie :
L'opération de convolution requière un nombre infini de multiplication-accumulations et ne peut donc pas être mise en œuvre directement dans le processeur de traitement.
Solution : Systèmes récursifs
Exemple :
)(nx
)(ny
Te+b
)1()()( −⋅+= nybnxny
)()( nnx δ= � { }LL nbbbbnhny 321)()(↑
==
� Vérifier qu'il s'agit bien d'un SLIT
70
Équations aux différences
∑∑−
=
−
=
−=−1
0
1
0
)()()()(N
k
M
k
knxkaknykb
Plus généralement, un Système Linéaire Invariant dans le Temps Discret peut être défini par son équation aux différences :
Il s'agit bien d'un système linéaire car :
∑∑−
=
−
=
−=−1
01
1
01 )()()()(
N
k
M
k
knxkaknykb
∑∑−
=
−
=
−=−1
02
1
02 )()()()(
N
k
M
k
knxkaknykb
Alors : ( ) ( )∑∑−
=
−
=
−+−=−+−1
021
1
021 )()()()()()(
N
k
M
k
knxknxkaknyknykb
Si :
Et si :
71
Filtre récursif
{44 344 2144 344 21
récursivepartie
M
k
transversepartie
N
k
knykbknxkanyb ∑∑−
=
−
=
−−−=1
1
""
1
01
)()()()()()0(
Sous certaines conditions, il est possible de calculer récursivement le signal de sortie :
Remarque : On peut faire en sorte que 1)0( =b
)(nx
)(ny
Conditions : Il faut que les soient tels que le système soit stable .
)(kb
+
)(ka )(kbTe Te Te TeL Te
+
)1(a
+
)2(a
+
)3(a
+ +
)1( −Na)0(a L
L
Te Te Te TeL Te
+ +
)3(b
+
)2(b)1( −Mb L
L+
)1(b
72
Réponse Impulsionnelle Infinie
44 344 2144 344 21récursivepartie
M
k
transversepartie
N
k
knhkbknkanh ∑∑−
=
−
=
−−−=1
1
""
1
0
)()()()()( δ
)(nδ
)(nh
+
)(ka )(kbTe Te Te TeL Te
+
)1(a
+
)2(a
+
)3(a
+ +
)1( −Na)0(a L
L
Te Te Te TeL Te
+ +
)3(b
+
)2(b)1( −Mb L
L+
)1(b
{ ( ) }L)0()1()1()1()0()2()2()0()1()1()0()( abababaabaanh ++++=↑
0 20 40 60 80 100-20
-10
0
10
20
0 20 40 60 80 100-1
-0.5
0
0.5
1
Système stable : Système instable
est difficile àdéterminer de cette manière !
)(nh
∞<∑∞
=0
)(k
kh
73
En effet, si alors :
Réponse en fréquence et fonction de transfert en Z
Si la réponse impulsionnelle est divergente : alors :
+fnTejenx π2)( =44 344 21
43421
)(
0
2
)(
2 )()(
fH
k
fkTej
nx
fnTej ekheny ∑∞
=
−= ππ
∑∞
=
−=0
2)()(k
fkTejekhfH π
∑∞
=
−=0
)()()(k
knxkhny
∞→)( fH
Mais il est toujours possible de calculer la réponse à un signal :
( )43421
nfTeje
fnTejnn eZπ
πρ2
2=
nZnx =)( {
43421)(
0)(
)()(
ZH
k
k
nx
n ZkhZny ∑∞
=
−=
∑∞
=
−=0
)()(k
kZkhZH
est la TF de )( fH )(nh
Et si alors, amortit et rend la série convergente.minZ ρ> kZ −
est la TZ de )(ZH )(nh
réel)(kh
∞>∑∞
=0
)(k
kh
74
Transformée en Z
La fonction de transfert en Z est la Transformée en Z de
