Cours Graphes IREM

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    Les graphesNiveau terminale ES

    Nathalie DAVALhttp://mathematiques.daval.free.fr

    Universit de la Runion - IREM - Juillet 2012.

    http://mathematiques.daval.free.fr/http://mathematiques.daval.free.fr/
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    Table des matires

    1 Programme de terminale ES. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

    2 Mise en place : exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

    2.a Introduction historique 3

    2.b Le loup, la biche et le chevalier 4

    2.c Les ponts du Knigsberg 4

    2.d Le coloriage de la carte de la Runion 5

    2.e Un trajet minimal 5

    2.f Quel labyrinthe ! ! ! 6

    2.g Au pays dOz 6

    2.h Lnigme des trois maisons 7

    3 Vocabulaire des graphes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    3.a Graphe non orient 9

    3.b Ordre et degr 10

    3.c Chane et cycle 10

    3.d Structure de graphes particuliers 11

    3.e Distance et diamtre 12

    3.f Matrice dadjacence dun graphe 12

    3.g Graphe orient 14

    3.h Le loup, la biche et le chevalier. . . solution 14

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    4 Graphes et chemins. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

    4.a Graphes eulriens 17

    4.b Thorme dEuler 184.c Retour Knigsberg 20

    5 Graphes et couleurs. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

    5.a Dfinition 21

    5.b Coloration minimale 21

    5.c Algorithme de coloration de Welsh et Powell 23

    5.d Coloration de la carte de la Runion 24

    6 Graphes et trajets. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    6.a Graphes valus 27

    6.b Recherche du plus court trajet 28

    6.c Allons de la Rivire la Montagne ! 29

    7 Graphes et tiquettes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

    7.a Graphes tiquets 33

    7.b Labyrinthe 34

    8 Graphes et probabilits. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

    8.a Graphes probabilistes 35

    8.b Matrice de transition 36

    8.c tat probabiliste la ne tape 36

    8.d tat stable 37

    8.e Cas particulier de la recherche dun tat stable deux tats 38

    8.f Retour au pays Oz 39

    9 Graphes planaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

    9.a Dfinition 41

    9.b Thorme dEuler 41

    9.c Critres de planarit 43

    9.d Trois maisons, trois installations 45

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    1Programme de terminale ES

    Ce document constitue un cours sur les graphes du niveau de loption de la terminale ES : on y trouveratout dabord quelques exemples de la vie courante ainsi que le vocabulaire de base, puis les diffrentesutilisations pratiques des graphes :

    recherche de lexistence dune chane ou dun cycle Eulrien,

    coloration dun graphe,

    recherche dune plus courte chane dun graphe pondr,

    caractrisation des mots reconnus par un graphe tiquet,

    recherche dun tat stable dun graphe probabiliste,

    caractrisation des graphes planaires (hors programme, mais intressant!).

    Voici un extrait du B.O. N 4 du 30 aot 2001 concernant lenseignement de spcialit de mathmatiques :

    ENSEIGNEMENT DE SPCIALIT

    Trois domaines sont abords dans lenseignement de spcialit : deux dentre eux (suites et gomtrie danslespace) prolongent directement le travail commenc en classe de premire ; les paragraphes qui suiventexpliquent le choix du troisime domaine et de la mthode de travail propose.

    Une ouverture sur la thorie des graphes

    Ce choix est cohrent tant avec le programme de la classe antrieure quavec les exigences de formationultrieure : on trouve en effet ici quelques applications intressantes du calcul matriciel dvelopp dansloption de premire ES ; par ail leurs, les problmes rsolus constituent une premire approche,

    volontairement modeste, de situations complexes (dordonnancement, doptimisation de flux, de recherchede fichiers informatiques, dtudes de migrations de populations. . .) auxquelles de nombreux lves serontpar la suite confronts, notamment en gestion ou en informatique. Ce thme sensibilise naturellement lalgorithmique et, en montrant la puissance de la thorie des graphes pour la modlisation, permet un autreregard mathmatique sur diverses situations.

    Enfin, la prsence des graphes dans les programmes permettra ultrieurement de dfinir des thmes de TPEfaisant intervenir des mathmatiques consistantes.

    Un travail ax sur la seule rsolution de problmes

    Il nest pas question de retomber dans les piges du langage ensembliste des annes1970: touteprsentation magistrale ou thorique des graphes serait contraire au choix fait ici. Lessentiel du travailrside dans la rsolution de problmes : rsolution linitiative des lves, avec ses essais et ttonnements,ses hsitations pour le choix de la reprsentation en termes de graphe (quels objets deviennent artes ?lesquels deviennent sommets ?), la recherche dune solution et dun raisonnement pour conclure. Toutenotion relative la thorie des graphes absente de la liste de vocabulaire lmentaire du tableau ci-aprs estclairement hors programme. Cette liste doit suffire pour traiter tous les exercices proposs.

    1

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    On trouvera dans le document daccompagnement des lments de thorie des graphes ncessaires laformation des enseignants ainsi quune liste dexemples sans caractre normatif, couvrant largement leprogramme et illustrant le type de travail attendu ; chaque exemple est suivi dune liste de contenus (termesou proprits) que celui-ci permet daborder ; un lexique en fin de ce document reprend la totalit destermes et proprits du programme ainsi introduits. Loptique premire tant la rsolution de problmes, oninsistera plus sur le bon usage des mots que sur leur dfinition formelle. Lintrt du lexique est de bienmarquer des limites ce qui est propos. titre indicatif, la rpartition horaire entre les diffrents chapitres peut tre :40% pour les graphes ;35% pour les suites ;25% pour la gomtrie dans lespace.

    CONTENU MODALITS DE MISE EN UVRE COMMENTAIRES

    Rsolution de problmes laide de graphes

    Rsolution de problmes conduisant la modlisation dune situation parun graphe orient ou non, ventuel-lement tiquet ou pondr et dont lasolution est associe :- au coloriage dun graphe,- la recherche du nombre chroma-tique,- lexistence dune chane ou duncycle Eulrien,- la recherche dune plus courtechane dun graphe pondr ou non,- la caractrisation des mots re-connus par un graphe tiquet et, r-ciproquement, la construction dungraphe tiquet reconnaissant une fa-

    mille de mots.- la recherche dun tat stable dungraphe probabiliste 2 ou3 sommets.

    Les problmes proposs mettrontenjeu les graphes simples, la rso-lution pouvant le plus souvent tre

    faite sans recours des algorithmes.On indiquera que pour des graphescomplexes, des algorithmes de rso-lutions de certains problmes sontabsolument ncessaires.On prsentera un algorithme simplede coloriage des graphes et un algo-rithme de recherche de plus courtechane.

    Il sagit dun enseignement entire-ment fond sur la rsolution de pro-blmes.Lobjectif est de savoir modliserdes situations par des graphes etdidentifier en terme de propritsde graphes la question rsoudre.Ces algorithmes seront prsentsdans les documents daccompagne-ment et on restera trs modestequant leurs conditions de mise enuvre.

    Vocabulaire lmentaire des graphes :sommets, sommets adjacents, artes,degr dun sommet, ordre dungraphe, chane, longueur dunechane, graphe complet, distanceentre deux sommets, diamtre,sous-graphe stable, graphe connexe,nombre chromatique, chane eul-rienne, matrice associe un graphe,matrice de transition pour un graphepondr par des probabilits.

    Les termes seront introduits loc-casion de rsolution de problmes etne feront pas lobjet dune dfini-tion formelle, sauf lorsque cette d-

    finition est simple et courte (degrdun sommet, ordre dun graphe parexemple).

    Les lves devront savoir utiliser bon escient le vocabulaire lmen-taire des graphes, vocabulaire quisera rduit au minimum ncessaire la rsolution des problmes consti-tuant lenseignement de cette par-tie.

    Rsultats lmentaires sur lesgraphes :- lien entre la somme des degrs dessommets et le nombres dartes dungraphe ;- conditions dexistence de chanes etcycles eulriens;

    - exemples de convergence pour desgraphes probabilistes deux sommets,pondrs par des probabilits.

    On pourra, dans des cas lmen-taires, interprter les termes de lapuissance ne de la matrice associe un graphe.

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    2Mise en place : exemples

    2.a Introduction historique

    Lhistoire de la thorie des graphes dbuterait avec les travaux dEuler au 18e sicle et trouve son origine dansltude de certains problmes, tels que celui des ponts de Knigsberg, la marche du cavalier sur lchiquierou le problme du coloriage de cartes et du plus court trajet entre deux points.

    Cest plus rcemment en 1822 que le mot graphes est introduit par le mathmaticien et gomtre anglaisJames Joseph Sylvester.

    La thorie des graphes sest alors dveloppe dans diverses disciplines telles que la chimie, la biologie, les

    sciences sociales, linformatique...Depuis le dbut du 20e sicle, elle constitue une branche part entire des mathmatiques, grce aux travauxde Knig, Menger, Cayley, Berge et Erds.

    De manire gnrale, un graphe permet de reprsenter des objets ainsi que les relations entre ses lments(par exemple rseau de communication, rseaux routiers, interaction de diverses espces animales, circuitslectriques.. .)

    En mathmatiques, on retrouve les graphes dans la combinatoire, la thorie des ensembles, lalgbre linaire,la thorie des polydres, la thorie des jeux, lalgorithmique, les probabilits. . .

