Traitement du signal - luc.fety.free.frluc.fety.free.fr/ELE102/2012-2013/Traitement du...

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1 Signal électrique Traitement du signal Télécommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, …) Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation écho, Analyse, Synthèse, …) Médical (Échographie, Imagerie, Biosignaux, …) Radar, géophysique, Acoustique (sous-marine) Grandeur physique Milieu de transmission Capteur Bruit Traitement du signal Information
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  • 1

    Signal

    lectrique

    Traitement du signal

    Tlcommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, ) Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation cho, Analyse, Synthse, ) Mdical (chographie, Imagerie, Biosignaux, ) Radar, gophysique, Acoustique (sous-marine)

    Grandeur

    physique

    Milieu de

    transmissionCapteur

    Bruit

    Traitement du

    signal

    Information

  • 2

    Signaux et systmes

    Les signaux :- Dterministes

    - Impulsionnels

    - Priodiques

    - Alatoires : bruits (bruit blanc), donnes, information,

    Les systmes : Linaires Invariant dans le Temps (SLIT) : canaux de transmission,

    composants lectroniques passifs (R,L,C), filtres analogiques et numriques,

    rgis par l'opration de convolution ayant les signaux sinusodaux comme fonctions propres

    Fonction de transfert et analyse de Fourrier

    Non linaires ou non stationnaires : non linarits (saturation),

  • 3

    Traitement Numrique du Signal

    Numrisation : double discrtisationDiscrtisation temporelle : EchantillonnageDiscrtisation numrique : Quantification

  • 4

    Plan du coursIntroduction

    Rappels Systmes linaires invariants dans le temps Analyse de Fourier

    Echantillonnage Thorme de l'chantillonnage Bruit de quantification

    Transforme de Fourier Discrte (TFD) Transforme de Fourier Discrte Rapide : FFT (Fast Fourier Transform)

    Filtrage numrique Filtre Rponse Impulsionnelle Finie (RIF) Filtre Rponse Impulsionnelle Infinie (RII) Transforme en Z

  • 5

    Plan du cours

    Introduction Classification des signaux et des systmes Chane de traitement du signal numrique

    Rappels Systmes Linaires Invariants dans le Temps (SLIT) - Convolution - Fonctions propres Analyse de Fourier Srie de Fourier Transforme de Fourier - Parseval

    Echantillonnage Spectre d'un signal chantillonn - Transforme de Fourier d'un signal chantillonn Thorme de l'chantillonnage Reconstruction Interpolation - Surchantillonnage. Bruit de quantification - Facteur de crte

    Transforme de Fourier Discrte (TFD) Priodisation temporelle Echantillonnage frquentiel - Fentrage Transforme de Fourier Discrte Rapide : FFT (Fast Fourier Transform) - Fonctions Matlab Filtrage dans le domaine frquentiel, filtrage 2D OFDM (vocation)

    Filtres numriques SLIT temps discret Rponse impulsionnelle - Convolution discrte Rponse en frquence Fonction filtrage Filtre Rponse Impulsionnelle Finie (RIF) - Filtre phase linaire (retard) Filtre de Hilbert Phase minimale Synthse par la mthode directe Phnomne de Gibbs Fentrage - Synthse par TFD Fonctions Matlab Filtre RIF ondulations rparties Nb de coefficients - Algorithme de Remez (vocation) Fonctions Matlab Filtre Rponse Impulsionnelle Infinie (RII) Equations aux diffrences Rponse impulsionnelle Stabilit Transforme en Z Factorisation - Stabilit de la cellule rcursive du premier ordre Stabilit d'un filtre RII Ples et Zros - Interprtation gomtrique Synthse Fonctions modles Transforme bilinaire - Filtres Elliptiques Gabarit Ordre tude de la cellule du premier ordre Application l'estimation Mise en uvre en virgule fixe tude de la cellule du second ordre Rsonance Rponse impulsionnelle - Dcomposition en lments simples Cellule du second ordre gnrale - Filtre rjecteur Dphaseur pur Mise en uvre en virgule fixe Structure cascade Quantification des coefficients Bruit de calcul - Nb de bits Rgles

    Applications Filtrage multicadence Bancs de filtres Transformation IQ

  • 6

    Rfrences

    Les livres : Traitement numrique du signal, Maurice BELLANGER (Dunod) ; Mthodes et techniques de traitement du signal, J.MAX (Masson) ; Traitement numrique des signaux, M.KUNT (Dunod) ; Digital signal processing, J. G. Proakis, D. G. Manolakis, (Prentice Hall)

    Sur Internet : Wikipdia : site en pleine progression Luc Vandendorpe : http://www.tele.ucl.ac.be/EDU/ELEC2900/tout_2900b.pdf Jol Le Roux : http://users.polytech.unice.fr/~leroux/

    Exercices, Devoirs surveills et documents de cours : http://luc.fety.free.fr http://luc.fety.free.fr/ELE102 http://luc.fety.free.fr/ftp/

  • 7

    Systmes linaires invariants dans le temps

    Linarit :

    Invariance temporelle :

    Exemples : canaux de transmission, systmes optiques, filtrage,

    )(tx SLIT )(ty

    )(1 tx )(1 ty

    )(2 tx )(2 ty

    )()( 2211 txtx + )()( 2211 tyty +

    )(tx )(ty

    )( tx )( ty

    Principede

    superposition

    Stationnarit

  • 8

    Convolution

    Rponse impulsionnelle :

    Un signal quelconque peut tre exprim comme une somme d'impulsions :

    En vertu de la linarit et de l'invariance temporelle :

    Cette opration s'appelle le produit de convolution :

    )(t SLIT )(th

    dtxtx )()()( = +

    dthxty )()()( = +

    )()()( thtxty =

  • 9

    Proprits du produit de convolution

    Le produit de convolution est commutatif :

    associatif :

    distributif :

    L'lment neutre est l'impulsion de Dirac :

    La convolution par opre une translation de :

    valuation graphique :

    (Wikipedia)

    )()()()( xfxgxgxf =)())()(())()(()( xhxgxfxhxgxf =

    )()()()())()(()( xhxfxgxfxhxgxf +=+

    )()()()()( xfduuxfuxxf == +

    )()()()()( axfduuxfauaxxf == +

    )( ax a

    duuxgufxgxf )()()()( = +

  • 10

    Fonctions propres

    Fonctions telles que

    Proposition :

    )()()( txdtxh =+

    )(tx )()()( txthtx =

    atetx =)( )()( )( txeeeetx aatata ===

    44 344 21

    dehedeh aatta +

    +

    = )()()(

  • 11

    Exprimer le signal d'entre comme une somme de fonctions propres :

    ou

    Pour dterminer plus facilement le signal de sortie :

    ou

    est appele " Transforme de ". est appele " Fonction de Transfert ".

