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Signal

électrique

Traitement du signal

• Télécommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, …)• Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation écho, Analyse, Synthèse, …)• Médical (Échographie, Imagerie, Biosignaux, …)• Radar, géophysique, Acoustique (sous-marine)• …

Grandeur

physique

Milieu de

transmissionCapteur

Bruit

Traitement du

signal

Information

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Signaux et systèmes

Les signaux :- Déterministes

- Impulsionnels

- Périodiques

- Aléatoires : bruits (bruit blanc), données, information, …

Les systèmes :– Linéaires Invariant dans le Temps (SLIT) : canaux de transmission,

composants électroniques passifs (R,L,C), filtres analogiques et numériques, …

� régis par l'opération de convolution� ayant les signaux sinusoïdaux comme fonctions propres

� Fonction de transfert et analyse de Fourrier

– Non linéaires ou non stationnaires : non linéarités (saturation),

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Traitement Numérique du Signal

Numérisation : double discrétisation�Discrétisation temporelle : Echantillonnage�Discrétisation numérique : Quantification

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Plan du coursIntroduction

Rappels� Systèmes linéaires invariants dans le temps� Analyse de Fourier

Echantillonnage� Théorème de l'échantillonnage� Bruit de quantification

Transformée de Fourier Discrète (TFD)� Transformée de Fourier Discrète Rapide : FFT (Fast Fourier Transform)

Filtrage numérique� Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)� Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)� Transformée en Z

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Plan du cours

Introduction � Classification des signaux et des systèmes� Chaîne de traitement du signal numérique

Rappels� Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps (SLIT) - Convolution - Fonctions propres� Analyse de Fourier – Série de Fourier – Transformée de Fourier - Parseval

Echantillonnage� Spectre d'un signal échantillonné - Transformée de Fourier d'un signal échantillonné� Théorème de l'échantillonnage� Reconstruction – Interpolation - Suréchantillonnage.� Bruit de quantification - Facteur de crête

Transformée de Fourier Discrète (TFD)� Périodisation temporelle � Echantillonnage fréquentiel - Fenêtrage� Transformée de Fourier Discrète Rapide : FFT (Fast Fourier Transform) - Fonctions Matlab� Filtrage dans le domaine fréquentiel, filtrage 2D� OFDM (évocation)

Filtres numériques� SLIT à temps discret – Réponse impulsionnelle - Convolution discrète – Réponse en fréquence – Fonction filtrage� Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF) - Filtre à phase linéaire (retard) – Filtre de Hilbert – Phase minimale� Synthèse par la méthode directe – Phénomène de Gibbs – Fenêtrage - Synthèse par TFD – Fonctions Matlab� Filtre RIF à ondulations réparties – Nb de coefficients - Algorithme de Remez (évocation) – Fonctions Matlab� Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII) – Equations aux différences – Réponse impulsionnelle � Stabilité� Transformée en Z – Factorisation - Stabilité de la cellule récursive du premier ordre – Stabilité d'un filtre RII� Pôles et Zéros - Interprétation géométrique� Synthèse – Fonctions modèles – Transformée bilinéaire - Filtres Elliptiques – Gabarit – Ordre� Étude de la cellule du premier ordre – Application à l'estimation – Mise en œuvre en virgule fixe� Étude de la cellule du second ordre – Résonance – Réponse impulsionnelle - Décomposition en éléments simples� Cellule du second ordre générale - Filtre réjecteur – Déphaseur pur� Mise en œuvre en virgule fixe – Structure cascade – Quantification des coefficients – Bruit de calcul - Nb de bits – Règles

Applications� Filtrage multicadence – Bancs de filtres – Transformation IQ

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Références

Les livres :• Traitement numérique du signal, Maurice BELLANGER (Dunod) ;• Méthodes et techniques de traitement du signal, J.MAX (Masson) ;• Traitement numérique des signaux, M.KUNT (Dunod) ;• Digital signal processing, J. G. Proakis, D. G. Manolakis, (Prentice Hall)

