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1 Signal électrique Traitement du signal Télécommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, …) Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation écho, Analyse, Synthèse, …) Médical (Échographie, Imagerie, Biosignaux, …) Radar, géophysique, Acoustique (sous-marine) Grandeur physique Milieu de transmission Capteur Bruit Traitement du signal Information

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1

Signal

électrique

Traitement du signal

• Télécommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, …)• Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation écho, Analyse, Synthèse, …)• Médical (Échographie, Imagerie, Biosignaux, …)• Radar, géophysique, Acoustique (sous-marine)• …

Grandeur

physique

Milieu de

transmissionCapteur

Bruit

Traitement du

signal

Information

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Signaux et systèmes

Les signaux :- Déterministes

- Impulsionnels

- Périodiques

- Aléatoires : bruits (bruit blanc), données, information, …

Les systèmes :– Linéaires Invariant dans le Temps (SLIT) : canaux de transmission,

composants électroniques passifs (R,L,C), filtres analogiques et numériques, …

� régis par l'opération de convolution� ayant les signaux sinusoïdaux comme fonctions propres

� Fonction de transfert et analyse de Fourrier

– Non linéaires ou non stationnaires : non linéarités (saturation),

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Traitement Numérique du Signal

Numérisation : double discrétisation�Discrétisation temporelle : Echantillonnage�Discrétisation numérique : Quantification

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Plan du coursIntroduction

Rappels� Systèmes linéaires invariants dans le temps� Analyse de Fourier

Echantillonnage� Théorème de l'échantillonnage� Bruit de quantification

Transformée de Fourier Discrète (TFD)� Transformée de Fourier Discrète Rapide : FFT (Fast Fourier Transform)

Filtrage numérique� Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)� Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)� Transformée en Z

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Plan du cours

Introduction � Classification des signaux et des systèmes� Chaîne de traitement du signal numérique

Rappels� Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps (SLIT) - Convolution - Fonctions propres� Analyse de Fourier – Série de Fourier – Transformée de Fourier - Parseval

Echantillonnage� Spectre d'un signal échantillonné - Transformée de Fourier d'un signal échantillonné� Théorème de l'échantillonnage� Reconstruction – Interpolation - Suréchantillonnage.� Bruit de quantification - Facteur de crête

Transformée de Fourier Discrète (TFD)� Périodisation temporelle � Echantillonnage fréquentiel - Fenêtrage� Transformée de Fourier Discrète Rapide : FFT (Fast Fourier Transform) - Fonctions Matlab� Filtrage dans le domaine fréquentiel, filtrage 2D� OFDM (évocation)

Filtres numériques� SLIT à temps discret – Réponse impulsionnelle - Convolution discrète – Réponse en fréquence – Fonction filtrage� Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) - Filtre à phase linéaire (retard) – Filtre de Hilbert – Phase minimale� Synthèse par la méthode directe – Phénomène de Gibbs – Fenêtrage - Synthèse par TFD – Fonctions Matlab� Filtre RIF à ondulations réparties – Nb de coefficients - Algorithme de Remez (évocation) – Fonctions Matlab� Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII) – Equations aux différences – Réponse impulsionnelle � Stabilité� Transformée en Z – Factorisation - Stabilité de la cellule récursive du premier ordre – Stabilité d'un filtre RII� Pôles et Zéros - Interprétation géométrique� Synthèse – Fonctions modèles – Transformée bilinéaire - Filtres Elliptiques – Gabarit – Ordre� Étude de la cellule du premier ordre – Application à l'estimation – Mise en œuvre en virgule fixe� Étude de la cellule du second ordre – Résonance – Réponse impulsionnelle - Décomposition en éléments simples� Cellule du second ordre générale - Filtre réjecteur – Déphaseur pur� Mise en œuvre en virgule fixe – Structure cascade – Quantification des coefficients – Bruit de calcul - Nb de bits – Règles

Applications� Filtrage multicadence – Bancs de filtres – Transformation IQ

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Références

Les livres :• Traitement numérique du signal, Maurice BELLANGER (Dunod) ;• Méthodes et techniques de traitement du signal, J.MAX (Masson) ;• Traitement numérique des signaux, M.KUNT (Dunod) ;• Digital signal processing, J. G. Proakis, D. G. Manolakis, (Prentice Hall)

Sur Internet :• Wikipédia : site en pleine progression• Luc Vandendorpe : http://www.tele.ucl.ac.be/EDU/ELEC2900/tout_2900b.pdf• Joël Le Roux : http://users.polytech.unice.fr/~leroux/

Exercices, Devoirs surveillés et documents de cours :• http://luc.fety.free.fr• http://luc.fety.free.fr/ELE102• http://luc.fety.free.fr/ftp/

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Systèmes linéaires invariants dans le temps

Linéarité :

Invariance temporelle :

Exemples : canaux de transmission, systèmes optiques, filtrage, …

)(tx SLIT )(ty

)(1 tx )(1 ty

)(2 tx )(2 ty

)()( 2211 txtx αα + )()( 2211 tyty αα +

)(tx )(ty

)( τ−tx )( τ−ty

Principede

superposition

Stationnarité

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Convolution

Réponse impulsionnelle :

Un signal quelconque peut être exprimé comme une somme d'impulsions :

En vertu de la linéarité et de l'invariance temporelle :

Cette opération s'appelle le produit de convolution :

)(tδ SLIT )(th

ττδτ dtxtx )()()( −= ∫+∞

∞−

τττ dthxty )()()( −= ∫+∞

∞−

)()()( thtxty ∗=

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Propriétés du produit de convolution

Le produit de convolution est– commutatif :

– associatif :

– distributif :

L'élément neutre est l'impulsion de Dirac :

La convolution par opère une translation de :

Évaluation graphique :

(Wikipedia)

)()()()( xfxgxgxf ∗=∗)())()(())()(()( xhxgxfxhxgxf ∗∗=∗∗

)()()()())()(()( xhxfxgxfxhxgxf ∗+∗=+∗

)()()()()( xfduuxfuxxf =−=∗ ∫+∞

∞−δδ

)()()()()( axfduuxfauaxxf −=−−=−∗ ∫+∞

∞−δδ

)( ax −δ a

duuxgufxgxf )()()()( −=∗ ∫+∞

∞−

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Fonctions propres

Fonctions telles que

Proposition : �

)()()( txdtxh ⋅=−∫+∞

∞−λτττ

)(tx )()()( txthtx ⋅=∗ λ

atetx =)( )()( )( txeeeetx aatata ⋅=⋅==− −−− ττττ

44 344 21λ

ττ ττττ dehedeh aatta −+∞

∞−

−+∞

∞− ∫∫ ⋅= )()( )(

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Exprimer le signal d'entrée comme une somme de fonctions propres :

ou

Pour déterminer plus facilement le signal de sortie :

ou

est appelée " Transformée de ". est appelée " Fonction de Transfert ".

