Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

ContinuitéContinuité

IntroductionNous avons déjà indiqué qu’intuitivement, une fonction continue est une fonction dont le graphique ne présente aucune interruption, aucune coupure, aucun manque. On peut la tracer d’une seul trait, sans lever le crayon.

Notre objectif est de déterminer une procédure permettant de repérer algébriquement les discontinuités d’une fonction sans avoir à en tracer le graphique. En fait, l’étude algébrique de la continuité d’une fonction devrait nous donner de l’information facilitant la construction du graphique de celle-ci. Notre investigation comportera donc deux pôles :

• les types d’interruption (discontinuité) que l’on peut rencontrer en traçant un graphique;

• les caractéristiques algébriques de chacun de ces types.

DiscontinuitésConsidérons le graphique suivant :

On constate qu’en x = –5, il n’y a pas d’image alors que la limite à gauche est égale à la limite à droite. Dans un tel cas, on dit que la fonction a une discontinuité par trou à x = –5.

En x = –3, la fonction a une asymptote verticale et la limite à gauche est la même qu’à droite. Dans un tel cas, on dit que la fonction a une discontinuité par trou à l’infini à x = –3.

SS

Le point associé au couple (–2; f(–2), n’est pas sur la courbe formée par les points dans le voisinage de –2. Dans un tel cas, on dira que la fonction a une discontinuité par déplacement à x = –2.

S

Trou

Trou à

l’infiniDéplacement

En x = 1, la limite à gauche est différente de la limite à droite et chacune des ces limites est un nombre réel. Dans un tel cas, on dit que la fonction a une discontinuité par saut fini à x = 1.

S

Saut fini

Saut infini

En x = 3, la limite d’un côté est ∞ et de l’autre, elle est –∞. Dans un tel cas, on dit que la fonction a une discontinuité par saut infini à x = 3.

S

Manque

On constate finalement qu’il n’y a pas d’image dans [5; 7]. Dans un tel cas, on dit que la fonction a une discontinuité par manque sur [5; 7].

S

Détection des discontinuités

Fonctions définies par une seule expression

PROCÉDUREpour déterminer les discontinuités d’une fonction définie par une seule expression algébrique

1. Déterminer, selon le cas, les valeurs particulières ou l’intervalle des valeurs de la variable indépendante qui n’ont pas d’image.

2. Utiliser les procédures appropriées pour évaluer la limite lorsque la variable dépendante s’approche des valeurs obtenues.

3. Rédiger la conclusion en indiquant le type de chacune des discontinuités.

SS

Exemple 4.3.1

Déterminer les discontinuités de la fonction définie par

f (x) x 2

x2 – x – 6Solution

, en factorisant.

Le dénominateur s’annule lorsque (x + 2)(x – 3) = 0, ce qui donne x = –2 et x = 3, par l’intégrité des nombres réels.

f (x) x 2

x2 – x – 6

x 2

(x 2)(x – 3)

À x = –2, on a une limite de la forme 0/0. En évaluant, on obtient :

Déterminons les valeurs qui n’ont pas d’image :

La fonction a des discontinuités à x = – 2 et x = 3.

limx –2

x 2

x2 – x – 6

limx –2

x 2

(x 2)(x – 3)

limx –2

1

(x – 3)

–1

5

Puisque –2 n’a pas d’image et que la limite existe lorsque x tend vers –2, la fonction a une discontinuité par trou à –2.

À x = 3, on a une limite de la forme k/0. En considérant le comportement à gauche et à droite, on obtient :

limx 3–

x 2

x2 – x – 6

limx 3–

x 2

(x 2)(x – 3)

5

5 0– = –∞

limx 3

x 2

x2 – x – 6

limx 3

x 2

(x 2)(x – 3)

5

5 0 = ∞

La fonction a une discontinuité par saut infini à x = 3.

S

SS

Exemple 4.3.2

Déterminer les discontinuités de la fonction définie par

f (x) x – 2

Solution

Par conséquent, la correspondance n’est pas définie lorsque la variable indépendante prend des valeurs qui donnent une expression négative sous ce radical. On doit donc avoir :

D’où : x > 2

La variable indépendante est présente sous un radical et l’extraction d’une racine négative n’est pas définie dans R.

x – 2 > 0

La fonction est définie si et seulement si x > 2. La fonction est donc discon-tinue par manque sur ]–∞; 2[.

Détection des discontinuités

Fonctions définies par parties

PROCÉDUREpour déterminer les discontinuités d’une fonction définie par parties

1. Déterminer, pour chacune des parties, les discontinuités en appliquant la procédure pour une expression algébrique unique en tenant compte de l’intervalle sur lequel cette expression est valide.

