Signal
électrique
Traitement du signal
• Télécommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, …)• Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation écho, Analyse, Synthèse, …)• Médical (Échographie, Imagerie, Biosignaux, …)• Radar, géophysique, Acoustique (sous-marine)• …
Grandeur
physique
Milieu de
transmissionCapteur
Bruit
Traitement du
signal
Information
Signaux et systèmes
Les signaux :- Déterministes
- Impulsionnels
- Périodiques
- Aléatoires : bruits (bruit blanc), données, information, …
Les systèmes :– Linéaires Invariant dans le Temps (SLIT) : canaux de transmission,
composants électroniques passifs (R,L,C), filtres analogiques et numériques, …
� régis par l'opération de convolution� ayant les signaux sinusoïdaux comme fonctions propres
� Fonction de transfert et analyse de Fourrier
– Non linéaires ou non stationnaires : non linéarités (saturation),
Traitement Numérique du Signal
Numérisation : double discrétisation�Discrétisation temporelle : Echantillonnage�Discrétisation numérique : Quantification
Plan du coursIntroduction
Rappels� Systèmes linéaires invariants dans le temps� Analyse de Fourier
Echantillonnage� Théorème de l'échantillonnage� Bruit de quantification
Transformée de Fourier Discrète (TFD)� Transformée de Fourier Discrète Rapide : FFT (Fast Fourier Transform)
Filtrage numérique� Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)� Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)� Transformée en Z
Plan du cours
Introduction � Classification des signaux et des systèmes� Chaîne de traitement du signal numérique
Rappels� Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps (SLIT) - Convolution - Fonctions propres� Analyse de Fourier – Série de Fourier – Transformée de Fourier - Parseval
Echantillonnage� Spectre d'un signal échantillonné - Transformée de Fourier d'un signal échantillonné� Théorème de l'échantillonnage� Reconstruction – Interpolation - Suréchantillonnage.� Bruit de quantification - Facteur de crête
Transformée de Fourier Discrète (TFD)� Périodisation temporelle � Echantillonnage fréquentiel - Fenêtrage� Transformée de Fourier Discrète Rapide : FFT (Fast Fourier Transform) - Fonctions Matlab� Filtrage dans le domaine fréquentiel, filtrage 2D� OFDM (évocation)
Filtres numériques� SLIT à temps discret – Réponse impulsionnelle - Convolution discrète – Réponse en fréquence – Fonction filtrage� Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) - Filtre à phase linéaire (retard) – Filtre de Hilbert – Phase minimale� Synthèse par la méthode directe – Phénomène de Gibbs – Fenêtrage - Synthèse par TFD – Fonctions Matlab� Filtre RIF à ondulations réparties – Nb de coefficients - Algorithme de Remez (évocation) – Fonctions Matlab� Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII) – Equations aux différences – Réponse impulsionnelle � Stabilité� Transformée en Z – Factorisation - Stabilité de la cellule récursive du premier ordre – Stabilité d'un filtre RII� Pôles et Zéros - Interprétation géométrique� Synthèse – Fonctions modèles – Transformée bilinéaire - Filtres Elliptiques – Gabarit – Ordre� Étude de la cellule du premier ordre – Application à l'estimation – Mise en œuvre en virgule fixe� Étude de la cellule du second ordre – Résonance – Réponse impulsionnelle - Décomposition en éléments simples� Cellule du second ordre générale - Filtre réjecteur – Déphaseur pur� Mise en œuvre en virgule fixe – Structure cascade – Quantification des coefficients – Bruit de calcul - Nb de bits – Règles
Applications� Filtrage multicadence – Bancs de filtres – Transformation IQ