Sur Internet :• Wikipédia : site en pleine progression• Luc Vandendorpe : http://www.tele.ucl.ac.be/EDU/ELEC2900/tout_2900b.pdf• Joël Le Roux : http://users.polytech.unice.fr/~leroux/

Exercices, Devoirs surveillés et documents de cours :• http://luc.fety.free.fr• http://luc.fety.free.fr/ELE102• http://luc.fety.free.fr/ftp/

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Systèmes linéaires invariants dans le temps

Linéarité :

Invariance temporelle :

Exemples : canaux de transmission, systèmes optiques, filtrage, …

)(tx SLIT )(ty

)(1 tx )(1 ty

)(2 tx )(2 ty

)()( 2211 txtx αα + )()( 2211 tyty αα +

)(tx )(ty

)( τ−tx )( τ−ty

Principede

superposition

Stationnarité

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Convolution

Réponse impulsionnelle :

Un signal quelconque peut être exprimé comme une somme d'impulsions :

En vertu de la linéarité et de l'invariance temporelle :

Cette opération s'appelle le produit de convolution :

)(tδ SLIT )(th

ττδτ dtxtx )()()( −= ∫+∞

∞−

τττ dthxty )()()( −= ∫+∞

∞−

)()()( thtxty ∗=

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Propriétés du produit de convolution

Le produit de convolution est– commutatif :

– associatif :

– distributif :

L'élément neutre est l'impulsion de Dirac :

La convolution par opère une translation de :

Évaluation graphique :

(Wikipedia)

)()()()( xfxgxgxf ∗=∗)())()(())()(()( xhxgxfxhxgxf ∗∗=∗∗

)()()()())()(()( xhxfxgxfxhxgxf ∗+∗=+∗

)()()()()( xfduuxfuxxf =−=∗ ∫+∞

∞−δδ

)()()()()( axfduuxfauaxxf −=−−=−∗ ∫+∞

∞−δδ

)( ax −δ a

duuxgufxgxf )()()()( −∗=∗ ∫+∞

∞−

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Fonctions propres

Fonctions telles que

Proposition : �

)()()( txdtxh ⋅=−∫+∞

∞−λτττ

)(tx )()()( txthtx ⋅=∗ λ

atetx =)( )()( )( txeeeetx aatata ⋅=⋅==− −−− ττττ

44 344 21

λ

ττ ττττ dehedeh aatta −+∞

∞−

−+∞

∞− ∫∫ ⋅= )()( )(

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Exprimer le signal d'entrée comme une somme de fonctions propres :

ou

Pour déterminer plus facilement le signal de sortie :

ou

est appelée " Transformée de ". est appelée " Fonction de Transfert ".

Base de fonctions propres

∑ ⋅=a

ateaXtx )()( ∫ ⋅=a

atdaeaXtx )()(

∑ ⋅⋅=a

at

aY

eaXaty43421

)(

)()()( λ ∫ ⋅⋅=a

at

aY

daeaXaty43421

)(

)()()( λ

)(tx )(tySLIT

)(aX )(tx

)(aλ )()()( aXaaY ⋅= λ

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Différentes transformées :

• Laplace :

• Fourier :

