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André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Variationet taux de variation

Variationet taux de variation

IntroductionLorsqu’on tente de comprendre un aspect d’un phénomène naturel, une approche possible est d’effectuer des mesures et de tenter d’en déduire une relation.

Dans cette approche, on modifie la valeur d’une des variables, appelée alors variable indépendante, et on mesure l’impact de ce changement sur une autre variable appelée variable dépendante.

On obtient alors des couples de valeurs correspondantes dont la représentation graphique donne un aperçu du lien entre les variables.

Le taux de variation est une mesure de l’impact d’un changement de

la variable indépendante sur la variable dépendante.

Mise en situationEn temps normal, la température intérieure de votre logement est maintenue à 22 °C. Au cours d’une panne d’électricité à la mi-janvier, vous avez relevé la température à l’intérieur de la maison à différents moments à partir du début de la panne. Les valeurs obtenues sont consignées dans le tableau ci-contre.

La diminution de température est-elle constante?

Pour le savoir, déterminons une mesure de l’évolution de la température par rapport au temps.

0,00 22,0

0,50 20,3

1,50 17,5

2,75 14,5

3,50 12,9

5,25 9,9

Durée (h)

T(°C)

Il suffit de prendre la différence de température entre la fin et le début de chacun des intervalles et de diviser par le temps écoulé.

Mise en situationLa variation de température durant la première demi-heure est :

Le taux de variation moyen de la température durant cet intervalle de temps est :

0,00 22,0

0,50 20,3

1,50 17,5

2,75 14,5

3,50 12,9

5,25 9,9

Durée (h)

T(°C)

On peut compléter ces calculs pour les autres intervalles de temps.

∆T∆h

–

–3,4

(°C/h)∆T = 20,3 – 22,0 = –1,7 °CLa variation de temps est :

∆t = 0,50 – 0,00 = 0,50 h

∆T∆t [0,00; 0,50]

–1,7 °C0,50 h= = –3,4 °C/h

En calculant le taux de variation moyen durant l’intervalle [0,50; 1,50], on obtient :

∆T∆t [0,50; 1,50]

–2,8 °C1,00 h= = –2,8 °C/h

–2,8

–2,4

–2,1

–1,7

Mise en situation

Le calcul des taux de variation moyen permet de constater que la diminution de température est de moins en moins rapide.

Le taux de variation moyen d’une variable par rapport à l’autre véhicule de l’information sur le phénomène. Il décrit un aspect de celui-ci.

0,00 22,0

0,50 20,3

1,50 17,5

2,75 14,5

3,50 12,9

5,25 9,9

Durée (h)

T(°C)

∆T∆h

–

–3,4

(°C/h)

–2,8

–2,4

–2,1

–1,7

Pour faire une analyse complète du phénomène, le taux de variation moyen n’est pas suffisant. On peut tenter de déterminer un modèle décrivant le lien entre les variables, par une relation ou par une fonction.

Mais, voyons d’abord quelques grandeurs physiques qui sont des taux de variation.

Taux de variation et grandeurs physiques

La vitesse moyenne durant un intervalle de temps [c; d] est le taux de variation de la position par rapport au temps durant cet intervalle. Elle est mesurée en mètres par seconde (m/s).

L’accélération moyenne durant un intervalle de temps [c; d] est le taux de variation de la vitesse par rapport au temps. L’accélération est mesurée en mètres par seconde par seconde (m/s2);Le débit moyen durant un intervalle de temps [c; d] est le taux de variation du volume de liquide par rapport au temps. Il est mesuré en mètres cubes par seconde (m3/s) ou en litres par seconde (L/s);

Le courant moyen durant un intervalle de temps [c; d] est le taux de variation de la charge par rapport au temps. Il est mesuré en coulombs par seconde (C/s) ou en ampères (A). La relation entre les unités de mesure est 1 C/s = l A;

Quelques exemples :

Relation et fonctionOn soupçonne qu’il y a un lien entre la résistance d’un conducteur et la température.

