Ecole Polytechnique Universitaire de Paris Spcialit Electronique Informatique ELI, 3me Anne

Cours de traitement du signalSECONDE PARTIE

ZARADER J.L

2008/2009

2

SOMMAIREVII TRANSFORMEE EN Z ........................................................... 3 1) DEFINITIONS ...................................................................... 3 2) PROPRIETES ....................................................................... 6 3) TRANSFORMEE 4) RELATIONSEN

Z

INVERSE

................................................... 8 ............... 13

ENTRE LA

TZ

ET LES AUTRES TRANSFORMEES

VIII ANALYSE DES FILTRES NUMERIQUES ................................ 16 1) SYSTEMES NUMERIQUES ....................................................... 16 2) CLASSIFICATION 3) REALISATION 4) ANALYSEDES FILTRES

................................................ 19 ..................................... 23

DE FILTRES NUMERIQUES

DES FILTRES NUMERIQUES

......................................... 29

IX SYNTHESE DE FILTRES NUMERIQUES ................................... 40 1) RAPPELSSUR LES FILTRES ANALOGIQUES

. ................................. 40 Z.................. 44

2) SYNTHESE 3) SYNTHESE 4) SYNTHESE 5) BRUIT

DE FILTRE PAR TRANSFORMATION DE P EN DE FILTRE PAR INVARIANCE TEMPORELLE

. .................... 49 . ................ 51

DE FILTRE PAR INVARIANCE FREQUENTIELLE

DE TRAITEMENT

......................................................... 55

3

VII Transforme en Z1) DfinitionsLa transforme de Fourier est un outil prcieux d'analyse et de traitement des signaux. Cependant, dans certains problmes (comme le filtrage numrique), les limites de la TF sont vite atteintes. La transforme en Z, qui s'applique aux signaux discrets, gnralise la TF et permet de dpasser ces limites. Cette transformation est comparable la Transforme de Laplace bilatrale qui gnralise la TF dans le cas de systmes continus. Soit x(k) un signal discret. Sa transforme en Z est donne par :+

TZ {x(k)} = Z[ x(k)] = X(Z) = o Z est une variable complexe.

k = -

x(k) Z

-k

Existence de la TZ : L'existence de la TZ est obtenue grce au critre de CAUCHY qui affirme que la srielim uk1 k

k=0

+

uk c o n v e r g e s i :

k +

< 1

En appliquant ce critre, on dmontre que X(Z) existe si : (R x + , R x - ) R 2

tel que 0 R x - < Z < R x + Rx- = et R x + = k +

lim

avec

Rx- < Rx+

k +

lim

1 x(k) k 1 1 x(-k) k

Dem :X( Z) =k = -

+

x(k) Z - k =

k = -

1

x(k) Z - k +

k=0

+

x(k) Z - k

X ( Z) = S1 ( Z) + S2 ( Z) S2 ( Z) c o n v e r g e , d ' a p r s C A U C H Y , s ik +

lim

1 -k x(k) Z k < 1

4 C ' e s t d i r e s i Rx =k +

lim

1 x(k) k < Z 1 +

D e m m e S1 ( Z) c o n v e r g e s i

k = -

x(k) Z - k

=

k =1

x(-k) Z k

converge.

C ' e s t d i r e s i lim

k +

1 k k x(-k) Z < 1

ou encore : Z 0 , y(k) = a k d'o : k R , y(k) = a k u( k ) On peut obtenir ce rsultat plus directement en calculant la TZ inverse de H(Z). En effet, si x(k)=d(k) alors X(Z)=1, d'o : Y(Z) = H(Z)X(Z) = par suite : y( k ) = a k u( k ) .Rponse indicielle :

1 1 - a Z-1

En ce qui concerne la rponse indicielle on peut procder de mme faon. C'est dire soit par programmation directe en remplaant x(k) par u(k), soit par TZ inverse de : Y(Z) = H(Z)X(Z) = soit : Y(Z) = et : y( k ) = 1 [1 - a k +1 ] u(k) 1-ak +

H ( Z) 1 - Z-1

a 1 1 1 = -1 -1 -1 (1 - a Z )(1 - Z ) 1- aZ 1- a 1 - Z-1

- Si a > 1 alors

lim { y( k )} = + y(k) 1+a 1 0 1 2 k

31 - Si a < 1 alorsk +

lim { y( k )} = y(k) 1 1-a 0 1

1 1-a

k

On peut aussi calculer la rponse indicielle en sommant la rponse impulsionnelle : y(0) = h(0) = 1 y(1) = h(0) + h(1) = 1 + a y ( 2 ) = h ( 0 ) + h ( 1 ) + h ( 2 ) = 1 + a + a2 d'o :k > 0

y(k) =

i=0

k

h(i) =

i=0

k

a

i

=

1 - a k +1 u( k ) 1 - a

Rponse une entre quelconque :