Base de fonctions propres

∑ ⋅=a

ateaXtx )()( ∫ ⋅=a

atdaeaXtx )()(

∑ ⋅⋅=a

at

aY

eaXaty43421)(

)()()( λ ∫ ⋅⋅=a

at

aY

daeaXaty43421)(

)()()( λ

)(tx )(tySLIT

)(aX )(tx

)(aλ )()()( aXaaY ⋅= λ

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Différentes transformées :

• Laplace :

• Fourier :

• En Z dans le cas des signaux échantillonnés, …

ωα jpa +== ∫ ⋅=p

ptdpepXtx )()(

fja π2= ∫+∞

∞−⋅= dfefXtx ftπ2)()(

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Exemple de décomposition

tftx 02cos)( π= ?)( =tySLIT

tfjtfj eetx 00 22

2

1

2

1)( ππ −+=

SLIT

SLIT

+

tfje 022

1 π

tfje 022

1 π−

tfjfH e 02

21

)0(π

tfjfH e 02

21

)0(π−

⋅−

))0(02cos()0()( ftffHty ϕπ +=

*)0()0( fHfHsi =−

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Exemple de SLIT

)(tx +τ

)()()( τ−+= txtxty

)1()(

22)(222

0

0000043421

fH

fjtfjtfjtfjtfj eeeee τππτπππ −− +=+→

)1()(

22)(222

0

0000043421fH

fjtfjtfjtfjtfj eeeee−

+−−−−− +=+→ τππτπππ

tfjefHtfjefHtytfjetfjetftx 00

00

000

2)(212)(

21)(2

212

212cos)( πππππ −⋅−+⋅=→−+==

τπτπτπτπτπτπτπ 000

00

0000 cos2)(cos2)()( fj

effHetfj

effj

efj

efj

efH+⋅=−−⋅=−⋅−++=

)2cos(cos2)2(

21)2(

21cos2)( 000

00000 τππτπτππτππτπ ftff

ftfje

ftfjefty −⋅=

−−⋅+−⋅=

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Ce qu'il faut retenir

Les traitements des signaux sont le plus souvent des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps .

Ils sont régis par le produit de convolution :

est la réponse impulsionnelle du système. Elle caractérise entièrement le système.

Les transformées de Laplace et de Fourier sont très utilisées pour l'étude des SLIT car elles sontbasées sur des fonctions propres des SLIT de la forme .

Elles transforment le produit de convolution en produit simple.

)(tx )(tySLIT

τττ dthxthtxty )()()()()( −=∗= ∫+∞

∞−

)(th

ate

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Traitement Numérique du Signal

Le traitement numérique des signaux requiert leur numérisation :

1) Les calculateurs sont des systèmes discrets : Ils peuvent tout au plus mémoriser et calculer les valeurs des signaux à des instants dénombrables. � Il faut donc opérer une discrétisation temporelle :

L'Echantillonnage

2) Les mémoires disponibles dans les calculateurs sont elles-mêmes constituées d'un nombre fini de bits : Elles peuvent tout au plus mémoriser des valeurs arrondies des échantillons des signaux. � il s'agit d'une discrétisation numérique :

La Quantification

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L'Echantillonnage

L'échantillonnage d'un signal consiste à mesurer et ne conserver que ses valeurs à des instantsparticuliers :

Le signal obtenu est un signal discret :

est l'indice (ou indexe) des échantillons.

est le symbole de Kronecker :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

{ }LL 9.06.06.09.009.0)()( −−−==↑

nTexnx A

)(nx

)(txA

∑+∞

−∞=

−⋅=i

inixnx )()()( δ

)(nδ

=≠

=01

00)(

nsi

nsinδ

Nn∈

TeefTe

=1

: Période d'échantillonnageTe

: Fréquence d'échantillonnageef

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Reconstruction

Problème : Plusieurs signaux présentent les mêmes échantillons :

Il faut certainement compléter l'information contenue dans les échantillons pardes hypothèses supplémentaires.

Solution retenue : Hypothèses dans le domaine spectral

� Le théorème d'échantillonnage

τττ dthxthtxty )()()()()( −=∗= ∫+∞

∞−

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

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Spectre d'un signal échantillonné

Considérons l'expression analogique du signal numérique :

Peut-on exprimer comme une somme de sinusoïdes ?

ou peut-être

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1 )(txA

)(txN

)(txN

)(txN

∑=f

ftjfN eatx π2)( ∫=

f

ftjfN dfeatx π2)(

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20

Spectre d'un signal échantillonné

Les signaux présentent tous les mêmes échantillons :tkftxtx eAk π2cos)()( ⋅=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

tfeπ2cos

tftx eA π2cos)( ⋅

tfeπ4cos

tftx eA π4cos)( ⋅

)(txA

)(txA

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Spectre d'un signal échantillonné

Si nous faisons la somme de ces signaux : ∑= + −

⋅+K

k ee

eAA

tekfjtekfj

tkftxtx1 22

2cos2)()(43421

ππ

π

1=K

2=K

3=K

4=K

5=K

)(txA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-101

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-202

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-505

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

010

Nous obtenons un signal constitué d'impulsions approchant .)(txN

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22

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Spectre d'un signal échantillonné50=K

8.8 8.9 9 9.1 9.2

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000500=K

⋅+⋅= ∑

=1

2cos2)()()(k

eAAN tkftxtxfetx π

∑∞

−∞=

−⋅=n

AN nTetnTextx )()()( δ

)(ˆ txN

)()(ˆ2

2

nTexdttx A

nTe

nTeN

Te

Te≈⋅∫

+

∑∞

−∞=

⋅⋅=k

tkfjAN

eetxfetx π2)()(

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230 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 9.4

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Vérification du facteur 1=fe

10=fe

ef

0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

1=Te

1.0=Te

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Modulation � Périodisation

∑+∞

−∞=

−⋅=k

eAN kffXfefX )()(

∑∞

−∞=

⋅⋅=k

tkfjAN

eetxfetx π2)()(

)( fX A

f0

)( fXN

f0efef ef2ef2−

∫+∞

∞−= dfefXtx ftj

AAπ2)()(

∑ ∫∞

−∞=∫ −

+∞

∞−

+

∞+∞−

⋅=k

dfekffX

tkffjAN

ftjeA

e dfefXfetx4444 34444 21

π

π

2)(

)(2)()(

)( eA ffX − )2( eA ffX −)( eA ffX +)2( eA ffX +

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Transformée de Fourier de

∑∞

−∞=

−⋅=n

AN nTetnTextx )()()( δ

∑∞

−∞=

−⋅=n

fnTejAN enTexfX π2)()(

)(txN

∫+∞

∞−

−= dtetxfX ftjNN

π2)()(

∫ ∑∞+

∞−

−+∞

−∞=

−⋅= dtenTetnTexfX ftj

nAN

πδ 2)()()(

or

∑ ∫+∞

−∞=

+∞

∞−

−−⋅=n

ftjAN dtenTetnTexfX πδ 2)()()(

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Reconstruction

)()()( fHfXfX NA ⋅=

)( fH

f0

)( fXN

f0efef− ef2ef2−

)( eAe ffXf +⋅ )( fXf Ae ⋅)2( eAe ffXf +⋅ )( eAe ffXf −⋅ )2( eAe ffXf −⋅

)( fX A

f0

2ef

2ef−

ef1

∫+

−⋅= 2

2

21 )()(ef

efedfefXtx ftj

NfAπ

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Formule de Shannon (reconstruction)

∫+

−⋅= 2

2

21 )()(ef

efedfefXtx ftj

NfAπ

∑+∞

−∞=

−=n

fnTejAN enTexfX π2)()(

∫ ∑+

+∞

−∞=

− ⋅

= 2

2

221 )()(ef

efedfeenTextx ftj

n

fnTejAfA

ππ ∑ ∫+∞

−∞=

+

=

n

nTetfjfAA

ef

efedfenTextx

2

2

)(21)()( π

∑+∞

−∞=

−−−−

−=

n

nTetjnTetjnTetjfAA

efef

eeenTextx )(2)(2

)(211 22)()( ππ

π ( )∑+∞

−∞=−

−=n

nTetjnTetfj

fAAe

enTextx

)(2)(sin(21)()( π

π

∑+∞

−∞=−

−=n

nTetfnTetf

AAe

enTextx)(

)(sin()()( ππ

or

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Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon

