Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

199
Graphes et MuPad (C.Bo ulinier) 1 Stage Graphes et Mupad Première journée

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 1

Stage Graphes et Mupad

Première journée

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 2

Plan de la matinée

• Un premier exemple• Définitions générales

• Chaînes hamiltoniennes et eulériennes• Automates

• Ordonnancement et matrice d’adjacence• Coloration des graphes

• Graphes planaires• Chaînes de Markov

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 3

4 villages de Sildavie

Zmrzlina

Kava

Kolac Dort

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 4

25

9

1211 8

9

6

7

Zmrzlina

Kava

Kolac Dort

Réseau routier

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 5

Problème: la tournée du postier

25

9

1211 8

9

6

7

Zmrzlina

Kava

Kolac Dort

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 6

Zmrzlina

Kava

Kolac Dort

Une tournée possible du postier

9

1112

9

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 7

Exercice 1Ce circuit est-il le plus court possible?

25

9

1211 8

9

6

7

Zmrzlina

Kava

Kolac Dort

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 8

Matrice aux arcs du graphe

14

23

8

9

12

25

116 7

9

.434241

34.32.

2423.21

.13..

M

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 9

Le produit est remplacé par la concaténation des mots et la somme par l’union; de plus, on ne retient que les chemins sans

circuit (chemins élémentaires).

.423.413432421

324.342341.321

234243.213.241

134.132.

.434241

34.32.

2423.21

.13..

.434241

34.32.

2423.21

.13..

2M

Le produit latin

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 10

.421341324321

...3241.3421

21342413.2341

1324.1342.

.434241

34.32.

2423.21

.13..

.423.413432421

324.342341.321

234243.213.241

134.132.

3M

Proposition: Les puissances r-ièmes successives de M énumèrent les chemins élémentaires d’ordre r du graphe

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 11

.421341324321

...3241.3421

21342413.2341

1324.1342.

3M

On obtient l’ensemble des chemins hamiltoniens (chemins élémentaires passant par tous les points du graphe)

D’où on déduit les circuits hamiltoniens du graphe:

.434241

34.32.

2423.21

.13..

M

2341, 4321 ne fournissent pas de cycle

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 12

Il y a essentiellement 2 circuits hamiltoniens:

• 13421 de longueur 11+6+25+8=50

• 13241 de longueur 11+9+12+9=41

13421 est le meilleur!

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 13

Exercice

Trouver les circuits hamiltoniens du graphe suivant

b

a c

e d

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 14

...

....

....

...

....

...

...

....

...

..

4

eabcdecdab

deabc

cdeab

bcdaebcdea

abcde

M

ecea

deda

cd

bcbb

aeacab

M

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 15

Exercice 2Le problème de monsieur Nô

Mr. Nô, personnage mythique japonais, habite la case du coin supérieur gauche d’un carré de 8x8 cases, et se propose de rendre visite à Mr. Gô, lequel habite la case du coin inférieur droit. Mr. Nô se déplace sur l’échiquier en passant d’une case à l’une des cases adjacentes (pas de diagonale). Est-il possible de trouver un parcours qui l’amène chez Mr. Gô , en passant une et une seule fois sur toutes les autres cases de l’échiquier?

Berge (1970)

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 16

Mr. Nô

Mr. Gô

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 17

Le problème revient à trouver un chemin hamiltonien dans le graphe des déplacements

possibles sur l’échiquier

On peut cependant remarquer que Mr. Nô et Mr. Gô habitent sur des cases jaunes, Mr. Nô doit faire 63 sauts,

il aboutira donc nécessairement sur une case blanche(absurde)

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 18

Définitions générales

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 19

Un graphe (orienté) G est la donnée d’un ensemble S et d’une partie F du produit

cartésien S×S.

S peut être

Fini, infini dénombrable, infini

Notation: G=(S,F)S est l’ensemble des sommets de G

F est l’ensemble des arcs (arêtes orientées) de G{u,v} est une arête de G ssi (u,v) ou (v,u), est dans F

On note Σ l’ensemble des arêtes de G

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 20

Un multigraphe G est la donnée d’un multi-ensemble F d’éléments du produit cartésien

S×S, où S est un ensemble

2

14

3

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 21

Représentation d’un graphe

3

2

1

6

5

4

S={1,2,3,4,5,6}F={ (1,2) , (1,5) , (2,1) , (2,4) , (2,5) , (4,6) , (6,2) , (6,3) }

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 22

Exercice

Construire sur {1,2..,10} le graphe des diviseurs.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 23

Réponse

1

9

8

105

3

6

4

2

7

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 24

Dans ce qui suit S est fini

le graphe G est dit alors fini

L’ordre de G est le cardinal de S

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Vocabulaire de base

• Boucle: arc de la forme (x,x)

X

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 26

• Graphe simple:

Graphe sans boucle

• Graphe complet

Graphe simple avec F maximal

1

3

2

1

32

4

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 27

• Graphe symétrique (ou non orienté)

FijFji ),(),(1

3

2

4

1

3

2

4

Une arête {u,v} est un « arc non orienté »; dans un graphe non orienté, le nombre d’arêtes (Σ) est la moitié du nombre d’arcs (F).

On note G* le graphe symétrisé de G

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 28

Le degré d’un nœud est le nombre d’arêtes incidentes à ce nœud (notion non orientée)

4

2

3

1D(1)=3D(2)=2D(3)=2D(4)=3

On définit de même les degrés intérieurs (entrants) d- et extérieurs (sortants) d+ d’un sommet, on a d- + d+ =d (degré dans le cas orienté)

d-(4)=2 et d+(4)=1

On note D(G) = max D(x)x dans S

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 29

G’=(S’,F’) est un sous graphe de G=(S,F) ssi

', ,'),(et ',' SjiFjiFFSS

G’=(S’,F’) est le sous graphe de G=(S,F) induit par S’ ssi

', ,),('et ' SjiFjiFSS

Le sommet s1 est adjacent au sommet s2 ssi (s1,s2) est dans F

Les sommets s1 et s2 sont adjacents ssi {s1,s2} est dans Σ

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 30

Exemples de graphes

Graphe complet K5

5-cliqueGraphe biparti complet K3,2

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 31

Exercice

Montrer que:

Montrer que

2)(Sx

xD

FxdxdSx Sx

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 32

Exercices

1) Est-il possible de relier 9 ordinateurs, de manière que chacun soit relié à 3 autres exactement ?