De manire gnrale, pour une entre x(k) quelconque on peut calculer y(k) soit par programmation directe, soit par calcul de la TZ inverse. Stabilit On peut tudier la stabilit du filtre partir de la position d e s p l e s d e H ( Z ) . P o u r c e p r e m i e r o r d r e o n a u n s e u l p l e p0 : 1 - a p 01 = 0 p 0 = a

L e f i l t r e e s t d o n c s t a b l e s i p0 < 1 c ' e s t d i r e s i a < 1 . Il est aussi possible d'tudier la stabilit partir rponse impulsionnelle. En effet :

de

la

i = -

+

h(i) =

i=0

+

a

i

1 si a < 1 = 1 - a + si a > 1

On retrouve la mme condition de stabilit. Rponse frquentielle et nature du filtre On peut calculer la rponse frquentielle H(f) par transformation de Fourier de h(k). Cependant, on l'obtient plus facilement en posant :

32 H ( f ) = H(Z)

Z = e +2 jfTe

D a n s l e c a s d u p r e m i e r 1er o r d r e : H(f ) = 1 1 - a e - 2 jfTeH(f) e j (f) a v e c :

o u e n c o r e H( f ) =

H( f ) = et :

e j (f) 1 + a 2 - 2 a cos(2 fTe )

a sin(2 fTe ) ( f ) = Arctg 1 - a cos(2 fTe ) 1 H( f ) 2 = 2 1 + a - 2 a cos(2 fTe )

P o u r t r a c e r H( f )

2

o n s ' i n t r e s s e l a b a n d e [ 0 , Fe ] , c a r H ( f + Fe ) = H ( f ) H(f)2

1 (1-a) 1 (1+a)2 2

f F e /2 Fe

Important: D'une faon plus gnrale, si le filtre des coefficients rels alors sa rponse impulsionnelle est relle. D'aprs les proprits de la transforme de Fourier, on en dduit q u e H( f ) = H* ( f ) d ' o : H(f ) = H( f ) ( f ) = - ( f )

Comme de plus les signaux sont chantillonns on a: H ( f ) = H ( f + Fe ) d'o : H ( Fe - f ) = H ( - f ) = H * ( f )

33 Par suite : H ( f ) = H ( Fe f ) ( f ) = - ( Fe f ) On peut donc, dans le cas d'un filtre coefficients rels, r e s t r e i n d r e l ' t u d e l a b a n d e 0 , Fe / 2 . C e c i e s t c o h r e n t a v e c l e f a i t q u e l e s i g n a l d ' e n t r e e s t c h a n t i l l o n n u n e f r q u e n c e Fe . S a f r q u e n c e m a x i m a l e e s t Fe / 2 . P o u r f i n i r , o n d f i n i t l e g a i n s t a t i q u e Gs p a r :Gs = H ( p = 0 ) = H ( f = 0 ) = H ( Z = 1 )

Dans le cas d'un premier ordre le gain statique est : Gs = 1 1 - a

L'tude de la rponse frquentielle permet de dterminer la fonction du filtre. On constate que ce filtre amplifie les basses frquences et attnue les hautes frquences. C'est donc un filtre passe-bas. b) Stabilit des filtres du second ordre On peut, dans tous les cas, dcomposer la fonction de transfert rationnelle H(Z) d'un filtre, en un produit de fonctions d e t r a n s f e r t G i ( Z) d ' o r d r e 1 o u 2 : H ( Z) =

Gi =1

n

i

( Z)

L e c a s o G i ( Z) e s t d ' o r d r e 1 a y a n t d j t t r a i t , n o u s a l l o n s n o u s i n t r e s s a u c a s o G i ( Z) e s t d ' o r d r e 2 , c ' e s t d i r e s i : G i ( Z) = b 0 + b 1 Z 1 + b 2 Z 2 1 + a1Z1 + a 2 Z 2

L ' t u d e d e l a s t a b i l i t p e u t s ' e f f e c t u e r d a n s l e p l a n ( a1 , a 2 ) . E n e f f e t o n s a i t q u e a 2 e s t l e p r o d u i t d e s p l e s Z1 e t Z2 q u i s o n t complexes conjugus. D'o : a 2 = Z1 Z 2 = Z12

< 1

Une premire condition de stabilit est donc :

34 (1)

a2 < 12 a1 et complexes dans le cas 4

D e p l u s l e s p l e s s o n t r e l s s i a2 < contraire. La parabole d'quation : (2) a2 =2 a1 4

porte les ples doubles. Supposons les ples rels : Z 1 = Z2 = a1 2 a1 2 + 1 2 a 1 - 4a 2 2 1 2 a 1 - 4a 2 2

Le filtre est stable si :

1 < Z2 < Z1 < 1C'est dire si :1 a1 2 1 < - 2 - 2 a1 - 4a 2 a 1 2 1 > - 1 + a1 - 4a 2 2 2 soit :2 a 1 - 4a 2 < (2 - a 1 ) 2 2 2 a 1 - 4a 2 < (2 + a 1 )

ou encore : (3) a 2 > a2 > - 1 + a1 - 1 - a1

L e d o m a i n e d e s t a b i l i t d a n s l e p l a n d e s c o e f f i c i e n t s (a1 , a 2 ) est dlimit par les trois droites obtenues partir des relations (1) et (3) :a 2 = 1 ; a 2 = - 1 + a1 ; a 2 = - 1 - a1

