du signal Bases de traitement - data.brains-master.com · Qu'est ce que le traitement du signal ?...

Bases de traitementdu signal

Par (Lanfeust 313)

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Licence Creative Commons 7 2.0Dernire mise jour le 15/11/2011

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Sommaire

2Sommaire ........................................................................................................................................... 1Lire aussi ............................................................................................................................................ 3 Bases de traitement du signal ............................................................................................................ 4Partie 1 : Exorde ................................................................................................................................. 5 la croise des chemins .................................................................................................................................................. 5Une journe comme les autres ................................................................................................................................................................................... 6Un signal, des signaux ? ............................................................................................................................................................................................. 6Qu'est ce qu'un signal ? .............................................................................................................................................................................................. 7Qu'est ce que le traitement du signal ? ....................................................................................................................................................................... 9Champ d'applications .................................................................................................................................................................................................. 9Traitement d'images ....................................................................................................................................................................................................

10Traitement audio ....................................................................................................................................................................................................... 11Communications ........................................................................................................................................................................................................ 12Et encore plein d'autres ! ...........................................................................................................................................................................................

12Des signaux tous les tages ........................................................................................................................................ 13En quelle dimension ? ............................................................................................................................................................................................... 13Un signal, un signal, un signal,... .............................................................................................................................................................................. 18La nature des signaux ............................................................................................................................................................................................... 21Energie et puissance d'un signal ............................................................................................................................................................................... 23Rsum .....................................................................................................................................................................................................................

24Le bruit, une notion relative ............................................................................................................................................. 24Le mme pour tout le monde ? ................................................................................................................................................................................. 26Qui est le plus fort ? .................................................................................................................................................................................................. 27chelle linaire .......................................................................................................................................................................................................... 27chelle logarithmique ................................................................................................................................................................................................

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Bases de traitement du signal

Par Lanfeust 313

Mise jour : 15/11/2011Difficult : Intermdiaire

Traitement du signal. Sous ce nom barbare se cache une discipline la frontire entre mathmatiques, lectronique etinformatique. Conditionnement, comprhension et analyse du monde qui nous entoure seront les maitres mots de cours qui vousemmnera dans les secrets du signal processing (Oui, je parle anglais)

Quels sont les objectifs ?

Le traitement du signal est une discipline qui est mconnue car elle se fond l'intersection de plusieurs domaines scientifiques.Les premiers dveloppements trouvent leurs origines dans l'lectronique et l'automatique. Dans les annes 1960, l'arrive desordinateurs et le dbut de la numrisation des signaux font basculer la discipline dans l'informatique moderne.

Mais avant tout, le traitement du signal tire ces outils de plusieurs domaines des mathmatiques, dont les rsultats ont tformuls un sicle avant ! On peut ainsi voquer les espaces vectoriels, l'algbre linaire, les probabilits, les statistiques, lesdistributions, l'optimisation,... En 1949, Shannon et son livre 'A Mathematical Theory of Communications' thorisent le conceptd'information trs utile en traitement du signal. Si ces disciplines n'voquent rien ou un bien trop lointain souvenir pour vous,nous sommes l pour les (re)dcouvrir.

Ce cours a pour objectif de vous faire dcouvrir les bases de la thorie du signal qui a pour but principal la descriptionmathematique des signaux. Ce travail nous permettra de mettre en valeur les diffrentes caractristiques et proprits dessignaux. Tout a nous sera utile pour dvelopper les principaux outils de traitement du signal qui seront utiliss dans plein dedomaines techniques et scientifiques. Attention cependant, ce cours n'est pas pas orient informatique ou lectronique. Tous lesoutils de traitement du signal ont des influences concrtes sur ces domaines, mais nous ne discuterons pas de l'implmentationd'un algorithme dans tel ou tel langage ou du choix d'un composant pour un systme lectronique.

Ce cours est en franais, mais vous imaginez bien que qu'on ne fait pas du traitement du signal qu'en France. Tout le vocabulairede traitement du signal est finalement plus connu en anglais. Pour vous aider apprendre ce ce vocabulaire, vous verrez quecertains mots seront souligns en pointills. Si vous passez votre souris dessus, vous y verrez la traduction en anglais commepar exemple : Traitement du signal

Quels sont les pr-requis ?

Je vais tenter de rendre accessible au maximum les notions fondamentales, mais un minimum de bagage mathmatique reste utile :

Savoir ce qu'est une fonction, comment la reprsenter dans un graphe et connaitre les fonctions les plus classiques ( ,, , ,...) et leur proprits.

Connaitre le principe de calcul de l'intgrale d'une fonction.Des nombres complexes pourront trainer certains endroits.

L'criture des mathmatiques est rempli de symboles qui peuvent sembler obscurs, mais qui sont plutt simples comprendre. Si

des choses comme , , , , ou ne vous voquent rien, ne butez pas et n'hsitez pas vous renseigner. Les

notations ne doivent tre un obstacle.

Quels sont les outils utiliss dans ce cours ?

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http://sciences.v3.siteduzero.com/membres-294-14388.htmlhttp://sciences.v3.siteduzero.com/tutoriel-21-569036-bases-de-traitement-du-signal.htmlhttp://creativecommons.org/licenses/by-sa/2.0/fr/http://en.wikipedia.org/wiki/Signal_processinghttp://fr.openclassrooms.com

Toutes les courbes que vous verrez dans ce cours sont gnrs l'aide de logiciels de calcul numrique. Ils permettent grce un langage de programmation propre et des outils adapt aux problmes scientifiques de travailler sur des problmatiques detraitement de signal (et bien d'autres). J'utiliserais indiffremment Matlab ou Scilab pour ce travail. Les deux permettent de fairela mme chose. Le premier est payant mais largement utilis en recherche, ducation, R&D,... Au contraire, Scilab est un outillibre et gratuit que vous pouvez aller tlcharger cette adresse : http://www.scilab.org/. Vous pourrez essayer de testerquelques rsultats que nous voquerons durant ce cours. Il est possible que je vous donne, dans certains chapitres, quelquescls pour pouvoir tester des choses sous Scilab.

Ont aussi t mis contribution : Gimp, Inskcape, Audacity, Grapher et Pages.

Pour qui est ce cours ?

Pour tous ceux qui veulent dcouvrir cette discipline, de quelque niveau ou formation scolaire que vous soyez. N'hsitez pas vous lancer dans une lecture, vous y apprendrez beaucoup de choses !

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http://www.scilab.org/http://www4.smartadserver.com/call/pubjumpi/24617/184810/13290/M/1389275805347/?http://www4.smartadserver.com/call/pubjumpi/24617/184810/13290/M/1389275805347/?http://fr.openclassrooms.com

Partie 1 : Exorde

la croise des cheminsQu'est ce que le traitement du signal ?

Quelles sont ces applications dans notre vie quotidienne ?

Nous allons rpondre ces questions dans ce premier chapitre.Une journe comme les autres

Avant toute considration scientifique ou pratique, j'aimerais vous narrer une journe en toute somme banale et qui pourrait trele quotidien de chacun d'entre nous. Et cette journe sera vcu par notre cobaye, Bob.

07:00 - Le rveil sonne. Bob, l'entendant, comprend bien qu'il faut se lever. Aprs avoir lch quelques jurons et tapquelques coups dans le vide, il parvient l'teindre.

08:10 - Cours de franais. Ne cachant pas son (ds)intrt pour la matire, Bob lit machinalement un texte de Voltaire.

10:12 - C'est l'heure de la pause. Bob reconnait Alice dans la foule du hall de l'cole. Ils en profitent pour discuter de leurplans du week-end.

14:15 - C'est l'heure du sport. Aprs avoir rattrap une balle dcisive, Bob parvient marquer le point qui rapporte lavictoire son quipe.

18:15 - Cours de musique. Bob travaille ces gammes mineures au piano. C'est en progrs, mais il y a encore du travail.