)( fX A

f0

)( fXN

f0efef− ef2ef2− 2

ef2ef−

)(ˆ fX A

f0efef− ef2ef2− 2

ef2ef−

maxf

2maxeff < Au moins2 échantillons par période

Repliement de spectre

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29

∑∞

−∞=

−⋅=n

AN nTetnTextx )()()( δ ∑∞

−∞=

⋅⋅=k

tkfjAeN

eetxftx π2)()(

∑∞

−∞=

−⋅=n

AN nTettxtx )()()( δ ∑∞

−∞=

⋅=k

tkfjeAN

eeftxtx π2)()(

∑∑∞

−∞=

−∞=

=−k

tkfje

n

eefnTet πδ 2)(

∑∑∞

−∞=

−∞=

− −=k

een

fnTej kfffe )(2 δπ

∑∞

−∞=

−∗=k

eeAN kffffXfX )()()( δ∑∞

−∞=

−∗=n

fnTejAN efXfX π2)()(

TF

TFTF

En définitive

∑∞

−∞=

−=k

eAeN kffXffX )()(∑∞

−∞=

−=n

fnTejAN enTexfX π2)()(

TF TF

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30

Pour être mémorisés, les échantillons de signal doivent être codés avec un nombre fini de bits. Or, avec bits, il n'est possible de coder que états. Dès lors, les échantillons qui pouvaient prendre un nombre infini de valeurs doivent être approximés (quantifiés) au plus proche état codé (état de quantification).

Quantification

N2N

Exemple : Quantification linéaire entre et avec bits A− NA+

N

Aq

2

2=

Val

eurs

qua

ntifi

ées

Valeurs initiales

tionquantifica de états 1624 =→= NN

-1.5A -A -0.5A 0 0.5A A 1.5A-A

-0.5A

0

0.5A

A

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31

La quantification des échantillons peut être interprétée comme l'ajout d'un bruit :

Bruit de quantification

{bruit

)()()( nenxnxq +=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-A

-0.5A

0

0.5A

Asignal analogique x(t)échantillons x(n)valeurs quantifiées xq(n)erreur e(n)

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32

Densité de probabilité du bruit de quantification

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

signal initial x(t)

signal quantifié xq(t)

erreur de quantification e(t)

2q+

2q−

� Toutes les valeurs sont équiprobables dans cet intervalle.2q+� L’erreur de quantification est comprise entre et2

q−

En définitive, lorsque le signal varie "normalement" et que N est grand, l’erreur de quantification peut être considérée comme un phénomène aléatoire dont les échantillons sont équiprobables entre et et sont indépendants .

2q−

2q+

)(xfb

x2q− 2

q+

q1

)(nrbb

n

bP

n f

)( fPb

2Fe+2

Fe−

FePb

1)( =∫+∞

∞−dxxfb )()( nPnr bbb δ= bb PdffP

Fe

Fe=∫

+

2

2

)(

TF

Bruit blanc

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33

Puissance du bruit de quantification

)(xfb

x2q− 2

q+

q1

1)( =∫+∞

∞−dxxfb

[ ] [ ] 2

2

2

2

33112122

)()(q

q

q

qxdxxdxxfxnbEP qqbb

+

+

+∞

∞−==== ∫∫ 12

2qPb =

12

2qPb =

Explications : Imaginons un phénomène dont une période vaut :

{ }41122211)( =ns

La puissance du phénomène peut être calculée de la manière suivante :

( ) ( )222222222222412314

8

141122211

8

1)(

1 ×+×+×=+++++++== ∑n

nsN

P

Soit encore : et donc :{

{{

{{

{2

3

22

32

2

1

1

48

12

8

31

8

4

vp

vp

vp

P ×+×+×= ∑ ×=n

kk vpP2

Dans le cas d'une variable continue : ∫+∞

∞−=

321xP

dxxfxP )(2

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34

Rapport Signal à Bruit

Dans le cas d'un signal sinusoïdal occupant la pleine échelle [ ]AA +− ;

( )N

Aq

A

b

x

N

A

P

P

B

S 22

22

2

12

2 22

362

2

×====

Soit encore en dB :

44 344 2143421 NdB

NB

S

02.676.1

)2log(2102

3log10 ××+

×=

NB

S

dB

02.676.1 +=

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35

∑∞

−∞=

−⋅=n

nTetnxtx )()()( δ

∫+∞

∞−

−⋅= dtetxfX ftj π2)()(

Transformée de Fourier Discrète (TFD)

∑∞

−∞=

−=n

fnTejenxfX π2)()(

Nous savons que la transformée de Fourier :

appliquée au signal échantillonné défini de la manière suivante :

conduit à la définition de la Transformée de Fourier du signal échantillonné :

La "Transformée de Fourier discrète " en est une version calculable :

( ) ∑−

=

−==

1

0

2)(ˆ)(

N

n

N

knj

Nkfe enxXkX

πN

knfnTe N

kFef

→=

Echantillonnage fréquentiel Horizon fini

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36

La réduction de l'horizon temporel peut-être interprété comme la multiplication du signal par une porte de durée :NTe

Troncature temporelle

Le spectre obtenu est alors le "vrai spectre" convolué par la TF de la porte :

∑∑−

=

−+∞

−∞=

− →1

0

22 )()(N

n

fnTej

n

fnTej enxenx ππ

( )∏ −−⋅→NTe

N Tettxtx2

1)()(

( )

−∗→ ∏ −

NTe

N TetTFfXfX2

1)()(ˆ( )fTe

fTe

ππsin

( )∏τ

t

2

τ2

τ−

1

t

f*fFe Fe2Fe−

)( fX

fFe Fe2Fe−

)(ˆ fX

)( fG

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37

L'échantillonnage dans le domaine fréquentiel induit une périodisation dans le temporel :

Echantillonnage fréquentiel

( ) ( )N

kFeXfX →

( ) ( )∑∑ −∗→−⋅kk

NkFe kNTettxffX δδ )()(

0 tNTe

1

)(tx

*t

0

NTe NTe2NTe−

tNTe NTe2NTe−

0

1)(tp

)(txp

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38

1) Fenêtrage :

Reprenons …

0 tNTe

1)(tx

( )∏ −−⋅=NTe

N Tettxtx2

1)()(π

( )∏NTe

t

0 tNTe

( ) TeN

fj

fG

efNTe

fNTeNTefXfX 2

12

)(

sin)()(

−−∗=

ππ π

π

44 344 21

)(txπ

0f0f− f2eF

2eF−

)( fXπ

0f0f−

NTe

f2eF

2eF−

)( fX)( fG

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39

0 NTe

2) Périodisation

∑ −∗=k

p NTettxtx )()()( δππ

∑ −⋅=k

NkFe

p ffXfX )()()( δππ

t

)(txπ

0 NTe

0f0f− f2eF

2eF−

)( fXπ

t

0f0f− f2eF

2eF−

)( fX pπ

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40

0 NTe

3) Echantillonnage :

∑ −⋅=n

ppN nTettxtx )()()( δππ

∑ −∗=k

ppN kFefFefXfX )()()( δππ

t

)(txπ

0 NTe t

0f− f2eF

2eF−

)( fX pπ

0ff

2eF−

23 eF−

)( fX pNπ

0f−2eF

0f2

3 eFFe− Fe

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41

0 NTe

Quand ça se passe bien

∑ −⋅=n

ppN nTettxtx )()()( δππ

∑ −∗=k

ppN kFefFefXfX )()()( δππ

t

)(txπ

0 NTe t

0f− f2eF

2eF−

)( fX pπ

0ff

2eF−

23 eF−

)( fX pNπ

0f−2eF

0f2

3 eFFe− Fe

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42

Filtres Numériques

Linéarité :

Invariance temporelle :