nZnx =)(
∑∞
=
−=0
)()(k
kZkhZH
)(ZH )(nh
{ }L)3()2()1()0()( hhhhnh↑
=
TeZ de retard1 ≡−
{ {kTe
k
nx
nkn ZZZknx −− ⋅==−)(
)(
)( pnh − )()'()(
)''(0'
)'( ZHZZkhZpkh p
pkkpkkk
pk
pk
k −
+=→−=
∞
=
+−∞
=
− ==− ∑∑
)( pnx − ∑∞
=
−− =0
)()( avec )(k
kp ZkxZXZXZ
Généralisation :
La transformation en Z est l'équivalent de la transformation de Laplace : pTeeZ =
75
Application
∑∑−
=
−
=
−=−1
0
1
0
)()()()(N
k
M
k
knxkaknykb
De même si :
∑
∑−
=
−
−
=
−
==1
0
1
0
)(
)(
)(
)()(
M
k
k
N
k
k
Zkb
Zka
ZX
ZYZH
∑∞
=
−=0
)()()(k
knxkhny
∑∑∞
=
−∞
=
− ⋅=⋅=00
)()()()()(k
k
k
k ZkhZXZZXkhZY
∑∞
=
−==0
)()(
)()(
k
kZkhZX
ZYZH
∑∑−
=
−−
=
− =1
0
1
0
)()()()(N
k
kM
k
k ZkaZXZkbZY
76
Pour retrouver , il suffit de remplacer par
)()( fHZH ↔
fTejeZ π2↔
)( fH Z fTeje π2
∑∑∞
=
−∞
=
− =↔=0
2
0
)()()()(k
fkTej
k
k ekhfHZkhZH π
Mais attention, il faut que la série converge pour 1=Z
De même :
∑
∑
∑
∑−
=
−
−
=
−
−
=
−
−
=
−
=↔= 1
0
2
1
0
2
1
0
1
0
)(
)()(
)(
)()(
M
k
fkTej
N
k
fkTej
M
k
k
N
k
k
ekb
ekafH
Zkb
ZkaZH
π
π
Remarque : )()( mais )()( 2 fTejeZHfHZfHfH π===≠
77
Factorisation
∑
∑−
=
−
−
=
−
=1
0
1
0
)(
)(
)(M
k
k
N
k
k
Zkb
Zka
ZH
La fonction de transfert apparaît comme une fraction polynomiale et peut-être factorisée :
( )
( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
( )∏
∏
∏
∏
∑
∑−
=
−
−
=
−
−
=
−−
−
=
−−
−
=
−−−−
−
=
−−−−
−
−=
−
−== 1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
11
1
0
11
1)0(
1)0(
)0(
)0(
)(
)()( M
kk
N
kk
M
kk
M
N
kk
N
M
k
kMM
N
k
kNN
ZPb
ZZa
PZbZ
ZZaZ
ZkbZ
ZkaZZH
)(ZH
Les racines du numérateur sont appelées zéros .kZ
Les racines du dénominateur sont appelées pôles .kP
78
Cascade
Toutes les cellules récursives doivent être stables !
( ) ∏∏=
−=
−
−×−=
M
k k
N
kk
ZPZZaZH
11
1
1
1
11)0()(
)(ZX
: Toujours stable
)1()()()(
)(
1
11
−+=→=− − nyPnxny
ZX
ZY
ZPk
k: Cellule récursive
du premier ordre
111 −− ZZ 1
21 −− ZZ 11 −− ZZNL
)(ZY111
1−− ZP 1
21
1−− ZP 11
1−− ZPM
L
)1()()()(
)(1 1 −−=→=− − nxZnxny
ZX
ZYZZ kk
79
Cellule récursive du 1er Ordre
Si alors croît exponentiellement � divergence
)(nx
)(ny
Te+b
1>b
{ }LL nbbbbnh 321)(↑
=
{ )1()()( −⋅+= nybnxnykP
)(nh
Si alors � mémoire infinie1=b 1)( =nh
Si alors décroît exponentiellement � satisfaisant1<b )(nh
� Le système est stable si : 1<b
( )
∞
<−====
−−
∞
=
−∞
=
−∞
=
− ∑∑∑sinon
1si1
1)()(
11
0
1
00
bZbZbZZbZkhZH
k
k
k
kk
k
k
→<→
<→
− 111
2
bbZ
eZ fTej π
1<kP Stabilité si tous les pôles sont àl'intérieur du cercle unité.