De plus la parabole obtenue en (2) est la frontire entre les ples complexes et rels

35 a2 a2 = 1 Complexes -2 Rels 2 a 2 = a 1 -1 a 2 = - a1 -1 -1 a1 a1 42

L e f i l t r e e s t s t a b l e s i l e s c o e f f i c i e n t s a1 e t a 2 s e t r o u v e n t l'intrieur du triangle. c) Filtres couramment utiliss. Filtres phase linaire. Un filtre est caractris par le module et la phase de sa rponse frquentielle H(f) :H( f ) = H(f) e j (f)

O n d f i n i t l e t e m p s d e p r o p a g a t i o n d e g r o u p e ( o u r e t a r d ) ( f ) p a r :

( f ) =

- 1 d(f) df 2

L e f i l t r e e s t p h a s e l i n a i r e s i ( f ) e s t c o n s t a n t . D a n s c e c a s : ( f ) = -2 f + 0

Cette caractristique est souvent recherche car elle permet d'avoir un retard constant quelque soit la frquence du signal d'entre. Pour un filtre R.I.F on peut montrer que la phase est linaire si les coefficients sont symtriques :

bi = bM -iEn effet la fonction de transfert s'crit : H ( Z) =

i=0

M

bi Z- i

Si M=2P alors : H ( Z) = b P ZP

+

b [Zi i=0

P -1

i

+ Z - (M - i) ]

36

H ( Z) = Z P b P + d'o :

b [Zi i=0

P -1

P-i

+ Z i - P ]

H ( f ) = e - 2 jfPTe b P + 2

i=0

P -1

b i cos(2 f ( P i)Te )

S u i v a n t l e s i g n e d e l ' e x p r e s s i o n e n t r e c r o c h e t s , l a p h a s e ( f ) v a u t :

( f ) = - 2 fPTe ou ( f ) = - 2 fPT + e La phase est linaire et le temps de propagation est constant :

=

-1 2

d(f) df

= P Te

On peut montrer de mme que si M est impair (M=2P+1) alors 1 = P + T 2 e Filtres dphasage minimal. Lors de la ralisation d'un filtre numrique, le cahier des charges porte le plus souvent sur la fonction du filtre (PasseH a u t , P a s s e - B a n d e , . . ) . C ' e s t d i r e s u r l e m o d u l e H(f ) d e l a rponse frquentielle. Cependant, pour certaines applications, la variation de la phase, pour une variation de frquence donne, doit tre minimale. Ces filtres sont appels filtre dphasage minimal .On peut montrer qu'un filtre stable est dphasage minimal si ses zros sont dans le cercle unit. Exemple: C o n s i d r o n s l e s d e u x f i l t r e s H 1 ( Z) e t H 2 ( Z) d f i n i s p a r :H 1 ( Z) = 1 - 0,2Z -1 1 - 0,5Z -1

;

H 2 ( Z) =

1 - 0,2Z 1 - 0,5Z - 1 plus les rponses

H 1 ( Z) e t H 2 ( Z) s o n t s t a b l e s (p 0 = 0,5) . D e f r q u e n t i e l l e s H 1 ( Z) e t H 2 ( Z) s o n t t e l l e s q u e : H 1 (f ) = H 2 (f ) = 1,04 - 0,4cos(2 fTe ) 1,25 - cos(2 fTe )

37 0,2sin(2 fTe ) 0,5sin(2 fTe ) - Arctg 1 ( f ) = Arctg 1 - 0,2cos(2 fTe ) 1 - 0,5cos(2 fTe ) 2 (f ) = 0,2sin(2 fTe ) 0,5sin(2 fTe ) - Arctg - Arctg 1 - 0,2cos(2 fTe ) 1 - 0,5cos(2 fTe )

Ces filtres ne diffrent que par leur rponse en phase. Si l ' o n f a i t v a r i e r f d e 0 Fe / 4 , l e s p h a s e s 1 ( f ) e t 2 ( f ) v a r i e n t respectivement de 0 -15 et de 0 -37. De plus les zros de H 1 ( Z) e t H 2 ( Z) s o n t r e s p e c t i v e m e n t 0 , 2 e t 1 / 0 , 2 = 5 . H 1 ( Z) e s t dphasage minimal. Filtres Passe-Tout. Ces filtres d'entre : H pt ( f ) = 1 Ils sont couramment utiliss pour modifier le comportement de certains systmes numriques en liminant, par exemple, les ples instables. Exemple Au premier ordre, ces filtres sont dfinis par : Z -1 - a H pt ( Z) = 1 - a Z -1 L e z r o s Z0 v a u t avec a < 1

