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André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Espaces vectorielsEspaces vectoriels

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Légende

Nous présentons maintenant la notion d’espace vectoriel qui est

fondamentale en algèbre linéaire.

Introduction

Nous verrons à quelles conditions un ensemble a une structure

d’espace vectoriel et à quelles conditions un sous-ensemble d’un

espace vectoriel forme un sous-espace vectoriel.

Nous utiliserons également les notions de base et de dimension d’un

espace et d’un sous-espace vectoriel.

Structure d’espace vectoriel

SS

Un ensemble V

Addition, • Fermée sur V,

K, un corps de scalaires

Addition, • Fermée sur K,

Multiplication, • Fermée sur K,

Multiplication par un scalaire,

V a une structure de groupe abélien.

• Fermée sur V,• associative,

• possède un neutre,

• chaque élément a un opposé,

• commutative.

• associative,• possède un neutre,• chaque élément a

un opposé,• commutative.

• distributive sur +,• associative,• possède un neutre,

• chaque élément, sauf 0, a un inverse.

• distributive sur +,

• distributive sur ,• associative avec

• Le neutre de est neutre pour .

Les éléments de V sont appelés

vecteurs.

Les éléments de K sont appelés

scalaires.

RemarquesDans cette présentation imagée de la notion d’espace vectoriel, nous avons utilisé le symbole, , pour désigner l’addition des vecteurs et le symbole, , pour désigner la multiplication d’un vecteur par un scalaire. Notre souci est de bien distinguer les opérations sur les vecteurs de celles sur les scalaires.

On remarque également que nous avons déjà présenté des ensembles qui forment des espaces vectoriels.• l’ensemble des matrices de dimension mn forme un espace

vectoriel sur R;

Donnons une définition plus formelle d’un espace vectoriel.

• les vecteurs géométriques du plan, ainsi que ceux de l’espace, forment des espaces vectoriels sur R;

• les vecteurs algébriques, de R2, de R3 et de Rn, forment des espaces vectoriels sur R.

Structure d’espace vectoriel

Soit K, un ensemble muni d’une structure de corps (appelé corps de scalaires), et V, un ensemble non vide (dont les éléments sont appelés vecteurs) tel que V est muni :

• d’une opération interne : V V V

appelée addition vectorielle.

• d’une opération externe :

appelée multiplication par un scalaire.

K V V

DÉFINITIONEspace vectoriel

On dit que V est un espace vectoriel sur K, lorsque les conditions suivantes sont satisfaites :

3. Associativité de l’addition des vecteurs   

Addition

1. Fermeture de l’addition sur l’ensemble des vecteurs

4. Existence d’un élément neutre pour l’addition des vecteurs

5. Existence d’un élément opposé ( symétrique) pour l’addition des vecteurs  

Pour tout vecteur V, et pour tout scalaire r et s  K :u, v et w

R2u

v

v=u v u

Il existe, dans V, un vecteur nul, noté  0 , tel que : 

2. Commutativité de l’addition des vecteurs

=u u0 0 = u

( ) =u v u vw w ( )

u ) = (–

0u u u (–

) =

Pour tout vecteur R2, il existe, dans V, un vecteur opposé,

uu tel que :noté –

Multiplication par un scalaire

6. Fermeture de la multiplication par un scalaire sur l’ensemble des vecteurs

7. Distributivité de la multiplication d’un vecteur sur une somme de scalaires  

8. Distributivité de la multiplication par un scalaire sur une somme de vecteurs 

9. Associativité de la multiplication d’un vecteur avec le produit de scalaires 

10. Élément neutre pour la multiplication d’un vecteur par un scalaire

V, et pour tout scalaire r et s  K :Pour tout vecteur u, v et w

r u R2

u u u) (r + s) = (r

(s )

(r

) ) = (r (

) u uv vr

u u(s

) = (rs)

r

u u1 =

Sous-espace vectoriel

DÉFINITIONSous-espace vectoriel

Soit U, un sous-ensemble d’un espace vectoriel V. On dit que U est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si U est lui-même un espace vectoriel.

Pour démontrer qu’un sous-ensemble d’un espace vectoriel forme un sous-espace vectoriel, il n’est pas nécessaire de vérifier toutes les propriétés. Le théorème suivant indique qu’il est suffisant de montrer que le sous-ensemble est non vide et que l’addition et la multiplication par un scalaire sont fermées sur le sous-ensemble.

Lorsque ces conditions sont satisfaites, on peut conclure que le sous-ensemble forme un sous-espace vectoriel.

