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  • Les graphes 2-intervallaires

    Philippe GambetteENS Cachan

    Stage de Master MPRI

    Sous la direction de Michel HabibLIAFA, Paris VII

    Printemps-t 2006

    Rsum :Les graphes 2-intervallaires, gnralisation des classiques graphes dintervalles, ont rcemment faitlobjet de lattention des bioinformaticiens, pour ltude et la comparaison de structures secondairesde lARN.Nous synthtisons tout dabord les connaissances sur cette classe de graphes, puis les maniresdutiliser la thorie des graphes afin de rsoudre le problme de recherche de plus long motif de2-intervalles respectant certaines contraintes, en amliorant au passage la complexit de quelquesalgorithmes. Nous prouvons de plus linclusion stricte de la classe des graphes 2-intervallaires qui-librs dans celle des graphes 2-intervallaires. Enfin, nous tudions un autre objet, restriction desensembles de 2-intervalles, et qui a aussi bnfici dune attention rcente de la part des bioinforma-ticiens, les squences arc-annotes, afin de prsenter un algorithme de gnration exhaustive et desformules de dnombrement.

    Mots-cls : thorie des graphes, bioinformatique, ordonnancement, 2-intervalles, squences arc-annotes, recherche de motifs, stable maximum.

    LIAFA Universit Paris VII

  • 2

  • Table des matires

    1 Introduction 7

    2 Graphes 2-intervallaires 92.1 Dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

    2.1.1 Dfinition des 2-intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Relations entre 2-intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.3 Dfinition des graphes 2-intervallaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

    2.2 Motivations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.1 2-intervalles et ordonnancement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2.2 2-intervalles et ADN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.3 2-intervalles et ARN . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2.4 2-intervalles et analyse musicale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13

    2.3 2-intervallaires et classes apparentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.1 Une sous-classe connue, les graphes dintervalles . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.2 Les graphes R-2-intervallaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3.3 Eclatement de squences arc-annotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.3.4 Classe des 2-intervallaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.5 Classe des {_, @}-(1,1)-intervallaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.6 Classe des {G}-(1,1)-intervallaires et des {_, G}-(1,1)-intervallaires . . . . . 212.3.7 Classe des {_, G}-2-intervallaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.8 Classe des {G}-2-intervallaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.3.9 Classe des {_,

  • 4 TABLE DES MATIRES

    4 2-intervalles quilibrs 314.1 Inclusion stricte de la classe des graphes 2-intervallaires quilibrs . . . . . . . . . . 31

    4.1.1 Etape 1 : huit 2-intervalles pour simuler un intervalle . . . . . . . . . . . . . 314.1.2 Etape 2 : huit 2-intervalles pour contraindre lordre de placement de 7 inter-

    valles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 334.1.3 Etape 3 : 7 intervalles dans un ordre contraint pour empcher lquilibrage

    de trois 2-intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 344.2 Bilan sur les inclusions de classes 2-intervallaires quilibres . . . . . . . . . . . . . 36

    5 Annexe : thorie des graphes 375.1 Quelques dfinitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    5.1.1 Des dfinitions de base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1.2 Des classes de graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.1.3 Des transformations de graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    5.2 Quelques problmes sur les graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.1 Couverture de sommets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.2 Ensemble indpendant . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.2.3 Clique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.4 Coloration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.5 Domination . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.6 Couplage maximum . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 415.2.7 Coupe maximale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.8 Cycle hamiltonien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.9 Cycle eulrien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 425.2.10 Dnombrement . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

    6 Annexe : dnombrement des squences arc-annotes 436.1 Majoration du nombre de squences arc-annotes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.2 Gnration . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 436.3 Dnombrement nombre fix darcs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 446.4 Dnombrement nombre fix dextrmits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

    7 Conclusion 497.1 Remerciements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    Index 50

    Bibliographie 53

  • Table des figures

    2.1 Diverses restrictions sur le support dun ensemble de 2-intervalles . . . . . . . . . . 102.2 Positions possibles de 2-intervalles disjoints . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.3 Rcapitulatif des 4 types de positions possibles pour deux 2-intervalles . . . . . . . . 102.4 Graphe de 2-unions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.5 ARN et 2-intervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.6 Reprsentation cyclique de lchelle chromatique et relations dinversion et de trans-

    position . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.7 Classes de graphes R-. . .-intervallaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.8 Nombre de graphes non tiquets et de squences arc-annotes aux arcs non tiquets 162.9 Eclatement dune extrmit partage dans une squence arc-annote . . . . . . . . . 172.10 Un graphe biparti complet et sa ralisation {_, @}-(1,1)-intervallaire . . . . . . . . 192.11 Des cycles et leur ralisation {_, @}-(1,1)-intervallaire . . . . . . . . . . . . . . . . 192.12 Contrexemple de graphe non-{_, @}-(1,1)-intervallaire . . . . . . . . . . . . . . . 192.13 Squence de gnration et de filtrage de squences arc-annotes pour un contrexemple

    de graphe non-{_, @}-(1,1)-intervallaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.14 Graphes de chevauchement et (1,1)-intervalles entrelacs . . . . . . . . . . . . . . . 212.15 2-intervalles entrelacs et trapzodes circulaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.16 Trapzes et 2-intervalles embots . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.17 Graphes de permutation et (1,1)-intervalles embots . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

    3.1 Complexit des diverses variantes du problme 2-IP . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.2 Illustration de la rduction de 3-SAT MAXIMUMINDEPENDENTSET sur les graphes

    de 2-unions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 263.3 Divers graphes triplet astrode et leur reprsentation {_, @}-(1,1)-intervallaire . . 273.4 Dcomposition dun ensemble de 2-intervalles se prcdant ou entrelacs . . . . . . 283.5 Contrexemple lutilisation de la programmation dynamique . . . . . . . . . . . . . 293.6 (1,1)-intervalles sans relation de prcdence et cliques des intervalles couvrants . . . 29

    4.1 Structure cl du contrexemple de graphe 2-intervallaire non quilibr . . . . . . . . . 314.2 Graphe 2-intervallaire regroupant huit 2-intervalles pour simuler un intervalle . . . . 324.3 Parcous eulriens et ordres possibles des intervalles dans une ralisation 2-intervallaire 344.4 Graphe 2-intervallaire avec contrainte sur lordre des intervalles dans sa ralisation . 354.5 Contrexemple de graphe 2-intervallaire non quilibr . . . . . . . . . . . . . . . . . 364.6 Contrexemple de graphes 2-intervallaires quilibr mais non unitaire dune part, uni-

    taire mais non (1,1)-intervallaire dautre part . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

    5.1 Clique, stable, chemin, cycle, et biparti complet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 375.2 Permutation et graphe de permutation associ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 385.3 Graphe de cordes et chevauchement dintervalles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.4 Graphes contenant un triplet astrode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 395.5 Hirarchies de quelques classes de graphes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

    5

  • 6 TABLE DES FIGURES

    5.6 Couverture de sommets dun graphe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 405.7 Ensemble indpendant et couverture de sommets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

    6.1 Recollements dans une squence arc-annote arcs disjoints . . . . . . . . . . . . . 446.2 Gnration rcursive, selon le nombre darcs, des squences arc-annotes . . . . . . 446.3 Gnration rcursive, selon le nombre dextrmits, des squences arc-annotes . . . 466.4 Le code Mathematica de calcul de AA(n) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 466.5 Les vingt premiers termes de AA(n). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

  • Chapitre 1

    Introduction

    De nombreux problmes