19:30 - C'est l'heure du diner. Bob finit sa viande mais laisse de ct les endives qui ne sont pas son got.

Et demain, a recommencera !

Prenons maintenant le temps de rflchir un peu cette journe typique. Plus particulirement, via l'exemple de Bob ou votrepropre journe, essayez de rflchir toutes les capacits que vous offre votre corps dans la vie de tous les jours. Par l,j'entends bien sr les aptitudes que nous offrent nos sens qui sont au nombre de 5 : la vue, loue, le toucher, l'odorat et le got.

a sera votre premier exercice : Prenez 5 minutes tout ce que le corps humain est capable de comprendre via ces 5sens !

On peut analyser plus en dtail la journe de Bob via ces 5 sens :Secret (cliquez pour afficher)

07:00 - Le son du rveil a permis Bob de savoir qu'il tait l'heure de se lever. Pourtant le son de l'hlicoptre, uneheure plus tt, ne l'a pas vraiment rveill.08:10 - En utilisant sa vue, Bob parvient reconnaitre les caractres d'un texte. Son cerveau fera le travail ncessairepour convertir a en phrases et en ides comprhensibles. Tant que ce n'est pas crit en chinois bien sr !10:12 - Pour reconnaitre Alice, Bob a su utiliser ses capacits visuelles pour distinguer les corps en mouvement dansle hall et reconnaitre son visage au milieu de la foule. Ensuite, leur communication est passe par un change entreproduction de parole par le canal vocal et reconnaissance de la parole via l'audition.14:15 - Les capacits visuelles de Bob ont t mises l'preuve. Elles lui ont permis de suivre et d'estimer lesmouvements de la balle pour choisir les meilleurs gestes effectuer.18:15 - Encore une fois, l'oreille est utilise mais dans un registre diffrent. Elle permet Bob de faire attention aurythme et la justesse des notes qu'il produit.19:30 - Et enfin le got !

Cet exemple montre bien les capacits exceptionnelles qu' le corps humain pour pouvoir comprendre le monde qu'il l'entoure. Il asu dvelopper plusieurs outils, plusieurs organes lui permettant d'apprhender les phnomnes physiques environnants. Quesommes-nous capable de comprendre ?

Partie 1 : Exorde 5/34


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Audition : nous sommes capables de localiser de une plusieurs sources sonores, et de porter notre attention sur l'uned'entre elles en ignorant les autres. Nous sommes capables de reconnaitre les sons qui nous entourent (bruit de moteur,une porte qui claque, etc). L'oreille est la premire tape dans la reconnaissance de la parole. Nous pouvons reconnaitreune personne simplement au timbre de sa voix. L'audition humaine est capable de comprendre la musique. Et pleind'autres choses encore !Vision : Lil n'est pas en reste. Nous effectuons beaucoup d'actions grce lui. Nous pouvons voir et estimer lesdistances dans notre environnement. Nous voyons les couleurs, les artes des objets. Nous sommes capable dereconnaitre les objets (Est-ce une chaise ou un fauteuil ?). Nous arrivons suivre le mouvement des objets. La visionnous donne aussi la capacit de reconnaitre les visages des personnes, mme si elles ont vieilli.Toucher : Il nous permet d'apprhender les gestes que l'on fait et d'avoir un retour sur les actions que l'on effectue. Onpeut savoir si un objet est piquant ou doux, s'il est chaud ou froid,...L'odorat et le got : Ces deux sens nous donnent une image de la composition chimique de notre nourriture ou desobjets qui nous entourent pour nous signifier leurs caractristiques.

Trs bien, l'homme est plutt bien conu pour capter l'information contenue dans le monde qui nous entoure. Maisqu'est-ce que a voir avec le traitement du signal ?

Un signal, des signaux ?

ce point, vous pensez surement que je me suis tromp de titre et que je suis en train de me lancer dans un cours de biologie. Etbien non ! Et je vais faire le lien tout de suite.

Le corps humain est le meilleur outil de traitement du signal que vous connaissez !

Chaque jour de notre vie, nous passons notre temps capter tous les lments qui arrivent jusqu' nous. On peut citer :

la lumire ;les vibrations de l'air ;les composs chimiques ;la temprature ;les contacts avec notre peau.

partir de ces seuls indices qui sont reprsentatifs des phnomnes physiques qui nous entourent, nous sommes capables deconstruire une reprsentation de notre environnement. C'est la somme de ces indices qui nous permet d'avoir suffisamment dematire pour pouvoir rflchir et prendre des dcisions pour interagir avec cet environnement.

Qu'est ce qu'un signal ?

Bien, je pense que vous commencez voir o je veux en venir. Nous avons pass du temps montrer que l'humain passe sontemps capter les signaux de son environnement.

Un signal est une grandeur qui est reprsentatif d'un phnomne physique.

Ce bonhomme est tir de l'excellent web-comic xckd.com



http://xkcd.com/http://fr.openclassrooms.com

Quand on se lance vers l'tude d'un phnomne physique, c'est en fait vers les signaux qui portent les grandeurs physiquesqu'on va se tourner.

Mais qu'est ce qu'on y gagne observer des signaux ? Par exemple, entre regarder l'est tous les matins 6h pour voirle soleil se lever et regarder la couleur des nuages dans le ciel, au del de la posie de l'exercice, qu'est ce qui est le plusintressant pour vous ?

Je pense qu' moins d'une guerre thermonuclaire spatiale, vous tes quand mme peu prs sr que le soleil se lvera tous lesmatins. C'est un phnomne cyclique que vous avez dj observ et le revoir ne vous apportera pas de nouvelles informations .Par contre, observer la couleur des nuages vous apportera une information sur le temps qu'il va faire dans les prochainesheures. Vous pouvez penser qu'il est probable qu'il va pleuvoir dans deux heures. Vous chercherez alors d'autres indices commel'volution de la temprature, du vent, de l'humidit,... qui vont permettront d'affiner la probabilit de votre hypothse. Vouspouvez aussi tout simplement aller chercher des informations sur le site de Mto France.

Dans cet exemple qui peut sembler anodin se cache un mot central en traitement du signal : c'est le mot information ! Si onprend le temps de capter et de dcortiquer les signaux, c'est pour une bonne raison. C'est qu'il y a quelque chose d'intressantdedans !

Par exemple, pour parler, nous avons appris depuis 8000 ans utiliser nos cordes vocales, notre bouche, notre langue,... pourpouvoir faire vibrer l'air. On a associ chacune des diffrentes vibrations une lettre, une syllabe pour pouvoir construire desmots, des phrases et donc des ides et des propos qui sont porteurs d'informations . Bien sr dans le cas de la parole, il n'estquestion de convention et on le voit bien avec la diversit des 7000 langues qui composent l'univers linguistique de notremonde.

Pour une station mto, les variations de l'humidit et de la temprature sont porteurs d'informations car ils vont permettre, partir d'expriences dj arrives dans le pass nous donnant un -priori sur le systme physique (ici les phnomnesatmosphriques), de prdire son comportement futur.

Vous voyez bien qu'on n'tudie pas un signal par hasard. On y cherche toujours quelque chose !

N.B : Vous avez peut-tre vu aussi que j'ai utilis les mots "probable" et "probabilit" : nous verrons plus tard que lanotion d'information est intimement lie la notion de probabilit. Des maths, toujours des maths !

En tout cas, cette notion est trs importante retenir et est fondamentale dans les problmatiques de traitement du signal : unsignal contient de l'information. Pour bien que vous le reteniez, en voici une notation pseudo-mathmatique !

Je veux que vous graviez a dans votre tte !

Qu'est ce que le traitement du signal ?