Sous-espace vectoriel

THÉORÈMESous-espace vectoriel

Soit U, un sous-ensemble d’un espace vectoriel V. Le sous-ensemble U est un sous-espace vectoriel de V si et seulement si les trois conditions suivantes sont satisfaites :

1. U est non vide.

2. L’opération d’addition de vecteurs est fermée sur U :

3. L’opération de multiplication d’un vecteur par un scalaire est fermée sur U :

u vPour tout U,

et u v U

uPour tout et pour tout k K, (k u)U

U

Sous-espace vectorielIdée de la preuve

Soit U, un sous-espace vectoriel d’un espace vectoriel V sur K. Alors, les dix conditions d’un espace vectoriel sont satisfaites et les deux opérations sont fermées sur U.

Soit U, un sous-ensemble d’un espace vectoriel V sur K, tel que les deux opérations d’addition de vecteurs de V et de multiplication d’un vecteur de V par un scalaire sont fermées sur U. Alors, si u est un vecteur quelconque de U, 0 u = U, puisque U est fermé pour la multiplication par un scalaire. Le vecteur nul est donc un élément du sous-ensemble U.

De plus, –1 u = –u U, puisque U est fermé pour la multiplication par un scalaire. Chaque vecteur de U a donc un opposé dans U.Toutes les autres propriétés sont satisfaites pour tous les éléments de V, à plus forte raison pour ceux du sous-ensemble U.

Base

DéfinitionBase d’un espace vectoriel

Soit V, un espace vectoriel sur K, et B, un ensemble de n vecteurs de V. L’ensemble B forme une base de V si :

1. les vecteurs de B sont linéairement indépendants;

2. tout vecteur de V peut s’écrire comme combinaison linéaire des vecteurs de B (tous les vecteurs de V sont engendrés par les vecteurs de B).

Dimension

DéfinitionDimension d’un espace vectoriel

Soit V, un espace vectoriel sur K. La dimension de V, notée dim V, est définie comme suit :

dim V=

n si une base de V contient n vecteurs.

0 si le seul élément de V est le vecteur nul.

RemarqueOn peut montrer, mais nous ne le ferons pas dans ce cours, que si une base d’un espace vectoriel contient n vecteurs, alors toutes les bases de cet espace vectoriel contiennent n vecteurs.

Exemple 7.1.1Soit U = {(x; y)| y = 2x}, un sous-ensemble de l’espace vectoriel R2. Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R2.

SS

En posant, par exemple, x = 1 dans la forme générale, on obtient le vecteur (1; 2). Ce vecteur est un élément de R2 et il est également un élément de U puisqu’il satisfait à la condition y = 2x. Par conséquent, (1; 2) U, et U est non vide.

Montrons que U est non vide

= (a; 2a) + (b; 2b)= (a + b; 2a + 2b) = (a + b; 2(a + b))

Les composantes du vecteur somme satisfont à la condition y = 2x

Montrons que U est fermé pour l’addition

où a et b R. En additionnant, on obtient :U.

Alors u vSoit et u = (a; 2a) et

v = (b; 2b),

u v+

u vOn peut donc conclure que + U pour tout

u v.et

Le sous-ensemble U est donc fermé pour l’addition.

= k(a; 2a)= (ka; k(2a)) = (ka; 2ka)

Les composantes du vecteur obtenu satisfont à la condition y = 2x

Montrons que U est fermé pour la multiplication par un scalaire

En multipliant le vecteur par le scalaire, on obtient :uk

uOn peut donc conclure que k U pour tout

u U et pour tout k R.Le sous-ensemble U est donc fermé pour la multiplication par un

scalaire.

u U et k R. Alors

u = (a; 2a) où a R. Soit

SS

Les vecteurs de U sont de la forme générale : (x; 2x)

Conclusion

Puisque le sous-ensemble U est non vide et que les deux opérations sont fermées sur le sous-ensemble U, on peut conclure que U est un sous-espace vectoriel de R2.

Exemple 7.1.1Soit U = {(x; y)| y = 2x}, un sous-ensemble de l’espace vectoriel R2. Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R2.

Donner une base et la dimension de ce sous-espace vectoriel, et le représenter graphiquement.

S

Les vecteurs de U sont les vecteurs de la forme (x; 2x). Les opérations sur les vecteurs permettent d’écrire :(x; 2x) = x(1; 2)

Les vecteurs de U sont donc tous engendrés par le vecteur (1; 2) et celui-ci est linéairement indépendant, car en posant (x; 2x) = (0; 0) on a une solution unique x = 0.

Une base de ce sous-espace vectoriel est :BU = {(1; 2)}

S

Puisqu’une base de U contient un seul vecteur, la dimension de l’espace vectoriel U est 1. Graphiquement, ce sous-espace vectoriel est une droite dans R2 passant à l’origine.

Graphiquement, U est l’ensemble des vecteurs engendrés par le vecteur (1; 2). Ces vecteurs ont tous leur extrémité sur la droite d’équation y = 2x.

Le sous-espace vectoriel U est donc l’ensemble des vecteurs algébriques dont les extrémités forment la droite d’équation y = 2x.

