St Valentin 2006Cours de graphes 1 - Intranet2 Marc Gengler Marc.Gengler@esil.univ-mrs.fr Cours de...

St Valentin 2006 Cours de graphes 1 - Intranet 2

Marc GenglerMarc Gengler

Marc.Gengler@esil.univ-Marc.Gengler@esil.univ-mrs.frmrs.fr

Cours de graphesCours de graphes

Alexandra Bac - Sébastien FournierAlexandra Bac - Sébastien Fournier

12h de cours12h de cours12h de TD12h de TDdes devoirsdes devoirs

… … et un et un examenexamen

Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours

•Définitions de baseDéfinitions de base•ConnexitéConnexité•Les plus courts cheminsLes plus courts chemins•Dijkstra et Bellmann-FordDijkstra et Bellmann-Ford•ArbresArbres•Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux •Problèmes de flotsProblèmes de flots•Coloriage de graphesColoriage de graphes•CouplageCouplage•Chemins d’Euler et de HamiltonChemins d’Euler et de Hamilton•Problèmes NP-completsProblèmes NP-complets

BibliographieBibliographie

•Tout ce qui contientTout ce qui contient

- graphes, graphs.- graphes, graphs.•InternetInternet

- souvent, c’est trop simplifié ou trop - souvent, c’est trop simplifié ou trop dense,dense,

- et pas toujours correct.- et pas toujours correct.•Mes choixMes choix

- Introduction to Algorithms, Leiserson et - Introduction to Algorithms, Leiserson et al.al.

- Algorithms, Sedgewick.- Algorithms, Sedgewick.

- Fundamental Algorithms, Knuth.- Fundamental Algorithms, Knuth.

- Graphes, Berge.- Graphes, Berge.

Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours

•Définitions de baseDéfinitions de base•ConnexitéConnexité•Les plus courts cheminsLes plus courts chemins•Dijkstra et Bellmann-FordDijkstra et Bellmann-Ford•ArbresArbres•Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux •Problèmes de flotsProblèmes de flots•Coloriage de graphesColoriage de graphes•CouplageCouplage•Chemins d’Euler et de HamiltonChemins d’Euler et de Hamilton•Problèmes NP-completsProblèmes NP-complets

Définitions de baseDéfinitions de base----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Il y a des sommets ! (vertex, vertices)Il y a des sommets ! (vertex, vertices)

• Il y a des arêtes ! (edge)Il y a des arêtes ! (edge)

• Il y a des arcs ! (arc)Il y a des arcs ! (arc)

• Formellement :Formellement :

• Il y a l’ensemble « V » des sommets.Il y a l’ensemble « V » des sommets.

– Il y en a « n », c’est-à-dire | V | .Il y en a « n », c’est-à-dire | V | .– La complexité est fonction du nombre de La complexité est fonction du nombre de

sommets.sommets.

• Il y a l’ensemble « E » des arcs et arêtes.Il y a l’ensemble « E » des arcs et arêtes.

– C’est une partie du produit cartésien V x V .C’est une partie du produit cartésien V x V .

sommets.sommets.

– « E » peut être réflexif, irréflexif ou ni l’un, ni « E » peut être réflexif, irréflexif ou ni l’un, ni l’autre.l’autre.

sommets.sommets.

Tous des couples ( a , a ) !Tous des couples ( a , a ) !

sommets.sommets.

Tous des couples ( a , a ) !Tous des couples ( a , a ) ! Aucun couple ( a , a ) !Aucun couple ( a , a ) !

– Il y en a « n », c’est-à-dire | V | .Il y en a « n », c’est-à-dire | V | .– La complexité est fonction du nombre de sommets.La complexité est fonction du nombre de sommets.

– « E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni « E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni -- ni. ni.

( a , b ) ssi ( b , a ) !( a , b ) ssi ( b , a ) !

( a , b ) ssi ( b , a ) !( a , b ) ssi ( b , a ) !Si ( a , b ) avec a = b alors pas ( b , a ) !Si ( a , b ) avec a = b alors pas ( b , a ) !//

– « E » peut être « E » peut être symétriquesymétrique, , anti-symétrique ou ni anti-symétrique ou ni -- ni ni..

Graphe non orienté !Graphe non orienté ! Graphe orienté !Graphe orienté !

– « E » peut être réflexif, irréflexif ou ni l’un, ni l’autre.« E » peut être réflexif, irréflexif ou ni l’un, ni l’autre.

– « E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni « E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni -- ni.ni.

– « E » peut être transitive, ou non-transitive.« E » peut être transitive, ou non-transitive.

Si ( a , b ) et ( b , c ) alors (a , c ) !Si ( a , b ) et ( b , c ) alors (a , c ) !

– « E » peut être réflexif, irréflexif ou ni l’un, ni l’autre.« E » peut être réflexif, irréflexif ou ni l’un, ni l’autre.

– « E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni « E » peut être symétrique, anti-symétrique ou ni -- ni.ni.

– « E » peut être transitive, ou non-transitive.« E » peut être transitive, ou non-transitive.

– G = ( V , E )G = ( V , E )– Un graphe est donné par les ensembles « V » et Un graphe est donné par les ensembles « V » et

« E ».« E ».

• Il y a des multi-graphes qui sont correspondent au cas Il y a des multi-graphes qui sont correspondent au cas où « E » est un multi-ensemble (plusieurs arêtes et/ou où « E » est un multi-ensemble (plusieurs arêtes et/ou arcs entre deux sommets).arcs entre deux sommets).

« E ».« E ».

• Il y a des multi-graphes qui sont correspondent au cas Il y a des multi-graphes qui sont correspondent au cas où « E » est un multi-ensemble (plusieurs arêtes et/ou où « E » est un multi-ensemble (plusieurs arêtes et/ou arcs entre deux sommets).arcs entre deux sommets).