    Les derniers travaux en thorie des graphes sont souvent effectus par des informaticiens, du fait de limpor-tance que revt laspect algorithmique.

    Dans ce qui suit, nous allons donner un exemple caractristique pour chacun des chapitres de ce document.

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    4 Le loup, la biche et le chevalier

    2.b Le loup, la biche et le chevalier

    Un passeur doit aider un loup, une biche et un chevalier traverser une rivire.Il ne peut faire traverser quun des personnages la fois et ne peut laisser seuls le loup et la biche, pasplus que le chevalier et le loup.

    Comment peut-il faire?

    Exemple de dcouverte 1.

    Non, ce nest pas Henri Salvador qui a conu ce doux problme! Nous le rsoudrons dans le chapitre 3consacr au vocabulaire des graphes.

    2.c Les ponts du Knigsberg

    La ville de Knigsberg est construite autour de deux les situes sur le Pregel et relies entre elles parun pont. Six autres ponts relient les rives de la rivire lune ou lautre des deux les.Le problme consiste dterminer sil existe ou non une promenade dans les rues de Knigsbergpermettant, partir dun point de dpart au choix, de passer une et une seule fois par chaque pont etde revenir son point de dpart, tant entendu quon ne peut traverser le Pregel quen passant sur lesponts.

    Exemple de dcouverte 2.

    nigme que nous rsoudrons dans le chapitre 4 consacr aux chemins : une telle promenade existe-t-elle?Cest le fameux mathmaticien Lonard Euler qui procurera une preuve ce problme et qui donnera sonnom aux graphes Eulriens .

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    Chapitre 2 : Mise en place : exemples 5

    2.d Le coloriage de la carte de la Runion

    Comment colorier la carte des 24 communes de la Runion en un minimum de couleurs de telle sorteque deux communes limitrophes ne soient pas coloris de la mme couleur ?

    Exemple de dcouverte 3.

    Nous tudierons lalgorithme de Welsh et Powell afin de rsoudre ce problme dans le chapitre 5 consacraux graphes et couleurs.

    2.e Un trajet minimal

    Sur la carte de Saint-Denis (Runion) suivante sont indiqus les temps moyens (en minutes) mis parun automobiliste pour relier deux lieux. On souhaite aller de la Rivire des Pluies la Montagne.

    Quel chemin doit-on prendre afin que celui-ci soit le plus rapide?

    Exemple de dcouverte 4.

    Cet exemple nous montre que les graphes permettent de dterminer le trajet le plus rapide (nous aurionsaussi pu parler du trajet le plus court, la manire dun GPS). Cest le chapitre 6 qui nous dvoilera unemanire efficace de rpondre ce genre de question, notamment grce lalgorithme de Dijkstra.

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    6 Quel labyrinthe ! ! !

    2.f Quel labyrinthe ! ! !

    Le labyrinthe ci-dessous possde cinq salles, numrotes de 1 5. Lunique salle de sortie est la salleentoure par un double rond (salle 4).Le dpart seffectue dans la salle 1 et on nous remet une suite de lettres (mot). Lobjectif pour gagnerest de suivre le chemin indiqu par cette suite de lettres et de terminer dans la salle 4.

    Quels sont les mots gagnants?

    Exemple de dcouverte 5.

    5

    4

    0 1 3

    2

    b

    b

    a

    b

    b

    a

    a

    a

    b a

    Ce labyrinthe nous mnera au pays des automates et de leurs applications dans le chapitre 7.

    2.g Au pays dOz

    Le magicien dOz a combl tous les dsirs des habitants du pays dOz, sauf peut-tre en ce quiconcerne le climat : au pays dOz en effet, sil fait beau un jour, il est certain quil pleuvra ou neigerale lendemain avec une probabilit gale. Si le temps dun jour est pluvieux ou neigeux, alors il resteinchang dans 50% des cas le lendemain et ne devient beau que dans 25% des cas.Les habitants se sont plaints auprs du magicien, affirmant quils nont quun beau jour sur cinq.Ce quoi il a rpondu quil sagissait dune impression mais quen ralit, il y a bien plus dun beau

    jour sur cinq.

    Qui a raison?

    Exemple de dcouverte 6.

    Pour cet exemple, nous utiliserons de lalgbre linaire et des matrices lors du chapitre 8 ddi aux graphesprobabilistes.

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    Chapitre 2 : Mise en place : exemples 7

    2.h Lnigme des trois maisons

    Un lotissement de trois maisons doit tre quip dlectricit, deau et de gaz. La rglementationinterdit de croiser les canalisations pour des raisons de scurit.

    Est-il possible deffectuer tous les raccordements?

    Exemple de dcouverte 7.

    Ce dernier problme sera rsolu via le chapitre 9 sur les graphes planaires.

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    8 Lnigme des trois maisons

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    3Vocabulaire des graphes

    3.a Graphe non orient

    Un graphe (non orient) G est constitu dun ensemble S= {s1, s2, . . . , sn} de points appels sommetset dun ensemble A= {a1, a2, . . . , ak}dartestels qu chaque arte ai sont associs deux lmentsde S, appels sesextrmits.Si les deux extrmits sont confondues, larte est appeleboucle.Sil y a plusieurs artes entre deux sommets, on parle dartes multiples.Un graphe ne prsentant ni arte multiple, ni boucle est appelgraphe simple.

    Dfinition 1.

    Exemple 2.

    s1

    s2

    s3

    s4

    a1a2

    a3

    a4

    a5

    a6

    Ce graphe est constitu des5 sommets s1, s2, s3, s4 et s5et de6 artes a1, a2, a3, a4, a5 et a6.Lartea2 relie les sommets s1 et s3.Il y a une boucle en s3.

    Entre s1et s2, il y a2 artesa4et a5, il sagit dartes multiples.

    Dans la suite, pour plus de commodit, les sommets seront nomms avec des lettres de lalphabet et lesartes non numrotes, sauf si besoin!

    Remarque 3La position des sommets et la longueur les artes na pas dimportance, les quatre graphes suivants repr-sentent la mme situation :

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    A

    B

    C

    D

    E

    F

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    10 Ordre et degr

    3.b Ordre et degr

    On appelleordredun graphe le nombre de ses sommets.Ledegrdun sommet est le nombre darrtes dont il est une extrmit.Deux sommets relis par une mme arrte sont ditsadjacents.

    Dfinition 4.

    Exemple 5.

    A

    B

    C

    DCe graphe comporte 4 sommets, cest donc un graphe dordre 4.

    Du sommet A partent 4 arrtes. Le degr du sommet A est donc 4.

    Le degr du sommet B est3.

    Le degr du sommet C est4.

    Le degr du sommet D est1.

    Dans un graphe, la somme des degrs des sommets est gale au double du nombre dartes.

    Proprit 6(Lemme des poignes de mains).

    Dmonstration :

    Lorsque lon additionne les degrs des sommets, chaque arte est compte deux fois : une fois pour chaqueextrmit.

    Exemple 7

    Les vingt-quatre maires des vingt-quatre communes de lle de la Runion se sont donn rendez-vous lors delassemble gnrale de lAssociation des Maires du Dpartement de la Runion (AMDR). cette occasion,chaque maire serre la main de tous les autres maires. Quel est le nombre de poignes de mains changes?

    Si lon prsentait cette situation par un graphe dont les maires seraient reprsents pas les sommets et lespoignes de mains changes par les artes, on aurait :24sommets, chacun de degr 23, donc la somme des degrs des sommets est de 24 23 = 552.Le nombre dartes vaut donc552 2 = 276.Le nombre de poignes de mains changes lors de cette assemble est de 276.

    3.c Chane et cycle

    Unechaneest une suite quelconque dartes conscutives.Sa longueurest le nombre dartes quelle comporte.Uncycleest une chane compose dartes distinctes dont les deux extrmits sont confondues.

    Dfinition 8.

    Exemple 9Sur le graphe ci dessous,

    A

    B

    C

    D

    A - B - C est une chane de longueur 2,

    A - B - C - D na aucun sens puisquil nexiste aucune arte entre D et C,

    B - A - D - A - C - C est une chane de longueur 5, A - B - C - A est un cycle de longueur3,

    D - A - B - C - A - D nest pas un cycle car on parcourt deux fois lartequi va de A D. Cest une chane ferme.

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    Chapitre 3 : Vocabulaire des graphes 11

    3.d Structure de graphes particuliers

    Un graphe est dit :

    complet lorsque deux sommets quelconques distincts sont toujours adjacents ;

    connexesi quels que soient les sommets si et sj , il existe toujours une chane reliant si sj.

    stablelorsque ses sommets ne sont relis par aucune arte;

    bipartilorsque lensembleSdes sommets peut-tre partag en deux sous ensembles S1et S2telsque les lments de S1 [resp. S2] ne sont relis entre eux par aucune arte.

    Dfinition 10.

    Exemple 11

    Ce graphe est complet :on le note communment K5.

    A

    B

    C

    D

    E

    .

    Graphe non connexe car les sommetsD et F sont isols des autres.

    A B

    C

    D

    E

    F

    .

    Graphe biparti nomm K3,3.S1= {D, E, F} et S2= {A, B, C}.

