21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet1 Cours de graphes Quelques graphes particuliers.

21 mars 2007 Cours de graphes 8 - Intranet 1

Cours de graphesCours de graphes

Quelques graphes particuliers.Quelques graphes particuliers.


Les grandes lignes du coursLes grandes lignes du cours

•Définitions de baseDéfinitions de base•ConnexitéConnexité•Les plus courts cheminsLes plus courts chemins•Dijkstra et Bellmann-FordDijkstra et Bellmann-Ford•Arbres, Arbres, graphes particuliersgraphes particuliers •Arbres de recouvrement minimaux Arbres de recouvrement minimaux •Problèmes de flotsProblèmes de flots•Coloriage de graphes, graphes Coloriage de graphes, graphes planairesplanaires•CouplageCouplage•Chemins d’Euler et de HamiltonChemins d’Euler et de Hamilton•Problèmes NP-completsProblèmes NP-complets


Critères sur les graphesCritères sur les graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Nous allons étudier quelques graphes particuliers Nous allons étudier quelques graphes particuliers qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs qui sont utilisés surtout dans les ordinateurs parallèles.parallèles.




• Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :grandes catégories :

– Les ordinateurs à mémoire partagée !Les ordinateurs à mémoire partagée !




• Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :grandes catégories :


MMEEMMOOIIRREE

PROCPROC

PROCPROC

PROCPROC

RREESSEEAAUU




• Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles Nous pouvons classer les ordinateurs parallèles deux grandes catégories :deux grandes catégories :


– Les ordinateurs à mémoires distribuées !Les ordinateurs à mémoires distribuées !







PROCPROC

PROCPROC

RREESSEEAAUU

MEMOIREMEMOIRE

MEMOIREMEMOIRE



• Il y a plusieurs modes d’acheminement des données Il y a plusieurs modes d’acheminement des données !!

• Dans le mode « store and forward » le message fait Dans le mode « store and forward » le message fait escale dans les nœuds intermédiaires !escale dans les nœuds intermédiaires !





PROCPROC

MEMOIREMEMOIRE

PROCPROC

MEMOIREMEMOIRE

PROCPROC

MEMOIREMEMOIRE





PROCPROC

MEMOIREMEMOIRE

PROCPROC

MEMOIREMEMOIRE

PROCPROC

MEMOIREMEMOIRE

Un premier saut . . .Un premier saut . . .





PROCPROC

MEMOIREMEMOIRE

PROCPROC

MEMOIREMEMOIRE

PROCPROC

MEMOIREMEMOIRE

Un premier saut . . .Un premier saut . . . suivi d’un second !suivi d’un second !





• Dans le mode « circuit switched » nous établissons Dans le mode « circuit switched » nous établissons un chemin direct par concaténation de liens un chemin direct par concaténation de liens individuels !individuels !






PROCPROC

MEMOIREMEMOIRE

PROCPROC

MEMOIREMEMOIRE

PROCPROC

MEMOIREMEMOIRE



• Plusieurs critères sont importants pour le choix du Plusieurs critères sont importants pour le choix du réseau d’interconnexion !réseau d’interconnexion !

• Des critères au niveau d’un nœud !Des critères au niveau d’un nœud !





• Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !Des critères physiques sur l’ensemble du réseau !






• Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !Des critères logiques sur l’ensemble du réseau !





– Le degré des nœuds – le nombre de voisins !Le degré des nœuds – le nombre de voisins !

– La régularité du degré – tout le monde a le même La régularité du degré – tout le monde a le même nombre de voisins !nombre de voisins !








– Le diamètre du graphe !Le diamètre du graphe !

– La valeur de bissection qui donne le plus petit La valeur de bissection qui donne le plus petit nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à l’autre !l’autre !







– Le diamètre du graphe !Le diamètre du graphe !

– La valeur de bissection qui donne le plus petit La valeur de bissection qui donne le plus petit nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à nombre de liens qui relie une moitié des nœuds à l’autre !l’autre !


La bissectionLa bissectionvaut 3 ici !vaut 3 ici !







– Est-ce que la structure du graphe est régulière ?Est-ce que la structure du graphe est régulière ?

– Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans le graphe (cycle de Hamilton) ?le graphe (cycle de Hamilton) ?