• Il y a des graphes pondérés qui correspondent au fait Il y a des graphes pondérés qui correspondent au fait l’on attache des poids aux arcs ou arêtes (entiers par l’on attache des poids aux arcs ou arêtes (entiers par exemple).exemple). 1212

15152525

• Sous-graphe G’ d’un graphe G :Sous-graphe G’ d’un graphe G :

– Le graphe G’ = ( V’ , E’ ) est un sous-graphe du Le graphe G’ = ( V’ , E’ ) est un sous-graphe du graphe G = ( V , E ) , si :graphe G = ( V , E ) , si :

• V’ V les sommets de G’ sont parmi ceux V’ V les sommets de G’ sont parmi ceux de Gde G

• E’ E V’ x V’ les arcs et arêtes de G’ sont E’ E V’ x V’ les arcs et arêtes de G’ sont parmiparmi

ceux et celles de G et se ceux et celles de G et se limitentlimitent

aux sommets de G’.aux sommets de G’.

• Représentation des données :Représentation des données :

• Nous indexons (numérotons) les sommets.Nous indexons (numérotons) les sommets.

• Nous représentons les arcs et les arêtes.Nous représentons les arcs et les arêtes.

• Représentation des données :Représentation des données :

• Nous indexons (numérotons) les sommets.Nous indexons (numérotons) les sommets.

• Nous représentons les arcs et les arêtes.Nous représentons les arcs et les arêtes.

• Nous obtenons une matrice « M » de taille n Nous obtenons une matrice « M » de taille n x n qui comporte des valeurs binaires.x n qui comporte des valeurs binaires.

• M( a , b ) est vrai si et seulement si l’arc ( a M( a , b ) est vrai si et seulement si l’arc ( a , b ) existe !, b ) existe !

11 22 33 44 55 66

L’existence ou nonde l’arc ( 2 , 5 ) ! ! !

11 22 33 44 55 66

F La diagonale parle des couples ( u , u ) !

11 22 33 44 55 66

Les arêtes ( 2 , 4 ) et ( 3 , 5 )sont symétriques !

La diagonale parle des couples ( u , u ) !

11 22 33 44 55 66

Les arcs ( 1 , 4 ) et ( 4 , 1 )donnent aussi une symétrie !

11 22 33 44 55 66

Les arcs ( 4 , 3 ) et ( 6 , 3 ) n’ontpas leur pendant symétrique ! ! !

11 22 33 44 55 66

Il faut n^2 bits !

F FF F

11 22 33 44 55 66

FPour des multi-graphes, nousremplaçons les booléens pardes multiplicités !V

Pour des graphes pondérés,nous remplaçons les booléenspar des poids !

F FF F

11 22 33 44 55 66

F FF F

Parfois, le graphe est peu dense !Parfois, le graphe est peu dense !

Nous mémorisons juste les indicesNous mémorisons juste les indicesdes colonnes différentes de Faux !des colonnes différentes de Faux !

11 22 33 44 55 66

F FF F

11 22 33 44 55 66

F FF F

11 22 33 44 55 66

F FF F

11 22 33

11 22 33 44 55 66

F FF F

11 22 33

11 22 33 44 55 66

F FF F

11 22 33

Il fautIl faut( ( | V || V | + + | E || E | ) * ) * log( | V | )log( | V | )bits !bits !

11 22 33 44 55 66

FLes voisins d’un sommet « u » :

Les voisins sortants : V+ ( u )

Les voisins entrants : V- ( u )

F FF F

11 22 33 44 55 66

V+ ( u ) = { v V | ( u , v ) E }

V- ( u ) = { v V | ( v , u ) E }

F FF F

11 22 33 44 55 66

V+ ( u ) = { v V | ( u , v ) E }

V- ( u ) = { v V | ( v , u ) E }

F FF F

V+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 }V+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 }

11 22 33 44 55 66

V+ ( u ) = { v V | ( u , v ) E }

V- ( u ) = { v V | ( v , u ) E }

F FF F

VV-- ( 3 ) = { 4 , 5 , 6 } ( 3 ) = { 4 , 5 , 6 }

V+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 }V+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 }

11 22 33 44 55 66

V+ ( u ) = { v V | ( u , v ) E }

V- ( u ) = { v V | ( v , u ) E }

F FF F

Si le graphe est symétrique :Si le graphe est symétrique :

V ( u ) = V+ ( u ) = VV ( u ) = V+ ( u ) = V-- ( u ) ( u )

VV-- ( 3 ) = { 4 , 5 , 6 } ( 3 ) = { 4 , 5 , 6 }

V+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 }V+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 }

11 22 33 44 55 66

FLe degré d’un sommet « u » :

Le degré sortant : D+ ( u )

Le degré entrant : D- ( u )

F FF F

11 22 33 44 55 66

D+ ( u ) = | V+ ( u ) |

D- ( u ) = | V- ( u ) |

F FF F

11 22 33 44 55 66

D+ ( u ) = | V+ ( u ) |

D- ( u ) = | V- ( u ) |

F FF F

D ( u ) = D+ ( u ) = DD ( u ) = D+ ( u ) = D-- ( u ) ( u )

11 22 33 44 55 66

D+ ( u ) = | V+ ( u ) |

D- ( u ) = | V- ( u ) |

F FF F

D ( u ) = D+ ( u ) = DD ( u ) = D+ ( u ) = D-- ( u ) ( u )

Le degré d’un graphe G = ( V , E ) :Le degré d’un graphe G = ( V , E ) :

D( G ) = D( G ) = maxmax { D ( u ) } { D ( u ) }u u V V

11 22 33 44 55 66

D+ ( u ) = | V+ ( u ) |

D- ( u ) = | V- ( u ) |

F FF F

D ( u ) = D+ ( u ) = DD ( u ) = D+ ( u ) = D-- ( u ) ( u )

Le degré d’un graphe G = ( V , E ) :Le degré d’un graphe G = ( V , E ) :

D( G ) = D( G ) = maxmax { D ( u ) } { D ( u ) }u u V V

• Les chemins :Les chemins :

• Un chemin, de longueur « n », du sommet « u » au Un chemin, de longueur « n », du sommet « u » au sommet « v » est :sommet « v » est :

( w , . . . , w )( w , . . . , w )11 n+1n+1

( w , . . . , w )( w , . . . , w )

• telle quetelle que

– u = w et v = wu = w et v = w

– ( w , w ) est une arête ou un arc du graphe.( w , w ) est une arête ou un arc du graphe.

