21 février 2006Cours de graphes 2 - Intranet1 Cours de graphes Les plus courts chemins, les chemins...

21 février 2006 Cours de graphes 2 - Intranet 1

Cours de graphesCours de graphes

Les plus courts chemins,Les plus courts chemins,

les chemins les plus légers :les chemins les plus légers :

à l’aide de la vague,à l’aide de la vague,

à l’aide de la multiplication,à l’aide de la multiplication,

à l’aide de Floyd-Warshall.à l’aide de Floyd-Warshall.

Algorithmes de Dijkstra et Bellmann-Algorithmes de Dijkstra et Bellmann-Ford.Ford.


Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours

•Définitions de baseDéfinitions de base•ConnexitéConnexité•Les plus courts cheminsLes plus courts chemins•Dijkstra et Bellmann-FordDijkstra et Bellmann-Ford•ArbresArbres•Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux •Problèmes de flotsProblèmes de flots•Coloriage de graphesColoriage de graphes•CouplageCouplage•Chemins d’Euler et de HamiltonChemins d’Euler et de Hamilton•Problèmes NP-completsProblèmes NP-complets


Connexité – plus courts cheminsConnexité – plus courts chemins----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ConnexitéConnexité

Plus courtsPlus courts

Plus légersPlus légers

La vagueLa vague MultiplicationMultiplication Floyd-WarshallFloyd-Warshall

( | E | ) =( | E | ) = O ( | V |^2 )O ( | V |^2 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )



• Sur un graphe non orienté, nous allons calculer :Sur un graphe non orienté, nous allons calculer :

– les composantes connexes !les composantes connexes !

• Sur une composante connexe, nous allons calculer :Sur une composante connexe, nous allons calculer :

– les plus courts chemins ! les plus courts chemins !

• Nous rajoutons une pondération strictement positive Nous rajoutons une pondération strictement positive et nous allons calculer :et nous allons calculer :

– les chemins les plus légers ! les chemins les plus légers !



• La notion de distance est donné par le nombre La notion de distance est donné par le nombre d’arêtes qu’il faut traverser au moins !d’arêtes qu’il faut traverser au moins !




• L’algorithme de la « vague » :L’algorithme de la « vague » :

– Nous choisissons un sommet « u » sec et le mouillons, Nous choisissons un sommet « u » sec et le mouillons,





– Nous choisissons un sommet « u » sec et le mouillons, Nous choisissons un sommet « u » sec et le mouillons, – à l’étape 1, nous mouillons ses voisins,à l’étape 1, nous mouillons ses voisins,





– Nous choisissons un sommet « u » sec et le mouillons, Nous choisissons un sommet « u » sec et le mouillons, – à l’étape 1, nous mouillons ses voisins,à l’étape 1, nous mouillons ses voisins,– à l’étape 2, nous mouillons les voisins des voisins , . . . à l’étape 2, nous mouillons les voisins des voisins , . . .



• La notion de distance est donné par le nombre d’arêtes La notion de distance est donné par le nombre d’arêtes qu’il faut traverser au moins !qu’il faut traverser au moins !



• En temps En temps ( | E | ) = O ( | E | ) = O( | V |^2 ) , nous connaissons les ( | V |^2 ) , nous connaissons les plus courts chemins du sommet « u » vers les autres !plus courts chemins du sommet « u » vers les autres !



Etape 0 Etape 0 -- étape 1 étape 1 -- étape 2 étape 2 -- étape 3 étape 3



uu

Etape 0Etape 0 -- étape 1 étape 1 -- étape 2 étape 2 -- étape 3 étape 3



uu

Etape 0Etape 0 -- étape 1étape 1 -- étape 2 étape 2 -- étape 3 étape 3



uu

Etape 0Etape 0 -- étape 1étape 1 -- étape 2étape 2 -- étape 3 étape 3



uu


Touché une seconde fois !Touché une seconde fois !



uu


Touché une seconde fois !Touché une seconde fois !

Touché deux fois !Touché deux fois !



uu

Etape 0Etape 0 -- étape 1étape 1 -- étape 2étape 2 -- étape 3étape 3



• La connaissance de d ( u , La connaissance de d ( u , vv ) et d ( u , ) et d ( u , ww ) ne permet ) ne permet pas de dire grand-chose sur d ( pas de dire grand-chose sur d ( vv , , ww ) ! ) !




uuvv ww




uuvv ww

uu

vv

ww




• Il faut répéter la vague depuisIl faut répéter la vague depuis chaque sommet « u » du graphe !chaque sommet « u » du graphe !

uuvv ww

uu

vv

ww



• La connaissance de d ( u , La connaissance de d ( u , vv ) et d ( u , ) et d ( u , ww ) ne permet pas ) ne permet pas de dire grand-chose sur d ( de dire grand-chose sur d ( vv , , ww ) ! ) !

• Il faut répéter la vague depuisIl faut répéter la vague depuis chaque sommet « u » du graphe !chaque sommet « u » du graphe !

• En temps En temps ( | V | * | E | ) = O ( | V | * | E | ) = O( | V |^3 ) , nous ( | V |^3 ) , nous connaissons les plus courts chemins de tout sommet à tout connaissons les plus courts chemins de tout sommet à tout sommet !sommet !

uuvv ww

uu

vv

ww







( | E | ) =( | E | ) = O ( | V |^2 )O ( | V |^2 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

( | V | * | E | ) =( | V | * | E | ) = O ( | V |^3 )O ( | V |^3 )



• La multiplication de matrices :La multiplication de matrices :




– Nous prenons une matrice avec des « 0 » sur la Nous prenons une matrice avec des « 0 » sur la diagonale,diagonale,

– des « 1 » lorsque l’arête existe et des « des « 1 » lorsque l’arête existe et des « » sinon » sinon






• Nous effectuons le calcul suivant : Nous effectuons le calcul suivant :

M * M’ ( i , j ) = M * M’ ( i , j ) = minmin M ( i , k ) + M’ ( k , j ) M ( i , k ) + M’ ( k , j )kk







M * M’ ( i , j ) = M * M’ ( i , j ) = minmin M ( i , k ) + M’ ( k , j ) M ( i , k ) + M’ ( k , j )

• Nous calculons : M Nous calculons : M --> M^2 > M^2 --> M^4 > M^4 --> . . . > . . .

kk




– Nous prenons une matrice avec des « 0 » sur la diagonale,Nous prenons une matrice avec des « 0 » sur la diagonale,– des « 1 » lorsque l’arête existe et des « des « 1 » lorsque l’arête existe et des « » sinon » sinon




• Propriété : M^( 2 * i ) = Mî * Mî contient tous les plus Propriété : M^( 2 * i ) = Mî * Mî contient tous les plus courts chemins de longueur au plus 2 * i , c’est-à-dire qu’elle courts chemins de longueur au plus 2 * i , c’est-à-dire qu’elle contient des « +contient des « + » et des valeurs dans { 0 , . . . , 2 * i } . » et des valeurs dans { 0 , . . . , 2 * i } .

kk




– Nous prenons une matrice avec des « 0 » sur la diagonale,Nous prenons une matrice avec des « 0 » sur la diagonale,– des « 1 » lorsque l’arête existe et des « des « 1 » lorsque l’arête existe et des « » sinon » sinon




• Propriété : M^( 2 * i ) = Mî * Mî contient tous les plus courts Propriété : M^( 2 * i ) = Mî * Mî contient tous les plus courts chemins de longueur au plus 2 * i , c’est-à-dire qu’elle contient des chemins de longueur au plus 2 * i , c’est-à-dire qu’elle contient des « +« + » et des valeurs dans { 0 , . . . , 2 * i } . » et des valeurs dans { 0 , . . . , 2 * i } .