– Combien y a-t-il de plus courts chemins disjoints ?Combien y a-t-il de plus courts chemins disjoints ?







– Est-ce que la structure du graphe est régulière ?Est-ce que la structure du graphe est régulière ?

• Un anneau (cycle) est régulier !Un anneau (cycle) est régulier !

• Un graphe en « ligne » ne l’est pas à cause des Un graphe en « ligne » ne l’est pas à cause des extrémités !extrémités !







– Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans Est-ce que nous pouvons plonger un anneau dans le graphe (cycle de Hamilton) ?le graphe (cycle de Hamilton) ?

Ce grapheCe graphe contient un anneaucontient un anneau







– Combien y a-t-il de plus courts chemins Combien y a-t-il de plus courts chemins disjoints ?disjoints ?

Ce grapheCe graphe contient deux pluscontient deux pluscourts chemins :courts chemins :



• Le graphe idéal vérifie, Le graphe idéal vérifie, entre autresentre autres : :

– Le degré de chaque sommet est moyen !Le degré de chaque sommet est moyen !

– Le graphe est de degré régulier !Le graphe est de degré régulier !

– Le diamètre est petit !Le diamètre est petit !

– La bissection est grande !La bissection est grande !

– La structure du graphe est régulière !La structure du graphe est régulière !

– Il comporte l’anneau et d’autres graphes usuels Il comporte l’anneau et d’autres graphes usuels comme sous-graphes !comme sous-graphes !

– Il offre plusieurs plus courts chemins arêtes-Il offre plusieurs plus courts chemins arêtes-disjoints !disjoints !


Numérotation des nœudsNumérotation des nœuds----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Comment devons-nous numéroter les sommets pour Comment devons-nous numéroter les sommets pour que le « routage » puisse être déduit à partir des que le « routage » puisse être déduit à partir des numéros des points de départ et d’arrivée ?numéros des points de départ et d’arrivée ?




• On appelle « router » le fait de trouver un des plus On appelle « router » le fait de trouver un des plus courts chemins entre l’expéditeur et le destinataire.courts chemins entre l’expéditeur et le destinataire.





• Les numéros de l ’expéditeur et du destinataire Les numéros de l ’expéditeur et du destinataire doivent permettre de déduire facilement la doivent permettre de déduire facilement la première arête du plus court chemin !première arête du plus court chemin !





• Les numéros de l ’expéditeur et du destinataire Les numéros de l ’expéditeur et du destinataire doivent permettre de déduire facilement la doivent permettre de déduire facilement la première arête du plus court chemin !première arête du plus court chemin !

• Ensuite, nous itérons le même algorithme à partir Ensuite, nous itérons le même algorithme à partir du second sommet, etc.du second sommet, etc.


Le graphe en ligneLe graphe en ligne----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L EL E

G R A P H EG R A P H E

E N L I G N EE N L I G N E



. . .. . .



. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1

• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.ou plus grand.



. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1


• Caractéristiques du graphe :Caractéristiques du graphe :

– Graphe de degré non régulier, de structure Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !irrégulière !



. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1




– Diamètre n–1 et bissection 1 pour n nœuds !Diamètre n–1 et bissection 1 pour n nœuds !



. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1





– Nous ne pouvons pas plonger d’anneau, il n’y a Nous ne pouvons pas plonger d’anneau, il n’y a pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !



. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1

• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.que le destinataire a un numéro plus petit ou plus grand.


– Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !!


– Nous ne pouvons pas plonger d’anneau, il n’y a pas de Nous ne pouvons pas plonger d’anneau, il n’y a pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !plus courts chemins alternatifs, . . . !

• C’est très mauvais, mis à part le fait que le degré du C’est très mauvais, mis à part le fait que le degré du graphe soit limité à 2 !graphe soit limité à 2 !


Le graphe en anneauLe graphe en anneau----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L EL E


E N A N N E A UE N A N N E A U



. . .. . .



. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1

• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ). des modulos ).



. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1



– Graphe de degré régulier, de structure régulière !Graphe de degré régulier, de structure régulière !



. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1




– Diamètre n/2 et bissection 2 pour n nœuds !Diamètre n/2 et bissection 2 pour n nœuds !



. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1





– Nous pouvons y plonger un anneau, mais il n’y a Nous pouvons y plonger un anneau, mais il n’y a pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !



. . .. . .00 11 n–2n–2 n–1n–1

• Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant Routage : Nous envoyons à gauche ou à droite suivant que le plus court des chemins ( différence des modulos ). que le plus court des chemins ( différence des modulos ).




– Nous pouvons y plonger un anneau, mais il n’y a pas Nous pouvons y plonger un anneau, mais il n’y a pas de plus courts chemins alternatifs, . . . !de plus courts chemins alternatifs, . . . !

• Cela reste assez mauvais, mis à part la régularité, le Cela reste assez mauvais, mis à part la régularité, le degré limité du graphe et l’utilité de la notion d’anneau !degré limité du graphe et l’utilité de la notion d’anneau !


Le produit de graphesLe produit de graphes----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L EL E

P R O D U I TP R O D U I T

D E G R A P H E SD E G R A P H E S



• Soient deux graphes G et G’ ! Soient deux graphes G et G’ !



• Soient deux graphes G et G’ !Soient deux graphes G et G’ !

• Nous appelons produit de ces deux graphes le Nous appelons produit de ces deux graphes le graphe :graphe :

– qui est composé de sommets numérotés ( i , j ) qui est composé de sommets numérotés ( i , j ) avec i issu de la numérotation de G et j de avec i issu de la numérotation de G et j de celle de G’ ,celle de G’ ,



• Soient deux graphes G et G’ !Soient deux graphes G et G’ !

• Nous appelons produit de ces deux graphes le graphe :Nous appelons produit de ces deux graphes le graphe :

– qui est composé de sommets numérotés ( i , j ) avec qui est composé de sommets numérotés ( i , j ) avec i issu de la numérotation de G et j de celle de G’ ,i issu de la numérotation de G et j de celle de G’ ,

– qui comporte une arête entre ( i , j ) et ( k , l ) ssi :qui comporte une arête entre ( i , j ) et ( k , l ) ssi :

• i = k et ( j , l ) est une arête de G’ ,i = k et ( j , l ) est une arête de G’ ,

• j = l et ( i , k ) est une arête de G .j = l et ( i , k ) est une arête de G .



. . .. . .



. . .. . .

. . .. . .

EnEnconstruction !construction !



. . .. . .

. . .. . .

. . .. . .

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. . .. . .

LeLevoilà !voilà !



. . .. . .



. . .. . .

. . .. . .

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. . .. . .

. . .. . .

EnEnconstruction !construction !



. . .. . .

. . .. . .

. . .. . .

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. . .. . .

. . .. . .

LeLevoilà !voilà !


La grille 2 - DLa grille 2 - D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L AL A

G R I L L E 2 - DG R I L L E 2 - D


• C’est le produit de deux graphes en ligne de n et C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !m éléments respectivement !






– Diamètre n+m et bissection min ( n , m ) pour Diamètre n+m et bissection min ( n , m ) pour n*m nœuds !n*m nœuds !



• C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m C’est le produit de deux graphes en ligne de n et m éléments respectivement !éléments respectivement !


– Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !Graphe de degré non régulier, de structure irrégulière !

– Diamètre n+m et bissection min ( n , m ) pour n*m Diamètre n+m et bissection min ( n , m ) pour n*m nœuds !nœuds !

– Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus courts chemins alternatifs, . . . !plus courts chemins alternatifs, . . . !




• Routage :Routage :

– Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) !Les sommets sont indexés par un couple ( i , j ) !






– Nous routons d’abord sur Nous routons d’abord sur l’un des axes,l’un des axes, ensuite ensuite l’autre.l’autre.






– Nous routons d’abord sur Nous routons d’abord sur l’un des axes,l’un des axes, ensuite ensuite l’autre.l’autre.

– Cela s’appelle une « distance de Manhattan » !Cela s’appelle une « distance de Manhattan » !






– Nous routons d’abord sur Nous routons d’abord sur l’un des axes,l’un des axes, ensuite l’autre.ensuite l’autre.


– Il y deux plus courts chemins arêtes-disjoints !Il y deux plus courts chemins arêtes-disjoints !



Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L EL E

T O R E 2 - DT O R E 2 - D


• C’est le produit de deux graphes en anneau de n et C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement ! m éléments respectivement !

Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

. . .. . . . . .. . .



Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

. . .. . . . . .. . .C’est une grille avec lesC’est une grille avec lesliens de rebouclage ! ! !liens de rebouclage ! ! !





Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------






– Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection 2 * min ( n , Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection 2 * min ( n , m ) pour n*m nœuds !m ) pour n*m nœuds !

Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



• C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement !éléments respectivement !



– Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection 2 * min ( n , m ) pour Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection 2 * min ( n , m ) pour n*m nœuds !n*m nœuds !

– Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour la grille mais incluant les modulos !la grille mais incluant les modulos !

Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



• C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m C’est le produit de deux graphes en anneau de n et m éléments respectivement !éléments respectivement !



– Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection min ( n , m ) / 2 pour Diamètre ( n+m ) / 2 et bissection min ( n , m ) / 2 pour n*m nœuds !n*m nœuds !

– Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a deux plus courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour la grille mais incluant les modulos !la grille mais incluant les modulos !

Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

. . .. . . . . .. . .



• Dans l’espace :Dans l’espace :

Le tore 2–DLe tore 2–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

. . .. . . . . .. . .



L AL A

G R I L L E 3 - DG R I L L E 3 - D


• C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l éléments respectivement !et l éléments respectivement !





En construction . . .En construction . . .




Le voilà !Le voilà !. . .. . .

. . .. . .






. . .. . .

. . .. . .





– Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m , l ) Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m , l ) si n = min ( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !si n = min ( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !


. . .. . .

. . .. . .

La bissection est un plan deLa bissection est un plan desection qui coupe le moins de liens.section qui coupe le moins de liens.


• C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l C’est le produit de trois graphes en ligne de n , m et l éléments respectivement !éléments respectivement !



– Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m , l ) si n = Diamètre n+m+l et bissection n * min ( m , l ) si n = min ( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !min ( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !

– Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois plus courts chemins alternatifs, . . . !plus courts chemins alternatifs, . . . !


. . .. . .

. . .. . .


Le tore 3–DLe tore 3–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L EL E

T O R E 3 - DT O R E 3 - D


• C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m et l éléments respectivement ! et l éléments respectivement !

Le tore 3–DLe tore 3–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------



Le tore 3–DLe tore 3–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C’est une grille avec lesC’est une grille avec lesliens de rebouclage ! ! !liens de rebouclage ! ! !

. . .. . .

. . .. . .





Le tore 3–DLe tore 3–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


. . .. . .

. . .. . .





– Diamètre ( n+m+l ) / 2 et bissection 2 * n * Diamètre ( n+m+l ) / 2 et bissection 2 * n * min( m , l ) si n = min( n , m , l ) pour n*m*l min( m , l ) si n = min( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !nœuds !

Le tore 3–DLe tore 3–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


. . .. . .

. . .. . .


• C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m et l C’est le produit de trois graphes en anneau de n , m et l éléments respectivement !éléments respectivement !



– Diamètre ( n+m+l ) / 2 et bissection 2 * n * min( m , l ) si Diamètre ( n+m+l ) / 2 et bissection 2 * n * min( m , l ) si n = min( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !n = min( n , m , l ) pour n*m*l nœuds !

– Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois plus Nous pouvons parfois y plonger anneau et il y a trois plus courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour courts chemins alternatifs, avec un routage comme pour la grille mais incluant les modulos !la grille mais incluant les modulos !

Le tore 3–DLe tore 3–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


. . .. . .

. . .. . .



• Dans l’espace :Dans l’espace :

Le tore 3–DLe tore 3–D----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

. . .. . .

. . .. . .