H pt ( Z) n e

modifient

que

la

phase

des

signaux

1 e t l e p l e p0 = a . a = 1

H pt ( f ) =

e -2 jfTe - a 1 - a e - 2 jfTe

sin(2 fTe ) a sin(2 fTe ) - Arctg pt ( f ) = Arctg a - cos(2 fTe ) 1 - a cos(2 fTe )

Filtres Moyenneurs. Ces filtres effectuent une moyenne glissante sur le signal. L'quation de rcurrence est : y( k ) = 1 N

i=0

N -1

x(k - i)

38 La fonction de transfert est :H ( Z) = 1 N

i=0

N -1

Z-i =

1 1 - Z -N N 1 - Z -1

La forme rcursive obtenue pour H(Z) conduit une nouvelle expression de l'quation de rcurrence : y( k ) = y(k - 1) + x(k) - x(k - N) N

La rponse frquentielle s'crit : H(f ) = 1 - e -2 jfNTe 1 - e - 2 jfTe = e - jf(N -1)Te 1 N sin( fNTe ) sin( fTe )

H(f)

1

1 NT e

2 NT e

Fe /2

f

C'est un filtre passe-bas. Le lissage du signal d'entre x(k) sera d'autant plus important que N sera grand. L e g a i n s t a t i q u e Gs v a u t : Gs = H ( Z = 1 ) = 1 . C'est un filtre rponse impulsionnelle finie : h( k ) = 1 N

N 2

N k - 2

C'est un filtre phase linaire. Le temps de propagation est de N 1 T. 2 e Filtre en peigne. Le filtre dont la fonction de transfert s'crit 1 - Z -N H ( Z) = N

39 est appel filtre frquentielle : H( f ) = d'o :H(f)

en

peigne 2

cause

de

sa

reprsentation

1 - e -2 jfNTe N

= e

- jfNTe + j

2 sin(2 fNTe ) N

2/N

Fe

f

Sa rponse impulsionnelle est donne par : h(0)=-h(N)=1 N

et

h(k)=0

si k 0 et k N

Son quation aux diffrences est : x(k) - x(k - N) N C ' e s t u n f i l t r e p h a s e l i n a i r e : = (NTe ) / 2 y( k ) =

40

IX Synthse de filtres Numriques1) Rappels sur les filtres analogiques.Filtre idal Un filtre idal est gnralement reprsent, en frquences, par une ou plusieurs fonctions portes. Exemple : -Considrons le filtre passe-bas de rponse frquentielle H(f) et de rponse impulsionnelle h(t) :

H(f) = (f) FC H(f) e j (f) a v e c ( f ) = 0 d ' o h( t ) = 2 FC sinc(2 FC t ).H( f ) =

H(f) 2Fc

h(t)

f -Fc Fc

-1 2Fc

1 2Fc

t

-De mme pour le filtre passe-bande : H(f) 1

-F P-

-FO

-FP

+

FP-

FO

FP

+

f

Ce type de filtre n'est pas physiquement ralisable. La rponse impulsionnelle n'est pas causale. En supposant que cette rponse est limite par une fentre w(t), la nouvelle rponse, n o t e h1 ( t ) , s ' c r i t :h1 ( t ) = h ( t ) w ( t )

41 L a r p o n s e f r q u e n t i e l l e H1 ( f ) c o r r e s p o n d a n t e e s t :H1 ( f ) = H ( f ) * W ( f )

Exemple : S i w( t) =

T 2

T t - 2

alors

:

H 1 ( f ) = H(f) * T sinc ( fT)e - jfT Ainsi, dans le cas d'un filtre passe-bas on trouve :

H1 (f ) =

FC

- FC

T sinc ( ( f - u)T) e - j(f - u)T du

1 ( f ) e s t d i f f r e n t d e z r o e t H 1 ( f ) e s t r e p r s e n t e p a r :H (f)1

1

f -F c Fc

Ces ondulations sont connues sous le nom de phnomne de GIBBS. Gabarit On approche donc la rponse frquentielle idale un gabarit. Pour un filtre passe-bas, le gabarit est dfinit par : H(f) 1+dP 1-dP dA f F P FC FA

L a f r q u e n c e d e c o u p u r e FC e s t o b t e n u e p o u r u n e a t t n u a t i o n d e 3 d B . L a b a n d e [ 0 , FC ] e s t a p p e l b a n d e p a s s a n t e , [ FP , FA ] e s t l a b a n d e d e t r a n s i t i o n . e t [ FA , + ] l a b a n d e a t t n u e . L e s v a l e u r s d p e t dA s o n t , r e s p e c t i v e m e n t l e s t a u x d ' o n d u l a t i o n s d a n s l a b a n d e

42 passante et dans la bande attnue. On mesure la slectivit) du filtre R par : F R = P FA De mme, pour le filtre passe-bande, le gabarit est : H(f) raideur (ou