Le traitement du signal est donc la discipline scientifique qui dveloppe les outils et techniques permettant de manipuler et decomprendre les signaux. Je pense qu'on peut tenter de le rsumer autour de quatre grandes lignes directrices :

Transformer un signal

On l'a vu, le plus gros travail est donc de russir sortir l'information du signal. C'est a qui nous intresse, mais ce n'est pastoujours une tche facile, suivant ce que l'on cherche et dans quel milieu on se trouve. Si on reprend notre schma de tout l'heure, on pourrait le modifier comme a :




La "mise en forme" est une tape qui se place entre la grandeur physique et l'observateur. Mettre en forme ou transformer permetde faire apparaitre le signal sous un autre angle ou en tout cas un meilleur point de vue pour l'observateur. On peut :

changer sa reprsentation pour mieux faire ressortir certaines de ces caractristiques ;liminer certains effets non dsirs (de l'cho dans un son, des grisaillements dans un signal lectrique, etc) ;...

Cette mise en forme permet donc de mieux cerner les signaux. Un humain qui les observe pourra donc prendre des dcisions entant sr de faire moins d'erreurs cause d'un lment du signal non aperu ou corrompu.

Analyser un signal

On peut mettre en forme un signal pour qu'il soit plus adapt pour une valuation humaine, mais on peut aller plus loin, non ? Onne peut pas tre derrire chaque machine pour les aider. Il y a des comportements qu'on aimerait bien automatiser ! Rajoutons adans notre schma :

Aprs l'tape de mise en forme, on rajoute une tape d'analyse qui a pour but de comprendre le signal. Les objectifs sont divers




et varis suivant les applications. ce point, on a un systme qui peut fonctionner seul sans intervention humaine. Il arrive comprendre les phnomnes physiques qui l'entourent et prendre des dcisions en retour.

La prise de dcision en aval ne fait en soi pas partie du traitement du signal. C'est le systme qui dcide des actions effectuer ; on commence tomber dans le domaine de l'intelligence artificielle (qui est tout aussi passionnant).

Crer un signal

Le traitement du signal, c'est aussi tre capable de crer ces propres signaux. Les conditions de l'mission et la connaissance dela physique de l'environnement dans lequel on veut propager notre signal permettent d'adapter au mieux nos signaux pour qu'ilspuissent tre transmis, manipuls, compris,... le mieux possible, c'est dire sans dgradation de l'information contenu dans lesignal.

Quand on parle, on cre un signal qui va se propager dans l'air. Si il y a du vent ou qu'on est en discothque, on se mettra parler plus fort pour tre sr qu'on nous entende. Le fait d'adapter le volume de sa voix permet de s'assurer que toutnotre message (qui contient l'information) sera transmis notre interlocuteur.Dans un clavier, quand le pianiste appuie sur une touche, il est important de crer en temps rel la bonne note (qui est unsignal) en rponse. Et si pour son solo, notre pianiste veut un petit effet chorus, le signal passera un filtre spcial avantd'tre transmis aux haut-parleurs.Pour la retransmission d'une mission la radio, le signal doit tre transmis dans la bande passante centre la bonnefrquence. a serait bte de retrouver France Culture la place de Hot Radio !

Transmettre un signal

Il y a de nombreux cas o on peut s'intresser transporter et transmettre des signaux des humains, des ordinateurs,... Entrel'metteur et le rcepteur, il n'y a pas de vide. La communication se fait sur un support. Parfois, on ne le maitrisera pas et ons'adaptera au mieux comme par exemple dans le cas d'une communication entre une antenne et un tlphone portable o le signalest transmis dans l'air rempli de dsagrments (immeubles, intempries, ionosphre,...). Dans d'autres cas, on maitrise le canal decommunication car c'est une cration de l'homme. ce moment-l, on peut le dimensionner pour qu'il convienne au mieux nossignaux (fibre optique, liaison HDMI, cble de cuivre pour la tlphonie fixe,...). Cette notion de transmission est trs lie avec lesnotions de cration et de transformation. On peut remodeler nos signaux pour qu'ils soient le plus adapts possibles au canalde communication dans lequel ils vont tre lancs.

Champ d'applications

Traitement d'images

Fonction Rsum Exemple

SystmeROC

Les systmes de reconnaissance automatique de caractres permettent partird'une image d'un texte manuscrit de reconnaitre la forme des lettres et des motspour pouvoir retranscrire le texte contenu dans l'image en un texte comprhensiblepar un ordinateur.

On retrouve ces systmes :

la Poste pourpouvoir lire lesadresses sur lesenveloppesdans votre scannerpour transcrire unelettre manuscritedans votre diteurde texte prfrdans Google Bookspour numriser leslivres sous forme degrandes bases dedonnesinformatiques

C'est utile pour :

la mise au pointautomatique sur desappareils photos ;



http://fr.wikipedia.org/wiki/Intelligence_artificiellehttp://fr.openclassrooms.com

Dtectionde visages

La reconnaissance faciale permet, dans une image ou une vido, de dtecter laprsence d'un ou plusieurs visages humains. Il est aussi possible de reconnaitreet de distinguer des visages dj appris par le systme grce une base dedonnes.

des applications detl-surveillance ;de l'indexationd'images dans desbases de donnesd'images ;permettre desrobots dinteragiravec des humains(dtection deprsence,valuation de l'ge,du sexe, del'expression faciale,de la direction duregard,...).

Imagerieparrsonancemagntique

Les mdecins utilisent des machines IRM en forme de tunnel pour avoir un aperude l'intrieur du corps humain.Le principe est bas sur les proprits quantiquesdes atomes en rponse un champ magntique. L'interprtation des signaux duchamp magntique et la reconstruction de l'image utilisent les outils classiques detraitement du signal.

Photosatellite

Les satellites font partie des systmes de tldtection qui permettent d'acqurirdes informations sur un systme physique sans contact. Ils utilisent lesrayonnements lectromagntiques sur une large bande passante (multi- andhyperspectral imaging) pour crer des images de la surface terrestre. Ellespermettent par exemple de dtecter automatiquement la prsence de minerais, deforts, de zones habitables ou de tirer des informations sur les fonds marins.

Traitement audio


Chane Hi-Fi

Voil un objet commun de notre vie culturelle depuis des dizainesd'annes ! La conception des systmes lectroniques de lachane (galiseur, filtre, tage d'amplification,...) font appel desnotions de traitement du signal pour pouvoir manipuler de lameilleure faon les signaux audios.

Reconnaissancede la parole

L'objectif est simple mais la tche est ardue. L'ide est de crerdes systmes capables d'identifier les mots et les phrases d'undiscours humain pour ensuite crer des commandes vocales,donner des robots des facults auditives, etc.

Allez sur une vido Youtube. Si vouscliquez sur l'onglet CC puis "transcrirela piste audio", vous verrez s'afficherdes sous-titres qui sont gnrs par lesystme de reconnaissance vocale deGoogle.

Vous pouvez aller tester quelques



http://www.youtube.com/watch?v=pWe7wTVbLUUhttp://www.loquendo.com/en/demo-center/interactive-tts-demo/http://fr.openclassrooms.com

Productionsynthtique dela parole

Comme dit plus haut, le traitement du signal c'est aussi laproduction de signaux. Et un large pan de la recherche a tconsacr la production de parole par ordinateur. partir d'untexte donn, on tente de produire une version audio de ce texte.

dmos en ligne. Sinon ce type desystme trouve sa place dans :

l'aide aux personnesmalvoyantes pour lire le contenud'une page web par exemple ;l'aide aux personnes muettespour leur donner la possibilitde parler ;les interfaces hommes-machines telles que les serveursvocaux, les bornes de paiement,les jeux vidos, etc.

Synthses defiltres par DSP

Le s DSP sont des processeurs optimiss pour la rapidit decalcul et construits dans le but de faire du traitement numriquedu signal. Leur architecture leur permet de traiter rapidement dessignaux en restant bas cot et sans apport d'nergie norme, cequi en fait des candidats idaux pour des systmes embarqus.