11 n+1n+1

ii i+1i+1

11 n+1n+1

( w , . . . , w )( w , . . . , w )

• telle quetelle que

– u = w et v = wu = w et v = w

– ( w , w ) est une arête ou un arc du graphe.( w , w ) est une arête ou un arc du graphe.

• Le chemin est orienté s’il comporte des arcs, non Le chemin est orienté s’il comporte des arcs, non orienté s’il est fait d’arêtes uniquement.orienté s’il est fait d’arêtes uniquement.

11 n+1n+1

ii i+1i+1

11 n+1n+1

• Notations et propriétés sur les chemins :Notations et propriétés sur les chemins :

• Nous noterons ( c’est non standard ) :Nous noterons ( c’est non standard ) :

– ( u , v ) l’arête ou l’arc, c’est-à-dire le chemin de ( u , v ) l’arête ou l’arc, c’est-à-dire le chemin de longueur 1 .longueur 1 .

– ( u ; v ) le chemin de longueur quelconque.( u ; v ) le chemin de longueur quelconque.

• Pour tout chemin non orienté ( u ; v ) du graphe G, Pour tout chemin non orienté ( u ; v ) du graphe G, nous pouvons construire le chemin ( v ; u ) dans G.nous pouvons construire le chemin ( v ; u ) dans G.

• Dans un graphe G, l’existence du chemin orienté ( u Dans un graphe G, l’existence du chemin orienté ( u ; v ) n’implique pas l’existence d’un chemin de ; v ) n’implique pas l’existence d’un chemin de retour ( v ; u ) .retour ( v ; u ) .

• Cycles et circuits :Cycles et circuits :

• Un chemin non orienté ( u ; v ) pour lequel « u » Un chemin non orienté ( u ; v ) pour lequel « u » coïncide avec « v » est un cycle.coïncide avec « v » est un cycle.

u = vu = v

• Un chemin orienté ( w ; t ) pour lequel « w » Un chemin orienté ( w ; t ) pour lequel « w » coïncide avec « t » est un circuit.coïncide avec « t » est un circuit.

u = vu = v

• Un chemin orienté ( w ; t ) pour lequel « w » Un chemin orienté ( w ; t ) pour lequel « w » coïncide avec « t » est un circuit.coïncide avec « t » est un circuit.

u = vu = v

w = tw = t

• Chemins simples :Chemins simples :

• Un chemin ( u ; v ) , où « u » est différent de « v », Un chemin ( u ; v ) , où « u » est différent de « v », est est simplesimple si et seulement si aucun sommet n’est si et seulement si aucun sommet n’est répété dans la séquence :répété dans la séquence :

( u , . . . , v )( u , . . . , v )

uuChemin simple ( u ; v )Chemin simple ( u ; v )

( u , . . . , v )( u , . . . , v )

Chemin simple ( u ; v )Chemin simple ( u ; v )

Chemin nonChemin nonsimple ( w ; t )simple ( w ; t )

( u , . . . , v )( u , . . . , v )

Chemin simple ( u ; v )Chemin simple ( u ; v )

Chemin nonChemin nonsimple ( w ; t )simple ( w ; t )

• Lemme de König :Lemme de König :

• De tout chemin non simple ( u ; v ) , nous pouvons De tout chemin non simple ( u ; v ) , nous pouvons extraire un chemin de « u » vers « v » qui est extraire un chemin de « u » vers « v » qui est simplesimple et et plus courtplus court que le chemin initial. que le chemin initial.

( u , . . . , ( u , . . . , w , . . . , w , w , . . . , w , t , . . . , v )t , . . . , v )

( u , . . . ,( u , . . . , w ,w , . . . , w , . . . , w , t , . . . , v )t , . . . , v )

ttDe tout cycle ouDe tout cycle oucircuit nouscircuit nouspouvonspouvonsextraire unextraire uncycle ou circuitcycle ou circuitélémentaireélémentaire ! !

( u , . . . ,( u , . . . , w ,w , . . . , w , . . . , w , t , . . . , v )t , . . . , v )

ttDe tout cycle ouDe tout cycle oucircuit nouscircuit nouspouvonspouvonsextraire unextraire uncycle ou circuitcycle ou circuitélémentaireélémentaire ! !

11 22 33 44 55 66

F FF F

La composante connexe de « u » :

La composante sortante : C+ ( u )

La composante entrante : C- ( u )

11 22 33 44 55 66

F FF F

C+ ( u ) = { v V | ( u ; v ) existe }

C- ( u ) = { v V | ( v ; u ) existe }

11 22 33 44 55 66

F FF F

C+ ( u ) = { v V | ( u ; v ) existe }

C- ( u ) = { v V | ( v ; u ) existe }

C+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }C+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

11 22 33 44 55 66

F FF F

C+ ( u ) = { v V | ( u ; v ) existe }

C- ( u ) = { v V | ( v ; u ) existe }

C+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }C+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

CC-- ( 4 ) = { 1 , 2 , 4 } ( 4 ) = { 1 , 2 , 4 }

11 22 33 44 55 66

F FF F

C+ ( u ) = { v V | ( u ; v ) existe }

C- ( u ) = { v V | ( v ; u ) existe }

Si G est symétrique : C ( u ) = C+ ( u ) = CSi G est symétrique : C ( u ) = C+ ( u ) = C-- ( u ) ( u )

C+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }C+ ( 4 ) = { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 }

CC-- ( 4 ) = { 1 , 2 , 4 } ( 4 ) = { 1 , 2 , 4 }

• Pour un graphe non orienté :Pour un graphe non orienté :

• La composante connexe de « u » est :La composante connexe de « u » est :

– réflexive, vous pouvez rester où vous êtes !réflexive, vous pouvez rester où vous êtes !