1 + dP 1 - dP dA FA

FP

-

F

0

+ FP

F+A

f

O n d f i n i t l a f r q u e n c e c e n t r a l e F0 , l a r a i d e u r R e t l a l a r g e u r de bande relative B par : F0 = F F+ P P

;

R =

FP+ FP + FA FA

;

FP+ FP B = F0

Si B est infrieur 0,1 le filtre est dit la bande troite. Si B est suprieur 0,5, le filtre est bande large. Le gabarit du filtre passe-haut (Resp. coupe-bande) est dfini de faon analogue au passe-bas (Resp. passe-bande). Le rle des bande attnue et passante est invers. Normalisation Un filtre passe-bas, de fonction de transfert H(p) est n o r m a l i s s i s a p u l s a t i o n d e c o u p u r e e s t d e 1 r d / s e t s i H( 0) = 1. On dcrit ces filtres, de faon gnrale, par : H ( p) = 1 a 0 + a 1 p + a 2 p 2 +. . .+ a n p n avec a 0 = 1 c a r H ( p = 0) = 1 .

P l u s i e u r s a u t e u r s o n t p r o p o s u n j e u d e c o e f f i c i e n t s ai. O n citera, par exemple, BUTTEWORTH qui a calcul les coefficients ai d e f a o n c e q u e l e s n p r e m i r e s d r i v e s d e H ( f ) s o i e n t n u l l e s pour f = 0 et :H( f )2

=

1 f 1 + fc 2n

ou encore

H ( )

2

=

1 1 + c 2n

43 Les sont :n 2 3 4 5 6

coefficients

des

filtres

de

BUTTEWORTH

normaliss

a01 1 1 1 1

a1

a21 2 3,4142 5,2361 7,4641

a31 2,6131 5,2361 9,1416

a4

a5

a6

22 2,6131 3,2361 3,8637

1 3,2361 7,4641

1 3,8637

1

De mme BERNSTEIN a propos des coefficients en utilisant les polynmes de LEGENDRE.n 2 3 4 5 6

a01 1 1 1 1

a1

a21 2,2700 4,6253 7,5689 11,549

a31,7319 3,8280 9,8529 17,206

a4

a5

a6

22,3537 3,0411 4,017 4,8056

2,4493 6,9369 19,018

4,4710 12,204

7,0702

Pour raliser des filtres passe-bande, passe-haut ou coupebande, il suffit d'effectuer une transformation du filtre passe-bas normalis. Cette transformation porte sur la variable de Laplace p. p p : F i l t r e p a s s e - b a s d e f r q u e n c e d e c o u p u r e FC 2FC 2FC : F i l t r e p a s s e - h a u t d e f r q u e n c e d e c o u p u r e FC p2 F0 1 p : F i l t r e p a s s e - b a n d e d e f r q u e n c e c e n t r a l e F0 e t + B 2 F0 p de largeur de bande relative B B 2 F0 p + 2 F0 p

p

p

p

: F i l t r e c o u p e - b a n d e d e f r q u e n c e c e n t r a l e F0 e t d e largeur de bande relative B

E x e m p l e : T r a n s f o r m a t i o n d u f i l t r e p a s s e - b a s d u 1er o r d r e e n u n f i l t r e p a s s e h a u t d e f r q u e n c e d e c o u p u r e FC : H ( p) = 1 : p a s s e - b a s n o r m a l i s 1er o r d r e 1+ p

44 2 FC H 1 ( p) = H = p FC . p p + 2 FC

: Passe-haut de frquence de coupure

2) Synthse de filtre par transformation de p en Z.Le passage de la fonction de transfert H(p) H(Z) s'effectue , de faon thorique, en posant p=Ln[Z], ce qui conduit une fonction H(Z) non-rationnelle et donc un filtre difficilement ralisable. Pour passer du filtre analogique au filtre numrique, il faut donc trouver une transformation p=f(Z) qui permet d'crire la fonction de transfert du filtre discret sous forme rationnelle, donc ralisable simplement. Ces relations sont tablies par quivalence entre la fonction ralise par le filtre analogique H ( p ) e t l e f i l t r e d i s c r e t H 1 ( Z) .Dans tous les cas, la relation entre p et Z n'est qu'une a p p r o x i m a t i o n d e Z = e pTe , q u i c o n d u i t u n e d f o r m a t i o n d e l a rponse frquentielle. C'est dire :

H ( p = 2 jf) H 1 ( Z = e 2 jfT ) o H 1 ( Z) e s t l e f i l t r e o b t e n u p o u r H ( p = f ( Z ) ) . a) Equivalence de la drivation L'action drive, en continu, est caractrise par la fonction d e t r a n s f e r t H D ( p) :H D ( p) = p .