)(nx SLIT discret )(ny

)(1 nx )(1 ny

)(2 nx )(2 ny

)()( 2211 nxnx αα + )()( 2211 nyny αα +

)(nx )(ny

)( τ−nx )( τ−ny

Principede

superposition

Stationarité

Ce sont des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps discrets :

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43

Convolution discrète

Réponse impulsionnelle :

Un signal numérique peut être exprimé comme une somme d'impulsions :

En vertu de la linéarité et de l'invariance temporelle :

Cette opération s'appelle la convolution discrète :

)(nδ SLIT Discret )(nh

∑ −=k

knkxnx )()()( δ

)()()( nhnxny ∗=

∑ −=k

knhkxny )()()(

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44

Le Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps discrets sont régis par

Convolution continue � discrète

∫+∞

∞−−=∗= duutxuhthtxty )()()()()(

Ce sont des Systèmes à temps discrets : ∑+∞

−∞=

−==n

N nTetnhthth )()()()( δ

Traitant des signaux à temps discrets : ∑+∞

−∞=

−==n

N nTetnxtxtx )()()()( δ

∫ ∑∑+∞

∞−

+∞

−∞=

+∞

−∞=

−−−= dulTeutlxkTeukhtylk

)()()()()( δδ

∑ ∑ ∫+∞

−∞=

+∞

−∞=+−

+∞

∞−−−−=

k lTelkt

dulTeutkTeulxkhty44444 344444 21

))((

)()()()()(

δ

δδ

l'opération de convolution continue :

knllknposons −=⇒+=

444 3444 2144 344 21)()(

)()()()()()(

ty

nn

ny

k

N

nTetnynTetknxkhty ∑∑ ∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

+∞

−∞=

−=−−= δδ ∑+∞

−∞=

−=k

knxkhny )()()(

)()()( ttt δδδ =∗

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45

Réponse en fréquence

∑+∞

−∞=

−=k

knxkhny )()()(

Si alors :fnTejenx π2)( = 43421

444 3444 21 )(

2

)(

2)(2 )()()(nx

fnTej

fH

k

fkTej

k

Teknfj eekhekhny πππ

== ∑∑

+∞

−∞=

−+∞

−∞=

SLIT DiscretfnTeje π2 fnTejefH π2)( ⋅

∑+∞

−∞=

−=k

fkTejekhfH π2)()(

Les signaux de la forme sont les seuls pour lesquels ce phénomène est observé. Ce sont les fonctions propres des systèmes linéaires invariants dans le temps.

nTeeα

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46

Fonction filtrage

Il est ainsi possible de créer des filtres passe-bas, passe-haut, passe-bande, réjecteur, etc …

Exemple de synthèse d'un filtre RIF passe-bas ( )

∑−

=

−=1

0

2)()(N

n

fnTejenhfH π

� Voir la fonction "sptool" de Matlab

Bande de transition

Gabarit

Bande affaiblie

Bande passante

)( fH

0

11 δ+

11 δ−

1

1f 2f2Fe f

f∆

6Fe

cF =

78 n

79=N

39

)(nh

0

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47

Filtrage

∑ −=k

knxkhny )()()(

)(nx )(nh )(ny

Le filtrage d'un signal consiste en sa convolution par la réponse impulsionnelle du filtre :

Exemple :

n0

Remarque : Le signal de sortie est déphasé� diagramme de Bode

)(ny

)(nx

Fef 3.02 =Fef 03.01 =

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48

2Fe

Diagramme de Bode

0

0

1

f

2Fe0 f

)( fH

dBfH )(

60−

4Fe

2Fe f

4Fe

π−

π+

)( fϕ

Exemple pour un filtre récursif

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49

Filtrage dans le domaine fréquentiel

dfefXnx fnTej

∫+∞

∞−= π2)()(

Convolution par)(nx )(ny

dfefHfXny fnTej

fY

∫+∞

∞−= π2

)(

)()()(43421

)(nh

)( fX)( fHMultiplication par

)( fY

TF TF -1

)()()( fHfXfY ⋅=

Résolution théorique, traitement d'images, traitement par blocs, …

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50

Comme leur nom l'indique, leur réponse impulsionnelle est finie ; c'est-à-dire nulle en

dehors d'un intervalle borné : par exemple dans le cas d'un filtre causal :

Filtres à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)

∑∑−

=

+∞

−∞=

−=−=1

0

)()()()()(N

kk

knxkhknxkhny

)(nδ RIF )(nh

1−N n0n0

{ }LL4444 34444 21

LLL 00)1()1()0(00)(termesN

Nhhhnh −=

L'opération de convolution requière N multiplication-accumulations et elle est

généralement mise en œuvre telle qu'elle dans le processeur de traitement.

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51

Représentation

∑−

=

−=1

0

)()()(N

k

knxkhny

{ })1()1()0()( −=↑

Nhhhnh L

)(nx

)(ny

Te Te Te TeL Te

+

)1(h

+

)2(h

+

)3(h

+ +

)1( −Nh)0(h L

L

)1( +− Nnx

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52

Filtre à phase linéaire

Ces filtres présentent une réponse impulsionnelle symétrique :

M

)3()2(

)2()1(

)1()0(

−=−=−=

Nhh

Nhh

Nhh

0

5.0

78 n

)(nh

( ) ( ) ( )( )44444 344444 21

43421

)(

1

02

121

0

2221

0

22

21

2

21

21

21

2cos2)()()()(

fR

n

N

e

Tefj

n

TenfjTenfjTefjN

n

fnTej

N

fj

N

N

NNN

TenfnheeenheenhfH ∑∑∑−

=

−−−

=

−−−+−−

=

− −=

+==

−−−−π

α

πππππ

N pair :

N impair :

( ) ( ) ( )( )4444444 34444444 21

43421

)(

1

02

12

121

0

222

122

1

21

21

21

21

21

2cos2)()()()()(

fR

n

NN

e

Tefj

n

TenfjTenfjNTefj

N

fj

N

N

NNN

TenfnhheeenhhefH

−+=

++= ∑∑

=

−−−−

=

−−−+−−−

−−

−−−π

α

ππππ

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53

π−π−

π+

Exemple de filtre à phase linéaire

{ }0.053700.0916-00.31310.50.313100.0916-00.0537)(↑

=nh

( ) ( ) ( )( )44444444444444 344444444444444 2143421

)(

52 10cos20.05376cos20.09162cos23131.05.0)(fRe

Tefj fTefTefTeefHfj

πππα

π ×+×−×+= −

1

π+

0 f

)( fR

0 f

0 f

)( fϕ

R(f) et phase linéaire Diagramme de Bode : Module et argument

f

1

)( fH

0

)()( fRfH =

)0)( quand ()( <±= fRff παϕ

( )1−=± πje

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54

Phase linéaire = Retard

{ }0.053700.0916-00.31310.50.313100.0916-00.0537)(↑

=nh

( ) ( ) ( )( )44444444444444 344444444444444 2143421

)(5 de retard

52 10cos20.05376cos20.09162cos23131.05.0)(fRTe

Tefj fTefTefTeefH ππππ ×+×−×+= −

ftje π2321)(

22)(2

fH

fjftjtfj eee τππτπ −− ×=τ

)(nx )(nyTe5)( fR

Un retard se traduit par un déphasage linéaire

Phase linéaire Retard pur⇔

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55

)(ny

Phase linéaire = Retard

{ }0.053700.0916-00.31310.50.313100.0916-00.0537)(↑

=nh

( ) ( ) ( )( )44444444444444 344444444444444 2143421

)(5 de retard

52 10cos20.05376cos20.09162cos23131.05.0)(fRTe

Tefj fTefTefTeefH ππππ ×+×−×+= −

)( nx )( nh )( ny

n0

)(nx

n0

t0

)(tx

t0

f0

2Fe

2Fe−

)( fX

f2Fe

2Fe−

)( fY

f0

2Fe

2Fe−

)( fX

0

f0

2Fe

2Fe−

)( fY

Harmoniques de

5

Te5

)( fR

)(tyHarmoniques de

)( fR

Zoom

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56

Réponse impulsionnelle antisymétrique

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )44444444444444444444444 344444444444444444444444 2143421

