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Ecole Nationale Supérieure de l’Energie, l’Eau et L’Environnement 961 rue de la Houille Blanche • Domaine Universitaire • B.P. 96 • 38402 SAINT MARTIN D'HERES CEDEX • FRANCE Tél. + 33 (0)4 76 82 62 00 • Fax + 33 (0)4 76 82 63 01 Internet : ense3.grenoble-inp.fr • E-mail : [email protected] • Institut Polytechnique de Grenoble • Cours de Traitement du Signal D. Baudois J. Chanussot J. Mars
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  • Ecole Nationale Suprieure de lEnergie, lEau et LEnvironnement 961 rue de la Houille Blanche Domaine Universitaire B.P. 96 38402 SAINT MARTIN D'HERES CEDEX FRANCE Tl. + 33 (0)4 76 82 62 00 Fax + 33 (0)4 76 82 63 01 Internet : ense3.grenoble-inp.fr E-mail : [email protected] Institut Polytechnique de Grenoble

    Cours de Traitement du Signal

    D. Baudois J. Chanussot

    J. Mars

  • Cours de Traitement du Signal

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    SOMMAIRE

    PREAMBULE 5 INTRODUCTION 7 LE SIGNAL DETERMINISTE 7 I. AXIOMATIQUE 7

    II. CHANGEMENT DE REPRESENTATION 8

    III. ESPACE DES SIGNAUX DENERGIE FINIE : (L2) 9

    IV. SIGNAUX DE PUISSANCE MOYENNE FINIE (NON NULLE) 13

    FILTRAGE LINEAIRE ET HOMOGENE DES SIGNAUX DETERMINISTES 16 I. FILTRE L.H. (LINEAIRE HOMOGENE) 16

    II. CAS DES SIGNAUX DENERGIE FINIE 16

    III. CAS DES SIGNAUX DE PM FINIE 17

    LES SIGNAUX BL2 20 I. DEFINITION 20

    II. THEOREME DE BERNSTEIN 20

    III. THEOREME DE SHANNON 21

    LE SIGNAL ALEATOIRE 26 I. GENERALITES 26

    II. SIGNAL ALEATOIRE 26

    III. STATIONNARITE 26

    A. EFFET DE LA STATIONNARITE STRICTE POUR N = 1 : 27

    B. EFFET DE LA STATIONNARITE STRICTE POUR N = 2 : 27

    IV. ETUDE CONJOINTE 28

    V. INDEPENDANCE 29

    VI. PROCESSUS GAUSSIEN 29

    ETUDE FREQUENTIELLE DES FONCTIONS ALEATOIRES 30 I. DENSITE SPECTRALE DE PUISSANCE MOYENNE (DSPM) DUN SIGNAL ALEATOIRE STATIONNAIRE X(T) 30

    II. THEOREME DE WIENER-KHINCHINE 31

    III. NOTION DE COHERENCE 31

    FILTRAGE LINEAIRE ET HOMOGENE DES PROCESSUS ALEATOIRES ET STATIONNAIRES DU 2ND ORDRE 33 I. CARACTERISATION AU 1

    ER ORDRE (FORMULE DE LA MOYENNE) 33

    II. CARACTERISATION AU 2ND

    ORDRE 33

    A. DESCRIPTION DES RELATIONS ENTREE/SORTIE DUN FILTRE 33

    B. FORMULE DES INTERFERENCES 34

    C. APPLICATION A LANALYSE SPECTRALE : ANALYSEUR DE SPECTRE F.Q.I. 36

    SIGNAUX LARGE BANDE / BRUIT BLANC 39 I. SIGNAUX LARGE-BANDE (MODELE THEORIQUE) 39

    II. TENDANCE VERS LE BRUIT BLANC 39

    III. APPROCHE SYSTEMIQUE DES SIGNAUX 40

    IV. IDENTIFICATION DUN FILTRE LINEAIRE ET HOMOGENE 42

    A. 1ERE

    METHODE : APPROCHE DIRECTE 42

    B. 2EME

    METHODE : UTILISATION DE LA REPONSE INDICIELLE 42

    C. 3EME

    METHODE : IDENTIFICATION PAR INTERCORRELATION ENTREE / SORTIE 43

    NOTION DE RAPPORT SIGNAL A BRUIT FILTRAGE ADAPTE 44 I. POSITION DU PROBLEME 44

    II. APPLICATION : MESURE DE LA DATE DARRIVEE DUN SIGNAL CERTAIN CONNU 48

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    PREAMBULE

    Ce document est un extrait du cours de traitement du signal qui tait dispens en premire anne de lENSIEG (21 heures). Il tait alors associ des travaux dirigs (19 heures 30).

    Lenseignement qui sera prsent lENSE3 ne reprendra quune partie de ce cours et des

    travaux dirigs. Il nous a sembl judicieux de mettre disposition lensemble de lenseignement antrieurement prsent. Il constitue un ensemble de base qui peut servir de rfrence, en particulier pour ceux dentre vous qui souhaiteraient approfondir cette discipline (modules lectifs, filire SICOM ...filire commune avec lcole PHELMA).

    Un polycopi constitu des notes de cours prises par un tudiant, relues et corriges par

    Daniel Baudois, qui tait alors en charge de ce cours doit tre galement disponible au cercle poly. Cette anne le cours sera dispens par Daniel Baudois, Jocelyn Chanussot et Jerome Mars. ([email protected]).

    Pour plus dinformation, vous pouvez les contacter au Laboratoire GIPSA-Lab, (www.gipsa-

    lab.inpg.fr) et plus prcisment au Dpartement Signal Images situ au btiment D. du site Ampre. (http://www.gipsa-lab.inpg.fr/index.php?id=333 )

    Vous trouverez sur dokeos, lensemble des documents disponibles. o Cours de Traitement de Signal o Intgralit des noncs dexercices et de travaux dirigs.

    Quelques liens.

    Information gnrale sur la filire SICOM : www.gipsa-lab.inpg.fr/SICOM

    Par ENSE3 : http://ense3.grenoble-inp.fr/29593296/0/fiche___pagelibre/&RH=E3Lesfilieres

    Par lcole PHELMA : www.phelma.grenoble-inp.fr

    Info. sur le Dpartement Images et Signal : http://www.gipsa-lab.inpg.fr/index.php?id=333

    Blog de la filire SICOM http://intranet.phelma.fr/83605340/0/fiche___pagelibre/

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  • Cours de Traitement du Signal

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    INTRODUCTION Pour transmettre de linformation, on utilise une quantit physique qui varie au cours du

    temps, appele signal (exemple : un signal de parole peut tre reprsent par les variations temporelles dune pression acoustique, une image est reprsente par les variations de niveaux de gris de points appels pixels, une message tlphonique est cod par les variations dun signal lectromagntique, converti la rception en signal lectrique puis sonore).

    Le signal est engendr par un metteur naturel (rayonnement dune toile, vibration de la

    glotte, secousse sismique) ou artificielle (gnrateur de tension, vibrations de moteurs). Il se propage dans un canal de transmission (fil, atmosphre, milieu marin) puis est recueilli par un rcepteur (antenne). Lors de la propagation, le signal peut tre altr et la rception, on enregistre en gnral du bruit additif provenant de lenvironnement. Il est alors ncessaire de traiter le signal afin de rcuprer linformation transmise.

    Ltude des signaux se subdivise en deux parties : le signal dterministe, qui sert de modle dtudes dont lvolution temporelle est

    parfaitement connue (pass, prsent et futur) le signal alatoire, qui sert de modle lorsque la description dterministe est impossible

    (manque de connaissances du phnomne, paramtres imprdictibles)

    LE SIGNAL DETERMINISTE

    I. Axiomatique

    En gnral, on privilgie la reprsentation temporelle (qui est naturelle) du signal. Le signal x(t) est une fonction relle (voire complexe) de la variable relle t. - de module born - continue ou possdant un nombre fini (ou une infinit dnombrable) de

    discontinuits de premire espce (saut de hauteur finie). Lensemble des signaux ainsi dfini a une structure despace vectoriel (stabilit par

    laddition et la multiplication par un scalaire, par exemple la somme de deux tensions est une tension, ainsi que le produit dune tension par un nombre) :

    dans cet espace, on dfinit un produit scalaire, not y,x

    puis la norme associe ce produit scalaire : x,xx =

    et la distance qui en dcoule : ( ) yxy,xd =

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    si lespace est de dimension finie n, chaque vecteur signal peut scrire comme la combinaison linaire des signaux formant une base de cet espace :

    ( ) ( )=

    =n

    1iii tetx

    si lespace est de dimension infinie de la puissance du dnombrable, on peut trouver une base infinie discrte e1(t), , en(t), ; telle que ( )tx,0 > ,

    N fini ; ( ) ( )

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    Le passage de la reprsentation temporelle x(t) la reprsentation X() scrit de faon gnrale :

    ( ) ( ) ( )

    = dttxt,KXnoyau

    321

    on montre alors que la transformation inverse scrit :

    ( ) ( ) ( ) =

    dXt,Ktx'

    1

    Les exemples les plus classiques sont les transformations de Laplace et Fourier.

