Testabilité non déterministe sur les graphes denses

P. Gardy

Basé sur les travaux de László Lovász et Katalin Vesztergombi, enparticulier 2 articles :

• Nondeterministic graph property testing (L. Lovász, K Vesztergombi2012)

• Testing properties of graphs and functions ( Lovász, Balázs Szegedy2008)

Sommaire

• Testabilité.• Graphes limites.

• d� et d1, 2 distances sur les graphes.• Convergence d'une suite de graphe• Une 3eme distance : δ�.

• Limites de graphes et testabilité.

• Non determinisme.

• Resultat principal : T = NT• Conclusion.

Testabilité

Dé�nition : (Propriété testable)Une propriété Q est testable si pour tout ε>0, il existe un algorithme Aεdont la complexité en nombre de requete ne dépend que de ε et tel que :

• Si G∈ Q, Alors Aε accepte avec probabilité ≥2/3.• SI G est ε-loin de Q pour l'edit-distance, Alors Aε rejette avecprobabilité ≥2/3.

Qε loin deQ

ε

Pr(rejette) ≥ 2/3 Pr(accepte) ≥ 2/3

peu importe

Echantillonnage

Dans le cas des graphes denses, un échantillon de taille r d'un graphe L-noté G(r,L)- est obtenu en tirant avec probabilité uniforme r sommets deL et en prenant le graphe induit par les points tirés.

1

2

3

45 2

45

Graphe G echantillon taille 3

Propriété testable : triangle free

'Etre sans triangle' est testable (et est équivalent au removal lemma).

G large graphe

échantillon

Si G est sans trianglel'echantillon témoigne d'etre

loin de 'triangle freeavec grande probabilité

Si G est loin de triangle freel'echantillon aura avec grande

probabilité un triangle

Distances : edit-distance et cute-norme distance

Dé�nition : (edit-distance sur graphes)Pour 2 graphes G,G' avec le même nombre de sommets

d1(G,G')=E(G)4E(G ′)|V 2|

Dé�nition : (cut norm distance sur graphes)Pour G et G', 2 graphes sur le même ensemble de sommets. On noteeG (S ,T ) le nombre d'arêtes avec une extremité dans S, l'autre dans T.

d�(G,G') = max S,T⊆V|eG (S,T )−e

G ′ (S ,T )||V |2

Distances : edit-distance et cute-norme distance

On a de manière générale d�(G,G') ≤ d1(G,G').

Sur les graphes aléatoires, la di�érence devient plus claire :

• Esp[d1(G1(n, 1/2),G2(n, 1/2))] → 1/2 pour n →∞• Esp[d�(G1(n, 1/2),G2(n, 1/2))] → 0 pour n →∞

Donc pour certaines suites de graphe, certaines caractéristiquesasymptotique de la suite sont liées au choix de la distance.

Echantillonnage

Dans le cas des graphes denses, un échantillon de taille r d'un graphe L-noté G(r,L)- est obtenu en tirant avec probabilité uniforme r sommets deL et en prenant le graphe induit par les points tirés.

1

2

3

45 2

45

Graphe G echantillon taille 3

Convergence d'une suite de graphes

Dé�nition : (convergence d'une suite de graphe)Une suite (Gn)n∈ℵ de graphes est dite convergente lorsque :

• |V(Gn)| → ∞• ∀ r ≥ 0, la distribution de l'échantillon de taille r tend vers une limitepour n→ ∞

Dé�nition : (Graphon)L'objet limite d'une suite convergente de graphe est un graphon : unefonction mesurable de [0, 1]2 → [0, 1].

Graphe et graphonOn peut à un graphe associé de manière canonique un graphon

G

0 0 1 0 0 1 1 0 0 0 1 0 0 10 0 1 0 1 0 1 0 0 0 0 0 1 01 1 0 1 0 1 1 1 1 0 1 0 1 10 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 1 0 00 1 0 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 11 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 11 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 00 0 1 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 10 0 1 1 0 0 0 1 1 1 0 1 0 00 0 0 0 0 1 1 0 1 0 1 0 1 01 0 1 1 1 1 1 1 0 1 0 1 1 10 0 0 1 0 1 1 0 1 0 1 0 1 00 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 1 0 11 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 0 1 0 AG

WGSeptember 2012 12

From graphs to functions

On étend ces notions aux graphes k-coloriés et orientés

La convergence d'une suite de graphe k-coloriés orientés reste du mêmetonneau que pour les graphes simples

Dé�nition : (k-digraphon)Un k-digraphon W=(W 1, ...,W k) est un k-uplet de fonctions [0,1]*[0,1]→ [0,1], mesurable tel que Σh W h = 1.