2. Évaluer la limite à gauche et à droite aux frontières des intervalles adjacents pour déterminer si les parties sont jointes ou non.

3. Rédiger la conclusion en indiquant le type de chacune des discontinuités.

SS

Exemple 4.3.3

Déterminer les discontinuités de la fonction

f (x) x 5

x – 1si x 3

x 4 si x 3

Solution

Le dénominateur de cette expression s’annule à x = 1 et cette valeur est dans ]–∞; 3[. La limite est de la forme k/0 et, en considérant le comportement à gauche et à droite, on obtient :

Dans l’intervalle ]–∞; 3[, la correspondance est définie par

et

La fonction a donc une discontinuité par saut infini à x = 1.

y x 5

x – 1.

limx 1–

x 5

x – 1

6

0––

limx 1

x 5

x – 1

6

0

Dans l’intervalle [3; ∞[, la correspondance est définie par y = x + 4. Cette expression algébrique ne présente pas de discontinuité puisqu’elle ne comporte ni radical ni dénominateur.

Il faut maintenant vérifier si les deux segments se joignent. En évaluant la limite à gauche et la limite à droite, on trouve :

et

limx 3–

f (x) limx 3–

x 5

x – 1

8

24

limx 3

f (x) limx 3

x 4 7

On peut donc conclure que la fonction a une discontinuité par saut fini à x = 3.

S

Essentielle et non essentielleDÉFINITION

Discontinuité essentielle

Soit f, une fonction ayant une discontinuité en x = c. On dit que la discontinuité est essentielle si

limx c

f (x) n’existe pas.

DÉFINITION

Discontinuité non essentielle

Soit f, une fonction ayant une discontinuité en x = c. On dit que la discontinuité est non essentielle si

limx c

f (x) existe.

Les discontinuités non essentielles sont les suivantes : discontinuité par trou et par déplacement.

S

ContinuitéDÉFINITION

Continuité en un point

Une fonction f(x) est dite continue en x = c si et seulement si :

limx c

f (x) existe.

La deuxième condition signifie que la limite à gauche est égale à la limite à droite et que cette limite est un nombre réel.

1. f(c) est définie, c’est-à-dire c domf;

2.

limx c

f (x) = f(c)3.

On remarque de plus que la troisième condition englobe les deux autres.

Analyse de la continuitéOn peut avoir à démontrer la continuité en un point ou à faire l’étude globale de la continuité d’une fonction.

Pour démontrer que la fonction est continue en un point, on doit montrer que les trois conditions de la définition précédente sont satisfaites.

L’analyse globale de la continuité d’une fonction consiste à déterminer pour quelles valeurs celle-ci est discontinue et le type de chacune de ses discontinuités, puis à indiquer sur quels intervalles, ouverts ou fermés, elle est continue.

S

Pour faciliter cette analyse, nous définirons les notions de continuité sur un intervalle ouvert et sur un intervalle fermé et nous énoncerons quelques théorèmes nous permettant de conclure à la continuité d’une fonction sur un intervalle.

S

Exemple 4.3.4

Montrer que la fonction définie par :

f (x) x 2

x2 – x – 6

Solution

En évaluant la limite lorsque x s’approche de 5, on obtient :

Le dénominateur s’annule à x = –2 et à x = 3. Le domaine de la fonction est donc R\{–2, 3}. Par conséquent, 5 domf et f(5) existe. En fait :

On peut conclure que la fonction est continue à x = 5.

limx 5

x 2

x2 – x – 6

7

14

1

2

est continue à x = 5.

f (5) 7

14

1

2

Donc, la limite existe et de plus, on a :

limx 5

x 2

x2 – x – 6

f (5)

SS

Exemple 4.3.5Faire l’analyse globale de la continuité de la fonction définie par :

f (x) 3 – x si x 2x 2

x(4 – x)si 2 < x 4

Solution

Lorsque x > 2, la fonction est définie par

Lorsque x ≤ 2, la fonction est définie par

La fonction a donc une discontinuité à l’infini à x = 4 et une discontinuité par manque sur [4; ∞[.

y x 2

x(4 – x)

S

y 3 – x .

limx 4

x 2

x(4 – x)

6

4 0

Cette expression est définie et continue partout pour x ≤ 2 puisque le radical est défini pour toute valeur de x plus petite ou égale à 3.