    Laplace ( ) [ [

    =+=

    = s

    ,0;et,sK st

    Fourier ( ) ] [( )

    =+=

    = rel

    ,;et,K tj2

    Rappel : x(t) admet une transforme de Fourier (TF) si

    L1L2

    - ( ) ( ) CVGdttxLtx 1

    (Converge)

    - ( ) ( ) CVGdttxLtx 22

    III. Espace des signaux dnergie finie : (L2)

    Dfinition : x(t) rel est dnergie finie si il est de carr sommable, cest dire si

    ( )+

    dttx2 converge. On dit alors que x(t) L2 . Il est possible dinterprter la quantit

    ( )=2

    112

    2t

    tdttxE comme lnergie du signal emmagasine (ou restitue) entre les

    instants t1 et t2. Par exemple, lnergie Joule est proportionnelle lintgrale du carr de lintensit, lnergie cintique est proportionnelle lintgrale du carr de la vitesse

    Lnergie intrinsque du signal est dfinie par Ex= ( )( )

    +

    dttx

    etantaninspuissancenergie'ddensit

    2

    321

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    Lextension au cas dun signal complexe est immdiate en utilisant le module carr. Dans cet espace, on dfinit le produit scalaire entre les signaux x(t) et y(t) par

    ( ) ( ) ( ) ( )

    = dttytxty,tx

    Dans ce cas, lnergie du signal est sa norme carre : ( ) ( ) x22 Edttxtx ==

    Remarque : ceci dfinit une relation dordre sur les signaux : un signal plus grand quun autre si son nergie est plus grande.

    La distance entre deux signaux est dfinie par : ( ) ( ) ( )

    = dttytxy,xd 22

    On appelle fonction dintercorrlation pour le retard entre x(t) et y(t) le produit scalaire

    y,x entre x(t) et y(t-), note :

    ( ) ( ) ( )

    = dttytxxy

    est le dcalage temporel entre les signaux et peut tre interprt comme un retard.

    Si x(t) = y(t), on obtient la fonction dautocorrlation du signal x(t) : ( ) ( ) ( )+

    = dttxtxxx

    Proprits de lautocorrlation :

    1. ( ) ( ) x2xx Edttx0 ==

    : lautocorrlation en 0 correspond lnergie du signal

    2. si ( ) ( ) ( )

    +== duuxuxut xx ( ) ( )= xxxx : symtrie hermitienne.

    3. En remarquant que ( ) ( ) 0dttxtx 2

    (intgrale de termes positifs)

    En dveloppant, il vient : ( ) ( ) ( ) 0dttxtxRe202 xx +

    Do : ( ) ( ) ( )+

    dttxtxRe0xx

    Et donc, pour tout : ( ) ( )[ ] xxxx Re0 cas o x(t) est rel : ( ) xxx E0 = ( )xx est paire

  • Cours de Traitement du Signal

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    La corrlation est maximum en 0 : ( )0xx est un maximum global. 4. Pour lintercorrlation, on a : ( ) ( )= yxxy Reprsentation frquentielle : Les signaux de L2 admettent une reprsentation frquentielle par transforme de Fourier :

    ( ) ( ) XLtx 2 existe et est dfinie par : ( ) ( )+

    = dtetxlimX tj2

    Note : on conservera dans la suite ces notations classiques x(t) et X() Proprits : 1. Thorme de Parseval : ( ) ( ) ( ) ( )

    =

    dYXdttytx

    En particulier, avec x(t)=y(t), on obtient ( ) ( ) X22 EdXdttx ==

    Lnergie du signal est la mme, que lon considre le signal dans sa reprsentation temporelle ou frquentielle.

    ( )2X , qui est rel et positif, sappelle la densit spectrale dnergie (D.S.E.)

    si x(t) est rel, ( )2X est paire.

    En effet : ( ) ( )

    = dtetxX tj2

    ( ) ( ) ( )==

    + XdtetxX tj2

    la fonction ( ) ( ) ( )= XXX 2 est donc paire 2. Thorme de Plancherel : un produit de convolution se transforme en un produit simple

    (et rciproquement).

    ( )( )[ ] ( ) ( )= BAtbaTF

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    En appliquant cette formule au cas particulier :( ) ( )( ) ( )=

    =YB

    XA

    On obtient alors :

    ( ) ( )

    ( ) ( )+

    + =

    =

    deYtb

    txta

    tj2

    Soit : ( ) ( ) ( ) ( )tydeYtb tj2 == +

    +

    Le produit de convolution devient : ( ) ( )}

    ( )

    =

    dt

    tb

    ty

    ta

    txba876

    Ce qui entrane : ( )[ ] ( ) ( )= YXTF xy 3. En prenant x=y dans lexpression prcdente, on retrouve la densit spectrale

    dnergie, qui est la transforme de Fourier de lautocorrlation : ( )[ ] ( )2xx XTF = . 4. Calcul de lnergie de ( ) ( ) ( )txtxty 21 += :

    Ey = ( ) ( ) ( )+

    ++= dttxtxRe2EEdtty 21xx

    221

    Ey = ( ) 21xx2 x,xRe2EEdtty 21 ++=

    On constate que : 0x,xsiEEE 21xxy 21 =+= , lorsque x1 et x2 sont orthogonaux, il ny a pas dchange dnergie entre les deux signaux. Cette nergie dinteraction est dfinie, respectivement en temporel ou en frquentiel (Parseval) par :

    ( ) ( ) ( ) ( )+

    +

    == dYXdttxtxE

    eractionint'dspectraledensitdsi

    eractionint'detantaninspuissance

    2112 4342143421

    _ Le produit X().Y() sappelle la densit spectrale dnergie dinteraction (D.S.I.). Remarque : x(t) et x(t-) ont mme densit spectrale dnergie (d.s.e.)

    ( ) ( )[ ] ( )2XdsetxTFX =

    ( ){ } ( ) ( ) ( )22j2j2 XeXdseeXtxTF ==

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    IV. Signaux de puissance moyenne finie (non nulle)

    Dfinition : lorsque le signal nest pas dnergie finie, ( ) dttx2 nexiste pas.

    On dfinit alors ( ) ( ) [ ][ ]

    =2T,2Ttsi0

    2T,2TtsitxtxT

    Dans ces conditions, ( ) 2Ltx et reprsente lobservation du signal x(t) sur la dure T. On dfinit la puissance moyenne PT de x(t) sur [-T/2, T/2] par :

    ( ) ( )

    T

    dttx

    T

    dttx

    TEP

    T

    TT

    TT

    +

    +

    ===

    2

    2

    22

    on note que ( )( )borntxAtxpuisquetTTAPT )(,

    2, et donc PT ne peut pas diverger lorsque

    T tend vers linfini. Par la suite, on sintressera aux signaux pour lesquels Px = T

    TPlim

    est finie, cette limite

    sera appele puissance moyenne du signal x(t). Reprsentation frquentielle :

    xT(t) tant dnergie finie, il admet une TF : ( ) ( )

    = dtetxX tj2TT

    ( ) ( )+

    =2

    T

    2T

    tj2T dtetxX

    En procdant de mme avec un autre signal ( ) ( ) ( ) TT2 YtyLty , en utilisant la formule de Parseval il vient : ( ) ( ) ( ) ( )

    = dYXdttytx TTTT

    soit : ( ) ( ) ( ) ( )

    +

    = dYXdttytx TT2

    T

    2T

    - densit spectrale de puissance moyenne (dspm) : dans lexpression prcdente, avec x=y, et en divisant par T, il vient :

    ( ) ( )

