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Théorie des graphes (deuxième partie) Cocycle................................................................................................................. 2 Travail à faire ........................................................................................................ 4 La connexité .......................................................................................................... 5 Arbres .................................................................................................................... 6 La compression des données ...............................................................................10

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Cocycle Un sous ensemble X de l'ensemble S de sommets du graphe G=(S,A,γ) définit le sous ensemble ω(X) de l'ensemble A des arcs de G tel que ω(X) soit la réunion des deux ensembles

disjoints ω+(X) et ω–

(X) définis de la manière suivante:

Un arc f de G est un élément de ω+(X) si et seulement si α(f) ∈ X et β(f) ∉ X.

Un arc g de G est un élément de ω–(X) si et seulement si α(g)∉ X et β(g) ∈X.

Arc de ω–(X) :

Arc de ω–(X) :

X

L’ensemble des arcs ω(X) s’appelle un cocycle.

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Détection d'un cycle associé à un ensemble de sommets

Exemple X=a; c; d ;e 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 d+ d− d a −1 1 1 1 3 1 4 b −1 −1 −1 Ω Ω −1 2 6 8 c 1 1 1 −1 3 1 4 d −1 1 Ω 1 3 2 5 e −1 Ω 1 −1 −1 1 3 4 7 f 1 −1 1 1 2 g −1 1 1 1 2 h −1 1 1 1 2 i −1 0 1 1 j Ω 1 2 1 3 k 0 0 0

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 d+ d− d a –1 1 1 1 3 1 4 b c 1 1 1 –1 3 1 4 d –1 1 1 3 2 5 e –1 1 –1 –1 1 3 4 7 f g h i j k α⊕β=γ 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 α∨β =δ 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 γ⊕δ=ξ 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 ξ⊕δ=ω 0 +1 +1 +1 0 0 +1 0 0 0 0 0 +1 –1 –1 1 0 0 0

α et β sont les valeurs absolues des nombres rencontrés

α⊕β Somme modulo 2, α∨β =δ somme logique Sous graphe= somme modulo 2+ somme logique

Cocycle= Sous graphe+ somme logique

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Travail à faire Voici un graphe:

1) Construire la matrice des arcs de ce graphe (R est un arc particulier appelé "arc retour": voir la suite du cours concernant les réseaux de transports) 2) A l'aide de la matrice des arcs construire la matrice M des sommets 3) A l'aide de la matrice des graphes trouver le co-cycle associé à l'ensemble des sommets X= a, b, c. Travail à faire no2

Soit

====

00110

10000

01001

00100

10010

M la matrice du graphe G.

•Construire le graphe G. •Construire le tableau des prédécesseurs et le tableau des successeurs. •Calculer M2 puis M4=M2.M2 •Interpréter les résultats donnés par les matrices calculées en chemins sur le graphe.

Début

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La connexité

Définition Un graphe est connexe lorsque pour tout choix des sommets x et y de ce graphe tels que x≠y il existe une chaîne de ce graphe de source x et de but y. Composante connexe Une composante connexe du graphe G=(S, A,γ) est définie par une partie C de S qui possède la propriété suivante: Si x est un sommet de C alors pour que qu'un sommet de G distinct de x appartienne à C il faut et il suffit que l'on puisse trouver une chaîne dans G de source x et de but y. Les parties de S qui possèdent cette propriété forment une partition de l'ensemble S des sommets de G. Soit C un ensemble de sommets de G qui possède la propriété énoncée, le graphe dont les sommets sont les éléments de C et dont les arcs sont les arcs de G qui ont leurs sources et leur but dans C s'appelle une composante connexes de G. Exemple Le graphe G possède les trois composantes connexes G1, G2, G3.

Début

G1

G2

G3

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Arbres Définition Un arbre est un graphe connexe sans cycles.

Figure 5

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Racine Définition Une racine d'un graphe G est un sommet r tel que pour tout autre sommet x de G l'on puisse trouver un chemin de source r et de but x dans le graphe G. Une

racine peut se trouver dans n'importe quel graphe: a est une racine du graphe de la Figure 7. Précision Un sommet x est identifié à un chemin de longueur 0 de source x et de but x. Vocabulaire Un graphe G est quasi - fortement connexe si pour tout couple (x, y) de sommets distincts de G il existe un sommet Z(x, y) de G tel que l'on puisse trouver un chemin de source Z(x, y) et de but x et un chemin de source Z(x, y) et de but y. Le graphe de la figure 7 est quasi - fortement connexe. Arborescence Définition Une arborescence est un arbre muni d'une racine.

