Montage préparé par :Montage préparé par :

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

André Ross

Professeur de mathématiques

Cégep de Lévis-Lauzon

Sous-espaces vectoriels engendrés

Sous-espaces vectoriels engendrés

Nous verrons d’abord que l’on peut obtenir un espace vectoriel en

construisant toutes les combinaisons linéaires d’un ensemble de

vecteurs donnés.

Introduction

Puis, nous rappellerons un certain nombre de faits sur l’espace

vectoriel engendré selon que l’ensemble des générateurs comporte un,

deux ou trois vecteurs.

Les applications porteront sur la description de l’espace vectoriel

engendré à partir d’un ensemble de générateurs et nous déter-

minerons, dans chaque cas, une base et la dimension de l’espace

vectoriel engendré.

Idée de la preuve1. Le sous-ensemble L(U) est non vide, puisque U L(U).

THÉORÈMESous-espace engendré

2. La somme de deux combinaisons linéaires des vecteurs de U est une combinaison linéaire des vecteurs de U, donc l’addition est fermée sur L(U).

3. La multiplication par un scalaire d’une combinaison linéaire des vecteurs de U est une combinaison linéaire des vecteurs de U, donc la multiplication par un scalaire est fermée sur L(U).

On peut ainsi conclure que L(U) est un sous-espace vectoriel de V.

}, un ensemble non vide de vecteurs d’un espace vectoriel V sur un corps K. Alors, l’ensemble des combi-naisons linéaires des vecteurs de U, noté L(U), forme un sous-espace vectoriel de V.

Soit U = { v1 v2 v3 vn, , , …,

Sous-espace engendré

Dans G2 ou dans G3

Sous-espace engendré par un vecteur

S

}, un ensemble contenant un seul vecteur géométrique. Les combinaisons linéaires de ce vecteur sont toutes les expressions de la forme a

uSoit U = {

, où a est un nombre réel. Par définition de la multiplication par un scalaire, tous ces vecteurs, ramenés à une origine commune, ont la même droite support.

u

Cette droite est la représentation géométrique du sous-espace engendré et u est un vecteur directeur de cette droite. Puisque le sous-espace vectoriel est une droite, on dit que sa dimension est 1 et l’ensemble B = { u } est une base du sous-espace.

, est appelé repère de la droite. Tous les points de la droite peuvent être considérés comme l’extrémité d’un vecteur de la forme a

}, formé de l’origine et du vecteur, L’ensemble {O, u u

u.Il est donc suffisant de donner le scalaire a pour situer le point dans ce repère.

Les vecteurs engendrés sont de la forme :a(2; 1) = (2a ; a)

Sous-espace engendré par un vecteur

S

Les vecteurs engendrés sont de la forme :a(3; –2; 4) = (3a; –2a ; 4a)

= (3; –2; 4)Dans R3 , considérons u

= (2; 1).uDans R2 , considérons

Ils forment un sous-espace vectoriel de dimension 1 dans R2. Ce sous-espace contient tous les vecteurs algébriques de la droite de repère {O, (2; 1)}.

Ils forment un sous-espace vectoriel de dimension 1 dans R3. Ce sous-espace contient tous les vecteurs algébriques de la droite de repère {O, (3; –2; 4)}.

Vecteurs colinéaires

Vecteurs non-colinéaires

Le sous-espace vectoriel engendré est donc de dimension 2.

Sous-espace engendré par deux vecteurs

représentent des vecteurs de ce plan. De plus, tout vecteur du plan ∏ peut s’exprimer sous la forme a

u + b vu + b v.

Deux vecteurs non colinéaires sont linéairement indépendants. Ramenés à une origine commune, ils définissent un plan ∏. Toutes les combinaisons linéaires de la forme a

Si les deux vecteurs sont colinéaires, ils sont linéairement dépendants. Ramenés à une origine commune, ils ont la même droite support et le lieu L(U) engendré par les combinaisons linéaires de ces deux vecteurs est la droite support.

Dans R2, considérons {(2; 1), (–1; 3)}

Dans R3, considérons {(2; –2; 4), (–2; 1; 2)}

Sous-espace engendré par deux vecteurs

Ces vecteurs sont linéairement indépendants, ils engendrent tous les vecteurs de la forme :

Ces vecteurs sont linéairement indépendants, ils engendrent donc tous les vecteurs de R2. L’en-semble {(2; 1), (–1; 3)} est une base de ce sous-espace vectoriel et l’ensemble {O, (2; 1), (–1; 3)} est un repère du plan.