L’extrémité de chacun de ces vecteurs est un point dont la position est décrite par le vecteur.

Représentation graphique

Exemple 7.1.2Soit U = {(x; y)| y = 2x + 1}, un sous-ensemble de l’espace vectoriel R2. Ce sous-ensemble est-il un sous-espace vectoriel de R2?

SS

En posant, par exemple, x = 1 dans la forme générale, on obtient le vecteur (1; 3). Ce vecteur est un élément de R2 et il est également un élément de U puisqu’il satisfait à la condition y = 2x + 1. Par conséquent, (1; 3) U, et U est non vide.

Montrons que U est non vide= (a; 2a + 1) + (b; 2b + 1)= (a + b; 2a + 2b + 2) = (a + b; 2(a + b) + 2)

Les composantes du vecteur somme ne satisfont pas à la condition y = 2x + 1

Vérifions si U est fermé pour l’addition

où a et b R. En additionnant, on obtient :u vSoit U.

Alors et u = (a; 2a + 1) et v = (b; 2b + 1),

u v+

Le sous-ensemble U n’est pas fermé pour l’addition, ce n’est donc pas un sous-espace vectoriel de R2.

Dès que l’une des conditions n’est pas satisfaite, on peut conclure que le sous-ensemble n’est pas un sous-espace vectoriel.

S

Les vecteurs de U sont de la forme générale : (x; 2x + 1)

Remarque

Une représentation graphique de la situation va nous aider à comprendre pourquoi U n’est pas un sous-espace vectoriel de R2.

Exemple 7.1.2Soit U = {(x; y)| y = 2x + 1}, un sous-ensemble de l’espace vectoriel R2. Ce sous-ensemble est-il un sous-espace vectoriel de R2?

Représentation graphiqueSoit des vecteurs quelconques de U :

u v= (a; a + 1) et = (b; b + 1).

L’extrémité de chacun de ces vecteurs est un point de la droite y = 2x + 1.

L’ensemble U est l’ensemble des vec-teurs dont l’extrémité est sur cette droite.

Cependant, lorsqu’on additionne deux vecteurs de U le vecteur obtenu n’a pas son extrémité sur cette droite. Il ne fait pas partie de U. L’ensemble n’est donc pas fermé pour l’addition.

On observe la même chose pour la multiplication par un scalaire.

Exemple 7.1.3Soit U = {(x; y; z)| 3x + 2y – z = 0}, un sous-ensemble de l’espace vectoriel R3. Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R3.

SS

En posant, par exemple, x = 1 et y = –2 dans la forme générale, on obtient (1; –2; –1). Ce vecteur est un élément de R3 et il est également un élément de U puisqu’il satisfait à la condition 3x + 2y – z = 0. Par conséquent, (1; –2; –1) U, et U est non vide.

Montrons que U est non vide

= (a; b; 3a + 2b) + (c; d; 3c + 2d)

Les composantes du vecteur somme satisfont à la condition 3x + 2y – z = 0

Montrons que U est fermé pour l’addition

où a, b, c et d R. En additionnant, on obtient :u vSoit U.

Alors et u = (a; b; 3a + 2b) et

v = (c; d; 3c + 2d),

u v+

Le sous-ensemble U est donc fermé pour l’addition.

SS

En isolant z dans la condition 3x + 2y – z = 0, on a z = 3x + 2y. On peut alors dire que les vecteurs de U sont de la forme générale :

(x; y; 3x + 2y)

= (a + c; b + d; 3a + 2b + 3c + 2d)

= (a + c; b + d; 3(a + c) + 2(b + d))

= k(a; b; 3a + 2b)

Les composantes du vecteur obtenu satisfont à la condition 3x + 2y – z = 0

Montrons que U est fermé pour la multiplication par un scalaire

En multipliant le vecteur par le scalaire, on obtient :uk

uOn peut donc conclure que k U pour tout

u U et pour tout k R.Le sous-ensemble U est donc fermé pour la multiplication par un

scalaire.

u U et k R. Alors

u = (a; b; 3a + 2b). Soit

= (ka; kb; 3ka + 2kb) = (ka; kb; k(3a + 2b))Puisque le sous-ensemble U est non vide et que les deux opérations

sont fermées sur le sous-ensemble U, on peut conclure que U est un sous-espace vectoriel de R3.

Conclusion

SS

Exemple 7.1.3Soit U = {(x; y; z)| 3x + 2y – z = 0}, un sous-ensemble de l’espace vectoriel R3. Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R3.

Donner une base et la dimension de ce sous-espace vectoriel, et le représenter graphiquement.