    +

    = dT

    Xdttx

    TT

    T

    T

    22

    2

    21

  • Cours de Traitement du Signal

    Page 14 sur 49

    Lorsque T tend vers linfini, la premire intgrale sinterprte comme la puissance

    moyenne de x(t). On en dduit que ( )T

    X 2T est une densit de puissance. On dfinit

    alors ( ) ( )T

    Xlim

    2T

    Txx

    =

    qui est la densit spectrale de puissance moyenne

    (dspm) de x(t). - densit spectrale de puissance croise (dspc) : En cherchant la puissance moyenne dune somme de deux signaux x1(t) et x2(t) de

    puissance moyenne finie:

    ( ) ( )+

    + +=2

    T

    2T

    221

    TXXM dttxtxT

    1limP

    21

    ( ) ( )444 3444 21

    21

    2121

    x,x

    2T

    2T

    21TXMXMXXMdttxtx

    T1

    limRe2PPP +

    +

    ++= ,

    il apparat le terme suivant : ( ) ( ) 2,1211lim2

    2

    xxdttxtxT

    T

    TT

    =+

    qui reprsente la puissance dinteraction entre x1 et x2. Elle sinterprte comme le produit scalaire des deux signaux. Dans ces conditions, la norme carre de x est la puissance moyenne :

    xPx =2

    Avec la relation de Parseval, on peut crire lexpression analogue dans le domaine

    frquentiel :( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

    +

    == dTYX

    dtT

    tytxdt

    Ttytx TTTT

    2T

    2T

    On peut alors dfinir la densit spectrale de puissance croise (dspc) par

    ( ) ( )

    TTT

    YXT1

    lim .

    Fonctions de corrlation : On appelle fonction dintercorrlation :

  • Cours de Traitement du Signal

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    ( )

    ( ) ( ) ( )+

    =

    =

    2T

    2TT

    xy

    xy

    dttytxT1

    lim

    y,x

    On appelle fonction dautocorrlation : ( ) ( ) ( )+

    =2

    T

    2TT

    xx dttxtxT1

    lim

    Proprits de la fonction dautocorrlation : 1. ( ) xPxx = 0 2. ( ) ( )= xxxx 3. ( ) ( )[ ] ,Re0 xxxx 4. ( )[ ] dspmTF xx = ( )[ ] dspcTF xy = pour lintercorrlation.

  • Cours de Traitement du Signal

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    FILTRAGE LINEAIRE ET HOMOGENE DES SIGNAUX DETERMINISTES

    I. Filtre L.H. (Linaire Homogne)

    F.L.H.x(t)y(t)

    La sortie y(t) dun filtre linaire homogne excit par un signal x(t) en entre est rgie par

    une quation diffrentielle de la forme :( ) ( )

    ==

    =m

    0rr

    r

    r

    n

    0qq

    q

    qdt

    txdb

    dt

    tyda

    Le filtre est dit homogne lorsque les coefficients aq et br sont indpendants de t. n est lordre du filtre. II. Cas des signaux dnergie finie

    Si x(t) est dnergie finie alors X() existe. En utilisant les proprits de la transforme de Fourier, on a :

    ( )( ) ( ) ( )= Xj2tx nn et ( )( ) ( ) ( )= Yj2ty qq

    Lquation du filtre devient alors : ( ) ( ) ( ) ( )==

    =m

    0r

    rr

    n

    0q

    qq j2bXj2aY et peut scrire sous

    la forme suivante :

    ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( )

    =

    =

    ==

    n

    0q

    qq

    m

    0r

    rr

    j2a

    j2b

    G;XGY

    avec G() le gain complexe. La sortie y(t) du filtre peut galement scrire comme le produit de convolution entre

    lentre x(t) et la rponse impulsionnelle h(t) : ( ) ( ) ( ) ( ) == dtxhxhty

    h(t), transforme de Fourier inverse du gain complexe G() est la rponse impulsionnelle du systme :

  • Cours de Traitement du Signal

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    ( ) ( ){ }= GTFth 1

    Il dcoule les relations suivantes :

    ( )( )

    ( ) ( )( )321321

    =

    XXYY

    222 XGY : la dspm de sortie est gale au produit de la dspm dentre

    par le module carr du gain complexe. Ainsi un filtrage linaire ne peut quappauvrir le spectre du signal dentre : xx()=0 entrane yy()=0.

    ( ) ( ) ( )+= XArgGArgYArg : le filtrage introduit un dphasage par canal de

    frquence Calcul de lnergie de y :

    ( ) =

    dYE2

    Y

    ( ) ( )

    = dXGE 22Y

    si ( ) 22 AG

  • Cours de Traitement du Signal

    Page 18 sur 49

    et donc ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )00

    0

    GY

    GY

    ==

    ( ) ( ) tj20 0eGty = ( )[ ] ( ) ( )txGtxF 0h = o Fh dsigne la transforme par le filtre.

    La filtre est proportionnelle lentre, ce qui est la dfinition dune fonction propre. Cas dun filtre et dun signal rel : application lanalyse harmonique On a h(t) et x(t) rels.

    ( ) ( ) 000 2;2cos tposeontAtx =+= on a donc : ( ) ( )( )002cos ttAtx += dont la transforme de Fourier est :

    ( ) ( ) ( )[ ] 0tj200 e2A

    X ++=

    G() = K() e j() tant le gain dun filtre rel, son module K()= |G()| est paire Et son argument () = Arg G() est impaire. La transforme de Fourier de la sortie est : ( ) ( ) ( )= GXY , soit :

    ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )( ) 44 844 76

    ++=

    F

    jtj200 eKe2

    AY 0

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )

    ( )

    ( )

    ++=

    j

    e

    j

    K

    00jj

    00 eeKeeK2A

    Y0j

    0

    0

    0

    321321

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )[ ]0000 FF2A

    Y ++=

    ( ) ( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]

    ++= ++

    0

    t0j2

    0

    t0j2

    j

    e

    0j

    e

    00 eeK2A

    Y4342143421

    cc

    ( ) ( ) ( )[ ]( ) ( )+=

    ++=t2cosAtx

    t2cosKAty

    0

    000

    On constate que la sortie reste une sinusode de mme frquence dont lamplitude est

    multiplie par K(0) ayant subi un dphasage de (0). Il est alors possible de tracer lvolution du module et de la phase du gain en faisant varier la frquence dentre 0 : cest lanalyse harmonique (diagramme de Bode), ce qui permet didentifier le systme linaire.

    Relation entre / sortie On se propose de dterminer lexpression de la dspm de la sortie y(t).

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    hGx(t)y(t)

    Le produit de convolution scrit : ( ) ( ) ( )

    = duutxuhty

    De mme : ( ) ( ) ( )

    = duutxuhty

    do lexpression de la fonction dautocorrlation de y(t) : ( ) ( ) ( )( ) = T

    Tyy dttytyT

    1lim

    et celle de sa densit spectrale :

    ( ) ( ){ ( ){ ( ) ( )( )

    = dedtdvduvtxutxvhuhT1 j2

    T vuTxx

    11

    43421321

    On calcule cette intgrale laide du changement de variable de dimension 4 suivant : ut = 1uu = vt = 1vv = uu1 = += 1ut

    vv1 = +=+=

    11 vu

    vt

    Le Jacobien de la matrice obtenue vaut : 1

    1011

    0101

    0010

    0001

    j =

    =

    Et lintgrale devient : ( ){ ( ) ( ) ( )( )

    ( )

    + dddvduexxvhuhT1

    1T

    1vuj2

    1111

    43421321

    Elle est variables sparables. Lorsque ( ) ( ) ( ) ( )= XXYY GGT

    ( ) ( ) ( ) XXYY G 2= Remarque : on retrouve la mme formule de filtrage que dans le cas des signaux

    dnergie finie.

