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Montage préparé par : André Ross Professeur de mathématiques Cégep de Lévis-Lauzon Propriétés des Déterminants
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Montage préparé par :Montage préparé par :
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
André Ross
Professeur de mathématiques
Cégep de Lévis-Lauzon
Propriétésdes
Déterminants
Propriétésdes
Déterminants
Introduction
Nous présentons dans ce diaporama les propriétés des déterminants.
Dans chaque cas, l’idée de la preuve est illustrée à l’aide de
déterminants d’ordre 3, mais il est facile de voir comment on peut
généraliser ces illustrations pour en faire une démonstration.
Nous utiliserons ces propriétés pour simplifier le calcul d’un
déterminant en faisant apparaître des zéros sur une ligne ou une
colonne. Elles nous serviront également pour démontrer la méthode de
Cramer pour un système de trois équations à trois inconnues. Cette
démonstration est facilement généralisable sous la forme que nous
présenterons.
Ces propriétés nous permettront également de comprendre pourquoi
le produit d’une matrice carrée A et de son adjointe donne une
matrice scalaire dont le scalaire est det A.
Propriétés du déterminantPropriété 1
a11
a21
a31
0
0
0
Si tous les éléments d’une ligne (ou d’une colonne) d’une matrice carrée A sont nuls, alors :
det A = 0 C12 + 0 C22 + 0 C32 = 0 , par le développement de Laplace.
a13
a23
a33
Soit A =
En développant le déterminant selon la colonne de zéros, on obtient :
On constate facilement qu’il suffit de procéder de la même façon, quelle que soit la dimension de la matrice carrée, pour montrer que le déterminant d’une matrice ayant une ligne (ou une colonne de zéros) est nul.
.
det A = 0
Idée de la preuve
S
Propriétés du déterminantPropriété 2
a11
a21
a31
a12
a22
a32
Soit A, une matrice carrée et B obtenue en multipliant les éléments d’une ligne ou d’une colonne de A par un nombre réel k. Alors :
det B = k det A
det B = ka13 C13 + ka23 C23 + ka33 C33
a13
a23
a33
Soit A =
En développant le déterminant selon la colonne qui a été multipliée par k, on obtient :
a11
a21
a31
a12
a22
a32
ka13
ka23
ka33
et B = .
Idée de la preuve
S
= k (a13C13 + a23 C23 + a33 C33)
, par le développement de Laplace
= k det A.
, par mise en évidence
Exemple 3.3.1
Tous les éléments de la première ligne ont 1/5 comme facteur, ceux de la deuxième ligne ont tous 4 comme facteur et ceux de la troisième ligne ont 1/2 comme facteur. On a donc :
Le déterminant de cette matrice est –2/5.
Calculer le déterminant de la matrice A = .1/5
4
7/2
1/5
8
3/2
2/5
16
5/2S
1/5
4
7/2
1/5
8
3/2
2/5
16
5/2
det A =
1
1
7
1
2
3
2
4
5
= 15
12
4
= 25
1 –1 + 2 2
3
4
5
1
7
4
5
1
7
2
3
= 25 [1(10 – 12) – 1(5 – 28) + 2(3 – 14)] =
25 [–2 + 23 – 22] =
–25
Propriétés du déterminantPropriété 3
a11
a21
a31
a12
a22
a32
Soit A, une matrice carrée d’ordre n, et k, un nombre réel. Alors :
det (kA) = kn det A
a13
a23
a33
Soit A =
ka11
ka21
ka31
ka12
ka22
ka32
ka13
ka23
ka33
, alors kA =
Idée de la preuve
.
S
det kA =
ka11
ka21
ka31
ka12
ka22
ka32
ka13
ka23
ka33
= k2 = k3
a11
a21
a31
ka12
ka22
ka32
ka13
ka23
ka33
= k = k3 det A
De la même façon, on montre que pour un déterminant d’ordre n, on a : det (kA) = kn det A
a12
a22
a32
a13
a23
a33
Propriétés du déterminantPropriété 4
Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si une matrice B est obtenue en permutant deux colonnes (ou deux lignes) consécutives de la matrice A, alors :
a
d
g
b
e
h
c
f
iSoit A =
a
d
g
c
f
idet B = = –c(dh – ge) + f(ah – gb) – i(ae – db)
et B =
a
d
g
c
f
i
b
e
h
b
e
h
det B = – det A
Idée de la preuve
.