Supposons que les mesures observées sont celles du tableau suivant :

Pour s’en assurer, on peut appliquer le protocole suivant :

1. Construire un circuit suivant le schéma ci-contre.

2. Refroidir celui-ci jusqu’à –20 °C, fermer le circuit.

4. Mesurer la résistance à diverses tempé-ratures à intervalles de 10 °C.

3. Réchauffer le circuit jusqu’à 30 °C.

T (°C) –20 –10 0 10 20 30

R (Ω) 17,2 19,4 21,5 23,7 25,7 28,0

Relation et fonctionEn récoltant les données de ce tableau, on a couplé des mesures. L’ensemble de ces couples constitue une relation. Dans notre mise en situation, ces couples donnent un aperçu de la relation entre la résistance et la température.L’ensemble de ces couples peut également être représenté de la façon suivante :

f : (–20; 17,2), …,(–10; 19,4), …, (0; 21,5), …, (30; 28,0), …

Couple

Préimage du couple

Image du couple

DÉFINITION

Fonction

Une fonction est une relation pour laquelle chaque préimage a une et une seule image.

Représentations d’une fonctionExtension

Représentation sous la forme d’un tableau ou d’une liste de couples.

T (°C) –20 –10 0 10 20 30

R (Ω) 17,2 19,4 21,5 23,7 25,7 28,0

Graphique

En associant à chaque couple d’une relation un point dans un système de référence cartésien.

La variable indépendante est repré-sentée sur l’axe horizontal et la variable dépendante sur l’axe vertical.

On obtient une courbe qui est la représentation graphique de cette relation. R

ésis

tanc

e (Ω

)

Température (°C)–30 –20 –10 10 20 30 T

R28

24

20

16

12

8

Représentations d’une fonction

Verbale

La représentation verbale est la description en mots d’une situation comportant des variables entre lesquelles il existe une relation.

Représentation sous la forme :

Compréhension

f : (T; R) R2 | •••où ••• devrait être une phrase ou une équation décrivant la relation entre les variables observées et permettant d’en faire l’analyse dans des cas complexes.

f : (T; R) R2 | R =

Dans ces cas, il faut traduire la description verbale en écriture symbolique pour obtenir la représentation en compréhension.

ModélisationLa modélisation d’un phénomène est la démarche qui vise à décrire celui-ci par une relation en compréhension.

Le modèle est dit global, lorsqu’il décrit la correspondance pour l’ensemble des valeurs que peut prendre la variable indépendante ou l’ensemble des valeurs obtenues expérimentalement.

Il est dit local s’il décrit seulement un sous-intervalle de l’ensemble des valeurs possibles.

Il est dit par segments (ou par intervalles) si le modèle comporte plus d’une équation et que chacune de celles-ci n’est valide que sur un intervalle déterminé.

La représentation graphique permet de visualiser le comportement des variables et de faire des hypothèses sur le type de lien entre les variables.

Ainsi, lorsque les points sont alignés, on peut faire l’hypothèse d’un lien affin entre les variables.

Fonction affineDÉFINITION

Fonction affine

Une fonction affine est une fonction de la forme :f(x) = ax + b

où a et b sont des nombres réels et a ≠ 0.

La représentation graphique d’une fonction affine est une droite dont l’intersection avec l’axe vertical est (0; b). (0; b)Le coefficient a est appelé pente de la droite ou taux de variation de la relation.

a =∆y∆x

=y2 – y1

x2 – x1

∆x = x2 – x1

∆y = y2 – y1

( x1; y1)

( x2; y2)

DomaineDÉFINITION

Domaine d’une fonction

On appelle domaine d’une fonction l’ensemble des valeurs qui ont une image par la fonction.

DÉFINITION

Domaine de validité d’un modèle

On appelle domaine de validité d’un modèle l’intervalle pour lequel le modèle est valide, compte tenu de la situation qu’il décrit.

ContinuitéDÉFINITION

Fonction continue sur un intervalle

Lorsque le graphique d’une fonction sur un intervalle de son domaine est constitué d’une seule courbe ne comportant pas de coupures, on dit que la fonction est continue sur cet intervalle.

c d c d

Continue sur [c; d] Discontinue sur [c; d]

VariationDÉFINITION

Variation

On appelle variation tout changement de la valeur d’une variable. On représente une variation par la lettre grecque ∆ (delta). Ainsi ∆x, qui se lit delta x, représente une variation de la variable x.