    A

    B

    C

    D

    E

    F

    Nous avons souvent besoin disoler une partie dun graphe afin den tudier les proprits, do la dfinition :

    Unsous-graphedun graphe est une partie dun graphe compos dun sous-ensemble de sommets etde toutes les artes qui les relient.

    Dfinition 12.

    Exemple 13Ce graphe est un sous-graphe du graphe K3,3.

    A

    B

    C

    D

    Ce graphe nest pas un sous graphe du graphe K5car il manque une arte entre les sommets A et C.

    A

    B

    C

    E

    Consquence :un sous-graphe est stable sil ne comporte aucune arte !

    Exemple 14On ne peut pas trouver de sous-graphe stable K5 puisque cest un graphe complet.D - E - F est un sous-graphe stable de K3,3.

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    12 Distance et diamtre

    3.e Distance et diamtre

    Ladistanceentre deux sommets est la longueur de la plus courte chane qui relie ces deux sommets.Lediamtredun graphe est la plus grande distance.

    Dfinition 15.

    Remarque 16 La distance dun sommet lui mme est nulle.

    La distance entre deux sommets qui ne peuvent tre relis par aucune chane est+.

    Le diamtre dun graphe complet est gal 1.

    Le diamtre dun graphe non connexe est infini.

    Exemple 17

    A

    B

    C

    D E F Dans le graphe ci contre, la distance du sommet A au sommet B est2,

    la distance du sommet C au sommet C est0,

    le diamtre est gal 3 : cest la distance de A C ou de D C.

    3.f Matrice dadjacence dun graphe

    Soit G un graphe n sommets s1, . . . , sn. On appelle matrice dadjacence du graphe la matriceA= (ai;j), o ai;j est le nombre dartes joignant le sommet si au sommet sj .

    Dfinition 18.

    Exemple 19Le graphe G ci-contre a pourmatrice dadjacence la matrice A.

    s1

    s2

    s4

    s3

    A=

    0 1 0 1

    1 0 1 1

    0 1 0 1

    1 1 1 0

    nj=1

    ai;j est gal au degr du sommet si etni=1

    ai;j est gal au degr du sommet sj .

    Proprit 20.

    Remarque 21La matrice dadjacence dun graphe

    non orient est symtrique par rapport sa diagonale ;

    sans boucle na que des0 sur la diagonale ;

    sans arte multiple na que des1 ou des0 ;

    complet na que des1, hormis sur sa diagonale o il y a des0 ;

    nest pas unique puisquil suffit de changer lordre des sommets pour que la matrice soit diffrente.

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    Chapitre 3 : Vocabulaire des graphes 13

    Soit Gun graphe de matrice dadjacence A. Le nombre de chanes de longueur k joignant le sommetsi au sommet sj est donn par le coefficient a

    (k)i;j de la matrice A

    k.

    Proprit 22.

    Dmonstration :

    Soit Hklhypothse de rcurrence : le nombre de chanes de longueur k joignant le sommet siau sommet sjest donn par le coefficienta(k)i;j de la matrice A

    k.

    Initialisation : pour k= 1, cest la dfinition de la matrice dadjacence. H1 est vrifie.

    Hridit : supposons lhypothse vraie au rangk et soit n lordre du graphe.Il nous faut compter le nombre de chanes de longueur k + 1 qui vont de si sj .Une telle chane est compose dune chane de longueur k allant de si un sommet quelconque sh,

    h {1, . . . , n}, suivie dune arte allant de sh sj. le nombre de chanes de longueur kallant de si sh est donn par le coefficient a

    (k)i;h ,

    le nombre de chanes de longueur 1 allant de sh sj est donn par le coefficient ah;j.

    Le nombre total de chanes de longueur k + 1 allant de si sj est alors de :

    nh=1

    a(k)i;h ah;j= a

    (k+1)i;j .

    Lhypothse est donc encore vraie au rang k+ 1.

    Exemple 23Le plan du parcours sant de Grafland est le suivant :

    A

    B

    C D

    E

    sa matrice dadjacence peut tre :

    A=

    2 2 1 0 1

    2 0 1 0 0

    1 1 0 1 2

    0 0 1 0 2

    1 0 2 2 0

    Chaque arc du plan reprsente un chemin de 250 mtres. On souhaite effectuer des parcours partant du point Aet arrivant au mme point A de longueur 1 km. Combien peut-on effectuer de parcours diffrents ?

    Pour cela, il faut calculer la matrice A4 (4 250m = 1 000m) et lire le coefficient a(4)1;1 :

    A4 =

    186 106 136 82 120

    106 71 70 41 84

    136 70 114 74 88

    82 41 74 55 56

    120 84 88 56 126

    On a a(4)1;1= 186,

    Il y a186 parcours possibles de longueur 1 km de A A.

    Remarque : Grce cette matrice, on peut galement en dduire tous les parcours de longueur1 km existantsentre deux points du parcours. Et si lon somme tous les coefficients de la matrice, on obtient deux fois le nombretotal de parcours diffrents de1 km existants sur ce parcours sant. (2206 2 = 1 103).

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    14 Graphe orient

    3.g Graphe orient

    Un graphe estorientsi les artes ont un sens de parcours. Chaque arte a alors une origine et uneextrmit. Elle est reprsente par une flche.

    Dfinition 24.

    Il existe de nombreux domaines o les graphes sont orients. Par exemple : le plan dune ville avec les sensinterdits ; un parcours en montagne o il est utile dindiquer le sens de monte. . .

    Remarque 25Toutes les notions vues dans le cas des graphes non orients se gnralisent aux graphes orients : ordre,degr, distance,. . .

    On peut cependant prciser la correspondance entre le vocabulaire utilis pour les deux sortes de graphe :

    Graphe non orient Graphe orient

    arte arc

    chane chemin

    cycle circuit

    Pour la matrice dadjacence, il faut distinguer le sens des artes et convenir dun sens de lecture.

    Par convention, dans la matrice dadjacencedun graphe Gorient, le terme aij dsigne le nombredartes dorigine le sommet si et dextrmit le sommet sj.

    Dfinition 26.

    Exemple 27

    La matrice

    1 1 1

    1 0 00 1 0

    peut correspondre au graphe suivant :

    A

    B

    C

    3.h Le loup, la biche et le chevalier. . . solution

    Un passeur doit aider un loup, une biche et un chevalier traverser une rivire.Il ne peut faire traverser quun des personnages la fois et ne peut laisser seuls le loup et la biche, pas

    plus que le chevalier et le loup.Comment peut-il faire?

    Exemple de dcouverte 28.

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    Chapitre 3 : Vocabulaire des graphes 15

    Cette situation peut tre modlise laide dun graphe.Dsignons par P le passeur, par L le loup, par B la biche et par C le chevalier.

    Les sommets du graphe sont des couples prcisant qui est sur la rive initiale et qui est sur lautre rive.Ainsi, le couple PBC | L signifie que le passeur est sur la rive initiale avec la biche et le chevalier, alors

    que le loup est sur lautre rive tout seul. Naturellement, nous ne considrerons pas les sommets dont lunedes composantes est BL ou CL car ces situations sont interdites daprs lnonc.

    Nous obtenons les couples suivants :

    PLBC | -

    PLB | C

    PLC | B

    PBC | L

    PL | BC

    BC | PL

    L | PBC

    B | PLC

    C | PLB

    - | PLBC

    Une arte relie deux sommets lorsque le passeur peut passer dune situation lautre.En transportant la biche, le passeur passe par exemple du sommet PBC | L au sommet C | PBL.Le graphe ainsi obtenu est biparti : les sommets pour lesquels le passeur est sur la rive initiale ne sont relisquaux sommets pour lesquels le passeur est sur lautre rive. . .

    PLBC | -

    PLB | C

    PLC | B

    PBC | L

    PL | BC

    BC | PL

    L | PBC

    B | PLC

    C | PLB

    - | PLBC

    Il suffit ensuite de trouver une chane (la plus courte par exemple) entre la situation initiale PLBC | - etla situation finale souhaite - | PLBC. La figure suivante donne un tel chemin :

    PLBC | -

    PLB | C

    PLC | B

    PBC | L

    PL | BC

    BC | PL

    L | PBC

    B | PLC

    C | PLB

    - | PLBC

    Conclusion :

    Le passeur traverse avec le loup et revient seul au rivage initial,

    puis il fait traverser le chevalier et revient avec le loup,

    il fait traverser la biche et revient seul,

    enfin, il fait traverser avec le loup.

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    16 Le loup, la biche et le chevalier. . . solution

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    4Graphes et chemins

    4.a Graphes eulriens

    Un peu dhistoire ...Au 18e sicle, un casse-tte est populaire chez les habitants de Knigsberg (appele plus tard Kaliningrad,Russie) : est-il possible de se promener dans la ville en ne passant quune et une seule fois par chacun dessept ponts de Knigsberg?

    Mais laissons au clbre mathmaticien Lonard Euler (1707-1783) formuler lui-mme la fameuse question :

    Knigsberg, en Pomranie, il y a une le appele Kneiphof ; le fleuve qui lentoure se divise en deux bras,sur lesquels sont jets les sept pontsa,b,c, d,e,f, g. Cela pos, peut-on arranger son parcours de telle sorte

    que lon passe sur chaque pont, et que lon ne puisse y passer quune seule fois ? Cela semble possible, disentles uns, impossible, disent les autres; cependant personne na la certitude de son sentiment.