= –[c(dh – ge) – f(ah – gb) + i(ae – db)]
a
d
g
c
f
i
b
e
h
= – = – det A
S
S
S
Propriétés du déterminantPropriété 5
Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si une matrice B est obtenue en permutant deux colonnes (ou deux lignes) quelconques de la matrice A, alors :
Supposons que l’on veut permuter la première et la quatrième colonne du déterminant suivant :
Idée de la preuve
Sdet B = – det A
= –1 = (–1)2 = (–1)3 = (–1)4
= (–1)5Chaque fois que l’on veut changer deux colonnes (ou deux lignes) de position, le nombre de permutations est 2k + 1, où k est le nombre de colonnes (ou de lignes) entre celles que l’on veut permuter.
On multiplie donc le déterminant par (–1)2k+1 = –1, ce qui revient à changer le signe du déterminant et det B = – det A.
En permutant deux colonnes (ou deux lignes) consécutives, on multiplie le déterminant par –1. On a donc :
SS
Propriétés du déterminantPropriété 6
Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si deux colonnes ou deux lignes de A sont identiques, alors :
Développons le déterminant selon la première colonne.
Dans une matrice de dimension n, en choisissant judicieusement la colonne ou la ligne du développement, on parvient toujours à des déterminants d’ordre plus petit ayant deux colonnes (ou deux lignes) identiques.
a
d
g
b
e
h
b
e
h
det A = = a(eh – he) – d(bh – hb) + g(be – eb) = 0
Idée de la preuve det (A) = 0
S
S
On peut, de façon plus simple, tenir le raisonnement suivant :
a
d
g
b
e
h
b
e
h
Soit A = .
Soit A une matrice carrée ayant deux colonnes (ou deux lignes) identiques. La permutation de ces deux colonnes (ou de ces deux lignes) a pour effet de changer le signe du déterminant. Par ailleurs, cette permutation donne le même déterminant. On doit donc avoir :
det A = – det A, d’où 2 det A = 0 et det A = 0
Propriétés du déterminantPropriété 7
Soit A, une matrice carrée d’ordre n. Si deux colonnes ou deux lignes de A sont proportionnelles, alors :
a
d
g
b
e
h
kb
ke
kh
Soit A =
a
d
g
b
e
h
kb
ke
kh
det A =
. Par les propriétés 2 et 6 , on a :
a
d
g
b
e
h
b
e
h
= k = k 0 = 0
Idée de la preuve
det (A) = 0 S
Propriétés du déterminantPropriété 8
Si chaque élément d’une colonne où d’une ligne d’une matrice carrée A est la somme de deux termes, alors le déterminant de A peut être écrit comme une somme de deux déterminants.
a
d
g
b
e
h
c + r
f + s
i + u
det A = d
g
e
h
Idée de la preuve
= (c + r) – (f + s) + (i + u)a
g
b
ha
d
b
e
d
g
e
h= c – f + i
a
g
b
h
a
d
b
e
d
g
e
h+ r – s + u
a
g
b
h
a
d
b
e
a
d
g
b
e
h
c
f
i
=
a
d
g
b
e
h
r
s
u
+
En distribuant :
Le déterminant de A peut donc être écrit comme une somme de deux déterminants.
S
S
Propriétés du déterminantPropriété 9
Si B est une matrice carrée d’ordre n formée de tous les éléments d’une matrice A, à l’exception d’une colonne (ou d’une ligne) à laquelle on a ajouté un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne), alors det B = det A.
a
d
g
b
e
h
c
f
i
Soit A =
a
d
g
b + ka
e + kd
h + kg
c
f
i
det B =
a
d
g
b
e
h
c
f
i
=
a
d
g
ka
kd
kg
b
e
h
+
et B =
a
d
g
b + ka
e + kd
h + kg
c
f
i
a
d
g
b
e
h
c
f
i
= + 0 = det A
.