2) Le nombre de sommets de degré impair est pair (lemme des poignées de mains)

3) Montrer que le nombre de personnes qui ont vécu ou qui vivent sur terre, qui ont serré la main à un nombre impair de personnes est pair…

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 33

Chemins et chaînes

nsss ...21

nn ssssss ,,...,,,, 13221

Un chemin dans un graphe G est une suite finie d’arcs consécutifs, c’est-à-dire de la forme :

Une chaîne dans un graphe G est une suite finie d’arêtes consécutives:

Notation:

La longueur d’un chemin (resp. d’une chaîne) est le nombre d’arcs (resp. d’arêtes) constituant le chemin (resp. la chaîne)

nn ssssss ,,...,,,, 13221

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 34

Cycles et circuits

• Un circuit (resp. un cycle) est un chemin (resp. une chaîne) dont les extrémités coïncident, et dont les arcs (resp. arêtes) sont tous distincts (resp. toutes distinctes)

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 35

Connexité et forte connexitéUn graphe G = (S,F) est dit connexe (resp. fortement connexe) s’il vérifie la propriété suivante :

pour toute paire de sommets (x,y) de S, il existe une chaîne (resp. un chemin) reliant x à y.

La composante connexe (resp. fortement connexe) d’un sommet x de S est le plus grand sous-graphe connexe (resp. fortement connexe) de G contenant le sommet x.

Dans un graphe symétrique (ou non orienté) les deux notions sont équivalentes

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 36

Connexité

1

2

3

4 7

5 6

8

9

2 composantes connexes

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 37

forte connexité

1

2

3

4 7

5 6

8

9

6 composantes fortement connexes

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 38

Exercice

1. Donner les composantes connexes (resp.fortement connexes) du graphe des diviseurs pour n=10.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 39

1

9

8

105

3

6

4

2

7

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 40

Un point d’articulation d’un graphe est un sommet dont la suppression augmente le nombre de

composantes connexes; un isthme est une arête dont la suppression a le même effet

Points d’articulation

Isthme

Nœud pendant

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 41

Chaînes hamiltoniennes et eulériennes

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 42

Chemins et circuits Hamiltoniens

Dans un graphe G, on dit qu’un chemin s1s2…sn est hamiltonien s’il passe une et une seule fois par chaque sommet du graphe.

On dit qu’un circuit s1s2…sn s1 est hamiltonien s’il passe une et une seule fois par chaque sommet du graphe. nsss ...21

On définit de même les notions de chaîne et de cycle hamiltonien

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 43

Voyage autour du monde (Hamilton)

Trouver un cycle hamiltonien sur le dodécaèdre régulier

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 44

Voyage autour du monde (Hamilton)

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 45

Le graphe de Petersen

Ce graphe n’admet pas de cycle hamiltonien

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 46

Exercice

Proposer une méthode pour prouver ce résultat

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 47

91

5

6

2 8

3

7

4

Le graphe obtenu en éliminant n’importe quel sommet est hamiltonien

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 48

Un exemple:Le séquençage de l’ADN

Une molécule d'ADN est une chaîne composée d’acides nucléiques. Ceux ci sont au nombre de 4, l'Adénine (noté A), la Guanine (G), la Thynine (T) et la Cytosine (C).

Le séquençage consiste à retrouver la suite de bases correspondant au brin d'ADN étudié.

En pratique, les molécules à analyser possèdent entre 30 000 et 100 000 bases, ce qui rend le séquençage direct impossible.

La stratégie utilisée est alors de découper le brin d'ADN en fragments dont la taille varie entre 200 et 700 acides nucléiques, de les séquencer (les lire) puis de reconstruire la molécule originale.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 49

Exemple: soient les 5 séquences

ACCGT, CGTGC, TTAC, GTG , TACCGT

Reconstitution:

- - A C C G T - -

- - - - C G T G C

T T A C - - - - -

- - - - - G T G -

- T A C C G T - -

T T A C C G T G C

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 50

Problème: trouver une plus petite chaîne ayant pour facteurs les séquences données

{ACCGT, CGTGC, TTAC, GTG , TACCGT}

. On élimines les séquences qui sont facteurs d’autres séquences, on obtient un ensemble minimal: le sous-ensemble libre

Sur l’exemple on élimine GTG, on obtient:

L={ACCGT, CGTGC, TTAC, TACCGT}

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 51

On construit un graphe valué complet dont l’ensemble des sommets est L.

On attribue à chaque arête allant de a à b, un poids égal à la longueur maximale du suffixe de a étant préfixe de b.

Les arcs de poids 0 ne sont pas représentés

ACCGT

TTAC TACCGT

CGTGC3

1 3

3

1

1 2

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 52

Résoudre le problème, c’est trouver un chemin hamiltonien de poids maximal

ACCGT

TTAC TACCGT

CGTGC3

1

3

3

1

1 25

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 53

Autre problème classique:

Le problème du voyageur de commerce

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 54

Chaînes et cycles eulériens

Soit G un multigraphe

On appelle chaîne eulérienne (resp. cycle eulérien) une chaîne (resp. un cycle) qui

utilise toutes les arêtes du graphe une et une seule fois.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 55

Les ponts de Kœnigsberg (Euler)

A

B

C

D

Partir de A, passer une seule fois par chacun des ponts, et revenir en A

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 56

Graphe associé (multigraphe)

: Tracer les arêtes de ce graphe sans lever le crayon

C

DA

B

3

3

3

5

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 57

Condition d’Euler: pour qu’un graphe admette un cycle eulérien il est nécessaire que le degré de chaque sommet

soit pair, et que le graphe soit connexe(à des points isolés prés).

i

Sommet de passage i

En particulier le problème des ponts de Königsberg n’a pas de solution

C

DA

B

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 58

Montrons que la condition d’Euler est suffisante, en donnant un algorithme de construction

On part d’un point quelconque, non isolé, et on chemine dans le graphe sans jamais repasser par une même arête, on continue tant qu’on n’a pas trouvé un cycle

(quand on rentre dans un sommet, on peut toujours sortir sauf peut-être en cas de bouclage) .