• Il suffit de calculer M^k avec k >= | V |Il suffit de calculer M^k avec k >= | V |--1 à l’aide de 1 à l’aide de O O ( log( | V | ) ) élévations au carré !( log( | V | ) ) élévations au carré !

kk



• Preuve de la propriété :Preuve de la propriété :

– La matrice M = M^1 contient tou(te)s les La matrice M = M^1 contient tou(te)s les (longueurs des) plus courts chemins de longueur (longueurs des) plus courts chemins de longueur au plus 1 .au plus 1 .





– Hypothèse d’induction : M^i contient tous les . . .Hypothèse d’induction : M^i contient tous les . . .






M^( 2 * i ) ( u , v ) <> +M^( 2 * i ) ( u , v ) <> +






M^( 2 * i ) ( u , v ) <> +M^( 2 * i ) ( u , v ) <> + min_k Mî ( u , k ) + Mî ( k , v ) <> +min_k Mî ( u , k ) + Mî ( k , v ) <> +




– La matrice M = M^1 contient tou(te)s les La matrice M = M^1 contient tou(te)s les (longueurs des) plus courts chemins de longueur au (longueurs des) plus courts chemins de longueur au plus 1 .plus 1 .


M^( 2 * i ) ( u , v ) <> +M^( 2 * i ) ( u , v ) <> + min_k Mî ( u , k ) + Mî ( k , v ) <> +min_k Mî ( u , k ) + Mî ( k , v ) <> + w tel que Mî ( u , w ) + Mî ( w , v ) <> +w tel que Mî ( u , w ) + Mî ( w , v ) <> +

et deet de valeur minimale.valeur minimale.




– La matrice M = M^1 contient tou(te)s les (longueurs La matrice M = M^1 contient tou(te)s les (longueurs des) plus courts chemins de longueur au plus 1 .des) plus courts chemins de longueur au plus 1 .


M^( 2 * i ) ( u , v ) <> +M^( 2 * i ) ( u , v ) <> + min_k Mî ( u , k ) + Mî ( k , v ) <> +min_k Mî ( u , k ) + Mî ( k , v ) <> + w tel que Mî ( u , w ) + Mî ( w , v ) <> +w tel que Mî ( u , w ) + Mî ( w , v ) <> + et et

dede valeur minimale.valeur minimale. Mî ( u , w ) <> +Mî ( u , w ) <> + et Mî ( w , v ) <> + et Mî ( w , v ) <> +




– La matrice M = M^1 contient tou(te)s les (longueurs des) La matrice M = M^1 contient tou(te)s les (longueurs des) plus courts chemins de longueur au plus 1 .plus courts chemins de longueur au plus 1 .


M^( 2 * i ) ( u , v ) <> +M^( 2 * i ) ( u , v ) <> + min_k Mî ( u , k ) + Mî ( k , v ) <> +min_k Mî ( u , k ) + Mî ( k , v ) <> + w tel que Mî ( u , w ) + Mî ( w , v ) <> +w tel que Mî ( u , w ) + Mî ( w , v ) <> + et de et de valeur minimale.valeur minimale. Mî ( u , w ) <> +Mî ( u , w ) <> + et Mî ( w , v ) <> + et Mî ( w , v ) <> + Les plus courts chemins de ( u ; w ) et de ( w ; v ) sontLes plus courts chemins de ( u ; w ) et de ( w ; v ) sont de longueur au plus i.de longueur au plus i.




– La matrice M = M^1 contient tou(te)s les (longueurs des) plus La matrice M = M^1 contient tou(te)s les (longueurs des) plus courts chemins de longueur au plus 1 .courts chemins de longueur au plus 1 .


M^( 2 * i ) ( u , v ) <> +M^( 2 * i ) ( u , v ) <> + min_k Mî ( u , k ) + Mî ( k , v ) <> +min_k Mî ( u , k ) + Mî ( k , v ) <> + w tel que Mî ( u , w ) + Mî ( w , v ) <> +w tel que Mî ( u , w ) + Mî ( w , v ) <> + et de et de valeur minimale.valeur minimale. Mî ( u , w ) <> +Mî ( u , w ) <> + et Mî ( w , v ) <> + et Mî ( w , v ) <> + Les plus courts chemins de ( u ; w ) et de ( w ; v ) sontLes plus courts chemins de ( u ; w ) et de ( w ; v ) sont de longueur au plus i.de longueur au plus i. Le plus court chemin de « u » vers « v » est deLe plus court chemin de « u » vers « v » est de longueur au plus 2 * i et c’est ( u ; w ; v ) .longueur au plus 2 * i et c’est ( u ; w ; v ) .




– La matrice M = M^1 contient tou(te)s les (longueurs des) plus La matrice M = M^1 contient tou(te)s les (longueurs des) plus courts chemins de longueur au plus 1 .courts chemins de longueur au plus 1 .


M^( 2 * i ) ( u , v ) <> +M^( 2 * i ) ( u , v ) <> + min_k Mî ( u , k ) + Mî ( k , v ) <> +min_k Mî ( u , k ) + Mî ( k , v ) <> + ww tel que Mî ( u , w ) + Mî ( w , v ) <> + tel que Mî ( u , w ) + Mî ( w , v ) <> + et de et de valeur minimale.valeur minimale. Mî ( u , w ) <> +Mî ( u , w ) <> + et Mî ( w , v ) <> + et Mî ( w , v ) <> + Les plus courts chemins de ( u ; w ) et de ( w ; v ) sontLes plus courts chemins de ( u ; w ) et de ( w ; v ) sont de longueur au plus i.de longueur au plus i. Le plus court chemin de « u » vers « v » est deLe plus court chemin de « u » vers « v » est de longueur au plus 2 * i et c’est longueur au plus 2 * i et c’est ( u ; w ; v )( u ; w ; v ) . .