80
Interprétation Géométrique
( ) ( )
( ) ( )∏
∏
=
−−
=
−−
−
−=
M
k
kM
N
kk
N
PZZ
ZZZ
aZH
1
1
1
1
)0()(
( )
( )∏
∏
=
−−
=
−−
−
−===
M
kk
fTejTeNfj
N
kk
fTejTeNfj
fTej
Pee
Zee
aeZHfH
1
2)1(2
1
2)1(2
2 )0()()(ππ
ππ
π
∏
∏
∏
∏
=
=
=
==
−
−
=M
kk
N
k
k
M
kdp
kfTej
N
kdz
kfTej
fdp
fdz
a
Pe
Ze
afH
k
k
1
1
1
2
1
2
)(
)(
)0()0()(
43421
4434421
π
π
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5|H(f)|
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2
0
2phase
Phase non-linéaire
Réponse en fréquence périodique
Re
Im
0=f
1
j
1−
j−
4Fef =
43Fef =
2Fef =
1Z
1Z
1P
1P
)( fdz
)( fdp
fTeje π2
81
Synthèse
La synthèse des filtres RII est basée comme en analogique sur les fonctions modèles : Butterworth , Tchebycheff, Cauer (Elliptique)
Influence des pôles
Influence des zéros
(Source : Wikipédia)
82
Exemple sous Matlab (TP)
[N, Wn] = ellipord(0.4, 0.6, 0.09, 60); � N = 6 Wn = 0.4
[B,A] = ellip(N,0.09,60,Wn);
� B = 0.0207 0.0585 0.1060 0.1255 0.1060 0.0585 0.0207
� A = 1.0000 -1.9673 2.9074 -2.5353 1.5771 -0.5972 0.1163
0 0.5 10
0.5
1
1.5|H(f)|
0 0.5 1-100
-50
0
50|H(f)| (dB)
0 0.5 10
5
10
15
20Groupe delay
0 0.5 1-200
-100
0
100
200Phase (°)
83
Filtres particuliers
• Cellule du 1er ordre purement récursive (filtrage passe bas)
• Cellule de second ordre purement récursive (résonnance)
• Cellule de second ordre générale (filtre réjecteur, déphaseur pur)
• Oscillateur (générateur sinusoïdal)
84
Cellule du premier ordre purement récursive
)(nx
)1()()( −+= nybnxny
Te+b
{ }LL nbbbbnh 321)(↑
=
11
1)( −−
=bZ
ZH
fTejbefH π21
1)( −−
=)2cos(21
1)(
2 fTebbfH
π−+=
−=
)2cos(1
)2sin()(
fTeb
fTebArctgf
ππϕ
2π−
0
0
2Fe
2Fe
2Fe−
2Fe−
)( fϕ
)( fH
2π+
b−11
b+11
0=f
1
j
1−
j−
2Fef =
fTejeZ π2=0>b 0=f
1
j
1−
j−
2Fef =
fTejeZ π2=0<b
2π−
0
0
2Fe
2Fe
2Fe−
)( fϕ
)( fH
2π+
b−11
b+11
2Fe−
85
Filtre passe-bas du 1er Ordre
)(nx
)1()()1()( −+−= nybnxbny
Te+b
11
1)( −−
−=bZ
bZH
0=f
1
j
1−
j−
2Fef =
fTejeZ π2=
0
)( fH
bb
+−
11
b−1
2Fe
2Fe−
1
5.0
9.0