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    LES SIGNAUX BL2

    I. Dfinition

    Un signal x(t) est dit BL2 si il rpond aux deux conditions suivantes : x(t) est dnergie finie

    ( ) 0X 2 = pour 2 : X() est support born. ( ) 0X = pour

    2

    ( )2X

    2

    2

    II. Thorme de Bernstein

    Par transforme de Fourier inverse, on a ( ) ( )+

    =2

    2tj2 deXtx

    On peut alors driver sous le signe somme : ( ) ( )+

    =2

    2tj2 deXj2tx&

    De mme : ( )( ) ( ) ( )+

    =2

    2tj2nnn deXj2tx

    En majorant le module de la drive, il vient :

    ( ) ( ) ( )4434421

    &

    M

    2

    2

    2

    2dX

    22dX2tx

    +

    +

    et ( )( ) ( ) ( ) ( )4434421

    M

    2

    2

    n2

    2nnn dX

    22dX2tx

    +

    +

    Ce qui peut scrire sous la forme : ( ) Mtx & et ( )( ) ( ) Mtx nn Le thorme indique que la variation maximum du signal donn par la valeur de la drive

    est borne. Cette borne est proportionnelle la bande du signal. Lorsque la bande est faible, les variations sont lentes et lorsque la bande est grande, les variations peuvent tre trs rapides ( hautes frquences ).

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    Remarque : Ce thorme est vrai pour les signaux de Puissance Moyenne finie. Exemple: ( ) ( )t2sinAtx 0= ; A > 0 ( ) ( )t2cos2Atx 00 =& ( ) 02Atx & La valeur maximum de la drive est atteinte lorigine.

    x(t)

    t

    III. Thorme de Shannon

    Le stockage dun signal analogique ncessitant une importante place mmoire, nous allons montrer que sous certaines conditions, il est possible de ne conserver que quelques points convenablement choisis du signal sans perte dinformation. Cette tape dchantillonnage est la base de tous les traitements numriques effectus sur DSP, par ordinateur etc

    Soit ( ) 2BLtx On appelle signal chantillonn xe(t) la distribution ( ) ( ) ( )ttxtx Te =

    ( )2X

    2

    2

    o ( ) ( )+

    ==

    kTT kTtt reprsente le peigne de Dirac, dont la transforme de Fourier est

    proportionnelle un peigne de Dirac de pas inverse (1/T).

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    T Peigne de Dirac

    On se propose de dterminer la transforme de Fourier du signal chantillonn.

    ( ) ( ) ( )+

    ==

    kTe kTttxtx

    ( ) ( ) ( )+

    ==

    kTe kTttxtx ; et, en utilisant la proprit ( ) ( ) ( ) ( )000 tttFtttF =

    On obtient : ( ) ( ) ( )+

    ==

    kTe kTtkTxtx

    soit, par application de la transforme de Fourier :

    ( ) ( ) T1e T1

    XX =

    ( ) ( ) +

    =

    =p

    e Tp

    T1

    XX

    ( ) ( )+

    =

    =p

    e Tp

    XT1

    X ; et, en utilisant la proprit ( ) ( ) ( )00 ttFtttF =

    on obtient : ( ) +

    =

    =p

    e Tp

    XT1

    X

    Le spectre du signal chantillonn est obtenu en priodisant le spectre du signal

    initial. Pour 1/T > , les motifs X(-p/T) sont disjoints, il est donc possible de reconstruire le

    signal continu x(t) en isolant le motif X() (p=0) par filtrage passe bas.

    Ech.

    Ordinateur

    1/T

    1/2Tx(t) xe(t) x(t)

    filtragepasse-bas

    donc, si on prend pour G() la fonction T. 1/T() dfinie par G()=0 si >1/2T et G()=T

    ailleurs, on a alors :

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    ( ) ( ) )()(. 1 vXTp

    XvGX Tp

    e =

    =+

    =

    1/2T

    1/T0

    2T

    1 2T

    1 + 2

    2+

    Reconstitution temporelle du signal (formule dinterpolation de Shannon) :

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )t

    tsinTtxtxXGX

    e

    eee

    ==

    ( ) ( ) ( )== eTTG T1

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

    =

    +

    ===

    kke kTtkTxkTttxtx

    ( ) ( )t

    tsinTtxtx

    e

    ee

    =

    ( ) ( ) ( )( )+

    = =

    k e

    ekTt

    kTtsinkTxtx

    0 T-T-2T 2T

    La reconstitution est parfaite si on connat tous les chantillons, en particulier les chantillons futurs : cette reconstitution nest pas causale.

    Le thorme de Shannon est vrai pour les signaux de Puissance Moyenne finie et de

    densit spectrale de puissance moyenne ( )2

    ,0XX>=

    Lorsque le signal nest plus de bande finie, pour viter le phnomne de repliement

    (superposition des diffrents motifs spectraux lors de la priodisation induite par lchantillonnage), on filtre le signal initial laide dun filtre passe bas (filtre anti-repliement ) qui limite sa bande et permet de se placer dans les conditions dapplication du thorme de Shannon.

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    Exemple : chantillonnage dune sinusode ( ) ( )t2cosAtx 0=

    .0

    0-0 e-e

    Spectre de la sinusode chantillonne IV. Modulation damplitude Les signaux basses frquences (exemple : musique) se propagent trs mal dans les

    milieux naturels. Afin de transmettre de linformation sur de longues distances, il est donc ncessaire de les adapter au canal de transmission.

    La transmission dun signal par modulation damplitude consiste engendrer :

    ( ) ( ) ( )t2costxtx 0am = dont la transforme de Fourier est : ( ) ( ) ( )[ ]00am XX2

    1X ++=

    ( ) 2X

    2

    2

    >

    et la dspm du signal modul : ( ) ( ) ( )

    ++= 20

    20

    2am XX4

    1X

    ( )2amX

    +0-0

    ()

    0

    ()

    L effet de la modulation est de transporter le spectre du signal initial autour de la

    frquence 0, appele frquence porteuse.

    Lnergie du signal x(t) tant : ( )

    = dXE 2x

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    Celle du signal modul est : ( )2

    EdXE x2amxam ==

    : lors dune modulation

    damplitude, on nengendre que la moiti de lnergie du signal initial.

    On retrouve ce rsultat dans la reprsentation temporelle : ( )

    = dttxE am2xam

    ( ) ( )

    = dtt2costxE 022

    xam

    ( ) ( )( )

    += dtt4cos1tx21

    E 02

    xam

    do ( ) ( )

    += dtt4costx21

    2E

    E 02x

    xam dont le deuxime terme est nul (thorme de la

    phase stationnaire). Calcul de la fonction dautocorrlation du signal modul :

    ( ) ( ){ }2am1x XTFam = ( ) ( ) ( )= 0xxx 2cos24

    1am

    ( ) ( ) ( )= 0xxx 2cos21

    am

    Lenveloppe de la fonction dautocorrlation du signal modul est la fonction

    dautocorrlation du signal initial.

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    LE SIGNAL ALEATOIRE

    I. Gnralits

    Certains phnomnes complexes ne peuvent tre dcrits par des quations dterministes. On a alors recours une modlisation alatoire qui pourra permettre dexploiter, de manire statistique, linformation du signal.

    La notion dalatoire est base sur le concept de non-reproductibilit du phnomne tudi : deux expriences faites dans les mmes conditions ne conduisent pas strictement au mme rsultat, mais on observe nanmoins certaines similitudes (tendances et volutions analogues, fluctuations analogues etc.). De tels signaux sont aussi appels non prdictibles : la connaissance du pass ne permet de prdire sans erreur lavenir, mme si la modlisation alatoire permet deffectuer des prvisions assorties dune erreur calculable en moyenne (prdiction de temprature).

    II. Signal alatoire

    Un signal est dit alatoire si son observation aux instants (ti)i=1n, x(t1), x(t2), , x(tn) est une variable alatoire n-dimensionnelle ti, n (fini ou infini dnombrable).

    Un tel signal a une fonction de rpartition du type :

    ))()()((),;;,;,( 221122112 nnnnn xtXxtXxtXPxtxtxtF

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    La drive de cette fonction de rpartition ( ) ( )112

    1

    112 t,xfx

    t,xF =

    donne la densit de

    probabilit (note d.d.p. dans la suite) premire du processus. A partir de cette d.d.p., on peut calculer lesprance mathmatique (ou valeur moyenne statistique) de la variable alatoire X(t1) :

    ( ){ } ( ) ( )1x111211 tMdxt,xfxtxE ==

    Lorsque t1 varie, cette quantit reprsente lvolution de la moyenne statistique en fonction du temps.