Vous utilisez quotidiennement des DSPdans :

vos modems (ADSL, RTC, etc) ;les tlphones portables pour larception/mission par l'antenne;vos baladeurs MP3 pour traiterfacilement vos fichiers audio(lecture, galisation, etc) ;les rcepteurs GPS ;le s claviers-synthtiseurs pourcrer des bancs de filtrespermettant de jouer tous lessons que vous voulez (orgue,piano, jazz, distortion, etc).

Sparation desourcessonores

L'objectif est de russir sparer les contributions de diffrentessources sonores qui arrivent en un point, en utilisant un ouplusieurs microphones. On peut ainsi tenter de sparer lediscours de deux personnes qui parlent en mme temps, ou desdiffrents instruments qui constituent un groupe de musique.

Voici un exemple audio provenant destravaux du CNL San Diego. partir del'enregistrement de deux microphonesdans une pice o un homme parle avecde la musique en fond :

Microphone 1Microphone 2

un algorithme de sparation de sourcesaveugle permet de distinguer les deuxsources. Voici la voix extraite des pistesaudios prcdentes. D'autres exemplesici.

Communications


Compressionde la parole

Depuis 15 ans, nous avons quasiment en main des tlphones portable.La transmission du signal de parole, dans sa version brute, seraitquasiment impossible sans des algorithmes de compression.Transmettre un signal demande un certain dbit sur le rseau. Siaujourd'hui, nous arrivons tlphoner en simultan sur les rseauxtlphoniques sans soucis, c'est grce au traitement du signal quipermet de rduire la place occup par le signal sans (trop) dgraderl'information porte par notre discours.

Il existe une grande diversit detechniques de codage de la parole.Les codeurs d'ondes, utilisant parexemple les mthodes PCM ouADPCM. D'autres techniques,telles que l'algorithme CELP,utilisent un codage bas sur lemodle de perception de la parole.

Image : JPEG, JPEG2000,



http://fr.wikipedia.org/wiki/Syst%C3%A8me_embarqu%C3%A9http://cnl.salk.edu/http://cnl.salk.edu/~tewon/Blind/Demos/rsm2_mA.wavhttp://cnl.salk.edu/~tewon/Blind/Demos/rsm2_mB.wavhttp://cnl.salk.edu/~tewon/Blind/Demos/ssm1.wavhttp://cnl.salk.edu/~tewon/Blind/blind_audio.htmlhttp://fr.openclassrooms.com

Compressionde fichiersinformatiques

De mme, en informatique, la place qu'occupe un fichier a toujours tun problme cause de la taille limite des supports de stockage et dela bande passante disponible sur les rseaux. Il existe aujourd'hui desdizaines d'algorithmes de compression pour gagner de la place. Chaquealgorithme est bien sr pour ou moins adapt suivant le type de fichier(texte, audio, vido, etc).

Image : JPEG, JPEG2000,PNG, etc.Vido : MPEG-2, H.264,Theora, etc.Audio : MP3, WAV, AAC,OGG, etc.Autres : zip, rar, gzip, etc.

Rseau GSM(Tlphoniemobile)

Comment encoder la voix ou les SMS ? Comment faire passer plusieurscommunications sur une mme antenne ? Comment prendre en compteles rflexions multiples des signaux sur l'environnement ? Autant dequestions qui trouvent des rponses dans le traitement du signal.

Et encore plein d'autres !


Cours de labourse

Les signaux peuvent tre aussi biens naturels que compltement artificiels. Les outils mathmatiquesde traitement du signal sont utiles en finance pour interprter et comprendre les cours boursiers.

Latempraturede votreville

Temprature, pression, humidit, vitesse du vent,... Autant de phnomnes physiques et autant designaux capter en diffrents points du globe. Ils apportent l'information suffisante aux institutsmtorologiques pour comprendre et prvoir les phnomnes mtorologiques journaliers.

Le radar

Typiquement, une des premires applications trs concrte du traitement du signal. Popularis partir de la seconde guerre mondiale, le principe du radar est assez simple . On met une onde deforme connue dans l'air, les rflexions de cette onde sur les carlingues captes par le radar permet dedtecter la prsence d'un avion. Dans un environnement qui comporte de nombreux chos parasites(sol, mer, turbulences, ionosphre, prcipitations, etc), les outils du traitement du signal permettentd'amliorer la fiabilit des principes de dtection.

Activit ducerveau

L'lectro-encphalographie (EEG) est une mthode d'exploration crbrale qui permet de mesurerl'activit lectrique du cerveau par un rseau d'lectrodes plac sur la tte. L'enregistrement dessignaux peut tre amlior grce au traitement du signal (dtection d'artefacts, rehaussement parfiltrage, analyse par ondelettes,...)

La liste est loin d'tre finie ! Le champ d'applications est immense. Il est intressant de voir que le traitement du signal est undomaine qui ne reste pas seul dans son coin, mais qui au contraire va plutt vivre en symbiose avec tous les domainesscientifiques et techniques qui ont besoin d'outils pour analyser et produire des signaux.




Des signaux tous les tagesDans le chapitre prcdent, nous avons pris le temps de bien comprendre ce qu'est le traitement du signal et ses applications.

partir de maintenant, nous allons mettre les mains dans le cambouis. Et on va tout de suite dfinir ces signaux dont je vousparle depuis le dbut sans vous dire vraiment quoi ils ressemblent. Nous verrons aussi la notion d'nergie associe un signal.

En quelle dimension ?

Un signal, un signal, un signal,...

Nous allons construire notre premier signal. Reprenons du dbut, nous avions dit qu'un signal est reprsentatif d'une grandeurphysique.

Citation : Wikipdia

On appelle grandeur physique toute proprit de la nature qui peut tre quantifie par la mesure ou le calcul, et dont lesdiffrentes valeurs possibles s'expriment l'aide d'un nombre gnralement accompagn d'une unit de mesure.

Notre grandeur est donc quantifiable par un nombre. C'est une bonne chose, il serait par exemple difficile de faire des calculs surdes temprature dfinies par des mots (chaud, froid, glacial,...). D'ailleurs quel serait le rsultat de ? Ilest quand mme plus pratique de manipuler des nombres suivant une convention qu'on connait. Si il fait , uneaugmentation de fera qu'il fera . Easy, isn't it ?

Le signal est donc reprsent par le biais de nombres. Quoi de mieux qu'un axe pour reprsenter diffrents nombres ?

Un point (ici les 3 en rouges) reprsente un nombre. Sa valeur est reprsent par la position du point sur l'axe. Aprs, vous degraduer comme bon vous semble votre axe du moment que c'est cohrent !

La premire dimension

Est ce qu'on peut dfinir tout un signal par un seul nombre ? Non, me diriez vous. Et vous auriez raison. Ce qui porte vraimentl'information, c'est la variation de cette valeur. Pour reprendre l'exemple de la temprature, on va s'intresser sa valeur diffrents moments de la journe. On construit donc un signal partir de la variation de notre grandeur physique. Mais parrapport quoi ? C'est vous de voir ! Dans la majorit des cas, a sera le temps ; mais a peut trs bien par rapport unelongueur, un angle, une temprature, une frquence, etc.

Quand la variation du signal ne dpend que d'une variable, on parlera de signal unidimensionnel. Notre signal est construit dansun espace une dimension. Et un nouvel axe va venir porter cette dimension.



http://fr.wikipedia.org/wiki/Grandeur_physiquehttp://fr.openclassrooms.com

On peut donc pour chaque point de notre dimension associer une valeur notre grandeur physique. En le faisant tout le long dela dimension, on peut construire des choses comme a :

Et voil notre premier signal !

Est ce que a ne vous rappellerais pas un peu vos cours de maths ? Et si j'cris a ?