( | E | ) =( | E | ) = O ( | V |^2 )O ( | V |^2 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

( | V | * | E | ) =( | V | * | E | ) = O ( | V |^3 )O ( | V |^3 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )



• M est la matrice d’adjacence avec des « 0 » sur la M est la matrice d’adjacence avec des « 0 » sur la diagonale, des « 1 » lorsque l’arête existe et des « diagonale, des « 1 » lorsque l’arête existe et des « » » sinonsinon

(0)(0)




• M de Floyd-Warshall contient par hypothèse les M de Floyd-Warshall contient par hypothèse les plus courts chemins construits à l’aide de sommets plus courts chemins construits à l’aide de sommets intermédiaires dans l’ensemble { 0 , . . . , k-1 } .intermédiaires dans l’ensemble { 0 , . . . , k-1 } .

(0)(0)

(k-1)(k-1)





M ( u , v ) = M ( u , v ) = minmin ( , ( ,

))

(0)(0)

(k)(k)

(k-1)(k-1)





M ( u , v ) = M ( u , v ) = minmin ( , ( ,

))

(0)(0)

M ( u , v )M ( u , v )(k(k--1)1)(k)(k)

(k-1)(k-1)





M ( u , v ) = M ( u , v ) = minmin ( , ( ,

))

(0)(0)

M ( u , k ) + M ( k , v )M ( u , k ) + M ( k , v )(k(k--1)1)

M ( u , v )M ( u , v )(k(k--1)1)

(k(k--1)1)

(k)(k)

(k-1)(k-1)



• M est la matrice d’adjacence avec des « 0 » sur la M est la matrice d’adjacence avec des « 0 » sur la diagonale, des « 1 » lorsque l’arête existe et des « diagonale, des « 1 » lorsque l’arête existe et des « » sinon » sinon

• M de Floyd-Warshall contient par hypothèse les plus M de Floyd-Warshall contient par hypothèse les plus courts chemins construits à l’aide de sommets intermédiaires courts chemins construits à l’aide de sommets intermédiaires dans l’ensemble { 0 , . . . , k-1 } .dans l’ensemble { 0 , . . . , k-1 } .

M ( u , v ) = M ( u , v ) = minmin ( , ( ,

))

• Le plus court chemin avec des sommets dans { 1 , . . . , k } :Le plus court chemin avec des sommets dans { 1 , . . . , k } :

– peut, soit, ne pas peut, soit, ne pas passer par « k »,passer par « k »,

(0)(0)

M ( u , k ) + M ( k , v )M ( u , k ) + M ( k , v )(k(k--1)1)

M ( u , v )M ( u , v )(k(k--1)1)

(k(k--1)1)

(k)(k)

(k-1)(k-1)



• M est la matrice d’adjacence avec des « 0 » sur la diagonale, M est la matrice d’adjacence avec des « 0 » sur la diagonale, des « 1 » lorsque l’arête existe et des « des « 1 » lorsque l’arête existe et des « » sinon » sinon

• M de Floyd-Warshall contient par hypothèse les plus M de Floyd-Warshall contient par hypothèse les plus courts chemins construits à l’aide de sommets intermédiaires courts chemins construits à l’aide de sommets intermédiaires dans l’ensemble { 0 , . . . , k-1 } .dans l’ensemble { 0 , . . . , k-1 } .

M ( u , v ) = M ( u , v ) = minmin ( , ( ,

))


– peut, soit, ne pas peut, soit, ne pas passer par « k »,passer par « k »,– peut, soit, passer par « k » !peut, soit, passer par « k » !

(0)(0)

M ( u , k ) + M ( k , v )M ( u , k ) + M ( k , v )(k(k--1)1)

M ( u , v )M ( u , v )(k(k--1)1)

(k(k--1)1)

(k)(k)

(k-1)(k-1)



• M est la matrice d’adjacence avec des « 0 » sur la diagonale, M est la matrice d’adjacence avec des « 0 » sur la diagonale, des « 1 » lorsque l’arête existe et des « des « 1 » lorsque l’arête existe et des « » sinon » sinon

• M de Floyd-Warshall contient par hypothèse les plus courts M de Floyd-Warshall contient par hypothèse les plus courts chemins construits à l’aide de sommets intermédiaires dans chemins construits à l’aide de sommets intermédiaires dans l’ensemble { 0 , . . . , k-1 } .l’ensemble { 0 , . . . , k-1 } .

M ( u , v ) = M ( u , v ) = minmin ( , ( ,

))



• M est la matrice recherchée !M est la matrice recherchée !

(0)(0)

M ( u , k ) + M ( k , v )M ( u , k ) + M ( k , v )(k(k--1)1)

M ( u , v )M ( u , v )(k(k--1)1)

(k(k--1)1)

(n)(n)

(k)(k)

(k-1)(k-1)







( | E | ) =( | E | ) = O ( | V |^2 )O ( | V |^2 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

( | V | * | E | ) =( | V | * | E | ) = O ( | V |^3 )O ( | V |^3 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )








Connexité – chemins les plus légersConnexité – chemins les plus légers----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


• Nous rajoutons une pondération strictement Nous rajoutons une pondération strictement positive et nous allons calculer :positive et nous allons calculer :






• En présence de poids négatifs, le problème pourrait En présence de poids négatifs, le problème pourrait ne plus avoir de sens, car il pourrait y avoir des ne plus avoir de sens, car il pourrait y avoir des cycles de poids négatif.cycles de poids négatif.







55

55

55

--1515

1010






55

55

55

--1515

1010

Cycle de poids négatif !Cycle de poids négatif !



• Le problème des chemins les plus légers :Le problème des chemins les plus légers :

– L’inégalité triangulaire peut ne pas être L’inégalité triangulaire peut ne pas être respectée !respectée !





• L’algorithme de la vague (unique) ne marche plus ! ! !L’algorithme de la vague (unique) ne marche plus ! ! !






3030 1010 55

55

1010

88

Etape 0 Etape 0 -- étape 1 étape 1 -- étape 2 étape 2 -- étape 3 étape 3






001010 55

55

1010

88

Etape 0Etape 0 -- étape 1 étape 1 -- étape 2 étape 2 -- étape 3 étape 3

3030






003030 1010

303055

5555

1010

88

Etape 0Etape 0 -- étape 1étape 1 -- étape 2 étape 2 -- étape 3 étape 3






003030 1010

3030 404055

5555

10101515

88







003030 1010

3030 404055

5555

10101515

88


Une vague qui se brise.Une vague qui se brise.Nous l’ignorons ! ! !Nous l’ignorons ! ! !






003030 1010

3030 404055

5555

10101515

88


Elle n’existe plus !Elle n’existe plus !






003030 1010

3030 404055

4545

5555

10101515

88


2323




– L’inégalité triangulaire peut ne pas être respectée !L’inégalité triangulaire peut ne pas être respectée !