Idée de la preuve
S
S
S
Propriétés du déterminantPropriété 10
Si A est une matrice triangulaire supérieure (ou inférieure) d’ordre n. Alors, le déterminant de A est le produit des éléments de sa diagonale principale. On écrit symboliquement :
det A = a11 a22 a33 … ann
a11
0
0
a12
a22
0
a13
a23
a33
Soit A =
a11
0
0
a12
a22
0
a13
a23
a33
det A = a22
0
a23
a33
= a11 = a11 (a22 a33 – 0) = a11 a22 a33
En développant le déterminant selon la première colonne, on obtient :
.
Idée de la preuve
S
Calcul et propriétésProcédure
pour calculer un déterminant à l’aide des propriétés
1. Repérer la colonne (ou la ligne) où il est plus simple de faire apparaître des zéros.
2. Faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une ligne) un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne). Répéter le procédé au plus grand nombre de colonnes (ou de lignes) :
3. Développer le déterminant selon la colonne (ou la ligne) contenant les zéros.
4. Si nécessaire, refaire les opérations dans le déterminant d’ordre n – 1.
Ci Ci + kCj , où k R ou Li Li + kLj , où k R
Exemple 3.3.4
Soit A =
Par des opérations de colonnes, faisons apparaître des zéros sur la deuxième ligne en considérant l’élément a22 comme pivot.
det A =
Utiliser les propriétés pour calculer det A.
4
4
5
2
2
1
3
–2
–2
–2
–5
5
.
–5
3
6
–4
4
4
5
2
–2
–2
–5
5
–5
3
6
–4
–4
0
–7
10
2
1
3
–2
2
0
1
1
–11
0
–3
2
=
C1 – 4C2
C2
C3 + 2C2
C4 – 3C2
–4
–7
10
–11
–3
2
= 1 =
L1 – 2L2
L2
L3 – L2
10 0 –5
= 1
S
S
S
Développons le déterminant selon la deuxième ligne. Par des opérations de lignes, faisons apparaître des zéros sur la deuxième colonne en considérant le nouvel élément a22 comme pivot.
2
1
3
–2
2
1
1
–7 1 –3
17 0 5
RemarqueLorsqu’on fait apparaître des zéros dans un déterminant, il faut appliquer correctement la propriété 9.
Ci 1Ci + kCj , où k R ou Li 1Li + kLj , où k R
Dans cette écriture symbolique, le coefficient de la colonne ou de la ligne modifiée est 1.
On doit faire apparaître les zéros en ajoutant à une colonne (ou à une ligne) un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne).
Ainsi, on ne peut faire une opération du genre L2 2L2 – 3L1, comme on faisait sur les matrices car cela a pour effet de multiplier la ligne, donc le déterminant, par 2.
Il ne faut pas multiplier une colonne (ou une ligne) par une constante avant de lui additionner un multiple d’une autre colonne (ou d’une autre ligne) car alors on multiplie la valeur du déterminant par cette constante.
Exercice
Soit A =
Par des opérations de lignes, faisons apparaître des zéros sur la troisième colonne en considérant l’élément a33 comme pivot.
det A =
Utiliser les propriétés pour calculer det A.
3
1
2
4
1
1
–3
–2
–2
4
2
2
.
4
–5
1
2
3
1
2
4
1
1
–3
–2
–2
4
2
2
4
–5
1
2
5 –2 0 5
=
L1 + L3
L2 – 2L3
L3
L4 – L3
5
–3
2
–2
7
1
5
–7
1
= 2 =
C1 – 2C2
C2 – C3
C3
–5
11
0
–7
14
0
5
–7
1
= 2 (–70 + 77) = 14
S
S
S
Développons le déterminant selon la troisième colonne. Par des opérations de colonnes, faisons apparaître des zéros sur la troisième ligne en considérant le nouvel élément a33 comme pivot.