Et oui ! On peut voir les signaux comme des fonctions mathmatiques. a correspond exactement ce que je vous ai dit. Pourchaque point de la dimension (i.e. ), on associe une valeur (i.e. ). On peut donc voir la fonction comme tant notresignal.

Vocabulaire : La valeur de la grandeur physique en un point est appel amplitude.

Vous remarquerez que les ensembles d'arrivs et de dparts sont . a veut dire deux choses :




qu'on peut rcuprer la valeur de notre grandeur physique n'importe quel instant et avec n'importe quellle prcision (parexemple ou que notre grandeur physique peut prendre une infinit de valeurs, c'est dire avec la possibilit de tendre vers l'infini etd'tre dfinie avec une prcision infinie (peut-tre que ou

C'est plutt une bonne description des signaux qui nous entourent. Mais nous verrons que a va nous amener assez rapidementquelques petits problmes pour des applications concrtes !

En tout cas, c'est une trs bonne nouvelle car on va pouvoir utiliser plein de rsultats de mathmatiques pour manipuler etcomprendre nos signaux. On va pouvoir faire de l'analyse, du calcul intgral, du calcul matriciel, des dveloppements en s... Ehnon, partez pas, revenez !

Et si je vous montrais des vrais signaux ?

Voici la temprature d'une station mto un jour de novembre.

Grandeur physique : temprature en degrsDimension : le temps

Sur ces deux images, on a la reprsentation de deux sons. C'est moi-mme en train de dire la voyelle 'a' et la consonne 'r'.

Grandeur physique : un signal lectrique proportionnel la vibration de l'air.Dimension : le temps




Je vous ai dit qu'on pouvait voir les signaux comme des fonctions. Dans un monde mathmatique parfait o les licornes crentdes arcs-en-ciel*, c'est vrai. Mais concrtement, il est trs difficile pour ne pas dire impossible de trouver la forme analytique d'unsignal. On ne travaille donc en fait qu'avec les images de ces fonctions, c'est dire qu'on rcuprera, grce nos systmes demesure, un maximum de couples qui caractrisent le signal. Mais ne vous inquitez pas, il y a de quoi faire.

(*): moins que a soit 'Mon Petit Poney'...

Une dimension de plus !

Pour le moment, notre signal n'a qu'une seule dimension, mais on pourrait en rajouter une, non ?

Si vous ne me croyez, je vous donne tout de suite un exemple de signal bidimensionnel :

Si vous croyez que je me fiche de vous, rflchissez y encore une fois ! Finalement, le pixel d'une image est reprsentatif d'unegrandeur physique : l'intensit lumineuse. Pour une image comme ci-dessus, a correspond au niveau de gris (plus la valeur estgrande, plus le gris devient clair et inversement ; les bornes tant le noir et le blanc). Pour les images en couleurs, c'est juste 3grandeurs physiques (rouge, bleu, vert).

Et les deux dimensions ? Et bien, c'est seulement la largeur et la hauteur de l'image. Pour retrouver la position d'un pixel, il suffitde connaitre son numro de ligne et de colonne. On peut donc voir une image comme une fonction mathmatique deuxvariables :

Si vous n'tes pas convaincu, voil une autre reprsentation de l'image :




On voit bien que l'image peut se reprsenter comme une fonction mathmatique qui peut s'tendre sur deux dimensions.

L'exemple de l'image est le plus frappant pour le signal dimensionnel, mais il y en a plein d'autres. Par exemple, si je mesurel'volution de la temprature au cours du temps en diffrents points d'une barre de mtal, j'ai un signal bidimensionnel :

Grandeur physique : temprature en degrsDimension n1 : la position sur la barreDimension n2 : le temps

Encore une autre...

Pourquoi s'arrter en si bon chemin ? Rajoutons encore une dimension.




Une vido est l'exemple typique d'un signal tri-dimensionnel. C'est finalement un simple enchainement de signauxbidimensionnels (i.e. les images) au cours du temps :

Grandeur physique : intensit lumineuseDimension n1 : position sur la hauteur de l'imageDimension n2 : position sur la largeur de l'imageDimension n3 : le temps

Pour les autres dimensions, je me permettrais de citer un grand homme :

"Vers l'infini et au-del"Buzz l'clair (1995)

Le mot de la fin

Vous avez peut-tre l'impression qu'on a enfonc des portes ouvertes en parlant simplement de fonctions, mais je voulais prendrele temps de construire cet outil qui est la base du traitement du signal. Quelque soit le signal, quelque soit son origine, savaleur maximale, sa dure,... on pourra finalement le reprsenter sous la forme d'un objet mathmatique qu'on maitrisecomplment. C'est l la force du traitement du signal : tre capable de donner des outils mathmatiques capable de grer avectous les types de signaux.

La nature des signaux

La priodicit

Qu'est ce que la priodicit ? Et plus prcisment, qu'est qu'un signal priodique ? On peut crire la dfinition mathmatique :

D'accord. Si vous n'en n'avez pas saisi le sens, je peux vous l'crire en franais :

Un signal est dit priodique si et seulement si la variation de son amplitude rpte un mme motif suivant une priode T

Et comme il n'y a rien de mieux qu'un schma, prenons un signal priodique :




On voit bien les deux dfinitions quivalentes que je vous ai donnes : la rptition d'un mme motif suivant une priode , oula valeur de l'amplitude qui est gale tous les multiples de la priode .

Plutt que priode, vous avez surement du plutt entendre parler de frquence d'un signal (sonore par exemple). Les deuxnotions sont lis par une galit trs simple :

o est la priode en secondes et , la frquence du signal en Hertz ou .

Mais ne nous attardons pas l-dessus, nous reparlons de frquences plus en profondeur trs bientt. J'aimerais mettre l'accentsur une notion particulire. Reprenons notre dernire dfinition mathmatique et droulons-l en faisant varier dans :

Et n'oublions pas les entiers ngatifs :

La dfinition mathmatique du signal priodique entraine que le signal doit tre dfini sur tout entier. En effet si le signal n'estpas dfini au point, par exemple, alors la dfinition du signal priodique tombe plat car




Un signal priodique est donc dfini sur un support non born.Expliquons ces deux mots :

support : intervalle des points o la fonction est dfinieborn : intervalle ayant des limites hautes et basses

Le signal priodique s'tend sur un support qui n'a pas de limites, et il peut donc tendre vers et sans soucis. D'unpoint de vue mathmatique, il n'y a pas de problme et la dfinition est satisfaisante. Physiquement, c'est beaucoup moinsconvenable. Si on utilise ces fonctions priodiques pour tenter de modliser nos signaux dans notre monde rel, on a unproblme. Lequel ?

Faisons l'hypothse un instant que tous les signaux qui nous entourent soient support non born. Cela voudraient dire quetous ces signaux existent depuis toujours bien avant le Big-bang et continueront bien aprs votre mort et la destruction de laplante Terre par les aliens. Donc le signal de votre voix ou d'une mission de radio existent depuis toujours ! Compltementcontradictoire, non ?

Cette simili-dmonstration par l'absurde montre que nos signaux sont support born. Ils commencent un moment donn ets'arrtent un autre et en fait plus important encore, notre observation de ces mmes signaux ne peut durer qu'un temps fini !

Les signaux priodiques sont centraux dans la construction de la thorie mathmatique du traitement du signal pour lamodlisation des signaux, mais cette diffrence entre un monde mathmatique o les outils peuvent tre dfinis sur des supportsnon borns et le monde physique o cette considration n'est plus valable va nous entrainer quelques soucis.

La causalit

Causal. Voil un mot qu'on entend peu, le dictionnaire le dfinira comme 'Qui implique une cause un effet'. a n'a pas l'air aupremier abord, mais il trouve tout son sens en traitement du signal.