– symétrique, les chemins de retour existent !symétrique, les chemins de retour existent !

– transitive, vous pouvez concaténer des chemins !transitive, vous pouvez concaténer des chemins !

• Une composante connexe est une classe Une composante connexe est une classe d’équivalence !d’équivalence !

• Un graphe non orienté est partitionné en ses classes Un graphe non orienté est partitionné en ses classes d’équivalence !d’équivalence !

11 22 33 44 55 66

F FF F

Nous partons d’uneNous partons d’unerelation symétrique !relation symétrique !

11 22 33 44 55 66

F FF F

Nous fermons réflexivement !Nous fermons réflexivement !

11 22 33 44 55 66

F FF F

La fermeture réflexive d’uneLa fermeture réflexive d’unerelation « R » est la plus petiterelation « R » est la plus petiterelation réflexive qui contienne « R ».relation réflexive qui contienne « R ».

11 22 33 44 55 66

F FF F

La fermeture réflexive d’uneLa fermeture réflexive d’unerelation « R » est la plus petiterelation « R » est la plus petiterelation réflexive qui contienne « R ».relation réflexive qui contienne « R ».

11 22 33 44 55 66

F FF F

Nous fermons transitivement !Nous fermons transitivement !

11 22 33 44 55 66

F FF F

La fermeture transitive d’uneLa fermeture transitive d’unerelation « R » est la plus petiterelation « R » est la plus petiterelation transitive qui contienne « R ».relation transitive qui contienne « R ».

11 22 33 44 55 66

F FF F

La fermeture transitive d’uneLa fermeture transitive d’unerelation « R » est la plus petiterelation « R » est la plus petiterelation transitive qui contienne « R ».relation transitive qui contienne « R ».

11 22 33 44 55 66

F FF F

{ 1 , 2 , 4 } est une composante connexe !{ 1 , 2 , 4 } est une composante connexe !

11 22 33 44 55 66

F FF F

{ 3 , 5 } est une composante connexe !{ 3 , 5 } est une composante connexe !

11 22 33 44 55 66

F FF F

{ 6 } est une composante connexe !{ 6 } est une composante connexe !

11 22 33 44 55 66

F FF F

Si nous renumérotons !Si nous renumérotons !

11 22 33 44 55 66

F FF F

Si nous renumérotons !Si nous renumérotons !

• Principe de décomposition :Principe de décomposition :

• Souvent, le traitement appliqué à un graphe non Souvent, le traitement appliqué à un graphe non connexeconnexe

consiste à appliquer ce même traitement consiste à appliquer ce même traitement indépendammentindépendamment

sur chacune des composantes connexes !sur chacune des composantes connexes !

• Principe de décomposition :Principe de décomposition :

• Souvent, le traitement appliqué à un graphe non Souvent, le traitement appliqué à un graphe non connexeconnexe

consiste à appliquer ce même traitement consiste à appliquer ce même traitement indépendammentindépendamment

sur chacune des composantes connexes !sur chacune des composantes connexes !

• Dans ce cas, on ne perd rien à supposer G connexe ! ! !Dans ce cas, on ne perd rien à supposer G connexe ! ! !

• Pour un graphe orienté :Pour un graphe orienté :

• Un sous-ensemble « X » des sommets d’un graphe Un sous-ensemble « X » des sommets d’un graphe orienté est orienté est fortement connexefortement connexe si nous pouvons aller si nous pouvons aller de n’importe quel sommet vers n’importe quel autre de n’importe quel sommet vers n’importe quel autre sommet.sommet.

• Proposition :Proposition :

– Une composante est fortementUne composante est fortement connexe si et seulement si chaqueconnexe si et seulement si chaque sommet se trouve sur un circuit.sommet se trouve sur un circuit.

• Preuve :Preuve :– => : Si ( u ; v ) existe, alors ( v ; u ) existe et donc ( u ; => : Si ( u ; v ) existe, alors ( v ; u ) existe et donc ( u ;

v ; u ) .v ; u ) .

• Un sous-ensemble « X » des sommets d’un graphe orienté Un sous-ensemble « X » des sommets d’un graphe orienté est est fortement connexefortement connexe si nous pouvons aller de n’importe si nous pouvons aller de n’importe quel sommet vers n’importe quel autre sommet.quel sommet vers n’importe quel autre sommet.

• Preuve :Preuve :– => : Si ( u ; v ) existe, alors ( v ; u ) existe et donc ( u ; v ; => : Si ( u ; v ) existe, alors ( v ; u ) existe et donc ( u ; v ;

u ) .u ) .– <= : Soit ( u ; v ) de la forme ( u ; w ; v ).<= : Soit ( u ; v ) de la forme ( u ; w ; v ).

