POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 39

POLYNOMES EQUATIONS

ALGEBRIQUES

Cours

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 40

I. DEFINITIONS 1. Monme 2. Polynme 3. Equation algbrique 4. Zro dun polynme

II. OPERATIONS SUR LES POLYNOMES 1. Identit de deux polynmes 2. Addition de deux polynmes 3. Multiplication de deux polynmes 4. Multiplication d'un polynme par un scalaire 5. Division de deux polynmes suivant les puissances dcroissantes (Euclidienne) 6. Division Euclidienne par un polynme de degr 1 7. Division de deux polynmes suivant les puissances croissantes (division non Euclidienne)

III. FACTORISATION D'UN POLYNOME 1. Dfinition 2. Factorisation dans C 3. Factorisation dans R 4. Utilisation de la dcomposition d'un polynme

IV. COMPLEMENT : RESOLUTION D'UNE EQUATION DU 3me DEGRE A COEFFICIENTS REELS

1. Forme gnrale 2. Nombre de racines relles

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I. DEFINITIONS 1. Monme Un monme est une expression de la forme

aizi dans laquelle :

- i est un entier positif ou nul, appel degr du monme, - z est la variable, relle ou complexe, - ai est un coefficient rel ou complexe.

Exemples :

2z3 , 5z6 , 32

z , 54

z4

2. Polynme Un polynme de degr p est une somme algbrique de monmes qui peut tre ordonne suivant les puissances croissantes ou dcroissantes :

P(z ) = a0 + a1z + a2z2 + a3z3 + . .. + aiz i + .. . + ap2zp2 + ap1zp1 + apzp ou

P(z ) = apzp + ap1zp1 + ap2zp2 + .. . + aiz i + .. . + a3z3 + a2z2 + a1z + a0

Le degr dun polynme est gal au degr du monme le plus lev.

Exemples : Suivant les puissances croissantes:

z + z6 + 3z8 : degr = 8 Suivant les puissances dcroissantes:

2z4 + 3z2 + 5z + 1 : degr = 4

Dans les deux cas on crira un polynme sous la forme gnrale :

P(z ) = aiz ii=0

p

Remarques : L'indice i repre galement le degr de chacun des monmes qui forment le polynme.

Un polynme de degr 0 est un scalaire puisque z0 = 1 alors a0z

0 = a0.

3. Equation algbrique On appelle quation algbrique une expression de la forme P(z) = 0 dans laquelle P(z) est un polynme comme dfini prcdemment dont la variable, z, et les coefficients, ai , sont rels ou complexes.

Exemples:

z + z6 + 3z8 = 0

2z4 + 3z2 + 5z + 1 = 0

4. Zro dun polynme

Toute valeur de z qui annule le polynme

P(z ) est appele racine de l'quation

P(z ) = 0 ou zro du polynme

P(z ) .

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 42

Thorme de D'Alembert : Toute quation algbrique de degr p admet au moins une racine relle ou complexe.

II. OPERATIONS SUR LES POLYNOMES 1. Identit de deux polynmes

a) Polynme identiquement nul Un polynme est identiquement nul lorsqu'il prend la valeur P(z) = 0 quelle que soit la variable z. On ne lui attribue pas de degr. Tous les coefficients ai de ce polynme sont nuls.

b) Polynmes identiques On dit que deux polynmes

P(z ) = aiz ii=0

p

et

Q(z) = biz ii=0

q

sont identiques si ai = bi

quel que soit l'indice i considr. Il en rsulte que P(z) et Q(z) ont mme degr (p = q).

2. Addition de deux polynmes Soient deux polynmes

=

=

p

0i

iiza)z(P et

=

=

q

0i

iizb)z(Q .

On appelle polynme somme, le polynme : =

=+=s

0i

iizc)z(Q)z(P)z(S

dont les coefficients ci sont tels que:

ci = ai + bi

Puisque : 0 i p pour P(z) 0 i q pour Q(z)

Alors pour S(z) : degr[S(z)] = s = max(p,q)

Le degr du polynme somme est infrieur ou gal au plus grand des degrs.

Exemple:

P(z) = 2z3 + 4z2 8z + 6Q(z) = 5z2 + 2z 3S(z) = 2z3 + 9z2 6z + 3

3. Multiplication de deux polynmes Soient deux polynmes

=

=

p

0i

iiza)z(P et

=

=

q

0i

iizb)z(Q .

On appelle polynme produit, le polynme :

(z ) = P(z ).Q(z) = ckz kk =0

r= p+ q

dont les coefficients ck sont d'une manire gnrale tels que :

ck = aibji+ j=k

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 43

Voici lexpression des 4 premiers dentre eux :

+++=

++=

+=

=

031221303

0211202

01101

000

babababacbababac

babacbac

En particulier, le coefficient du terme de plus haut degr est :

cr = apbq avec r = p + q. Ce qui montre que :

degr() = degr(P) + degr(Q)

Le degr du polynme produit est gal la somme des degrs des deux polynmes.