Le dénominateur s’annule à x = 0 et à x = 4, mais 0 n’est pas dans l’intervalle ]2; 4[. À x = 4, le dénominateur est seul à s’annuler, on a donc une forme k/0. En analysant le comportement à gauche de 4, on obtient :

Il reste une dernière valeur à analyser, à x = 2, pour déterminer si les deux segments sont joints on non. En évaluant la limite à gauche et la limite à droite, on obtient :

limx 2–

f (x) limx 2–

3 – x 1 et

limx 2

f (x) limx 2

x 2

x(4 – x)

1

La limite à gauche est égale à la limite à droite et cette limite est l’image par la fonction. Par conséquent, les trois conditions sont satisfaites et la fonction est continue à x = 2

ConclusionLa fonction a une discontinuité par à l’infini à x = 4 et une discon-tinuité par manque sur [4; ∞[. Elle est continue partout ailleurs.

SS

Remarques

La fonction

f (x) 3 – x si x 2x 2

x(4 – x)si 2 < x 4

est continue à 2 puisque la limite à gauche est égale à la limite à droite et que cette limite est l’image par la fonction.

S

Cela signifie que les deux sections de courbes se rejoignent en un point qui est l’image de 2 par la fonction.

Il faut absolument que toutes ces conditions soient satisfaites pour que la fonction soit continue à x = 2.

En apportant des modifications à la définition de la fonction, on peut obtenir divers type de discontinuités.

g(x) 3 – x si x 2

3 si x 2x 2

x(4 – x)si 2 < x 4

(2; 1)

(2; 3)

S

On a alors une discontinuité par dépla-cement à x = 2.

h(x) 2 3 – x si x 23 si x 2

x 2

x(4 – x)si 2 < x 4

On a alors une discontinuité par saut fini à x = 2.

x = 4

x = 4

(2; 3) x = 4

Continuité sur un intervalleDÉFINITION

Continuité sur un intervalle ouvert

Une fonction f est dite continue sur un intervalle ouvert si elle est continue pour tout x ]c; d[.

DÉFINITION

Continuité sur un intervalle fermé

Une fonction f est dite continue sur un intervalle fermé si elle est continue pour tout x ]c; d[.

limx c

f (x) f (c) continuité par la droite;

1. Elle est continue pour tout x ]c; d[;

2.

3.

limx d –

f (x) f (d ) continuité par la gauche.

S

SS

Exemple 4.3.6Montrer que la fonction définie par :

f (x) 4 – x2

Solution

La fonction est donc continue dans l’intervalle ouvert ]–2; 2[.

Le domaine de f est l’intervalle [–2; 2]. Par les propriétés des limites, on peut écrire que pour tout c dans l’intervalle ouvert ]–2; 2[, on a :

La fonction est donc continue par la gauche à x = 2 et par la droite à x = –2.

limx c

f (x) limx c

4 – x2 limx c

4 – x2 4 – c2 f (c)

S

De plus,

Conclusion

est continue sur [–2; 2].

limx 2–

f (x) limx 2–

4 – x2 limx 2–

4 – x2 0 f (2)

et,

limx –2

f (x) limx –2

4 – x2 limx –2

4 – x2 0 f (–2)

La fonction est continue sur l’intervalle fermé [–2; 2].

Théorèmes sur la continuitéThéorème

Fonctions continues sur leur domaine.

• Toute fonction polynomiale est continue sur R.

S

• Toute fonction rationnelle f(x) = g(x)/h(x), où g(x) et h(x) sont des polynômes, est continue sur son domaine.

• Toute fonction irrationnelle est continue sur son domaine.• Toute fonction exponentielle est continue sur son domaine.

• Toute fonction logarithmique est continue sur son domaine.

Rappel

Le domaine d’une fonction est l’ensemble des valeurs de la variable indépendante qui ont une image par la fonction. Il faut se rappeler que la division par zéro et l’extraction de la racine paire d’un nombre négatif ne sont pas définies sur R. Dans le cas d’une fonction logarithmique, il faut que son argument soit plus grand que 0.

SS

Exemple 4.3.8Faire l’analyse globale de la continuité de la fonction définie par :

f (x) x2 – 1 si x 14 si x 1

x si x 1

Solution

Lorsque x > 1, la fonction est définie par une expression irrationnelle. Elle est continue pour tout nombre réel positif, elle est donc continue sur ]1; ∞[.

Lorsque x < 1, la fonction est définie par y = x2 – 1. C’est une fonction polynomiale, elle est continue pour tout nombre réel, elle est donc continue sur ]–∞; 1[.

On constate que la limite à gauche est différente de la limite à droite et chacune de ces limites est différente de l’image par la fonction.

La valeur x = 1 est suspecte, il peut y avoir une discontinuité en cette valeur. On connaît déjà l’image, f(1) = 4 par définition.