• Preuve :Preuve :– => : Si ( u ; v ) existe, alors ( v ; u ) existe et donc ( u ; v ; u ) .=> : Si ( u ; v ) existe, alors ( v ; u ) existe et donc ( u ; v ; u ) .– <= : Soit ( u ; v ) de la forme ( u ; w ; v ).<= : Soit ( u ; v ) de la forme ( u ; w ; v ). Pour « w » bien choisi, le circuit ( w ; v ; w ) existe !Pour « w » bien choisi, le circuit ( w ; v ; w ) existe !

uu vvww

• Preuve :Preuve :– => : Si ( u ; v ) existe, alors ( v ; u ) existe et donc ( u ; v ; u ) .=> : Si ( u ; v ) existe, alors ( v ; u ) existe et donc ( u ; v ; u ) .– <= : Soit ( u ; v ) de la forme ( u ; w ; v ).<= : Soit ( u ; v ) de la forme ( u ; w ; v ). Pour « w » bien choisi, le circuit ( w ; v ; w ) existe !Pour « w » bien choisi, le circuit ( w ; v ; w ) existe ! Nous recommençons le raisonnement pour ( u ; w ) .Nous recommençons le raisonnement pour ( u ; w ) .

uu vvww

• Un graphe orienté est Un graphe orienté est quasi-fortement connexequasi-fortement connexe s’il s’il existe un sommet depuis lequel nous pouvons existe un sommet depuis lequel nous pouvons atteindre tous les autres sommets. Un tel sommet atteindre tous les autres sommets. Un tel sommet sera appelé « racine ».sera appelé « racine ».

• Distances et diamètre :Distances et diamètre :

• La distance « d ( u , v ) » entre un sommet « u » et La distance « d ( u , v ) » entre un sommet « u » et un sommet « v » est :un sommet « v » est :

– la longueur du plus court chemin (forcément simple) la longueur du plus court chemin (forcément simple) de « u » vers « v », si celui-ci existe,de « u » vers « v », si celui-ci existe,

– infini, sinon.infini, sinon.

• Distances et diamètre :Distances et diamètre :

• La distance « d ( u , v ) » entre un sommet « u » et La distance « d ( u , v ) » entre un sommet « u » et un sommet « v » est :un sommet « v » est :

– la longueur du plus court chemin (forcément simple) la longueur du plus court chemin (forcément simple) de « u » vers « v », si celui-ci existe,de « u » vers « v », si celui-ci existe,

– infini, sinon.infini, sinon.

• Le diamètre d’un graphe connexe est la distance Le diamètre d’un graphe connexe est la distance entre ses sommets les plus éloignés :entre ses sommets les plus éloignés :

( G ) = ( G ) = maxmax { d ( u , v ) } { d ( u , v ) }u , v u , v V V

Chemin simple de longueur 4 !Chemin simple de longueur 4 !

Le plus court chemin est de longueur 3 : d ( u , v ) = 3Le plus court chemin est de longueur 3 : d ( u , v ) = 3

( G ) = 4( G ) = 4

• Ecarts, centre et diamètre :Ecarts, centre et diamètre :

• L’écart « e ( u ) » d’un sommet « u » d’un graphe L’écart « e ( u ) » d’un sommet « u » d’un graphe connexe est :connexe est :

– la distance vers le sommet « v » le plus loin de « u » :la distance vers le sommet « v » le plus loin de « u » :

e ( u ) =e ( u ) = maxmax { d ( u , v ) } { d ( u , v ) }v v V V

• L’écart « e ( u ) » d’un sommet « u » d’un graphe L’écart « e ( u ) » d’un sommet « u » d’un graphe connexe est :connexe est :

e ( u ) =e ( u ) = maxmax { d ( u , v ) } { d ( u , v ) }

• Un sommet « u » est au Un sommet « u » est au centrecentre de G si de G si

e ( u ) =e ( u ) = minmin { e ( v ) } { e ( v ) }

v v V V

• L’écart « e ( u ) » d’un sommet « u » d’un graphe connexe L’écart « e ( u ) » d’un sommet « u » d’un graphe connexe est :est :

e ( u ) =e ( u ) = maxmax { d ( u , v ) } { d ( u , v ) }

• Un sommet « u » est au Un sommet « u » est au centrecentre de G si de G si

e ( u ) =e ( u ) = minmin { e ( v ) } { e ( v ) }

• ( G ) = ( G ) = maxmax { e ( v ) } { e ( v ) }

v v V V

e ( u ) = 3e ( u ) = 3

« v » est au centre car e ( v ) = 2 est minimal !« v » est au centre car e ( v ) = 2 est minimal !

e ( u ) = 3e ( u ) = 3

« v » est au centre car e ( v ) = 2 est minimal !« v » est au centre car e ( v ) = 2 est minimal !

( G ) = e ( w ) = 4( G ) = e ( w ) = 4

• Lemme des plus courts chemins (De la Palisse) Lemme des plus courts chemins (De la Palisse) ::

• Si le plus court chemin de « u » vers « v » passe par Si le plus court chemin de « u » vers « v » passe par « w »,« w »,

alors la partie préfixe de « u » vers « w » est aussi le alors la partie préfixe de « u » vers « w » est aussi le plusplus

court chemin de « u » vers « w ».court chemin de « u » vers « w ».

uu vvww

Le plus court chemin de « u » à « v » !Le plus court chemin de « u » à « v » !

uu vvww

Le plus court chemin de « u » à « v » !Le plus court chemin de « u » à « v » !

Le plus court chemin de « u » à « w » !Le plus court chemin de « u » à « w » !

• Poids d’un chemin :Poids d’un chemin :

• Dans un graphe pondéré, le poids d’un chemin est la Dans un graphe pondéré, le poids d’un chemin est la somme des poids de ses arcs et arêtes.somme des poids de ses arcs et arêtes.

• Nous pouvons alors, de manière évidente, définir le Nous pouvons alors, de manière évidente, définir le chemin le plus léger de « u » vers « v ».chemin le plus léger de « u » vers « v ».

• Le chemin le plus léger (poids) ne coïncide pas Le chemin le plus léger (poids) ne coïncide pas forcément avec le chemin le plus court (nombre d’arcs forcément avec le chemin le plus court (nombre d’arcs et arêtes). et arêtes).

• Les poids ne vérifient pas forcément l’inégalité Les poids ne vérifient pas forcément l’inégalité triangulaire !triangulaire !

1010 1212

Connexité – plus courts cheminsConnexité – plus courts chemins----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Sur un graphe non orienté, nous allons calculer :Sur un graphe non orienté, nous allons calculer :

– les composantes connexes !les composantes connexes !