)(9 de retard

92 18sin20.026714sin20.058410sin20.10496sin20.19912sin26323.0)(fRTe

Tefj fTefTefTefTefTejefH ππππππ ×+×+×+×+×= −

n0

)(nh

189

19=N

Déphasage de 2

π

)(nx )(nyτ)( fR

{ }0267000584001049001991006323.0063230019910010490005840002670)( .........nh −−−−−=↑

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57

Filtre de Hilbert

)(nx )(nxRτ

)(nh )(nxI

Partie réelle

Partie imaginaire

2Fe

2Fe

2Fe

0

1

π

π−2π−

)(nh

n

f

f

f

)( fH dBfH )(

20−

40−

60−

{ }0267000584001049001991006323.0063230019910010490005840002670)( .........nh −−−−−=↑

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58

Les autres catégories de filtre RIF

Filtres à phase minimale : Filtres dont tous les zéros de la fonction de transfert en Z sont à l'intérieur du cercle unité.

Filtres à phase maximale : Filtres dont tous les zéros de la fonction de transfert en Z sont à l'extérieur du cercle unité.

∑ −=n

nZnhZH )()(

La fonction de transfert en Z est le pendant de la transformée de Laplace pour les systèmes discrets :

Remarque :

( ) ( ) ( ) ∑∑ −−====

n

fnTej

n

nfTejfTej enhenheZHfH πππ 222 )()(

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59

Synthèse des filtres RIF

)( fH )(nh

∑ −=n

fnTejenhfH π2)()(

1−TF

� Déterminer réalisant la fonction de filtrage désirée)(nh )( fH

On sait que est la Transformée de Fourier de :)( fH )(nh

� est la Transformée de Fourier Inverse de .)( fH)(nh

Mais encore ?

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60

Synthèse des filtres RIF

est périodique. En effet :)( fH

)(.)()()(1

22)(2 fHeenhenhkFefHn

knFeTejfnTej

n

nTekFefj ===+ ∑∑ −−+−43421

πππ

� La transformation de Fourier adaptée aux fonctions périodiques est laSérie de Fourier :

∫−⋅=

T

tj dtetxT

nc Tnπ2)(

1)(

∑ +⋅=n

tj Tn

enctx π2)()(

Problème : est périodique dans le domaine fréquentiel …)( fH

� Série de Fourier Inverse

f

)(nc

tT T2T−

)(tx

0

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61

Serie de Fourier Inverse

∫−⋅=

T

tj dtetxT

nc Tnπ2)(

1)(

∑ +⋅=n

tj Tn

enctx π2)()(

∫+

+⋅=Fe

e

fjdfefH

Fenh

fnTej

Fen

43421π

π

2

2)(1

)(

∑−

−⋅=n e

fj

fnTej

Fen

enhfH 43421π

π

2

2)()(

f

)(nc

tT T2T−

)(tx

0

n

)(nh

fFe Fe2Fe−

)( fH

0

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62

Application

fFe2

Fe−

)( fH

0

∫+

+=c

c

f

f

fnTej dfeFe

nh π21)(

1

cf 2

Fe+

[ ]( )

444 3444 21nTefj

nTefjnTefj

c

cc eenTejFe

nhπ

ππ

π2sin2

22

2

11)( −+ −=

( )nTef

nTef

Fe

fnh

c

cc

ππ

2

2sin2)( =

∫+⋅=

Fe

fnTej dfefHFe

nh π2)(1

)(

Problème : n'est pas causal et est de longueur infinie !)(nh

� Il est nécessaire de tronquer et retarder …)(nh

n

)(nh

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63

Troncature de

)(tw

� Il faut encore rendre causal …

t t

f f

)(nh )(2 nh

)( fH )(2 fH

)( fW

)()( twth ⋅

)()( fWfH ∗

)(2 nh

fNTe

fNTeNTefW

ππ )sin(

)( =

NTe

NTe1

)(nh

1

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64

Rendre causal )(nh

n

)(2 nh )()( 23 Knhnh −=

K K

N

0N

nK

21−= NK

)()()( 22 nxnhny ∗= )()()()( 223 KnynxKnhny −=∗−=

)(2 nh KTe)(nx )(2 ny )(3 ny

)( fϕ Tef N2

12 −− π )(3 fϕ

f f f

fff

)( fH )( fR )(3 fH

π− π− π−

π+ π+ π+

2Fe

2Fe

2Fe

2Fe

2Fe

2Fe

2Fe

2Fe

2Fe

2Fe

2Fe

2Fe

Représentationde Bode

H(f) idéale Représentationphase linéaire

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65

Phénomène de Gibbs

)( fH

f

f

fn

n

n

)( fH

)( fH

)(nh

)(nh

)(nh

40

10

150

09,0

09,0

09,0

)( fH )( fH )( fH

2Fe

2Fe−

2Fe

2Fe

2Fe−

2Fe−

2Fe−

2Fe−

2Fe−

2Fe

2Fe

2Fe

)( 1τ−fcH

τ

)( fcH )( 1τ+fcH

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66

Fenêtrage

)( fH

fn

)(nh

n

n

f

f

)( fH

)( fH

2Fe

2Fe

2Fe

2Fe−

2Fe−

2Fe−10

40

150

)(nh

)(nh Hamming

)( fW

)( fWdB

fW )(

dBfW )(

f

f

2Fe

2Fe

2Fe−

2Fe−

2Fe

2Fe

2Fe−

2Fe−

Te10Te10−

)(tw

Te10Te10−

t

t

dB20−

0

0

dB40−

dB60−

dB20−

dB40−

dB60−

Hamming �

Boxcar �

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67

Egaliser les ondulations

� Filtres RIF à ondulations réparties (equiripple)

�Algorithme de Remez

n

f

150

)(nh Hamming

)(nh

)(nh

dBfH )(

n

n

2Fe

2Fe

2Fe

2Fe−

2Fe−

2Fe−

dBfH )(

dBfH )(

f

f

10

40

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68

Filtre Equiripple

� Voir la fonction "sptool" de Matlab

Fc=Fe/6f1=Fc-0.01*Fe;f2=Fc+0.01*Fe;d1=0.02; d2=0.02;[N,Fo,Ao,Wo] = firpmord(2*[f1 f2],[1 0],[d1 d2]);h = firpm(N,Fo,Ao,Wo);

( )2110

1103

2 logˆδδf

FeN

∆=

Bande de transition

Gabarit

Bande affaiblie

Bande passante

)( fH

0

11 δ+

11 δ−

1

1f 2f2Fe f

f∆

78 n

79=N

39

)(nh

0

93,79ˆ =→ N

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69

Filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)

∑+∞

=

−=0

)()()(k

knxkhny

Comme leur nom l'indique, leur réponse impulsionnelle est infinie :

L'opération de convolution requière un nombre infini de multiplication-accumulations et ne peut donc pas être mise en œuvre directement dans le processeur de traitement.