L’hypercubeL’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L EL E


H Y P E R C U B EH Y P E R C U B E



• Nous pouvons construire des tores de toutes Nous pouvons construire des tores de toutes dimensions :dimensions :

( k , k , . . . , k )( k , k , . . . , k )11 22 nn




( k , k , . . . , k )( k , k , . . . , k )

• Nous obtenons un « hypercube » lorsque tous les Nous obtenons un « hypercube » lorsque tous les anneaux comportent deux nœuds :anneaux comportent deux nœuds :

( 2 , 2 , . . . , 2 )( 2 , 2 , . . . , 2 )

11 22 nn




( k , k , . . . , k )( k , k , . . . , k )

• Nous obtenons un « hypercube » lorsque tous les Nous obtenons un « hypercube » lorsque tous les anneaux comportent deux nœuds :anneaux comportent deux nœuds :

( 2 , 2 , . . . , 2 )( 2 , 2 , . . . , 2 )

• Deux nœuds « en ligne » et deux nœuds « en Deux nœuds « en ligne » et deux nœuds « en anneau » ont le même voisinage :anneau » ont le même voisinage :

11 22 nn



L’hypercube deL’hypercube dedimension 0 ! ! !dimension 0 ! ! !





Nous relionsNous relionsdeux hypercubesdeux hypercubesde dimension 0 !de dimension 0 !



Dimension 4 – en construction !Dimension 4 – en construction !



Dimension 4 – le voilà !Dimension 4 – le voilà !



L E S P R O P R I E T E L E S P R O P R I E T E SS

D ED E

L ’ H Y P E R C U B EL ’ H Y P E R C U B E



• Un hypercube de dimension n :Un hypercube de dimension n :

– comporte 2 nœuds,comporte 2 nœuds,nn




– comporte 2 nœuds,comporte 2 nœuds,

– est régulier en structure et en degré qui vaut n ,est régulier en structure et en degré qui vaut n ,

nn






– a un diamètre n et une bissection de 2 ,a un diamètre n et une bissection de 2 ,

nn

n–1n–1







– permet d’y plonger un anneau,permet d’y plonger un anneau,

nn

n–1n–1








– possède un routage simple et intuitif,possède un routage simple et intuitif,

nn

n–1n–1









– possède n plus courts chemins arêtes-disjoints.possède n plus courts chemins arêtes-disjoints.

nn

n–1n–1



• A ce moment, nous avons pour n nœuds :A ce moment, nous avons pour n nœuds :

– une dimension en log ( n ) ,une dimension en log ( n ) ,

– un degré en log ( n ) ,un degré en log ( n ) ,

– un diamètre en log ( n ) ,un diamètre en log ( n ) ,

– log ( n ) plus courts chemins arêtes-disjoints,log ( n ) plus courts chemins arêtes-disjoints,

– une bissection de n / 2 !une bissection de n / 2 !


La numérotation dans l’hypercubeLa numérotation dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L A N U M E R O T A T I O L A N U M E R O T A T I O NN

D A N SD A N S

L ’ H Y P E R C U B EL ’ H Y P E R C U B E



• La numérotation adéquate de l’hypercube est La numérotation adéquate de l’hypercube est essentielle à son fonctionnement.essentielle à son fonctionnement.




• Elle est basée sur une écriture des nombres en base Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2 .2 .




• Elle est basée sur une écriture des nombres en base Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2 .2 .

• Pour construire un hypercube numéroté de Pour construire un hypercube numéroté de dimension n :dimension n :

– nous partons de deux hypercubes numérotés de nous partons de deux hypercubes numérotés de dimension n–1 ,dimension n–1 ,



• La numérotation adéquate de l’hypercube est essentielle à La numérotation adéquate de l’hypercube est essentielle à son fonctionnement.son fonctionnement.

• Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2 .Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2 .

• Pour construire un hypercube numéroté de dimension n :Pour construire un hypercube numéroté de dimension n :

– nous partons de deux hypercubes numérotés de nous partons de deux hypercubes numérotés de dimension n–1 ,dimension n–1 ,

– pour l’un des cubes nous préfixons les nœuds d’un 0 ,pour l’un des cubes nous préfixons les nœuds d’un 0 ,

– pour l’autre cube, nous préfixons les nœuds d’un 1 ,pour l’autre cube, nous préfixons les nœuds d’un 1 ,



• La numérotation adéquate de l’hypercube est essentielle à son La numérotation adéquate de l’hypercube est essentielle à son fonctionnement.fonctionnement.

• Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2 .Elle est basée sur une écriture des nombres en base 2 .

