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Initiation au traitement du signal - S´ eance 1 F. Sur - ENSMN Introduction Les signaux Exemples de probl` emes Objectifs, ´ evaluation Les filtres (analogiques) efinition et exemple Fonction de transfert Signaux analogiques Signaux trigonom´ etriques eries de Fourier Convolution Signaux num´ eriques Transform´ ee de Fourier Discr` ete Transform´ ee de Fourier Rapide Transform´ ee de Fourier 2D Conclusion Cours ´ electif CET42 Initiation au traitement du signal et applications eance 1 Fr´ ed´ eric Sur ´ Ecole des Mines de Nancy www.loria.fr/sur/enseignement/signal/ 1/59 Initiation au traitement du signal - S´ eance 1 F. Sur - ENSMN Introduction Les signaux Exemples de probl` emes Objectifs, ´ evaluation Les filtres (analogiques) efinition et exemple Fonction de transfert Signaux analogiques Signaux trigonom´ etriques eries de Fourier Convolution Signaux num´ eriques Transform´ ee de Fourier Discr` ete Transform´ ee de Fourier Rapide Transform´ ee de Fourier 2D Conclusion Qu’est-ce qu’un signal ? D’apr` es le Dictionnaire Tr´ esor de la Langue Fran¸caise (atilf.atilf.fr) Ph´ enom` ene physique (tension, courant, champ ´ electromagn´ etique, onde sonore ou lumineuse) transmettant une information. Restriction dans cette d´ efinition ? 2/59 Initiation au traitement du signal - S´ eance 1 F. Sur - ENSMN Introduction Les signaux Exemples de probl` emes Objectifs, ´ evaluation Les filtres (analogiques) efinition et exemple Fonction de transfert Signaux analogiques Signaux trigonom´ etriques eries de Fourier Convolution Signaux num´ eriques Transform´ ee de Fourier Discr` ete Transform´ ee de Fourier Rapide Transform´ ee de Fourier 2D Conclusion Exemples de signaux Distinction entre signaux analogiques et signaux num´ eriques. Signal analogique Signal num´ erique support : R n support : Z n n=1 onde sonore, EEG, ECG cours boursier n=2 appareil photo argen- tique, table tra¸ cante APN n=3 vid´ eo ? vid´ eo num´ erique (classification sujette ` a discussion. . .) Espace d’arriv´ ee : R m ou Z m Mod´ elisation : “fonction” de R n ou Z n dans R m ou Z m . 3/59 Initiation au traitement du signal - S´ eance 1 F. Sur - ENSMN Introduction Les signaux Exemples de probl` emes Objectifs, ´ evaluation Les filtres (analogiques) efinition et exemple Fonction de transfert Signaux analogiques Signaux trigonom´ etriques eries de Fourier Convolution Signaux num´ eriques Transform´ ee de Fourier Discr` ete Transform´ ee de Fourier Rapide Transform´ ee de Fourier 2D Conclusion L’exemple du microphone 1 : onde sonore 2 : membrane 3 : bobine 4 : aimant 5 : signal ´ electrique Illustration : wikipedia.org 4/59

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Les filtres(analogiques)

Definition et exemple

Fonction de transfert

Signauxanalogiques

Signauxtrigonometriques

Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

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Conclusion

Cours electif CET42

Initiation au traitement du signalet applications

Seance 1

Frederic SurEcole des Mines de Nancy

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Conclusion

Qu’est-ce qu’un signal ?

D’apres le Dictionnaire Tresor de la Langue Francaise(atilf.atilf.fr)

Phenomene physique (tension, courant, champelectromagnetique, onde sonore ou lumineuse)transmettant une information.

Restriction dans cette definition ?

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Conclusion

Exemples de signaux

Distinction entre signaux analogiques et signaux numeriques.

Signal analogique Signal numeriquesupport : Rn support : Zn

n=1 onde sonore, EEG, ECG cours boursier

n=2 appareil photo argen-tique, table tracante

APN

n=3 video ? video numerique

(classification sujette a discussion. . .)