• Il peut y avoir « 2 » ou « 3 » vagues, ou « 4 », . . .Il peut y avoir « 2 » ou « 3 » vagues, ou « 4 », . . .

003030 1010

3030 404055

4545

5555

10101515

88


2323







• Quand est-ce que c’est fini ? ? ?Quand est-ce que c’est fini ? ? ?

003030 1010

3030 404055

4545

5555

10101515

88


2323



• Un cas pathologique :Un cas pathologique :

XX2020

88 55

2020

8855 55

2020

88

. . .. . .




XX2020

88 55

2020

8855 55

2020

88

. . .. . .YY

2 vagues2 vagues




XX2020

88 55

2020

8855 55

2020

88

. . .. . .YY

2 vagues2 vagues

TT

4 vagues4 vaguesdont 2 simultanéesdont 2 simultanées




2020

88 55

2020

8855 55

2020

88

. . .. . .YY

2 vagues2 vagues

TT

4 vagues4 vaguesdont 2 simultanéesdont 2 simultanées

O ( n / 3 )O ( n / 3 )vagues ! ! !vagues ! ! !

XX ZZ






( | E | ) =( | E | ) = O ( | V |^2 )O ( | V |^2 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

( | V | * | E | ) =( | V | * | E | ) = O ( | V |^3 )O ( | V |^3 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

N O N !N O N !





– le poids de l’arête lorsqu’elle existe et « le poids de l’arête lorsqu’elle existe et « » sinon » sinon







M * M’ ( i , j ) = M * M’ ( i , j ) = minmin M ( i , k ) + M’ ( k , j ) M ( i , k ) + M’ ( k , j )kk









kk




– Nous prenons une matrice avec des « 0 » sur la diagonale,Nous prenons une matrice avec des « 0 » sur la diagonale,– le poids de l’arête lorsqu’elle existe et « le poids de l’arête lorsqu’elle existe et « » sinon » sinon




• Propriété : M^( 2 * i ) = Mî * Mî contient tous les Propriété : M^( 2 * i ) = Mî * Mî contient tous les chemins les plus légers de longueur au plus 2 * i (nombre chemins les plus légers de longueur au plus 2 * i (nombre d’arêtes).d’arêtes).

kk




– Nous prenons une matrice avec des « 0 » sur la diagonale,Nous prenons une matrice avec des « 0 » sur la diagonale,– le poids de l’arête lorsqu’elle existe et « le poids de l’arête lorsqu’elle existe et « » sinon » sinon




• Propriété : M^( 2 * i ) = Mî * Mî contient tous les chemins Propriété : M^( 2 * i ) = Mî * Mî contient tous les chemins les plus légers de longueur au plus 2 * i (nombre d’arêtes).les plus légers de longueur au plus 2 * i (nombre d’arêtes).

• Il suffit de calculer M^k avec k >= | V |Il suffit de calculer M^k avec k >= | V |--1 à l’aide de 1 à l’aide de O O ( log( | V | ) ) élévations au carré !( log( | V | ) ) élévations au carré !

kk







( | E | ) =( | E | ) = O ( | V |^2 )O ( | V |^2 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

( | V | * | E | ) =( | V | * | E | ) = O ( | V |^3 )O ( | V |^3 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

N O N !N O N ! ( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )







( | E | ) =( | E | ) = O ( | V |^2 )O ( | V |^2 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

( | V | * | E | ) =( | V | * | E | ) = O ( | V |^3 )O ( | V |^3 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

N O N !N O N ! ( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

Le même programme !Le même programme !



• M est la matrice d’adjacence avec des « 0 » sur la M est la matrice d’adjacence avec des « 0 » sur la diagonale, diagonale, le poids de l’arête si elle existele poids de l’arête si elle existe et des « et des « » » sinonsinon

(0)(0)



• M est la matrice d’adjacence avec des « 0 » sur la diagonale, M est la matrice d’adjacence avec des « 0 » sur la diagonale, le le poids de l’arête si elle existepoids de l’arête si elle existe et des « et des « » sinon » sinon

• M de Floyd-Warshall contient par hypothèse les chemins les M de Floyd-Warshall contient par hypothèse les chemins les plus légers construits à l’aide de sommets intermédiaires dans plus légers construits à l’aide de sommets intermédiaires dans l’ensemble { 0 , . . . , k-1 } .l’ensemble { 0 , . . . , k-1 } .

M ( u , v ) = M ( u , v ) = minmin ( , ( ,

))

• Le chemin le plus léger avec des sommets dans { 1 , . . . , k } :Le chemin le plus léger avec des sommets dans { 1 , . . . , k } :



(0)(0)

M ( u , k ) + M ( k , v )M ( u , k ) + M ( k , v )(k(k--1)1)

M ( u , v )M ( u , v )(k(k--1)1)

(k(k--1)1)

(n)(n)

(k)(k)

(k-1)(k-1)







( | E | ) =( | E | ) = O ( | V |^2 )O ( | V |^2 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

( | V | * | E | ) =( | V | * | E | ) = O ( | V |^3 )O ( | V |^3 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

N O N !N O N ! ( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) ) ( | V |^3 )( | V |^3 )







( | E | ) =( | E | ) = O ( | V |^2 )O ( | V |^2 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

( | V | * | E | ) =( | V | * | E | ) = O ( | V |^3 )O ( | V |^3 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )


Le même programme !Le même programme !








( | E | ) =( | E | ) = O ( | V |^2 )O ( | V |^2 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

( | V | * | E | ) =( | V | * | E | ) = O ( | V |^3 )O ( | V |^3 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )



• Et les graphes orientés ? ? ?Et les graphes orientés ? ? ?




à ceci près que la connexité orientée par l’algorithme de la vagueà ceci près que la connexité orientée par l’algorithme de la vague

– nécessite de répéter l’algorithme pour chaque sommet nécessite de répéter l’algorithme pour chaque sommet

– et introduit une complexité en et introduit une complexité en ( | V | * | E | ) ! ( | V | * | E | ) !



Pour les graphes orientésPour les graphes orientés----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ConnexitéConnexitéen orientéen orienté




( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )

( | V | * | E | ) =( | V | * | E | ) = O ( | V |^3 )O ( | V |^3 )

( | V |^3 *( | V |^3 * log( | V | ) )log( | V | ) )

( | V |^3 )( | V |^3 )


( | V | * | E | ) =( | V | * | E | ) = O ( | V |^3 )O ( | V |^3 )


• Deux questions : Deux questions :

• La vague construit en temps O ( | E | ) le plus court La vague construit en temps O ( | E | ) le plus court chemin d’un sommet « u » quelconque vers tous les chemin d’un sommet « u » quelconque vers tous les autres sommets !autres sommets !





– Pouvons-nous calculer les chemins les plus légers de Pouvons-nous calculer les chemins les plus légers de « u » vers les autres sommets avec la même « u » vers les autres sommets avec la même complexité ?complexité ?