• Pour construire un hypercube numéroté de dimension n :Pour construire un hypercube numéroté de dimension n :

– nous partons de deux hypercubes numérotés de dimension nous partons de deux hypercubes numérotés de dimension n–1 ,n–1 ,

– pour l’un des cubes nous préfixons les nœuds d’un 0 ,pour l’un des cubes nous préfixons les nœuds d’un 0 ,

– pour l’autre cube, nous préfixons les nœuds d’un 1 ,pour l’autre cube, nous préfixons les nœuds d’un 1 ,

– nous relions les nœuds qui ne diffèrent que dans leur chiffre nous relions les nœuds qui ne diffèrent que dans leur chiffre de poids fort ( dimension n ) !de poids fort ( dimension n ) !



00 11



00 11

00 11

00 11 Deux hypercubesDeux hypercubeset leur numérotation !et leur numérotation !



00 11

00 0 0 00 1 1

11 0 0 11 1 1 Deux hypercubesDeux hypercubeset leur numérotation !et leur numérotation !

Nous préfixonsNous préfixonsd’un 0 ou d’un 1 !d’un 0 ou d’un 1 !



00 11

00 0 0 00 1 1



Nous relions les nœudsNous relions les nœudsqui diffèrent enqui diffèrent en

dimension 1 seulement !dimension 1 seulement !



00 0 0 00 1 1




dimension 1 seulement !dimension 1 seulement !00 11

22 33

00 11

En décimal !En décimal !



Deux hypercubesDeux hypercubeset leur numérotation !et leur numérotation !

0 00 0 0 10 1

1 01 0 1 11 10 00 0 0 10 1

1 01 0 1 11 1



0 0 0 00 0 0 0 0 10 1

0 0 1 01 0 0 0 1 11 11 1 0 00 0 11 0 1 0 1

1 1 1 01 0 1 1 1 11 1





0 0 0 00 0 0 0 0 10 1

0 0 1 01 0 0 0 1 11 11 1 0 00 0 11 0 1 0 1

1 1 1 01 0 1 1 1 11 1





00

En décimal !En décimal !

11

22 33

44 55

66 77



0 0 0 00 0 0 0 0 10 1

0 0 1 01 0 0 0 1 11 11 1 0 00 0 11 0 1 0 1

1 1 1 01 0 1 1 1 11 1Les liens deLes liens dedimension 3 !dimension 3 !

dim 3dim 3

Leurs écritures décimales diffèrent de 4 .Leurs écritures décimales diffèrent de 4 .



0 0 00 0 0 0 0 00 1 1

0 0 11 0 0 0 0 11 1 11 1 00 0 0 1 1 00 1 1


dim 2dim 2

dim 3dim 3

Leurs écritures décimales diffèrent de 2 .Leurs écritures décimales diffèrent de 2 .



0 0 0 0 00 0 0 0 0 11

0 1 0 1 00 0 1 0 1 111 0 1 0 00 1 0 1 0 11


dim 2dim 2

dim 3dim 3

Leurs écritures décimales diffèrent de 1 .Leurs écritures décimales diffèrent de 1 .dim 1dim 1


L’anneau comme sous-grapheL’anneau comme sous-graphe----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L ’ A N N E A UL ’ A N N E A U

C O M M EC O M M E

S O U S – G R A P H ES O U S – G R A P H E



• Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.Nous pouvons plonger un anneau dans un hypercube.




• Les nœuds voisins dans l’hypercube ne diffèrent que Les nœuds voisins dans l’hypercube ne diffèrent que dans une position binaire.dans une position binaire.





• Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en changeant un seul bit à la fois.en changeant un seul bit à la fois.





• Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en changeant un seul bit à la fois.en changeant un seul bit à la fois.

• C’est le code de Gray :C’est le code de Gray :

– Le code de Gray de base est constitué de 0 suivi Le code de Gray de base est constitué de 0 suivi de 1 .de 1 .




• Les nœuds voisins dans l’hypercube ne diffèrent que dans Les nœuds voisins dans l’hypercube ne diffèrent que dans une position binaire.une position binaire.

• Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en Nous devons donc énumérer les nombres 0 à n–1 en changeant un seul bit à la fois.changeant un seul bit à la fois.

• C’est le code de Gray :C’est le code de Gray :

– Le code de Gray de base est constitué de 0 suivi de 1 .Le code de Gray de base est constitué de 0 suivi de 1 .