2
–3 7 0 –72 –3 2 1
2 1 0 1
Méthode de CramerThéorème
Soit un système de trois équations à trois inconnues :
a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1
a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2
a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3
Ce système admet une solution unique (x1; x2; x3) = (k1; k2; k3) si et seulement si le déterminant de la matrice des coefficients, det A, est différent de 0 et cette solution est :
b1
b2
b3
a12
a22
a32
a13
a23
a33 k1 = a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
b1
b2
b3
a13
a23
a33 , k2 = a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11
a21
a31
a12
a22
a32
b1
b2
b3et k3 = a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
Méthode de CramerDémonstration
Supposons qu’il y a une solution (k1; k2; k3) au système; cela signifie que les trois énoncés suivants sont vrais :
a11k1 + a12k2 + a13k3 = b1
a21k1 + a22k2 + a23k3 = b2
a31k1 + a32k2 + a33k3 = b3
Considérons cette hypothèse.
a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33
det A =
a11 k1
a21 k1
a31 k1
a12
a22
a32
a13
a23
a33
k1 det A =
Par la propriété 2 on a :Par la propriété 9, on peut effectuer l’opération : C1 C1+ k2C2 :De plus, on peut effectuer l’opération : C1 C1+ k3C3 :L’hypothèse permet alors d’écrire :
a11 k1 + a12k2
a21 k1 + a22k2
a31 k1 + a32k2
a12
a22
a32
a13
a23
a33
a11 k1 + a12k2 + a13k3
a21 k1 + a22k2 + a23k3
a31 k1 + a32k2 + a33k3
a12
a22
a32
a13
a23
a33
b1
b2
b3
a12
a22
a32
a13
a23
a33
. Si det A ≠ 0, on a :
b1
b2
b3
a12
a22
a32
a13
a23
a33 k1 = a11
a21
a31
a12
a22
a32
a13
a23
a33On procède de façon analogue pour k2 et k3.
S
S
SS
Méthode de CramerProcédure
pour résoudre un système de n équations linéaires à n inconnues par la méthode de Cramer
1. Calculer le déterminant de la matrice des coefficients pour s’assurer que le système a une solution unique : det A ≠ 0.
2. Construire et calculer le déterminant associé à la ie inconnue en substituant la colonne des constantes à la colonne des coefficients de cette inconnue : det Ai , où i est la colonne associée à la ie
inconnue (i = 1, ..., n).
3. Calculer le quotient du déterminant associé à l’inconnue sur le déterminant de la matrice des coefficients : xi = (det Ai)/(det A).
4. Répéter les étapes 2 et 3 pour chacune des inconnues du système.
Exemple 3.3.6
det A =
Résoudre le système d’équations :
2
4
1
–3
–2
5
5
1
–1=
L1 – 2L3
L2 – 4L3
L3
0 –13 7
S
S
S
Calculons d’abord le déterminant de la matrice des coefficients.
2x1 – 3x2 + 5x3 = –84x1 – 2x2 + x3 = 12x1 + 5x2 – x3 = –3
= 1 (–65 +154) = 89
x1 = , x2 = et x3 =
–8
12
–3
–3
–2
5
5
1
–1
89
2
4
1
5
1
–1
2
4
1
–3
–2
5
–8
12
–3
–8
12
–3
89 89
Le déterminant est non nul, la solution est unique et la méthode de Cramer est utilisable.
267
89= 3
–178
89= –2
–356
89= –4
La solution est (3; –2; –4).
0 –22 51 5 –1
Exercice
det A =
Résoudre le système d’équations :
3
1
2
2
–3
6
4
2
3=
L1 – 3L2
L2
L3 – 2L2
0 11 –2
S
S
S
Calculons d’abord le déterminant de la matrice des coefficients.