    Base de fonctions propres

    =a

    ateaXtx )()( = aatdaeaXtx )()(

    =a

    at

    aY

    eaXaty43421)(

    )()()( = aat

    aY

    daeaXaty43421)(

    )()()(

    )(tx )(tySLIT

    )(aX )(tx

    )(a )()()( aXaaY =

  • 12

    Diffrentes transformes :

    Laplace :

    Fourier :

    En Z dans le cas des signaux chantillonns,

    jpa +== = ppt dpepXtx )()(

    fja 2= +

    = dfefXtx ft2)()(

  • 13

    Exemple de dcomposition

    tftx 02cos)( = ?)( =tySLIT

    tfjtfj eetx 00 222

    1

    2

    1)( +=

    SLIT

    SLIT

    +

    tfje 022

    1

    tfje 022

    1

    tfjfH e 02

    21

    )0(

    tfjfH e 02

    21

    )0(

    ))0(02cos()0()( ftffHty +=

    *)0()0( fHfHsi =

  • 14

    Exemple de SLIT

    )(tx +

    )()()( += txtxty

    )1()(

    22)(222

    0

    0000043421

    fH

    fjtfjtfjtfjtfj eeeee +=+

    )1()(

    22)(222

    0

    0000043421fH

    fjtfjtfjtfjtfj eeeee

    + +=+

    tfjefHtfjefHtytfjetfjetftx 00000002)(

    212)(

    21)(2

    212

    212cos)( +=+==

    000000000 cos2)(cos2)()(fj

    effHetfj

    effj

    efj

    efj

    efH+==++=

    )2cos(cos2)2(

    21)2(

    21cos2)( 000

    00000

    ftffftfjeftfjefty =

    +=

  • 15

    Ce qu'il faut retenir

    Les traitements des signaux sont le plus souvent des Systmes Linaires Invariants dans le Temps.

    Ils sont rgis par le produit de convolution :

    est la rponse impulsionnelle du systme. Elle caractrise entirement le systme.

    Les transformes de Laplace et de Fourier sont trs utilises pour l'tude des SLIT car elles sontbases sur des fonctions propres des SLIT de la forme .

    Elles transforment le produit de convolution en produit simple.

    )(tx )(tySLIT

    dthxthtxty )()()()()( == +

    )(th

    ate

  • 16

    Traitement Numrique du Signal

    Le traitement numrique des signaux requiert leur numrisation :

    1) Les calculateurs sont des systmes discrets : Ils peuvent tout au plus mmoriser et calculer les valeurs des signaux des instants dnombrables. Il faut donc oprer une discrtisation temporelle :

    L'Echantillonnage

    2) Les mmoires disponibles dans les calculateurs sont elles-mmes constitues d'un nombre fini de bits : Elles peuvent tout au plus mmoriser des valeurs arrondies des chantillons des signaux. il s'agit d'une discrtisation numrique :

    La Quantification

  • 17

    L'Echantillonnage

    L'chantillonnage d'un signal consiste mesurer et ne conserver que ses valeurs des instantsparticuliers :

    Le signal obtenu est un signal discret :

    est l'indice (ou indexe) des chantillons.

    est le symbole de Kronecker :

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    { }LL 9.06.06.09.009.0)()( ==

    nTexnx A

    )(nx

    )(txA

    +

    =

    =i

    inixnx )()()(

    )(n

    =

    =01

    00)(

    nsi

    nsin

    Nn

    TeefTe

    =1

    : Priode d'chantillonnageTe

    : Frquence d'chantillonnageef

  • 18

    Reconstruction

    Problme : Plusieurs signaux prsentent les mmes chantillons :

    Il faut certainement complter l'information contenue dans les chantillons pardes hypothses supplmentaires.

    Solution retenue : Hypothses dans le domaine spectral

    Le thorme d'chantillonnage

    dthxthtxty )()()()()( == +

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

  • 19

    Spectre d'un signal chantillonn

    Considrons l'expression analogique du signal numrique :

    Peut-on exprimer comme une somme de sinusodes ?

    ou peut-tre

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    -0.5

    0

    0.5

    1 )(txA

    )(txN

    )(txN

    )(txN

    =f

    ftjfN eatx

    2)( = fftj

    fN dfeatx2)(

  • 20

    Spectre d'un signal chantillonn

    Les signaux prsentent tous les mmes chantillons :tkftxtx eAk 2cos)()( =

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    0

    1

    tfe2cos

    tftx eA 2cos)(

    tfe4cos

    tftx eA 4cos)(

    )(txA

    )(txA

  • 21

    Spectre d'un signal chantillonn

    Si nous faisons la somme de ces signaux : = +

    +K

    k ee

    eAA

    tekfjtekfj

    tkftxtx1 22

    2cos2)()(43421

    1=K

    2=K

    3=K

    4=K

    5=K

    )(txA

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-101

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-202

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

    -505

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

    010

    Nous obtenons un signal constitu d'impulsions approchant .)(txN

  • 22

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100

    -80

    -60

    -40

    -20

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    Spectre d'un signal chantillonn50=K

    8.8 8.9 9 9.1 9.2

    -5

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1000

    -800

    -600

    -400

    -200

    0

    200

    400

    600

    800

    1000500=K

    +=

    =1

    2cos2)()()(k

    eAAN tkftxtxfetx

    =

    =n

    AN nTetnTextx )()()(

    )( txN

    )()(2

    2

    nTexdttx AnTe

    nTeN

    Te

    Te

    +

    =

    =k

    tkfjAN

    eetxfetx 2)()(

  • 230 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000-800

    -600

    -400

    -200

    0

    200

    400

    600

    800

    1000

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100

    -80

    -60

    -40

    -20

    0

    20

    40

    60

    80

    100

    8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 9.4

    -5

    0

    5

    10

    15

    20

    25

    30

    35

    Vrification du facteur 1=fe

    10=fe

    ef

    0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94

    -50

    0

    50

    100

    150

    200

    250

    300

    350

    1=Te

    1.0=Te

  • 24

    Modulation Priodisation

    +

    =

    =k

    eAN kffXfefX )()(

    =

    =k

    tkfjAN

    eetxfetx 2)()(

    )( fX A

    f0

    )( fX N

    f0efef ef2ef2

    +

    = dfefXtx ftjAA

    2)()(

    =

    +

    +

    +

    =k

    dfekffX

    tkffjAN

    ftjeA

    e dfefXfetx4444 34444 21

    2)(

    )(2)()(

    )( eA ffX )2( eA ffX )( eA ffX +)2( eA ffX +

  • 25

    Transforme de Fourier de

    =

    =n

    AN nTetnTextx )()()(

    =

    =n

    fnTejAN enTexfX

    2)()(

    )(txN

    +

    = dtetxfX ftjNN2)()(

    +

    +

    =

    = dtenTetnTexfX ftj

    nAN

    2)()()(

    or

    +

    =

    +

    =n

    ftjAN dtenTetnTexfX

    2)()()(

  • 26

    Reconstruction

    )()()( fHfXfX NA =

    )( fH

    f0

    )( fX N

    f0efef ef2ef2

    )( eAe ffXf + )( fXf Ae )2( eAe ffXf + )( eAe ffXf )2( eAe ffXf

    )( fX A

    f0

    2ef

    2ef

    ef1

    +

    = 2

    2

    21 )()(ef

    efedfefXtx ftjNfA

  • 27

    Formule de Shannon (reconstruction)

    +

    = 2

    2

    21 )()(ef

    efedfefXtx ftjNfA

    +

    =

    =n

    fnTejAN enTexfX

    2)()(

    +

    +

    =

    = 2

    2

    221 )()(ef

    efedfeenTextx ftj

    n

    fnTejAfA

    +

    =

    +

    =

    n

    nTetfjfAA

    ef

    efedfenTextx

    2

    2

    )(21)()(

    +

    =

    =

    n

    nTetjnTetjnTetjfAA

    efef

    eeenTextx )(2)(2

    )(211 22)()( ( )

    +

    =

    =n

    nTetjnTetfj

    fAAe

    enTextx

    )(2)(sin(21)()(

    +

    =

    =n

    nTetfnTetf

    AAe

    enTextx)(

    )(sin()()(

    or

  • 28

    Thorme d'chantillonnage de Nyquist-Shannon

    )( fX A

    f0

    )( fX N

    f0efef ef2ef2 2

    ef2ef

    )( fX A

    f0efef ef2ef2 2

    ef2ef

    maxf

    2maxeff < Au moins 2 chantillons par priode

    Repliement de spectre

  • 29

    =

    =n

    AN nTetnTextx )()()(

    =

    =k

    tkfjAeN

    eetxftx 2)()(

    =

    =n

    AN nTettxtx )()()(

    =

    =k

    tkfjeAN

    eeftxtx 2)()(

    =

    =

    =k

    tkfje

    n

    eefnTet 2)(

    =

    =

    =k

    een

    fnTej kfffe )(2

    =

    =k

    eeAN kffffXfX )()()(

    =

    =n

    fnTejAN efXfX

    2)()(TF

    TFTF

    En dfinitive

    =

    =k

    eAeN kffXffX )()(

    =

    =n

    fnTejAN enTexfX

    2)()(

    TF TF

  • 30

    Pour tre mmoriss, les chantillons de signal doivent tre cods avec un nombre fini de bits. Or, avec bits, il n'est possible de coder que tats. Ds lors, les chantillons qui pouvaient prendre un nombre infini de valeurs doivent tre approxims (quantifis) au plus proche tat cod (tat de quantification).