4

7

9

1

86

32

5

Ce graphe vérifie la condition d’Euler

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 59

4

7

9

1

86

32

5

On obtient un premier cycle, ici (1-2-3-1)

Si c’est un cycle eulérien on arrête, sinon on élimine les arêtes utilisées et les points isolés, le nouveau graphe vérifie toujours la condition sur

les degrés, et chaque composante connexe contient au moins un sommet du cycle; on construit un nouveau cycle en partant d’un point du

précédent.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 60

4

7

9

1

86

32

5

On obtient un nouveau cycle (3-5-6-7-5-4-3)On colle les deux cycles (1-2-3-5-6-7-5-4-3-1)

Si c’est un cycle eulérien on arrête, sinon on élimine les arêtes utilisées et les points isolés, le nouveau graphe vérifie toujours la condition sur les

degrés, on construit un nouveau cycle en partant d’un point non isolé d’un précédent cycle.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 61

4

7

9

1

86

32

5

On obtient un nouveau cycle (1-4-7-8-9-1)On colle les deux cycles ( 1-4-7-8-9-1-2-3-5-6-7-5-4-3-1)

Si c’est un cycle eulérien on arrête, sinon on élimine les arêtes utilisées et les points isolés, le nouveau graphe vérifie toujours la condition sur les

degrés, on construit un nouveau cycle en partant d’un point non isolé d’un précédent cycle.

Page 62: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 62

4

7

9

1

86

32

5

On obtient un nouveau cycle (4-8-1-7-9-4)On colle les deux cycles (1-4-8-1-7-9-4-7-8-9-1-2-3-5-6-7-5-4-3-1)

L’algorithme finit toujours, car à chaque étape on élimine au moins deux arêtes et qu’il y en a un nombre fini.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 63

4

7

9

1

86

32

5

( 1- 4-8-1-7-9 -4-7-8-9-1-2-3-5-6-7-5-4-3-1)

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 64

Exercice

• Chercher un cycle eulérien dans le graphe suivant:

4

7

9

1 8

6

32

5

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 65

4

7

9

1 8

6

32

5

Une réponse possible:1-9-7-6-4-5-2-1-8-9-4-7-8-2-3-4-8-5-3-1

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 66

Théorème (cas non orienté)(Euler 1766)

Un multigraphe G admet

un cycle eulérien si et seulement si il est connexe (à des sommets isolés prés) et tous

les sommets sont de degré pair..

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 67

Corollaire

Un multigraphe G admet

une chaîne eulérienne si et seulement si il est connexe (à des sommets isolés près) et si le

nombre de sommets de degré impair

est 0 ou 2

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 68

Théorème (cas orienté)

Un multigraphe G admet

un circuit eulérien si et seulement si il est fortement connexe et les degrés entrant et sortant de chaque sommet sont identiques.

(On utilise essentiellement le même algorithme)

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 69

Exemple: Mots de de BruijnOn considère l’ensemble des mots A*, sur l’alphabet A={a,b}

Un mot de de Bruijn d’ordre k est un mot tel que tout mot de longueur k sur A y apparaît une et une seule fois

k=4 …..abba…..;…..bbaa……

…..baab….

Idée: construire un graphe dont les sommets sont les mots de k-1 lettres

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 70

Si k=2

a ba

b

b

bbab

baaa

Mot de de Bruijn: abbaa

Chaque arc représente un mot de longueur 2, il y a autant d’arcs que de mots de longueur 2 sur A.

a

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 71

Théorème: il existe un mot de de Bruijn pour tout k>0, sa longueur est 2k+k-1

Preuve

On construit un graphe étiqueté dont les sommets sont les mots du langage Ak-1, les arêtes sont de la forme:

(uu) où et sont des lettres dans {a,b}

Exemple k=3:

b

aa

ba bb

aba

a a

a

b

b

bbbb

abb

aab

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 72

Le graphe vérifie la condition d’Euler, il admet donc un circuit eulérien partant de chaque sommet, on en déduit un mot de de Bruijn:

aa

ba bb

aba

a a

a

b

b

b

b

babaaabbba

On a résolu le problème du mot minimal contenant un ensemble de mots de manière efficace dans ce cas !

Question:Trouver sur l’exemple un mot de de Bruijn

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 73

Application: casser un digicode

• Si le digicode est de 4 chiffres, on cherche un mot de de Bruijn d’ordre 4 sur l’alphabet {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}

• Il est de longueur 104+3

• Il y a 104 codes possibles donc 4.104 chiffres à taper, on a divisé par 4 le travail.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 74

Deux problèmes voisins dont la complexité est fondamentalement différente

Pour la recherche d’un circuit eulérien nous possédons un critère et un algorithme de calcul efficace.

Pour la recherche d’un circuit hamiltonien, nous ne possédons pas de critère simple (cf. le graphe de Petersen), ni d’algorithme efficace (dont la terminaison fournirait un critère). Il est seulement facile de vérifier si un circuit donné est hamiltonien.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 75

Les classes P et NP

On dit qu’un problème est dans P si il existe un réel positif r, tel que pour toute instance de taille n, le nombre

d’opérations nécessaires à sa résolution est en O(nr).

Exemples:Tester si un entier est premier (Agarwal Saxena, Kaval Juin 2002)PGCD de deux entiers (Euclide III siècle av. JC)Savoir si un graphe est eulérien (Euler 1766)

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 76

Un problème est dans NP s’il est possible de vérifier en un temps polynomial si une solution donnée satisfait bien les propriétés

demandées.