– Oui, c’est l’algorithme de Dijkstra !Oui, c’est l’algorithme de Dijkstra !





– Pouvons-nous calculer les chemins les plus légers de Pouvons-nous calculer les chemins les plus légers de « u » vers les autres sommets avec la même « u » vers les autres sommets avec la même complexité ?complexité ?


• Nous avons dû exiger que les poids des arêtes soient Nous avons dû exiger que les poids des arêtes soient positifs ou nuls ! positifs ou nuls !




• La vague construit en temps O ( | E | ) le plus court chemin d’un La vague construit en temps O ( | E | ) le plus court chemin d’un sommet « u » quelconque vers tous les autres sommets !sommet « u » quelconque vers tous les autres sommets !

– Pouvons-nous calculer les chemins les plus légers de « u » Pouvons-nous calculer les chemins les plus légers de « u » vers les autres sommets avec la même complexité ?vers les autres sommets avec la même complexité ?


• Nous avons dû exiger que les poids des arêtes soient positifs ou Nous avons dû exiger que les poids des arêtes soient positifs ou nuls ! nuls !

– Pouvons-nous lever cette limitation, quitte à devoir détecter Pouvons-nous lever cette limitation, quitte à devoir détecter des cycles de poids négatifs ? des cycles de poids négatifs ?

– Oui, c’est l’algorithme de Bellmann-Ford !Oui, c’est l’algorithme de Bellmann-Ford !




‘‘


• L’algorithme de Dijkstra calcule les chemins les plus L’algorithme de Dijkstra calcule les chemins les plus légers de « s » vers tous les autres sommets !légers de « s » vers tous les autres sommets !




• C’est un algorithme de « relaxation », qui est un C’est un algorithme de « relaxation », qui est un schéma classique en recherche opérationnelle.schéma classique en recherche opérationnelle.





• Pour chaque sommet « u » nous connaissons « D ( u ) » Pour chaque sommet « u » nous connaissons « D ( u ) » quiqui

– est un majorant du chemin le plus léger,est un majorant du chemin le plus léger,







– qui correspond au poids d’un chemin de « s » vers « u »,qui correspond au poids d’un chemin de « s » vers « u »,








– qui vaut initialement « +qui vaut initialement « + » pour tout « u » différent de » pour tout « u » différent de « s »« s »



• L’algorithme de Dijkstra calcule les chemins les plus légers L’algorithme de Dijkstra calcule les chemins les plus légers de « s » vers tous les autres sommets !de « s » vers tous les autres sommets !

• C’est un algorithme de « relaxation », qui est un schéma C’est un algorithme de « relaxation », qui est un schéma classique en recherche opérationnelle.classique en recherche opérationnelle.

• Pour chaque sommet « u » nous connaissons « D ( u ) » quiPour chaque sommet « u » nous connaissons « D ( u ) » qui



– qui vaut initialement « +qui vaut initialement « + » pour tout « u » différent de « s » » pour tout « u » différent de « s »

– et qui sera égal au chemin le plus léger à la fin du calcul.et qui sera égal au chemin le plus léger à la fin du calcul.



• L’algorithme de Dijkstra calcule les chemins les plus légers de L’algorithme de Dijkstra calcule les chemins les plus légers de « s » vers tous les autres sommets !« s » vers tous les autres sommets !

• C’est un algorithme de « relaxation », qui est un schéma classique C’est un algorithme de « relaxation », qui est un schéma classique en recherche opérationnelle.en recherche opérationnelle.

• Pour chaque sommet « u » nous connaissons « D ( u ) » quiPour chaque sommet « u » nous connaissons « D ( u ) » qui



– qui vaut initialement « +qui vaut initialement « + » pour tout « u » différent de « s » » pour tout « u » différent de « s »

– et qui sera égal au chemin le plus léger à la fin du calcul.et qui sera égal au chemin le plus léger à la fin du calcul.

• De plus, pour tout « u » nous connaissons « P ( u ) » qui est le De plus, pour tout « u » nous connaissons « P ( u ) » qui est le sommet qui précède « u » le long du meilleur chemin courant.sommet qui précède « u » le long du meilleur chemin courant.



• L’opération de base « relax ( x , v ) » demandeL’opération de base « relax ( x , v ) » demande

– si le meilleur chemin actuel ne peut pas être amélioré sisi le meilleur chemin actuel ne peut pas être amélioré si

le sommet « x » devient le prédécesseur de « v » ?le sommet « x » devient le prédécesseur de « v » ?






D ( x ) + M ( x , v ) < D ( v ) ? ? ? ? ?D ( x ) + M ( x , v ) < D ( v ) ? ? ? ? ?






D ( x ) + M ( x , v ) < D ( v ) ? ? ? ? ?D ( x ) + M ( x , v ) < D ( v ) ? ? ? ? ?


NONNON

RIEN !RIEN !





D ( x ) + M ( x , v ) < D ( v ) ? ? ? ? ?D ( x ) + M ( x , v ) < D ( v ) ? ? ? ? ?


OUIOUI

D ( v ) <D ( v ) <-- D ( x ) + M ( x , v ) et P ( v ) < D ( x ) + M ( x , v ) et P ( v ) <-- x x

NONNON

RIEN !RIEN !





D ( x ) + M ( x , v ) < D ( v ) ? ? ? ? ?D ( x ) + M ( x , v ) < D ( v ) ? ? ? ? ?


OUIOUI

D ( v ) <D ( v ) <-- D ( x ) + M ( x , v ) et P ( v ) < D ( x ) + M ( x , v ) et P ( v ) <-- x x

NONNON

RIEN !RIEN !

Donc, D ( v ) décroît et correspond à un chemin du graphe !Donc, D ( v ) décroît et correspond à un chemin du graphe !