• En Z dans le cas des signaux échantillonnés, …

ωα jpa +== ∫ ⋅=p

ptdpepXtx )()(

fja π2= ∫+∞

∞−⋅= dfefXtx ftπ2)()(

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Exemple de décomposition

tftx 02cos)( π= ?)( =tySLIT

tfjtfj eetx 00 22

2

1

2

1)( ππ −+=

SLIT

SLIT

+

tfje 022

1 π

tfje 022

1 π−

tfjfH e 02

21

)0(π

tfjfH e 02

21

)0(π−

⋅−

))0(02cos()0()( ftffHty ϕπ +=

*)0()0( fHfHsi =−

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Exemple de SLIT

)(tx +τ

)()()( τ−+= txtxty

)1()(

22)(222

0

0000043421

fH

fjtfjtfjtfjtfj eeeee τππτπππ −− +=+→

)1()(

22)(222

0

0000043421

fH

fjtfjtfjtfjtfj eeeee−

+−−−−− +=+→ τππτπππ

tfjefHtfjefHtytfjetfjetftx 00

00

000

2)(212)(

21)(2

212

212cos)( πππππ −⋅−+⋅=→−+==

τπτπτπτπτπτπτπ 000

00

0000 cos2)(cos2)()( fj

effHetfj

effj

efj

efj

efH+⋅=−−⋅=−⋅−++=

)2cos(cos2)2(21)2(

21cos2)( 000

00000 τππτπτππτππτπ ftffftfjeftfjefty −⋅=

+−⋅+−⋅=

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Ce qu'il faut retenir

Les traitements des signaux sont le plus souvent des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps .

Ils sont régis par le produit de convolution :

est la réponse impulsionnelle du système. Elle caractérise entièrement le système.

Les transformées de Laplace et de Fourier sont très utilisées pour l'étude des SLIT car elles sontbasées sur des fonctions propres des SLIT de la forme .

Elles transforment le produit de convolution en produit simple.

)(tx )(tySLIT

τττ dthxthtxty )()()()()( −=∗= ∫+∞

∞−

)(th

ate

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Traitement Numérique du Signal

Le traitement numérique des signaux requiert leur numérisation :

1) Les calculateurs sont des systèmes discrets : Ils peuvent tout au plus mémoriser et calculer les valeurs des signaux à des instants dénombrables. � Il faut donc opérer une discrétisation temporelle :

L'Echantillonnage

2) Les mémoires disponibles dans les calculateurs sont elles-mêmes constituées d'un nombre fini de bits : Elles peuvent tout au plus mémoriser des valeurs arrondies des échantillons des signaux. � il s'agit d'une discrétisation numérique :

La Quantification

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L'Echantillonnage

L'échantillonnage d'un signal consiste à mesurer et ne conserver que ses valeurs à des instantsparticuliers :

Le signal obtenu est un signal discret :

est l'indice (ou indexe) des échantillons.

est le symbole de Kronecker :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

{ }LL 9.06.06.09.009.0)()( −−−==↑

nTexnx A

)(nx

)(txA

∑+∞

−∞=

−⋅=i

niixnx )()()( δ

)(nδ

=≠

=01

00)(

nsi

nsinδ

Nn∈

TeefTe

=1

: Période d'échantillonnageTe

: Fréquence d'échantillonnageef

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Reconstruction

Problème : Plusieurs signaux présentent les mêmes échantillons :

Il faut certainement compléter l'information contenue dans les échantillons pardes hypothèses supplémentaires.

Solution retenue : Hypothèses dans le domaine spectral

� Le théorème d'échantillonnage

τττ dthxthtxty )()()()()( −=∗= ∫+∞

∞−

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

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Spectre d'un signal échantillonné

Considérons l'expression analogique du signal numérique :

Peut-on exprimer comme une somme de sinusoïdes ?

ou peut-être

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1 )(txA

)(txN

)(txN

)(txN

∑=f

ftjfN eatx π2)( ∫=

f

ftjfN dfeatx π2)(

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Spectre d'un signal échantillonné

Les signaux présentent tous les mêmes échantillons :tkftxtx eAk π2cos)()( ⋅=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

tfeπ2cos

tftx eA π2cos)( ⋅

tfeπ4cos

tftx eA π4cos)( ⋅

)(txA

)(txA

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Spectre d'un signal échantillonné