• Sur une composante connexe, nous allons calculer :Sur une composante connexe, nous allons calculer :

– les plus courts chemins ! les plus courts chemins !

• Sur une composante connexe, nous allons calculer :Sur une composante connexe, nous allons calculer :

– les plus courts chemins ! les plus courts chemins !

• Nous rajoutons une pondération strictement positive Nous rajoutons une pondération strictement positive et nous allons calculer :et nous allons calculer :

– les chemins les plus légers ! les chemins les plus légers !

• Nous utilisons trois algorithmes :Nous utilisons trois algorithmes :

– un algorithme par « vague », c’est un parcours en un algorithme par « vague », c’est un parcours en largeur,largeur,

– un algorithme par « multiplication de matrices »,un algorithme par « multiplication de matrices »,

– l’algorithme de programmation dynamique « Floyd-l’algorithme de programmation dynamique « Floyd-Warshall » ! Warshall » !

– un algorithme par « vague », c’est un parcours en largeur,un algorithme par « vague », c’est un parcours en largeur,

– l’algorithme de programmation dynamique « Floyd-l’algorithme de programmation dynamique « Floyd-Warshall » ! Warshall » !

• Pour chacun d’entre eux, il s’agit de savoir si :Pour chacun d’entre eux, il s’agit de savoir si :

– il arrive à résoudre le problème en question,il arrive à résoudre le problème en question,

– quelle est la complexité du calcul ?quelle est la complexité du calcul ?

ConnexitéConnexité

Plus courtsPlus courts

Plus légersPlus légers

La vagueLa vague MultiplicationMultiplication Floyd-WarshallFloyd-Warshall

• L’algorithme par vague :L’algorithme par vague :

– Nous choisissons un sommet sec et le mouillons, Nous choisissons un sommet sec et le mouillons,

– Nous choisissons un sommet sec et le mouillons, Nous choisissons un sommet sec et le mouillons, – nous mouillons ses voisins,nous mouillons ses voisins,

– Nous choisissons un sommet sec et le mouillons, Nous choisissons un sommet sec et le mouillons, – nous mouillons ses voisins,nous mouillons ses voisins,– nous mouillons les voisins des voisins , . . . nous mouillons les voisins des voisins , . . .

• Attention, dans un graphe il peut y avoir des Attention, dans un graphe il peut y avoir des cycles ! ! !cycles ! ! !

– Il faut éviter de tourner en rond !Il faut éviter de tourner en rond !– Ici, nous ne faisons rien pour un sommet déjà mouillé !Ici, nous ne faisons rien pour un sommet déjà mouillé !

• Attention, dans un graphe il peut y avoir des cycles ! ! !Attention, dans un graphe il peut y avoir des cycles ! ! !

– Il faut éviter de tourner en rond !Il faut éviter de tourner en rond !– Ici, nous ne faisons rien pour un sommet déjà mouillé !Ici, nous ne faisons rien pour un sommet déjà mouillé !

• Complexité : Complexité : ( | E | ) = O ( | E | ) = O( | V |^2 ) = O ( n^2 )( | V |^2 ) = O ( n^2 )

– Chaque arête est visitée une et une seule fois !Chaque arête est visitée une et une seule fois !

( | E | ) =( | E | ) = O ( | V |^2 )O ( | V |^2 )

• La multiplication de matrices :La multiplication de matrices :

– Nous prenons une matrice avec des « 0 » et des « 1 »,Nous prenons une matrice avec des « 0 » et des « 1 »,

– Nous prenons une matrice avec des « 0 » et des « 1 »,Nous prenons une matrice avec des « 0 » et des « 1 »,– nous la fermons réflexivement (des « 1 » sur la nous la fermons réflexivement (des « 1 » sur la

diagonale),diagonale),

diagonale),diagonale),– nous effectuons le calcul suivant : nous effectuons le calcul suivant :

M * M’ ( i , j ) = M * M’ ( i , j ) = maxmax M ( i , k ) * M’ ( k , j ) M ( i , k ) * M’ ( k , j )kk

M * M’ ( i , j ) = M * M’ ( i , j ) = maxmax M ( i , k ) * M’ ( k , j ) M ( i , k ) * M’ ( k , j )

• Nous calculons : M Nous calculons : M --> M^2 > M^2 --> M^4 > M^4 --> . . . > . . .

• Propriété : M^( 2 * i ) = Mî * Mî contient tous Propriété : M^( 2 * i ) = Mî * Mî contient tous les chemins de longueur au plus 2 * i .les chemins de longueur au plus 2 * i .

– Nous prenons une matrice avec des « 0 » et des « 1 »,Nous prenons une matrice avec des « 0 » et des « 1 »,– nous la fermons réflexivement (des « 1 » sur la diagonale),nous la fermons réflexivement (des « 1 » sur la diagonale),– nous effectuons le calcul suivant : nous effectuons le calcul suivant :

• Propriété : M^( 2 * i ) = Mî * Mî contient tous les Propriété : M^( 2 * i ) = Mî * Mî contient tous les chemins de longueur au plus 2 * i .chemins de longueur au plus 2 * i .

• Il suffit de calculer M^k avec k >= | V |Il suffit de calculer M^k avec k >= | V |--1 = n1 = n--1 (le plus 1 (le plus long chemin possible; et donc tous les chemins) !long chemin possible; et donc tous les chemins) !

– Nous prenons une matrice avec des « 0 » et des « 1 »,Nous prenons une matrice avec des « 0 » et des « 1 »,– nous la fermons réflexivement (des « 1 » sur la diagonale),nous la fermons réflexivement (des « 1 » sur la diagonale),– nous effectuons le calcul suivant : nous effectuons le calcul suivant :

• Propriété : M^( 2 * i ) = Mî * Mî contient tous les chemins de Propriété : M^( 2 * i ) = Mî * Mî contient tous les chemins de longueur au plus 2 * i .longueur au plus 2 * i .