Espace d’arrivee : Rm ou Zm

Modelisation : “fonction” de Rn ou Zn dans Rm ou Zm.

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L’exemple du microphone

1 : onde sonore2 : membrane3 : bobine4 : aimant5 : signal electrique

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L’exemple de l’appareil photo numerique

exemple de reflex numerique capteur

Le “capteur” :1 : filtre passe-bas (anti-aliasing)2 : filtre de Bayer3 : CMOS ou CCD

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Le traitement du signal

Traitement du signal

=

ensemble de techniques et outils permettant de transformer,analyser les signaux, d’en extraire de l’information.

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Conclusion

Le spectre

Traitement du signal = une idee :signaux approches par des superpositions de “sinusoıdes”.(combinaisons lineaires)

Spectre = ensemble des coeff. de la combinaison lineaire.

Exemple :

signal original 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−0.5

0

0.5

1

1.5

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Conclusion

Le spectre

Traitement du signal = une idee :signaux approches par des superpositions de “sinusoıdes”.(combinaisons lineaires)

Spectre = ensemble des coeff. de la combinaison lineaire.

Exemple :

20 sinusoıdes 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1

−0.5

0

0.5

1

1.5

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Conclusion

Premieres proprietes “empiriques”

Remarque 1 : signal d’abord approche avec des sinusoıdesbasses-frequences, puis “raffine” avec des sinusoıdeshautes-frequences.−→ les coefficients HF sont petits.(d’autant plus petit que le signal est “regulier”)

Remarque 2 : compacite de la representation.−→ relativement peu de sinusoıdes pour approcher un signal.

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Conclusion

Exemples de problemes du traitement du signal

Operations “simples” sur le spectre

Exemple 1 :

Illustration : wikipedia.org

Exemple 2 :Hautes frequences (aigus) versus basses frequences.

→ Demonstration audio

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Conclusion

Exemples de problemes du traitement du signal

”Restauration”

Exemple 1 : “Deconvolution” – Hubble Space Telescope

Exemple 2 : “Debruitage”

0 1 2 3 4 5 6

−1

−0.5

0

0.5

1

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Conclusion

Exemples de problemes du traitement du signal

CompressionJPEG, JPEG 2000, MP3. . .

9, 093 ko 2, 225 ko 1, 389 ko

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Conclusion

Exemples de problemes du traitement du signal

Conversion signal analogique / signal numeriqueProblemes d’echantillonnage et quantification.

Illustration : wikipedia.org

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Conclusion

Exemples de problemes du traitement du signal

Conversion signal analogique / signal numerique

Exemple : sous-echantillonnage.

512×512 256×256 128×128

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Conclusion

Calendrier previsionnel et objectifs du cours

Seance 1 : 27/2/2012. Signaux analogiques et numeriques.

Seance 2 : 5/3/2012. Pratique Matlab. . . TP de prise en

main, ne pas oublier d’apporter un casque audio.

Seance 3 : 12/3/2012. Compression sans perte (theorie del’information). TP restauration.

Seance 4 : 19/3/2012. Compression avec perte (MP3,JPEG). TP compression.

Seance 5 : 26/3/2012. Theorie de l’echantillonnage,numerisation des sons et images. TP echantillonnage.

Seance 6 : 30/4/2012. Analyse temps-frequence,transformee de Fourier a fenetre, introduction auxondelettes. TP temps-frequence.

Seance 7 : 7/5/2012. Analyse temps-frequence. TP & Test.

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Conclusion

Evaluation

1 comptes rendus des TP Matlab.−→ a rendre a date fixee.

2 petit test a la derniere seance.

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Conclusion

Seance 11 Introduction

Les signauxExemples de problemesObjectifs, evaluation

2 Les filtres (analogiques)Definition et exempleFonction de transfert

3 Signaux analogiquesSignaux trigonometriquesSeries de FourierConvolution

4 Signaux numeriquesTransformee de Fourier DiscreteTransformee de Fourier RapideTransformee de Fourier 2D

5 Conclusion

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Conclusion

Notion de filtre (analogique)

Ici y(t) = A(x(t)).