    Quantification

    N2N

    Exemple : Quantification linaire entre et avec bits A NA+

    N

    Aq

    2

    2=

    Val

    eurs

    qua

    ntifi

    es

    Valeurs initiales

    tionquantifica de tats 1624 == NN

    -1.5A -A -0.5A 0 0.5A A 1.5A-A

    -0.5A

    0

    0.5A

    A

  • 31

    La quantification des chantillons peut tre interprte comme l'ajout d'un bruit :

    Bruit de quantification

    {bruit

    )()()( nenxnxq +=

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-A

    -0.5A

    0

    0.5A

    Asignal analogique x(t)chantillons x(n)valeurs quantifies xq(n)erreur e(n)

  • 32

    Densit de probabilit du bruit de quantification

    0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    signal initial x(t)

    signal quantifi xq(t)

    erreur de quantification e(t)

    2q+

    2q

    Toutes les valeurs sont quiprobables dans cet intervalle.2q+ Lerreur de quantification est comprise entre et2

    q

    En dfinitive, lorsque le signal varie "normalement" et que N est grand, lerreur de quantification peut tre considre comme un phnomne alatoire dont les chantillons sont quiprobables entre et et sont indpendants.

    2q

    2q+

    )(xfb

    x2q 2

    q+

    q1

    )(nrbb

    n

    bP

    n f

    )( fPb

    2Fe+2Fe

    FePb

    1)( =+

    dxxfb )()( nPnr bbb = bb PdffP

    Fe

    Fe=

    +

    2

    2

    )(

    TF

    Bruit blanc

  • 33

    Puissance du bruit de quantification

    )(xfb

    x2q 2

    q+

    q1

    1)( =+

    dxxfb

    [ ] [ ] 22

    2

    2

    33112122 )()(

    q

    q

    q

    qxdxxdxxfxnbEP qqbb

    +

    +

    +

    ==== 12

    2qPb = 12

    2qPb =

    Explications : Imaginons un phnomne dont une priode vaut :

    { }41122211)( =nsLa puissance du phnomne peut tre calcule de la manire suivante :

    ( ) ( )222222222222 4123148

    141122211

    8

    1)(

    1 ++=+++++++== n

    nsN

    P

    Soit encore : et donc :{

    {{

    {{

    {2

    3

    22

    32

    2

    1

    1

    48

    12

    8

    31

    8

    4

    vp

    vp

    vp

    P ++= =n

    kk vpP2

    Dans le cas d'une variable continue : +

    =

    321xP

    dxxfxP )(2

  • 34

    Rapport Signal Bruit

    Dans le cas d'un signal sinusodal occupant la pleine chelle [ ]AA + ;

    ( )N

    Aq

    A

    b

    x

    N

    A

    P

    P

    B

    S 22

    22

    2

    12

    2 22

    362

    2

    ====

    Soit encore en dB :

    44 344 2143421 NdB

    NB

    S

    02.676.1

    )2log(2102

    3log10 +

    =

    NB

    S

    dB

    02.676.1 +=

  • 35

    =

    =n

    nTetnxtx )()()(

    +

    = dtetxfX ftj 2)()(

    Transforme de Fourier Discrte (TFD)

    =

    =n

    fnTejenxfX 2)()(

    Nous savons que la transforme de Fourier :

    applique au signal chantillonn dfini de la manire suivante :

    conduit la dfinition de la Transforme de Fourier du signal chantillonn :

    La "Transforme de Fourier discrte" en est une version calculable :

    ( )

    =

    ==

    1

    0

    2)()(

    N

    n

    N

    knj

    Nkfe enxXkX

    N

    knfnTe N

    kFef

    =

    Echantillonnage frquentiel Horizon fini

  • 36

    La rduction de l'horizon temporel peut-tre interprt comme la multiplication du signal par une porte de dure :NTe

    Troncature temporelle

    Le spectre obtenu est alors le "vrai spectre" convolu par la TF de la porte :

    =

    +

    =

    1

    0

    22 )()(N

    n

    fnTej

    n

    fnTej enxenx

    ( ) NTe

    N Tettxtx2

    1)()(

    ( )

    NTe

    N TetTFfXfX2

    1)()(( )fTe

    fTe

    sin

    ( )

    t

    2

    2

    1

    t

    f*fFe Fe2Fe)( fX

    fFe Fe2Fe

    )( fX

    )( fG

  • 37

    L'chantillonnage dans le domaine frquentiel induit une priodisation dans le temporel :

    Echantillonnage frquentiel

    ( ) ( )N

    kFeXfX

    ( ) ( ) kk

    NkFe kNTettxffX )()(

    0 tNTe

    1

    )(tx

    *t

    0

    NTe NTe2NTe

    tNTe NTe2NTe

    0

    1)(tp

    )(tx p

  • 38

    1) Fentrage :

    Reprenons

    0 tNTe

    1)(tx

    ( ) =NTe

    N Tettxtx2

    1)()(

    ( )NTe

    t

    0 tNTe

    ( ) TeNfj

    fG

    efNTe

    fNTeNTefXfX 2

    12

    )(

    sin)()(

    =

    44 344 21

    )(tx

    0f0ff

    2eF

    2eF

    )( fX

    0f0f

    NTe

    f2eF

    2eF

    )( fX)( fG

  • 39

    0 NTe

    2) Priodisation

    =k

    p NTettxtx )()()(

    =k

    NkFe

    p ffXfX )()()(

    t

    )(tx

    0 NTe

    0f0ff

    2eF

    2eF

    )( fX

    t

    0f0ff

    2eF

    2eF

    )( fX p

  • 40

    0 NTe

    3) Echantillonnage :

    =n

    ppN nTettxtx )()()(

    =k

    ppN kFefFefXfX )()()(

    t

    )(tx

    0 NTe t

    0ff

    2eF

    2eF

    )( fX p

    0ff

    2eF

    23 eF

    )( fX pN

    0f2eF0f

    23 eFFe Fe

  • 41

    0 NTe

    Quand a se passe bien

    =n

    ppN nTettxtx )()()(

    =k

    ppN kFefFefXfX )()()(

    t

    )(tx

    0 NTe t

    0ff

    2eF

    2eF

    )( fX p

    0ff

    2eF

    23 eF

    )( fX pN

    0f2eF0f

    23 eFFe Fe

  • 42

    Filtres Numriques

    Linarit :

    Invariance temporelle :

    )(nx SLIT discret )(ny

    )(1 nx )(1 ny

    )(2 nx )(2 ny

    )()( 2211 nxnx + )()( 2211 nyny +

    )(nx )(ny

    )( nx )( ny

    Principede

    superposition

    Stationarit

    Ce sont des Systmes Linaires Invariants dans le Temps discrets :