PNPOn a P inclus dans NP

Exemple: Factoriser un entier; mais on ne sait pas si le problème de la factorisation est dans P (à la base du cryptage à clef publique RSA)

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 77

Un problème est NP_complet s’il fait partie de ceux pour lesquels trouver un algorithme de résolution polynomial

impliquerait que tous les problèmes de NP seraient dans P. Ce qui impliquerait que P=NP

On conjecture que P≠NP

Exemples de problèmes NP-complets:Le problème 3-SATExistence d’un cycle HamiltonienVoyageur de commerceSac à dosColoration optimale d’un grapheMot minimal contenant un ensemble de mots donnés (séquençage)

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 78

Algorithmes approchés pour les problèmes NP-complets

Algorithmes gloutons

Réseaux de neurones

Algorithmes génétiques

La méthode du recuit simulé

La méthode tabou (?)

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 79

Remarque

Extrait du programme de ES (spécialité)

« Existence d’une chaîne ou d’un cycle eulérien »

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 80

Automates

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 81

Automates

Extraits du programme:

« Caractérisation des mots reconnus par un graphe étiqueté »

« construction d’un graphe étiqueté reconnaissant une famille de mots »

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 82

Quels sont les mots reconnus par

Allumer

Eteindre

b o n

j

o u r

s

o i r

En bleu les transitions complémentaires

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 83

Construire un graphe reconnaissantballe, bal, ballon, ballant

b a ll

e

on

an

t

Les transitions non représentées vont au rebut

Ce graphe ne reconnaît que ces mots

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 84

Exercice

Construire un graphe qui reconnaît dans une phrase le mot abracadabra

a aaaab br c d r

a

ab

a

b

aa a

Retour des autres transitions

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 85

ExerciceTrouver un graphe étiqueté sur {0,1} reconnaissant un mot commençant par un palindrome (d’au moins deux lettres)

Etat d’entrée

Etat acceptant

Transition

Définition formelle: (E,Σ,Q,δ,F)

0

0

1

1

Palindrome

0

0

10

1

1

0,1

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 86

Donner une version qui boucle

0

1

10

0

1

0

1

1

0

Inconvénient: cet automate ne reconnaît pas le mot 10101

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 87

Théorème: Il n’existe pas d’automate reconnaissant exactement l’ensemble des palindromes sur {0,1}

Preuve par l’absurde: supposons qu’un tel automate existe, soit n son nombre d’états,

considérons le palindrome: (1)n0(1)n , lors du parcours dans l’automate, la reconnaissance du premier (1)n parcourt au moins un

cycle dans le graphe, il correspond à la lecture de (1)p , on a:

(1)n 0 (1)n =(1)r (1)p (1)s 0 (1)n avec r+p+s=n et p>0

Parcours d’un cycle dans l’automate

Donc le mot (1)r (1)2p (1)s 0 (1)n est aussi reconnu parl’automate, absurde !

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 88

Théorème de Kleene

Sur un alphabet fini Λ, les langages reconnus par un automate sont exactement les langages rationnels

Un langage sur Λ est une partie de Λ*.Les langages rationnels sur Λ forment la plus petite classe vérifiant: Le langage Ø est rationnel Le langage réduit au mot vide ε est rationnel Pour chaque lettre a: {a} est rationnel (noté a) Si L et L’ sont des langages rationnels, alors L+L’, LL’ et L* sont rationnels

Notation: (a+b)(ab)*+a

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 89

En particulier tout ensemble fini de mots est rationnel (le programme de es)

Les langages bien parenthèsés ne sont pas reconnus par automate, en particulier les

automates ne reconnaissent pas les expressions algébriques

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 90

Recherche d’un mot dans un texteOn considère l’ensemble des mots A*, sur l’alphabet A={a,b}, un texte est un élément de A*, cherchons dans ce texte le mot ababaaL’algorithme naïf risque de faire de nombreux retours en arrière

pour chercher ce mot.Grâce à l’automate suivant on travaille en « une seule passe ».

a a a a

a

a

b b

b

b

b

b

b

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 91

Compilation

Analyse lexicale

Analyse syntaxique

Flux de caractères

Flux de lexèmes

Arbre syntaxique

Langage d’assemblage

Automate générable de manière automatique à partir d’une définition formelle du langage

Génération du code

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 92

Exercice *

*Déclic terminale es

Un digicode à 9 chiffres est installé à l’entrée d’un immeuble.Trois sociétés A, B et C y ont leurs bureaux. Elles ont chacune un code qu’elles fournissent à leurs clients: A: 569 B: 567 C: 562

Lorsque le code correct est composé, au cours d’une série de chiffresUne sonnerie retentit au bureau de la société.Construire un graphe qui accepte les trois codes et fait sonner à chaque bureau correspondant.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 93

e

A

B

C

55

5

5

5

6

9

7

25

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 94

Exercice *

* Quercia poly

Construire un automate reconnaissant les mots différant du mot lapin par au plus une faute d’orthographe (oubli d’une lettre, ajout d’une lettre, remplacement d’une lettre par une autre).

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 95

a

p

i

n

l

a

p

pal i

i

n

n

p i

n

Les transitions qui manquent vont vers un état « rebut »Vérifier que les mots loapin, lopin, lpin laapin sont reconnus

a

p i

i

n

pla p → (ok)

i→i (faute de frappe de p)

n (oubli du caractère p)

α→ (faute de frappe de p)

n

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 96

L’automate* du

jongleur

J.C. Novelli Pour la science n°282

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 97

La figure 501 b=2, h=5

G D G D G D G D G D G D G 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

Faisons une photo au temps 8: - O - - O 8 9 10 11 12

5 0 1 5 0 1 5 0 1 5 0 1 5

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 98

Transitions possibles

Temps t Temps t+1

O - - O - - O - - O

O - - O - - - O O -

- O O - -

O - O - -

4 possibles

Dans le premier cas il n’y a qu’une transition acceptable 0Dans le deuxième cas il y a quatre transitions au choix 1, 2, 4 et 5

- - O - O

1 seul possible

12

4

5

Transition (codage)

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 99

Automate à deux balles et de hauteur 5

- - O O -

O O - - -

O - O - -

O - - O -

O - - - O

- - O -O

- O - - O

- - - O O

- O - O -

- O O - -

2

3

4

5 1

1

2

35

2

4

5

1

3 4

5

Transition 0 en bleu

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 100

Jongler, c’est faire une promenade dans le graphe

Une figure est un circuit dans le graphe

Passer d’une figure à une autre c’est trouver un chemin dans le graphe qui relit les deux circuits