99.0
( ) ( ) 110 ==== ZHfH
∑∑−∞=
−∞
=
−=−−=n
i
in
i
i bixbinxbbny )()1()()1()(0
0
0
n
n
inb −
)(nx
)(ny
1)1(0
=− ∑∞
=i
ibb
npondératio
86
Mise en œuvre en virgule fixe
)(nx
)1()()1()( −+−= nybnxbny
Te+bb−1
))()1(()1()1()()(
44 344 21321ne
nxnybnyny −−−−−=µ
PP nenynyb
−⋅−−==−
2)()1()( alors 21
1 si
Décalage de P bits
� Mise en œuvre en virgule fixe sur N>P bits
Algorithme LMS
87
Cellule de second ordre purement récursive
)(nx Te+1P
)(1
1
1
1
)(
12
)(
11
21
ZHZPZP
ZHZH
=−
×− −−
4342143421
Constituée de 2 cellules du premier ordre en cascade :
Te+2P
)(ny
{2
221
121
1
)(1
1)( −− ++−
=⇒ZPPZPP
ZH
bb43421
)2()1()()()(
)(
1
1)( 212
21
1
−−−−=⇒=++
= −− nybnybnxnyZX
ZY
ZbZbZH
Stabilité : et 11 <P 12 <P
88
Cellule de second ordre à coefficients réels
)(nx
2b
22
111
1)( −− ++
=ZbZb
ZH
)2()1()()( 21 −−−−= nybnybnxny
Te Te
1b
Lorsque le filtre est à coefficients réels ( et réels), les pôles et sont soit réels soit complexes conjugués
1b 2b 1P 2P
( )21222
21
11 bZbZZZbZb ++=++ −−−2
21 4bb −=∆
∆−−=
∆+−=
⇒≥∆
2
201
2
11
bP
bP
∆−−−==
∆−+−==⇒<∆
2
201*
2
11
jbPP
jbPP
89
Réponse en fréquence
)(nx Te+1P
11
11
1)( −−
=ZP
ZH
Te+2P
)(ny
fTejfTej ebebfH
ZbZbZH ππ 4
22
12
21
1 1
1)(
1
1)( −−−− ++
=⇒++
=
12
21
1)( −−
=ZP
ZH1
j
1−
j−
fTejeZ π2=1P
1
j
1−
j−
fTejeZ π2=
2P
02Fe
2Fe−
)( fH
mH
0f+0f−
02Fe
2Fe−
)(2 fHr−1
1
r+11
Tefj perPπ2
2−=
pf−02Fe
2Fe−
)(1 fH
r−11
r+11
Tefj perP π21
+=
pf+
1
j
1−
j−
fTejeZ π2=
2P
1P
θr
pff ≈0
×
90
Réponse en fréquence
fTejfTej ebebfH ππ 4
22
11
1)( −− ++
=
1
j
1−
j−
fTejeZ π2=
2P
1P
( ) ( ) ( )fTebfTebbbbfH
ππ 4cos22cos121
1)(
2212
22
1
2
+++++=
( ) ( )( ) ( )
+++=
fTebfTeb
fTebfTebArctgf
ππππϕ4cos2cos1
4sin2sin)(
21
21
2Fe
2Fe−
)( fH
mH
0f+0f−
0f+
0f−2Fe
2Fe−
2π+
2π−
)( fϕ
résonance
91
Résonance
1
j
1−
j−
fTejeZ π2=
2P
1P
( ) ( ) ( )fTebfTebbbbfH
ππ 4cos22cos121
1)(
2212
22
1
2
+++++=
2Fe
2Fe−
)( fH
mH
0f+0f−
( ) ( ) ( ) 04sin422sin2120)(
221
2
=++⇒= fTeTebfTeTebbdf
fHdππππ aaa cossin22sin =