    A. Effet de la stationnarit stricte pour n = 1 : Dans le cas n=1, la stationnarit au sens strict scrit : ( ) ( ) 1112112 t,t,xFt,xF += En particulier, pour = -t1, on a : ( ) ( )0,xFt,xF 12112 = Ce qui signifie que la fonction de rpartition ne dpend plus du temps. Il en va de mme pour la d.d.p. ( ) ( ) [ ].p.d.d0,xft,xf 12112 = Ainsi que pour lesprance ( ){ } cstetxE 1 = Si le signal est stationnaire, la valeur de sa moyenne statistique est indpendante

    du temps ( ) x1x McstetM == . B. Effet de la stationnarit stricte pour n = 2 : Pour n=2, x(t1) et x(t2) constituent une variable alatoire bidimensionnelle (couple

    alatoire). Sa fonction de rpartition est : ( ) ( ) ( )( )221122114 xtxxtxPt,x;t,xF

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    La stationnarit au sens strict scrit ici : ( ) ( )++= 2211422114 t,x;t,xFt,x;t,xF Et donc, pour =-t1, on obtient : ( ) ( )1221422114 tt,x;0,xFt,x;t,xF = La fonction de rpartition ne dpend que de la diffrence t2-t1 et non de t2 et de t1

    indpendamment. On en dduit la mme proprit pour la d.d.p. du couple : ( )12214 tt,x;0,xf Et pour le moment crois qui scrit alors ( ) ( ){ } ( )12xx21 tttxtxE = o xx dsigne la

    fonction dautocorrlation de X. En rsum : la stationnarit au sens strict entrane de nombreuses proprits, parmi

    lesquelles on ne retient que les deux encadres ci dessous. Tout signal possdant ces deux proprits est dit stationnaire au second ordre.

    n = 1

    n = 2

    n = n

    ( ){ } cstetxE 1 =

    ( ) ( ){ } ( )12xx21 tttxtxE =

    Stationnarit au 2nd ordre

    IV. Etude conjointe

    On envisage maintenant deux signaux alatoires x(t) et y(t). On observe x(t) aux instants t1, t2, ,tn et y(t) aux instants t1, t2,,tm.

    x(t)

    y(t)

    t1 t1 t2 t2 tn tm

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ),'ty,...'ty,'ty,tx,...,tx,tx m21n21 est une variable alatoire de dimension (n+m). sa

    fonction de rpartition est : ( )( ) m,n,'t,t't,y,...,'t,y,t,x,...,t,xF jimm11nn11mn2 + On dit que ces processus sont conjointement stationnaires au sens strict lorsque :

    ( )( ) ( )( ) ++= ++ mm11mn2mm11mn2 't,y,...,t,xF't,y,...,t,xF

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    Etude du cas n=m=1 : x(t1), y(t1) est un couple alatoire. Si il y a stationnarit conjointe au sens strict, avec =-t1, on a :

    ( ) ( )0,y,'tt,xF't,y,t,xF 1111411114 =

    Ce qui conduit : ( ) ( ){ } ( )11xy11 'tt'ty,txE = . La fonction dintercorrlation entre x(t) et y(t) ne dpend que de lcart temporel considr, et non des deux instants indpendamment.

    Si x(t) et y(t) sont tels que ( ) ( ){ } ( )11xy11 'tt'ty,txE = , ces deux processus sont dits conjointement stationnaires lordre 2.

    V. Indpendance

    Dfinition : On dit que x(t) et y(t) sont indpendants si et seulement si la variable alatoire de dimension n [ ( ) ( )n1 tx,...,tx ] est indpendante de la variable alatoire de dimension m [ ( ) ( )m1 'ty,...,'ty ], et ce n, m, ti, tk.

    VI. Processus Gaussien

    On dit quune variable alatoire scalaire est gaussienne si sa d.d.p. est de la forme suivante :

    ( ) 2xx2

    Kexf = On dit quune variable alatoire de dimension n est gaussienne si sa d.d.p. est de la

    forme :

    ( )( )n21 x,...,x,xQ2

    1

    n21x Kex,...,x,xf

    = o Q est une forme quadratique dfinie positive (quelles que soient les valeurs de

    x1,.,xn, Q(x1,,xn) est strictement positive). On dit quun signal alatoire est gaussien si son observation (x(t1),,x(tn)) est une

    variable alatoire gaussienne de dimension n. Remarque : dans le cours de probabilit, il a t montr que la moyenne arithmtique de

    n variable alatoires centres (i.e. : de moyenne nulle), rduites (i.e. : de variance unit) et indpendantes deux deux tend vers une variable gaussienne lorsque n tend vers linfini (thorme central limite). La plupart des bruits physiques, qui peuvent tre vus comme la rsultante (somme) de phnomnes alatoires lmentaires (agitation lectronique, photons), sont donc gnralement gaussiens.

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    ETUDE FREQUENTIELLE DES FONCTIONS ALEATOIRES

    Remarque prliminaire : Si x(t) est stationnaire au 2nd ordre, ses ralisations sont presque toutes dnergie infinie.

    En effet, si Xk est une ralisation dun signal alatoire stationnaire au 2nd ordre, son

    nergie scrit : ( )[ ]+

    = dttxE 2kk . En calculant lesprance de cette nergie, il vient :

    { } ( ) ==

    dt0EE xxk qui diverge.

    I. Densit spectrale de puissance moyenne (dspm) dun signal alatoire

    stationnaire x(t)

    Lide gnrale est de dfinir les grandeurs nergtiques en tant que moyennes statistiques des quantits dfinies sur les ralisations, qui sont des signaux dterministes. Ainsi, on dfinit la d.s.p.m. dun signal alatoire par :

    ( ) ( ){ }= kkxx E o ( ) kk est la d.s.p.m. de la ralisation xk(t) de x(t). Ce qui conduit lexpression :

    ( ) ( )

    = +

    2T

    T

    tj2

    Txx dtetxT2

    1limE

    en posant : ( ) ( )+

    =T

    T

    tj2T dtetxX , la dspm scrit alors :

    ( ) ( )

    =

    2T

    Txx XT2

    1limE

    soit : ( ) ( ){ }2TT

    xx XET21

    lim =

    Si on est en prsence de deux signaux x(t) et y(t), on exprime la densit spectrale de

    puissance croise , encore appele densit spectrale de puissance dinteraction (dspi), par :

    ( ) ( ) ( ){ }=

    *TT

    Txy YXET2

    1lim

    et par analogie, on a ( ) ( ){ }2TT

    xx XET21

    lim =

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    car ( ){ } ( ) ( ){ }= *TT2T XXEXE . II. Thorme de Wiener-Khinchine

    Il existe une relation entre la dsp et la fonction dautocorrlation : Thorme : La dspm (resp. dspi) dun signal alatoire x(t) (resp. et y(t)) stationnaire, est la

    TF de la fonction de corrlation (resp. dintercorrlation). ( ) ( ) ( ) ( ) xyXYxxXX et Dmonstration : Soit x(t) un signal alatoire stationnaire et de puissance moyenne finie. On a : ( ) ( ){ }= kkxx E Et : ( )

    +

    = de jkkk 2).( ,

    Avec :

    =

    T

    T

    kkT

    k dttxtxT

    )().(.21lim)( *

    On a donc : ( ) { } +

    = ddtetxtxE

    T

    T

    T

    jkk

    Txx

    2* )().(.21lim

    Par stationnarit, on a pour tout k : { } )()().( * =txtxE kk il vient donc : ( )

    +

    = ddte

    T

    T

    T

    j

    Txx

    2)(

    .21lim

    soit, CQFD, : ( ) +

    = de jxx 2)(

    La dmonstration est analogue dans le cas de deux signaux alatoires stationnaires et conjointement stationnaires au second ordre.

    III. Notion de cohrence

    La cohrence est une fonction de la frquence qui est lquivalent du coefficient de corrlation vis vis du temps. Cette grandeur dcrit les relations entre deux signaux : la cohrence (ou dspi norme ou interspectre norm) est dfini par :

    ( ) ( )( ) ( )=YYXX

    XYXYC qui dcrit les relations statistiques chaque frquence.

    Attention : dans cette expression, les signaux sont supposs centrs, alatoires et

    stationnaires au second ordre.