Références
Les livres :• Traitement numérique du signal, Maurice BELLANGER (Dunod) ;• Méthodes et techniques de traitement du signal, J.MAX (Masson) ;• Traitement numérique des signaux, M.KUNT (Dunod) ;• Digital signal processing, J. G. Proakis, D. G. Manolakis, (Prentice Hall)
Sur Internet :• Wikipédia : site en pleine progression• Luc Vandendorpe : http://www.tele.ucl.ac.be/EDU/ELEC2900/tout_2900b.pdf• Joël Le Roux : http://users.polytech.unice.fr/~leroux/
Exercices, Devoirs surveillés et documents de cours :• http://luc.fety.free.fr• http://luc.fety.free.fr/ELE102• http://luc.fety.free.fr/ftp/
Systèmes linéaires invariants dans le temps
Linéarité :
Invariance temporelle :
Exemples : canaux de transmission, systèmes optiques, filtrage, …
)(tx SLIT )(ty
)(1 tx )(1 ty
)(2 tx )(2 ty
)()( 2211 txtx αα + )()( 2211 tyty αα +
)(tx )(ty
)( τ−tx )( τ−ty
Principede
superposition
Stationnarité
Convolution
Réponse impulsionnelle :
Un signal quelconque peut être exprimé comme une somme d'impulsions :
En vertu de la linéarité et de l'invariance temporelle :
Cette opération s'appelle le produit de convolution :
)(tδ SLIT )(th
ττδτ dtxtx )()()( −= ∫+∞
∞−
τττ dthxty )()()( −= ∫+∞
∞−
)()()( thtxty ∗=
Propriétés du produit de convolution
Le produit de convolution est– commutatif :
– associatif :
– distributif :
L'élément neutre est l'impulsion de Dirac :
La convolution par opère une translation de :
Évaluation graphique :
(Wikipedia)
)()()()( xfxgxgxf ∗=∗)())()(())()(()( xhxgxfxhxgxf ∗∗=∗∗
)()()()())()(()( xhxfxgxfxhxgxf ∗+∗=+∗
)()()()()( xfduuxfuxxf =−=∗ ∫+∞
∞−δδ
)()()()()( axfduuxfauaxxf −=−−=−∗ ∫+∞
∞−δδ
)( ax −δ a
duuxgufxgxf )()()()( −∗=∗ ∫+∞
∞−
Fonctions propres
Fonctions telles que
�
Proposition : �
)()()( txdtxh ⋅=−∫+∞
∞−λτττ
)(tx )()()( txthtx ⋅=∗ λ
atetx =)( )()( )( txeeeetx aatata ⋅=⋅==− −−− ττττ
44 344 21
λ
ττ ττττ dehedeh aatta −+∞
∞−
−+∞
∞− ∫∫ ⋅= )()( )(
Exprimer le signal d'entrée comme une somme de fonctions propres :
ou
Pour déterminer plus facilement le signal de sortie :
ou
est appelée " Transformée de ". est appelée " Fonction de Transfert ".
Base de fonctions propres
∑ ⋅=a
ateaXtx )()( ∫ ⋅=a
atdaeaXtx )()(
∑ ⋅⋅=a
at
aY
eaXaty43421
)(
)()()( λ ∫ ⋅⋅=a
at
aY
daeaXaty43421
)(
)()()( λ
)(tx )(tySLIT
)(aX )(tx
)(aλ )()()( aXaaY ⋅= λ
Différentes transformées :
• Laplace :
• Fourier :
• En Z dans le cas des signaux échantillonnés, …
ωα jpa +== ∫ ⋅=p
ptdpepXtx )()(
fja π2= ∫+∞
∞−⋅= dfefXtx ftπ2)()(
Exemple de décomposition
tftx 02cos)( π= ?)( =tySLIT
tfjtfj eetx 00 22
2
1
2
1)( ππ −+=
SLIT
SLIT
+
tfje 022
1 π
tfje 022
1 π−
tfjfH e 02
21
)0(π
⋅
tfjfH e 02
21
)0(π−
⋅−
))0(02cos()0()( ftffHty ϕπ +=
*)0()0( fHfHsi =−
Exemple de SLIT
)(tx +τ
)()()( τ−+= txtxty
)1()(
22)(222
0
0000043421
fH
fjtfjtfjtfjtfj eeeee τππτπππ −− +=+→
)1()(
22)(222
0
0000043421
fH
fjtfjtfjtfjtfj eeeee−
+−−−−− +=+→ τππτπππ
tfjefHtfjefHtytfjetfjetftx 00
00
000
2)(212)(
21)(2
212
212cos)( πππππ −⋅−+⋅=→−+==
τπτπτπτπτπτπτπ 000
00
0000 cos2)(cos2)()( fj
effHetfj
effj
efj
efj
efH+⋅=−−⋅=−⋅−++=
)2cos(cos2)2(21)2(
21cos2)( 000
00000 τππτπτππτππτπ ftffftfjeftfjefty −⋅=
+−⋅+−⋅=
Ce qu'il faut retenir
Les traitements des signaux sont le plus souvent des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps .
Ils sont régis par le produit de convolution :
est la réponse impulsionnelle du système. Elle caractérise entièrement le système.
Les transformées de Laplace et de Fourier sont très utilisées pour l'étude des SLIT car elles sontbasées sur des fonctions propres des SLIT de la forme .
Elles transforment le produit de convolution en produit simple.