( ) ( )[ ] ( ) 02sin2cos41 221 =++ fTefTebbb ππ ( )2
02sin FekfpourfTe ==π
( ) ( ) sifTebbb 02cos41 221 =++ π Condition de résonance
Si c'est le cas : ( ) ( )2
210 4
12cos
b
bbTef
+−=π
( )1
4
1
2
21 ≤+b
bb
1cos22cos 2 −= aa
Hb
b
b bm =
− −1
1
4
42
2
2 12
0
92
Réponse impulsionnelle
)(nδ Te+1P
)()()( 21 nhnhnh =∗
Te+2P
)(nh)(1 nh
∑∑∑=
−
=
−∞
−∞===−=
n
i
iinn
i
ini
i
PPPPPinhihnh0
2120
2121 )()()(
)(21 nhPP nn =∗
( ) θ
θ
θ
θθθθθ
2
)1(2)1(
0
221 1
1)(
j
nj
j
njn
n
i
ijjnnjj
e
e
e
ereernherPeterPsi
−−==⇒==
+
−
+−
=
−− ∑
⇒−−= −
++−
θθ
θθ
jj
njnjn
ee
eernh
)1()1()(
θθ
sin
)1sin()(
+= nrnh n
)(nh
n0
93
Décomposition en éléments simples
⇒+=⇒==
+−
θθθθ
sin2
)1sin(2)(
1
21 jr
njrnherPeterPsi
njj
θθ
sin
)1sin()(
+= nrnh n
( )( ) ( ) ( )
−+
−=
−−=
++=
++= −−
2
2
1
12
21
2
212
22
21
1
11
1
1)(
PZ
A
PZ
AZ
PZPZZ
bZbZZ
ZbZbZH
( )21
1111
: vient il ; faisonset par sMultiplionPP
APZPZ−
==−
( )12
2221
: vient il ; faisonset par sMultiplionPP
APZPZ−
==−
−−
−−=
−−
−−= −− 1
21
1212121
2
1
1
1
111)(
ZPZPPP
Z
PZPZPP
ZZH
[ ]21
12
11
2121
)1()1(1
)(PP
PPnhnh
PPnh
nn
−−=+−+
−=⇒
++
2112
1
PPAA
−−=−=
)(nx + )(ny)1(1 +nh
21
1
PP −)1(2 +nh
)(nh
n0
94
1P
2P
Cellule de second ordre générale
22
11
22
110
1)( −−
−−
++++
=ZbZb
ZaZaaZH
)2()1(
)2()1()()(
21
210
−−−−−+−+=
nybnyb
nxanxanxany
)(nx
2b
Te Te
1b
TeTe
0a 1a 2a
2Fe
2Fe−
)( fH
0
Im
Re
2Z
1Z
2Fe
2Fe− 0
)( fN
)( fD
95
Cas particuliers : filtre réjecteur
Re
Im
1
j
1−
j−*1Z
1Z
1P
*1P
fTeje π2
Fer
Bπ−≅→ 1
*12
21
*12
21
0
0
PPetreP
ZZeteZTefj
Tefj
====
π
π
2
Fe−2
Fe+
)( fH
1
00f+0f−
Tef02π
2
Fe−2
Fe+
)( fH
1
00f+0f−
96
Cas particuliers : déphaseur pur
⇒++
++= −−
−−
22
11
2112
1)(
ZbZb
ZZbbZH
2
Fe−
Tef02π
2
Fe+0
0f+0f−
)( fϕ
1)( =fH
97
Mise en œuvre des filtres numériques en précision finie
1) La quantification des coefficients des filtres conduit à une modification de leur réponse en fréquence.
2) Les erreurs d'arrondi lors de l'opération de filtrage (calculs) conduisent àune dégradation du rapport signal à bruit.