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    Page 32 sur 49

    Proprit : ( ) 1XYC Dmonstration : on appelle transforme de Fourier court terme la grandeur dfinie par :

    ( ) ( )+

    =2T

    2T

    tj2T dtetxX

    On applique lingalit de Schwartz XT() et YT() qui sont 2 variables alatoires. ( ) ( ) ( ) ( ) TTTT YXY,X Rappel : dans lespace des variables alatoires, on dfinit le produit scalaire par : [ ]vuEv,u = Lingalit de Schwartz scrit donc, aprs division par T :

    ( ) ( )[ ] ( )[ ] ( )[ ]T

    YET

    XET

    YXE TTTT22

    car ( )[ ] ( ) 22 TT XXE = On fait alors tendre T vers linfini et on obtient :

    ( ) ( ) ( ) YYXXXY , ce qui dmontre la proprit. Remarque : Si X et Y sont indpendants, alors ( ) 0CXY = Attention : si ( ) 0=XYC , les signaux ne sont pas ncessairement indpendants, ils sont dcorrls Si ( ) 1=XYC et ce quelle que soit , lingalit de Schwartz devient une galit et donc Y()

    est proportionnel X(), il existe donc un systme linaire et homogne entre X et Y : ( ) ( ) ( )= TT XY

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    FILTRAGE LINEAIRE ET HOMEGENE DES PROCESSUS ALEATOIRES ET STATIONNAIRES DU 2ND ORDRE

    Dans ce chapitre nous nous proposons de dterminer les proprits statistiques de la sortie dun filtre linaire et homogne dont lentre est un signal alatoire.

    I. Caractrisation au 1er ordre (formule de la moyenne)

    On considre x(t) un signal alatoire que lon filtre par un filtre linaire homogne. Pour toute ralisation de x(t), la sortie du filtre y(t) est :

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

    +

    == dthxdtxhty

    do lexpression de l esprance de y(t) :

    ( )[ ] ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }+

    +

    == dtxEhdtxhEtyE .

    si on suppose que x(t) est stationnaire au premier ordre, E{x(t-)}=Mx=constante. On a alors :

    { } ( )+

    = dhMtyE x)( , qui est une constante.

    En remarquant que G() est la TF de h(), on a ( )[ ] ( ) ( )0.02 GMdehMtyE xjx == +

    ( )[ ] ( )0.GMtyE x= La sortie dun filtre LH ( ) ( ){ } G,h excit par un signal alatoire stationnaire au premier

    ordre ( ){ }xxx,M est stationnaire au 1er ordre.

    ( )0GMM xy = Remarques : si lentre est centre, la sortie lest aussi : 0M0M yx ==

    Un filtre de gain nul frquence nulle centre le signal de sortie : ( ) 0M00G y == II. Caractrisation au 2nd ordre

    A. Description des relations Entre/Sortie dun filtre On considre un filtre linaire et homogne de rponse impulsionnelle h() et on se

    propose de calculer lintercorrlation entre la sortie et lentre de ce filtre.

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    FXY

    ( ) ( ){ } G,h

    La sortie scrit en tant que produit de convolution :

    ( ) ( ) ( )+

    = dtxhty

    en supposant que lentre x(t) peut tre un signal complexe, il vient :

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+

    = dtxtxhtxty **

    La fonction dintercorrlation sobtient en prenant lesprance mathmatique de cette grandeur alatoire :

    ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( )( )

    +

    = dtxtxEhtxtyE

    u

    *

    u

    *321321

    et en supposant que x(t) est stationnaire au second ordre , on remarque que le second membre ne dpend plus de linstant t, ce qui entrane la stationnarit conjointe de la sortie et de lentre :

    ( ) ( ){ } ( ) ( )+

    = dhtxtyE xx

    *

    ( ) ( )= xxxy h La transforme de Fourier de cette expression conduit : ( ) ( ) ( )= XXXY G Application : identification dun filtre linaire homogne inconnu. Si X est bruit blanc norm : - son autocorrlation est une distribution de Dirac en 0 : ( ) )(0 =xx - sa dspm est une constante gale 1 dans ces conditions, on a alors : ( ) )( hxy = et ( ) ( ) GXY = . Lidentification du filtre (trac de la rponse impulsionnelle ou du gain complexe) sobtient

    en calculant la fonction dintercorrlation entre/sortie (ou la dsp dinteraction) lorsque lentre est blanche.

    En ralit, il suffit que le bruit soit blanc dans la bande passante du filtre. Cest dire que ( ) XY soit gale 1 l o ( )G est diffrent de 0.

    B. Formule des interfrences On considre deux filtres linaires et homognes dfinis respectivement par ( ) ( ){ } 11 G,h

    et ( ) ( ){ } 22 G,h . On suppose que les deux entres x1(t) et x2(t) sont conjointement

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    stationnaires lordre deux. Leur fonction dintercorrlation est donne par : ( ) ( ) ( ){ } = txtxExx 2*121 .

    F1X1 Y1 F2

    X2 Y2

    On se propose de calculer la fonction dintercorrlation entre les deux sorties qui

    scrivent :

    ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( )

    =

    =

    +

    +

    'd'tx'hty

    dtxhty

    222

    111

    Cette fonction dintercorrlation scrit alors :

    ( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ) ( ){ }( )

    +

    +

    +

    = ''''

    2*12*12*1

    21

    ddtxtxEhhtytyExx

    444 3444 21

    On remarque que lon retrouve la fonction dintercorrlation des entres dans lintgrale double. Dans ces conditions, le second membre ne dpend plus de t, ce qui implique que les deux sorties sont conjointement stationnaires lordre deux. Cette formule tant en pratique peu utilisable, on se propose maintenant de trouver une formule quivalente plus simple.

    On prend la transforme de Fourier des deux membres de lquation prcdente rappele

    ci-dessous :

    ( ) ( ) ( ) ( )

    ( ) ( ) ( ) ( )

    +=

    +=

    d'dde''hh

    TF

    'dd''hh

    j2xx2

    *1YY

    xx2*

    1yy

    2121

    2121

    Pour calculer cette intgrale triple, on effectue le changement de variable suivant, dont le

    jacobien est gal 1 : u1 = u2 = u3 = + - do = u3 u2 +u1.

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) += 321uuuj23xx22*11YY dududueuuhuh 1232121 Cette intgrale est sparable : on peut lcrire comme le produit de 3 intgrales simples :

    ( ) ( ) ( ) ( ) = 3uj23xx2uj222*1uj211YY dueudueuhdueuh 3212121 Ce qui scrit finalement comme :

    ( ) ( ) ( ) ( )=2121 XX2

    *1YY GG

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    En prenant la transforme de Fourier inverse, on obtient lexpression suivante, appele formule des interfrences (par analogie avec son interprtation en optique) :

    ( ) ( )

    =2121 xx2

    *1yy hh

    On remarque que si les deux filtres ont des bandes passantes disjointes, le produit

    G1().G2*()=0, ce qui entrane y1y2()=0 : les sorties de deux filtres de supports frquentiels disjoints sont dcorrls. Si de plus, les deux entres sont conjointement gaussiennes, la dcorrlation entrane lindpendance des deux sorties.

    Cas particuliers : x1 = x2 = x si x est stationnaire dordre 2, il vient :

    h1

    H2

    y1

    y2

    x(t)

    ( ) ( ) ( ) ( )= XX21YY GG21

    x1 = x2 = x et h1 = h2 = h si x est stationnaire dordre 2, il vient :

    h Y(t)x(t)

    ( ) ( ) ( )= XX2YY G21 La dspm de la sortie dun filtre linaire homogne est gale au produit du module carr du

    gain complexe du filtre par la dspm de lentre. C. Application lanalyse spectrale : analyseur de spectre F.Q.I. On considre un signal alatoire stationnaire au second ordre x(t) de dspm ( ) XX

    (inconnue). On souhaite estimer cette dspm pour une frquence donne 0.