• L’opération de relaxation « relax ( x , v ) » : L’opération de relaxation « relax ( x , v ) » :

fonction relax ( x , v )

si D ( x ) + M ( x , v ) < D ( v )

D ( v ) <- D ( x ) + M ( x , v ) ;

P ( v ) <- x ;

fsi



pour tout u : D ( u ) <- + ;

D ( s ) <- 0 ;

pour tout u : P ( u ) <- ?? ;

P ( s ) <- s ;

E <- V ;

tantque E <>

{ u <- sommet_min_D ( E ) ;

E <- E \ { u } ;

pour tout v dans E et voisin de u

relax ( u , v ) ;

}



pour tout u : D ( u ) <- + ;

D ( s ) <- 0 ;

pour tout u : P ( u ) <- ?? ;

P ( s ) <- s ;

E <- V ;

tantque E <>


E <- E \ { u } ;


relax ( u , v ) ;

}

Nous initialisons les distances !Nous initialisons les distances !



pour tout u : D ( u ) <- + ;

D ( s ) <- 0 ;

pour tout u : P ( u ) <- ?? ;

P ( s ) <- s ;

E <- V ;

tantque E <>


E <- E \ { u } ;


relax ( u , v ) ;

}


Nous initialisons les prédécesseurs !Nous initialisons les prédécesseurs !



pour tout u : D ( u ) <- + ;

D ( s ) <- 0 ;

pour tout u : P ( u ) <- ?? ;

P ( s ) <- s ;

E <- V ;

tantque E <>


E <- E \ { u } ;


relax ( u , v ) ;

}



Nous initialisons les sommets à parcourir !Nous initialisons les sommets à parcourir !



pour tout u : D ( u ) <- + ;

D ( s ) <- 0 ;

pour tout u : P ( u ) <- ?? ;

P ( s ) <- s ;

E <- V ;

tantque E <>


E <- E \ { u } ;


relax ( u , v ) ;

}




Tant qu’il reste un sommet à traiter . . .Tant qu’il reste un sommet à traiter . . .



pour tout u : D ( u ) <- + ;

D ( s ) <- 0 ;

pour tout u : P ( u ) <- ?? ;

P ( s ) <- s ;

E <- V ;

tantque E <>


E <- E \ { u } ;


relax ( u , v ) ;

}





Nous retirons le sommet « u »Nous retirons le sommet « u »dont « D ( u ) » est minimal !dont « D ( u ) » est minimal !



pour tout u : D ( u ) <- + ;

D ( s ) <- 0 ;

pour tout u : P ( u ) <- ?? ;

P ( s ) <- s ;

E <- V ;

tantque E <>


E <- E \ { u } ;


relax ( u , v ) ;

}





Nous retirons le sommet « u »Nous retirons le sommet « u »dont « D ( u ) » est minimal !dont « D ( u ) » est minimal !

Nous relaxons ses voisins quiNous relaxons ses voisins quine sont pas encore définitifs ! ! !ne sont pas encore définitifs ! ! !



ss

aa

bb

cc

2020

101055 88



ss

aa

bb

cc

2020

101055 88

E s a b cE s a b c

D D 0 0

P s ? ? ?P s ? ? ?



ss

aa

bb

cc

2020

101055 88

E E ss a b c a b c

D D 00

P P ss ? ? ? ? ? ?

E <E <-- E \ { s } E \ { s }

//



ss

aa

bb

cc

2020

101055 88

E E ss a b c a b c

D D 00

P P ss ? ? ? ? ? ?

E <E <-- E \ { s } E \ { s }relax ( s , a )relax ( s , a )

relax ( s , b )relax ( s , b )

//



ss

aa

bb

cc

2020

101055 88

E E ss a b c a b c

D D 00

P P ss ? ? ? ? ? ?



E E ss a b c a b c

D D 00 1010

P P ss ss ss ? ?

//



ss

aa

bb

cc

2020

101055 88

E E ss a b c a b c

D D 00

P P ss ? ? ? ? ? ?



E E ss aa b c b c

D D 00 1010

P P ss ss s ? s ?

//

E <E <-- E \ { a } E \ { a }

//



ss

aa

bb

cc

2020

101055 88

E E ss a b c a b c

D D 00

P P ss ? ? ? ? ? ?



E E ss aa b c b c

D D 00 1010

P P ss ss s ? s ?

//

E <E <-- E \ { a } E \ { a } relax ( a , b )relax ( a , b )

//



ss

aa

bb

cc

2020

101055 88

E E ss a b c a b c

D D 00

P P ss ? ? ? ? ? ?



E E ss aa b c b c

D D 00 1010

P P ss ss s ? s ?

//


//

E E ss aa b b c c

D D 00 1010

P P ss ss aa ? ?

// //



ss

aa

bb

cc

2020

101055 88

E E ss a b c a b c

D D 00

P P ss ? ? ? ? ? ?



E E ss aa b c b c

D D 00 1010

P P ss ss s ? s ?

//


//

E E ss aa bb c c

D D 00 1010

P P ss ss aa ? ?

// //E <E <-- E \ { b } E \ { b }

//



ss

aa

bb

cc

2020

101055 88

E E ss a b c a b c

D D 00

P P ss ? ? ? ? ? ?



E E ss aa b c b c

D D 00 1010

P P ss ss s ? s ?

//


//

E E ss aa bb c c

D D 00 1010 2323

P P ss ss aa bb

// //E <E <-- E \ { b } E \ { b }

//relax ( b , c )relax ( b , c )



ss

aa

bb

cc

2020

101055 88

E E ss a b c a b c

D D 00

P P ss ? ? ? ? ? ?



E E ss aa b c b c

D D 00 1010

P P ss ss s ? s ?

//


//

E E ss aa bb cc

D D 00 1010 2323

P P ss ss aa bb

// //E <E <-- E \ { b } E \ { b }

//relax ( b , c )relax ( b , c )

//

E <E <-- E \ { c } E \ { c }



• Correction de l’algorithme, par absurde !Correction de l’algorithme, par absurde !




• Soit « u » le premier sommet extrait avec « D ( u ) > d Soit « u » le premier sommet extrait avec « D ( u ) > d ( s , u ) » !( s , u ) » !





• Soit le chemin de plus léger de « s » vers « u » :Soit le chemin de plus léger de « s » vers « u » :ss . . .. . . xx yy . . .. . . uu






Pas dans E !Pas dans E !






Pas dans E !Pas dans E ! Dans E !Dans E !






Pas dans E !Pas dans E ! Dans E !Dans E ! Dans E !Dans E !







D ( u ) <= D ( y ) carD ( u ) <= D ( y ) car« u » va être extrait !« u » va être extrait !








D ( x ) = d ( s , x ) , car ilD ( x ) = d ( s , x ) , car iln’ y a pas eu d’erreur avant !n’ y a pas eu d’erreur avant !









D ( y ) = relax ( x , y ) = d ( s , y ) ! ! ! ! !D ( y ) = relax ( x , y ) = d ( s , y ) ! ! ! ! !










D ( y ) = d ( s , y ) <= d ( s , u ) <= D ( u )D ( y ) = d ( s , y ) <= d ( s , u ) <= D ( u )











D ( y ) = d ( s , y ) = D ( u ) = d ( s , u ) D ( y ) = d ( s , y ) = D ( u ) = d ( s , u )



• Dijkstra calcule les chemins les plus légers d’un Dijkstra calcule les chemins les plus légers d’un sommet vers tous les autres (one-to-all shortest sommet vers tous les autres (one-to-all shortest pairs).pairs).




• Tout sommet « u » est extrait avec une valeur « D Tout sommet « u » est extrait avec une valeur « D ( u ) » qui est bien égale au chemin le plus léger et ( u ) » qui est bien égale au chemin le plus léger et dont le poids est « d ( s , u ) » !dont le poids est « d ( s , u ) » !