Solution : Systèmes récursifs

Exemple :

)(nx

)(ny

Te+b

)1()()( −⋅+= nybnxny

)()( nnx δ= � { }LL nbbbbnhny 321)()(↑

==

� Vérifier qu'il s'agit bien d'un SLIT

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70

Équations aux différences

∑∑−

=

=

−=−1

0

1

0

)()()()(N

k

M

k

knxkaknykb

Plus généralement, un Système Linéaire Invariant dans le Temps Discret peut être défini par son équation aux différences :

Il s'agit bien d'un système linéaire car :

∑∑−

=

=

−=−1

01

1

01 )()()()(

N

k

M

k

knxkaknykb

∑∑−

=

=

−=−1

02

1

02 )()()()(

N

k

M

k

knxkaknykb

Alors : ( ) ( )∑∑−

=

=

−+−=−+−1

021

1

021 )()()()()()(

N

k

M

k

knxknxkaknyknykb

Si :

Et si :

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71

Filtre récursif

{44 344 2144 344 21

récursivepartie

M

k

transversepartie

N

k

knykbknxkanyb ∑∑−

=

=

−−−=1

1

""

1

01

)()()()()()0(

Sous certaines conditions, il est possible de calculer récursivement le signal de sortie :

Remarque : On peut faire en sorte que 1)0( =b

)(nx

)(ny

Conditions : Il faut que les soient tels que le système soit stable .

)(kb

+

)(ka )(kbTe Te Te TeL Te

+

)1(a

+

)2(a

+

)3(a

+ +

)1( −Na)0(a L

L

Te Te Te TeL Te

+ +

)3(b

+

)2(b)1( −Mb L

L+

)1(b

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72

Réponse Impulsionnelle Infinie

44 344 2144 344 21récursivepartie

M

k

transversepartie

N

k

knhkbknkanh ∑∑−

=

=

−−−=1

1

""

1

0

)()()()()( δ

)(nδ

)(nh

+

)(ka )(kbTe Te Te TeL Te

+

)1(a

+

)2(a

+

)3(a

+ +

)1( −Na)0(a L

L

Te Te Te TeL Te

+ +

)3(b

+

)2(b)1( −Mb L

L+

)1(b

{ ( ) }L)0()1()1()1()0()2()2()0()1()1()0()( abababaabaanh ++++=↑

0 20 40 60 80 100-20

-10

0

10

20

0 20 40 60 80 100-1

-0.5

0

0.5

1

Système stable : Système instable

est difficile àdéterminer de cette manière !

)(nh

∞<∑∞

=0

)(k

kh

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73

En effet, si alors :

Réponse en fréquence et fonction de transfert en Z

Si la réponse impulsionnelle est divergente : alors :

+fnTejenx π2)( =44 344 21

43421

)(

0

2

)(

2 )()(

fH

k

fkTej

nx

fnTej ekheny ∑∞

=

−= ππ

∑∞

=

−=0

2)()(k

fkTejekhfH π

∑∞

=

−=0

)()()(k

knxkhny

∞→)( fH

Mais il est toujours possible de calculer la réponse à un signal :

( )43421

nfTeje

fnTejnn eZπ

πρ2

2=

nZnx =)( {

43421)(

0)(

)()(

ZH

k

k

nx

n ZkhZny ∑∞

=

−=

∑∞

=

−=0

)()(k

kZkhZH

est la TF de )( fH )(nh

Et si alors, amortit et rend la série convergente.minZ ρ> kZ −

est la TZ de )(ZH )(nh

réel)(kh

∞>∑∞

=0

)(k

kh

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74

Transformée en Z

La fonction de transfert en Z est la Transformée en Z de

nZnx =)(

∑∞

=

−=0

)()(k

kZkhZH

)(ZH )(nh

{ }L)3()2()1()0()( hhhhnh↑

=

TeZ de retard1 ≡−

{ {kTe

k

nx

nkn ZZZknx −− ⋅==−)(

)(

)( pnh − )()'()(

)''(0'

)'( ZHZZkhZpkh p

pkkpkkk

pk

pk

k −

+=→−=

=

+−∞

=

− ==− ∑∑

)( pnx − ∑∞

=

−− =0

)()( avec )(k

kp ZkxZXZXZ

Généralisation :

La transformation en Z est l'équivalent de la transformation de Laplace : pTeeZ =

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75

Application

∑∑−

=

=

−=−1

0

1

0

)()()()(N

k

M

k

knxkaknykb

De même si :

∑−

=

=

==1

0

1

0

)(

)(

)(

)()(

M

k

k

N

k

k

Zkb

Zka

ZX

ZYZH

∑∞

=

−=0

)()()(k

knxkhny

∑∑∞

=

−∞

=

− ⋅=⋅=00

)()()()()(k

k

k

k ZkhZXZZXkhZY

∑∞

=

−==0

)()(

)()(

k

kZkhZX

ZYZH

∑∑−

=

−−

=

− =1

0

1

0

)()()()(N

k

kM

k

k ZkaZXZkbZY

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76

Pour retrouver , il suffit de remplacer par

)()( fHZH ↔

fTejeZ π2↔

)( fH Z fTeje π2

∑∑∞

=

−∞

=

− =↔=0

2

0

)()()()(k

fkTej

k

k ekhfHZkhZH π

Mais attention, il faut que la série converge pour 1=Z

De même :

∑−

=

=

=

=

=↔= 1

0

2

1

0

2

1

0

1

0

)(

)()(

)(

)()(

M

k

fkTej

N

k

fkTej

M

k

k

N

k

k

ekb

ekafH

Zkb

ZkaZH

π

π

Remarque : )()( mais )()( 2 fTejeZHfHZfHfH π===≠

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77

Factorisation

∑−

=

=

=1

0

1

0

)(

)(

)(M

k

k

N

k

k

Zkb

Zka

ZH

La fonction de transfert apparaît comme une fraction polynomiale et peut-être factorisée :

( )

( )

( ) ( )

( ) ( )

( )

( )∏

∑−

=

=

=

−−

=

−−

=

−−−−

=

−−−−

−=

−== 1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

11

1

0

11

1)0(

1)0(

)0(

)0(

)(

)()( M

kk

N

kk

M

kk

M

N

kk

N

M

k

kMM

N

k

kNN

ZPb

ZZa

PZbZ

ZZaZ

ZkbZ

ZkaZZH

)(ZH

Les racines du numérateur sont appelées zéros .kZ

Les racines du dénominateur sont appelées pôles .kP

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78

Cascade

Toutes les cellules récursives doivent être stables !

( ) ∏∏=

−=

−×−=

M

k k

N

kk

ZPZZaZH

11

1

1

1

11)0()(

)(ZX

: Toujours stable

)1()()()(

)(

1

11

−+=→=− − nyPnxny

ZX

ZY

ZPk

k: Cellule récursive

du premier ordre

111 −− ZZ 1

21 −− ZZ 11 −− ZZNL

)(ZY111

1−− ZP 1

21

1−− ZP 11

1−− ZPM

L

)1()()()(

)(1 1 −−=→=− − nxZnxny

ZX

ZYZZ kk

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79

Cellule récursive du 1er Ordre

Si alors croît exponentiellement � divergence

)(nx

)(ny

Te+b

1>b

{ }LL nbbbbnh 321)(↑

=

{ )1()()( −⋅+= nybnxnykP

)(nh

Si alors � mémoire infinie1=b 1)( =nh

Si alors décroît exponentiellement � satisfaisant1<b )(nh

� Le système est stable si : 1<b

( )

<−====

−−

=

−∞

=

−∞

=

− ∑∑∑sinon

1si1

1)()(

11

0

1

00

bZbZbZZbZkhZH

k

k

k

kk

k

k

→<→

<→

− 111

2

bbZ

eZ fTej π

1<kP Stabilité si tous les pôles sont àl'intérieur du cercle unité.