Definition - Systeme invariant

A est dit invariant (ou stationnaire) si ATa = TaAou Ta(x(t)) = x(t − a).

Soient X e.v norme des signaux en entreeet Y e.v. norme des signaux en sortie.

Definition - Filtre

Si A : X → Y est lineaire, continu, et invariant,alors on dit que A est un filtre.

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Conclusion

Motivation

La definition est naturelle :

Filtrer deux signaux superposes est equivalent a lesfiltrer separement puis a les superposer

A(x + y) = A(x) + A(y)−→ linearite.

Une faible perturbation sur le signal d’entree entraıneune faible perturbation a la sortie

limε→0

A(x + ε) = A(x)

−→ continuite.

Le comportement reste le meme au cours du temps∀t, A(x(t − τ)) = A(x)(t − τ)

−→ invariance.

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Conclusion

Un filtre analogique classique : le filtre RC

entree : Vin = x(t),sortie : Vout = y(t)

Regi par l’equation differentielle : RC y ′ + y = xsoit au sens des distributions D′(R+) : (RCδ′ + δ) ∗ y = x .

D’ou (calcul symbolique de Heaviside, cf cours math 1A) :

Ax(t) = y(t) = (h ∗ x)(t)

avec h(t) = 1RC e−

tRC Y (t). (Y : echelon d’Heaviside)

A : x 7→ y est bien lineaire, invariant et continu.

h est la reponse impulsionnelle (“reponse a un Dirac”).

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Conclusion

Fonction de transfert du filtre RC

h(t) = 1RC e−

tRC Y (t)

et : Ax(t) = y(t) = (h ∗ x)(t)

Par transformee de Fourier : y(λ) = H(λ) · x(λ)ou H est la transformee de Fourier de h :

H(λ) =1

1 + iλRC

Cf poly section 1.2.

Definition - Fonction de transfert

λ 7→ H(2πλ) est la fonction de transfert du filtre.

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Conclusion

Spectre d’energie du filtre RCH(λ) = 1

1+iλRC et y(λ) = H(λ) · x(λ)

Si le signal est de la forme eλ(t) = e2iπλt alors on remarque :

Aeλ(t) = H(2πλ) · eλ(t).

cf poly section 1.2.

Spectre d’energie (2πRC = 1) → filtre passe-bas.

−3 −2 −1 0 1 2 30

0.2

0.4

0.6

0.8

1

λ

| H (

2π λ

)|2

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Conclusion

Fonction de transfert d’un filtre general

Si A est un filtre :

Fonction de transfert (cf poly th. 1 sec.1.1.)

les signaux eλ sont fonctions propres de A, i.e.

∀λ ∈ R, ∃ H(λ), A(eλ) = H(λ)eλ

H est la fonction de transfert du filtre.

(consequence de la stationnarite / linearite des filtres)

Par linearite et continuite de A, si x =∑

cneλ est unesuperposition de signaux trigonometriques, alors

y(t) = Ax(t) =∑

cnA(eλ) =∑

cnH(λ)eλ

→ importance de la decomposition en serietrigonometrique !

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Conclusion

Fonction de transfert d’un filtre general

Si A est un filtre :

Fonction de transfert (cf poly th. 1 sec.1.1.)

les signaux eλ sont fonctions propres de A, i.e.

∀λ ∈ R, ∃ H(λ), A(eλ) = H(λ)eλ

H est la fonction de transfert du filtre.

(consequence de la stationnarite / linearite des filtres)

Par linearite et continuite de A, si x =∑

cneλ est unesuperposition de signaux trigonometriques, alors

y(t) = Ax(t) =∑

cnA(eλ) =∑

cnH(λ)eλ

→ importance de la decomposition en serietrigonometrique !

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Conclusion

Fonction de transfert d’un filtre general

Si A est un filtre :

Fonction de transfert (cf poly th. 1 sec.1.1.)

les signaux eλ sont fonctions propres de A, i.e.