Échantillonnage d'un k-digraphon :On peut échantilloner un k-digraphon W et obtenir un graphe orienté kcolorié à r sommets noté G(r,W) :On choisit X1,...,Xr points de [0,1] avec probabilité uniforme et on coloriel'arête de Xi à Xj avec couleur h avec probabilité W h(Xi ,Xj).

Limites de graphesÀ un graphe orienté à k couleurs L on associe un k-digraphon WL : Soitn=|V(L)|. Soit S1, ..., Sn des intervalles de [0,1] de même longueurpartitionnant [0,1].WL=(W 1

L , ...,WkL ) où :

W hL (x , y)= 1 si x∈ Si , y∈ Sj et la couleur de (x,y) est h

0 sinon

12

3

1

2 12

1

Graphe LW 1

L

(0,0) (1,0)

(0,1)

f(x,y)=1

W 2

L

(0,0) (1,0)

(0,1)

f(x,y)=0

Normes et distances : Cut norm

Dé�nition : (cut norm distance sur k-digraphons)Pour un graphons W on dé�nit la cut-norme par :

‖W ‖�=∑m

i=1supS,T⊆[0,1] |

∫SxT

W i (x , y) dx dy|

Dé�nition : (δ� distance sur k-digraphons et sur graphes)On dé�nit δ�, une pseudo métrique par : δ�(U,W)=infφ ψ ‖Uφ −W ψ‖�

Pour G,G' avec des ensembles de sommets potentiellement de taillesdi�érentes : δ�(G,G') = δ�(WG ,WG ′)

Divers propriétés sur les distances

• On a δ�(F,G) ≤ d�(F ,G ) ≤ d1(F,G) pour F,G sur même ensemblede sommets.

• L'espace de tout les graphons munit de δ� est compact.

• Soit Ln suite de graphes orientés et à k couleurs et W unk-digraphon. Alors :Ln → W si et seulement si δ�(WLn,W ) → 0.

Proposition :Une propriété P est testable si et seulement si pour toute suite Gn tel que|V(Gn)| → ∞, on a δ�(Gn,P) → 0 =⇒ d1(Gn,P) → 0.

Testabilité non déterministe

Dé�nition : (Ombre d'un graphe orienté k-coloriable)Pour un graphe L k-colorié et orienté et un m≤k, on dé�nit l'ombre L' deL comme le graphe issue de L où on a gardé les arêtes de couleurs 1,...,met où on a oublié le coloriage et l'orientation.

1

4 54

2

5

Graphe L Graphe L' pour m=2

Testabilité non déterministe

Dé�nition : (Propriété non déterministiquement testable)Une propriété P est testable non-déterministiquement s'il existe 2 entiersk,m avec m≤k et une propriété Q sur les graphes orientés à k-couleurstestable tel que Q′ = P.Clairement Non-det. testable → Testable

Q testableε loin deQ P = Q′PC

H ′H=(Vh,Eh,C1..Ck)

ε proche de Q

Testabilité non déterministe : exemple

Exemple : (P= max-cut(G) ≥ c |V (G )|2 )Soit Q la propriété sur les graphes 2-couleurs : 'Avoir au moinsc ∗ |V (G )|2 arêtes reliant des points de couleurs di�érentes'.

Q est testable et Q′=P donc P est non-deterministiquement testable

Un dernier résultat avant le théorème principal

Proposition :Soit W=(W 1, ...,W k) un k-digraphon et U=

∑kh=1

W h (symmétrique)pour un m≤k. Soit Fn une suite de graphes simples convergent vers U.Alors il existe une suite Jn de graphes orientés et k-coloriés tel que :

• Jn'=Fn

• Jn → W.

Fn U

W|W'=UJn|J ′n = Fn

Élements sur la proposition précédente

• Construit Hn un fractionally k-digraphons en divisant [0,1] en |V(Fn)|intervalles.

• Hn et W sont proches pour δ�.

• Tire Jn un graphe k-colorié orienté de H -construction probabiliste-.

• Avec probabilité →1 exp. rapidement, WJn est proche de H pour δ�.