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80

Interprétation Géométrique

( ) ( )

( ) ( )∏

=

−−

=

−−

−=

M

k

kM

N

kk

N

PZZ

ZZZ

aZH

1

1

1

1

)0()(

( )

( )∏

=

−−

=

−−

−===

M

kk

fTejTeNfj

N

kk

fTejTeNfj

fTej

Pee

Zee

aeZHfH

1

2)1(2

1

2)1(2

2 )0()()(ππ

ππ

π

=

=

=

==

=M

kk

N

k

k

M

kdp

kfTej

N

kdz

kfTej

fdp

fdz

a

Pe

Ze

afH

k

k

1

1

1

2

1

2

)(

)(

)0()0()(

43421

4434421

π

π

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5|H(f)|

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

0

2phase

Phase non-linéaire

Réponse en fréquence périodique

Re

Im

0=f

1

j

1−

j−

4Fef =

43Fef =

2Fef =

1Z

1Z

1P

1P

)( fdz

)( fdp

fTeje π2

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81

Synthèse

La synthèse des filtres RII est basée comme en analogique sur les fonctions modèles : Butterworth , Tchebycheff, Cauer (Elliptique)

Influence des pôles

Influence des zéros

(Source : Wikipédia)

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82

Exemple sous Matlab (TP)

[N, Wn] = ellipord(0.4, 0.6, 0.09, 60); � N = 6 Wn = 0.4

[B,A] = ellip(N,0.09,60,Wn);

� B = 0.0207 0.0585 0.1060 0.1255 0.1060 0.0585 0.0207

� A = 1.0000 -1.9673 2.9074 -2.5353 1.5771 -0.5972 0.1163

0 0.5 10

0.5

1

1.5|H(f)|

0 0.5 1-100

-50

0

50|H(f)| (dB)

0 0.5 10

5

10

15

20Groupe delay

0 0.5 1-200

-100

0

100

200Phase (°)

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83

Filtres particuliers

• Cellule du 1er ordre purement récursive (filtrage passe bas)

• Cellule de second ordre purement récursive (résonnance)

• Cellule de second ordre générale (filtre réjecteur, déphaseur pur)

• Oscillateur (générateur sinusoïdal)

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84

Cellule du premier ordre purement récursive

)(nx

)1()()( −+= nybnxny

Te+b

{ }LL nbbbbnh 321)(↑

=

11

1)( −−

=bZ

ZH

fTejbefH π21

1)( −−

=)2cos(21

1)(

2 fTebbfH

π−+=

−=

)2cos(1

)2sin()(

fTeb

fTebArctgf

ππϕ

2π−

0

0

2Fe

2Fe

2Fe−

2Fe−

)( fϕ

)( fH

2π+

b−11

b+11

0=f

1

j

1−

j−

2Fef =

fTejeZ π2=0>b 0=f

1

j

1−

j−

2Fef =

fTejeZ π2=0<b

2π−

0

0

2Fe

2Fe

2Fe−

)( fϕ

)( fH

2π+

b−11

b+11

2Fe−

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85

Filtre passe-bas du 1er Ordre

)(nx

)1()()1()( −+−= nybnxbny

Te+b

11

1)( −−

−=bZ

bZH

0=f

1

j

1−

j−

2Fef =

fTejeZ π2=

0

)( fH

bb

+−

11

b−1

2Fe

2Fe−

1

5.0

9.0

99.0

( ) ( ) 110 ==== ZHfH

∑∑−∞=

−∞

=

−=−−=n

i

in

i

i bixbinxbbny )()1()()1()(0

0

0

n

n

inb −

)(nx

)(ny

1)1(0

=− ∑∞

=i

ibb

npondératio

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86

Mise en œuvre en virgule fixe

)(nx

)1()()1()( −+−= nybnxbny

Te+bb−1

))()1(()1()1()()(

44 344 21321ne

nxnybnyny −−−−−=µ

PP nenynyb

−⋅−−==−

2)()1()( alors 21

1 si

Décalage de P bits

� Mise en œuvre en virgule fixe sur N>P bits

Algorithme LMS

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87

Cellule de second ordre purement récursive

)(nx Te+1P

)(1

1

1

1

)(

12

)(

11

21

ZHZPZP

ZHZH

=−

×− −−

4342143421

Constituée de 2 cellules du premier ordre en cascade :

Te+2P

)(ny

{2

221

121

1

)(1

1)( −− ++−

=⇒ZPPZPP

ZH

bb43421

)2()1()()()(

)(

1

1)( 212

21

1

−−−−=⇒=++

= −− nybnybnxnyZX

ZY

ZbZbZH

Stabilité : et 11 <P 12 <P

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88

Cellule de second ordre à coefficients réels

)(nx

2b

22

111

1)( −− ++

=ZbZb

ZH

)2()1()()( 21 −−−−= nybnybnxny

Te Te

1b

Lorsque le filtre est à coefficients réels ( et réels), les pôles et sont soit réels soit complexes conjugués

1b 2b 1P 2P

( )21222

21

11 bZbZZZbZb ++=++ −−−2

21 4bb −=∆

∆−−=

∆+−=

⇒≥∆

2

201

2

11

bP

bP

∆−−−==

∆−+−==⇒<∆

2

201*

2

11

jbPP

jbPP

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89

Réponse en fréquence

)(nx Te+1P

11

11

1)( −−

=ZP

ZH

Te+2P

)(ny

fTejfTej ebebfH

ZbZbZH ππ 4

22

12

21

1 1

1)(

1

1)( −−−− ++

=⇒++

=

12

21

1)( −−

=ZP

ZH1

j

1−

j−

fTejeZ π2=1P

1

j

1−

j−

fTejeZ π2=

2P

02Fe

2Fe−

)( fH

mH

0f+0f−

02Fe

2Fe−

)(2 fHr−1

1

r+11

Tefj perPπ2

2−=

pf−02Fe

2Fe−

)(1 fH

r−11

r+11

Tefj perP π21

+=

pf+

1

j

1−

j−

fTejeZ π2=

2P

1P

θr

pff ≈0

×

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90

Réponse en fréquence

fTejfTej ebebfH ππ 4

22

11

1)( −− ++

=

1

j

1−

j−

fTejeZ π2=

2P

1P

( ) ( ) ( )fTebfTebbbbfH

ππ 4cos22cos121

1)(

2212

22

1

2

+++++=

( ) ( )( ) ( )

+++=

fTebfTeb

fTebfTebArctgf

ππππϕ4cos2cos1

4sin2sin)(

21

21

2Fe

2Fe−

)( fH

mH

0f+0f−

0f+

0f−2Fe

2Fe−

2π+

2π−

)( fϕ

résonance

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91

Résonance

1

j

1−

j−

fTejeZ π2=

2P

1P

( ) ( ) ( )fTebfTebbbbfH

ππ 4cos22cos121

1)(

2212

22

1

2

+++++=

2Fe

2Fe−

)( fH

mH

0f+0f−

( ) ( ) ( ) 04sin422sin2120)(

221

2

=++⇒= fTeTebfTeTebbdf

fHdππππ aaa cossin22sin =

( ) ( )[ ] ( ) 02sin2cos41 221 =++ fTefTebbb ππ ( )2

02sin FekfpourfTe ==π

( ) ( ) sifTebbb 02cos41 221 =++ π Condition de résonance

Si c'est le cas : ( ) ( )2

210 4

12cos

b

bbTef

+−=π

( )1

4

1

2

21 ≤+b

bb

1cos22cos 2 −= aa

Hb

b

b bm =

− −1

1

4

42

2

2 12

0

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92

Réponse impulsionnelle

)(nδ Te+1P

)()()( 21 nhnhnh =∗

Te+2P

)(nh)(1 nh

∑∑∑=

=

−∞

−∞===−=

n

i

iinn

i

ini

i

PPPPPinhihnh0

2120

2121 )()()(

)(21 nhPP nn =∗

( ) θ

θ

θ

θθθθθ

2

)1(2)1(

0

221 1

1)(

j

nj

j

njn

n

i

ijjnnjj

e

e

e

ereernherPeterPsi

−−==⇒==

+

+−

=

−− ∑

⇒−−= −

++−

θθ

θθ

jj

njnjn

ee

eernh

)1()1()(

θθ

sin

)1sin()(

+= nrnh n

)(nh

n0

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93

Décomposition en éléments simples

⇒+=⇒==

+−

θθθθ

sin2

)1sin(2)(

1

21 jr

njrnherPeterPsi

njj

θθ

sin

)1sin()(

+= nrnh n

( )( ) ( ) ( )

