Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Produit mixteProduit mixte

Mise en situation

Le produit mixte de deux vecteurs est un scalaire. C’est le

résultat d’un produit vectoriel suivi d’un produit scalaire. Il

met donc en cause trois vecteurs.

Nous verrons comment effectuer le produit mixte de vecteurs

algébriques dans R3 et nous l’utiliserons pour calculer des

volumes et des distances.

Produit mixte de vecteurs

Le produit mixte de ces trois vecteurs est défini par :

Définition

Produit mixte de vecteurs algébriques

u • (v w)

Soit u = (u1; u2; u3), v = (v1; v2; v3) et w = (w1; w2; w3), trois vecteurs de R3.

Soit u = (u1; u2; u3), v = (v1; v2; v3) et w = (w1; w2; w3), trois vecteurs de R3.

Calcul du produit mixte

v w =

S

u • (v w)

Déterminons la procédure à suivre pour effectuer le produit mixte.

= (v2w3 – v3w2)

i j kv1 v2 v3

w1 w2 w3

v1 i – (v1w3 – v3w1) j + (v1w2 – v2w1) k

En effectuant le produit scalaire, on obtient :

= (u1; u2; u3) • (v2w3 – v3w2; – (v1w3 – v3w1); (v1w2 – v2w1)

= v1 v2 v3

w1 w2 w3

u2 u3u1

S

On constate que, pour calculer le produit mixte des trois vecteurs, on peut appliquer une démarche analogue à celle pour effectuer le produit vectoriel en plaçant sur la première ligne les composantes du vecteur u au lieu de i, j et k.

Le produit vectoriel v w donne :

Produit mixte nul

Le produit mixte est nul si les vecteurs u, v et w sont coplanaires.

En effet, le vecteur u est alors perpendiculaire au produit vectoriel v w.

Si les vecteurs ne sont pas coplanaires, le produit mixte est non nul.

Produit mixte

Exemple 9.3.13

u • (v w) = 3 –2 58 1 3

1 42

Calculer le volume du parallélépipède construit sur les vecteurs :

u = (2; 1; 4), v = (3; –2; 5) et w = (8; 1; 3)

S

Le produit mixte donne :

= [2 (–11)] – [1 (–31)] + [4 (19)] = 85

On a donc : u • (v w) = 85

Le volume du parallélépipède est de 85 unités de volume.

Distances dans R3

Distance d’un point Q à un plan dont on connaît deux vecteurs directeurs.

Distance d’un point Q à un plan dont on connaît trois points.

La distance cherchée est la hauteur du

parallélépipède.

On l’obtient en divisant le volume par l’aire de la base, soit le module

du produit vectoriel des vecteurs directeurs.

On détermine un point R du plan ainsi

que le vecteur RQ. On détermine le

volume du parallélépipède construit sur

les trois vecteurs, D1, D2 et RQ donné

par la valeur absolue du produit mixte.

Soit A, B et C, les points. On procède de façon analogue en consi-

dérant les vecteurs D1 = AB, D2 = AC et AQ.

Distances dans R3

pour trouver la distance d’un point Q à un plan ∏ dans R3 (en utilisant des vecteurs directeurs)

1. Déterminer deux vecteurs directeurs du plan.

2. Déterminer un point R du plan.

3. Construire le vecteur allant du point R du plan au point Q dont on cherche la distance au plan.

4. Utiliser le produit mixte pour trouver le volume du parallélépipède construit sur ces trois vecteurs.

Procédure

5. Calculer la hauteur du parallélépipède en divisant son volume par l’aire de sa base, soit le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs. La hauteur du parallélépipède est la distance cherchée.

Exercice

S

La distance est d’environ 6,47 unités.

Le volume du parallélépipède est alors :

≈ 6,47

Trouver la distance du point Q(4; 5; 7) au plan ∏ :x = 2 + 3s – 2t

y = 5 – 4s + t

z = –7 + 5s – 3t

Les vecteurs directeurs sont : = (3; –4; 5) etD1

R(2; 5; –7) est un point du plan et

D2 = (–2; 1; –3) et

RQ = (2; 0; 14).