)(tx )(tySLIT
τττ dthxthtxty )()()()()( −=∗= ∫+∞
∞−
)(th
ate
Traitement Numérique du Signal
Le traitement numérique des signaux requiert leur numérisation :
1) Les calculateurs sont des systèmes discrets : Ils peuvent tout au plus mémoriser et calculer les valeurs des signaux à des instants dénombrables. � Il faut donc opérer une discrétisation temporelle :
L'Echantillonnage
2) Les mémoires disponibles dans les calculateurs sont elles-mêmes constituées d'un nombre fini de bits : Elles peuvent tout au plus mémoriser des valeurs arrondies des échantillons des signaux. � il s'agit d'une discrétisation numérique :
La Quantification
L'Echantillonnage
L'échantillonnage d'un signal consiste à mesurer et ne conserver que ses valeurs à des instantsparticuliers :
Le signal obtenu est un signal discret :
est l'indice (ou indexe) des échantillons.
est le symbole de Kronecker :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
{ }LL 9.06.06.09.009.0)()( −−−==↑
nTexnx A
)(nx
)(txA
∑+∞
−∞=
−⋅=i
niixnx )()()( δ
)(nδ
=≠
=01
00)(
nsi
nsinδ
Nn∈
TeefTe
=1
: Période d'échantillonnageTe
: Fréquence d'échantillonnageef
Reconstruction
Problème : Plusieurs signaux présentent les mêmes échantillons :
Il faut certainement compléter l'information contenue dans les échantillons pardes hypothèses supplémentaires.
Solution retenue : Hypothèses dans le domaine spectral
� Le théorème d'échantillonnage
τττ dthxthtxty )()()()()( −=∗= ∫+∞
∞−
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
Spectre d'un signal échantillonné
Considérons l'expression analogique du signal numérique :
Peut-on exprimer comme une somme de sinusoïdes ?
ou peut-être
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1 )(txA
)(txN
)(txN
)(txN
∑=f
ftjfN eatx π2)( ∫=
f
ftjfN dfeatx π2)(
Spectre d'un signal échantillonné
Les signaux présentent tous les mêmes échantillons :tkftxtx eAk π2cos)()( ⋅=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
tfeπ2cos
tftx eA π2cos)( ⋅
tfeπ4cos
tftx eA π4cos)( ⋅
)(txA
)(txA
Spectre d'un signal échantillonné
Si nous faisons la somme de ces signaux : ∑= + −
⋅+K
k ee
eAA
tekfjtekfj
tkftxtx1 22
2cos2)()(43421
ππ
π
1=K
2=K
3=K
4=K
5=K
)(txA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-101
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-202
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10
010
Nous obtenons un signal constitué d'impulsions approchant .)(txN
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Spectre d'un signal échantillonné100=K
8.8 8.9 9 9.1 9.2
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
10001000=K
⋅+⋅= ∑
∞
=1
2cos2)()()(k
eAAN tkftxtxfetx π
∑∞
−∞=
−⋅=n
AN nTetnTextx )()()( δ
)(ˆ txN
)()(ˆ2
2
nTexdttx A
nTe
nTeN
Te
Te≈⋅∫
+
−
∑∞
−∞=
⋅⋅=k
tkfjAN
eetxfetx π2)()(
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 9.4
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Vérification du facteur 1=fe
10=fe
ef
0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
1=Te
1.0=Te
Modulation � Périodisation
∑+∞
−∞=
−⋅=k
eAN kffXfefX )()(
∑∞
−∞=
⋅⋅=k
tkfjAN
eetxfetx π2)()(
)( fX A
f0
)( fXN
f0efef ef2ef2−
∫+∞
∞−= dfefXtx ftj
AAπ2)()(
∑ ∫∞
−∞=∫ −
+∞
∞−
+
∞+∞−
⋅=k
dfekffX
tkffjAN
ftjeA
e dfefXfetx4444 34444 21
π
π
2)(
)(2)()(
)( eA ffX − )2( eA ffX −)( eA ffX +)2( eA ffX +
Transformée de Fourier de
∑∞
−∞=
−⋅=n
AN nTetnTextx )()()( δ
∑∞
−∞=
−⋅=n
fnTejAN enTexfX π2)()(
)(txN
∫+∞
∞−
−= dtetxfX ftjNN
π2)()(
∫ ∑∞+
∞−
−+∞
−∞=
−⋅= dtenTetnTexfX ftj
nAN
πδ 2)()()(
or
∑ ∫+∞
−∞=
+∞
∞−
−−⋅=n
ftjAN dtenTetnTexfX πδ 2)()()(
Reconstruction
)()()( fHfXfX NA ⋅=
)( fH
f0
)( fXN
f0efef ef2ef2−