On peut chercher un plus court chemin entre deux circuits

Page 101: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 101

Ordonnancement de tâches

Page 102: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 102

Un projet d’adduction d’eau

Zmrzlina

Kolac

Kava

Dort

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 103

Ordonnancement des tâches

Tâche Durée Opérations antérieures

a Cahier des charges 30

b Approbation par Zmrzlina 5 a

c Approbation par Kava 5 a

d Approbation par Kolac 5 a

e Approbation par Dort 5 a

f Lancement des appels d'offres 8 b,c,d,e

g Commande 2 f

h Creuser les tranchées 10 b,c,d,e

i Construire les châteaux 20 g

j Placer les canalisations 5 h

k Installer l'électronique 3 h,g

l Installer les pompes 3 j

m Tester le système 5 h,i,k,l

n Distribution de l'eau au public 6 m

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 104

Graphe d’ordonnancement des tâches

a

c

bh

e

digf

lj

nmk

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 105

Fin de chacune des tâches

30

35

3545

35

35644442

5350

756948

Chemin critique incompressible, si on allonge une durée sur ce chemin c’est la durée totale des travaux qui est allongée.

5

5

5

5

8

8

8

8

2

10

10

10

1020

5

3

3

3

5

5

5

5

6

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 106

Montrer qu’un graphe est sans circuit

Extrait du programme

« On pourra, dans des cas élémentaires, interpréter les termes de la puissance n-ième de la matrice associée à un graphe. »

Page 107: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 107

Représentation des graphes par une matrice d’adjacence

On identifie l’ensemble S des sommets à {1, 2, …, N }

La matrice d’adjacence du graphe orienté G = (S,F) est la matrice A(aij) définie par :

aij= 1 si et seulement si (i,j) F

aij= 0 si et seulement si (i,j) F

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 108

Matrice d’adjacence

0 1 00 0 11 1 1

A =

Matrice d’adjacencedu graphe G

1 2

3

Un graphe G

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 109

Théorème

Posons An=(aij(n))

Alors aij(n) est le nombre de chemins de longueur n allant de i à j

La preuve se fait par récurrence sur n

• n=0 et 1 ok!

• Supposons la proposition au rang n

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 110

i

étape 1 n étapes suivantes Sommet de passage

1

2

3

k

n

jaik(1) akj(n)

Nombre de chemins allant de i à j en n+1 étapes, passant en premier par k: aik(1)akj(n)

Nombre de chemins allant de i à j en n+1 étapes: Σ aik(1)akj(n) =aij(n+1)

D’où, par récurrence …

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 111

Corollaires

G est sans circuit ssi An=0

G est fortement connexe ssi n’a aucun coefficient nul

G est symétrique ssi tA=A

Soit B=(bij) la symétrisée de A (matrice de G*):

bij=1 si aij=1 ou aji=1, bij=0 sinon

G est sans cycle ssi Bn=0

G est connexe ssi n’a aucun coefficient nul.

1

0

n

k

kA

1

0

n

k

kB

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 112

Remarque

Un produit de matrices se fait en O(n3), on peut l’améliorer en O(nln(7)) par l’algorithme de Strassen.

Une élévation à la puissance p peut se faire en O(log2(p)) multiplications.

Le calcul de An se fait en O(nlog2(7).log2(n)) opérations. (c’est un peu cher !)

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 113

Le parcours « en profondeur d’abord » permet de déterminer l’existence de

circuits

Sa complexité est O(n+m) où n=|G| et m=|S|

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 114

Un graphe non orienté sans cycle est une forêtUn graphe non orienté sans cycle connexe est un arbre

Un graphe orienté sans circuit est un DAG(Directed Acyclic Graph)

x+sinx + ln(sinx) +

x

sin

ln

x

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 115

Coloration des graphes

Dans cette partie les graphes sont non orientés

Extrait du programme

« Coloriage d’un graphe et nombre chromatique »

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 116

Le problème de l’examen*

Lors d’un examen, cinq épreuves écrites sont organisées. Elles sont désignées par un code:

1 2 3 54Allemand Russe Anglais Espagnol Japonais

Chaque candidat passe deux épreuves et deux seulement. Il y a des candidats pourchacun des couplages suivants: Allemand- Anglais; Allemand – Russe; Allemand – Espagnol; Anglais – Russe; Anglais – Espagnol; Russe – Espagnol; Anglais – Japonais; Espagnol - japonais

*Déclic Terminal es

Certaines épreuves ne peuvent pas avoir lieu le même jour, car un candidat ne passe pas deux épreuves le même jour.

Donner le nombre minimal de jours nécessaire pour organiser l’examen.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 117

4

Graphe associé

1

2

5

3

Le sous graphe {1,2,3,4} est completIl faut donc au moins 4 couleurs.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 118

4

1

2

5

3

Le sous graphe {1,2,3,4} est completIl faut donc au moins 4 couleurs.

Réponse

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 119

Nombre chromatique d’un graphe

O n appelle nombre chromatique d’un graphe G le plus petit nombre de couleurs nécessaire pour colorier les sommets de sorte que deux sommets adjacents n’aient pas la même couleur.

On le note γ(G).

Proposition: on a toujours γ(G)≤|G|, et si un graphe est complet alors γ(G)=|G|.

Une technique pour minorer le nombre chromatique est de chercher des cliques (sous graphes complets) dans le graphe G.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 120

Exercice

Minorer le nombre chromatique du graphe suivant puis déterminer une coloration optimale

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 121

2

3

5

1

4

On trouve une 5-clique donc: γ(G)≥5

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 122

γ(G)=5

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 123

Exercice

On sait que tout graphe contenant un triangle K3 ne peut être colorié en moins de trois couleurs.

a) Construire un graphe sans triangle qui nécessite également trois couleurs.

b) Comment, à partir du graphe précédent, construire un graphe sans K4 nécessitant 4 couleurs ?