∀λ ∈ R, ∃ H(λ), A(eλ) = H(λ)eλ

H est la fonction de transfert du filtre.

(consequence de la stationnarite / linearite des filtres)

Par linearite et continuite de A, si x =∑

cneλ est unesuperposition de signaux trigonometriques, alors

y(t) = Ax(t) =∑

cnA(eλ) =∑

cnH(λ)eλ

→ importance de la decomposition en serietrigonometrique !

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Conclusion

Seance 11 Introduction

Les signauxExemples de problemesObjectifs, evaluation

2 Les filtres (analogiques)Definition et exempleFonction de transfert

3 Signaux analogiquesSignaux trigonometriquesSeries de FourierConvolution

4 Signaux numeriquesTransformee de Fourier DiscreteTransformee de Fourier RapideTransformee de Fourier 2D

5 Conclusion

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Conclusion

Remarque preliminaire

Constat : le monde actuel est numerique(television, photographie, imagerie medicale, baladeur MP3,voix sur IP, . . .)

Question : pourquoi etudier les signaux analogiques ?

1 Les signaux physiques sont analogiques, puis sontnumerises. Quelle est la bonne maniere de numeriser ?

2 Pas de bonne theorie de la regularite discrete (maisproprietes tres importantes en pratique).

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Conclusion

Quelques rappelsSoit f periodique, periode a.

Definition

f ∈ L1p(0, a) ssi ||f ||1 =

∫ a0 |f (x)|dx < +∞.

f ∈ L2p(0, a) ssi ||f ||2 =

(∫ a0 |f (x)|2dx

)1/2< +∞.

Inegalite de Schwarz :∫ a

0 |f (x)|dx 6 √a√∫ a

0 |f (x)|2dx

Donc L2p(0, a) ⊂ L1

p(0, a)

Signaux trigonometriques de periode a

Notation : en = e2iπnt/a Remarque : en ∈ L2p(0, a)

Propriete - orthogonalite des en∫ a

0en(t)em(t)dt =

{0 si n 6= ma si n = m

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Conclusion

Signaux trigonometriques (1)

-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0-1.2

-0.8

-0.4

0.0

0.4

0.8

1.2

p(t) = cos(2πt) + 0.2 sin(10πt)

Definition - Polynome trigo. de degre 6 N et periode a

p(t) =N∑

n=−N

cn

(e2iπt/a

)n=

N∑n=−N

cnen(t).

Autre representation :

p(t) =a0

2+

N∑n=1

an cos(2πnt/a) + bn sin(2πnt/a).

ou an = cn + c−n et bn = i(cn − c−n) (n > 0).

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Conclusion

Signaux trigonometriques (2)

Notation : TN e.v. des polynomes trigo. de degre 6 N

Consequence de l’orthogonalite des (en)

TN muni du produit scalaire (p, q) =∫ a

0 p(t)q(t)dt admet la

base orthonormee

(1√a

en

)−N6n6N

Egalite de Parseval pour les polynomes trigonometriques

Theoreme de “Pythagore” pour p ∈ TN :

1

a

∫ a

0|p(t)|2dt =

N∑n=−N

|cn|2

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Fonction de transfert

Signauxanalogiques

Signauxtrigonometriques

Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Decomposition d’un signal periodiqueQuestion : peut-on decomposer un signal periodique deperiode a sous la forme

∑cne2iπnt/a ?

Theoreme - approximation dans TNSi f ∈ L2

p(0, a), il existe un unique fN dans TN tel que :||f − fN ||2 = min{||f − p||2, p ∈ TN}.

On a : fN(t) =N∑

n=−N

cne2iπnt/a

ou : cn =1

a

∫ a

0f (t)e−2iπnt/adt.

Demonstration : poly th. 4 sec. 1.3.2.

Definition - Coefficients de Fourier

cn est le n-eme coefficient de Fourier de f ∈ L2p(0, a).

→ coefficient de la composante de frequence |n|/a.

29/59

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Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Proprietes des coefficients de Fourier

cn =1

a

∫ a

0f (t)e−2iπnt/adt.