Les vecteurs de U sont les vecteurs de la forme (x; y; 3x + 2y). Les opérations sur les vecteurs permettent d’écrire :

(x; y; 3x + 2y)

Les vecteurs de U sont donc tous engendrés par les vecteurs (1; 0; 3) et (0; 1; 2) et ceux-ci sont linéairement indépendants, car en posant (x; y; 3x + 2y) = (0; 0; 0) on a une solution unique x = 0 et y = 0.

Une base de ce sous-espace vectoriel est :BU = {(1; 0; 3), (0; 1; 2)}

Puisqu’une base de U contient deux vecteurs, la dimension de l’espace vectoriel U est 2. Graphiquement, ce sous-espace vectoriel est un plan dans R3 passant à l’origine.

= (x; 0; 3x) + (0; y; 2y)= x(1; 0; 3) + y(0; 1; 2)

Représentation graphique

Le sous-espace vectoriel U est un plan passant par l’origine.

SSSSS

ExerciceSoit U = {(x; y; z)| 4x – 5y + z = 0}, un sous-ensemble de l’espace vectoriel R3. Montrer que U est un sous-espace vectoriel de R3.

En posant, par exemple, x = 1 et y = 0 dans la forme générale, on obtient (1; 0; –4). Ce vecteur est un élément de R3 et il est également un élément de U puisqu’il satisfait à la condition 4x – 5y + z = 0. Par conséquent, (1; 0; –4) U, et U est non vide.

Montrons que U est non vide

= (a; b; –4a + 5b) + (c; d; –4c + 5d)= (a + c; b + d; –4a + 5b – 4c + 5d) = (a + c; b + d; –4(a + c) + 5(b + d))

Les composantes du vecteur somme satisfont à la condition 4x – 5y + z = 0

Montrons que U est fermé pour l’addition

où a, b, c et d R. En additionnant, on obtient :u vSoit U.

Alors et u = (a; b; –4a + 5b) et

v = (c; d; –4c + 5d),

u v+

u vOn peut donc conclure que + U pour tout

u v.etLe sous-ensemble U est donc fermé pour l’addition.

= k(a; b; –4a + 5b)= (ka; kb; k(–4a + 5b)) = (ka; kb; –4ka + 5kb)

Les composantes du vecteur obtenu satisfont à la condition 4x – 5y + z = 0

Montrons que U est fermé pour la multiplication par un scalaire

En multipliant le vecteur par le scalaire, on obtient :uk

uOn peut donc conclure que k U pour tout

u U et pour tout k R.Le sous-ensemble U est fermé pour la multiplication par un scalaire.

u U et k R. Alors

u = (a; b; –4a + 5b). Soit

En isolant z dans la condition 4x – 5y + z = 0, on a z = –4x + 5y. On peut alors dire que les vecteurs de U sont de la forme générale :

(x; y; –4x + 5y)

Conclusion

Puisque le sous-ensemble U est non vide et que les deux opérations sont fermées sur le sous-ensemble U, on peut conclure que U est un sous-espace vectoriel de R3.

Donner une base et la dimension de ce sous-espace vectoriel.

Les vecteurs de U sont les vecteurs de la forme (x; y; –4x + 5y). Les opérations sur les vecteurs permettent d’écrire :

(x; y; 3x + 2y) = (x; 0; –4x) + (0; y; 5y) = x(1; 0; –4) + y(0; 1; 5)

Les vecteurs de U sont donc tous engendrés par les vecteurs (1; 0; –4) et (0; 1; 5) et ceux-ci sont linéairement indépendants, car en posant (x; y; –4x + 5y) = (0; 0; 0) on a une solution unique x = 0 et y = 0.

Une base de ce sous-espace vectoriel est :BU = {(1; 0; –4), (0; 1; 5)}

Puisqu’une base de U contient deux vecteurs, la dimension de l’espace vectoriel U est 2. Graphiquement, ce sous-espace vectoriel est un plan dans R3 passant à l’origine.

Conclusion

Pour montrer qu’un ensemble muni des opérations d’addition et de multiplication par un scalaire forme un espace vectoriel, il faut montrer que les dix propriétés sont satisfaites. Cependant, pour montrer qu’un sous-ensemble d’un espace vectoriel forme un sous-espace vectoriel, il suffit de vérifier que le sous-ensemble est non nul et montrer que les deux opérations sont fermées sur le sous-ensemble.

Dans R2, les sous-espaces vectoriels sont l’espace R2 lui-même, les droites passant par l’origine et le sous-ensemble ne contenant que le vecteur nul.

Dans R3, les sous-espaces vectoriels sont l’espace R3 lui-même, les plans passant par l’origine, les droites passant par l’origine et le sous-ensemble ne contenant que le vecteur nul.

ExercicesAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 7.2, p. 192 et 194.

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 7.2, p. 179 et 180.

LectureAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences de la nature, Section 7.1, p. 179 à 192.Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 7.1, p. 173 à 179.