Reprenons un signal quelconque :

Vous remarquerez que j'ai gradu l'axe des abscisses avec un zro. Il peut vous semblez anodin, mais il n'en est pas moinsimportant. J'ai dit dans un des points prcdents que les signaux priodiques s'tendaient sur un support non born et quephysiquement, a causait quelques soucis. La causalit entraine que le signal n'existe qu' partir de ce zro qui marque le dbutdu signal. Il n'existe pas de faon magique depuis la nuit des temps, il a un dbut ! Il y a une cause qui a cre cet effet.




Ce signal est causal, au contraire de sa version prcdente qui ne l'tait pas.

Cette notion de causalit peut sembler non pertinente pour le moment mais elle reviendra comme base thorique dans la partiesur le filtrage. Pour le moment, retenez ce mot de vocabulaire.

Energie et puissance d'un signal

Toute transmission dinformation est liee a une transmission denergie.

Quand on veut transmettre un signal, a ne se fait pas sans un peu d'huile de coude. Si vous voulez parler, il va falloir actionnervotre diaphragme pour envoyer de l'air dans votre conduit vocal. Si vous voulez envoyez un e-mail, votre ordinateur a intrt tre branch sur le rseau lectrique. Les photons qui se propagent jusqu' votre rtine pour y projeter une image ne sont pasarrivs l par magie. Tous ces procds utilisent une source d'nergie pour pouvoir se dplacer. Et en se dplaant, ilstransmettent de l'information.

Question : Comment caractriser l'nergie d'un signal ?

Quand je parle voix basse, j'utilise peu d'nergie. Si on traait le signal de ma voix, il aurait d'assez faibles amplitudes. Aucontraire, si je me mets crier, je vais mettre beaucoup plus d'nergie dans ma voix et le signal atteindra des amplitudes beaucoupplus fortes.

On peut donc construire une estimation de l'nergie partir des amplitudes du signal. Allons y pas pas. Qu'est ce qui est leplus logique ? On aimerait connaitre la puissance un instant donne. ce moment-l, on parle de puissance instantane :

Attention : vous avez remarqu que j'ai chang de mot, je suis pass de 'nergie' 'puissance', je ne me suis pastromp. Il y a un lien simple entre les deux, la puissance est la quantit d'nergie fournie par unit de temps. Nous allonsarriver doucement vers l'nergie...

La puissance est donc bien directement li l'amplitude du signal. Mais pourquoi cette valeur absolue et ce carr ?

Un signal peut avoir des valeurs ngatives. Si on n'utilisait pas la valeur absolue et qu'on conserverait le signe, on seretrouverait avec un signal qui peut avoir une puissance ngative ou avec les quations qui vont suivre un signal nergie nulle. C'est absurde. Vous pourriez objecter que le carr suffirait viter les valeurs ngatives. Oui, si le signal est valeurs relles, mais si c'est un signal valeurs complexes ? En lectronique, la puissance d'un signal lectrique est li son intensit lev au carre. Sa dfinition en traitement dusignal reste cohrente car les deux domaines sont lis, c'est pourquoi il y a un carr qui traine.



http://fr.wikipedia.org/wiki/Photonhttp://fr.wikipedia.org/wiki/Nombre_complexehttp://fr.openclassrooms.com

On sait valuer la puissance en un point, maintenant comment l'valuer sur un certain temps ? Imaginons que notre signal soitdfini sur 2 points.On pourrait crire sa puissance comme ceci :

Sur 3 points :

Et ainsi de suite avec points:

Finalement, calculer la puissance sur points du signal revient calculer la moyenne des puissances instantans. Mais il resteun souci, on a dit un peu plus haut que les signaux avaient pour ensemble de dpart . Donc ds que vous prenez un bout dusignal, aussi petit soit-il, vous y retrouverez une infinit de points. Donc si on veut calculer notre puissance avec notre formule,a veut dire qu'on va devoir sommer une infinit de points. a risque d'tre ( peine) long. Nous ne sommes pourtant pas dansune impasse. Je passe sur la preuve mathmatique, mais le fait de faire tendre notre somme vers un nombre infini de termes nouspermet d'utiliser un grand outil des mathmatiques : l'intgrale.

Prenons un signal quelconque. Dcoupez-y un bout de dure . Et pour calculer la puissance moyenne, appliquez :

On voit bien qu'on utilise la puissance instantan . Le nous rappelle qu'on parcourt notre signal suivant la

variable entre les bornes et . On considre donc la portion de signal de taille centr autour de .

L'intgrale est l pour sommer la contribution de l'infinit de points compris dans la portion. Et tout a sans oublier le car la

puissance est dfinie comme une nergie dlivr par unit de temps.

La puissance moyenne du signal se dduit simplement comme tant dfini par :

On fait notre calcul intgral sur l'ensemble du signal en faisant tendre les bornes vers les deux infinis.

Prenons le cas particulier d'un signal priodique. Il y a donc un mme motif de dure qui se rpt indfiniment dansle temps. Et l'intgrale de ce motif est toujours la mme et se rpte aussi dans le temps. Alors vu qu'on fait unemoyenne de cette intgrale, pourquoi s'embter intgrer sur tout entier ? La moyenne de l'ensemble secalcule comme tant . Rajouter des n'y changera rien. Pour la moyenne est

. Il suffit donc d'intgrer notre signal sur une seule priode :

Et enfin on y arrive. On a dit que la puissance correspondait l'nergie fournie par unit de temps. Il suffit donc de considrer




toutes les contributions des points sans moyenner le rsultat par la dure du phnomne. L'nergie s'crit de faon plus simpleque la puissance :

Question : Quels sont les caractristiques nergtique des signaux ?

On peut estimer que le signal est amplitude borne si . Ca correspond bien sr une ralitphysique, il serait absurde de voir un point ayant une amplitude infinie et donc une puissance instantan infinie autrement quepour une considration de modlisation mathmatique.

Nous distinguerons deux autres ensembles de signaux. Le premier rassemble tout les signaux nergie infinie . C'est le cas parexemple des signaux priodiques qui sont dfinis sur un support non born. Intgrer la puissance instantan qui est unefonction toujours positive sur tout fait tendre l'nergie vers l'infini. Ils ont aussi la caractristique d'tre puissance moyennenon nulle. a n'a bien sr pas de sens physiquement (un systme qui produit une nergie infinie, a ferait longtemps qu'onaurait teint toutes les centrales...). a montre la limitation du modle mathmatique face la ralit.

Le deuxime est donc, par contrapose, la runion de tous les signaux nergie finie . Ils ont aussi la caractristique d'tre puissance moyenne nulle. Tous les signaux de la vie relle, qui sont tous dfinis sur un support born, sont bien sr nergiefinie.

RsumPour finir ce chapitre haut en couleurs, nous allons crire un petit tableau. Nous avons discut du fait qu'en traitement du signalles signaux sont vus comme des fonctions. Tout a nous permet d'utiliser tous les domaines des mathmatiques. Cependant, leshypothses qu'on fait dans nos modles mathmatiques ne sont pas souvent applicables au monde rel. Voici donc un tableauqui rsume les diffrences entre signaux et fonctions que nous avons vu en partie dans ce chapitre.

Monde rel (signaux) Monde mathmatique (fonctions)

Un signal possde une nergie finie Une fonction peut possder une nergie thorique infinie

Un signal est causal et support born Une fonction peut tre non causal et support non born

Les signaux sont valeurs relles Les valeurs des fonctions peuvent appartenir d'autres ensembles que

Un signal est continu temporellement Une fonction peut prsenter des discontinuits en certains points

Remarque : il est important de noter que lintroduction de tels modeles mathematiques necessite une interpretation desresultats obtenus apres traitement pour retrouver ensuite la realite.



http://fr.wikipedia.org/wiki/Continuit%C3%A9http://fr.openclassrooms.com

Le bruit, une notion relativeNotre monde n'est point parfait et il mne la vie dure aux traiteurs de signaux.

Le bruit, notre nouvel ennemi numro 1 ?Le mme pour tout le monde ?