En discret la drive y(k) du signal x(k) peut s'approcher par : (1) y( k ) = x(k) - x(k - 1) Te

d'o : 1 - Z -1 Y(Z) = H ( Z) = Te X(Z) S i l ' o n p o s e H D ( p) = H(Z) a l o r s : p = 1 - Z-1 Te

45 R e m a r q u e : C ' e s t u n a p p r o x i m a t i o n , a u 1 e r o r d r e d e Z = e pTe : Z1

= e

- pTe

1 - Z -1 1 - pTe d' o p = Te filtre

Dterminer la relation de rcurrence du Exemple: n u m r i q u e H 1 ( Z) c o r r e s p o n d a n t a u f i l t r e a n a l o g i q u e H ( p ) : H ( p) = 1 1+ p (passe-bas normalis)1 - Z -1 = Te Te Te + 1 Z 1

H 1 ( Z) = H p =

d'o : y( k ) = 1 T x( k ) + y(k - 1) Te + 1 e

[

]

La ralisation est : 1 Te+1

Te x(k)

+Z-1

y(k)

Remarque : Il existe d'autres approches de la drivation discret. Mais la relation (1) est la plus couramment utilise. b) Transformation bilinaire (Equivalence de l'intgration)

en

C'est une transformation trs frquente dans la ralisation filtres numriques. Elle consiste approcher l'intgration 1 , par la relation de rcurrence, en discret : i d a l , H I ( p) = p de y( k ) = y(k - 1) + Te [ x( k ) + x( k 1)] 2

o,

Te x ( k ) + x ( k 1) r e p r s e n t e l ' a i r e e n t r e x ( k ) e t x ( k - 1 ) , c a l c u l e 2 p a r l a m t h o d e d e s t r a p z e . H 1 ( Z) s ' c r i t :

Te 1 + Z -1 H 1 ( Z) = 2 1 - Z -1

46 La relation entre p et Z est donc :T 1 + Z -1 1 = e p 2 1 - Z -1

d'o : p = 2 1 - Z -1 Te 1 + Z -1

Cette transformation est appele transformation bilinaire. Exemple : S i H(p) = 1 1+ p Te (1 + Z 1 ) 2 1 - Z -1 = a l o r s H 1 ( Z) = H p = Te 1 + Z -1 Te + 2 + (Te 2) Z 1

L'quation de rcurrence est : y( k ) = 1 T x( k ) + Te x( k 1) + (2 - Te ) y( k 1) Te + 2 e Te 2 + Te x(k)-1

[

]

y(k) Z Te 2 + Te 2 - Te 2 + Te Z-1

Remarque : On peut tablir d'autres expressions de " l'intgration discrte ", donc d'autres transformation de p en Z. Par exemple, l'approximation de Simpson : T y( k ) = y( k 2) + e [ x( k ) + 4 x( k 1) + x( k 2)] 3 c) Transformation homographique La transformation homographique s'crit : Z-1 1 - Z -1 p = K -1 = K Z+1 1+ Z La transformation bilinaire est un cas particulier de transformation homographique. K est le facteur d'adaptation en frquence. Etudions d'abord le cas o K = 1, c'est dire si : d'o 3 1 - Z -2 p = Te 1 + 4Z -1 + Z - 2

47 1+ p Z-1 Z = 1- p Z+1

p =

La stabilit du filtre numrique est assure si le filtre a n a l o g i q u e e s t s t a b l e . E n e f f e t , s i l e p l e p0 e s t p a r t i e r e l l e n g a t i v e , Z0 s ' c r i t : Z0 = d'o : Z02

1 + 0 + 2 jf 0 1 + p0 = 1 - 0 - 2 jf 0 1 - p0 (1 + 0 ) 2 + (2 f 0 ) 2 < 1 = (1 - 0 ) 2 + (2 f 0 ) 2 avec0 < 0 .

Le filtre est donc stable. Cependant, les rponses f r q u e n c i e l l e s d u f i l t r e a n a l o g i q u e H ( p = 2 jf ) e t d u f i l t r e d i s c r e t H 1 ( Z = e 2 jfT ) s o n t d i f f r e n t e s . E n e f f e t , c e t y p e d e t r a n s f o r m a t i o n i n t r o d u i t u n e d i s t o r s i o n e n f r q u e n c e . A p p e l o n s fA u n e f r q u e n c e d a n s l e d o m a i n e c o n t i n u e t fD u n e f r q u e n c e d a n s l e d o m a i n e d i s c r e t . E n t h o r i e , Z = e 2 jf DTe = e pTe = e 2 jfA Te d ' o fA = f D . E n p r a t i q u e , si l'on utilise la transformation homographique, on trouve : p = e 2 jf DTe - 1 Z-1 2 jf A = 2 jf DTe Z+1 e +1

soit encore : 2 jf A ou : e jf DTe = jf DTe e e jf D Te e - jf DTe e jf DTe + e - jf DTe

2 jf A = j tg( f D Te )