L’ensemble {(2; –2; 4), (–2; 1; 2)} est une base de ce sous-espace vectoriel et l’ensemble {O, (2; –2; 4), (–2; 1; 2)} est un repère de ce plan dans l’espace.

a(2; –2; 4) + b(–2; 1; 2)

S

Vecteurs colinéaires ou vecteurs coplanaires

Vecteurs non-coplanairesDans G3

Dans R3

Sous-espace engendré par trois vecteurs

Si les vecteurs sont colinéaires ou coplanaires, cela revient à une des situations précédentes.

Trois vecteurs non coplanaires sont linéairement indépendants. Ramenés à une origine commune, ils sont dans des plans distincts. Ils engendrent donc tous les vecteurs de l’espace, soit un sous-espace de dimension 3.

Trois vecteurs qui sont non coplanaires sont linéairement indépendants; ils engendrent un espace de dimension 3, soit R3, et forment une base de R3.

(a + 2b; 2a + 5b; 3a + 4b) = (x; y; z)

S

Décrire le sous-espace vectoriel de R3 en-gendré par les vecteurs :

v1 v2= (1; 2; 3) et = (2; 5; 4)

a(1; 2; 3) + b(2; 5; 4) = (x; y; z)

En effectuant les opérations, on obtient :

(a; 2a; 3a) + (2b; 5b; 4b) = (x; y; z)

Par l’égalité des vecteurs de R2, on obtient le système d’équations qu’il faut résoudre pour répondre à la question, soit :

a + 2b = x

2a + 5b = y

3a + 4b = z

S

a + bv1 v2 = w

SS

= (x; y; z) soit engen-dré par les vecteurs

On doit déterminer à quelle condition (ou à quelles conditions) doivent satisfaire x, y et z pour que le vecteur w

v1 v2.et

On a alors :

Exemple 7.3.1

≈L1

L2 – 2L1

L3 – 3L1

Par la méthode de Gauss, on a :

≈

L1

L2

L3 + 2L2

22 51 x

y3 4 z

2

0

x

y – 2x1

1

0 z – 3x–2

2

0

x

y – 2x

1

1

0 –7x + 2y + z0

Le système a une solution unique si et seulement si :

Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs est alors :v1 v2et

{(x; y; z) R3 | –7x + 2y + z = 0}

En isolant z dans cette équation, on obtient :

–7x + 2y + z = 0

S

z = 7x – 2y

Les vecteurs du sous-espace sont de la forme générale :

(x; y; 7x – 2y) = x(1; 0; 7) + y(0; 1; –2)

{(x; y; z) R3 | –7x + 2y + z = 0}

Le sous-espace vectoriel est engendré par les vecteurs linéairement indépendants (1; 0; 7) et (0; 1; –2).

Par conséquent, B = {(1; 0; 7), (0; 1; –2)} est une base de ce sous-espace. Il est donc de dimension 2.

Tous ces vecteurs sont coplanaires et forment un plan ∏ dont l’équation est :

–7x + 2y + z = 0

Décrire le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs :

S

Exemple 7.3.2 a

v1 v2= (1; 2; –1), = (3; 2; 1) et v3 = (–1; 2; –2)

=

L1

L2 – 3L1

L3 + L1

3 2 1

–1 2 –2

2 –11 2 –11

–4 40

4 –30

det ( v1, v2, v3) =

= 1

On dispose de trois vecteurs à trois composantes. On peut déterminer si ces vecteurs sont linéairement indépendants en calculant le déterminant dont les lignes sont les composantes des vecteurs :

Puisque le déterminant est non nul, les vecteurs sont linéairement indépendants et le sous-espace engendré est R3.

–4 4

4 –3= 1 (12 – 16) = –4 ≠ 0

Décrire le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs :

SSS

Exemple 7.3.2 b

v1 v2= (1; 3; 2), = (2; –1; –3) et v3 = (4; 5; 1)

=

L1

L2 – 2L1

L3 – 4L1

2 –1 –3

4 5 1

3 21 3 21

–7 –70

–7 –70det ( v1, v2, v3) = = 0

Calculons d’abord le déterminant :

Puisque le déterminant est nul, les vecteurs sont linéairement dépendants et ne peuvent former une base de R3.