  • 43

    Convolution discrte

    Rponse impulsionnelle :

    Un signal numrique peut tre exprim comme une somme d'impulsions :

    En vertu de la linarit et de l'invariance temporelle :

    Cette opration s'appelle la convolution discrte :

    )(n SLIT Discret )(nh

    =k

    knkxnx )()()(

    )()()( nhnxny =

    =k

    knhkxny )()()(

  • 44

    Le Systmes Linaires Invariants dans le Temps discrets sont rgis par

    Convolution continue discrte

    +

    == duutxuhthtxty )()()()()(

    Ce sont des Systmes temps discrets : +

    =

    ==n

    N nTetnhthth )()()()(

    Traitant des signaux temps discrets : +

    =

    ==n

    N nTetnxtxtx )()()()(

    +

    +

    =

    +

    =

    = dulTeutlxkTeukhtylk

    )()()()()(

    +

    =

    +

    =+

    +

    =

    k lTelkt

    dulTeutkTeulxkhty44444 344444 21

    ))((

    )()()()()(

    l'opration de convolution continue :

    knllknposons =+=

    444 3444 2144 344 21)()(

    )()()()()()(

    ty

    nn

    ny

    k

    N

    nTetnynTetknxkhty +

    =

    +

    =

    +

    =

    == +

    =

    =k

    knxkhny )()()(

    )()()( ttt =

  • 45

    Rponse en frquence

    +

    =

    =k

    knxkhny )()()(

    Si alors :fnTejenx 2)( = 43421

    444 3444 21 )(

    2

    )(

    2)(2 )()()(nx

    fnTej

    fH

    k

    fkTej

    k

    Teknfj eekhekhny

    ==

    +

    =

    +

    =

    SLIT DiscretfnTeje 2fnTejefH 2)(

    +

    =

    =k

    fkTejekhfH 2)()(

    Les signaux de la forme sont les seuls pour lesquels ce phnomne est observ. Ce sont les fonctions propres des systmes linaires invariants dans le temps.

    nTee

  • 46

    Fonction filtrage

    Il est ainsi possible de crer des filtres passe-bas, passe-haut, passe-bande, rjecteur, etc

    Exemple de synthse d'un filtre RIF passe-bas ( )

    =

    =1

    0

    2)()(N

    n

    fnTejenhfH

    Voir la fonction "sptool" de Matlab

    Bande de transition

    Gabarit

    Bande affaiblie

    Bande passante

    )( fH

    2

    0

    11 +

    11

    1

    1f 2f2

    Fe f

    f

    6Fe

    cF =

    78 n

    79=N

    39

    )(nh

    0

  • 47

    Filtrage

    =k

    knxkhny )()()(

    )(nx )(nh )(ny

    Le filtrage d'un signal consiste en sa convolution par la rponse impulsionnelle du filtre :

    Exemple :

    n0

    Remarque : Le signal de sortie est dphas diagramme de Bode

    )(ny

    )(nx

    Fef 3.02 =Fef 03.01 =

  • 48

    2Fe

    Diagramme de Bode

    0

    0

    1

    f

    2Fe0 f

    )( fH

    dBfH )(

    60

    4Fe

    2Fe f

    4Fe

    +

    )( f

    Exemple pour un filtre rcursif

  • 49

    Filtrage dans le domaine frquentiel

    dfefXnx fnTej+

    = 2)()(

    Convolution par)(nx )(ny

    dfefHfXny fnTej

    fY

    +

    = 2

    )(

    )()()(43421

    )(nh

    )( fX)( fHMultiplication par

    )( fY

    TF TF -1

    )()()( fHfXfY =

    Rsolution thorique, traitement d'images, traitement par blocs,

  • 50

    Comme leur nom l'indique, leur rponse impulsionnelle est finie ; c'est--dire nulle en

    dehors d'un intervalle born : par exemple dans le cas d'un filtre causal :

    Filtres Rponse Impulsionnelle Finie (RIF)

    =

    +

    =

    ==1

    0

    )()()()()(N

    kk

    knxkhknxkhny

    )(n RIF )(nh

    1N n0n0

    { }LL4444 34444 21

    LLL 00)1()1()0(00)(termesN

    Nhhhnh =

    L'opration de convolution require N multiplication-accumulations et elle est

    gnralement mise en uvre telle qu'elle dans le processeur de traitement.

  • 51

    Reprsentation

    =

    =1

    0

    )()()(N

    k

    knxkhny

    { })1()1()0()( =

    Nhhhnh L

    )(nx

    )(ny

    Te Te Te TeL Te

    +

    )1(h

    +

    )2(h

    +

    )3(h

    + +

    )1( Nh)0(h L

    L

    )1( + Nnx

  • 52

    Filtre phase linaire

    Ces filtres prsentent une rponse impulsionnelle symtrique :

    M

    )3()2(

    )2()1(

    )1()0(

    ===

    Nhh

    Nhh

    Nhh

    0

    5.0

    78 n

    )(nh

    ( ) ( ) ( )( )44444 344444 21

    43421

    )(

    1

    02

    121

    0

    2221

    0

    22

    21

    2

    21

    21

    21

    2cos2)()()()(

    fR

    n

    N

    e

    Tefj

    n

    TenfjTenfjTefjN

    n

    fnTej

    N

    fj

    N

    N

    NNN

    TenfnheeenheenhfH

    =

    =

    +

    =

    =

    +==

    N pair :

    N impair :

    ( ) ( ) ( )( )4444444 34444444 21

    43421

    )(

    1

    02

    12

    121

    0

    222

    122

    1

    21

    21

    21

    21

    21

    2cos2)()()()()(

    fR

    n

    NN

    e

    Tefj

    n

    TenfjTenfjNTefj

    N

    fj

    N

    N

    NNN

    TenfnhheeenhhefH

    +=

    ++=

    =

    =

    +

  • 53

    +

    Exemple de filtre phase linaire

    { }0.053700.0916-00.31310.50.313100.0916-00.0537)(

    =nh

    ( ) ( ) ( )( )44444444444444 344444444444444 2143421

    )(

    52 10cos20.05376cos20.09162cos23131.05.0)(fRe

    Tefj fTefTefTeefHfj

    ++=

    1

    +

    0 f

    )( fR

    f

    0 f

    0 f

    )( f

    R(f) et phase linaire Diagramme de Bode : Module et argument

    f

    1

    )( fH

    0

    )()( fRfH =

    )0)( quand ()(

  • 54

    Phase linaire = Retard

    { }0.053700.0916-00.31310.50.313100.0916-00.0537)(

    =nh

    ( ) ( ) ( )( )44444444444444 344444444444444 2143421

    )(5 de retard

    52 10cos20.05376cos20.09162cos23131.05.0)(fRTe

    Tefj fTefTefTeefH ++=

    ftje 2 321)(

    22)(2

    fH

    fjftjtfj eee =

    )(nx )(nyTe5)( fR

    Un retard se traduit par un dphasage linaire

    Phase linaire Retard pur

  • 55

    )(ny

    Phase linaire = Retard

    { }0.053700.0916-00.31310.50.313100.0916-00.0537)(

    =nh

    ( ) ( ) ( )( )44444444444444 344444444444444 2143421

    )(5 de retard

    52 10cos20.05376cos20.09162cos23131.05.0)(fRTe

    Tefj fTefTefTeefH ++=

    )( nx )( nh )( ny

    n0

    )(nx

    n0

    t0

    )(tx

    t0

    f02

    Fe2

    Fe

    )( fX

    f2

    Fe2

    Fe

    )( fY

    f02

    Fe2

    Fe

    )( fX

    0

    f02

    Fe2

    Fe

    )( fY

    Harmoniques de

    5

    Te5

    )( fR

    )(tyHarmoniques de

    )( fR

    Zoom

  • 56

    Rponse impulsionnelle antisymtrique

    ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( )44444444444444444444444 344444444444444444444444 2143421