En évaluant la limite à gauche et la limite à droite, on trouve :

limx 1–

f (x) limx 1–

x2 – 1 0 et

limx 1

f (x) limx 1

x 1

Conclusion

La fonction a une discontinuité par saut fini et déplacement d’un point à x = 1. Elle est continue partout ailleurs.

Continuité et valeurs intermédiaires

Théorème

de la valeur intermédiaire

Soit f, une fonction telle que :

S

• f est continue sur [a; b];

• f(a) < L < f(b) [ou f(b) < L < f(a)];

alors, il existe au moins un nombre c ]a; b[ tel que f(c) = L.

Le domaine d’une fonction est l’ensemble des valeurs de la variable indépendante qui ont une image par la fonction. Il faut se rappeler que la division par zéro et l’extraction de la racine paire d’un nombre négatif ne sont pas définies sur R. Dans le cas d’une fonction logarithmique, il faut que son argument soit plus grand que 0.

Continuité et valeurs intermédiaires

S

Le théorème de la valeur intermédiaire indique que, puisque f est continue sur [a; b], chaque nombre compris entre f(a) et f(b) a au moins une préimage dans l’intervalle ]a; b[.

Si la fonction est discontinue sur [a; b], on ne peut rien conclure.

a

f(a)

b

f(b)L

ca

f(a)

b

f(b)

L

c1 c2 c3

S

a

f(a)

b

f(b)

L

a

f(a)

b

f(b)L

c

Dans certains cas, il y a une préimage, dans d’autres non.

Localisation des zéros

Théorème

de localisation des zéros

Soit f, une fonction telle que :

S

• f est continue sur [a; b];

• f(a) et f(b) sont de signes contraires;

alors, il existe au moins un nombre c ]a; b[ tel que f(c) = 0.

Localisation des zéros

S

Le théorème de localisation des zéros affirme que si f est continue dans un intervalle et qu’à l’une des frontières l’image est positive et qu’à l’autre elle est négative alors le graphique doit couper l’axe horizontal au moins une fois dans l’intervalle.

Le théorème de localisation des zéros est un cas particulier du théorème de la valeur intermédiaire, il traite du cas L = 0.

a

f(a)

b

f(b)

SSS

Exemple 4.3.10Soit la fonction définie par f(x) = x3 – 4x – 2. Localiser les zéros de cette fonction dans l’intervalle [–3; 3].

SolutionEn calculant les images pour chaque valeur entière dans l’intervalle, on trouve :

La fonction est continue sur [–2; –1], de plus, f(–2) et f(–1) sont de signes contraires. Le théorème de localisation des zéros permet de conclure que la fonction a un zéro dans l’intervalle [–2; –1].

En procédant de façon analogue, on détecte un deuxième zéro dans l’intervalle [–1; 0] et un troisième dans l’intervalle [2; 3].

x –3 –2 –1 0 1 2 3

f(x) –17 –2 1 –2 –5 –2 13REMARQUEvOn peut cerner les zéros en diminuant la largeur des intervalles. Ainsi, puisque f(2) = –2 et f(3) = 13, le zéro est probablement plus proche de 2 que de 3. On peut faire un test sur l’intervalle [2; 2,5]. On peut également trouver l’équation de la droite passant par les points (2; –2) et (3; 13). L’intersection de cette droite avec l’axes des x est une meilleure approximation du zéro.

S

ConclusionGrâce à la notion de continuité d’une fonction, on est maintenant en mesure de justifier notre procédure pour déterminer le taux de variation ponctuel d’une fonction.

La recherche du taux de variation ponctuel d’une fonction f en un point d’abscisse x = c donne toujours une limite de la forme 0/0. Cela correspond à une discontinuité non-essentielle de f en x = c. Puisque cette discontinuité est non-essentielle, il nous est possible de lever l’indétermination, algébriquement dans la plupart des cas, numériquement dans les autres.

La démarche algébrique pour lever l’indétermination consiste à déterminer une fonction g continue en x = c et qui a le même comportement que f partout ailleurs. On peut alors évaluer la limite de f lorsque x s’approche de c en calculant g(c), l’image de c par la fonction g. Cette image est le taux de variation ponctuel cherché.

S

La notion de continuité permet de répondre à la critique des

fondements du calcul différentiel selon laquelle il est arbitraire

d’introduire une variation h que l’on traite comme une grandeur non

nulle sachant fort bien que ce qui est visé au terme du processus c’est

de poser h = 0.

LectureCalcul différentiel, applications en sciences de la nature,Section 4.1, p.107-119.

Exercices

Calcul différentiel, applications en sciences de la nature,Section 4.2, p. 120-121.