    Prcisons quil sagit deffectuer le parcours en revenant son point de dpart.On nomme, en son honneur, circuit eulrien un tel trajet ; on pourra parler de chemin eulrien si le point dedpart diffre du point darrive.

    Ancien plan de Knigsberg Plan de la rivire Graphe associ

    Unechane eulrienneest une chane compose de toutes les artes du graphe prises une seule fois.Uncycle eulrienest un cycle compos de toutes les artes du graphe prises une seule fois.Un graphe possdant un cycle eulrien est ungraphe eulrien.

    Dfinition 1.

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    18 Thorme dEuler

    Exemple 2

    A

    B

    C

    D

    E

    A

    B

    C

    D

    E

    A

    B

    C

    D

    E

    Dans ce graphe, on a une chaneeulrienne : par exemple A - C - E

    - D - B - C - D - A - B, mais ilnexiste aucun cycle eulrien. Ce

    nest donc pas un graphe eulrien.

    Dans ce graphe, il nexiste nichane eulrienne, ni cycle

    eulrien.

    Dans ce graphe, on a plusieurscycles eulriens : par exemple A -C - E - D - B - C - D - A - B - E -A. Cest donc un graphe eulrien.

    En terme pratique, lorsquun graphe possde une chane ou un cycle eulrien, cela signifie que nous pourrions

    le dessiner en une seule fois, sans jamais lever le crayon.

    4.b Thorme dEuler

    Comment peut-on tre certain de lexistence dune chane ou dun cycle eulrien?

    Un graphe connexe possde une chane eulrienne si et seulement si tous ses sommets sont dordrepair sauf deux.

    Un graphe connexe possde un cycle eulrien si et seulement si tous ses sommets sont dordre pair.

    Thorme 3(dEuler - 1739).

    Exemple 4Si lon reprend lexemple 2 ci-dessus :

    Le premier graphe possde3 som-mets dordre pair (C, D et E) et 2sommets dordre impair (A et B).

    Le second graphe possde 1 som-met dordre pair (E) et4 sommets

    dordre impair (A, B, C et D).

    Le dernier graphe ne possde quedes sommets dordre pair.

    Dmonstration :

    Condition ncessaire : supposons que le graphe connexe G possde une chane eulrienne.

    Chaque fois quen parcourant cette chane on arrive un sommet si par une arte, on en repart parune autre, sauf pour les extrmits de cette chane.Donc, ncessairement, les sommets sont dordre pair, sauf ventuellement le sommet de dpart et celuidarrive si ceux-ci sont diffrents.De plus, cette chane tant eulrienne, chaque arte est parcourue une et une seule fois, et si la chaneest passe k fois par le sommet si, ce sommet est de degr 2k.

    Condition suffisante : rciproquement, supposons que tous les sommets dun graphe connexe sont pairssauf ventuellement deux.On procde par rcurrence sur le nombre dartes n du graphe.

    Initialisation :si n = 1, le graphe tant connexe, il y a deux possibilits. Soit le graphe possdeun seul sommet avec une boucle a, soit il en possde deux relis par larte a.

    .

    A A B

    Dans les deux cas on a le rsultat : le cycle eulrien A A, ou la chane eulrienne A B.

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    Chapitre 4 : Graphes et chemins 19

    Hrdit : supposons dmontr le thorme pour les graphes ayant au plus n 1 artes, etconsidrons un graphe G possdant n artes et dans lequel tous les sommets sont dordre pair.Lorsque un cycle partant du sommet si dans une direction quelconque et ne parcourant jamaisdeux fois la mme arte, arrive un sommet sj , elle a parcouru un nombre impair dartes inci-dentes sj , et par consquent, cette chane peut repartir de sjpar une arte non encore parcourue.Cependant dans ce cycle c arbitraire, il est possible que toutes les artes du graphe naient past parcourues, il peut donc rester des sommets et des artes formant des graphe connexes donttous les sommets sont de degr pair.Chacune de ces composantes connexes ck rencontre notre cycle c en au moins un sommet slpuisque le graphe est connexe. Or, par hypothse de rcurrence, elles admettent toutes des cycleseulriens. On obtient alors un cycle eulrien en intercalant dans la chane c, les cyclescklorsquonrencontre le sommet sl.

    s1 s2

    s3

    s4

    cycle c

    cycle c2

    cycle c1

    cycle c3

    On vient donc de dduire quun graphe connexe dont tous les sommets sont pairs possde un cycle eulrien.Si maintenant deux des sommets smet snsont dordre impair, la dmonstration est la mme en considrantau dpart une chane allant de sm sn, les graphes connexes restants ne possdant forcment que des som-mets dordre pair.

    Ce thorme nous donne un moyen trs simple de savoir si un graphe est eulrien ou non, modlis parlalgorithme suivant :

    Graphe

    Sommets dedegr impair

    0 2 autre

    Ajout dune arte reliant les2 sommets dordre impair

    Graphe eu-lrien

    Chaneeulrieneu-lrienne

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    20 Retour Knigsberg

    Exemple 5Parmi les figures suivantes, quelles sont celles qui peuvent tre dessines sans lever le crayon et sans repasser surle mme trait ?

    2

    2 2

    24

    42

    2

    2 2

    2

    4

    4 2

    2

    2

    Figure 1

    33

    44

    44

    Figure 2

    5

    5

    5

    5

    4

    Figure 3

    1. La premire figure ne comporte que des sommets dordre pair (2 ou 4), elle peut donc tre dessine sans

    lever le crayon en partant de nimporte o.2. La deuxime figure possde2sommets dordre impair seulement (la bouche). On peut donc la dessiner sans

    lever le crayon en partant de lun de ces deux sommets.

    3. La troisime figure comporte 4 sommets dordre impair chaque sommet du carr, il est donc impossiblede la dessiner en une seule fois.

    4.c Retour Knigsberg

    La promenade de Knigsberg existe-t-elle?

    Exemple de dcouverte 6.

    Non car les quatre sommets sont dordre impair! ! !

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    5Graphes et couleurs

    5.a Dfinition

    Colorerun graphe, cest associer une couleur chaque sommet de faon que deux sommets adjacentssoient colors avec des couleurs diffrentes.

    Dfinition 1.

    Remarque 2 La coloration dun graphe nest bien videmment pas unique : dune part les couleurs peuvent tre

    changes (remplacer du noir par du rouge par exemple), dautre part la rpartition des couleurs peutvarier, ainsi que le nombre de couleurs utilises !

    Un graphe complet dordren sera color avecncouleurs, puisque tous ses sommets sont adjacents.

    Un graphe dordrenpourra toujours tre color dencouleurs diffrentes.

    5.b Coloration minimale

    Le dernier point de la remarque prcdente nous amne penser que colorer un graphe ne nous apporte pasgrand chose, si nous ny mettons pas de contrainte supplmentaire. Do la dfinition suivante :

    Lenombre chromatiquedun graphe G est le nombre minimal de couleurs permettant de le colorer.Il est gnralement not (G) ou (G).

    Dfinition 3.

    Exemple 4Les graphes suivants sont colors avec un minimum de couleurs.

    A

    C

    B

    (G1) = 2

    A

    C

    B

    D

    (G2) = 2

    A

    B

    C

    D

    (G3) = 4

    A

    C

    B

    D

    E

    (G4) = 3

    A

    B

    C

    D

    (G5) = 4

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    22 Coloration minimale

    Si plusieurs sommets dun graphe sont de la mme couleur, aucune arte ne peut les joindre. Ils formentdonc un sous-graphe stable.Colorer un graphe revient donc le partitionner en sous-graphes stables.

    Un peu dhistoire. . .Les premiers rsultats de coloration de graphes concernent presque exclusivement la coloration des cartes.En cherchant mettre en couleurs une carte des comts dAngleterre, Francis Guthrie (mathmaticien etbotaniste sud-africain 1831 1899) postule en 1852 la conjecture des quatre couleurs : il remarqua en effetquil ny avait besoin que de quatre couleurs pour que deux comts ayant une frontire commune soient decouleurs diffrentes.

    En 1879, Alfred Kempe (mathmaticien anglais 1849 1922) publia ce quil prtendit en tre une dmons-tration et pendant une dcennie, on crut que le problme des quatre couleurs tait rsolu.

    En 1890, Percy John Heawood (mathmaticien anglais 1861 1955) fit remarquer que la dmonstration deKempe tait fausse. Il montra quant lui le thorme des cinq couleurs en reprenant des ides de Kempe.

    De nombreux travaux ont t publis lors du sicle suivant pour rduire le nombre de couleurs quatre,jusqu la dmonstration finale de Kenneth Appel (mathmaticien amricain n en 1932) et Wolfgang Haken(mathmaticien allemand n en 1928). Il sagit aussi de la premire preuve majeure utilisant massivementlordinateur.

    Outre le problme de cartes, la coloration des graphes intervient galement pour les problme doptimisationavec contraintes (planning, incompatibilits), dans les rseaux, la cryptographie. . .

    Aucune formule miracle permet de dterminer le nombre chromatique dun graphe quelconque. La plupartdu temps, il faut se contenter dun encadrement, autrement dit dun minorant et dun majorant du nombrechromatique.