• Il suffit de calculer M^k avec k >= | V |Il suffit de calculer M^k avec k >= | V |--1 = n1 = n--1 (le plus long 1 (le plus long chemin possible; et donc tous les chemins) !chemin possible; et donc tous les chemins) !

• Il suffit de O ( log( | V | ) ) élévations au carré !Il suffit de O ( log( | V | ) ) élévations au carré !

• Preuve de la propriété :Preuve de la propriété :

– La matrice M fermée réflexivement contient tous La matrice M fermée réflexivement contient tous les chemins de longueur 0 ou 1.les chemins de longueur 0 ou 1.

– Hypothèse d’induction : M^i contient tous les Hypothèse d’induction : M^i contient tous les chemins de longueur au plus i . chemins de longueur au plus i .

M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1

M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1 max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) = 1max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) = 1

M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1 max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) = 1max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) = 1 w tel que Mî ( u , w ) * Mî ( w , v ) = 1w tel que Mî ( u , w ) * Mî ( w , v ) = 1

M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1 max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) = 1max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) = 1 w tel que Mî ( u , w ) * Mî ( w , v ) = 1w tel que Mî ( u , w ) * Mî ( w , v ) = 1 Mî ( u , w ) = 1 et Mî ( w , v ) = 1Mî ( u , w ) = 1 et Mî ( w , v ) = 1

– La matrice M fermée réflexivement contient tous les La matrice M fermée réflexivement contient tous les chemins de longueur 0 ou 1.chemins de longueur 0 ou 1.

M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1 max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) = 1max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) = 1 w tel que Mî ( u , w ) * Mî ( w , v ) = 1w tel que Mî ( u , w ) * Mî ( w , v ) = 1 Mî ( u , w ) = 1 et Mî ( w , v ) = 1Mî ( u , w ) = 1 et Mî ( w , v ) = 1 ( u ; w ) et ( w ; v ) sont de longueur au plus i( u ; w ) et ( w ; v ) sont de longueur au plus i

– La matrice M fermée réflexivement contient tous les La matrice M fermée réflexivement contient tous les chemins de longueur 0 ou 1.chemins de longueur 0 ou 1.

– Hypothèse d’induction : M^i contient tous les chemins Hypothèse d’induction : M^i contient tous les chemins de longueur au plus i . de longueur au plus i .

M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1 max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) = 1max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) = 1 w tel que Mî ( u , w ) * Mî ( w , v ) = 1w tel que Mî ( u , w ) * Mî ( w , v ) = 1 Mî ( u , w ) = 1 et Mî ( w , v ) = 1Mî ( u , w ) = 1 et Mî ( w , v ) = 1 ( u ; w ) et ( w ; v ) sont de longueur au plus i( u ; w ) et ( w ; v ) sont de longueur au plus i ( u ; w ; v ) est de longueur au plus 2 * i .( u ; w ; v ) est de longueur au plus 2 * i .

– La matrice M fermée réflexivement contient tous les chemins La matrice M fermée réflexivement contient tous les chemins de longueur 0 ou 1.de longueur 0 ou 1.

– Hypothèse d’induction : M^i contient tous les chemins de Hypothèse d’induction : M^i contient tous les chemins de longueur au plus i . longueur au plus i .

M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1M^( 2 * i ) ( u , v ) = 1 max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) = 1max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) = 1 w tel que Mî ( u , w ) * Mî ( w , v ) = 1w tel que Mî ( u , w ) * Mî ( w , v ) = 1 Mî ( u , w ) = 1 et Mî ( w , v ) = 1Mî ( u , w ) = 1 et Mî ( w , v ) = 1 ( u ; w ) et ( w ; v ) sont de longueur au plus i( u ; w ) et ( w ; v ) sont de longueur au plus i ( u ; w ; v ) est de longueur au plus 2 * i .( u ; w ; v ) est de longueur au plus 2 * i .

• On obtient bien-sûr tous les chemins !On obtient bien-sûr tous les chemins !

( | E | ) =( | E | ) = O ( | V |^2 )O ( | V |^2 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

• Floyd-Warshall :Floyd-Warshall :

– La multiplication recalcule de façon répétée les La multiplication recalcule de façon répétée les chemins courts. Si M^i ( u , v ) = 1 :chemins courts. Si M^i ( u , v ) = 1 :

M^( 2 * i ) ( u , v ) = max_k Mî ( u , k ) * Mî M^( 2 * i ) ( u , v ) = max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) ( k , v )

= Mî ( u , u ) * Mî ( u , v )= Mî ( u , u ) * Mî ( u , v ) = Mî ( u , v ) = 1= Mî ( u , v ) = 1

M^( 2 * i ) ( u , v ) = max_k Mî ( u , k ) * Mî M^( 2 * i ) ( u , v ) = max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) ( k , v )

= Mî ( u , u ) * Mî ( u , v )= Mî ( u , u ) * Mî ( u , v ) = Mî ( u , v ) = 1= Mî ( u , v ) = 1

• La DP numérote les sommets de « 1 » à « n » et :La DP numérote les sommets de « 1 » à « n » et :

– La multiplication recalcule de façon répétée les chemins La multiplication recalcule de façon répétée les chemins courts. Si M^i ( u , v ) = 1 :courts. Si M^i ( u , v ) = 1 :

M^( 2 * i ) ( u , v ) = max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) M^( 2 * i ) ( u , v ) = max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) = Mî ( u , u ) * Mî ( u , v )= Mî ( u , u ) * Mî ( u , v ) = Mî ( u , v ) = 1= Mî ( u , v ) = 1

– à l’étape (1), ne calcule que les chemins dont les à l’étape (1), ne calcule que les chemins dont les intermédiaires sont dans l’ensemble { 1 },intermédiaires sont dans l’ensemble { 1 },