Qu'est ce que pour vous le bruit ?

Vous pourriez me citer des exemples comme votre petit frre qui pleure, le moteur du camion-poubelle 7h le matin, la pluie quitape au carreau, une porte qui claque, un micro-ondes en marche voir le dernier titre pop la mode la radio. Et il y encore pleind'autres choses qu'on pourrait noncer. Pour rsumer, on pourrait considrer le bruit comme tant tout ce qui est nousdsagrable l'oreille et donc non dsir.

Et en traitement du signal ?

En traitement du signal, le bruit n'a pas exactement le sens, mais reste dans le mme ordre d'ide. Nous avons dans le premierchapitre, que l'tude d'un signal tait intressante parce que il est porteur d'information. Mais ce n'est pas vrai pour tous lessignaux qu'on observe. Le bruit est peu le Mr Hyde de l'information. On dsignera un signal comme tant du bruit quand il estnon dsir et surtout non porteur d'information.

Sous le terme de bruit, on fait donc rfrence la somme de touts ces signaux qui vont venir perturber nos observations en :

se rajoutant et se superposant au dessus du signaldgradant le signal originalcrant des artefacts (des signaux artificiels qui peuvent sembler rels)

On pourrait rsumer a comme a :

a reste bien sr une vision simpliste, mais cette fausse quation mathmatique rsume bien l'ide de diffrencier dans un signald'un ct la partie utile porteuse d'informations et de l'autre le bruit qui n'en apporte pas et va mme dgrader l'information portepar le signal utile.

Notation : On dsigne souvent par 'signal' ou 'signal utile' la partie porteuse d'informations et le reste tant du bruit.

Je vous propose d'couter un signal audio trs parlant. Ce fichier contient un signal de parole provenant d'une speakerineparlant en anglais.

couter la radio ! (217Ko, OGG)

Cependant, le signal radio est fortement perturb par le grsillement qu'on entend en fond. Donc dans ce signal, il y a un mlangeentre un signal de parole (l'information) et des grsillements du la qualit de la chaine d'mission et de rception radio (le bruit).

Je ne vous ai cit que des exemples impliquant de l'audio. La notion de bruit est trs intuitive avec les sons car on la vit enpermanence au quotidien. Mais pour un traiteur de signaux, le bruit est un challenge permanent qui existe dans tous lesdomaines. Pour vous montrer un exemple en traitement d'image,



http://sciences.siteduzero.com/tutoriel-3-548098-1-a-la-croisee-des-chemins.html#ss_part_2http://lanfeust.313.free.fr/sdz/zombie.ogghttp://fr.openclassrooms.com

Ce bout de photo correspond la prise d'un ciel bleu. On s'attend donc avoir un fond bleu uniforme avec peut-tre un lgerdgrad. Grossirement, on a a, mais si on se penche un peu plus sur la photo, on peut voir des imperfections, des tracesviolettes,... on est en fait loin de l'uniformit. C'est toutes ces choses qu'on peut qualifier de bruit dans une image. Ici, il a t crepar la chaine d'acquisition de l'image (capteur CCD, chantillonnage, compression,...).

Un dernier exemple en image. Voici un signal unidimensionnel quelconque :

Rajoutons y un peu de bruit et on peut arriver a...




Qu'est ce qui est bruit ? Qu'est ce que ne l'est pas ?

Je ne pourrais que vous rpondre : a dpend !

a dpend de l'exprience et de l'observation que vous tes en train de mener et de facto quels signaux vous intressent.Prenons un exemple. Vous tes en pleine discussion avec trois autres personnes que nous nommerons habilement Riri, Fifi etLoulou. Au dbut, vous discutez quatre et vous prenez donc la parole ( peu prs) chacun votre tour. ce moment-l, si lapice est silencieuse, on pourra considrer qu'il n'y a pas de bruit, le seul signal acoustique prsent dans la salle est la parole dulocuteur.

Au bout d'un moment, la discussion diverge et vous commencez ne plus parler qu'avec Fifi tandis que Riri et Loulou discutentde leur ct sur un autre sujet. On a donc deux discussions en parallle. Bien sr, la parole se diffuse dans l'air dans toutes lesdirections la fois. Tout le monde entend donc finalement une version mix des deux conversations. De votre point de vue, seulla parole de Fifi est un signal utile alors que les discours de Riri et Loulou peuvent tre considrs comme du bruit. Au contraire,pour Riri la discussion entre vous et Fifi est du bruit alors que seul la parole de Loulou est un signal de parole.

Bruit ou pas bruit ? a dpend ! C'est toujours une question de point de vue.

Je vous ai montr qu'un son (ou tout autre type de signal) pouvait tre soit signal soit bruit suivant le point de vueque l'on prenait, mais il peut trs bien tre aussi bruit et signal la fois. Si vous marchez dans la rue en discutant avecquelqu'un, le bruit des voitures sera une gne pour parler mais pour traverser la route. Tout est relatif !

Qui est le plus fort ?

Il y a une notion qui est importante avec le bruit : c'est sa puissance. En traitement du signal, il y a au final aucune situation sansbruit puisque le simple fait d'utiliser une chaine de mesure cre des sources de bruit. On considre en fait un environnement sansbruit quand il est suffisamment ngligeable face aux signaux qu'on veut capter. Quand il n'est pas ngligeable, son niveau depuissance va influer sur les performances de notre systme.

Par exemple, quand vous tes en discothque et que vous voulez parler votre voisin, la musique (qu'on peut considrercomme source de bruit pour un moment) va gner la propagation de votre voix. ce moment-l, vous avez deux stratgies : soitvous augmentez votre volume de voix au risque de vous faire mal la gorge, soit vous diminuez le volume de la musique en vousplaant dans un endroit un peu plus calme. Dans les deux cas, on tente de faire varier la diffrence de volume (et donc depuissance) entre le signal et le bruit.

Il serait donc intressant de construire un indicateur qui pourrait nous renseigner sur le niveau de bruit et sur son influence sur




le signal utile. Habituellement, on sert de ce qu'on appelle le Rapport signal sur bruit couramment abrg RSB qu'on peut dfinirsuivant deux chelles.

chelle linaire

Soyons mthodiques. Comment construire le RSB pour qu'il soit un indicateur fiable. Quels sont ces caractristiques ?

Il doit prendre en compte le signal et le bruit.Il doit trouver un moyen de quantifier leur importance, leur force.Il doit russir mettre en valeur la diffrence de force entre le signal et le bruit.

L'criture du RSB ne va pas chercher midi quatorze heures :

La force du signal (ou du bruit) est quantifi par sa puissance dont on a vu la dfinition dans le chapitre prcdent. On prendbien en compte les deux parties. Et l'exercice qui suit va vous permettre de dmontrer que le RSB est pertinent pour quantifier ladiffrence de puissance.

Note : Le RSB est le rapport de deux puissances qui ont la mme unit. C'est donc une grandeur scalaire (i.e. unnombre) sans unit.

Exercice : Est-ce qu'un RSB de 1 est prfrable un RSB de 10 si on veut conserver notre signal ?

Secret (cliquez pour afficher)

La rponse est non. On peut rcrire notre formule sous cette forme.

Donc si , alors . La partie du signal qui est rattach au bruit est donc 10 fois moins puissante que celle qui porte l'information.

Par contre si , alors . ce moment-l, les puissances sont quivalentes. Le signal utile est beaucoup plus perturb et en partie masqu par le bruit.

On cherche donc avoir un le plus grand possible. Il n'y a pas de limite thorique haute, a peut tendre l'infini, maisvotre systme sera limitant car il ne peut pas dlivrer une puissance infinie. La limite basse est par contre de quand

qui un cas peu enviable et difficile grer.