3x1 + 2x2 + 4x3 = 31x1 – 3x2 + 2x3 = 372x1 + 6x2 + 3x3 = –5
= –1 (–11 + 24) = –13
x1 = , x2 = et x3 =
31
37
–5
2
–3
6
4
2
3
–13
3
1
2
4
2
3
3
1
2
–2
–3
6
31
37
–5
31
37
–5
–13 –13
Le déterminant est non nul, la solution est unique et la méthode de Cramer est utilisable.
–65
–13= 5
78
–13= –6
–91
–13= 7
La solution est (5; –6; 7).
1 –3 2
0 12 –1
d
g
f
i
d
g
e
h
a
g
b
h
Matrice adjointe
Soit la matrice A =
S
e
h
f
i
b
h
c
i
a
g
c
i
b
e
c
f
a
d
c
f
a
d
b
e
–
–
–
–
Déterminer cof A.
S
Déterminer adj A.
d
g
e
h
b
e
c
f
d
g
f
i–
b
h
c
i–
a
d
c
f–
a
g
b
h–
Calculer A • adj A.
S
a
d
g
b
e
h
c
f
i
•
c11 = ae
h
f
i
d
g
f
i– b + c
d
g
e
h=
a
d
g
b
e
h
c
f
i= det A
=
c11
c21
c31
c12
c22
c32
c13
c23
c33
.
a
d
g
b
e
h
c
f
i
det A 0 0
0
S= 0c12 = – ab
h
c
i
a
g
c
i+ b – c
a
g
b
h=
a
a
g
b
b
h
c
c
iS
det A 0
0 0 det A
c13 = ab
e
c
f
a
d
c
f– b + c
a
d
b
e= 0=
a
d
a
b
e
b
c
f
cSc21 = d
e
h
f
i
d
g
f
i– e + f
d
g
e
h= 0=
d
d
g
e
e
h
f
f
iSc22 = –d
b
h
c
i
a
g
c
i+ e – f
a
g
b
h= det A=
a
d
g
b
e
h
c
f
iSc23 = d
b
e
c
f
a
d
c
f– e + f
a
d
b
e= 0=
a
d
d
b
e
e
c
f
fS
c31 = ge
h
f
i
d
g
f
i– h + i
d
g
e
h= 0=
g
d
g
h
e
h
i
f
iSc32 = –g
b
h
c
i
a
g
c
i+ h – i
a
g
b
h= 0=
a
g
g
b
h
h
c
i
iS
c33 = gb
e
c
f
a
d
c
f– h + i
a
d
b
e= det A=
a
d
g
b
e
h
c
f
iS
Le produit A • adj A est une matrice scalaire et ce scalaire est le déterminant de A. Les éléments de la diagonale sont la somme des produits des éléments de la ligne correspondante par leurs cofacteurs respectifs et les éléments hors diagonale sont la somme des éléments d’une ligne par les cofacteurs d’une autre ligne.
S
Le produit (adj A) • A donne la même matrice. Dans ce cas, les éléments de la diagonale sont la somme des produits des éléments de la colonne correspondante par leurs cofacteurs respectifs et les éléments hors diagonale sont la somme des éléments d’une colonne par les cofacteurs d’une autre colonne.
Conclusion
Les propriétés du déterminant permettent d’en simplifier le calcul en
faisant apparaître des zéros sur une ligne ou une colonne et en
ramenant le calcul à celui d’un déterminant d’ordre moins élevé.
En utilisant ces propriétés, on peut facilement généraliser la méthode
de Cramer à des systèmes de n équations linéaires à n inconnues. Un
tel système a une solution unique si et seulement si le déterminant de
la matrice des coefficients est non nul.
Ces propriétés permettent également de comprendre pourquoi le
produit d’une matrice carrée A et de son adjointe donne une matrice
scalaire dont le scalaire est det A. Cela donne une des méthodes pour
trouver l’inverse d’une matrice que nous présenterons au prochain
chapitre.
ExercicesAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 3.4, p. 77 et 78.
Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 3.4, p. 77 et 78.
LectureAlgèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences de la nature, section 3.3, p. 69 à 76.Algèbre linéaire et géométrie vectorielle, applications en sciences humaines, section 3.3, p. 69 à 76.