– La multiplication recalcule de façon répétée les chemins courts. La multiplication recalcule de façon répétée les chemins courts. Si M^i ( u , v ) = 1 :Si M^i ( u , v ) = 1 :

M^( 2 * i ) ( u , v ) = max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) M^( 2 * i ) ( u , v ) = max_k Mî ( u , k ) * Mî ( k , v ) = Mî ( u , u ) * Mî ( u , v )= Mî ( u , u ) * Mî ( u , v ) = Mî ( u , v ) = 1= Mî ( u , v ) = 1

– à l’étape (1), ne calcule que les chemins dont les intermédiaires à l’étape (1), ne calcule que les chemins dont les intermédiaires sont dans l’ensemble { 1 },sont dans l’ensemble { 1 },

– à l’étape (2), ne calcule que les chemins dont les intermédiaires à l’étape (2), ne calcule que les chemins dont les intermédiaires sont dans l’ensemble { 1 , 2 }, . . .sont dans l’ensemble { 1 , 2 }, . . .

Initialement : MInitialement : M(0)(0)

Nous n’avons pas dessiné les boucles de la fermeture réflexive !Nous n’avons pas dessiné les boucles de la fermeture réflexive !

Etape 1 : MEtape 1 : M(1)(1)

Petit à petit, les uns . . .Petit à petit, les uns . . .

Petit à petit, les autres . . .Petit à petit, les autres . . .

Petit à petit, finalement . . .Petit à petit, finalement . . .

• M est donnée, elle comporte tous les chemins avec M est donnée, elle comporte tous les chemins avec des intermédiaires parmi { 1 , . . . , kdes intermédiaires parmi { 1 , . . . , k--1 } .1 } .

(k(k--1)1)

• M ( u , v ) est un chemin de « u » vers « v » avec des M ( u , v ) est un chemin de « u » vers « v » avec des intermédiaires parmi { 1 , . . . , k } . intermédiaires parmi { 1 , . . . , k } .

(k(k--1)1)

(k)(k)

• Soit le sommet « k » figure dans ce chemin, soit il ne le Soit le sommet « k » figure dans ce chemin, soit il ne le fait pas.fait pas.

(k(k--1)1)

(k)(k)

M ( u , v ) = M ( u , v )M ( u , v ) = M ( u , v )(k)(k) (k(k--1)1)

(k(k--1)1)

(k)(k)

• Soit le sommet « k » figure dans ce chemin, soit Soit le sommet « k » figure dans ce chemin, soit il ne le il ne le fait pasfait pas..

(k(k--1)1)

(k)(k)

• Soit le Soit le sommet « k » figuresommet « k » figure dans ce chemin, soit dans ce chemin, soit il ne le il ne le fait pasfait pas..

u u -- . . . . . . -- k k -- . . . . . . -- v v

(k(k--1)1)

(k)(k)

• Soit le Soit le sommet « k » figuresommet « k » figure dans ce chemin, soit dans ce chemin, soit il ne le il ne le fait pasfait pas..

u u -- . . . . . . -- k k -- . . . . . . -- v v

/ k/ k / k/ k

(k(k--1)1)

(k)(k)

• M est donnée, elle comporte tous les chemins avec des M est donnée, elle comporte tous les chemins avec des intermédiaires parmi { 1 , . . . , kintermédiaires parmi { 1 , . . . , k--1 } .1 } .

• Soit le Soit le sommet « k » figuresommet « k » figure dans ce chemin, soit dans ce chemin, soit il ne le fait pasil ne le fait pas..

u u -- . . . . . . -- k k -- . . . . . . -- v v

M ( u , k ) M ( k , v )M ( u , k ) M ( k , v )

/ k/ k / k/ k

(k(k--1)1) (k(k--1)1)

• M est la matrice d’adjacence, fermée réflexivement. M est la matrice d’adjacence, fermée réflexivement. Elle comporte des « 0 » et des « 1 ».Elle comporte des « 0 » et des « 1 ».

(0)(0)

M ( u , v ) = M ( u , v ) = maxmax ( , ( ,

(0)(0)

(k)(k)

M ( u , v ) = M ( u , v ) = maxmax ( , ( ,

(0)(0)

M ( u , v )M ( u , v )(k(k--1)1)(k)(k)

M ( u , v ) = M ( u , v ) = maxmax ( , ( ,

(0)(0)

M ( u , k ) * M ( k , v )M ( u , k ) * M ( k , v )(k(k--1)1)

M ( u , v )M ( u , v )(k(k--1)1)

(k(k--1)1)

(k)(k)

M ( u , v ) = M ( u , v ) = maxmax ( , ( ,

• M est la matrice recherchée !M est la matrice recherchée !

(0)(0)

M ( u , k ) * M ( k , v )M ( u , k ) * M ( k , v )(k(k--1)1)

M ( u , v )M ( u , v )(k(k--1)1)

(k(k--1)1)

(n)(n)

(k)(k)

M ( u , v ) = M ( u , v ) = maxmax ( , ( ,

• M est la matrice recherchée !M est la matrice recherchée !

(0)(0)

M ( u , k ) * M ( k , v )M ( u , k ) * M ( k , v )(k(k--1)1)

M ( u , v )M ( u , v )(k(k--1)1)

(k(k--1)1)

(n)(n)

(k)(k)

Pour k de 1 a | V |

Pour u de 1 a | V |

Pour v de 1 a | V |

M_k ( u , v ) <- . . .

( | E | ) =( | E | ) = O ( | V |^2 )O ( | V |^2 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

( | E | ) =( | E | ) = O ( | V |^2 )O ( | V |^2 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

SynthèseSynthèse----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Définitions de baseDéfinitions de base

• Connexité :Connexité :

– à l’aide de la vague,à l’aide de la vague,

– à l’aide de la multiplication,à l’aide de la multiplication,

– à l’aide de Floyd-Warshall.à l’aide de Floyd-Warshall.

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