Decalage temporel :f (t) = f (t − t0) ←→ cn(f ) = e−2iπnt0/a cn(f )

Decalage frequentiel :f (t) = e2πin0t/af (t) ←→ cn(f ) = cn−n0(f )

Differentiation :cn(f ′) = 2iπn/a cn(f ) (si f derivable. . .)

Signal reel :Si f est reel alors cn(f ) = c−n(f ).En particulier : (|cn(f )|)n∈Z est pair.

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Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Decroissance des coefficients de Fourier

||f − fN ||22 + aN∑

n=−N

|cn|2 = ||f ||22 (cf dem. “approximation”)

Consequence - Inegalite de Bessel

∀N ∈ N,N∑

n=−N

|cn|2 6 1

a

∫ a

0|f (t)|2dt.

Consequence

Si f ∈ L2p(0, a), alors cn(f )→ 0 quand |n| → +∞.

(en fait vrai pour f ∈ L1p(0, a))

Question 1 : voyez-vous un interet pratique ?Question 2 : fN ne convergerait-elle pas vers f ?

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Transformee deFourier 2D

Conclusion

Convergence des series de Fourier

Theoreme

fN converge vers f dans L2p.

Signifie : ||f − fN ||22 =∫ a

0 |f (t)− fN(t)|2dt → 0 (N → +∞).

Consequence - Egalite de Parseval pour f ∈ L2p(0, a)

1

a

∫ a

0|f (t)|2dt =

+∞∑n=−∞

|cn|2

D’ou :

Unicite des coefficients de Fourier

Deux fonctions ayant les memes coefficients de Fourier sontegales (presque partout).

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Conclusion

Convergence dans L2 : illustration

Reconstruction avec 10 coefficients.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−6

−4

−2

0

2

4

6

8

Remarque : signal periodique.

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Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

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Transformee deFourier 2D

Conclusion

Convergence dans L2 : illustration

Reconstruction avec 1000 coefficients.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5−6

−4

−2

0

2

4

6

8

(cf effet de Gibbs, ringing)

www.jhu.edu/∼signals/fourier2/index.html

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Series de Fourier

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Conclusion

Convergence ponctuelle

Theoreme de Dirichlet

Soit f ∈ L1p(0, a) telle que en un point t0, f (t0+), f (t0−),

f ′(t0+) et f ′(t0−) existent.Alors

fN(t0)→ 1

2(f (t0+) + f (t0−)) quand N → +∞.

Cas particulier : f en plus continue en t0.

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Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Convolution des fonctions periodiques

Definition

Soient f , g ∈ L1p(0, a).

Convolution de f et g : f ∗ g(x) =∫ a

0 f (y)g(x − y)dyOn a : f ∗ g ∈ L1

p(0, a).

www.jhu.edu/∼signals/convolve/index.html

Proposition

Si f , g ∈ L2p(0, a) alors f ∗ g est continue 2π-periodique

et cn(f ∗ g) = a cn(f ) · cn(g).

Demonstration : poly prop. 9 sec. 1.4.

Remarque : propriete de regularisation.

Si g ∈ C k , on a meme : f ∗ g ∈ C k et (f ∗ g)(k) = f ∗ g (k).

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Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Regularisation et convolution : exemples (1)

-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0-2

-1

0

1

2

3

4

-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.00.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0-2

-1

0

1

2

3

4

f g f ∗ g

-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0-2

-1

0

1

2

3

4

-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.00.0

0.4

0.8

1.2

1.6

2.0

2.4

2.8

3.2

3.6

-2.0 -1.6 -1.2 -0.8 -0.4 0.0 0.4 0.8 1.2 1.6 2.0-2

-1

0

1

2

3

4

f g f ∗ g

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Signauxtrigonometriques

Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Regularisation et convolution : exemples (2)

Exemple de convolution par une gaussienne 2D.