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    0

    ( )0XX

    ( )XX

    On filtre ce signal avec un filtre passe bande de frquence centrale 0 et de largeur . La

    puissance de la sortie y(t) est gale lintgrale de sa dsp (aire hachure autour de +0 et - 0 sur la figure suivante) :

    0

    ( ) ( ) ( )= XX2YY G

    ( )

    = dP YYY (puissance)

    ( )XX

    11 0 Si est petit, on peut assimiler chaque surface hachure par celle dun rectangle de

    base et de hauteur ( )0 XX . On a alors lestimation suivante : ( ) 0YYY 2P Lestimation de la puissance de y(t) peut tre galement obtenue par intgration du carr

    de y (cf. dfinition). Ainsi, on obtient lestimation de ( )0 XX laide de la formule suivante :

    ( )( )

    T2

    dtty

    2P

    T

    0

    2

    Y0XX

    =

    =

    en supposant que est suffisamment petit et T suffisamment grand. On se rend compte

    quen ralit cette estimation dpend du produit .T. On pourrait caractriser cet estimateur en calculant son biais et sa variance. Ces calculs montreraient que la variance dpend de ce produit : pour diminuer cette variance, le produit doit tre le plus grand possible.

    est la rsolution frquentielle de lanalyseur T est le temps dintgration. Cette technique est illustre par le schma suivant. Elle sappelle analyse spectrale FQI

    (Filtrage, Quadration, Intgration) :

    -0 0

    1

    G()

    x(t) y(t)2

    T

    0

    ( )0XX

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    Pour estimer la valeur de la dsp pour une autre frquence 1, un schma identique est

    utilis en centrant le filtre sur 1. Les calculs correspondant aux estimations pour diffrentes frquences sont effectuer en parallle (batterie de filtres) :

    -1 1

    Y2(t)2

    T

    0

    ( )1XX

    En choisissant des filtres adjacents (bandes disjointes mais dont la runion reconstitue

    lensemble du spectre), on dcrit toute la puissance de x(t) mais les diffrentes sorties nchangent pas de puissance (elles ninterfrent pas car leurs dsp dinteraction sont nulles).

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    SIGNAUX LARGE BANDE / BRUIT BLANC

    I. Signaux large-bande (modle thorique)

    Dfinition : Un signal alatoire x(t) est dit large-bande si x(t) est stationnaire au 2nd ordre ( ) 2BsiN0XX = ( ) 2Bsi0XX =

    N0

    -B/2

    XX()

    B/2

    Dans ces conditions, la fonction dautocorrlation est un sinus cardinal (TF inverse dune

    porte) :

    N0B

    1/B

    XX()

    2/B

    3/B

    ( ) ( )

    = BsinN0xx et ( ) 0xx BN0 = ( ) ( )= BcsinBN0xx II. Tendance vers le bruit blanc

    Lorsque la bande B du signal x(t) tend vers linfini, le signal x(t) tend vers le modle thorique appel bruit blanc.

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    N0bb()

    ( ) ( )txlimtbB

    =

    La dspm tend vers une fonction constante. Cela implique que la puissance moyenne de ce

    signal est infinie : le bruit blanc na donc pas de ralit physique et ne peut tre vu que comme un modle thorique.

    La fonction dautocorrlation correspondante tend alors vers la distribution de Dirac en 0 : ( ) ( )== 000bb NN Ceci signifie que deux observations de ce signal deux instants diffrents, aussi proches

    soient ils, sont dcorrls. On appelle alors parfois le bruit blanc bruit corrlation microscopique .

    Remarque : on parle de bruit blanc par analogie la lumire blanche dont le spectre est

    constant dans le domaine des rayonnements visibles. Avec la mme analogie, un bruit non blanc est parfois appel bruit color.

    III. Approche systmique des signaux

    Bruit corrlation microscopique (ou blanc) devant un filtre : Dfinition : On dit quun bruit est corrlation microscopique devant un filtre si sa dspm

    est constante dans la bande passante du filtre.

    N0

    B/2 -B/2

    ( )2G

    Ce bruit a une ralit physique si cette dspm est intgrable ; sa puissance moyenne est

    alors finie. Il se comporte comme un bruit blanc vis vis de ce filtre. En effet, la dspm de la sortie est la mme que lentre soit blanche (thorique) ou blanche devant le filtre.

    Approche systmique des signaux : Dans tout ce qui prcde, nous avons caractris les signaux laide de lapproche signal. Approche signal : elle consiste dfinir les signaux par des grandeurs qui leur sont

    caractristiques (fonction de corrlation, dspm)

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    Une autre approche qui permet certaines gnralisations consiste dfinir un signal en

    tant que filtre dune certaine entre par un certain filtre. Approche systme :

    e(t) ? x(t)?

    On dfinit un signal par le systme qui lengendre (e(t) et le filtre). On souhaite dfinir lentre et la classe des filtres gnrateurs engendrant tous les

    signaux alatoires stationnaires au second ordre possibles. Ceci est possible en utilisant la classe des filtres linaires homognes. En choisissant une entre e(t) stationnaire au 2nd ordre , il vient :

    ( ) ( ) ( )= ee2XX G On remarque que si ( ) ( ) 00 0XX0ee == car G(0) ne peut pas tre infini

    (stabilit du filtre). Il est donc ncessaire que ( )ee ne soit jamais nul. Afin dutiliser le moins de paramtres possible, il est classique dutiliser un bruit blanc norm ( ( )ee =1).

    On a alors :

    ( ) ( ) ( ) ( ) connuGG XX2XX = la connaissance de G() entrane celle de la dspm. En revanche, la connaissance de la dspm nentrane que la connaissance du module de

    G(). En imposant au filtre gnrateur dtre inversible (afin de ne pas perdre dinformation), on peut dterminer de manire unique G() partir de la dspm.

    Exemple : on souhaite dterminer le filtre G() qui, exit par un bruit blanc norm,

    engendre le signal x(t) de dspm ( ) ( )222

    XX4

    1

    +

    +=

    Le signal tant rel, sa dspm est paire et relle. On peut alors la factoriser sous la forme :

    ( ) ( )( )( ) ( )

    ( ) ( )=+

    += GGj2j2

    jj22XX

    Il faut que les ples et les zros de G() soient au dessus de laxe rel pour que ce filtre soit causal et causalement inversible.

    La solution cherche est donc ( )( )2j2

    jG

    =

    Remarque : parmi tous les filtres de gabarit identique (mme module), on choisit celui

    dphasage minimal (cest le seul qui soit causalement inversible). Connatre ( )XX revient alors connatre ( )G .

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    Lapproche systme consiste dire que x(t) rsulte du filtrage dun bruit blanc

    norm par le filtre de gain complexe ( )G . Cette approche peut tre gnralisable. En effet, un filtre peut tre dcrit autrement que

    par son gain complexe, par exemple laide dun modle dtat. De plus, on peut engendrer des classes plus larges de signaux en utilisant des filtres linaires non homognes ( paramtres variables) ou des filtres non linaires, contrairement lapproche signal qui ne permet que la description des signaux stationnaires au second ordre.

    IV. Identification dun filtre linaire et homogne

    Identifier un filtre consiste dterminer soit sa rponse impulsionnelle, soit son gain complexe. Nous avons vu prcdemment que raliser lanalyse harmonique dun filtre (excitation par une sinusode) constituait une mthode de trac point par point du gain complexe. Nous nous proposons de dcrire dautres mthodes qui ont pour but de tracer la rponse impulsionnelle h(t).

    h(t)

    A. 1re mthode : approche directe Par dfinition, la rponse impulsionnelle est la rponse la distribution de Dirac (modle

    thorique dune impulsion). Cette mthode nest pas satisfaisante car on ne peut quapprocher un tel modle. De plus, les risque dendommager le systme sont grands, car on doit engendrer en entre une tension trs leve (pendant un temps trs bref).

    B. 2me mthode : utilisation de la rponse indicielle En automatique, on utilise classiquement la rponse indicielle i(t) qui est la rponse un

    chelon unit, ce qui techniquement comporte moins de risque. Cependant lchelon ntant appliqu que sur une dure finie, on ne mesure en fait que la rponse une porte qui est une approximation de la rponse indicielle.

    La rponse impulsionnelle est la drive de la rponse indicielle : ( ) uThti =

    La drive au sens des distributions consiste convoluer i(t) par la distribution . De plus, la covolution de par Tu tant gale , il vient :

    ( ) h'Thi't'i u ===321

    Cette mthode nest pas trs prcise. On ne dispose que dune estimation de i(t). Lerreur destimation conduit aprs drivation une erreur sur lestimation de la rponse impulsionnelle, qui peut tre de puissance importante.

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    C. 3me mthode : identification par intercorrlation entre / sortie Comme vu prcdemment, cette mthode consiste utiliser un bruit blanc en entre et

    calculer son intercorrlation avec la sortie.

    h(t)e(t) s(t)

    ( ) ( )

    =

    =eese h bruit blanc norm lentre

    ( ) ( )= hse ( ) ( ) ( )= eese G

    rponse impulsionnelle = corrlation entre/sortie Le bruit blanc ntant pas ralisable physiquement, nous avons vu que nous pouvons

    utiliser la place un bruit blanc dans la bande du filtre, ce qui ncessite la connaissance a priori de celle-ci (on en connat souvent un ordre de grandeur).