Généraliser.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 124

Réponses

a) Un cycle d’ordre 5

b)

c)

Si il y avait une 5-clique à ce rang, il y aurait une 4-clique au rang précédent…

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 125

Exercice

a) Donner un algorithme glouton qui donne un coloriage.

(on ordonnera les sommets: s1, s2, …sn-1, sn, ainsi que les couleurs )

On colore s1 avec la première couleurOn colore s2 avec la première couleur admissibleetc…

b) Montrer que γ(G) ≤ D(G)+1

Chaque sommet a au plus D(G) voisins, donc D(G) +1 couleurs suffisent

Page 126: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 126

c) Montrer que γ(G) ≤ max (min(D(si)+1,i))

A la i ème étape il y a au plus i-1 couleurs utilisées d’où l’inégalité

d) En déduire une nouvelle stratégie gloutonne

On ordonne les sommets dans l’ordre décroissant de leurs degrés.

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 127

Nouvel algorithme de coloration(sur un exemple)

On classe les sommets par degré décroissant:

Sommet: 1 4 5 7 3 2 6Degré: 5 5 4 4 4 3 3

16

7

4

2

3

5

On choisit une première couleur pour colorer le sommet 1; ensuite, dans l’ordre, on chercheà colorer les autres sommets par la même couleur:

Page 128: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 128

On choisit une deuxième couleur et on recommence

16

7

4

2

3

5

Sommet: 1 4 5 7 3 2 6Degré: 5 5 4 4 4 3 3

Page 129: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 129

16

7

4

2

3

5

Sommet: 1 4 5 7 3 2 6Degré: 5 5 4 4 4 3 3

On choisit une troisième couleur et on recommence

Page 130: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 130

Le graphe contient un triangle donc le nombre chromatique est 3

16

7

4

2

3

5

Page 131: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 131

Exercice

Montrer que l’algorithme ne donne pas toujours une solution optimale

Page 132: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 132

Considérons le graphe :

6

1 4

52

3

Prenons le classement suivant:1-2-4-5-3-6

Page 133: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 133

Considérons le graphe :

6

1 4

52

3

Prenons le classement suivant:1-2-4-5-3-6

Page 134: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 134

Considérons le graphe :

6

1 4

52

3

Prenons le classement suivant:1-2-4-5-3-6

Page 135: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 135

6

1 4

52

3

6

1

45

23

Page 136: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 136

6

1 4

52

3

6

1

45

23

Pourtant ce graphe est biparti, donc 2-coloriable!

Page 137: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 137

Exercice

a) Montrer que le graphe du cavalier est 2-coloriable

b) Montrer qu’un graphe est 2-coloriable ssi il est biparti.

Page 138: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 138

Exercice

Sept élèves, désignés par A,B,C,D,E,F et G se sont rendus à la bibliothèque aujourd’hui. Le tableau suivant précise « qui a rencontré qui » (la bibliothèque étant petite, deux élèves présents au même moment se rencontrent nécessairement…).

A a rencontré D,E B a rencontré D,E,F,GC a rencontré E,G D a rencontré A,B,EE a rencontré A,B,C,D,F,G F a rencontré B,E,GG a rencontré B,C,E,F De combien de places assises, au moins, doit disposer la

bibliothèque pour que chacun ait pu travailler correctement au cours de cette journée ?

Page 139: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 139

g

a

b

f

e

c

d

Page 140: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 140

g

a

b

f

e

c

d

Ce coloriage est optimal car (g, f, b, e ) est une 4-clique

Réponse à la question: 4

Page 141: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 141

Graphes planaires et coloriage des cartes

On dit qu’un graphe est planaire s’il est possible de le représenter sur un plan de sorte que les sommets soient distincts, les arêtes des courbes simples, et que deux arêtes ne se rencontrent pas en dehors de leurs extrémités.

Le problème des trois villas et des trois usines:

Eau

Gaz

Elect.

A

B

C

Peut-on placer les trois villas et les trois usines de telle sorte que les conduits

issus des trois usines ne se croisent pas?

Le graphe biparti K3,3 est-il planaire?

Page 142: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 142

Un peu de vocabulaire

3

1

4

6

2

5

b

c

de

f

Face

Deux faces sont adjacentes si elles ont une frontière commune.

Contour de la face d

f = nombre de facesa= nombre d’arêtess=nombre de sommets (points)

Ici n=6; q=10 et n=6On a la relation a=s+f-2

a

Face infinie

Page 143: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 143

Graphe d’incidence

3

1

4

6

2

5

b

c

de

fa

Trouver une coloration de la carte définie par ce graphe planaire, c’est trouver une coloration du

graphe d’incidence

4 couleurs !

Page 144: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 144

Théorème d’EulerSi, dans un graphe planaire comprenant k composantes

connexes, il y a s sommets, a arêtes et f faces alors:

s+f-a=k+1

Si k=1, l’égalité devient:

s+f-a=2

s=8f=5a=10

s+f-a=2+1

Page 145: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 145

On fait une récurrence sur le nombre d’arêtes

Si a=0 alors f=1 et k=s, soit s+f-a=k+1

Supposons la proposition vraie au rang n

Si on ajoute une arête alors

- soit k diminue de 1

- soit f augmente de 1,

ce qui conserve l’égalité s+f-a=k+1

D’où la récurrence

Page 146: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 146

Exercice• K3,3 n’est pas planaire.

Observons le graphe d’incidence biparti faces arêtes,

Chaque face est définie par au moins 4 arêtes et chaque arête

sépare au plus deux faces

Donc le nombre n de « flèches » est encadré par

4f ≤n≤2a

La formule d’Euler donne f=2-s+a=2-6+9=5

Donc 20≤18, absurde !

Page 147: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 147

Le graphe complet K5 n’est pas planaire

Chaque face est définie par au moins 3 arêtes d’où 3f≤2a soit 21≤20 absurde

La formule d’Euler donne:f=2-s+a=2-5+10=7

Page 148: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 148

Dans un graphe planaire il existe un sommet de degré inférieur ou égal à 5.

Si pour tout x de G, D(x)>5 alors, d’après le

Graphe d’incidence sommets arêtes, 6s≤2a.