    )(9 de retard

    92 18sin20.026714sin20.058410sin20.10496sin20.19912sin26323.0)(fRTe

    Tefj fTefTefTefTefTejefH ++++=

    n0

    )(nh

    189

    19=N

    Dphasage de 2

    )(nx )(ny)( fR

    2

    { }0267000584001049001991006323.0063230019910010490005840002670)( .........nh =

  • 57

    Filtre de Hilbert

    )(nx )(nxR

    )(nh )(nxI

    Partie relle

    Partie imaginaire

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    0

    1

    2

    2

    )(nh

    n

    f

    f

    f

    )( fH dBfH )(

    20

    40

    60

    { }0267000584001049001991006323.0063230019910010490005840002670)( .........nh =

  • 58

    Les autres catgories de filtre RIF

    Filtres phase minimale : Filtres dont tous les zros de la fonction de transfert en Z sont l'intrieur du cercle unit.

    Filtres phase maximale : Filtres dont tous les zros de la fonction de transfert en Z sont l'extrieur du cercle unit.

    =n

    nZnhZH )()(

    La fonction de transfert en Z est le pendant de la transforme de Laplace pour les systmes discrets :

    Remarque :

    ( ) ( ) ( ) ====n

    fnTej

    n

    nfTejfTej enhenheZHfH 222 )()(

  • 59

    Synthse des filtres RIF

    )( fH )(nh

    =n

    fnTejenhfH 2)()(

    1TF

    Dterminer ralisant la fonction de filtrage dsire)(nh )( fH

    On sait que est la Transforme de Fourier de :)( fH )(nh

    est la Transforme de Fourier Inverse de .)( fH)(nh

    Mais encore ?

  • 60

    Synthse des filtres RIF

    est priodique. En effet :)( fH

    )(.)()()(1

    22)(2 fHeenhenhkFefHn

    knFeTejfnTej

    n

    nTekFefj ===+ + 43421

    La transformation de Fourier adapte aux fonctions priodiques est laSrie de Fourier :

    =

    T

    tj dtetxT

    nc Tn2)(

    1)(

    +=n

    tj Tn

    enctx 2)()(

    Problme : est priodique dans le domaine frquentiel )( fH

    Srie de Fourier Inverse

    f

    )(nc

    tT T2T

    )(tx

    0

  • 61

    Serie de Fourier Inverse

    =

    T

    tj dtetxT

    nc Tn2)(

    1)(

    +=n

    tj Tn

    enctx 2)()(

    +

    +=Fe

    e

    fjdfefH

    Fenh

    fnTej

    Fen

    43421

    2

    2)(1

    )(

    =n e

    fj

    fnTej

    Fen

    enhfH 43421

    2

    2)()(

    f

    )(nc

    tT T2T

    )(tx

    0

    n

    )(nh

    fFe Fe2Fe

    )( fH

    0

  • 62

    Application

    fFe2

    Fe

    )( fH

    0

    +

    +=c

    c

    f

    f

    fnTej dfeFe

    nh 21

    )(

    1

    cf 2Fe+

    [ ]( )

    444 3444 21nTefj

    nTefjnTefj

    c

    cc eenTejFe

    nh

    2sin2

    22

    2

    11)( + =

    ( )nTef

    nTef

    Fe

    fnh

    c

    cc

    2

    2sin2)( =

    +=

    Fe

    fnTej dfefHFe

    nh 2)(1

    )(

    Problme : n'est pas causal et est de longueur infinie !)(nh

    Il est ncessaire de tronquer et retarder )(nh

    n

    )(nh

  • 63

    Troncature de

    )(tw

    Il faut encore rendre causal

    t t

    f f

    )(nh )(2 nh

    )( fH )(2 fH

    )( fW

    )()( twth

    )()( fWfH

    )(2 nh

    fNTe

    fNTeNTefW

    )sin(

    )( =

    NTe

    NTe1

    )(nh

    1

  • 64

    Rendre causal )(nh

    n

    )(2 nh )()( 23 Knhnh =

    K K

    N

    0N

    nK

    21= NK

    )()()( 22 nxnhny = )()()()( 223 KnynxKnhny ==

    )(2 nh KTe)(nx )(2 ny )(3 ny

    )( f Tef N212 )(3 f

    f f f

    fff

    )( fH )( fR )(3 fH

    + + +

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    Reprsentationde Bode

    H(f) idale Reprsentationphase linaire

  • 65

    Phnomne de Gibbs

    )( fH

    f

    f

    fn

    n

    n

    )( fH

    )( fH

    )(nh

    )(nh

    )(nh

    40

    10

    150

    09,0

    09,0

    09,0

    )( fH )( fH )( fH

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    )( 1fcH

    )( fcH )( 1+fcH

  • 66

    Fentrage

    )( fH

    fn

    )(nh

    n

    n

    f

    f

    )( fH

    )( fH

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe10

    40

    150

    )(nh

    )(nh Hamming

    )( fW

    )( fWdB

    fW )(

    dBfW )(

    f

    f

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    Te10Te10

    )(tw

    Te10Te10

    t

    t

    dB20

    0

    0

    dB40

    dB60

    dB20

    dB40

    dB60

    Hamming

    Boxcar

  • 67

    Egaliser les ondulations

    Filtres RIF ondulations rparties (equiripple)

    Algorithme de Remez

    n

    f

    150

    )(nh Hamming

    )(nh

    )(nh

    dBfH )(

    n

    n

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    dBfH )(

    dBfH )(

    f

    f

    10

    40

  • 68

    Filtre Equiripple

    Voir la fonction "sptool" de Matlab

    Fc=Fe/6f1=Fc-0.01*Fe;f2=Fc+0.01*Fe;d1=0.02; d2=0.02;[N,Fo,Ao,Wo] = firpmord(2*[f1 f2],[1 0],[d1 d2]);h = firpm(N,Fo,Ao,Wo);

    ( )2110

    1103

    2 log f

    FeN

    =

    Bande de transition

    Gabarit

    Bande affaiblie

    Bande passante

    )( fH

    2

    0

    11 +

    11

    1

    1f 2f2

    Fe f

    f

    78 n

    79=N

    39

    )(nh

    0

    93,79 = N

  • 69

    Filtres Rponse Impulsionnelle Infinie (RII)

    +

    =

    =0

    )()()(k

    knxkhny

    Comme leur nom l'indique, leur rponse impulsionnelle est infinie :

    L'opration de convolution require un nombre infini de multiplication-accumulations et ne peut donc pas tre mise en uvre directement dans le processeur de traitement.