∆x = d – c

Soit f, une fonction continue sur un intervalle fermé [c; d]. La variation ∆y de cette fonction dans l’intervalle [c; d] est définie par :

Si la valeur initiale de cette variable dans un intervalle est représentée par c et la valeur finale par d, la variation ∆x est donnée par :

c

(c; f(c))

d

(d; f(d))

∆x = d – c

∆y = f(d) – f(c)

∆y

Taux de variationDÉFINITION

Taux de variation

Soit y = f(x), une fonction continue sur un intervalle fermé [c; d] domf. On appelle taux de variation moyen de f dans l’intervalle [c; d] le rapport :

Le taux de variation moyen est le rapport de la variation de la variable dépendante à la variation de la variable indépendante sur un intervalle particulier.

c

(c; f(c))

d

(d; f(d))

∆x = d – c

∆y

∆y

∆x [c; d]

=f(d) – f(c)

d – c

Graphiquement, c’est la pente de la sécante passant par les points (c; f(c)) et (d; f(d)).

ExempleLe graphique ci-contre représente la vitesse v d’un mobile en fonction du temps t.

Calculer le taux de variation moyen de la vitesse durant l’intervalle [1; 4].

SS

On peut estimer graphiquement que la vitesse à 1 s est de 0,6 m/s et à 4 s, elle est de 1,2 m/s, d’où :

∆v = v2 – v1 = 1,2 – 0,6 = 0,6 m/s

La durée de l’intervalle est :∆t = t2 – t1 = 4 – 1 = 3 s

Le taux de variation est alors :

∆v

∆t [1; 4]

=0,6 m/s

3 s= 0,2 m/s2

∆t = t2 – t1 = 4 – 1 = 3 s

∆v ∆t

Le taux de variation moyen est positif et signifie que, durant cet intervalle, la vitesse augmente, en moyenne, de 0,2 mètre par seconde à chaque seconde. Le taux de variation de la vitesse par rapport au temps est une accélération.

S

Vocabulaire des formesLe taux de variation d’une fonction non affine n’est pas constant et la courbe d’une telle fonction peut avoir une des quatre formes élémentaires du tableau suivant.

Formes élémentairesConcave vers le haut

Cro

issa

nte

Déc

rois

san

te

Concave vers le bas

Formes composéesUn phénomène qui n’a que l’un de ces comportements est dit monotone. Si le phénomène n’est pas monotone, la courbe de la fonction a alors un ou des changements de comportement. Elle peut alors avoir une des caractéristiques du tableau suivant.

Formes composéesContinue

Lis

seN

on-l

isse

Discontinue

SSSS

ExempleOn lance une balle verticalement avec une vélocité de 20 m/s. La position de la balle mesurée à partir du sol est décrite par :

s = f(t) = 20t – 4,9t2 mètres

Trouver le taux de variation moyen de s par rapport à t durant l’intervalle de temps [0,5; 1,75], représenter graphiquement ce taux de variation et interpréter.

s

t [0,5; 1,75]

s(1,75) – s(0,5) m

(1,75 – 0,5) s

(19,99 – 8,78) m

1,25 s

8,97 m s

8,97 m/s

La balle s’éloigne du sol de 8,97 mètres par seconde en moyenne durant cet intervalle de temps.

Trouver le taux de variation moyen de s par rapport à t durant l’intervalle de temps [1,75; 3], représenter graphiquement ce taux de variation et interpréter.

s

t [1,75; 3]

s(3) – s(1,75) m

(3 – 1,75) s

(15,90 – 19,99) m

1,25 s

–3,27 m s

La balle s’approche du sol de 3,27 mètres par seconde en moyenne durant cet intervalle de temps.

–3,27 m/s

Conclusion

Le taux de variation moyen est une mesure de la rapidité avec laquelle une variable dépendante réagit à une variation de la variable indépendante.

On peut estimer le taux de variation moyen lorsque la fonction est définie par une représentation graphique continue ou supposée telle.

On peut le calculer lorsque la fonction est continue et définie en extension ou en compréhension.

Lorsque la fonction est décrite verbalement, il faut d’abord traduire en langage symbolique (définir en compréhension) pour pouvoir le calculer.

Exercices

Calcul différentiel en sciences de la nature, section 2.2, p. 12 à 14.

Lecture

Calcul différentiel en sciences de la nature, section 1.1, p.3 à 11.