De plus chaque face est délimitée par au moins 3 arêtes donc 3f≤2a,

d’où 3(f+s)≤3aSoit f+s-a≤0 absurde!

Page 149: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 149

Sous divisions élémentaires• Si G est un graphe planaire, alors le graphe obtenu

en enlevant une arête {u,v}, et en ajoutant un sommet w et deux arêtes {u,w} et {w,v} est encore planaire. Cette opération est appelée sous division élémentaire.

Page 150: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 150

Graphes homéomorphes

• On dit que deux graphes sont homéomorphes s’ils peuvent être obtenus à partir d’un même graphe par des sous divisions élémentaires.

Page 151: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 151

Théorème de Kuratowski (1930)

Un multi graphe est planaire ssi il ne contient pas comme sous graphe partiel un graphe homéomorphe à

K3,3 ou K5.

La condition est évidemment nécessaire

Page 152: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 152

Exercice

• Montrer que

le graphe de Petersen

n’est pas planaire

Page 153: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 153

Exercice

• Montrer que

le graphe de Petersen

n’est pas planaire

Page 154: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 154

• Montrer que

le graphe de Petersen

n’est pas planaire

Page 155: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 155

Page 156: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 156

Page 157: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 157

Page 158: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 158

Page 159: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 159

Page 160: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 160

Page 161: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 161

Page 162: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 162

Le graphe de Pertersen n’est pas planaire

Page 163: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 163

Le théorème des 5 couleurs

Tout graphe planaire est coloriable en au plus 5 couleurs.

Page 164: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 164

Preuve

Jusqu’à cinq pays, pas de problème!

On fait une récurrence sur le nombre n de pays

Pour n+1 pays, on commence par chercher un pays n’ayant pas plus de 5 voisins (possible par le lemme).

Page 165: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 165

On supprime une arête, le pays se confond avec un voisin

On applique l’hypothèse de récurrence, on trouve une coloration à cinq couleurs de ce graphe

Page 166: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 166

Il reste à colorer notre sommet, deux cas sont possibles

Si les cinq sommets voisins n’utilisent pas 5 couleurs, alors ok!

Si les sommets sont colorés par 5 couleurs différentes:On prend deux pays non contigus et le sous graphe engendré par les sommets colorés par leurs deux couleurs respectives,

Page 167: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 167

S’ils ne sont pas sur une même composante connexe, on peut inverser les deux couleurs sur une des composantes, on est ramené au cas précédent

Page 168: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 168

S’ils ne sont pas sur une même composante connexe, on peut inverser les deux couleurs sur une des composantes, on est ramené au cas précédent

Page 169: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 169

Sinon, on prend deux autres couleurs ici vert et bleu, on fait l’opération précédente car les sommets associés ne peuvent être sur une même composante connexe (Jordan).

Page 170: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 170

Sinon, on prend deux autres couleurs ici vert et bleu, on fait l’opération précédente car les sommets associés ne peuvent être sur une même composante connexe (Jordan).

Page 171: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 171

Ce qui achève la coloration, d’où le théorème par récurrence

Page 172: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 172

Chaînes de Markov

Page 173: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 173

Un problème: celui du chauffeur de taxi

Zmrzlina

Kava

Kolac Dort

Page 174: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 174

Graphe de transition du taxi

14

23

0.5 0.5

0.50.5

0.2

0.3

0.2

0.20.1

0.2

0.2

0.1 0.5

Page 175: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 175

Où désigne la probabilité conditionnelle que le taxi aille en j sachant qu’il est en i

Mathématisons la promenade aléatoire du taxi sur notre réseau

ijpM

ijp

Posons:

5.02.01.02.0

3.05.02.00

1.02.05.02.0

05.005.0

M

Page 176: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 176

Exercice

La matrice que nous venons de construire a les propriétés:

n

jijij petp

1

110

Toute matrice qui a ces propriétés est dite stochastique*.

Montrer que les matrices stochastiques admettent 1 comme valeur propre.

Du grec stokhastikos= « habile à conjecturer »

Page 177: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 177

Réponse

• Le vecteur est vecteur propre pour la valeur propre 1

1

1

1

Page 178: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 178

Posons où désigne la probabilité que le taxi soit en i. Soit V’ le vecteur défini

par: V’=VM

4321 ,,, qqqqV iq 4321 ',',',' qqqq

alors désigne la probabilité conditionnelle que le taxi se trouve après une course dans la ville i sachant la distribution de probabilité initiale V de présence dans chacune des villes

iq'

Page 179: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 179

Chaîne de Markov

Par récurrence, on définit un processus:

MVV

qqqqV

nn 1

04

03

02

010 ,,,

Où désigne le vecteur « condition initiale » et le vecteur représente la distribution de probabilité de présence du taxi

dans chacune des villes à la fin de la nième course, sachant la condition initiale .

nV0V

0V

Page 180: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 180

Expérimentation

0,0,0,10 V

On fait l’hypothèse que le chauffeur de taxi part le matin de la ville de Dort (1). Où se trouve-t-il après la

cinquantième course?

Calculons 50V

Page 181: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 181

Un petit coup de MuPad!

M:=matrix(4,4,[[0.5,0,0.5,0],[0.2,0.5,0.2,0.1], [0,0.2,0.5,0.3],[0.2,0.1,0.2,0.5]]);

0

BBB@

0.5 0 0.5 00.2 0.5 0.2 0.10 0.2 0.5 0.3

0.2 0.1 0.2 0.5

1

CCCA

0

BBB@

0.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.25757575760.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.25757575760.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.25757575760.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.2575757576

1

CCCA

v:=matrix(1,4,[1,0,0,0]);v*N;

N:=M^50;

¡0.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.2575757576

¢

Page 182: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 182

Manifestement au bout d’un certain nombre de courses, la position du taxi devient

« indépendante » de sa position de départ (Ergodicité).