    Soit G un graphe, alors(G) (G) d + 1

    o (G) est lordre maximal dun sous graphe complet de G et dle plus grand degr des sommets.

    Proprit 5.

    Dmonstration :

    Majoration : si un sommet si est de degr d, il faudra une couleur pour le colorer, et d autres couleursdiffrentes pour colorer ses dsommets adjacents, soit d + 1 couleurs au maximum.

    Minoration : on sait quil faut exactement ncouleurs pour colorer un graphe complet dordre n, do laconclusion.

    Exemple 6On considre le graphe G suivant :

    A

    B

    C

    D E

    F

    G

    H

    I

    Ce graphe comporte un graphe complet dordre 3 : le graphecompos des sommets F, H et I, mais aussi un graphe completdordre4 : A, B, E, D.On a donc (G) 4.

    Le sommet ayant le degr le plus grand est le sommet B de degr5.On a alors (G) 5 + 1.

    Do4 (G) 6 : le nombre chromatique de G est4,5 ou 6

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    Chapitre 5 : Graphes et couleurs 23

    5.c Algorithme de coloration de Welsh et Powell

    Nous avons trouv dans lexemple prcdent un encadrement du nombre chromatique. Il reste maintenant dterminer une mthode afin de colorer un graphe de manire efficace.

    Il existe entre autres une mthode heuristique : lalgorithme de Welsh et Powell (algorithme glouton : ilsuit le principe de faire tape par tape un choix optimum local, dans lespoir dobtenir un rsultat optimumglobal).Cet algorithme couramment utilis permet dobtenir une assez bonne coloration dun graphe, cest--dire unecoloration nutilisant pas un trop grand nombre de couleurs, mais il nassure pas que le nombre de couleursutilis soit minimum.

    Algorithme de Welsh et Powell

    tape 1 : Classer les sommets du graphe dans lordre dcroissant de leur degr, et attribuer chacun des sommets son numro dordre dans la liste obtenue.

    tape 2 :En parcourant la liste dans lordre, attribuer une couleur non encore utilise au premier

    sommet non encore color, et attribuer cette mme couleur chaque sommet non encore color etnon adjacent un sommet de cette couleur.

    tape 3 :Sil reste des sommets non colors dans le graphe, revenir ltape 2. Sinon, la colorationest termine.

    Exemple 7Un collge commande neuf produits chimiques (A, B, C, D, E, F, G, H et I) afin dalimenter le laboratoire desciences.Certains produits ne peuvent tre rangs dans la mme armoire (accident, manations gazeuses.. .).Pour des raisons dconomie et de place, le nombre darmoires doit tre le plus petit possible.

    Sachant quon ne peut mettre ensemble A, B, D et E; B et C; B et F; D et G; E et H; F, H et I, quel est lenombre minimal darmoires acheter et quels seront les produits stocks dans la mme armoire ?

    Pour le savoir, on dessine un graphe o les sommets correspondent aux produits chimiques, et les artes auxincompatibilits. On obtient le graphe de lexemple6.

    On classe les sommets dans lordre dcroissant de leur degr :

    Sommet B D E A F H I C G

    Ordre 5 4 4 3 3 3 2 1 1

    1. On colore B en bleu par exemple, puis dans lordre du tableau, D ne peut tre color en bleu puisquil estadjacent B. Il en est de mme pour les sommets E, A et F.H est color en bleu mais pas I adjacent en H. Enfin, C nest pas bleu, contrairement G.

    2. On reprend le premier sommet non color : il sagit de D, on choisit de le colorer en jaune, et de la mmemanire que pour le bleu, on peut colorer les sommets F et C parmi ceux non encore colors.

    3. On repart du sommet E que lon choisit vert, ainsi que I.

    4. Enfin, il reste le sommet A que lon colore en rouge.

    On obtient le graphe suivant :

    B

    G

    H

    C

    D

    F

    E

    I

    A Conclusion :on pourra mettre ensemble :

    dans larmoire n 1les produits B, G et H,

    dans larmoire n 2les produits C, D et F,

    dans larmoire n 3les produits E et I,

    dans larmoire n 4le produit A.On remarque galement que le nombre chromatique tait suprieurou gal 4, et on a trouv4 couleurs.Donc, cest bien le minimum de couleurs.

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    24 Coloration de la carte de la Runion

    5.d Coloration de la carte de la Runion

    Comment colorier la carte des vingt-quatre communes de la Runion en un minimum de couleurs detelle sorte que deux communes limitrophes ne soient pas coloris de la mme couleur ?

    Exemple de dcouverte 8.

    On commence par tracer un graphe reprsentant la situation : les sommets du graphe correspondent auxdiffrentes communes et les artes relient les communes qui ont un morceau de frontire en commun.

    Le Port

    St Andr

    St Denis

    St Leu

    St Benoit

    St Louis

    St Joseph

    Ste Marie

    Possession

    Tampon

    Cilaos

    Bras Panon

    Etang Sal

    Petite Ile

    St Philippe

    3 bassins

    Palmistes

    St Pierre

    Ste Suzanne

    St Paul

    Avirons Ste Rose

    Salazie

    Entre 2

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    Chapitre 5 : Graphes et couleurs 25

    Ensuite, on ordonne les communes par degr dcroissant, puis par ordre alphabtique (par exemple !).

    1. Cilaos 8 7. St-Joseph 5 13. Bras-Panon 3 19. St-Leu 3

    2. Salazie 8 8. St-Louis 5 14. Palmistes 3 20. Trois-Bassins 3

    3. St-Benoit 7 9. St-Pierre 5 15. St-Andr 3 21. Etang-Sal 2

    4. Le tampon 6 10. Les Avirons 4 16. St-Denis 3 22. Petite-Ile 2

    5. Entre-Deux 5 11. La Possession 4 17. Ste-Marie 3 23. Le Port 2

    6. Ste-Rose 5 12. St-Paul 4 18. Ste-Suzanne 3 24. St-Philippe 2

    On choisit de colorer Cilaos en rouge, puis le Tampon, La Possession, Bras-Panon, Sainte-Marie, Petite-Ile,Saint-Louis et Saint-Philippe.

    On repart de la deuxime commune non colore : Salazie en vert, puis lEntre-Deux, Saint-Paul, Sainte-Roseet Les Avirons.

    Troisime couleur : le jaune pour Saint-Benot, puis Saint-Joseph, Saint-Louis, Saint-Andr, Saint-Denis,Saint-Leu et Le Port.

    Enfin, Saint-Pierre, puis la Plaine des Palmistes, Sainte-Suzanne et Trois-bassins sont colors en bleu.

    On obtient donc le graphe color, puis la carte suivants :

    Le Port

    St Andr

    St Denis

    St Leu

    St Benoit

    St Louis

    St Joseph

    Ste Marie

    Possession

    Tampon

    Cilaos

    Bras Panon

    Etang Sal

    Petite Ile

    St Philippe

    3 bassins

    Palmistes

    St Pierre

    Ste Suzanne

    St Paul

    Avirons Ste Rose

    Salazie

    Entre 2

    On saperoit que lon a utilis 4 couleurs pour colorer la carte de la Runion. Cest le nombre chromatiquemaximum pour une carte.

    De mme, le graphe possde un sous-graphe complet dordre 4 : le sous-graphe compos des sommets Tam-pon, Sainte-Rose, Saint-Benoit et la Plaine des Palmistes. Le nombre chromatique est donc suprieur ou gal 4.

    Conclusion : le nombre chromatique de la carte de la Runion est coup sr 4. On a donc trouv unecoloration optimale du graphe et de la carte!

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    26 Coloration de la carte de la Runion

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    6Graphes et trajets

    6.a Graphes valus

    Ungraphe valuest un graphe pour lequel chaque arte est associe un nombre rel appelpoids.Si ce nombre est positif, on parle alors de graphe pondr.

    Dfinition 1.

    Exemple 2Voici par exemple un graphe valu :

    A

    B

    C

    D

    E

    5

    6 82

    3 91

    ... et un graphe pondr :

    F

    G

    H

    I

    J

    10

    25 9712

    30 39

    17

    Lun des problmes classiques des graphes pondrs est celui de recherche dun trajet routier le plus court(en terme de temps ou de kilomtres).

    Si un graphe nest pas pondr, le poids de chaque arte peut tre considr comme gale 1.

    On appellepoids dune chanela somme des poids des artes composant la chane.

    Dfinition 3.

    Exemple 4Dans lexemple prcdent, le poids de la chane F - G - H - I - J est de 10 + 97 + 17 + 30 = 154.

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    28 Recherche du plus court trajet

    6.b Recherche du plus court trajet

    Nous allons ici nous intresser la recherche de la chane de poids minimum.

    Ce problme est trs naturel, et se prsente dans bien des domaines diffrents. La mthode la plus immdiateest de considrer tous les chemins menant dun point de dpart larrive et de chercher le plus court enutilisant un arbre par exemple, mais cette mthode est trs inefficace!

    Edsger Wybe Dijkstra (mathmaticien et informaticien nerlandais 1930 2002) a propos en 1959 unalgorithme qui permet de calculer le plus court chemin entre un sommet particulier et tous les autres. Cestlun des plus efficaces pour traiter les problmes de plus court chemin.Grce la puissance du traitement informatique, il est utilis par les logiciels doptimisation de trajets rels(Navigateurs GPS, Site RATP. . .) ou virtuels (routage internet).

