Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

L’aire, limite d’une

somme

L’aire, limite d’une

somme

Introduction

Dans cette présentation, nous allons voir comment

on peut définir l’aire sous une courbe comme

limite d’une somme de différentielles.

Exemple 2.1.1Décomposer l’aire sous la courbe définie par f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1] en 5 rectan-gles de même base et estimer l’aire sous la courbe à l’aide de ces rectangles.

SSS

Considérons l’image des frontières de gauche des sous-intervalles comme hauteur :

A > A1 + A2 + A3 + A4 + A5

A > f(0) dx + f(1/5) dx +... + f(4/5) dx

A < f(1) dx + f(2/5) dx +... + f(5/5) dx

A > 30/125

A < A1 + A2 + A3 + A4 + A5

A < 55/125

Considérons les images des frontières de droite des sous-intervalles :

A > 30/125

A < 55/125

En augmentant le nombre de sous-intervalles, on augmente la précision de l’estimation.

Discussion

SS

A > 30/125

A < 55/125

A > 285/1000

A < 385/1000

REMARQUE :

Cette discussion nous indique comment obtenir l’aire exacte sous la courbe. Il faut diviser l’intervalle en un nombre infini de sous-intervalles.

Sommes de puissances d’entiers

SSS

Les sommes des puissances des n premiers entiers positifs sont données par les expressions suivantes :

€

1+2+3+...+n =n(n+1)

2

€

12 +22 +32 +...+n2 =n(n+1)(2n+1)

6

€

13 +23 +33 +...+n3 =n2(n+1)2

4

Exemple 2.1.2En considérant les frontières droites, déterminer l’aire sous la courbe définie par f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1] en évaluant la limite de la somme des aires de rectangles lorsque leur nombre tend vers l’infini.

SS

Considérons que l’intervalle [0; 1] est divisé en n sous-intervalles :

[0; 1/n], [1/n; 2/n], [2/n; 3/n], ..., [(n–1)/n; n/n]

Considérons les images des frontières de droite des sous-intervalles :

€

At =1n

×1n ⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

+1n

×2n ⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

+1n

×3n ⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

+...+1n

×nn ⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

€

At =1n

×12

n2 ⎛ ⎝

⎞ ⎠+

1n

×22

n2 ⎛ ⎝

⎞ ⎠+

1n

×32

n2 ⎛ ⎝

⎞ ⎠+...+

1n

×n2

n2 ⎛ ⎝

⎞ ⎠

SS

€

=1

n3 × 12 +22 +32 +...+n2( )

S

€

=2n3 +3n2 +n

6n3

€

A= limn→∞

2n3 +3n2 +n6n3

€

=limn→∞

n3

n3 ×2+3 n+1 n2

6

€

=limn→∞

2+3 n+1 n2

6

€

=26

=13

€

At =1

n3 ×n(n+1)(2n+1)

6

L’aire sous la courbe de f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1] est donc égale à 1/3 unité d’aire.

ExerciceEn considérant les frontières gauches, déterminer l’aire sous la courbe définie par f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1] en évaluant la limite de la somme des aires de rectangles lorsque leur nombre tend vers l’infini.

SS

Considérons que l’intervalle [0; 1] est divisé en n sous-intervalles :

[0; 1/n], [1/n; 2/n], [2/n; 3/n], ..., [(n–1)/n; n/n]

Considérons les images des frontières de gauche des sous-intervalles :

€

At =1n

×0n ⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

+1n

×1n ⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

+1n

×2n ⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

+...+1n

×n–1

n ⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

€

At =1n

×02

n2 ⎛ ⎝

⎞ ⎠+

1n

×12

n2 ⎛ ⎝

⎞ ⎠+

1n

×22

n2 ⎛ ⎝

⎞ ⎠+...+

1n

×(n –1)2

n2 ⎛ ⎝

⎞ ⎠

SS

€

=1

n3 × 02 +12 +22 +32 +...+(n–1)2( )

S

€

=2n3 – 3n2 +n

6n3

€

A= limn→∞

2n3 –3n2 +n6n3

€

=limn→∞

n3

n3 ×2– 3 n+1 n2

6

€

=limn→∞

2 –3 n+1 n2

6

€

=26

=13

€

At =1

n3 ×(n –1)n(2n –1)

6

L’aire sous la courbe de f(x) = x2 dans l’intervalle [0; 1] est donc égale à 1/3 unité d’aire.