    Solution : Systmes rcursifs

    Exemple :

    )(nx

    )(ny

    Te+b

    )1()()( += nybnxny

    )()( nnx = { }LL nbbbbnhny 321)()(

    ==

    Vrifier qu'il s'agit bien d'un SLIT

  • 70

    quations aux diffrences

    =

    =

    =1

    0

    1

    0

    )()()()(N

    k

    M

    k

    knxkaknykb

    Plus gnralement, un Systme Linaire Invariant dans le Temps Discret peut tre dfini par son quation aux diffrences :

    Il s'agit bien d'un systme linaire car :

    =

    =

    =1

    01

    1

    01 )()()()(

    N

    k

    M

    k

    knxkaknykb

    =

    =

    =1

    02

    1

    02 )()()()(

    N

    k

    M

    k

    knxkaknykb

    Alors : ( ) ( )

    =

    =

    +=+1

    021

    1

    021 )()()()()()(

    N

    k

    M

    k

    knxknxkaknyknykb

    Si :

    Et si :

  • 71

    Filtre rcursif

    {44 344 2144 344 21

    rcursivepartie

    M

    k

    transversepartie

    N

    k

    knykbknxkanyb

    =

    =

    =1

    1

    ""

    1

    01

    )()()()()()0(

    Sous certaines conditions, il est possible de calculer rcursivement le signal de sortie :

    Remarque : On peut faire en sorte que 1)0( =b

    )(nx

    )(ny

    Conditions : Il faut que les soient tels que le systme soit stable.

    )(kb

    +

    )(ka )(kbTe Te Te TeL Te

    +

    )1(a

    +

    )2(a

    +

    )3(a

    + +

    )1( Na)0(a L

    L

    Te Te Te TeL Te

    + +

    )3(b

    +

    )2(b)1( Mb L

    L+

    )1(b

  • 72

    Rponse Impulsionnelle Infinie

    44 344 2144 344 21rcursivepartie

    M

    k

    transversepartie

    N

    k

    knhkbknkanh

    =

    =

    =1

    1

    ""

    1

    0

    )()()()()(

    )(n

    )(nh

    +

    )(ka )(kbTe Te Te TeL Te

    +

    )1(a

    +

    )2(a

    +

    )3(a

    + +

    )1( Na)0(a L

    L

    Te Te Te TeL Te

    + +

    )3(b

    +

    )2(b)1( Mb L

    L+

    )1(b

    { ( ) }L)0()1()1()1()0()2()2()0()1()1()0()( abababaabaanh ++++=

    0 20 40 60 80 100-20

    -10

    0

    10

    20

    0 20 40 60 80 100-1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    Systme stable : Systme instable

    est difficile dterminer de cette manire !

    )(nh

  • 73

    En effet, si alors :

    Rponse en frquence et fonction de transfert en Z

    Si la rponse impulsionnelle est divergente : alors :

    +fnTejenx 2)( =44 344 21

    43421

    )(

    0

    2

    )(

    2 )()(

    fH

    k

    fkTej

    nx

    fnTej ekheny

    =

    =

    =

    =0

    2)()(k

    fkTejekhfH

    =

    =0

    )()()(k

    knxkhny

    )( fH

    Mais il est toujours possible de calculer la rponse un signal :

    ( )43421

    nfTeje

    fnTejnn eZ

    2

    2=

    nZnx =)( {43421)(

    0)(

    )()(

    ZH

    k

    k

    nx

    n ZkhZny

    =

    =

    =

    =0

    )()(k

    kZkhZH

    est la TF de )( fH )(nh

    Et si alors, amortit et rend la srie convergente.minZ > kZ

    est la TZ de )(ZH )(nh

    rel)(kh

    >

    =0

    )(k

    kh

  • 74

    Transforme en Z

    La fonction de transfert en Z est la Transforme en Z de

    nZnx =)(

    =

    =0

    )()(k

    kZkhZH

    )(ZH )(nh

    { }L)3()2()1()0()( hhhhnh

    =

    TeZ de retard1

    { {kTe

    k

    nx

    nkn ZZZknx ==)(

    )(

    )( pnh )()'()(

    )''(0'

    )'( ZHZZkhZpkh p

    pkkpkkk

    pk

    pk

    k

    +==

    =

    +

    =

    ==

    )( pnx

    =

    =0

    )()( avec )(k

    kp ZkxZXZXZ

    Gnralisation :

    La transformation en Z est l'quivalent de la transformation de Laplace : pTeeZ =

  • 75

    Application

    =

    =

    =1

    0

    1

    0

    )()()()(N

    k

    M

    k

    knxkaknykb

    De mme si :

    =

    =

    ==1

    0

    1

    0

    )(

    )(

    )(

    )()(

    M

    k

    k

    N

    k

    k

    Zkb

    Zka

    ZX

    ZYZH

    =

    =0

    )()()(k

    knxkhny

    =

    =

    ==00

    )()()()()(k

    k

    k

    k ZkhZXZZXkhZY

    =

    ==0

    )()(

    )()(

    k

    kZkhZX

    ZYZH

    =

    =

    =1

    0

    1

    0

    )()()()(N

    k

    kM

    k

    k ZkaZXZkbZY

  • 76

    Pour retrouver , il suffit de remplacer par

    )()( fHZH

    fTejeZ 2

    )( fH ZfTeje 2

    =

    =

    ==0

    2

    0

    )()()()(k

    fkTej

    k

    k ekhfHZkhZH

    Mais attention, il faut que la srie converge pour 1=Z

    De mme :

    =

    =

    =

    =

    == 1

    0

    2

    1

    0

    2

    1

    0

    1

    0

    )(

    )()(

    )(

    )()(

    M

    k

    fkTej

    N

    k

    fkTej

    M

    k

    k

    N

    k

    k

    ekb

    ekafH

    Zkb

    ZkaZH

    Remarque : )()( mais )()( 2 fTejeZHfHZfHfH ===

  • 77

    Factorisation

    =

    =

    =1

    0

    1

    0

    )(

    )(

    )(M

    k

    k

    N

    k

    k

    Zkb

    Zka

    ZH

    La fonction de transfert apparat comme une fraction polynomiale et peut-tre factorise :

    ( )

    ( )

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    ( )

    ( )

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    =

    == 1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    1

    0

    11

    1

    0

    11

    1)0(

    1)0(

    )0(

    )0(

    )(

    )()( M

    kk

    N

    kk

    M

    kk

    M

    N

    kk

    N

    M

    k

    kMM

    N

    k

    kNN

    ZPb

    ZZa

    PZbZ

    ZZaZ

    ZkbZ

    ZkaZZH

    )(ZH

    Les racines du numrateur sont appeles zros.kZ

    Les racines du dnominateur sont appeles ples.kP

  • 78

    Cascade

    Toutes les cellules rcursives doivent tre stables !

    ( ) =

    =

    =

    M

    k k

    N

    kk

    ZPZZaZH

    11

    1

    1

    1

    11)0()(

    )(ZX

    : Toujours stable

    )1()()()(

    )(

    1

    11

    +==

    nyPnxnyZX

    ZY

    ZPk

    k: Cellule rcursive

    du premier ordre

    111

    ZZ 121 ZZ 11 ZZ NL

    )(ZY111

    1 ZP 121

    1 ZP 11

    1 ZPM

    L

    )1()()()(

    )(1 1 == nxZnxny

    ZX

    ZYZZ kk

  • 79

    Cellule rcursive du 1er Ordre

    Si alors crot exponentiellement divergence

    )(nx

    )(ny

    Te+b

    1>b

    { }LL nbbbbnh 321)(

    =

    { )1()()( += nybnxnykP

    )(nh

    Si alors mmoire infinie1=b 1)( =nh

    Si alors dcrot exponentiellement satisfaisant1

  • 80

    Interprtation Gomtrique

    ( ) ( )

    ( ) ( )

    =

    =

    =

    M

    k

    kM

    N

    kk

    N

    PZZ

    ZZZ

    aZH

    1

    1

    1

    1

    )0()(

    ( )

    ( )

