Introduction aux graphes

Introduction aux graphes

Johanne Cohen1

1LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.

Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 1 / 15

Plan

1 Rappel sur la theorie des graphesLes graphesLes arbres

2 Representation des graphesMatrice d’adjacencesListe de successeurs


Un grapheUn graphe 1 donne par un couple G = (V ,E ), ou

I V est un ensemble.I E ⊂ V × V est un ensemble de paires {u, v} avec u, v ∈ V .

Les elements de V sont appeles des sommets (ou nœuds).

Les elements de E sont appeles des aretes.

La paire {u, v} peut etre representee par (u, v) ou (v , u).Autrement dit, (u, v) et (v , u) denotent la meme arete.

Exemple :I V = {0, 1, . . . , 6}I E = {(0, 1), (3, 4), (5, 1), (6, 3), (6, 4)}.

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1. Lorsqu’on ne precise pas, par defaut, un graphe est non-oriente.Johanne Cohen ( LRI-CNRS, Universite Paris-Sud, Universite Paris-Saclay, France.)GRAPHES ET COMPLEXITE. 3 / 15

Vocabulaire

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u et v sont dits voisins s’il y a une arete entre u et v .

Le degre de u est le nombre de voisins de u.

Remarque : (sauf autre convention explicite)I Les boucles ne sont pas autorisees.


Vocabulaire : chemins et cycles

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Un chemin du sommet s vers le sommet t est une suite e0, e1, · · · , ende sommets telle que

e0 = s, en = t, (ei−1, ei ) ∈ E , pour tout 1 ≤ i ≤ n.

I n est appele la longueur du chemin,I on dit que t est joignable a partir de s.I Le chemin est dit simple si les ei sont distincts deux-a-deux.

Un cycle est un chemin de longueur non-nulle avec e0 = en.

s est dit a distance n de t s’il existe un chemin de longueur n entre set t, mais aucun chemin de longueur inferieure.


Vocabulaire : composantes connexes

La relation “etre joignable” est une relation d’equivalence.

Les classes d’equivalence sont appelees les composantes connexes.

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Un graphe est dit connexe s’il n’y a qu’une seule classe d’equivalence.I Autrement dit, tout sommet est joignable a partir de tout sommet.


Les graphes sont partout !

Beaucoup de problemes se modelisent par des objets et des relationsentre objets.

Exemples :I Le graphe routier.I Les reseaux informatiques.I Le graphe du web.

D E F G HCBA

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Funiculaire deMontmartre

Tarification spéciale

RER: au delà de cette limite,en direction de la banlieue,la tarification dépend de la distance. Les tickets t+ ne sont pas valables.