• Donc WJn et W sont proches pour δ�.

Testable ↔ Non-det testable

Théorème :Toute propriété non deterministiquement testable est testable.

Exemple d'utilisation :Max-cut(G) ≥ c*|V(G)| est testable.

Pour montrer le théorème il su�t de montrer que si pour une suite degraphes Fn tel que δ�(Fn,P) → 0, on a d1(Fn,P).

Testable ↔ Non-det testableMontrons que d1(Fn,P) → 0

Soit Gn des graphes de P tel que δ�(Fn,Gn) → 0.Comme P est non-det testable, on a Q testable tel que Q′=P. Il existedonc des graphes Ln ∈ Q -coloriés et orientés- tel que Gn=Ln'.

Fn Gnδ�(Fn,Gn) → 0 P

Q|Q′=P

Ln| L′n=Gn

Testable ↔ Non-det testableMontrons que d1(Fn,P) → 0

Soit Gn des graphes de P tel que δ�(Fn,Gn) → 0.Comme P est non-det testable, on a Q testable tel que Q′=P. Il existedonc des graphes Ln ∈ Q -coloriés et orientés- tel que Gn=Ln'.

Fn Gnδ�(Fn,Gn) → 0 P

Q|Q′=PLn| L′n=Gn

Testable ↔ Non-det testableMontrons que d1(Fn,P) → 0

On suppose Ln convergente -sinon il existe une sous suite convergente deLn. Soit W=(W 1, ...W h) k-digraphon limite des Ln et U=

∑mh=1

W h.Alors Gn → U.Comme Gn → U et δ�(Fn,Gn) → 0, on a Fn → U.

Fn Gn P

QLnW

U = W'

δ�(Fn,Gn) → 0

Testable ↔ Non-det testableMontrons que d1(Fn,P) → 0

On suppose Ln convergente -sinon il existe une sous suite convergente deLn. Soit W=(W 1, ...W h) k-digraphon limite des Ln et U=

∑mh=1

W h.Alors Gn → U.Comme Gn → U et δ�(Fn,Gn) → 0, on a Fn → U.

Fn Gn P

QLnW

U = W'

δ�(Fn,Gn) → 0

Testable ↔ Non-det testableMontrons que d1(Fn,P) → 0

Par un des lemmes vu précédemment, on peut construire Jn tel queJn'=Ln et Jn → W.Puisque Jn → W et Ln → W, on a δ�(Jn,Ln) → 0 et δ�(Jn,Q) → 0.Puisque Q est testable d1(Jn,Q) → 0

Fn Gn P

QLnW

U

Jn |J ′n = Fn

pour δ� et d1

Testable ↔ Non-det testableMontrons que d1(Fn,P) → 0

Par un des lemmes vu précédemment, on peut construire Jn tel queJn'=Ln et Jn → W.Puisque Jn → W et Ln → W, on a δ�(Jn,Ln) → 0 et δ�(Jn,Q) → 0.Puisque Q est testable d1(Jn,Q) → 0

Fn Gn P

QLnW

U

Jn |J ′n = Fn

pour δ� et d1

Testable ↔ Non-det testableMontrons que d1(Fn,P) → 0

d1(Jn,Q) → 0, donc il existe Mn ∈ Q tel que d1(Jn,Mn) → 0 et Mn' ∈ P,donc d1(Fn,Q) ≤ d1(Fn,Mn') → 0.

Fn Gn P

QLnJn

pour δ� et d1

Mn

→0 pour d1

M ′n→0 pour d1

Testable ↔ Non-det testableMontrons que d1(Fn,P) → 0

d1(Jn,Q) → 0, donc il existe Mn ∈ Q tel que d1(Jn,Mn) → 0 et Mn' ∈ P,donc d1(Fn,Q) ≤ d1(Fn,Mn') → 0.

Fn Gn P

QLnJn

pour δ� et d1

Mn

→0 pour d1

M ′n→0 pour d1

Conclusion

• Pour les graphes denses, être non déterministiquement testableéquivaut à être testable.

• Max-cut est testable.

• Le résultat est non constructif, on ne dispose donc pas du testeurpour max-cut.

• Pour P non det. testable et Q testable tq Q′=P, ces articles nedisent rien sur la relation entre les tailles d'échantillons du testeur deQ et ceux d'un eventuel testeur de P.Cependant Shapira et Gishboliner ont publiés un article qui semblerépondre à cette question.