)( eAe ffXf +⋅ )( fXf Ae ⋅)2( eAe ffXf +⋅ )( eAe ffXf −⋅ )2( eAe ffXf −⋅
)( fX A
f0
2ef
2ef−
ef1
∫+
−⋅= 2
2
21 )()(ef
efedfefXtx ftj
NfAπ
Formule de Shannon (reconstruction)
∫+
−⋅= 2
2
21 )()(ef
efedfefXtx ftj
NfAπ
∑+∞
−∞=
−=n
fnTejAN enTexfX π2)()(
∫ ∑+
−
+∞
−∞=
− ⋅
= 2
2
221 )()(ef
efedfeenTextx ftj
n
fnTejAfA
ππ ∑ ∫+∞
−∞=
+
−
−
=
n
nTetfjfAA
ef
efedfenTextx
2
2
)(21)()( π
∑+∞
−∞=
−−−−
−=
n
nTetjnTetjnTetjfAA
efef
eeenTextx )(2)(2
)(211 22)()( ππ
π ( )∑+∞
−∞=−
−=n
nTetjnTetfj
fAAe
enTextx
)(2)(sin(21)()( π
π
∑+∞
−∞=−
−=n
nTetfnTetf
AAe
enTextx)(
)(sin()()( ππ
or
�
�
Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon
)( fX A
f0
)( fXN
f0efef ef2ef2− 2
ef2ef−
)(ˆ fX A
f0efef ef2ef2− 2
ef2ef−
maxf
2maxeff < Au moins2 échantillons par période
Repliement de spectre
∑∞
−∞=
−⋅=n
AN nTetnTextx )()()( δ ∑∞
−∞=
⋅⋅=k
tkfjAeN
eetxftx π2)()(
∑∞
−∞=
−⋅=n
AN nTettxtx )()()( δ ∑∞
−∞=
⋅=k
tkfjeAN
eeftxtx π2)()(
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
=−k
tkfje
n
eefnTet πδ 2)(
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
− −=k
een
fnTej kfffe )(2 δπ
∑∞
−∞=
−∗=k
eeAN kffffXfX )()()( δ∑∞
−∞=
−∗=n
fnTejAN efXfX π2)()(
TF
TFTF
En définitive
∑∞
−∞=
−=k
eAeN kffXffX )()(∑∞
−∞=
−=n
fnTejAN enTexfX π2)()(
TF TF
Pour être mémorisés, les échantillons de signal doivent être codés avec un nombre fini de bits. Or, avec bits, il n'est possible de coder que états. Dès lors, les échantillons qui pouvaient prendre un nombre infini de valeurs doivent être approximés (quantifiés) au plus proche état codé (état de quantification).
Quantification
N2N
Exemple : Quantification linéaire entre et avec bits A− NA+
N
Aq
2
2=
Val
eurs
qua
ntifi
ées
Valeurs initiales
tionquantifica de états 1624 =→= NN
-1.5A -A -0.5A 0 0.5A A 1.5A-A
-0.5A
0
0.5A
A
La quantification des échantillons peut être interprétée comme l'ajout d'un bruit :
Bruit de quantification
{bruit
)()()( nenxnxq +=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-A
-0.5A
0
0.5A
Asignal analogique x(t)échantillons x(n)valeurs quantifiées xq(n)erreur e(n)
Densité de probabilité du bruit de quantification
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
signal initial x(t)
signal quantifié xq(t)
erreur de quantification e(t)
2q+
2q−
� Toutes les valeurs sont équiprobables dans cet intervalle.2q+� L’erreur de quantification est comprise entre et2
q−
En définitive, lorsque le signal varie "normalement" et que N est grand, l’erreur de quantification peut être considérée comme un phénomène aléatoire dont les échantillons sont équiprobables entre et et sont indépendants .
2q−
2q+
)(xfb
x2q− 2
q+
q1
)(nrbb
n
bP
n f
)( fPb
2Fe+2
Fe−
FePb
1)( =∫+∞
∞−dxxfb )()( nPnr bbb δ= bb PdffP
Fe
Fe=∫
+
−
2
2
)(
TF
Bruit blanc
Puissance du bruit de quantification
)(xfb
x2q− 2
q+
q1
1)( =∫+∞
∞−dxxfb
[ ] [ ] 2
2
2
2
33112122
)()(q
q
q
qxdxxdxxfxnbEP qqbb
+
−
+
−
+∞
∞−==== ∫∫ 12
2qPb =
12
2qPb =
Explications : Imaginons un phénomène dont une période vaut :
{ }41122211)( =ns
La puissance du phénomène peut être calculée de la manière suivante :
( ) ( )222222222222412314
8
141122211
8
1)(
1 ×+×+×=+++++++== ∑n
nsN
P
Soit encore : et donc :{
{
{
{
{
{2
3
22
32
2
1
1
48
12
8
31
8
4
vp
vp
vp
P ×+×+×= ∑ ×=n
kk vpP2
Dans le cas d'une variable continue : ∫+∞
∞−=
321
xP
dxxfxP )(2
Rapport Signal à Bruit
Dans le cas d'un signal sinusoïdal occupant la pleine échelle [ ]AA +− ;
( )N
Aq
A
b
x
N
A
P
P
B
S 22
22
2
12
2 22
362
2
×====
Soit encore en dB :
44 344 2143421 NdB
NB
S
02.676.1
)2log(2102
3log10 ××+
×=
NB
S
dB
02.676.1 +=
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