Graphes Conceptuels J.F. Baget Inria. Objectifs Faire de la représentation de connaissance avec des...

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  • Graphes Conceptuels J.F. Baget Inria
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  • Objectifs Faire de la reprsentation de connaissance avec des graphes et des oprations de graphes RdC: langage formel, syntaxe, smantique, mcanisme dinfrence Graphes: syntaxe graphique et mcanismes dinfrences par oprations de graphes (ici homomorphismes)
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  • Plan Prlude Homomorphismes de graphes Logiques, thorie des modles Graphes Conceptuels: syntaxe Graphes Conceptuels: smantique Graphes Conceptuels: projection
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  • Coloration de graphe K-coloration: associer chaque sommet une des couleurs {1,..., K} de faon ce que tous les voisins aient une couleur diffrente.
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  • Homomorphisme de graphe Homomorphisme: associer chaque sommet de H un sommet de G de faon ce que si x et y sont deux sommets voisins de H, alors leurs images sont voisines dans G. H G Exercice: il existe un homomorphisme de H dans G et de G dans H
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  • Coloration et homomorphismes Proprit: G est K-colorable ssi il existe un homomorphisme de G dans Kn (le graphe complet n sommets) Do le terme de classe de coloration: classe(G) = {H | il existe un homomorphisme de H dans G} Exercice: quelle est la classe des graphes suivants?
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  • Une proprit utile Proprit: la composition de deux homomorphismes est un homomorphisme. Exercice: preuve
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  • Logique (version abstraite) Logique L = (F, I, M) F est un ensemble de formules (syntaxe) I est un ensemble dinterprtations M F x I (f, i) M se lit i est un modle de f (la formule f est vraie dans le monde i) f est consquence smantique de f (f f) si tous les modles de f sont des modles de f. (smantique)
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  • Exemple 1 forme rectangle ovale ovale bleu ovale vert bleu vert rectangle bleu rectangle vert Exercice: voir que rectangle vert rectangle
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  • Exemple 2: Logique des propositions Soit A un ensemble datomes SYNTAXE a A est une formule (un atome) si f et f sont deux formules, alors (f et f), (f ou f), et (non f) sont des formules. SEMANTIQUE Une interprtation est une application de A dans {Vrai, Faux} (f, i) M ssi la substitution des atomes a de f par leur interprtation i(a) a pour valeur Vrai
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  • Mcanismes dinfrences Soit L = (F, I, M) une logique Soit une relation sur F x F La relation est dite correcte par rapport L ssi f f f f. La relation est dite complte par rapport L ssi f f f f. Exercice: dessiner le graphe de la relation (i.e. ) pour la logique de lexemple 1.
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  • Preuve de correction et compltude Pour calculer la consquence smantique, on veut tre plus efficace que: pour chaque modle de f, voir que cest aussi un modle de f (en particulier, ce nombre peut tre infini) Donc on exhibe un algorithme pour calculer une relation binaire sur les formules, et on prouve la correction et la compltude de cette relation. Ici, un schma de preuve qui sera utilis pour les graphes conceptuels.
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  • Un schma de preuve Soit L = (F, I, M) une logique Soit C un ensemble (ens. de codage), t f : F C et t i : I C Soit une relation sur C x C Soient les trois proprits suivantes: (P1) est transitive (P2) (f, i) M ssi t i (i) t f (f) (P3) qqsoit f F, il existe un modle i de f avec t f (f) t i (i)
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  • Schma de preuve (suite) Thorme: si (P1) et (P2) sont vrifies, alors est correct par rapport L. Si, de plus, (P3) est vrifi, alors est complet par rapport L.
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  • Dmonstration (correction) 1) Supposons f, f deux formules et t f (f) t f (f) 2) Si f na pas de modle, alors f f, sinon soit i un modle de f. 3) On a t i (i) t f (f) (P2) 4) Donc t i (i) t f (f) (P1) 5) Donc i est un modle de f (P2) 6) Donc f f t f (f) t i (i) 1) 3) 4)
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  • Dmonstration (compltude) 1) Supposons f, f deux formules et f f 2) Tous les modles de f sont des modles de f 3) En particulier il existe un modle i de f avec t f (f) t i (i) (P3) 4) Comme i est aussi un modle de f (2), alors t i (i) t f (f) (P2) 5) Donc t f (f) t f (f) (P1) t f (f) t i (i) 5) 3) 4)
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  • Graphes conceptuels [Sowa,84] Syntaxe Smantique Mcanisme dinfrence
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  • Syntaxe (1): Le support Support S = (T C, T R = (T R 1,..., T R k ), M, conf) T C, T R 1,..., T R k sont des ensembles partiellement ordonns, 2 2 disjoints T C est lensemble des types de concepts T R i est lensemble des types de relations darit i. M est lensemble des marqueurs individuels conf: M T C est la relation de conformit.
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  • Exemple de support animal chat souris nourriture croquettes All croquettes de souris TCTC TR3TR3 mangeregarde TR2TR2 apporte M = {Mickey} conf(Mickey) = souris
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  • Syntaxe (2): Graphe conceptuel Graphe conceptuel sur un support S, G = (V, H,, ) avec: V un ensemble de sommets H un ensemble dhyperarcs : H V + associe chaque hyperarc ses extremits tiquette chaque sommet par un lment de T C x (M {*} ) (type et marqueur individuel ou gnrique); et chaque hyperarc darit k par un lment de T R k. Notons que si un sommet a un marqueur individuel m, alors son type est conf(m).
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  • Exemple chat: * regarde souris: Mickey mange croquettes: * apporte 2 1 1 2 1 2 3
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  • Smantique (1): interprtation du support Soit S = (T C, T R = (T R 1,..., T R k ), M, conf) un support Une interprtation de S est une structure (D, i c, i 1,..., i k, i m ) o: D est un ensemble (le domaine) i m : M D i c : T C 2 D i j : T R j 2 D j
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  • Exemple dinterprtation Mickey animal souris chat nourriture croquettes imim icic croquettes de souris D all
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  • Exemple dinterprtation (suite) i 2 (regarde) = {(, ), (, )} i 2 (mange) = {(, )} i 3 (apporte) = {(,, )}
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  • Modle dun support Une interprtation (D, i c, i 1,..., i k, i m ) est un modle dun support (T C, T R = (T R 1,..., T R k ), M, conf) ssi: t