−+

−=

−−=

++=

++= −−

2

2

1

12

21

2

212

22

21

1

11

1

1)(

PZ

A

PZ

AZ

PZPZZ

bZbZZ

ZbZbZH

( )21

1111

: vient il ; faisonset par sMultiplionPP

APZPZ−

==−

( )12

2221

: vient il ; faisonset par sMultiplionPP

APZPZ−

==−

−−

−−=

−−

−−= −− 1

21

1212121

2

1

1

1

111)(

ZPZPPP

Z

PZPZPP

ZZH

[ ]21

12

11

2121

)1()1(1

)(PP

PPnhnh

PPnh

nn

−−=+−+

−=⇒

++

2112

1

PPAA

−−=−=

)(nx + )(ny)1(1 +nh

21

1

PP −)1(2 +nh

)(nh

n0

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94

1P

2P

Cellule de second ordre générale

22

11

22

110

1)( −−

−−

++++

=ZbZb

ZaZaaZH

)2()1(

)2()1()()(

21

210

−−−−−+−+=

nybnyb

nxanxanxany

)(nx

2b

Te Te

1b

TeTe

0a 1a 2a

2Fe

2Fe−

)( fH

0

Im

Re

2Z

1Z

2Fe

2Fe− 0

)( fN

)( fD

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95

Cas particuliers : filtre réjecteur

Re

Im

1

j

1−

j−*1Z

1Z

1P

*1P

fTeje π2

Fer

Bπ−≅→ 1

*12

21

*12

21

0

0

PPetreP

ZZeteZTefj

Tefj

====

π

π

2

Fe−2

Fe+

)( fH

1

00f+0f−

Tef02π

2

Fe−2

Fe+

)( fH

1

00f+0f−

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96

Cas particuliers : déphaseur pur

⇒++

++= −−

−−

22

11

2112

1)(

ZbZb

ZZbbZH

2

Fe−

Tef02π

2

Fe+0

0f+0f−

)( fϕ

1)( =fH

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97

Mise en œuvre des filtres numériques en précision finie

1) La quantification des coefficients des filtres conduit à une modification de leur réponse en fréquence.

2) Les erreurs d'arrondi lors de l'opération de filtrage (calculs) conduisent àune dégradation du rapport signal à bruit.

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98

Il faut donc que q soit aussi petit que possible :

� grand

� A petit � structure cascade

Quantification des coefficients

∑−

=

=

==1

0

2

1

0

2

)(

)(

)(

)()(

M

k

fkTej

N

k

fkTej

ekb

eka

fD

fNfH

π

π2

)()()()(q

kakakaka ≤+→ δδ

2)()()()(

qkbkbkbkb ≤+→ δδ

2)()()(

2)()()(

1

0

2

1

0

2

qMfeekbfe

qNfeekafe

D

M

k

fkTejD

N

N

k

fkTejN

<=

<=

∑−

=

=

π

π

δ

δ

)()(

)()()(

fefD

fefNfH

D

N

++

=

cb

Aq

2

2=

cb2

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99

Les et sont des polynômes à coefficients réels du premier ou du second ordre dont les coefficients sont à dynamique limitée :

Structure cascade

∏∏

∑=== −

=

=

ii

ii

M

k

k

N

k

k

ZD

ZN

ZD

ZN

Zkb

Zka

ZH)(

)(

)(

)(

)(

)(

)(1

0

1

0

)(ZNi )(ZDi

( ){ {

21)( 22

1

Re21

2

<⇒++= −−

ij

P

i

P

ii bZbZbZD

ii

( ){ { 2)11()( 21

Re210

2

≤⇒++= −−

ij

ZZ

iii aZZaaZN

ii

zéros sur le cercle (filtre elliptique)

Les formes développées et présentent des coefficients à dynamique plus importante (convolution des dynamiques)

� q petit � A petit � mise en œuvre suivant une structure cascade.

)(ZN )(ZD

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100

Pour que la dégradation de la réponse en fréquence reste de l'ordre de ses ondulations initiales; il faut que :

Filtre elliptique

22

11

211

01

0

1

0

1

1

)(

)(

)( −−

−−

=

=

++++== ∏

ZbZb

ZZaa

Zkb

Zka

ZHii

i

i

iN

k

k

N

k

k

( )

+

∆+

Feff

Febc 12sin

122

12 loglog1

1log

πδ

c

c

bb

Aq −== 22

2

2

Source : Traitement numérique du signal - Maurice Bellanger – Dunod

Remarque : La formule n'est qu'indicative � décider du nombre de bits àadopter après avoir calculé réellement la réponse en fréquence dégradée (Matlab ou autre).

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101

Supposons que les données soient codées en interne sur bits. Lors du produit par les coefficients du filtre codés sur bits, on obtient des résultats sur bits qu'il convient de ramener sur bits � erreur d'arrondi.

Bruit de calcul

ibcb

ci bb + ib

x x x xs x x x xs

s x x xs

bitsib bitscb

bitsci bb +

x x x xs

bitsib

x x x x

arrondid'erreur

L'erreur d'arrondi au sein d'une cellule élémentaire peut être vue comme l'ajout d'un bruit (bruit de calcul).

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102

Bruit de calcul

Structure D-N

+

1b− Te

Te2b−

+1a

2a

+

+

)(nx )(ny

)(nes)(ne

Erreur d'arrondi sur N(Z)

Erreur d'arrondi sur D(Z)

Remarque : L'erreur d'arrondi subit la fonction de filtrage.

Et dans une structure cascade, les erreurs d'arrondi et subissent les fonctions de filtrage des cellules suivantes. Ces considérations conduisent à des règles d'implémentation.

)(ne

)(ne )(nes

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103

Règles

1) La dynamique du signal doit rester limitée au cours des calculs � ce qui conduit à constituer les cellules en associant les pôles les plus proches du cercle unité (les plus résonnants) aux zéros qui leurs sont le plus proches.

2) Les cellules sont d'autant plus "bruyantes" qu'elles sont raisonnantes. Elles doivent donc être disposées de la plus raisonnante à la moins raisonnante pour tirer profit du filtrage des erreurs d'arrondi.

3) Des facteurs d'échelles doivent être appliqués entre les cellules pour que les signaux occupent au maximum la dynamique permise.

Appairage des pôles et zéros

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104

Structure cascade

00a

+)(nx

)(0 ne

)(

1

1 fD)(1 fN

10a

+

)(1 ne

+

)(1 neK −

)(

1

fDK)( fNK

Ka0

+

)(neK

)(ny

101

+=km

k

Ha

dBen bruit à signalrapport du n dégradatio:

entréed' signaldu bits de Nb:

SB

x(n)bd

Remarque : La formule n'est qu'indicative � décider du nombre de bits àadopter en réalisant une simulation d'implémentation en précision finie (Matlab ou autre).

( ) ( )

++≅ ∆∆

Feff

FeSBdi bb

12sin1

21

2 loglog2