Si nous faisons la somme de ces signaux : ∑= + −

⋅+K

k ee

eAA

tekfjtekfj

tkftxtx1 22

2cos2)()(43421

ππ

π

1=K

2=K

3=K

4=K

5=K

)(txA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-101

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-202

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-505

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

010

Nous obtenons un signal constitué d'impulsions approchant .)(txN

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Spectre d'un signal échantillonné100=K

8.8 8.9 9 9.1 9.2

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

10001000=K

⋅+⋅= ∑

=1

2cos2)()()(k

eAAN tkftxtxfetx π

∑∞

−∞=

−⋅=n

AN nTetnTextx )()()( δ

)(ˆ txN

)()(ˆ2

2

nTexdttx A

nTe

nTeN

Te

Te≈⋅∫

+

∑∞

−∞=

⋅⋅=k

tkfjAN

eetxfetx π2)()(

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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 9.4

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Vérification du facteur 1=fe

10=fe

ef

0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

1=Te

1.0=Te

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Modulation � Périodisation

∑+∞

−∞=

−⋅=k

eAN kffXfefX )()(

∑∞

−∞=

⋅⋅=k

tkfjAN

eetxfetx π2)()(

)( fX A

f0

)( fXN

f0efef ef2ef2−

∫+∞

∞−= dfefXtx ftj

AAπ2)()(

∑ ∫∞

−∞=∫ −

+∞

∞−

+

∞+∞−

⋅=k

dfekffX

tkffjAN

ftjeA

e dfefXfetx4444 34444 21

π

π

2)(

)(2)()(

)( eA ffX − )2( eA ffX −)( eA ffX +)2( eA ffX +

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Transformée de Fourier de

∑∞

−∞=

−⋅=n

AN nTetnTextx )()()( δ

∑∞

−∞=

−⋅=n

fnTejAN enTexfX π2)()(

)(txN

∫+∞

∞−

−= dtetxfX ftjNN

π2)()(

∫ ∑∞+

∞−

−+∞

−∞=

−⋅= dtenTetnTexfX ftj

nAN

πδ 2)()()(

or

∑ ∫+∞

−∞=

+∞

∞−

−−⋅=n

ftjAN dtenTetnTexfX πδ 2)()()(

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Reconstruction

)()()( fHfXfX NA ⋅=

)( fH

f0

)( fXN

f0efef ef2ef2−

)( eAe ffXf +⋅ )( fXf Ae ⋅)2( eAe ffXf +⋅ )( eAe ffXf −⋅ )2( eAe ffXf −⋅

)( fX A

f0

2ef

2ef−

ef1

∫+

−⋅= 2

2

21 )()(ef

efedfefXtx ftj

NfAπ

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Formule de Shannon (reconstruction)

∫+

−⋅= 2

2

21 )()(ef

efedfefXtx ftj

NfAπ

∑+∞

−∞=

−=n

fnTejAN enTexfX π2)()(

∫ ∑+

+∞

−∞=

− ⋅

= 2

2

221 )()(ef

efedfeenTextx ftj

n

fnTejAfA

ππ ∑ ∫+∞

−∞=

+

=

n

nTetfjfAA

ef

efedfenTextx

2

2

)(21)()( π

∑+∞

−∞=

−−−−

−=

n

nTetjnTetjnTetjfAA

efef

eeenTextx )(2)(2

)(211 22)()( ππ

π ( )∑+∞

−∞=−

−=n

nTetjnTetfj

fAAe

enTextx

)(2)(sin(21)()( π

π

∑+∞

−∞=−

−=n

nTetfnTetf

AAe

enTextx)(

)(sin()()( ππ

or

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Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon

)( fX A

f0

)( fXN

f0efef ef2ef2− 2

ef2ef−

)(ˆ fX A

f0efef ef2ef2− 2

ef2ef−

maxf

2maxeff < Au moins2 échantillons par période

Repliement de spectre

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∑∞

−∞=

−⋅=n

AN nTetnTextx )()()( δ ∑∞

−∞=

⋅⋅=k

tkfjAeN

eetxftx π2)()(

∑∞

−∞=

−⋅=n

AN nTettxtx )()()( δ ∑∞

−∞=

⋅=k

tkfjeAN

eeftxtx π2)()(

∑∑∞

−∞=

−∞=

=−k

tkfje

n

eefnTet πδ 2)(

∑∑∞

−∞=

−∞=

− −=k

een

fnTej kfffe )(2 δπ

∑∞

−∞=

−∗=k

eeAN kffffXfX )()()( δ∑∞

−∞=

−∗=n

fnTejAN efXfX π2)()(

TF

TFTF

En définitive

∑∞

−∞=

−=k

eAeN kffXffX )()(∑∞

−∞=

−=n

fnTejAN enTexfX π2)()(

TF TF

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Pour être mémorisés, les échantillons de signal doivent être codés avec un nombre fini de bits. Or, avec bits, il n'est possible de coder que états. Dès lors, les échantillons qui pouvaient prendre un nombre infini de valeurs doivent être approximés (quantifiés) au plus proche état codé (état de quantification).

Quantification

N2N

Exemple : Quantification linéaire entre et avec bits A− NA+

N

Aq

2

2=

Val

eurs

qua

ntifi

ées

Valeurs initiales

tionquantifica de états 1624 =→= NN

-1.5A -A -0.5A 0 0.5A A 1.5A-A

-0.5A

0

0.5A

A

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La quantification des échantillons peut être interprétée comme l'ajout d'un bruit :

Bruit de quantification

{bruit

)()()( nenxnxq +=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-A

-0.5A

0

0.5A

Asignal analogique x(t)échantillons x(n)valeurs quantifiées xq(n)erreur e(n)

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Densité de probabilité du bruit de quantification

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

signal initial x(t)

signal quantifié xq(t)

erreur de quantification e(t)

2q+

2q−

� Toutes les valeurs sont équiprobables dans cet intervalle.2q+� L’erreur de quantification est comprise entre et2

q−

En définitive, lorsque le signal varie "normalement" et que N est grand, l’erreur de quantification peut être considérée comme un phénomène aléatoire dont les échantillons sont équiprobables entre et et sont indépendants .

2q−

2q+

)(xfb

x2q− 2

q+

q1

)(nrbb

n

bP

n f

)( fPb

2Fe+2

Fe−

FePb

1)( =∫+∞

∞−dxxfb )()( nPnr bbb δ= bb PdffP

Fe

Fe=∫

+

2

2

)(

TF

Bruit blanc

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Puissance du bruit de quantification

)(xfb

x2q− 2

q+

q1

1)( =∫+∞

∞−dxxfb

[ ] [ ] 2

2

2

2

33112122

)()(q

q

q

qxdxxdxxfxnbEP qqbb

+

+

+∞

∞−==== ∫∫ 12

2qPb =

12

2qPb =

Explications : Imaginons un phénomène dont une période vaut :

{ }41122211)( =ns

La puissance du phénomène peut être calculée de la manière suivante :

( ) ( )222222222222412314

8

141122211

8

1)(

1 ×+×+×=+++++++== ∑n

nsN

P

Soit encore : et donc :{

{

{

{

{

{2

3

22

32

2

1

1

48

12

8

31

8

4

vp

vp

vp

P ×+×+×= ∑ ×=n

kk vpP2

Dans le cas d'une variable continue : ∫+∞

∞−=

321

xP

dxxfxP )(2

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Rapport Signal à Bruit

Dans le cas d'un signal sinusoïdal occupant la pleine échelle [ ]AA +− ;

( )N

Aq

A

b

x

N

A

P

P

B

S 22

22

2

12

2 22

362

2

×====

Soit encore en dB :

44 344 2143421 NdB

NB

S

02.676.1

)2log(2102

3log10 ××+

×=

NB

S

dB

02.676.1 +=