image originale σ = 2 σ = 5

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Definition et exemple

Fonction de transfert

Signauxanalogiques

Signauxtrigonometriques

Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Seance 11 Introduction

Les signauxExemples de problemesObjectifs, evaluation

2 Les filtres (analogiques)Definition et exempleFonction de transfert

3 Signaux analogiquesSignaux trigonometriquesSeries de FourierConvolution

4 Signaux numeriquesTransformee de Fourier DiscreteTransformee de Fourier RapideTransformee de Fourier 2D

5 Conclusion

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Definition et exemple

Fonction de transfert

Signauxanalogiques

Signauxtrigonometriques

Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Rappels preliminaires

exp(ix) = cos(x) + i sin(x)

N−1∑k=0

exp(ikx) =

{N si x = 0 [2π]1−exp(iNx)1−exp(ix) sinon.

Cas particulier : x = 2πm/N (avec m/N /∈ Z)

N−1∑k=0

exp(2iπkm/N) = 0

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Signauxanalogiques

Signauxtrigonometriques

Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Signal numerique

Soit f un signal de periode a, connu seulement par sesvaleurs en N points regulierement espaces sur la periode :yk = f (ka/N) (k ∈ Z).

Objectif : calculer une approximation des coef. de Fourier

cn =1

a

∫ a

0f (t)e−2πint/adt

→ Methode des trapezes :

c ′n =1

N

N−1∑k=0

yke−2iπnk/N

Cf poly section 2.1.

Remarque : (c ′n) est une suite periodique, periode N.

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Signauxtrigonometriques

Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

La Transformee de Fourier Discrete (1)

Notations :- ωN = e2iπ/N

- Yn =1

N

N−1∑k=0

ykω−nkN ou n ∈ {0, 1, . . .N − 1}

On a : c ′n = Yn.Approximation du coeff. de frequence 0 : Y0

Approximation du coeff. de frequence 1/a : Y1 et YN−1

Approximation du coeff. de frequence 2/a : Y2 et YN−2

. . .

→ plus haute frequence representee : N/(2a).

Remarque : cas d’un signal reel

YN−l = 1N

∑N−1k=0 ykω

−(N−l)kN = 1

N

∑N−1k=0 ykω

lkN = Yl

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Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

La Transformee de Fourier Discrete (2)

Rappel definition : Yn =1

N

N−1∑k=0

ykω−nkN

Proposition

yn =N−1∑k=0

YkωnkN ou n ∈ {0, 1, . . .N − 1}

Justification :

N−1∑k=0

YkωnkN =

1

N

N−1∑k=0

N−1∑l=0

ylωk(n−l)N

=1

N

N−1∑l=0

yl

N−1∑k=0

ωk(n−l)N

= yn.

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Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

La Transformee de Fourier Discrete (3)

Rappel :

Yn =1

N

N−1∑k=0

ykω−nkN et : yn =

N−1∑k=0

YkωnkN

ou n ∈ {0, 1, . . .N − 1}

Definition - TFD

La suite (Yn) est la Transformee de Fourier Discrete (TFD)de la suite des (yn).

Remarque : si Y = F(y) alors y = N F(Y ).

Attention : definitions des TFD et TFD-I eventuellementinversees dans certains logiciels (Matlab, Scilab).

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Signauxtrigonometriques

Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Proprietes de la TFD

Signal reel : Si y reel alors ∀n, Y−n = Yn et |Y | est pair.

Egalite de Parseval pour les signaux discrets

N−1∑n=0

|yn|2 = NN−1∑n=0

|Yn|2

Convolution discrete (circulaire)

z = x ∗ y ou zn =N−1∑k=0

xkyn−k

Alors : Zn = NXnYn.

www.jhu.edu/∼signals/discreteconv2/index.html

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Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Probleme algorithmique pour le calcul de la TFD

Yn =1

N

N−1∑k=0

ykω−nkN ou n ∈ {0, 1, . . .N − 1}

Calcul des Y0,Y1, . . .YN−1 : O(N2) operations.

Probleme pratique :1s de son echantillonne a 44.1kHz (qualite CD)→ N = 44100 → N2 = 2.109

→ calcul de la TFD en 2s sur un PC a 1GHz. . .