• Tout sommet « u » est extrait avec une valeur « D Tout sommet « u » est extrait avec une valeur « D ( u ) » qui est bien égale au chemin le plus léger et ( u ) » qui est bien égale au chemin le plus léger et dont le poids est « d ( s , u ) » !dont le poids est « d ( s , u ) » !

• La complexité vaut La complexité vaut ( | V | + | E | ) , car nous ( | V | + | E | ) , car nous parcourons, exactement une fois, tous les sommets et parcourons, exactement une fois, tous les sommets et toutes les arêtes !toutes les arêtes !



• Dijkstra calcule les chemins les plus légers d’un sommet Dijkstra calcule les chemins les plus légers d’un sommet vers tous les autres (one-to-all shortest pairs).vers tous les autres (one-to-all shortest pairs).

• Tout sommet « u » est extrait avec une valeur « D ( u ) » Tout sommet « u » est extrait avec une valeur « D ( u ) » qui est bien égale au chemin le plus léger et dont le qui est bien égale au chemin le plus léger et dont le poids est « d ( s , u ) » !poids est « d ( s , u ) » !

• La complexité vaut La complexité vaut ( | V | + | E | ) , car nous ( | V | + | E | ) , car nous parcourons, exactement une fois, tous les sommets et parcourons, exactement une fois, tous les sommets et toutes les arêtes !toutes les arêtes !

• Et Et ( | V | + | E | ) = ( | V | + | E | ) = ( | E | ) car le graphe est ( | E | ) car le graphe est connexe !connexe !



• Dijkstra calcule les chemins les plus légers d’un sommet vers Dijkstra calcule les chemins les plus légers d’un sommet vers tous les autres (one-to-all shortest pairs).tous les autres (one-to-all shortest pairs).

• Tout sommet « u » est extrait avec une valeur « D ( u ) » qui Tout sommet « u » est extrait avec une valeur « D ( u ) » qui est bien égale au chemin le plus léger et dont le poids est « d est bien égale au chemin le plus léger et dont le poids est « d ( s , u ) » !( s , u ) » !

• La complexité vaut La complexité vaut ( | V | + | E | ) , car nous parcourons, ( | V | + | E | ) , car nous parcourons, exactement une fois, tous les sommets et toutes les arêtes !exactement une fois, tous les sommets et toutes les arêtes !

• Et Et ( | V | + | E | ) = ( | V | + | E | ) = ( | E | ) car le graphe est connexe ! ( | E | ) car le graphe est connexe !

• Attention, tout ceci est correct uniquement si les poids sont Attention, tout ceci est correct uniquement si les poids sont positifs ou nuls ! ! ! positifs ou nuls ! ! !



‘‘



• Bellmann-Ford calcule les chemins les plus légers pour Bellmann-Ford calcule les chemins les plus légers pour toutes les paires de sommets (all-to-all shortest pairs).toutes les paires de sommets (all-to-all shortest pairs).




• Les poids peuvent être négatifs, car il indique au Les poids peuvent être négatifs, car il indique au passage la présence éventuelle de cycles de poids passage la présence éventuelle de cycles de poids négatif. négatif.





• La complexité est en O ( | V |^3 ) , comme Floyd-La complexité est en O ( | V |^3 ) , comme Floyd-Warshall ! Warshall !






• BF utilise la même relaxation que Dijkstra, mais ne BF utilise la même relaxation que Dijkstra, mais ne considère jamais qu’une valeur d’un sommet est considère jamais qu’une valeur d’un sommet est définitive (et que le sommet peut être retiré de définitive (et que le sommet peut être retiré de l’ensemble « E »).l’ensemble « E »).




• Les poids peuvent être négatifs, car il indique au passage Les poids peuvent être négatifs, car il indique au passage la présence éventuelle de cycles de poids négatif. la présence éventuelle de cycles de poids négatif.


• BF utilise la même relaxation que Dijkstra, mais ne BF utilise la même relaxation que Dijkstra, mais ne considère jamais qu’une valeur d’un sommet est définitive considère jamais qu’une valeur d’un sommet est définitive (et que le sommet peut être retiré de l’ensemble « E »).(et que le sommet peut être retiré de l’ensemble « E »).

• Nous continuons tant qu’il y a des poids peuvent être Nous continuons tant qu’il y a des poids peuvent être réduits et que . . . (nous verrons plus tard) !réduits et que . . . (nous verrons plus tard) !



• L’opération de relaxation « relax ( x , v ) » dit si, oui ou L’opération de relaxation « relax ( x , v ) » dit si, oui ou non, le poids du sommet « v » est resté stable. non, le poids du sommet « v » est resté stable.


si D ( x ) + M ( x , v ) < D ( v )

D ( v ) <- D ( x ) + M ( x , v ) ;

P ( v ) <- x ;

rendre ( FAUX ) ;

sinon

rendre ( VRAI ) ;



• Le code presque correct :Le code presque correct :

pour tout u : D ( u ) <- + ;

D ( s ) <- 0 ;

pour tout u : P ( u ) <- ?? ;

P ( s ) <- s ;

repeter

stable <- VRAI ;

pour tout u différent de s

pour tout v qui est voisin de u

stable <- stable & relax ( u , v ) ;

jusqua stable = VRAI ;




pour tout u : D ( u ) <- + ;

D ( s ) <- 0 ;

pour tout u : P ( u ) <- ?? ;

P ( s ) <- s ;

repeter

stable <- VRAI ;





La même initialisation !La même initialisation !




pour tout u : D ( u ) <- + ;

D ( s ) <- 0 ;

pour tout u : P ( u ) <- ?? ;

P ( s ) <- s ;

repeter

stable <- VRAI ;






Nous relaxons tout ! ! !Nous relaxons tout ! ! !




pour tout u : D ( u ) <- + ;

D ( s ) <- 0 ;

pour tout u : P ( u ) <- ?? ;

P ( s ) <- s ;

repeter

stable <- VRAI ;






Nous relaxons tout ! ! !Nous relaxons tout ! ! !

Nous nous arrêtons lorsqu’aucun poidsNous nous arrêtons lorsqu’aucun poidsn’a pu être réduit au dernier passage !n’a pu être réduit au dernier passage !



• Calculer les plus courts chemins ou les chemins les plus Calculer les plus courts chemins ou les chemins les plus légers avec des poids positifslégers avec des poids positifs

– revient à ne considérer que des chemins simples ! ! ! revient à ne considérer que des chemins simples ! ! ! ! ! !! ! !





• L’algorithme que nous avons construit s’arrête dans L’algorithme que nous avons construit s’arrête dans ces cas ! ces cas !





• L’algorithme que nous avons construit s’arrête dans L’algorithme que nous avons construit s’arrête dans ces cas ! ces cas !