    Cet algorithme ne fonctionne que si le graphe ne possde que des valeurs positives.

    Lalgorithme d Dijkstra est bas sur le principe suivant :

    Si le plus court chemin reliant le sommet E (entre) au sommet S (sortie) passe par les sommets s1, s2, . . . , skalors, les diffrentes tapes sont aussi les plus courts chemins reliant E aux sommets successifs s1, s2, . . . , sk.

    Nous devons dons construire de proche en proche le chemin cherch en choisissant chaque itration delalgorithme, un sommet sidu graphe parmi ceux qui nont pas encore t traits, tel que la longueur connueprovisoirement du plus court chemin allant de E sisoit la plus courte possible.

    Algorithme de Dijkstra

    Initialisation de lalgorithme :

    on affecte le poids 0 au sommet origine E que lon slectionne et on attribue provisoirement un

    poidsaux autres sommets.

    Tant quil reste des sommets non slectionns, faire :

    * Parmi les sommets dont le poids nest pas dfinitivement fix, choisir le sommet X de poids p

    minimal. Marquer dfinitivement ce sommet X affect du poids p(X).

    * Pour tous les sommets Y qui ne sont pas dfinitivement marqus, adjacents au dernier sommet

    fix X :Calculer la somme sdu poids de X et du poids de larte reliant X Y.

    Si la somme s est infrieure au poids provisoirement affect au sommet Y, affecter provisoi-

    rement Y le nouveau poids s et indiquer en indice le sommet X pour se souvenir de sa

    provenance.

    Si la somme s est suprieure au poids provisoirement affect au sommet Y, on ne change

    rien.

    Quand le sommet S est dfinitivement marqu :

    La chane de poids minimum se lit lenvers , de S chacun de ses prdcesseurs successifs.

    Pour faciliter la recherche du plus court chemin il est commode de prsenter les rsultats dans un tableau.(voir lexemple Allons de la Rivire la Montagne , I.5.c).

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    Chapitre 6 : Graphes et trajets 29

    Affecter la valeur depoids 0 au sommet E

    Affecter la valeur p= aux autres sommets

    Y a-t-il des sommets Xnon slectionns?

    Slectionner le sommetX non encore slectionnde poids minimum

    Choisir un sommetY non slectionn

    Pour tout sommet Y adjacent X, calculer s = poids(X) +poids(arte X Y)

    s < p Affecter la valeur de s p

    Y a-t-il dautres som-mets Y adjacents X?

    La plus courte chane de E S est obtenue en crivantde droite gauche le chemin partant de S

    oui

    oui

    oui

    non

    non

    non

    6.c Allons de la Rivire la Montagne !

    Sur la carte de Saint-Denis (Runion) suivante sont indiqus les temps moyens (en minutes) mis par

    un automobiliste pour relier deux lieux. On souhaite aller de la Rivire des Pluies la Montagne.Quel chemin doit-on prendre afin que celui-ci soit le plus rapide?

    Exemple de dcouverte 5.

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    30 Allons de la Rivire la Montagne !

    Pour commencer, on construit le graphe pondr reprsentant la situation : on note M le sommet corres-pondant La Montagne, H pour Hpital, C pour Cimetire, U pour Universit, A pour Aroport et R pourRivire des pluies.

    M

    H

    C

    U

    A

    R

    14

    7

    11

    89

    5

    7

    12

    9

    Le sommet de dpart : R est affect de 0, tous les autres sont .

    A C H M R U on choisit

    0 R(0)

    M()

    H()

    C()

    U()

    A()

    R(0)

    14

    7

    11

    89

    5

    7

    12

    9

    Depuis R, on peut aller en A (poids de 9) ou U (poids de 12). Les autres sommets restent inchangs.

    Dans la deuxime ligne du tableau, la valeur minimale est 9 lorsque lon vient de R. On slectionne A.

    A C H M R U on choisit

    0 R(0)

    9R 12R A(9R)

    M()

    H()

    C()

    U(12R)

    A(9R)

    R(0)

    14

    7

    11

    89

    5

    7

    12

    9

    Depuis A, on peut aller en C (poids de 9 + 5 = 14) ou en U (poids de 9 + 7 = 16 >12).

    Le poids en arrivant U tant suprieur celui obtenu en passant de R U, on ne le garde pas.

    Dans la troisime ligne du tableau, la valeur minimale est 12 lorsque lon vient de R. On slectionne U.

    A C H M R U on choisit

    0 R(0)

    9R 12R A(9R)

    14A 12R U(12R)

    M()

    H()

    C(14A)

    U(12R)

    A(9R)

    R(0)

    14

    7

    11

    8

    9

    5

    7

    12

    9

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    Chapitre 6 : Graphes et trajets 31

    Depuis U, on peut aller en C (poids de 12 + 9 = 21>14) ou en H (poids de 12 + 11 = 23)

    Dans la quatrime ligne, la valeur minimale est 14 lorsque lon vient de A. On slectionne C.

    A C H M R U on choisit

    0 R(0)

    9R 12R A(9R)

    14A 12R U(12R)

    14A 23U C(14A)

    M()

    H(23U)

    C(14A

    )

    U(12R)

    A(9R)

    R(0)

    14

    7

    11

    89

    5

    7

    12

    9

    Depuis C, on peut aller en H (poids de 14 + 8 = 22) ou en M (poids de 14 + 14 = 28)

    Dans la cinquime ligne, la valeur minimale est 22 lorsque lon vient de C. On slectionne H.

    A C H M R U on choisit

    0 R(0)

    9R 12R A(9R)

    14A 12R U(12R)

    14A 23U C(14A)

    22C 28C H(22C)

    M(28C)

    H(22C)

    C(14A)

    U(12R)

    A(9R)

    R(0)

    14

    7

    11

    89

    5

    7

    12

    9

    Depuis H, on peut aller en M (poids de 22 + 7 = 29>28)

    Dans la dernire ligne, la valeur minimale est 28 lorsque lon vient de C. On slectionne M.

    A C H M R U on choisit

    0 R(0)

    9R 12R A(9R)

    14A 12R U(12R)

    14A 23U C(14A)

    22C 28C H(22C)

    28C M(28C)

    M(28C)

    H(22C)

    C(14A)

    U(12R)

    A(9R)

    R(0)

    14

    7

    11

    89

    5

    7

    12

    9

    Tous les sommets ayant t slectionns, on lit lenvers la solution :

    M, qui vient de C, qui vient de A, qui vient de R.

    Conclusion : le trajet minimal en terme de temps est Rivire des pluies, Aroport, Cimetire puis laMontagne. Il durera thoriquement 28 minutes.

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    32 Allons de la Rivire la Montagne !

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    7Graphes et tiquettes

    7.a Graphes tiquets

    Les graphes tiquets, ou automates, ont donn lieu depuis une cinquantaine dannes une thorie math-matique abstraite, riche et diversifie, possdant de nombreuses applications.

    On appellegraphe tiquetun graphe o toutes les artes portent une tiquette (lettre, mot, nombre,symbole, code,. . .).Ces symboles sont appels destiquettes.

    Dfinition 1.

    Nous avons dj rencontr des graphes tiquets particuliers : le graphe pondr et le graphe valu.

    Soit G un graphe orient tiquet o un sommet est marqu dbut(D) et un autre fin (F).Dans un graphe tiquet, une suite dtiquettes est un motreconnupar le graphe sil existe une chane

    telle que chacune des tiquettes soit associe (dans lordre) une arte de cette chane.Sinon, le mot est ditrefus.

    Dfinition 2.

    Remarque 3Ces graphes sont souvent utiliss pour dterminer des codes daccs.

    Exemple 4Voici un graphe tiquet :

    D A A F1

    5 7

    2

    43

    6

    .Les codes1 - 5 - 5 - 7 - 4 - 6 et 1 - 3 - 2 - 6 sont reconnus, mais pas le code 1 - 3 - 4 - 6 qui est refus parlautomate.

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    34 Labyrinthe

    7.b Labyrinthe

    Le labyrinthe ci-dessous possde cinq salles, numrotes de 1 5. Lunique salle de sortie est la salleentoure par un double rond (salle 4).Le dpart deffectue dans la salle 1 et on nous remet une suite de lettres (mot). Lobjectif pour gagnerest de suivre le chemin indiqu par cette suite de lettres et de terminer dans la salle 4.

    Quels sont les mots gagnants?

    Exemple de dcouverte 5.

    5

    4

    0 1 3

    2

    b

    b

    a

    b

    b

    a

    a

    a

    b a

    dpart

    On tudie par exemple la suite abaab : celle-ci correspond au chemin qui part de la salle 1 et parcourtsuccessivement les salles 2 ; 1 ; 2 ; 3 ; 1. Comme la salle 1 nest pas la sortie, on a perdu.

    Par contre, au mot abaaacorrespond le chemin 1 ; 2 ; 1 ; 2 ; 3 ; 4 : ce mot est gagnant.

    Examinons maintenant comment on peut trouver coup sr un mot gagnant :

    on voit tout dabord que, si on est dans la salle 5, on ne peut plus en sortir, et on a perdu ;

    lorque lon est dans les autres salles, ds quon lit un b, on revient en salle 1.

