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  • 1

    Thorie des graphes (deuxime partie) Cocycle ................................................................................................................. 2 Travail faire ........................................................................................................ 4 La connexit .......................................................................................................... 5 Arbres .................................................................................................................... 6 La compression des donnes ............................................................................... 10

  • 2

    Cocycle Un sous ensemble X de l'ensemble S de sommets du graphe G=(S,A,) dfinit le sous ensemble (X) de l'ensemble A des arcs de G tel que (X) soit la runion des deux ensembles disjoints +(X) et (X) dfinis de la manire suivante:

    Un arc f de G est un lment de +(X) si et seulement si (f) X et (f) X. Un arc g de G est un lment de (X) si et seulement si (g) X et (g) X.

    Arc de (X) :

    Arc de (X) :

    X

    Lensemble des arcs (X) sappelle un cocycle.

  • 3

    Dtection d'un cycle associ un ensemble de sommets

    Exemple X={a; c; d ;e} 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 d+ d d a 1 1 1 1 3 1 4 b 1 1 1 1 2 6 8 c 1 1 1 1 3 1 4 d 1 1 1 3 2 5 e 1 1 1 1 1 3 4 7 f 1 1 1 1 2 g 1 1 1 1 2 h 1 1 1 1 2 i 1 0 1 1 j 1 2 1 3 k 0 0 0

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 d+ d d a 1 1 1 1 3 1 4 b c 1 1 1 1 3 1 4 d 1 1 1 3 2 5 e 1 1 1 1 1 3 4 7 f g h i j k = 0 1 1 1 0 0 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 = 1 1 1 1 0 0 1 1 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 0 = 1 0 0 0 0 0 0 1 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 = 0 +1 +1 +1 0 0 +1 0 0 0 0 0 +1 1 1 1 0 0 0 et sont les valeurs absolues des nombres rencontrs

    Somme modulo 2, = somme logique Sous graphe= somme modulo 2+ somme logique

    Cocycle= Sous graphe+ somme logique

  • 4

    Travail faire Voici un graphe:

    1) Construire la matrice des arcs de ce graphe (R est un arc particulier appel "arc retour": voir la suite du cours concernant les rseaux de transports) 2) A l'aide de la matrice des arcs construire la matrice M des sommets 3) A l'aide de la matrice des graphes trouver le co-cycle associ l'ensemble des sommets X= {a, b, c}. Travail faire no2

    Soit

    ====

    00110

    10000

    01001

    00100

    10010

    M la matrice du graphe G.

    Construire le graphe G. Construire le tableau des prdcesseurs et le tableau des successeurs. Calculer M2 puis M4=M2.M2 Interprter les rsultats donns par les matrices calcules en chemins sur le graphe.

    Dbut

  • 5

    La connexit

    Dfinition Un graphe est connexe lorsque pour tout choix des sommets x et y de ce graphe tels que xy il existe une chane de ce graphe de source x et de but y. Composante connexe Une composante connexe du graphe G=(S, A,) est dfinie par une partie C de S qui possde la proprit suivante: Si x est un sommet de C alors pour que qu'un sommet de G distinct de x appartienne C il faut et il suffit que l'on puisse trouver une chane dans G de source x et de but y. Les parties de S qui possdent cette proprit forment une partition de l'ensemble S des sommets de G. Soit C un ensemble de sommets de G qui possde la proprit nonce, le graphe dont les sommets sont les lments de C et dont les arcs sont les arcs de G qui ont leurs sources et leur but dans C s'appelle une composante connexes de G. Exemple Le graphe G possde les trois composantes connexes G1, G2, G3.

    Dbut

    G1

    G2

    G3

  • 6

    Arbres Dfinition Un arbre est un graphe connexe sans cycles.

    Figure 5

  • 7

    Racine Dfinition Une racine d'un graphe G est un sommet r tel que pour tout autre sommet x de G l'on puisse trouver un chemin de source r et de but x dans le graphe G. Une

    racine peut se trouver dans n'importe quel graphe: a est une racine du graphe de la Figure 7. Prcision Un sommet x est identifi un chemin de longueur 0 de source x et de but x. Vocabulaire Un graphe G est quasi - fortement connexe si pour tout couple (x, y) de sommets distincts de G il existe un sommet Z(x, y) de G tel que l'on puisse trouver un chemin de source Z(x, y) et de but x et un chemin de source Z(x, y) et de but y. Le graphe de la figure 7 est quasi - fortement connexe. Arborescence Dfinition Une arborescence est un arbre muni d'une racine.