RQ • (D1 D2) = 3 –4 5–2 1 –3

0 142= –56

D1 D2 = 3 –4 5–2 1 –3

i j ki j k= 7 – 1 – 5 = (7; –1; –5)

72 + (–1)2 + (–5)2D1 D2 = = 75 et d (Q, ∏) =–56

75

S

Distances dans R3

Distance entre deux droites gauches(Méthode du produit mixte).

La distance cherchée est la hauteur du parallélépipède que l’on obtient en divisant le volume par le module du produit vectoriel des vecteurs directeurs, puisque celui-ci donne l’aire de la base du parallélépipède.

Par le produit mixte, on détermine le volume du parallé-lépipède construit sur les vec-teurs D1, D2 et PR.

On considère un point P de l’une des droites et un point R de l’autre droite pour construire le vecteur PR.

ExerciceTrouver la distance entre les droites suivantes :

SS

∆1 :

x = 2 – 3t

y = –5 + 7tz = –3 – 2t

Les vecteurs directeurs sont : = (–3; 7; –2) et D1= (6; –2; –3). D2

∆2 :

x = 8 + 6sy = 2 – 2sz = –3 – 3s

On a P(2; –5; –3) sur ∆1 et R(8; 2; –3) sur ∆2, d’où : = (6; 7; 0).PRLe produit mixte des vecteurs donne :

La distance du point au plan est donc d’environ 6,11 unités.

La distance est alors donnée par :

= 6(–21 – 4) – 7(9 + 12) + 0(6 – 42)

= 6(–25) – 7(21) + 0(–36) = –297

≈ 6,11

67 –2

6 –2 –3–3

7 0

D1 D2 ) = PR • (

d(∆1, ∆2)= =–297

2 362

D1 D2 )PR • (

D1 D2

De plus, D1 D2 = –25 i – 21 j k– 36 D1 D2 et 2 362=

Distance entre deux droites gauchesProduit mixte

pour déterminer la distance entre deux droites gauches

1. Déterminer les vecteurs directeurs des droites.

3. Effectuer le produit mixte des trois vecteurs directeurs et prendre la valeur absolue du produit pour obtenir le volume du parallélépipède.

2. Déterminer un point sur chacune des droites et le vecteur joignant ces deux points.

4. Effectuer le produit vectoriel des vecteurs directeurs et prendre le module de celui-ci pour déterminer l’aire de la surface de la base.

Procédure

5. Diviser le volume du parallélépipède par l’aire de sa base pour en obtenir la hauteur qui est la distance cherchée.

Exercice Trouver la distance entre les droites suivantes :

SSLe produit mixte des vecteurs donne :

La distance est alors donnée par :

= 6(4 – 30) – 5(–8 + 25) + 7(24 – 10)

= 6(–26) – 5(17) + 7(14) = –143

6–2 5

–5 6 –24

5 7 D1 D2 ) = PR • (

∆1 : x = 5 + 4t

y = 4 – 2tz = –2 + 5t

Les vecteurs directeurs sont : = (4; –2; 5) et D1= (–5; 6; –2). D2

∆2 : x = 11 – 5sy = 9 + 6sz = 5 – 2s

On a P(5; 4; –2) sur ∆1 et R(11; 9; 5) sur ∆2, d’où : = (6; 5; 7).PR

d(∆1, ∆2)= D1 D2 )PR • (

D1 D2

=–143

1 161≈ 4,20

La distance entre les droites est donc d’environ 4,20 unités.

De plus, D1 D2 = –26 i – 17 j k+ 14 D1 D2 et 1 161=

ConclusionLe produit mixte de trois vecteurs de R3 est un scalaire dont la valeur

absolue représente le volume du parallélépipède construit sur les

trois vecteurs ramenés à une origine commune.

Le produit mixte est nul si et seulement si les trois vecteurs sont

coplanaires.

On peut utiliser le produit mixte pour calculer des distances dans R3

en utilisant le fait que le volume du parallélépipède divisé par l’aire

de sa base donne la hauteur.

On peut également déterminer l’équation cartésienne du plan dont

on connaît un point et deux vecteurs directeurs à l’aide du produit

mixte.

Lecture

Exercices

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 9.4, p. 289 et 290.

Mathématiques pour la chimie et la biologie, section 9.3, p. 281 à 283.