L a r e l a t i o n q u i l i e fA e t f D e s t d o n c :2 f A = A = tg( f D Te ) D Te tg 2

d'o : D = 2 Arctg( A ) Te

48 Te Te C e t t e r e l a t i o n m o n t r e q u e l o r s q u e A v a r i e d e 0 + , D Fe v a r i e d e 0 / Te . L a f r q u e n c e f D v a r i e d o n c d e 0 . Cette 2 transformation l'avantage d'viter le problme de recouvrement spectral, li l'chantillonnage. Si l'on veut que les rponses frquentielles des filtres analogique et discret soient gales pour l e s p u l s a t i o n A = A0 e t D = D0 , i l f a u t i n t r o d u i r e u n f a c t e u r d'adaptation K tel que :K = A0 D0 Te tg 2 A0 D0 Te tg 2 D

A

p =

Z-1 Z+1

On est ainsi assur que les rponses frquentielles H 1 ( Z = e 2 jfTe ) v r i f i e n t l a r e l a t i o n : H ( p = 2 jf A 0 ) = H 1 ( Z = e 2 jf D 0Te )

H ( p = 2jf ) e t

Exemple : Considrons le filtre passe-bas de pulsation de coupure C : 1 H ( p) = p 1+ C On dsire raliser un filtre numrique passe-bas de f r q u e n c e d e c o u p u r e i d e n t i q u e C . O n a a l o r s D0 = A0 = C , d o n c :

K =

C C Te tg 2

et :

49H 1 (Z) = 1+ 1 1 C Te tg 2 Z-1 Z+1

On vrifie bien que : H 1 (Z = e j C Te ) = 1 1+ j = H(p = j C )

D'autre part l'quation de rcurrence du filtre numrique est : C Te 1 - tg 2 y(k - 1) + C Te 1 + tg 2 C Te tg 2 C Te 1 + tg 2

y( k ) =

[ x(k)

+ x(k - 1)]

3) Synthse de filtre par invariance temporelle.Ce type de synthse a pour but de faire correspondre les sorties des filtres analogique et numrique pour des entres donnes. C'est dire :y1 ( k ) = y(t = kTe )

o y1 ( k ) e s t l a s o r t i e d u f i l t r e d i s c r e t e t y ( t ) l a s o r t i e d u f i l t r e continu. a) Invariance impulsionnelle On veut, dans ce cas, que les rponses impulsionnelles soient identiques. Il faut dans un premier temps calculer h(t) par t r a n s f o r m a t i o n d e L a p l a c e i n v e r s e ( h( t ) = L-1 H ( p ) ) . P u i s e n d d u i r e h ( k ) p a r h ( k ) = h(t = kTe ) . E n f i n c a l c u l e r H ( Z ) p a r t i r d e h(k) : H ( Z) =k = -

h(k) Z

+

-k

= TZ[ h(k)]

Ces trois oprations sont crites de faon simplifie : H ( Z) = TZ L-1 [ H ( p)]

[

]

E x e m p l e : E f f e c t u e r l a s y n t h s e d u f i l t r e p a s s e - b a s d u 1er o r d r e , d e f r q u e n c e d e c o u p u r e fC , p a r u n e t e c h n i q u e d ' i n v a r i a n c e impulsionnelle.

50

H ( p) =

1 p 1+ C

= 1+

1 p 2 f C et h( k ) = C e - C kTe . O n e n d d u i t H ( Z ) :

d ' o h( t ) = L-1 [ H ( p)] = C e - C t H ( Z) = Par suite : C 1 - e - CTe Z 1

y( k ) = e - CTe y( k 1) + C x( k ) b) Invariance indicielle On dsire que les rponses indicielles soient identiques. S o i t Yind ( p ) l a t r a n s f o r m e d e L a p l a c e d e l a r p o n s e i n d i c i e l l e , c'est dire : Yind ( p) = H(p) U(p) o U(p) est la transforme de Laplace de l'chelon u(t) : U( p ) = 1 H(p) Yind ( p) = p p

H(p) d ' o Yind ( t ) = L-1 p De mme en discret on a : Y(Z)=H(Z)U(Z) o U(z) est la transforme en Z de l'chelon u(k) : U( Z) = d'o : Y ( Z ) = H ( Z ) U ( Z ) = TZ y ind ( k ) soit encore : H ( Z) = H ( p) Z-1 TZ L-1 Z p Z Z-1

E x e m p l e : A p p l i q u o n s l ' i n v a r i a n c e i n d i c i e l l e a u f i l t r e d u 1er o r d r e H(p) :

51 H ( p) = d'o : H ( p) p 1 1+ p C = C C + p

=

C p(p + C )

=

1 p

-

1 p + C

H ( p) y ind ( t ) = L-1 = p et :

(1 - e - t ) u(t)C

Y( Z) = TZ[ y ind ( k )] = TZ[(1 - e C kTe ) u( k )] Y( Z) = Z Z-1 Z Z - e - C Te si Z > 1

donc : H ( Z) = Z-1 Y(Z) = 1 Z Z-1 Z - e - C Te = 1 - e - C Te Z - e - C Te

H ( Z) = On en rcurrence

(1 - e

- C Te

)

Z -1 1 - e - C Te Z -1 la rponse impulsionnelle et l'quation de

dduit

h( k ) = (1 - e - C Te ) e - C ( k 1) Te u(k - 1) - C Te y( k 1) + (1 - e - C Te ) x(k - 1) y( k ) = e c) Invariance pour une entre quelconque e(t) O n p r o c d e , p o u r u n e e n t r e q u e l c o n q u e e(kTe ) d e l a m m e faon que prcdemment. La sortie y(t) s'crit :y( t ) = L-1 [ H ( p) E(p)]

avec E(p)=L[e(t)]. D'autre part : Y(Z) H ( Z) = E(Z) Par suite : TZ[ y(k)] E(Z) H ( Z) = 1 TZ L-1 [ H ( p) E(p)] E(Z)

=

[

]

4) Synthse de filtre par invariance frquentielle.