    Il suffit donc de regarder quelles sont les suites gagnantes depuis la salle 1 :

    si on lit una, on arrive en salle 2,

    si on lit aa, on arrive en salle 3,

    si on lit aaa, on arrive en salle 4,

    et si on litaaaa, on arrive en salle 5.

    Conclusion : on en dduit alors que les mots gagnants sont exactement les mots qui ne contiennent pasaaaaet qui finissent par aaa.

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    8Graphes et probabilits

    8.a Graphes probabilistes

    On appellegraphe probabilisteun graphe orient, pondr, tel que :

    il y a au plus une flche dun sommet vers un autre,

    la somme des poids des flches partant dun mme sommet donn est gale 1.

    Dfinition 1.

    Exemple 2.Voici un exemple de graphe probabiliste :

    A

    B

    C

    0, 2 0, 90, 8

    0, 3

    0, 1

    0, 7

    et un autre. . . plus connu !

    A

    B

    C

    E

    D

    F

    G

    0, 5

    0, 5

    0, 2

    0, 8

    0, 7

    0, 3

    Les graphes probabilistes sont utiliss pour modliser lvolution dun systme pouvant changer alatoirementdtat :

    les sommets du graphe sont les tats possibles du systme;

    le poids dune arte oriente issue du sommet si et dextrmit sj est la probabilit conditionnelle dela ralisation de lvnement sj ltape n + 1 sachant que lvnement si est ralis ltape n.

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    36 Matrice de transition

    8.b Matrice de transition

    Le poids des flches correspond des probabilits de passage dun tat un autre. Nous pouvons donc

    associer chaque graphe une matrice appele matrice de transition ( ne pas confondre avec la matricedadjacence !).

    Lamatrice de transitionassocie un graphe probabiliste dordre k est la matrice carre T= (ti;j)dordrek telle que, pour tous entiersi et j compris entre 1 et k ,ti;j est gal au poids de larte orientedorigine le sommet si et dextrmit le sommet sj si cette arte existe, et est gal 0 sinon.

    Dfinition 3.

    Remarque 4 Tous les coefficients sont positifs ou nuls, compris entre0 et1 ;

    pour chaque ligne, la somme des coefficients est gale 1 ;

    le coefficient ti;j est la probabilit conditionnelle dtre dans ltat sj linstant n+ 1 sachant quelon est dans ltatsi linstantn ;

    cette matrice dcrit le passage dun tat ltat suivant.

    Exemple 5Un pays est partag en deux zones : lune urbaine, lautre rurale.Chaque anne,10% des urbains partent vivre la campagne et 20% des ruraux partent vivre en ville.On obtient le graphe et la matrice de transposition suivants :

    Ville

    Campagne

    0, 1

    0, 2

    0, 9 0, 8 T=Ville Campagne

    Ville 0, 9 0, 1Campagne 0, 2 0, 8

    8.c tat probabiliste la ne tape

    Considrons une exprience alatoire k issues possibles. chacune des issues i est associe une probabilitpi. Aprs chaque exprience, lobjet tudi se retrouve dans un tat donn. cet tat nous pouvons associerdes probabilits.

    La loi de probabilit associe lexprience est un tat probabiliste. cet tat probabiliste est associe une matrice ligne Pn= (p1 p2 . . . pk1 pk).

    Soit T la matrice de transition dun graphe probabiliste dordre k .

    Si Pn est ltat probabiliste ltape net Pn+1 celui de ltape n + 1, alors Pn+1= Pn T.

    Si P0 est ltat probabiliste initial et Pn ltat probabiliste ltape n, alors Pn= P0 Tn.

    Proprit 6.

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    Chapitre 8 : Graphes et probabilits 37

    Dmonstration.

    On pose Pn = (a1 . . . ak), Pn+1= (b1 . . . bk), Ai lvnement le systme est dans ltat ilinstantn et Bj lvnement le systme est dans ltat j linstant n+ 1 .

    On a alors pour tous i, j {1; . . . ; k} :ai= P(Ai) et bj= P(Bj).

    Puisque les Aiforment un systme complet dvnements, on a P(Bj) =k

    i=1

    P(Bj Ai) =k

    i=1

    P(Ai)PAi(Bj).

    Ce qui nous donne j {1; . . . ; k}la composante bj=k

    i=1

    ai ti;j , do Pn+1= Pn T.

    Daprs lgalit prcdente, on en dduit par une rcurrence simple que n N :Pn= P0 Tn.

    Exemple 7On reprend le pays de lexemple5. Supposons quau dpart,2 500habitants vivent en ville et 7 500 la campagne.

    Cette exprience comporte deux tats : Ville et Campagne .Ltat initial est donn par la matrice P0= (2 500 7 500).

    Dans un an, on aura :

    P1= P0 T = (2 500 7 500)

    0, 9 0, 1

    0, 2 0, 8

    P1= (3 750 6 250),soit 3750citadins pour6250ruraux.

    Dans dix ans, on aura :

    P10= P0 T10 = (2 500 7 500)

    0,9 0, 1

    0, 2 0, 8

    10

    P10 = (6 549 3 451),soit 6549citadins pour3451ruraux.

    8.d tat stable

    Nous pouvons nous demander sil existe des conditions favorables pour que la situation ne change pas lorsquelon rpte lexprience :

    Un tat probabiliste Pest ditstablesi, et seulement si, il nvolue pas lors de la rptition de lexp-rience, cest dire lorsqueP T=P.

    Dfinition 8.

    Exemple 9On reprend toujours notre exemple 5. Comment trouver ltat initial qui corresponde un tat stable?

    Soit P0= (a b)ltat initial. On doit trouver aet btels que P0 T=P0, ce qui se traduit par :

    (a b)

    0, 9 0, 1

    0, 2 0, 8

    = (a b)soit :

    0, 9a + 0, 2b=a

    0, 1a + 0, 8b=b

    0, 1a + 0, 2b= 0

    0, 1a 0, 2b= 0do a= 2b.

    En labsence de donne supplmentaire (population totale par exemple), il y a une infinit de solutions : par

    exemple1 000urbains pour2000ruraux. . .

    Dans ce cas, la proportion dhabitants en ville et la campagne ne bougera pas au cours des annes.

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    38 Cas particulier de la recherche dun tat stable deux tats

    8.e Cas particulier de la recherche dun tat stable deux tats

    Plaons nous dans le cas o nous avons une exprience alatoire deux tats :

    tat 1

    tat 2

    a

    b

    1 a 1 bT=

    1 a a

    b 1 b

    Pour tout graphe probabiliste dordre 2 dont la matrice de transition Tne comporte pas de 0, ltatPn converge vers un tat stable P indpendant de ltat initial P0.

    Proprit 10.

    Dmonstration.

    Supposons que ltat initial soit donn par P0= (a0 b0).

    T peut scrire sous la forme T=N+ (1 a b) R.

    o N= 1a + b

    b a

    b a

    et R=

    1a + b

    a a

    b b

    .

    Les matrices Net R commutent et on a R N=N R= 0.Par une rcurrence simple, on montre que k N :Nk =Net Rk =R.

    Tn = (N+ (1 a b)R)n

    =ni=0

    n

    i

    Ni (1 a b)ni Rni

    = (1 a b)n Rn +n1i=1

    n

    i

    Ni (1 a b)ni Rni + Nn

    Tn = (1 a b)n R +N.

    La matrice Tne comporte pas de 0 donc, tous les nombres a, 1 a, b et 1 b sont dans lintervalle] 0 ; 1[ do1

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    Chapitre 8 : Graphes et probabilits 39

    8.f Retour au pays Oz

    Le magicien dOz a combl tous les dsirs des habitants du pays dOz, sauf peut-tre en ce quiconcerne le climat : au pays dOz en effet, sil fait beau un jour, il est certain quil pleuvra ou neigerale lendemain avec une probabilit gale. Si le temps dun jour est pluvieux ou neigeux, alors il resteinchang dans 50% des cas le lendemain et ne devient beau que dans 25% des cas.Les habitants se sont plaints auprs du magicien, affirmant quils nont quun beau jour sur cinq.Ce quoi il a rpondu quil sagissait dune impression mais quen ralit, il y a bien plus dun beau

    jour sur cinq.

    Qui a raison?

    Exemple de dcouverte 11.

    Graphe probabiliste reprsentant la situation :

    pluie

    soleil

    neige

    0, 25

    0, 5

    0, 250, 25

    0, 5

    0, 5

    0, 25

    0, 5

    et T une de ses matrices de transition :

    T=

    0, 5 0, 25 0, 25

    0, 5 0 0, 5

    0, 25 0, 25 0, 5

    Il nous faut dterminer la limite de Tn lorsque n tend vers +.

    Cette rsolution utilise lalgbre linaire qui nest bien videmment pas au programme du secondaire!Les calculs sont mens avec Maple c.

    Soit la matrice T dfinie part :=

    12

    14

    14

    12

    0 12

    14

    14

    12

    On calcule les valeurs propres de la matrice T :>eigenvals(t) ;

    1,14

    , 14

    Puis les vecteurs propres :>eigenvects(t) ;

    14

    , 1, {[1 0 1]}

    , [1, 1, {[1 1 1]}] ,

    14

    , 1, {[1 4 1]}

    Ce qui nous donne la matrice de passage Pdfinie parp :=

    1 1 10 1 4

    1 1 1

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    40 Retour au pays Oz

    et la matrice diagonale associeD :>d := multiply(p (-1), t, p);

    14

    0 0

    0 1 0

    0 0 14

    On a donc : T=P D P1 do Tn =P Dn P1.