Déterminons le sous-espace engendré par les vecteurs. Ce sous-espace est formé des vecteurs = (x; y; z) tels qu’il existe des scalaires a1, a2 et a3 pour lesquels :

w

wa1 v1 v2 v3+ a2 + a3 =

D’où : a1(1; 3; 2) + a2(2; –1; –3) + a3(4; 5; 1) = (x; y; z)

On a donc :a1 + 2a2 + 4a3 = x

3a1 – a2 + 5a3 = y

2a1 – 3a2 + a3 = z

≈

L1

L2 – 3L1

L3 – 2L1

2 4

3 –1 5

2 –3 1

1 x

y

z

2 4

0 –7

0 –7 –7

1 x

y – 3x

z – 2x

–7

Appliquons la méthode de Gauss :

≈

L1

L2

L3 – L2

2 4

0 –7

0 0 0

1 x

y – 3x

x – y + z

–7Le système a une solution si et seulement si :

x – y + z = 0

Par conséquent, B = {(1; 0; –1), (0; 1; 1)} est une base de ce sous-espace qui est donc de dimension 2.

Tous ces vecteurs sont coplanaires et forment un plan ∏ dont l’équation est :

{(x; y; z) R3 | x – y + z = 0}

En isolant z dans cette équation, on obtient :

Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs v1 v2, est :v3et

Le sous-espace vectoriel est engendré par les vecteurs linéairement indépendants (1; 0; –1) et (0; 1; 1).

z = –x + yLes vecteurs du sous-espace sont de la forme générale :

(x; y; –x + y) = x(1; 0; –1) + y(0; 1; 1)

x – y + z = 0

Décrire le sous-espace vectoriel de R3 engendré par les vecteurs :

SSS

Exercice

v1 v2= (3; –2; 1), = (4; 1; 3) et v3 = (5; 4; 5)

=

L1 + 2L2

L2

L3 – 4L2

4 1 3

5 4 5

–2 13 0 711

1 34

0 –7–11det ( v1, v2, v3) = = 0

Calculons d’abord le déterminant :

Puisque le déterminant est nul, les vecteurs sont linéairement dépendants et ne peuvent former une base de R3.

Déterminons le sous-espace engendré par les vecteurs. Ce sous-espace est formé des vecteurs = (x; y; z) tels qu’il existe des scalaires a1, a2 et a3 pour lesquels :

w

wa1 v1 v2 v3+ a2 + a3 =

D’où : a1 (3; –2; 1) + a2(4; 1; 3) + a3(5; 4; 5) = (x; y; z)

On a donc :3a1 + 4a2 + 5a3 = x

–2a1 + a2 + 4a3 = y

a1 + 3a2 + 5a3 = z

≈

L1

L2 + 2L1

L3 – 3L1

3 5

–2 1 4

3 4 5

1 z

y

x

3 5

0 14

0 –5 –10

1 z

y + 2z

x – 3z

7

Appliquons la méthode de Gauss en plaçant la troisième équation sur la première ligne de la matrice augmentée :

≈

L1

L2

7L3 + 5L2

3 5

0 14

0 0 0

1 z

y + 2x

7x + 5y – 11z7

Le système a une solution si et seulement si :

7x + 5y – 11z = 0

Par conséquent, B = {(1; 0; 7/11), (0; 1; 5/11)} est une base de ce sous-espace qui est donc de dimension 2.

Tous ces vecteurs sont coplanaires et forment un plan ∏ dont l’équation est :

{(x; y; z) R3 | 7x + 5y – 11z = 0}En isolant z dans cette équation, on obtient :

Le sous-espace vectoriel engendré par les vecteurs v1 v2, est :v3et

Le sous-espace vectoriel est engendré par les vecteurs linéairement indépendants (1; 0; 7/11) et (0; 1; 5/11).

z = (7x + 5y)/11Les vecteurs du sous-espace sont de la forme générale :

(x; y; (7x + 5y)/11) = x(1; 0; 7/11) + y(0; 1; 5/11)

7x + 5y – 11z = 0

Description vectorielle de lieux géométriques

Les sous-espaces vectoriels ne sont pas les seuls sous-ensembles intéressants d’un espace vectoriel. On peut décrire des sous-ensembles d’un espace vectoriel comme combinaison linéaire de vecteurs en imposant des contraintes au domaine de variation des scalaires.

Nous présentons ici quelques exemples de sous-ensembles définis par combinaison linéaire avec contraintes sur la variation des scalaires. Ce sont le parallélogramme, le parallélépipède, le triangle et la pyramide à base triangulaire.