52 La synthse de filtre par invariance frquentielle suppose la connaissance de la rponse frquentielle H(n) chantillonne sur nFe N points aux frquences : NH ( n) = TFD N {h( k )}

o h(k) est la rponse points . On a alors : H ( Z) = Soit : H ( Z) = 1 N1 N

impulsionnelle

limite

aux

N

premiers

h(k) Zk=0 N -1

N -1

-k

N -1 0 n0 H(n) WN+ nk Z - k k= =

H ( Z) = H ( Z) =

N -1 k + H(n) (WN n Z 1 ) n=0 k = 0 -N + nN N -1 1 - Z WN 1 0 H(n) 1 - W + n Z -1 N n= N

N -1

Soit enfin : H ( Z) = 1 - Z -N N

H(n)n=0

N -1

1 + 1 - WN n Z -1

Remarque :

h ( k ) e s t r e l l e s i H ( N - n ) = H * (n)

Exemple: Un signal x(t) est chantillonn sur 8 points, une f r q u e n c e Fe = 8 K H z . O n d s i r e f i l t r e r x ( k ) p a r u n f i l t r e p a s s e - b a s d e f r q u e n c e d e c o u p u r e FC = 2 , 5 K H z . O n e n d d u i t : N = 8 e t f =Fe = 1KHz N

On doit donc avoir : H(0) = 1 ; H(1) = 1 ; H(2) = 1 ; H(3) = 0 ; H(4) = 0 et par symtrie : H ( 5 ) = H*( 8 - 5 ) = 0 ; H ( 6 ) = H*( 8 - 6 ) = 1 H ( 7 ) = H*( 8 - 7 ) = 1 On peut reprsenter H(n) par :

53 H(n)

1 n

0 d'o H ( Z) = 1 - Z -8 8

1

2

3

4

5

6

7

8

H(n)n=0

7

1 1 W8+ n Z 1

H ( Z) =

1 1 1 1 1 - Z -8 1 1 + 1 1 + 2 1 + 6 1 + 7 1 8 1 W8 Z 1 W8 Z 1 W8 Z 1 W8 Z 1 Z

La ralisation de tels filtres s'effectue en posant : H ( Z) = P(Z) avec : P(z) = Filtre en peigne = G n ( Z) = H(n) + 1 - WN n Z 1 G 0 (Z) G 1 (Z) x(k) P(Z) 1 - Z -N N

Gn=0

N -1

n

( Z)

+

y(k)

GN-1 (Z) Filtrage par TFD Il est possible de filtrer le signal d'entre x(k) domaine frquentiel, en calculant sa TFD. On a alors : X(n)=TFD{x(k)} Le signal y(k) est obtenu par TFD Inverse : dans le

54Y( k ) = TFD -1 {Y( n)} = TFD -1 {H ( n) X(n)}

Application : Loupe spectrale frquentielle. Effectuer une loupe spectrale, sur une bande de frquence B = f1 - f0 c o n s i s t e a u g m e n t e r l a r s o l u t i o n f , s u r l a b a n d e B , e n liminant les frquences extrieurs la bande . Soit x(k) un signal de frquence de coupure FC , c h a n t i l l o n n u n e f r q u e n c e Fe e t d e d u r e i m p o r t a n t e . O n dispose d'un transformateur de Fourier qui effectue une TFD sur N points au maximum. La rsolution est donc : f = Fe N

o r , o n d s i r e a v o i r u n e r s o l u t i o n f B s u r l a b a n d e B : f B = B N = f1 - f 0 N

Comment faire?. Il faut dans un premier temps dcouper le signal x ( k ) e n b l o c s d e N p o i n t s xi ( k ) : x 1 (k) x 2 (k) x 3 (k) x i (k) x i+1 (k)

O n e f f e c t u e e n s u i t e s u r c h a q u e b l o c xi ( k ) u n e T F D :

x i (k) TFD 0 (N-1) Te

X i (n) 0 f0 f1 Fe

P u i s o n m u l t i p l i e Xi ( n) p a r H ( n ) , q u i d a n s c e c a s , e s t u n e p o r t e c o m p r i s e e n t r e f0 e t f1. O n o b t i e n t l e s p e c t r e Yi ( n ) , q u i e s t non-nul sur C points (C