Figure 8

Figure 6 Figure 7

8

Propriété Une condition nécessaire et suffisante pour qu'un graphe soit fortement connexe est qu'il admette une racine. Définition Un graphe est fortement connexe si pour tout couple de sommets (x, y) il existe un chemin de source x et de but y et un chemin "retour de source y est de but x. Remarques

• Un graphe fortement connexe est quasi- fortement connexe • Beaucoup de graphes quasi- fortement connexes ne le sont pas fortement, en particulier les arborescences (un arbre est sans cycles). Les propriétés des arbres (démonstration: voir plus loin) I Caractérisation Soit H un graphe d'ordre n ≥ 2 (au moins deux sommets). L'une quelconque des propriétés suivante permet d'affirmer que H est un arbre. 1) H est connexe sans cycle 2) H est sans cycle et admet n –1 arcs 3) H est connexe et admet n –1 arcs 4) H est sans cycle et en ajoutant un arc on crée un cycle (unique) 5) H est connexe et en supprimant un arc il n'est plus connexe : tout arc est un isthme. 6) Si x et y sont des sommets distincts de H, il existe une chaîne unique de source x et de but

y. II Sommet pendant Un sommet pendant d'un graphe est un sommet de degré 1. Si H est un arbre d'ordre n ≥ 2, cet arbre admet au moins deux sommets pendants (on dit aussi feuilles). III Arbre maximal d'un graphe Pour tout graphe G connexe on peut trouver un arbre H qui possède la propriété suivante: L'ensemble des sommets de H est identique à l'ensemble des sommets de G et les arcs de H sont des arcs de G; un tel arbre s'appelle "arbre maximal de G.

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Un arbre maximal n'est pas unique en général.

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La compression des données

(Présentation intuitive) Voici une arborescence binaire.

La racine R est de degré extérieur 2, de degré intérieur 0. Tout sommet qui n'est pas la racine ni une feuille est de degré intérieur 1 et de degré extérieur 2. Cet arbre sert à coder par exemple les E, I, N, T, W, Z de la manière suivante:

E: 0, I: 10, N: 111, T:1101, W: 11000, Z: 11001. Voici un mot écrit avec ce code:

11010111011001 Pour le décoder on se place à la racine R et on visite les sommets désignés en lisant le code de gauche à droite, quand on arrive à une feuille on la remplace par le caractère qu'elle code et on se replace à la racine pour trouver le caractère suivant de la même manière. R1101 R0 R111 R0 R11001 T E N E Z

E I W

N T Z

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Exemple (fictif) Voici la fréquence des caractères d’un texte à numériser :

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

e i n t w z

Série1

Fréquence 17,66 7,38 7,24 7,08 0,02 0,13 Caractère e i n t w z

12

Tri par ordre croissant

0,02 + 0,13=0,15 Regroupement

Tri par ordre croissant

0,15+7,08=7,23 Regroupement

Tri par ordre croissant

7,23+7,24=14,47 Regroupement

Fréquence 0,02 0,13 7,08 7,24 7,38 17,66 Caractère w z t n i e

0,15 7,08 7,24 7,38 17,66 t n i e w z

0,15 7,08 7,24 7,38 17,66 t n i e w z

7,23 7,24 7,38 17,66 n i e 0 ,15 t w z

7,23 7,24 7,38 17,66 n i e 0 ,15 t w z

14,47 7,38 17,66 i e 7,23 n 0 ,15 t w z

13

Tri par ordre croissant

7,38+14,47=21,85

Tri par ordre croissant

7,38 14,47 17,66 i e 7,23 n 0 ,15 t w z

21,85 17,66 e i 14,47 7,23 n 0 ,15 t w z

17,66 21,85 e i 14,47 7,23 n 0 ,15 t w z

14

17,66+21,85=39,51 Regroupement

0

2

4

6

8

10

12

14

16

18

20

e i n t w z

Série1

39,51 e 0

21,85 1

i

10 14,47

11

7,23

110 n

111 0 ,15

1100 t

1101

w

11000 z

11001

15