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Transformee deFourier 2D

Conclusion

La Transformee de Fourier Rapide (1)

Yn =1

N

N−1∑k=0

ykω−nkN = P(ω−n

N ) ou P(X ) =∑N−1

k=0 ykX k .

Hypothese (fondamentale) : N est une puissance de 2

Avec : Q(X ) =∑N/2−1

k=0 y2kX k et R(X ) =∑N/2−1

k=0 y2k+1X k .

On a : Yn = P(ω−nN ) = Q((ω−n

N )2) + ω−nN R((ω−n

N )2).

Donc Yn = Q(ω−nN/2) + ω−n

N R(ω−nN/2).

Remarque 1 : ω−nN/2 = ω

N/2−nN/2 si n > N/2.

Remarque 2 :(

Q(ω−nN/2)

)06n<N/2

et(

R(ω−nN/2)

)06n<N/2

sont des TFD de signaux de taille N/2.

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Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

La Transformee de Fourier Rapide (2)

Yn = Q(ω−nN/2) + ω−n

N R(ω−nN/2).

Illustration (N = 8) :

y0

�� ��<<<<<<<<

&&NNNNNNNNNNNNN

))TTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT y2

����������

�� ��>>>>>>>>

''OOOOOOOOOOOOOO y4

xxpppppppppppppp

����������

�� ��>>>>>>>> y6

uujjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

wwoooooooooooooo

����������

��

y1

�� ��<<<<<<<<

&&NNNNNNNNNNNNN

))TTTTTTTTTTTTTTTTTTTT y3

����������

�� ��>>>>>>>>

''NNNNNNNNNNNNNN y5

xxpppppppppppppp

����������

�� ��>>>>>>>> y7

uujjjjjjjjjjjjjjjjjjjjj

wwpppppppppppppp

����������

��Q(ω0

4 )

�� ++VVVVVVVVVVVVVV Q(ω−14 )

�� ++VVVVVVVVVVVVVV Q(ω−24 )

�� ++VVVVVVVVVVVVVV Q(ω−34 )

�� ++VVVVVVVVVVVVVV R(ω04 )

�����

sshhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh R(ω−14 )

�����

sshhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh R(ω−24 )

�����

sshhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh R(ω−34 )

�����

sshhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhhh

Y0 Y1 Y2 Y3 Y4 Y5 Y6 Y7

TFD d’un signal de longueur Nm

deux TFD de signaux de longueur N/2

→ On itere !

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Conclusion

La Transformee de Fourier Rapide (3)

TFR ou FFT (Fast Fourier Transform)Cooley-Tuckey 1965 (∼ Gauss 1805).

Yn = Q(ω−nN/2) + ω−n

N R(ω−nN/2).

Nombre d’operations : T (N) = 2T (N/2) + 2NDonc : T (N) = O(N log(N)).(preuve au tableau)

→ Pour le signal d’une seconde echantillonne a 44, 1 kHz,N log(N) = 7.105, calcul en ' 7.10−4 s.

→ Ouvre la porte a la revolution numerique !

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Transformee deFourier 2D

Conclusion

Exemples d’applications

Probleme : et si N n’est pas une puissance de 2 ?

Application 1 : convolution circulaire.

zn =N−1∑k=0

xkyn−k

→ calcul de z en O(N2) operations

En Fourier : Zn = NXnYn

→ calcul en O(N log(N)) operations.

Application 2 : produit de polynomes.

P(X ) =N∑

k=0

akX k et Q(X ) =N∑

k=0

bkX k

Alors P(X )Q(X ) =2N∑k=0

ckX k ou ck =k∑

l=0

albk−l . . .

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Transformee deFourier 2D

Conclusion

Exemple

0 1 2 3 4 5 6−1.5

−1

−0.5

0

0.5

1

1.5

un signal periodique

0 100 200 300 400 500 6000

50

100

150

200

250

300

350

0 100 200 300 400 500 600

10−1

100

101

102

son spectre . . .en echelle log

−→ symetrie du spectre, decroissance des coefficients.−→ Deux pics = deux composantes periodiques. (cf TP.)