Signal plus puissant que le bruit

Signal aussi puissant que le bruit

Signal moins puissant que le bruit

chelle logarithmique

Moi, je ne suis pas compltement satisfait alors je vous propose une dfinition alternative du RSB :




Qu'est ce que vous en dites ? Pour rappel ou si vous ne l'aviez jamais vu avant, correspond au logarithme en base 10 dont

vous trouverez un trac ici. Il peut se dfinir partir du logarithme naturel tel que

Je vous rappelle deux proprits trs intressantes du logarithme :

Il a donc le pouvoir de transformer le produit (la division) de deux nombres en la somme (la soustraction) de leurs logarithmes.

Note : Vous avez peut-tre remarqu le petit qui est marqu en dessous de RSB. Le fait d'utiliser le logarithme dansnotre dfinition entraine qu'on exprime le rsultat en dcibels qu'on abrge par .

C'est bon, vous avez compris ? Allez hop, chapitre suivant...

Attends, attends. On avait un RSB avec une dfinition super simple qui marchait bien et tu veux le changer en rajoutantun log sans raison comme a ?

Ah... ce n'est pas suffisant ? D'accord.

Reprenons notre dfinition et traons un graphique :



http://fr.wikipedia.org/wiki/Logarithme_d%C3%A9cimalhttp://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/4/4f/Logb10.svghttp://fr.openclassrooms.com

Labscisse correspond au rapport de puissance , l'ordonn au RSB. Dans le cas de notre premire dfinition, la relation

est triviale puisque le RSB vaut exactement le rapport de puissance, il suffit donc de tracer . Dans l'autre cas, on trace . Donc pour un mme rapport de puissance, le RSB ne sera pas le mme suivant qu'on prenne l'chelle

linaire ou l'chelle logarithmique (cf. l'exemple des trois points rouges quand le rapport de puissance vaut 20).

L'chelle linaire est la plus intuitive bien sr. Une variation de ou de entraine une variation directementproportionnelle du RSB. Vous me diriez que la vie est belle et qu'il n'y pas besoin de se compliquer la vie avec un logarithme.

Avant de vous justifier son utilisation, faisons quelques calculs. Imaginons que la puissance du signal utile soit exactement deuxfois suprieur la puissance du bruit donc que . On peut rinjecter a dans l'quation du RSB endcibels :

On peut donc en conclure qu'un rapport signal sur bruit de correspond un rapport de puissance 2 entre le signal et lebruit.

On peut faire ce calcul pour d'autres valeurs :

Rapport de puissance RSB en dcibels

(*) : En ralit , mais l'approximation +3dB est communment admise.

retenir : Il est important de connaitre les valeurs remarquables des dcibels et le rapport de puissance que aimplique. L'chelle logarithmique n'est pas simple apprhender et avoir quelques points de repre est bnfique.

Faisons un autre calcul. Imaginons un signal dont le RSB est fix. On veut faire augmenter ce RSB de 3 dcibels. Quel variationcela va entrainer sur le rapport de puissance ? Vous pouvez essayer de le faire en vous rappelant les proprits du logarithmeque je vous ai redonnes prcdemment.

Secret (cliquez pour afficher)




Rajouter 3 dcibels correspond toujours doubler la puissance du signal (ou diviser par deux la puissance du bruit).On peut appliquer les rsultats du tableau prcdent. Par exemple, ajouter 20 dcibels va multiplier par 100 le rapport depuissance.

L'chelle va modifier la rpartition des valeurs. Pour les grandes valeurs, il va y avoir une attnuation. Pour les rapports depuissance infrieurs 1, le RSB va passer en ngatif et tendre de plus en plus vite vers l'infini quand on se rapproche de 0. Unrapport de puissance de 0 est bien sr impossible (L'un des deux signaux doit tre nergie infinie...).

La rpartition des valeurs change, mais sans rien dgrader. Comme la fonction logarithme est monotone et croissante, alors lecomportement reste quand mme similaire celui de l'chelle linaire : les maximas se trouveront toujours au mme et uneaugmentation du rapport de puissance cre une augmentation du RSB (et inversement).

Alors, au final pourquoi l'chelle logarithmique c'est plus mieux ?

Ce signal est la variation de la puissance moyenne d'un signal audio. La premire courbe en rouge correspond l'chelle linaireet la bleue l'chelle logarithmique. De quoi s'en rend-t-on compte ? On a compltement distordu la rpartition des donnes surl'axe des ordonnes.

Les valeurs maximales ont t rduites (de 500 60). La prsentation des donnes sur cette chelle est utile quand ellescouvrent une large bande de valeurs. Passer au logarithme permet de rduire la taille de cette bande de faonconsidrable. Cette stratgie est par exemple utilis pour tracer les rponses en frquences des filtres en lectronique oles deux axes sont gradus sur une chelle logarithmique (on parle alors de repre log-log).Cette distorsion fait apparaitre le signal sous un autre jour. Les grandes contributions sont minimiss alors qu'aucontraire les faibles valeurs sont mis en valeur. Regardez la diffrence de taille pour le premier pic suivant l'chelle !Passer cette reprsentation permet de mieux voir la dynamique du signal. On peut par exemple au milieu l'apparition d'unbruit de fond qui tait plus difficile sur l'autre courbe.




Rappelons que :

Signal plus puissant que le bruit

Signal aussi puissant que le bruit

Signal moins puissant que le bruit

Cette proprit qui peut sembler anodine est trs intressante. Par exemple, quand on aune cascade de systmes qui vont modifier le RSB, sa variation totale est simplement gale la somme des variations de chaquesystme. Et une variation positive correspondra toujours un gain et une variation ngative une attnuation.

Il est aussi intressant de noter que certains de nos sens comme l'audition obissent des chelles logarithmiques. Laperception qu'on a de l'amplitude ou de la frquence des sons n'est pas linaire et s'approche plus de lois logarithmiques. Il estdonc pertinent d'utiliser les mmes chelles.

Attention : la plupart du temps, le RSB est exprim en dcibels ! Si quelqu'un vous dit "J'ai un RSB de 20", il y a defortes chances qu'on vous parle d'un RSB de +20 dcibels.

Pour finir, je vais vous montrer un exemple de signal dgrad par du bruit diffrents niveaux de RSB. C'est un signal audio etsur la bande, on retrouve de la parole, un bruit d'alarme, un bruit de porte, etc. J'ai ensuite rajout artificiellement du bruit. Cebruit est dit blanc et a des proprits trs intressantes que nous verrons plus tard.

Niveau de bruit Signal bruit

Signal original




On peut voir qu'au final, le signal est noy dans le bruit. Vous tes surement en train de vous dire qu'un tel niveau de bruit dtruitcompltement le signal et que a serait une perte de temps de tenter d'en tirer quelque choses. Il n'y a plus d'information viable !Nous n'allons pas abandonner comme a. C'est vrai que, de ce point de vue temporel, la tche peut sembler impossible. Alorspourquoi ne pas changer de point de vue ?

Vous tes la fin ce cours. D'autres chapitres sont encore venir !

Vous pouvez poser des questions techniques sur le forum si des points restent flous.Si vous voulez parler/commenter/questionner au sujet du cours, faites-le dans les commentaires ou par message priv.




SommaireLire aussi Bases de traitement du signalPartie 1 : Exorde la croise des cheminsUne journe comme les autresUn signal, des signaux ?Qu'est ce qu'un signal ?Qu'est ce que le traitement du signal ?Transformer un signalAnalyser un signalCrer un signalTransmettre un signal

Champ d'applicationsTraitement d'imagesTraitement audioCommunicationsEt encore plein d'autres !

Des signaux tous les tagesEn quelle dimension ?Un signal, un signal, un signal,...La premire dimensionUne dimension de plus !Encore une autre...Le mot de la fin

La nature des signauxLa priodicitLa causalit

Energie et puissance d'un signalRsum

Le bruit, une notion relativeLe mme pour tout le monde ?Qui est le plus fort ?chelle linairechelle logarithmique

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