    Figure 8

    Figure 6 Figure 7

  • 8

    Proprit Une condition ncessaire et suffisante pour qu'un graphe soit fortement connexe est qu'il admette une racine. Dfinition Un graphe est fortement connexe si pour tout couple de sommets (x, y) il existe un chemin de source x et de but y et un chemin "retour de source y est de but x. Remarques

    Un graphe fortement connexe est quasi- fortement connexe Beaucoup de graphes quasi- fortement connexes ne le sont pas fortement, en particulier les arborescences (un arbre est sans cycles). Les proprits des arbres (dmonstration: voir plus loin) I Caractrisation Soit H un graphe d'ordre n 2 (au moins deux sommets). L'une quelconque des proprits suivante permet d'affirmer que H est un arbre. 1) H est connexe sans cycle 2) H est sans cycle et admet n 1 arcs 3) H est connexe et admet n 1 arcs 4) H est sans cycle et en ajoutant un arc on cre un cycle (unique) 5) H est connexe et en supprimant un arc il n'est plus connexe : tout arc est un isthme. 6) Si x et y sont des sommets distincts de H, il existe une chane unique de source x et de but

    y. II Sommet pendant Un sommet pendant d'un graphe est un sommet de degr 1. Si H est un arbre d'ordre n 2, cet arbre admet au moins deux sommets pendants (on dit aussi feuilles). III Arbre maximal d'un graphe Pour tout graphe G connexe on peut trouver un arbre H qui possde la proprit suivante: L'ensemble des sommets de H est identique l'ensemble des sommets de G et les arcs de H sont des arcs de G; un tel arbre s'appelle "arbre maximal de G.

  • 9

    Un arbre maximal n'est pas unique en gnral.

  • 10

    La compression des donnes

    (Prsentation intuitive) Voici une arborescence binaire.

    La racine R est de degr extrieur 2, de degr intrieur 0. Tout sommet qui n'est pas la racine ni une feuille est de degr intrieur 1 et de degr extrieur 2. Cet arbre sert coder par exemple les E, I, N, T, W, Z de la manire suivante:

    E: 0, I: 10, N: 111, T:1101, W: 11000, Z: 11001. Voici un mot crit avec ce code:

    11010111011001 Pour le dcoder on se place la racine R et on visite les sommets dsigns en lisant le code de gauche droite, quand on arrive une feuille on la remplace par le caractre qu'elle code et on se replace la racine pour trouver le caractre suivant de la mme manire. R1101 R0 R111 R0 R11001 T E N E Z

    E I W

    N T Z

  • 11

    Exemple (fictif) Voici la frquence des caractres dun texte numriser :

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    16

    18

    20

    e i n t w z

    Srie1

    Frquence 17,66 7,38 7,24 7,08 0,02 0,13 Caractre e i n t w z

  • 12

    Tri par ordre croissant

    0,02 + 0,13=0,15 Regroupement

    Tri par ordre croissant

    0,15+7,08=7,23 Regroupement

    Tri par ordre croissant

    7,23+7,24=14,47 Regroupement

    Frquence 0,02 0,13 7,08 7,24 7,38 17,66 Caractre w z t n i e

    0,15 7,08 7,24 7,38 17,66 t n i e w z

    0,15 7,08 7,24 7,38 17,66 t n i e w z

    7,23 7,24 7,38 17,66 n i e 0 ,15 t w z

    7,23 7,24 7,38 17,66 n i e 0 ,15 t w z

    14,47 7,38 17,66 i e 7,23 n 0 ,15 t w z

  • 13

    Tri par ordre croissant

    7,38+14,47=21,85

    Tri par ordre croissant

    7,38 14,47 17,66 i e 7,23 n 0 ,15 t w z

    21,85 17,66 e i 14,47 7,23 n 0 ,15 t w z

    17,66 21,85 e i 14,47 7,23 n 0 ,15 t w z

  • 14

    17,66+21,85=39,51 Regroupement

    0

    2

    4

    6

    8

    10

    12

    14

    16

    18

    20

    e i n t w z

    Srie1

    39,51 e 0

    21,85 1

    i

    10 14,47

    11

    7,23

    110 n

    111 0 ,15

    1100 t

    1101

    w

    11000 z

    11001

  • 15