– Pour obtenir le code de Gray de longueur 2*n , il faut :Pour obtenir le code de Gray de longueur 2*n , il faut :

– le code de Gray de longueur n préfixé de 0 ,le code de Gray de longueur n préfixé de 0 ,

– le code de Gray de longueur n pris dans l’ordre inverse et le code de Gray de longueur n pris dans l’ordre inverse et préfixé de 1 .préfixé de 1 .



0011



0011

00 0 000 1 111 1 111 0 0

0 00 0 0 10 1

1 01 0 1 11 1



0011

00 0 000 1 111 1 111 0 0

0 0 0 00 000 0 10 100 1 11 100 1 01 01 1 1 01 011 1 11 111 0 10 111 0 00 0

0 00 0 0 10 1

1 01 0 1 11 1

0 0 00 0 0 0 0 10 0 1

0 1 00 1 0 0 1 10 1 11 0 01 0 0 1 0 11 0 1

1 1 01 1 0 1 1 11 1 1


Les chemins arêtes-disjointsLes chemins arêtes-disjoints----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L E SL E S

C H E M I N SC H E M I N S

A R E T E S - D I S J O I N T A R E T E S - D I S J O I N T SS



Il y a n plus courtsIl y a n plus courtschemins arêtes-jointschemins arêtes-joints

pour aller vers un autrepour aller vers un autrenœud à distance n !nœud à distance n !

Distance 1 Distance 1


La diffusion dans l’hypercubeLa diffusion dans l’hypercube----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

C O M M E N TC O M M E N T

D I F F U S E RD I F F U S E R

E F F I C A C E M E N E F F I C A C E M E N T ? ?T ? ?



• La diffusion d’information est une opération La diffusion d’information est une opération fréquente lors de calculs parallèles.fréquente lors de calculs parallèles.




• L’hypercube permet de faire des diffusions très L’hypercube permet de faire des diffusions très efficaces. efficaces.





• Nous diffusons le long des différentes dimensions et Nous diffusons le long des différentes dimensions et doublons à chaque étape le nombre de nœuds doublons à chaque étape le nombre de nœuds informés !informés !






Au début unAu début unseul nœudseul nœudconnaît laconnaît lavaleur v !valeur v !

vv






Après diffusionAprès diffusionen dimension 1en dimension 1

ils sont 2 àils sont 2 àconnaître v !connaître v !

vv vv







ils sont 4 àils sont 4 àconnaître v !connaître v !

vv vv

vv vv







tous connaissenttous connaissentla valeur v !la valeur v !

vv vv

vv vv

vv vv

vv vv







tous connaissenttous connaissentla valeur v !la valeur v !

vv

Pour nPour nnœuds lenœuds letemps esttemps esten log ( n ) .en log ( n ) .

vv

vv vv

vv vv

vv vv



• De la même manière, nous pouvons calculer la De la même manière, nous pouvons calculer la somme de valeurs détenues par le différents nœuds somme de valeurs détenues par le différents nœuds de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.de façon à ce que chaque nœud connaisse la somme.




• Nous échangeons et sommons en parallèle le long Nous échangeons et sommons en parallèle le long des différentes dimensions !des différentes dimensions !

55 77

33 66

88 22

11 44

Au début chaqueAu début chaquenœud possèdenœud possède

une valeur !une valeur !





1212 1212

99 99

1010 1010

55 55

Après échangeAprès échangeet sommationet sommation

en dimension 1 !en dimension 1 !





2121 2121

2121 2121

1515 1515

1515 1515







3636 3636

3636 3636

3636 3636

3636 3636




Le graphe de De BruijnLe graphe de De Bruijn----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

L EL E

G R A P H E D EG R A P H E D E

D E B R U I J ND E B R U I J N



• Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.Il a été proposé par De Bruijn et Good en 1946.




• Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b .en base b .

( x , . . . , x ) avec x ( x , . . . , x ) avec x { 0 , . . . , { 0 , . . . , b–1 } b–1 }

11 dd ii






• Le graphe DB ( b , d ) a les caractéristiques Le graphe DB ( b , d ) a les caractéristiques suivantes :suivantes :

– Il possède b nœuds.Il possède b nœuds.