Somme de RiemannDÉFINITION

Somme de Riemann

Soit f, une fonction définie sur [c; d] et P = {x0, x1, x2, ..., xn} une partition de cet intervalle, où x0 = c et xn = d. On appelle somme de Riemann toute somme de la forme :

En utilisant une somme de Riemann, on peut calculer une valeur approchée de l’aire sous la courbe d’une fonction positive. De plus, en considérant la limite lorsque la largeur du plus grand des sous-intervalles tend vers 0, soit :

et ∆xi = xi – xi–1

€

f (ai )Δxi , où ai ∈[xi–1; xi ]i=1

n∑

€

limmaxΔxi→0

f (ai )Δxi =i=1

n∑ lim

maxΔxi→0f (a1 )Δx1 + f (a2)Δx2 +...+ f (an)Δxn[ ]

on obtient la grandeur réelle de cette aire.

Intégrale définieDÉFINITION

Intégrale définie

Soit f, une fonction définie sur [c; d] et P = {x0, x1, x2, ..., xn} une partition de cet intervalle. L’intégrale définie de la fonction f sur l’intervalle [c; d] est notée :

et définie par :

lorsque cette limite existe. Lorsque c’est le cas, on dit que la fonction est intégrable sur l’intervalle [c; d].

€

f (x)dxc

d

∫

€

f (x)dxc

d

∫ = limmaxΔxi →0

f (ai )Δxi , où ai ∈[xi–1; xi ]i=1

n

∑

Dans cette notation, c est appelée la borne inférieure et d la borne supérieure de l’intégration. La fonction f(x) est appelée l’intégrande.

Procédure d’intégration

Calcul de l’aire par une somme de Riemann

1. Déterminer la largeur ∆x des sous-intervalles, ∆x = (d–c)/n.

2. Déterminer la frontière droite du ie sous-intervalle et calculer son image par la fonction (cette image est la hauteur du rectangle).

3. Déterminer l’aire du ie rectangle (terme général de la somme).

4. Écrire la somme de Riemann, effectuer les simplifications algébriques et écrire les sommes sous forme compacte.

SSS

5. Évaluer la limite de la somme et interpréter le résultat selon le contexte en tenant compte des unités s’il y a lieu.

S

Calculer l’intégrale définie suivante :

Exemple 2.1.6

SSS

€

(4 – x2 )dx0

2

∫On doit déterminer l’aire sous la courbe de f(x) = 4 – x2 sur l’intervalle [0; 2].

La frontière droite du ie rectangle est 2i/n et son image est :

€

f2in ⎛ ⎝

⎞ ⎠= 4 –

2in ⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

= 4 –22 i2

n2

L’aire du ie rectangle est :

€

A=2

n× 4 –

22 i2

n2

⎛ ⎝

⎞ ⎠=

2

n×

4n2 – 4i2

n2

⎛ ⎝

⎞ ⎠=

8

n3 n2 – i2( )

S

Calculer l’intégrale définie suivante :

Exemple 2.1.7

SSS

€

x2dx2

5

∫On doit déterminer l’aire sous la courbe de f(x) =  x2 sur l’intervalle [2; 5].

La frontière droite du ie rectangle est 2 + 3i/n et son image est :

€

f2n + 3i

n ⎛ ⎝

⎞ ⎠ =

2n + 3i

n ⎛ ⎝

⎞ ⎠

2

=4n2 +12ni + 9i2

n2

L’aire du ie rectangle est :

€

A =3

n×

4n2 +12ni + 9i2

n2 =3

n3 4n2 +12ni + 9i2( )

Les rectangles seront de largeur 3/n.