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Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

La transformee de Fourier 2D (1)

Soit (xn,m) 0 6 n < N0 6 m < N

un signal discret 2D.

Definition - Transformee de Fourier Discrete 2D

Xn,m =1

N2

N−1∑k=0

N−1∑l=0

xk,lω−mkN ω−nl

N

ou 0 6 m < N, 0 6 m < N.

Toutes les proprietes precedentes restent valables.

Remarque : Xn,m =1

N

N−1∑k=0

(1

N

N−1∑l=0

xk,lω−nlN

)ω−mk

N

→ le calcul des Xn,m revient au calcul de 2N TFD-1D.

Complexite algorithmique de la FFT-2D : O(N2 log(N)).

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Transformee deFourier 2D

Conclusion

La transformee de Fourier 2D (2)

Attention, le signal est periodique. . .Ici :

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Transformee deFourier 2D

Conclusion

La transformee de Fourier 2D (2)

Attention, le signal est periodique. . .Ici :

52/59

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Transformee deFourier 2D

Conclusion

Exemple

image originale spectre

−→ symetrie, decroissance des coefficients,ligne horizontale / verticale penchee ?

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Conclusion

Exemple fondamental (1)

FFT 1D : Yn =1

N

N−1∑k=0

ykω−nkN

image spectre

Effet d’un decalage (translation) de la ligne ?

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Initiation autraitement du

signal - Seance 1

F. Sur - ENSMN

Introduction

Les signaux

Exemples deproblemes

Objectifs, evaluation

Les filtres(analogiques)

Definition et exemple

Fonction de transfert

Signauxanalogiques

Signauxtrigonometriques

Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Exemple fondamental (2)effet d’une translation de m (distance inter-lignes) :

Yn =1

N

N−1∑k=0

yk−mω−nkN =

1

N

N−1∑k=0

ykω−nkN ω−nm

N = ω−nmN Yn

image / spectre spectre / image

N/m superpositions et dephasages de exp(−2iπkmn/N)→ coefficient nul sauf si n ·m/N entier. (plus m grand. . .)

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Exemples deproblemes

Objectifs, evaluation

Les filtres(analogiques)

Definition et exemple

Fonction de transfert

Signauxanalogiques

Signauxtrigonometriques

Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Exemple : pourquoi ces “taches” dans la TFD ?

(source E. Stade, Fourier analysis, Wiley 2005.)

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Exemples deproblemes

Objectifs, evaluation

Les filtres(analogiques)

Definition et exemple

Fonction de transfert

Signauxanalogiques

Signauxtrigonometriques

Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Exemple : reconstruction

(source E. Stade, Fourier analysis, Wiley 2005.)

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Les signaux

Exemples deproblemes

Objectifs, evaluation

Les filtres(analogiques)

Definition et exemple

Fonction de transfert

Signauxanalogiques

Signauxtrigonometriques

Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Seance 11 Introduction

Les signauxExemples de problemesObjectifs, evaluation

2 Les filtres (analogiques)Definition et exempleFonction de transfert

3 Signaux analogiquesSignaux trigonometriquesSeries de FourierConvolution

4 Signaux numeriquesTransformee de Fourier DiscreteTransformee de Fourier RapideTransformee de Fourier 2D

5 Conclusion

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Les signaux

Exemples deproblemes

Objectifs, evaluation

Les filtres(analogiques)

Definition et exemple

Fonction de transfert

Signauxanalogiques

Signauxtrigonometriques

Series de Fourier

Convolution

Signauxnumeriques

Transformee deFourier Discrete

Transformee deFourier Rapide

Transformee deFourier 2D

Conclusion

Conclusion

Idee du cours : representer un signal periodique par unesuperposition de signaux periodiques.

Certaines informations apparaissent plus clairementdans le spectre.

Appliquer un filtre lineaire revient a moduler lescoefficients de Fourier.

La FFT a rendu possible la revolution numerique.(sans FFT, pas de baladeur MP3, television numerique, etc)

Pour la semaine prochaine : bien connaıtre les proprietesdu spectre (1D & 2D).

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