98
Il faut donc que q soit aussi petit que possible :
� grand
� A petit � structure cascade
Quantification des coefficients
∑
∑−
=
−
−
=
−
==1
0
2
1
0
2
)(
)(
)(
)()(
M
k
fkTej
N
k
fkTej
ekb
eka
fD
fNfH
π
π2
)()()()(q
kakakaka ≤+→ δδ
2)()()()(
qkbkbkbkb ≤+→ δδ
2)()()(
2)()()(
1
0
2
1
0
2
qMfeekbfe
qNfeekafe
D
M
k
fkTejD
N
N
k
fkTejN
<=
<=
∑
∑−
=
−
−
=
−
π
π
δ
δ
)()(
)()()(
fefD
fefNfH
D
N
++
=
cb
Aq
2
2=
cb2
99
Les et sont des polynômes à coefficients réels du premier ou du second ordre dont les coefficients sont à dynamique limitée :
Structure cascade
∏∏
∑
∑=== −
=
−
−
=
−
ii
ii
M
k
k
N
k
k
ZD
ZN
ZD
ZN
Zkb
Zka
ZH)(
)(
)(
)(
)(
)(
)(1
0
1
0
)(ZNi )(ZDi
( ){ {
21)( 22
1
Re21
2
<⇒++= −−
−
ij
P
i
P
ii bZbZbZD
ii
( ){ { 2)11()( 21
Re210
2
≤⇒++= −−
−
ij
ZZ
iii aZZaaZN
ii
zéros sur le cercle (filtre elliptique)
Les formes développées et présentent des coefficients à dynamique plus importante (convolution des dynamiques)
� q petit � A petit � mise en œuvre suivant une structure cascade.
)(ZN )(ZD
100
Pour que la dégradation de la réponse en fréquence reste de l'ordre de ses ondulations initiales; il faut que :
Filtre elliptique
22
11
211
01
0
1
0
1
1
)(
)(
)( −−
−−
−
=
−
−
=
−
++++== ∏
∑
∑
ZbZb
ZZaa
Zkb
Zka
ZHii
i
i
iN
k
k
N
k
k
( )
+
∆+
≅
Feff
Febc 12sin
122
12 loglog1
1log
πδ
c
c
bb
Aq −== 22
2
2
Source : Traitement numérique du signal - Maurice Bellanger – Dunod
Remarque : La formule n'est qu'indicative � décider du nombre de bits àadopter après avoir calculé réellement la réponse en fréquence dégradée (Matlab ou autre).
101
Supposons que les données soient codées en interne sur bits. Lors du produit par les coefficients du filtre codés sur bits, on obtient des résultats sur bits qu'il convient de ramener sur bits � erreur d'arrondi.
Bruit de calcul
ibcb
ci bb + ib
x x x xs x x x xs
s x x xs
bitsib bitscb
bitsci bb +
x x x xs
bitsib
x x x x
arrondid'erreur
L'erreur d'arrondi au sein d'une cellule élémentaire peut être vue comme l'ajout d'un bruit (bruit de calcul).
102
Bruit de calcul
Structure D-N
+
1b− Te
Te2b−
+1a
2a
+
+
)(nx )(ny
)(nes)(ne
Erreur d'arrondi sur N(Z)
Erreur d'arrondi sur D(Z)
Remarque : L'erreur d'arrondi subit la fonction de filtrage.
Et dans une structure cascade, les erreurs d'arrondi et subissent les fonctions de filtrage des cellules suivantes. Ces considérations conduisent à des règles d'implémentation.
)(ne
)(ne )(nes
103
Règles
1) La dynamique du signal doit rester limitée au cours des calculs � ce qui conduit à constituer les cellules en associant les pôles les plus proches du cercle unité (les plus résonnants) aux zéros qui leurs sont le plus proches.
2) Les cellules sont d'autant plus "bruyantes" qu'elles sont raisonnantes. Elles doivent donc être disposées de la plus raisonnante à la moins raisonnante pour tirer profit du filtrage des erreurs d'arrondi.
3) Des facteurs d'échelles doivent être appliqués entre les cellules pour que les signaux occupent au maximum la dynamique permise.
Appairage des pôles et zéros
104
Structure cascade
00a
+)(nx
)(0 ne
)(
1
1 fD)(1 fN
10a
+
)(1 ne
+
)(1 neK −
)(
1
fDK)( fNK
Ka0
+
)(neK
)(ny
101
+=km
k
Ha
dBen bruit à signalrapport du n dégradatio:
entréed' signaldu bits de Nb:
SB
x(n)bd
∆
Remarque : La formule n'est qu'indicative � décider du nombre de bits àadopter en réalisant une simulation d'implémentation en précision finie (Matlab ou autre).
( ) ( )
++≅ ∆∆
Feff
FeSBdi bb
12sin1
21
2 loglog2
1π