Exemple 7.3.3

0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1

Les points du parallélogramme sont décrits vectoriellement par :(x; y) = s(2; 1) + t(1; 3)

Donner la description vectorielle et la description paramétrique du parallélogramme construit sur les vecteurs :

v1 v2= (2; 1) et = (1; 3)

La description paramétrique des points du parallélogramme est :

où 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1

x = 2s + t

y = s + 3t

où 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1

On procède de façon analogue pour un parallélogramme dans R3.

Exercice

Les points du parallélogramme sont décrits vectoriellement par :(x; y; z) = s(2; –3; 4) + t(–1; 3; 4)

Donner la description vectorielle et la description paramétrique du parallélogramme construit sur les vecteurs :

v1 v2= (2; –3; 4) et = (–1; 3; 4)

La description paramétrique des points du parallélogramme est :

où 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1

x = 2s – t

y = –3s + 3t

z = 4s + 4t

où 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1

S0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1

Exemple 7.3.4

Les points du parallélépipède sont décrits vectoriellement par :

0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1

(x; y; z) = r(2; 0; 4) + s(1; 4; 0) + t(–2; 1; 2)

Donner la description vectorielle et la description paramétrique du parallélépipède construit sur les vecteurs :

v1 v2= (2; 0; 4), = (1; 4; 0) et v3 = (–2; 1; 2)

La description paramétrique des points du parallélépipède est :

où 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1

x = 2r + s – 2t

y = 4s + t

z = 4r + 2s

où 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1

Exemple 7.3.5

0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1

et s + t ≤ 1

Les points du triangle sont décrits vectoriellement par :(x; y) = s(2; 1) + t(–1; 3)

Donner la description vectorielle et la description paramétrique du triangle construit sur les vecteurs :

v1 v2= (2; 1) et = (–1; 3)

La description paramétrique des points du triangle est :

où 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1 et s + t ≤ 1

x = 2s – t

y = s + 3t

où 0 ≤ s ≤ 1 et 0 ≤ t ≤ 1 et s + t ≤ 1

On procède de façon analogue pour un triangle dans R3.

Exercice

0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1

et s + t ≤ 1

Les points du parallélogramme sont décrits vectoriellement par :(x; y; z) = s(2; –3; 4) + t(–1; 3; 4)

Donner la description vectorielle et la description paramétrique du triangle construit sur les vecteurs :

v1 v2= (2; –3; 4) et = (–1; 3; 4)

La description paramétrique des points du parallélogramme est :

où 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 et s + t ≤ 1

x = 2s – t

y = –3s + 3t

z = 4s + 4t

où 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1 et s + t ≤ 1

S

Exemple 7.3.6

0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1

et r + s + t ≤ 1

Les points de la pyramide sont décrits vectoriellement par :(x; y; z) = r(2; 0; 4) + s(1; 4; 0) + t(–2; 1; 2)

Donner la description vectorielle et la description paramétrique de la pyramide à base triangulaire construite sur les vecteurs :

v1 v2= (2; 0; 4), = (1; 4; 0) et v3 = (–2; 1; 2)

La description paramétrique des points de la pyramide est :

où 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1

et r + s + t ≤ 1

x = 2r + s – 2t

y = 4s + t

z = 4r + 2s

où 0 ≤ r ≤ 1, 0 ≤ s ≤ 1, 0 ≤ t ≤ 1

et r + s + t ≤ 1

ConclusionSi U est un sous-ensemble d’un espace vectoriel V, l’ensemble des combinaisons linéaires des vecteurs de U, noté L(U), forme un sous-espace vectoriel de V.

Dans R3, les combinaisons linéaires de trois vecteurs engendrent R3 si et seulement si les trois vecteurs sont linéairement indépendants. On peut savoir si les vecteurs sont linéairement indépendants en calculant le déterminant dont les éléments sont les composantes des vecteurs.

Le nombre maximal de vecteurs linéairement indépendants de l’ensemble U détermine la dimension du sous-espace vectoriel L(U).

Lorsque les vecteurs donnés sont linéairement dépendants, il faut déterminer à quelle condition un vecteur (x; y; z) est engendré par les vecteurs donnés.

On peut décrire différents lieux géométriques en imposant des contraintes sur le domaine de variation des scalaires.

Exercices

Lecture

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 7.4, p. 188.

Algèbre linéaire et géométrie vectorielle avec applications en sciences humaines, Section 7.3, p. 181 à 187.