• S’il y a des cycles de poids négatifs :S’il y a des cycles de poids négatifs :

– le chemin le plus léger ne sera plus un chemin simple,le chemin le plus léger ne sera plus un chemin simple,– l’algorithme va boucler !l’algorithme va boucler !



• Calculer les plus courts chemins ou les chemins les plus légers Calculer les plus courts chemins ou les chemins les plus légers avec des poids positifsavec des poids positifs

– revient à ne considérer que des chemins simples ! ! ! ! ! !revient à ne considérer que des chemins simples ! ! ! ! ! !

• L’algorithme que nous avons construit s’arrête dans ces cas ! L’algorithme que nous avons construit s’arrête dans ces cas !

• S’il y a des cycles de poids négatifs :S’il y a des cycles de poids négatifs :

– le chemin le plus léger ne sera plus un chemin simple,le chemin le plus léger ne sera plus un chemin simple,– l’algorithme va boucler !l’algorithme va boucler !

• Il faut un garde-fou :Il faut un garde-fou :

– Pour « n » sommets, le chemin simple le plus long ne Pour « n » sommets, le chemin simple le plus long ne dépasse pas « n dépasse pas « n –– 1 » étapes. 1 » étapes.



• Un code correct :Un code correct : . . .

k <- 0 ;

repeter

stable <- VRAI ;




k <- k + 1 ;

jusqua stable = VRAI ou k > n – 1

si k > n – 1

Il y a des cycles de poids négatifs ;




k <- 0 ;

repeter

stable <- VRAI ;




k <- k + 1 ;


si k > n – 1


Nous comptons et limitons leNous comptons et limitons lenombre de tours de boucle !nombre de tours de boucle !




k <- 0 ;

repeter

stable <- VRAI ;




k <- k + 1 ;


si k > n – 1


Nous comptons et limitons leNous comptons et limitons lenombre de tours de boucle !nombre de tours de boucle !

Si « k » atteint « n » c’est qu’il ySi « k » atteint « n » c’est qu’il ya des boucles de poids négatifs !a des boucles de poids négatifs !



• La preuve de correction :La preuve de correction :

• La longueur d’aucun chemin simple n’excède « | V | La longueur d’aucun chemin simple n’excède « | V | -- 1 ».1 ».





• Soit le chemin simple le plus léger de « s » vers « u » :Soit le chemin simple le plus léger de « s » vers « u » :

avec f <= | V | avec f <= | V | -- 1 et u 1 et u = a= a

ss aa . . .. . .11

aaff ff







• Après le i tour de boucle : D ( a ) = d ( s , a ) .Après le i tour de boucle : D ( a ) = d ( s , a ) .

ss aa . . .. . .11

aaff ff

eeii ii








– Trivial, pour i = 0 , c’est-à-dire pour « s » !Trivial, pour i = 0 , c’est-à-dire pour « s » !

ss aa . . .. . .11

aaff ff

eeii ii




• La longueur d’aucun chemin simple n’excède « | V | La longueur d’aucun chemin simple n’excède « | V | -- 1 ». 1 ».


avec f <= | V | avec f <= | V | -- 1 et u = a 1 et u = a



– Si c’est vrai pour « i », le i+1 tour calcule : Si c’est vrai pour « i », le i+1 tour calcule :

D ( a ) = relax ( a , a ) = d ( s , a )D ( a ) = relax ( a , a ) = d ( s , a )

ss aa . . .. . .11

aaff ff

eeii ii

ee

iii+1i+1 i+1i+1 i+1i+1











• Après le tour de boucle « f » : D ( u ) = D ( a ) = d ( s , a )Après le tour de boucle « f » : D ( u ) = D ( a ) = d ( s , a )

ss aa . . .. . .11

aaff ff

eeii ii

ee

iii+1i+1 i+1i+1 i+1i+1

ff ff



• La preuve de correction (suite) :La preuve de correction (suite) :

• Au bout de « | V | Au bout de « | V | -- 1 » itérations nous avons tous les 1 » itérations nous avons tous les chemins simples les plus légers !chemins simples les plus légers !





• S’il y a encore des modifications de poids au-delà de S’il y a encore des modifications de poids au-delà de cette itération, c’est qu’il existe des cycles de poids cette itération, c’est qu’il existe des cycles de poids négatifs ! négatifs !





• S’il y a encore des modifications de poids au-delà de cette S’il y a encore des modifications de poids au-delà de cette itération, c’est qu’il existe des cycles de poids négatifs ! itération, c’est qu’il existe des cycles de poids négatifs !

• La complexité :La complexité :

– en présence de cycles de poids négatifs : en présence de cycles de poids négatifs : ( | V | * | E ( | V | * | E | )| )




• Au bout de « | V | Au bout de « | V | -- 1 » itérations nous avons tous les chemins 1 » itérations nous avons tous les chemins simples les plus légers !simples les plus légers !

• S’il y a encore des modifications de poids au-delà de cette itération, S’il y a encore des modifications de poids au-delà de cette itération, c’est qu’il existe des cycles de poids négatifs ! c’est qu’il existe des cycles de poids négatifs !


– en présence de cycles de poids négatifs : en présence de cycles de poids négatifs : ( | V | * | E | ) ( | V | * | E | )

– en l’absence de cycles de poids négatifs : en l’absence de cycles de poids négatifs : ( ( ( G ) * | E | ) ( G ) * | E | )




• Au bout de « | V | Au bout de « | V | -- 1 » itérations nous avons tous les chemins simples les 1 » itérations nous avons tous les chemins simples les plus légers !plus légers !

• S’il y a encore des modifications de poids au-delà de cette itération, S’il y a encore des modifications de poids au-delà de cette itération, c’est qu’il existe des cycles de poids négatifs ! c’est qu’il existe des cycles de poids négatifs !


– en présence de cycles de poids négatifs : en présence de cycles de poids négatifs : ( | V | * | E | ) ( | V | * | E | )

– en l’absence de cycles de poids négatifs : en l’absence de cycles de poids négatifs : ( ( ( G ) * | E | ) ( G ) * | E | )

• Le diamètre Le diamètre ( G ) est la longueur du plus long chemin simple ! ( G ) est la longueur du plus long chemin simple !


SynthèseSynthèse----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Les plus courts chemins,Les plus courts chemins,• les chemins les plus légers :les chemins les plus légers :

– à l’aide de la vague,à l’aide de la vague,– à l’aide de la multiplication,à l’aide de la multiplication,– à l’aide de Floyd-Warshall.à l’aide de Floyd-Warshall.

– Algorithmes de Dijkstra et Bellmann-Ford.Algorithmes de Dijkstra et Bellmann-Ford.


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21 février 2006Cours de graphes 2 - Intranet1 Cours de graphes Les plus courts chemins, les chemins...

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