© 0.2701562119 0.3701562119 0.4 1.0

ª

432 ,,,1

44332214321 VVVVVMetVVVVV nnnn

linalg::eigenvalues(M);

Les sous espaces propres associés aux valeurs propres de tM sont supplémentaires,

on peut donc décomposer tout vecteur suivant ces 4 sous espaces

On note ces valeurs propres:

La composante est indépendante de la condition initiale, c’est le vecteur limite. On l’appelle la distribution stationnaire du processus, elle est l’unique

solution de l’équation X=XM avec x1+x2+x3+x4=1.

1V

Page 183: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 183

Exercice

Montrer que pour un processus à deux états, ce phénomène arrive toujours, sauf dans deux cas.

Page 184: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 184

Eliminons le cas où la matrice est l’identité, dans ce cas le processus est stationnaire quelle que soit la distribution initiale.

1 21 1

10

01M

Eliminons aussi le cas où -1 est valeur propre, le processus est alors périodique

1 21

1

01

10M

Page 185: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 185

Supposons que la matrice de transition soit de la forme

1010,101

1

abetbaavec

bb

aa

1 est valeur propre et la trace est la somme des valeurs propres, donc la deuxième valeur propre est l=a+b-1

Elle vérifie la double inégalité: 11 l

On obtient le même phénomène: convergence vers l’unique solution de l’équation XM=X avec x1+x2=1

1 2

1-a

1-ba b

Page 186: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 186

linalg::eigenvectors(linalg::transpose(M));

2

64

2

641 1

2

64

0B@

b1

a 1ÅÅÅÅ

1

1CA

3

75

3

75

"

a b 1 1

"Ã 11

! ##3

75

abba

V

1,12

1Soit, en normalisant

Résolvons cette équation

Page 187: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 187

Page 188: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 188

Définition: On dit qu’un processus de Markov est positivement régulier si, quand n tend vers l’infini, la matrice tend vers une matrice composée de r lignes A identiques.

nM

Proposition: dans les conditions de la définition, quelle que soit la distribution initiale la loi limite est rqqqV ,, 210

AV

Proposition: Pour qu’une suite aléatoire de Markov soit positivement régulière, il est nécessaire et suffisant qu’il existe un entier s tel que tous les termes de soient strictement positifs sM

Page 189: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 189

Exercice

Que pensez-vous d’un processus dont le graphe serait le suivant?

Page 190: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 190

Zone A

Zone B

Zone C

La zone A est transitoire (transciente), les zones B et C sont absorbantes (récurrentes), le processus n’est pas positivement régulier.

Question: quelle est la durée moyenne de présence dans la zone A d’un processus, avant de tomber dans l’une des zones absorbantes?

Page 191: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 191

0

Pour répondre on réunit les deux zones absorbantes en un état absorbant, la réponse pour cette configuration est la même que pour celle précédente.

On dit que l’état zéro est un bord

Page 192: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 192

Le soir, le taxi rentre chez lui

Quand le chauffeur décide de rentrer, il utilise la méthode suivante: il continue

à faire des courses jusqu’à ce qu’il soit rendu dans sa ville de Dort (1).

14

23

0.5 0.5

10.5

0.2

0.3

0.2

0.20.1

0.2

0.2

0.1 0.5

Page 193: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 193

Encore un petit coup de MuPad

M:=matrix(4,4,[[1,0,0,0],[0.2,0.5,0.2,0.1], [0,0.2,0.5,0.3],[0.2,0.1,0.2,0.5]]);

0

BBB@

1 0 0 00.2 0.5 0.2 0.10 0.2 0.5 0.3

0.2 0.1 0.2 0.5

1

CCCA

n:=M^50;0

BBB@

1 0 0 00.9991499134 0.0002442339085 0.0002981942818 0.00030765842020.9988517191 0.0003299065377 0.0004027951879 0.00041557916680.9991499134 0.0002442339085 0.0002981942818 0.0003076584202

1

CCCA

v:=matrix(1,4,[0,1,0,0]): v*n;:¡0.9991499134 0.0002442339085 0.0002981942818 0.0003076584202

¢

Page 194: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 194

Question: quelle est la probabilité que le chauffeur rentre chez lui?

Posons la probabilité que le chauffeur rentre chez lui, en partant de l’état iiq

Ces probabilités vérifient le système:

43214

43213

43212

1

5.02.01.02.0

3.05.02.00

1.02.05.02.0

1

qqqqq

qqqqq

qqqqq

q

On trouve une unique solution:

14321 qqqq

Ce qui est rassurant!

Page 195: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 195

Combien de courses fait-il en moyenne avant de rentrer?

Posons le nombre moyen de courses faites en partant de l’état iim

Ces valeurs moyennes vérifient le système

43214

43213

43212

1

5.02.01.02.01

3.05.02.001

1.02.05.02.01

0

mmmmm

mmmmm

mmmmm

m

On trouve une unique solution:

7,9,7,0 4321 mmmm

Ce qui est beaucoup!

Page 196: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 196

Quelques simulations (10 transitions)

107.552.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

x

y

x

y

107.552.5

4

3.5

3

2.5

2

x

y

x

y

107.552.5

2

1.75

1.5

1.25

1

x

y

x

y

107.552.5

2

1.75

1.5

1.25

1

x

y

x

y

107.552.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

x

y

x

y

Page 197: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 197

Exercice*

* Arthur Engel « l’enseignement des probabilités, t2)

On dispose d’une roulette qui sort 1 avec la probabilité p et 0 avec la Probabilité q=1-pLa roulette est lancée autant de fois qu’il faut pour obtenir un palindrome

q

1

qp

p

c

d

1

0

0

q

q

pq

p

p

1

a

b

a’

b’

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Graphes et MuPad (C.Boulinier) 198

mc=0 et md=1+pma’+qma de plus ma=1+pmb et mb=1+pmb

On en déduit: mb=1/q et ma=1+p/q

De même : mb’=1/p et ma’=1+q/p

D’où md=1+p+q+q+p=3Indépendant de p !

Page 199: Graphes et MuPad (C.Boulinier)1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Graphes et MuPad (C.Boulinier) 199

Graphes non orientés Graphes orientés

Arête, ensemble des arêtes: Σ Arc, ensemble des arcs F

Chaîne Chemin

Cycle Circuit

Degré Degré entrant, degré sortant

Connexité Forte connexité