Légende

Pôle d’échange multimodal,métro, RER, tramway

Correspondances

Fin de lignesen correspondance

Meudonsur-Seine

Parcde St-Cloud

Les Coteaux

Les Milons

SuresnesLongchamp

Belvédère

Puteaux

Muséede Sèvres

Brimborion

LesMoulineaux

Hôtel de Villede La Courneuve

HôpitalDelafontaine Cosmonautes

La Courneuve6 Routes

Cimetièrede St-Denis

Marchéde St-Denis

Basilique deSt-Denis

ThéâtreGérard Philipe

Hôtel de Villede Bobigny

La Ferme

Libération

Escadrille Normandie–Niémen

Auguste Delaune

Pontde Bondy

PetitNoisy

Jean Rostand

Gaston Roulaud

Hôpital Avicenne

La Courneuve–8 Mai 1945

Maurice Lachâtre

Danton

Stade Géo André

Drancy–Avenir

Jacques-HenriLartigue

Poternedes Peupliers

StadeCharléty

Montsouris

JeanMoulin

DidotBrancion

Desnouettes

GeorgesBrassens

HenriFarman

SuzanneLenglen

Ported’Issy

ColonelFabien

Stade de FranceSaint-Denis

Saint-DenisPorte de Paris

Basiliquede St-Denis

Portede Saint-Ouen

LamarckCaulaincourt

JulesJoffrin

Saint-Denis

GuyMôquet

Porte de Clichy

ChâteletLes Halles

Stalingrad

MarcadetPoissonniers

Hôtel de Ville

Arts etMétiers

ChâteauRouge

StrasbourgSaint-Denis

Saint-Mandé

Maisons-AlfortAlfortville

Hoche

MarxDormoy

La CourneuveAubervilliers

Le Bourget

Parcdes Expositions

Jaurès

Placedes FêtesBelleville

Jourdain Télégraphe

Ourcq Portede Pantin

JacquesBonsergent Saint-Fargeau

Pelleport

Portede Bagnolet

Danube

BotzarisButtes

Chaumont

République

Parmentier

SèvresBabylone

RichelieuDrouot

Palais RoyalMusée du

Louvre

RéaumurSébastopol

Raspail

Pyramides

MontparnasseBienvenüe

Mabillon

ClunyLa Sorbonne

MalakoffRue Étienne Dolet

Chausséed’Antin

La Fayette

BonneNouvelle

GrandsBoulevards

Bourse Sentier

BarbèsRochechouart La Chapelle

Pigalle

Poissonnière

Liège

Notre-Damede-Lorette

Saint-Georges

Abbesses

Anvers

La Fourche

Placede Clichy

Pereire–Levallois Blanche

Villiers

Opéra

Auber

HavreCaumartin

Trinitéd’Estienne

d’Orves

FranklinD. Roosevelt

Neuilly–Porte Maillot

Avenue Foch

Bir-Hakeim

Invalides

Pasteur

Pontde l’Alma

JavelAndréCitroën

Javel

MichelAnge

Molitor

La Muette

MichelAnge

Auteuil

BoulainvilliersChamp de MarsTour Eiffel

ChampsÉlysées

Clemenceau

TrocadéroAvenue

Henri Martin

Avenuedu Pdt Kennedy

Commerce

Félix Faure

Ruede la Pompe Iéna

Ranelagh

Jasmin

Exelmans

ChardonLagache

Églised’Auteuil

Duroc

La MottePicquetGrenelle

Assemblée Nationale

Varenne

St-MichelNotre-DameSolférino

Musée d’Orsay

Concorde Les Halles

Jussieu

Odéon

ÉtienneMarcel

Vavin

SaintGermaindes-Prés

Saint-Sulpice

St-Placide

PlaceMonge

Pont NeufTuileries

Notre-Damedes-Champs

Luxembourg

Port-Royal

LouvreRivoli

St-Michel

Bastille

Daumesnil

Reuilly–Diderot

PèreLachaise

Oberkampf

Quai dela Rapée

SaintMarcel Bercy

Fillesdu Calvaire

Chemin Vert

St-SébastienFroissart

Ruedes Boulets

Charonne

SèvresLecourbe

Cambronne

Pont Marie

SullyMorland

PhilippeAuguste

AlexandreDumas

Avron

Voltaire

Quatre Septembre

Saint-Ambroise

RueSaint-Maur

Porte deVincennes

Vincennes

Maraîchers

Porte de Montreuil

Robespierre

Croix de Chavaux

Buzenval

Pyrénées

Laumière

Châteaud’Eau

Porte Dorée

Porte de Charenton

Ivrysur-Seine

Portede Choisy

Ported’Italie Porte

d’Ivry

Créteil–Université

Créteil–L’Échat

Maisons-AlfortLes Juilliottes

Maisons-Alfort–Stade

DenfertRochereau

MaisonBlanche

CensierDaubenton

Tolbiac

Le KremlinBicêtre

VillejuifLéo Lagrange

VillejuifPaul Vaillant-Couturier

Glacière

Corvisart

Nationale

Chevaleret

CitéUniversitaire

Gentilly

OrlyOuestAntony

MalakoffPlateau de Vanves

MoutonDuvernet

Gaîté

EdgarQuinet

Bd Victor

Issy

Meudon–Val-Fleury

Chaville–Vélizy

Portede St-Cloud

Pantin

Magenta

LaplaceVitrysur-Seine

Les Ardoines

Le Vertde Maisons

Saint-Ouen

Les Agnettes

Gabriel Péri

Les Grésillons

Ledru-Rollin

Ménilmontant

Couronnes

Montgallet

Michel Bizot

Charenton–Écoles

Liberté

FaidherbeChaligny

École Vétérinairede Maisons-Alfort

St-Paul

MaubertMutualité

CardinalLemoine

Temple

ChâteauLandon

Bolivar

Église de Pantin

Bobigny–PantinRaymond Queneau

Riquet

Crimée

Corentin Cariou

Porte de la Villette

Aubervilliers–PantinQuatre Chemins

Fortd’Aubervilliers

LesGobelins

CampoFormio

Quaide la Gare

CourSt-Émilion

Pierre et MarieCurie

Dugommier

Bel-Air

Picpus

Saint-Jacques

Dupleix

Passy

Alésia

Pernety

Plaisance

Porte de Vanves

Convention

Vaugirard

Porte de Versailles

Corentin Celton

Volontaires

Falguière

Lourmel

Boucicaut

Ségur

Ruedu Bac

Rennes

SaintFrançoisXavier

Vaneau

ÉcoleMilitaire

La TourMaubourg

AvenueÉmile Zola

CharlesMichels

MirabeauPorte

d’AuteuilBoulogne

Jean Jaurès

Billancourt

Marcel Sembat

Cité

AlmaMarceau

Boissière

KléberGeorge V

Argentine

Victor Hugo

Les Sablons