    =

    =

    ===

    M

    kk

    fTejTeNfj

    N

    kk

    fTejTeNfj

    fTej

    Pee

    Zee

    aeZHfH

    1

    2)1(2

    1

    2)1(2

    2 )0()()(

    =

    =

    =

    ==

    =M

    kk

    N

    k

    k

    M

    kdp

    kfTej

    N

    kdz

    kfTej

    fdp

    fdz

    a

    Pe

    Ze

    afH

    k

    k

    1

    1

    1

    2

    1

    2

    )(

    )(

    )0()0()(

    43421

    4434421

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

    0.5

    1

    1.5|H(f)|

    0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

    0

    2phase

    Phase non-linaire

    Rponse en frquence priodique

    Re

    Im

    0=f

    1

    j

    1

    j

    4Fef =

    43Fef =

    2Fef =

    1Z

    1Z

    1P

    1P

    )( fdz

    )( fdp

    fTeje 2

  • 81

    Synthse

    La synthse des filtres RII est base comme en analogique sur les fonctions modles : Butterworth , Tchebycheff, Cauer (Elliptique)

    Influence des ples

    Influence des zros

    (Source : Wikipdia)

  • 82

    Exemple sous Matlab (TP)

    [N, Wn] = ellipord(0.4, 0.6, 0.09, 60); N = 6 Wn = 0.4

    [B,A] = ellip(N,0.09,60,Wn);

    B = 0.0207 0.0585 0.1060 0.1255 0.1060 0.0585 0.0207

    A = 1.0000 -1.9673 2.9074 -2.5353 1.5771 -0.5972 0.1163

    0 0.5 10

    0.5

    1

    1.5|H(f)|

    0 0.5 1-100

    -50

    0

    50|H(f)| (dB)

    0 0.5 10

    5

    10

    15

    20Groupe delay

    0 0.5 1-200

    -100

    0

    100

    200Phase ()

  • 83

    Filtres particuliers

    Cellule du 1er ordre purement rcursive (filtrage passe bas)

    Cellule de second ordre purement rcursive (rsonnance)

    Cellule de second ordre gnrale (filtre rjecteur, dphaseur pur)

    Oscillateur (gnrateur sinusodal)

  • 84

    Cellule du premier ordre purement rcursive

    )(nx

    )1()()( += nybnxny

    Te+b

    { }LL nbbbbnh 321)(

    =

    11

    1)(

    =bZ

    ZH

    fTejbefH 21

    1)(

    =)2cos(21

    1)(

    2 fTebbfH

    +=

    =

    )2cos(1

    )2sin()(

    fTeb

    fTebArctgf

    2

    0

    0

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    2Fe

    )( f

    )( fH

    2+

    b11

    b+11

    0=f

    1

    j

    1

    j

    2Fef =

    fTejeZ 2=0>b 0=f

    1

    j

    1

    j

    2Fef =

    fTejeZ 2=0

  • 85

    Filtre passe-bas du 1er Ordre

    )(nx

    )1()()1()( += nybnxbny

    Te+b

    11

    1)(

    =bZ

    bZH

    0=f

    1

    j

    1

    j

    2Fef =

    fTejeZ 2=

    0

    )( fH

    bb

    +

    11

    b1

    2Fe

    2Fe

    1

    5.0

    9.0

    99.0

    ( ) ( ) 110 ==== ZHfH

    =

    =

    ==n

    i

    in

    i

    i bixbinxbbny )()1()()1()(0

    0

    0

    n

    n

    inb

    )(nx

    )(ny

    1)1(0

    =

    =i

    ibb

    npondratio

  • 86

    Mise en uvre en virgule fixe

    )(nx

    )1()()1()( += nybnxbny

    Te+bb1

    ))()1(()1()1()()(

    44 344 21321ne

    nxnybnyny =

    PP nenynyb

    ==

    2)()1()( alors 21

    1 si

    Dcalage de P bits

    Mise en uvre en virgule fixe sur N>P bits

    Algorithme LMS

  • 87

    Cellule de second ordre purement rcursive

    )(nx Te+1P

    )(1

    1

    1

    1

    )(

    12

    )(

    11

    21

    ZHZPZP

    ZHZH

    =

    4342143421

    Constitue de 2 cellules du premier ordre en cascade :

    Te+2P

    )(ny

    {2

    221

    121

    1

    )(1

    1)( ++

    =ZPPZPP

    ZH

    bb43421

    )2()1()()()(

    )(

    1

    1)( 212

    21

    1

    ==++

    = nybnybnxnyZXZY

    ZbZbZH

    Stabilit : et 11

  • 88

    Cellule de second ordre coefficients rels

    )(nx

    2b

    22

    111

    1)( ++

    =ZbZb

    ZH

    )2()1()()( 21 = nybnybnxny

    Te Te

    1b

    Lorsque le filtre est coefficients rels ( et rels), les ples et sont soit rels soit complexes conjugus

    1b 2b 1P 2P

    ( )212222111 bZbZZZbZb ++=++ 221 4bb =

    =

    +=

    2

    201

    2

    11

    bP

    bP

    ==

    +==

  • 89

    Rponse en frquence

    )(nx Te+1P

    11

    11

    1)(

    =ZP

    ZH

    Te+2P

    )(ny

    fTejfTej ebebfH

    ZbZbZH 4

    22

    12

    21

    1 1

    1)(

    1

    1)( ++

    =++

    =

    12

    21

    1)(

    =ZP

    ZH1

    j

    1

    j

    fTejeZ 2=1P

    1

    j

    1

    j

    fTejeZ 2=

    2P

    02

    Fe2

    Fe

    )( fH

    mH

    0f+0f

    02

    Fe2

    Fe

    )(2 fHr1

    1

    r+11

    Tefj perP2

    2=

    pf02

    Fe2

    Fe

    )(1 fH

    r11

    r+11

    Tefj perP 21+=

    pf+

    1

    j

    1

    j

    fTejeZ 2=

    2P

    1P

    r

    pff 0

  • 90

    Rponse en frquence

    fTejfTej ebebfH 4

    22

    11

    1)( ++

    =

    1

    j

    1

    j

    fTejeZ 2=

    2P

    1P

    ( ) ( ) ( )fTebfTebbbbfH

    4cos22cos1211

    )(221

    22

    21

    2

    +++++=

    ( ) ( )( ) ( )

    +++=

    fTebfTeb

    fTebfTebArctgf

    4cos2cos1

    4sin2sin)(

    21

    21

    2Fe

    2Fe

    )( fH

    mH

    0f+0f

    0f+

    0f2

    Fe2

    Fe

    2+

    2

    )( f

    rsonance

  • 91

    Rsonance

    1

    j

    1

    j

    fTejeZ 2=

    2P

    1P

    ( ) ( ) ( )fTebfTebbbbfH

    4cos22cos1211

    )(221

    22

    21

    2

    +++++=

    2Fe

    2Fe

    )( fH

    mH

    0f+0f

    ( ) ( ) ( ) 04sin422sin2120)( 2212

    =++= fTeTebfTeTebbdf

    fHd aaa cossin22sin =

    ( ) ( )[ ] ( ) 02sin2cos41 221 =++ fTefTebbb ( ) 202sin FekfpourfTe ==

    ( ) ( ) sifTebbb 02cos41 221 =++ Condition de rsonance

    Si c'est le cas : ( ) ( )2

    210 4

    12cos

    b

    bbTef

    +=

    ( )1

    4

    1

    2

    21 +b

    bb

    1cos22cos 2 = aa

    Hb

    b

    b bm =

    1

    1

    4

    42

    2

    2 12

    0

  • 92

    Rponse impulsionnelle

    )(n Te+1P

    )()()( 21 nhnhnh =

    Te+2P

    )(nh)(1 nh

    =

    =

    ====

    n

    i

    iinn

    i

    ini

    i

    PPPPPinhihnh0

    2120

    2121 )()()(

    )(21 nhPPnn =

    ( )