    Or, limn+

    Dn =L=

    0 0 0

    0 1 0

    0 0 0

    Dou limn+

    Tn =P L P1 :

    >multiply(p, l, p (-1)); 25

    15

    25

    25

    15

    25

    25

    15

    25

    Cette dernire matrice sinterprte en disant que dans le pays dOz, il pleut avec une probabilit de 25

    , il faitbeau avec une probabilit de 1

    5et il neige avec une probabilit de 2

    5.

    Conclusion :ce sont les habitants du pays dOz qui ont raison : il fait beau un jour sur cinq.

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    9Graphes planaires

    Ce chapitre ne figure pas dans le programme de terminale ES. Nanmoins, son aspect trs intressant mritaitde figurer dans ce document !

    9.a Dfinition

    Un grapheplanaireest un graphe qui peut tre dessin dans le plan sans que ses artes ne se coupent.

    Dfinition 1.

    Exemple 2Le graphe de la reprsentation en perspective cavalire du cube est-il planaire ?

    oui, comme on peut le voir ci-contre :

    La visualisation dun graphe planaire nest pas aise. Nous pourrions utiliser un logiciel de gomtrie dyna-mique afin de tenter de voir si un graphe est planaire.Attention cependant, si la recherche naboutit pas, cela ne voudra pas dire que, ncessairement, le graphenest pas planaire!

    9.b Thorme dEuler

    Tout dabord, quelques prcisions au niveau du vocabulaire : un graphe planaire dcoupe le plan en plusieursrgions.

    UnefaceF dun graphe est par dfinition une rgion du plan limite par des artes et qui ne contient

    ni sommet, ni arte dans son intrieur. Deux faces sont dites adjacentes si leur contour contient au moins une arte commune ; deux faces

    qui ne se touchent que par un sommet ne sont pas adjacentes.

    Ledegrdune face F, not deg(F) est gal la longueur du cycle ou de la chane ferme qui limite F.

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    42 Thorme dEuler

    Exemple 3On considre le graphe suivant :

    A

    B

    C

    D

    E

    Ce graphe comporte :

    la rgion de degr3 limite par le cycle A - C - D; la rgion de degr3 limite par le cycle B - C - D;

    la rgion de degr3 limite par le cycle A - B - D;

    la rgion de degr5 autour de la chane fermeE - C - B - A - C - E.

    Nous remarquons ainsi que toute arte limitant deux faces, ou intrieure une face, est compte deux foisdans la chane ferme. Do la proprit :

    La somme des degrs des faces F dun graphe planaire est gale deux fois le nombre dartes a :F

    deg(F) = 2a.

    Proprit 4.

    Exemple 5Dans lexemple prcdent, il y a sept artes et la somme des degrs des faces vaut3 + 3 + 3 + 5 = 14 = 2 7.

    La relation de Descartes-Euler pour les polydres convexes formule en 1752 reste valable pour des graphes

    planaires, cest dire :

    Dans un graphe G planaire connexe, soit s le nombre de sommets, a le nombre dartes et fle nombrede faces, on a la relation :

    s a + f= 2.

    Thorme 6(Relation dEuler).

    Dmonstration

    Soit n le degr de G, avec n 2.Cas o le graphe est sans cycle : le graphe ne comporte alors quune seule face, n sommets et n 1artes et on a : s a + f=n (n 1) + 1 = 2.

    Cas o le graphe contient au moins un cycle : on effectue une dmonstration par rcurrence sur lenombre dartes.

    Initialisation :sil y a une seule arte, le graphe est sans cycle et on se ramne au cas prcdent.

    Hrdit :on suppose la relation vraie pour a, cest dire s(a) a + f(a)= 2.On ajoute une arte celles dj en place. Deux cas peuvent se produire : Soit on ajoute un nouveau sommet. Il ny a donc pas de nouveau cycle, ni de nouvelle face :

    s(a+1) (a + 1) + f(a+1)= (s(a)+ 1) a 1 + (f(a)+ 0)=s(a) a + f(a)+ 1 1 + 0 = 2, daprs lhypothse de rcurrence.

    Soit larte rejoint deux sommets dj existants, cela revient ajouter une nouvelle face :s(a+1) (a + 1) + f(a+1)= (s(a)+ 0) a 1 + (f(a)+ 1)

    =s(a) a + f(a)+ 0 1 + 1 = 2 galement.Lhypothse tant encore vraie au ranga + 1, on en dduit quelle est vraie pour tout a 1.

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    Chapitre 9 : Graphes planaires 43

    9.c Critres de planarit

    Nous avons les deux critres simples suivants :

    Soit G un graphe simple planaire connexe de degr s, alors a 3s 6.Si de plus G est sans triangle, alors a 2s 4.

    Proprit 7.

    Attention, ces relations ne sont pas biunivoques et permettent seulement de montrer quun graphe nest pasplanaire, par contrapose.

    Dmonstration :

    Premire ingalit : on considre un graphe simple planaire; alors, chaque face est borde par au moinstrois artes.

    On a donc pour chaque face F : deg(F) 3 et si lon somme cette ingalit sur toutes les faces dugraphe, cela nous donne :

    F

    deg(F) 3f,

    mais daprs la proprit 4,F

    deg(F) = 2ado 3f 2a.

    En remplaant fpar 2 s + a(relation dEuler), on obtient 6 3s + 3a 2a a 3s 6.

    Seconde ingalit : si le graphe est sans triangle, toute face est de degr suprieur ou gale 4.

    On a donc pour chaque face F : deg(F) 4 et si lon somme cette ingalit sur toutes les faces dugraphe, cela nous donne :

    F

    deg(F) 4f,

    mais daprs la proprit 4,F

    deg(F) = 2ado 4f 2a.

    En remplaant fpar 2 s + a(relation dEuler), on obtient 8 4s + 4a 2a a 2s 4.

    Les graphes K3,3et K5ne sont pas planaires.

    Proprit 8.

    Dmonstration :

    Graphe K5 : cest le graphe complet s= 5 sommets.Il possde a = 10 artes, il est simple et connexe donc, sil tait planaire, il vrifierait la relation de la

    proprit 7 : a 3s 6.

    Ici, on a 3s 6 = 3 5 6 = 9 qui nest pas plus grand que a= 10.Donc, K5nest pas planaire.

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    44 Critres de planarit

    Graphe K3,3 : il possde s = 6 sommets et a= 9 artes.Or, 3s 6 = 3 6 6 = 12 qui est plus grand que a= 9.Ce critre ne nous permet donc pas de conclure.

    En revanche, ce graphe est sans triangle, on peut donc tester le second critre du thorme 7 :a 2s4.2s 4 = 2 6 4 = 8 qui nest pas plus grand que a= 9.

    Donc, K3,3nest pas planaire.

    Il est trivial que tout graphe qui contient un graphe non planaire est encore non planaire.

    La mathmaticien Polonais Kazimierz Kuratowski (1896 1980) a tabli en 1930 la caractrisation suivantedes graphes planaires :

    Un graphe G est planaire si, et seulement si, il ne contient aucun sous-graphe obtenu partir de K5etde K3,3 par subdivision des artes.

    Thorme 9(de Kuratowski).

    La subdivision des artes est le rsultat de lajout dun ou plusieurs sommets sur une ou plusieurs artes.

    Un peu dhistoire. . .Quelques annes plus tard, le mathmaticien Allemand Klaus Wagner (1910 2000) en donna une caract-risation semblable :

    Un graphe G est planaire si et seulement sil ne compte pas K5ou K3,3parmi ses mineurs.

    (Un mineur dun graphe est le rsultat de la contraction dartes fusionnant les extrmits, la suppressiondartes sans fusionner les extrmits, et la suppression de sommets et des artes adjacentes).

    La diffrence entre ces deux caractrisations est trs petite, mais Wagner fit la conjecture (dmontre en2004) que ce dernier admettrait une gnralisation que celle de Kuratowski nadmettait pas.

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    Chapitre 9 : Graphes planaires 45

    9.d Trois maisons, trois installations

    Nous pouvons donc rpondre notre activit de dcouverte :

    Un lotissement de trois maisons doit tre quip dlectricit, deau et de gaz. La rglementationinterdit de croiser les canalisations pour des raisons de scurit.

    Est-il possible deffectuer tous les raccordements?

    Exemple de dcouverte 10.

    Si lon modlise la situation par un graphe, on obtient le graphe K3,3qui nest pas planaire.

    Conclusion : il nest pas possible deffectuer tous les raccordements.

    Maison 1

    Maison 2

    Maison 3

    lectricit

    Eau

    Gaz

    En revanche, il suffirait de supprimer une seule canalisation pour que les huit raccordements restants soientpossibles.

    Les graphes planaires ont galement t utiliss pour concevoir les tout premiers circuits imprims tran-sistors : en effet, quand le graphe du circuit tait planaire, on vitait alors de devoir recourir au procdbicouche ou des straps fragiles pour schapper du plan du circuit imprim.

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    46 Trois maisons, trois installations