Porte Maillot

Pont de Neuilly

Esplanadede La Défense

Saint-Philippedu-Roule

Miromesnil

Saint-Augustin

Courcelles

Ternes

Monceau

RomeMalesherbes

Wagram

Porte de Champerret

Anatole FranceLouise Michel

Europe

Le Peletier

Cadet

Pereire

Brochant

Mairiede Clichy

Garibaldi

Mairie de Saint-Ouen

CarrefourPleyel

Simplon

Bérault

RichardLenoir

Goncourt

BréguetSabin

Rambuteau

La PlaineStade de France

Arcueil–Cachan

Bourg-la-Reine

Bagneux

Madeleine

BibliothèqueFr. Mitterrand

IssyVal de Seine

Orly

Portede Clignancourt

Garede Saint-Denis

Orry-la-Ville–Coye

Garede l’Est

Garede Lyon

Saint-Denis–Université

Portede la Chapelle

La Courneuve8 Mai 1945

AéroportCharles de Gaulle

Mitry–Claye

BobignyPablo Picasso

PréSt-Gervais Mairie des Lilas

Mairiede Montreuil

Gallieni

LouisBlanc

Porte des Lilas

Gambetta

Gare du Nord

Charlesde Gaulle

Étoile

Pont de LevalloisBécon

PorteDauphine

St-Germainen-Laye La Défense

BoulognePont de St-Cloud

Châtelet

Gared’Austerlitz

Nation

Châteaude Vincennes

Créteil–Préfecture

Olympiades

Mairie d’Ivry

Malesherbes Melun

Massy–PalaiseauVersailles–ChantiersRobinson

DourdanSaint-Martin-d’Étampes

Saint-Rémylès-Chevreuse

Placed’Italie

Villejuif–Louis Aragon

OrlySud

Mairie d’Issy

Châtillon–Montrouge

Pontde Sèvres

Gare Saint-Lazare

GareMontparnasse

ChellesGournay

Noisy-le-Sec

HaussmannSaint-Lazare

Asnières–GennevilliersLes Courtilles

Saint-Quentin-en-Yvelines

Ported’Orléans

Balard

Versailles–Rive Gauche

Marne-la-Vallée

Boissy-Saint-Léger

Pontoise

Poissy

Cergy

Saint-Lazare

Tournan

Pontdu Garigliano

CréteilPointe du Lac

Parc des Expositions

CDG

Château de Versailles

Grande Arche

Parcs Disneyland

Paris

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Les graphes sont partout !

Beaucoup de problemes se modelisent par des objets et des relationsentre objets.

Exemples :I Le graphe routier.I Les reseaux informatiques.I Le graphe du web.

Beaucoup de problemes se ramenent a des problemes sur les graphes.

Theorie des graphes :I Euler, Hamilton, Kirchhoff, Konig, Edmonds, Berge, Lovasz,

Seymour,. . .

Les graphes sont omnipresents en informatique.


Type de graphes

Un graphe est dit planaire s’il peut se representer sur un plan sansqu’aucune arete n’en croise une autre.

Un graphe est dit biparti si l’ensemble V des sommets est partitionneen deux sous-ensembles A et B telle que chaque arete ait uneextremite dans A et l’autre dans B.

K3,3


Exemple : Coloriage de graphe.

Allouer des frequences GSM correspond a colorier les sommets d’ungraphe (planaire).

I sommets : des emetteurs radio.I arete entre u et v : le signal de u perturbe v ou reciproquement.I couleur : frequence radio.

Le probleme de coloriage d’un graphe : colorier les sommets d’ungraphe de telle sorte qu’il n’y ait aucune arete entre deux sommetsd’une meme couleur.

Un coloriage avec 4 couleurs


Les arbres sont partout !

Un graphe connexe sans cycle est appele un arbre.

Un graphe sans-cycle est appele une foret :I chacune de ses composantes connexes est un arbre.

Des qu’on a des objets, des relations entre objets, et pas de cycle, ona donc un arbre ou une foret.

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Les arbres sont omnipresents en informatique.


Quelques proprietes

Soit G = (V ,E ) un graphe.Les proprietes suivantes sont equivalentes :

G est un arbre ;

G est connexe, mais ne l’est plus si on enleve n’importe laquelle deses aretes ;

G est connexe et |E | = |V | − 1 ;

G est sans cycle et |E | = |V | − 1 ;

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Plan

1 Rappel sur la theorie des graphesLes graphesLes arbres

2 Representation des graphesMatrice d’adjacencesListe de successeurs


Representation des graphes : matrice d’adjacence

Soit G = (V ,E ) avec V = {1, 2, . . . , n},G peut etre represente par une matrice M n × n.

Mi ,j =

{1 si (i , j) ∈ E0 sinon

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Representation des graphes : liste de successeurs

On associe a chaque sommet i , la liste des sommets j tels que(i , j) ∈ E .

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L[0] = (1)

L[1] = (0, 5)

L[2] = ()

L[3] = (4, 6)

L[4] = (3, 6)

L[5] = (1)

L[6] = (3, 4)


Meilleure representation ?

Matrice : memoire O(n2)

Listes : memoire O(n + m)ou n nombre de sommets, m nombre d’aretes.

Quelle est la meilleure representation ?Cela depend du contexte.

La methode plus efficace est

Tester si (u, v) est dans le graphe. matrice d’adjacencesTester si calculer le degre de v liste de successeursStocker des graphes denses matrice d’adjacencesStocker des graphes creux liste de successeursInserer ou supprimer des aretes matrice d’adjacences


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