    2

    )1(2)1(

    0

    221 1

    1)(

    j

    nj

    j

    njn

    n

    i

    ijjnnjj

    e

    e

    e

    ereernherPeterPsi

    ====

    +

    +

    =

    =

    ++

    jj

    njnjn

    ee

    eernh

    )1()1()(

    sin

    )1sin()(

    += nrnh n)(nh

    n0

  • 93

    Dcomposition en lments simples

    +===

    +

    sin2

    )1sin(2)(

    1

    21 jr

    njrnherPeterPsi

    njj

    sin

    )1sin()(

    += nrnh n

    ( )( ) ( ) ( )

    +

    =

    =

    ++=

    ++=

    2

    2

    1

    12

    21

    2

    212

    22

    21

    1

    11

    1

    1)(

    PZ

    A

    PZ

    AZ

    PZPZZ

    bZbZZ

    ZbZbZH

    ( )21

    1111

    : vient il ; faisonset par sMultiplionPP

    APZPZ

    ==

    ( )12

    2221

    : vient il ; faisonset par sMultiplionPP

    APZPZ

    ==

    =

    = 1

    21

    1212121

    2

    1

    1

    1

    111)(

    ZPZPPP

    Z

    PZPZPP

    ZZH

    [ ]21

    12

    11

    2121

    )1()1(1

    )(PP

    PPnhnh

    PPnh

    nn

    =++

    =

    ++

    2112

    1

    PPAA

    ==

    )(nx + )(ny)1(1 +nh

    21

    1

    PP )1(2 +nh

    )(nh

    n0

  • 94

    1P

    2P

    Cellule de second ordre gnrale

    22

    11

    22

    110

    1)(

    ++++

    =ZbZb

    ZaZaaZH

    )2()1(

    )2()1()()(

    21

    210

    ++=

    nybnyb

    nxanxanxany

    )(nx

    2b

    Te Te

    1b

    TeTe

    0a 1a 2a

    2Fe

    2Fe

    )( fH

    0

    Im

    Re

    2Z

    1Z

    2Fe

    2Fe 0

    )( fN

    )( fD

  • 95

    Cas particuliers : filtre rjecteur

    Re

    Im

    1

    j

    1

    j*1Z

    1Z

    1P

    *1P

    fTeje 2

    Fer

    B 1*

    122

    1

    *12

    21

    0

    0

    PPetreP

    ZZeteZTefj

    Tefj

    ====

    2

    Fe2

    Fe+

    )( fH

    1

    00f+0f

    Tef02

    2

    Fe2

    Fe+

    )( fH

    1

    00f+0f

  • 96

    Cas particuliers : dphaseur pur

    ++

    ++=

    22

    11

    2112

    1)(

    ZbZb

    ZZbbZH

    2

    Fe

    Tef02

    2

    Fe+0

    0f+0f

    )( f

    1)( =fH

  • 97

    Mise en uvre des filtres numriques en prcision finie

    1) La quantification des coefficients des filtres conduit une modification de leur rponse en frquence.

    2) Les erreurs d'arrondi lors de l'opration de filtrage (calculs) conduisent une dgradation du rapport signal bruit.

  • 98

    Il faut donc que q soit aussi petit que possible :

    grand

    A petit structure cascade

    Quantification des coefficients

    =

    =

    ==1

    0

    2

    1

    0

    2

    )(

    )(

    )(

    )()(

    M

    k

    fkTej

    N

    k

    fkTej

    ekb

    eka

    fD

    fNfH

    2

    )()()()(q

    kakakaka +

    2)()()()(

    qkbkbkbkb +

    2)()()(

    2)()()(

    1

    0

    2

    1

    0

    2

    qMfeekbfe

    qNfeekafe

    D

    M

    k

    fkTejD

    N

    N

    k

    fkTejN

  • 99

    Les et sont des polynmes coefficients rels du premier ou du second ordre dont les coefficients sont dynamique limite :

    Structure cascade

    ===

    =

    =

    ii

    ii

    M

    k

    k

    N

    k

    k

    ZD

    ZN

    ZD

    ZN

    Zkb

    Zka

    ZH)(

    )(

    )(

    )(

    )(

    )(

    )(1

    0

    1

    0

    )(ZNi )(ZDi

    ( ){ {

    21)( 221

    Re21

    2

  • 100

    Pour que la dgradation de la rponse en frquence reste de l'ordre de ses ondulations initiales; il faut que :

    Filtre elliptique

    22

    11

    211

    01

    0

    1

    0

    1

    1

    )(

    )(

    )(

    =

    =

    ++++==

    ZbZb

    ZZaa

    Zkb

    Zka

    ZHii

    i

    i

    iN

    k

    k

    N

    k

    k

    ( )

    +

    +

    Feff

    Febc 12sin

    122

    12 loglog1

    1log

    c

    c

    bb

    Aq == 22

    2

    2

    Source : Traitement numrique du signal - Maurice Bellanger Dunod

    Remarque : La formule n'est qu'indicative dcider du nombre de bits adopter aprs avoir calcul rellement la rponse en frquence dgrade (Matlab ou autre).

  • 101

    Supposons que les donnes soient codes en interne sur bits. Lors du produit par les coefficients du filtre cods sur bits, on obtient des rsultats sur bits qu'il convient de ramener sur bits erreur d'arrondi.

    Bruit de calcul

    ibcb

    ci bb + ib

    x x x xs x x x xs

    s x x xs

    bitsib bitscb

    bitsci bb +

    x x x xs

    bitsib

    x x x x

    arrondid'erreur

    L'erreur d'arrondi au sein d'une cellule lmentaire peut tre vue comme l'ajout d'un bruit (bruit de calcul).

  • 102

    Bruit de calcul

    Structure D-N

    +

    1bTe

    Te2b

    +1a

    2a

    +

    +

    )(nx )(ny

    )(nes)(ne

    Erreur d'arrondi sur N(Z)

    Erreur d'arrondi sur D(Z)

    Remarque : L'erreur d'arrondi subit la fonction de filtrage.

    Et dans une structure cascade, les erreurs d'arrondi et subissent les fonctions de filtrage des cellules suivantes. Ces considrations conduisent des rgles d'implmentation.

    )(ne

    )(ne )(nes

  • 103

    Rgles

    1) La dynamique du signal doit rester limite au cours des calculs ce qui conduit constituer les cellules en associant les ples les plus proches du cercle unit (les plus rsonnants) aux zros qui leurs sont le plus proches.

    2) Les cellules sont d'autant plus "bruyantes" qu'elles sont raisonnantes. Elles doivent donc tre disposes de la plus raisonnante la moins raisonnante pour tirer profit du filtrage des erreurs d'arrondi.

    3) Des facteurs d'chelles doivent tre appliqus entre les cellules pour que les signaux occupent au maximum la dynamique permise.

    Appairage des ples et zros

  • 104

    Structure cascade

    00a

    +)(nx

    )(0 ne

    )(

    1

    1 fD)(1 fN

    10a

    +

    )(1 ne

    +

    )(1 neK

    )(

    1

    fDK)( fNK

    Ka0+

    )(neK

    )(ny

    101

    += km

    k

    Ha

    dBen bruit signalrapport du n dgradatio:

    entred' signaldu bits de Nb:

    SB

    x(n)bd

    Remarque : La formule n'est qu'indicative dcider du nombre de bits adopter en ralisant une simulation d'implmentation en prcision finie (Matlab ou autre).

    ( ) ( )

    ++

    Feff

    FeSBdi bb 12sin

    12

    12 loglog2

    1