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    NOTION DE RAPPORT SIGNAL A BRUIT FILTRAGE ADAPTE

    I. Position du problme

    On dispose dune observation z(t) constitue de la somme dun signal dterministe s(t) et dun bruit v(t).

    z(t) = s(t) + v(t) Avec s(t) signal dterministe dnergie finie v(t) signal alatoire stationnaire au 2nd ordre et centr. On se propose de dterminer un filtre linaire permettant de dtecter la prsence du signal

    s(t) dans lobservation z(t). Lide gnrale consiste choisir un instant tm pour lequel la contribution du signal est la plus importante.

    h0 G0z(t) = s(t) + v(t) z1(t) = s1(t) + v1(t)

    signaux rels

    Le filtre tant linaire, la sortie sexprime comme la somme des deux signaux filtrs. ( ) ( )tsts 1 s(t) tant dterministe dnergie finie, s1(t) lest aussi. ( ) ( )tvtv 1 v(t) tant alatoire stationnaire au 2nd ordre centr, v1(t) lest aussi.

    Pour quantifier les performances de la dtection, on dfinit le rapport signal bruit (not

    RSB ou SNR pour Signal Noise Ratio ) qui est le rapport des puissances instantanes du signal et du bruit :

    ( ) ( )[ ]( ){ }m21

    2m1

    m2

    tvE

    tstX =

    La mthode consiste dterminer la rponse impulsionnelle h0 (ou le gain complexe G0)

    telle que le RSB ( )m2 tX soit maximum. calcul du dnominateur : v1(t) tant stationnaire au second ordre, on a pour tout t (et donc pour tm) :

    ( ){ } ( ) = 0tvE11vv

    21 qui reprsente la puissance moyenne de v1.

    Cette puissance moyenne est lintgrale de la dspm (TF en 0) :

    ( ){ } ( )

    = dtvE11vv

    21

    en utilisant la formule du filtrage, il vient : ( ){ } ( ) ( )

    = dGtvE vv2

    02

    1

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    calcul du numrateur :

    Par TF inverse, le signal s1(t) peut scrire : ( ) ( )

    + = deSts tj211

    Soit, avec le gain complexe du filtre : ( ) ( ) ( )

    + = deSGts tj201

    On en dduit lexpression suivante du RSB : ( )( ) ( )

    ( ) ( )

    +

    =dG

    deSG

    tX2

    0

    2tj2

    0

    m2

    Il est possible de maximiser ce RSB en utilisant une mthode variationnelle. Elle consiste

    dire que tout filtre autre que le filtre optimal (de gain G0()) rend le RSB plus petit. Tout filtre peut scrire formellement comme une variation du filtre optimal :

    ( ) ( ) ( )+= KGH 0 ( = 0 pour un filtre optimal). Le maximum du RSB ( ),tX m2 correspond lannulation de

    sa drive par rapport lorsque =0 : ( )

    H;0,tX

    0

    m2

    =

    =

    Une mthode plus rapide consiste utiliser lingalit de Schwartz. Rappel : Si A() et B() sont L2 (de carr intgrable), on a :

    ( ) ( ) ( ) ( )

    dBdAdBA 222

    Dans la suite, nous allons considrer que v(t) est blanc de dspm ( ) 0N= . Dans ces

    conditions, le RSB scrit : ( )( ) ( )

    ( )

    +

    =

    dGN

    deSG

    tX

    tj

    m 200

    22

    0

    2

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    En utilisant lingalit de Schwartz avec : ( ) ( )( ) ( ) mtj2

    0

    eSB

    GA=

    =, on majore le

    numrateur du RSB :

    ( ) ( ) ( ) ( )

    dSdGdeSG 220

    2tj2

    0m

    ce qui entrane :

    ( )( ) ( )

    ( )

    ( )

    0

    2

    200

    2tj2

    0

    m2

    N

    dS

    dGN

    deSG

    tX

    +

    =

    ( )m2 tX sera maximum quand on aura lgalit, cest--dire lorsque A() et B() sont proportionnels :

    ( ) ( ) mtj20 eSG = Il est logique de trouver un coefficient de proportionnalit . En effet, si G0 est le filtre

    optimal, tout filtre qui lui est proportionnel lest aussi (le coefficient de proportionnalit disparat pour le calcul du RSB).

    La rponse impulsionnelle du filtre est donne par TF inverse de G0 :

    ( ) ( )

    += deeSh jtj m 220

    soit : ( ) ( ) ( )

    = deSh mtj20

    Ayant ( ) ( )

    += deSts j2 , on a : ( ) ( )= m0 tsh

    Le filtre ainsi trouv sappelle le filtre adapt au signal s(t) de forme connue (dit filtre

    adapt ). Sa rponse impulsionnelle est la copie retourne et dcale du signal s(t).

    Graphiquement, on a :

    s(t)

    t

    T

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    s(t-tm)

    t

    T+tmtm

    s(tm-t)

    t

    tm-T tm

    Or, h0(t) = s(tm-t) doit tre causal. Cela implique : - que le signal s(t) soit de dure finie T - que tm soit suprieur ou gal T Afin dobtenir la dtection le plus rapidement possible, on choisit tm=T. calcul de la sortie z1(t) : Par convolution, on a : ( ) ( )tzhtz 01 = La linarit conduit : ( ) vhshtz 001 += Soit : ( ) ( ) ( )

    3211v

    001 vhduutsuhtz +=

    En remplaant h0 par son expression : ( ) ( ) ( ) ( )tvduutsutstz 1m1 +=

    On retrouve lexpression de lautocorrlation du signal translate au point tm : ( ) ( )tv)tt(tz 1

    T

    mss1 +=

    T

    s1(t)

    ( ) ( ) sm ETsts .11 == : o Es est lnergie du signal s(t) 2T

    ( )ss

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    caractrisation de v1(t) : v1(t) est un bruit dont nous allons calculer la moyenne et la variance.

    ( ) ( )tvhtv = 01 ( ) ( ) ( )

    = duutvuhtv 01

    v(t) tant centr, on vrifie simplement que v1(t) lest aussi.

    En remplaant h0 par son expression : ( ) ( ) ( )

    = duutvutstv m1

    ( ) ( ) ( ) ( )

    = 222.111.22)(1 duutvumtsduutvumtsv t

    Ce produit de deux intgrales peut scrie sous la forme dune intgrale double :

    ( ) ( ) ( ) ( )212211

    22)(1 duduutvutsutvutst mmv = dont on prend lesprance mathmatique :

    ( ) ( ) ( ) ( )212121

    ][2]2)(1[ duduutvutvEutsutst mmvE = Ce terme est le dnominateur du RSB. Il peut tre calcul analytiquement avec

    lexpression de lautocorrlation du bruit. Dans le cas o le bruit est blanc de dsp N0, on a E[v(t-u1)v(t-u2)]= N0.(u1-u2).

    ( ) ( ) ( )212121

    0

    2]2)(1 .[ duduuuutsutst mmNvE =

    Ayant par dfinition de la distribution de Dirac : ( ) )()( 21211 utsduuuuts mm =

    On obtient : ( ) )0(...[ 22222]2)(1 00 SSmt NduutsNvE ==

    , o SS(0) est lnergie ES du

    signal s(t).

    Le RSB scrit donc 00..

    .2

    22

    NE

    ENE S

    S

    S = . Il est gal au rapport de lnergie de s(t) la

    puissance du bruit dans une bande 1Hz. II. Application : mesure de la date darrive dun signal certain connu

    On suppose que le signal que lon cherche dtecter arrive une date t0 inconnue. On peut donc modliser z(t) par :

    ( ) ( ) ( )tvttstz 0 += o s(t) est le signal de mme forme que celui recherch mais qui arrive avec un retard nul.

    On applique le filtre adapt s(t) dont la rponse impulsionnelle est : ( ) ( ) = Tsh0 .

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    La sortie s1(t) scrit : ( ) ( ) ( )

    = dututsuhts 001

    Soit : ( ) ( ) ( ) ( )TttdututsuTsts ss ==

    001

    s1(t) est maximum la date t0+T, ce qui permet de dterminer t0 (T est connu).