11 dd ii

dd






• Le graphe DB ( b , d ) a les caractéristiques suivantes Le graphe DB ( b , d ) a les caractéristiques suivantes ::


– Son diamètre vaut d .Son diamètre vaut d .

11 dd ii

dd




• Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base Les numéros des sommets sont des d-uplets écrits en base b . b .

( x , . . . , x ) avec x ( x , . . . , x ) avec x { 0 , . . . , b–1 } { 0 , . . . , b–1 }

• Le graphe DB ( b , d ) a les caractéristiques suivantes :Le graphe DB ( b , d ) a les caractéristiques suivantes :


– Son diamètre vaut d .Son diamètre vaut d .

– Chaque sommet est de degré 2 * b avec b arcs Chaque sommet est de degré 2 * b avec b arcs entrants et b arcs sortants.entrants et b arcs sortants.

11 dd ii

dd



• Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en Il peut comporter un grand nombre de nœuds tout en conservant des degrés et diamètres raisonnables.conservant des degrés et diamètres raisonnables.




• Soit l’hypercube de dimension 12 qui possède 4096 Soit l’hypercube de dimension 12 qui possède 4096 nœuds de degré 12 ! nœuds de degré 12 !





• Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le Le graphe de De Bruijn ayant le même degré et le même diamètre est :même diamètre est : DB ( 6 , 12 )DB ( 6 , 12 )






DB ( 4 , 10 ) est unDB ( 4 , 10 ) est ungraphe de degré 8graphe de degré 8et de diamètre 10 !et de diamètre 10 !

Le nombre de nœudsLe nombre de nœudsest 4^10 = 2^20 =est 4^10 = 2^20 =1 048 5761 048 576



• Les b arcs sortants du nœudLes b arcs sortants du nœud

( x , x , . . . , x )( x , x , . . . , x )

vont vers les nœudsvont vers les nœuds

( x , . . . , x , y ) avec y ( x , . . . , x , y ) avec y { 0 , . . . , b–1 }{ 0 , . . . , b–1 }

11

22

dd22

dd




( x , x , . . . , x )( x , x , . . . , x )


( x , . . . , x , y ) avec y ( x , . . . , x , y ) avec y { 0 , . . . , b–1 }{ 0 , . . . , b–1 }

11

22

dd22

dd




( x , x , . . . , x )( x , x , . . . , x )


( x , . . . , x , y ) avec y ( x , . . . , x , y ) avec y { 0 , . . . , b–1 } { 0 , . . . , b–1 }

• Et donc, les b arcs entrants du nœudEt donc, les b arcs entrants du nœud

( x , . . . , x , x )( x , . . . , x , x )

proviennent des nœudsproviennent des nœuds

( y , x , . . . , x ) avec y ( y , x , . . . , x ) avec y { 0 , . . . , b–1 } { 0 , . . . , b–1 }

11

22

dd22

dd

11 ddd–1d–1

11 d–1d–1



Q U E L Q U E SQ U E L Q U E S

E X E M P L E SE X E M P L E S



00 11

DB ( 2 , 1 )DB ( 2 , 1 )



00 11

DB ( 2 , 1 )DB ( 2 , 1 )

0000 1111

0101

1010

DB ( 2 , 2 )DB ( 2 , 2 )



00 11

DB ( 2 , 1 )DB ( 2 , 1 )

0000 1111

0101

1010

DB ( 2 , 2 )DB ( 2 , 2 )

DB ( 2 , 3 )DB ( 2 , 3 )

000000

001001

100100

111111

011011

110110

010010 101101



00 22

DB ( 3 , 1 )DB ( 3 , 1 )

11


SynthèseSynthèse----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

• Quelques graphes particuliers.Quelques graphes particuliers.


m E r C i e Tm E r C i e Tb O n N e J o U r N é b O n N e J o U r N é

E ! ! !E ! ! !

N ‘ o U b L i E z P a S N ‘ o U b L i E z P a S d Ed E

p R é P a R e R v O sp R é P a R e R v O sT D ! ! !T D ! ! !

21 mars 2007Cours de graphes 8 - Intranet1 Cours de graphes Quelques graphes particuliers.

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