Exemple:

zz5z3z2zz5z6z15z11z6)z(Q)z(P)z(1z5z3z2 )z(Q

zzz3)z(P

23567891012

24

68

+++++++++==

+++=

++=

4. Multiplication d'un polynme par un scalaire

Soit le polynme

P(z ) = aiz ii=0

p

.

Le produit du polynme P(z) par le scalaire est le polynme :

P(z ) = aiz ii =0

p

Chacun des coefficients est multipli par le scalaire . Le degr du polynme est inchang. Exemple:

18z24z12z6)z(P3

6z8z4z2)z(P

23

23

++==

++=

5. Division de deux polynmes suivant les puissances dcroissantes (Euclidienne) a) Dfinition Soient deux polynmes A(z) et B(z) ordonns selon les puissances dcroissantes. Diviser A(z) par B(z) c'est trouver deux polynmes Q(z) et R(z) tels que :

A(z) = B(z)Q(z) + R(z) degr[R(z)] < degr[B(z)]

A(z) est appel le dividende, B(z) le diviseur, Q(z) le quotient et R(z) le reste.

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 44

Remarques: Dans une division, le reste est unique. Si l'on cherche effectuer la division de

A(z) = z3 + z2 + z par

B(z) = z + 1, on obtient : 321434213214434421)z(R) 1 (

)z(Q) 1z (

)z(B)1z(

)z(A)zzz( 223 +++=++

.

Degr[B(z)] = 1 alors degr[R(z)] = 0. Si le degr du dividende est infrieur au degr du diviseur, alors le quotient est nul et le reste est gal au dividende. La division euclidienne est alors impossible.

4342132143421321)z(R

) 1z ()z(Q) 0 (

)z(B)z2z(

)z(A)1z( 232 +++=+

Si le reste est nul, on dit que le polynme A(z) est divisible par B(z).

b) Pratique de la division Considrons les deux polynmes :

011n

1nn

n aza .... zaza)z(A ++++= et 011p1ppp bzb .... zbzb)z(B ++++= avec p n.

Nous allons considrer simultanment lexemple suivant : ( )5=nsoit 2z4zz)z(A 345 +++= et ( )3=psoit 1z2z)z(B 3 ++=

Puisque p < n le monme

anzn

est divisible par le monme

bpzp

. Dsignons par Q1(z) le monme quotient.

anzn

= bpzp an

bp

znp = bpz

pQ1(z ) avec Q1(z ) =an

bp

znp

Dans l'exemple que nous considrons : { { )z(Qzz.

pzpb

z

nz

na

z 13235

==2

1 z)z(Q =avec

Si nous valuons maintenant le polynme reste R1(z) = A(z) - B(z)Q1(z), ce polynme ne contient plus de terme de degr n.

En effet :

A(z) B(z ) Q1(z ) = A(z) B(z )an

bp

zn p

)z(R... zbba

azbba

a)z(Q)z(B)z(A 12n2pp

n2n

1n1p

p

n1n1 =+

+

=

+ 0

Ainsi :

degr[R1(z)] < degr[A(z)]

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 45

Pour l'exemple :

2zz2z)z(Rzz2z2z4zz

z)1z2z(2z4zz)z(Q)z(B)z(A)z(R

2341

235345

2334511

++=

+++=

+++++=

=

Deux cas sont alors possibles :

degr[R1(z)] < degr[B(z)]; la division est termine : Q(z) = Q1(z) et R(z) = R1(z). degr[R1(z)] degr[B(z)]; on ritre le procd. Il existe Q2(z) et R2(z) tels que : R2(z) = R1(z) - B(z)Q2(z)

avec degr[R2(z)] < degr[R1(z)] C'est le cas dans notre exemple. Le terme de plus haut degr de R1(z) est z4, le terme de plus haut degr de B(z) est z3.

{ { z)z(Q avec )z(Qzz.

)z(B de degrhaut

plus de terme z

)z(R de degrhaut

plus de terme z 22

33

1

4===

R1(z) = z4 + 2z3 z2 + 2R2(z) = R1(z ) B(z )Q2(z )

R2(z) = z4 + 2z3 z2 + 2R1(z)

1 2 4 4 4 3 4 4 4 - (z3 + 2z +1)B(z)

1 2 4 4 3 4 4 z Q2(z ){

R2(z) = z4 + 2z3 z2 + 2 z4 2z2 z

R2(z) = 2z 3 3z2 z + 2

De nouveau, deux cas sont alors possibles:

degr[R2(z)] < degr[B(z)]; la division est termine. Nous avons obtenu successivement :

A(z) B(z )Q1(z) = R1(z ) Puis

R1(z) B(z )Q2(z) = R2(z ) Soit

A(z) B(z )Q1(z)( )R1(z)

1 2 4 4 4 3 4 4 4 B(z )Q2(z ) = R2(z )

A(z) B(z )Q1(z) B(z )Q2(z ) = R2(z )

A(z) = B(z ) Q1(z) +Q2(z )( )Q(z)

1 2 4 4 3 4 4 + R2(z )

R(z)1 2 3

Le quotient de la division de A(z) par B(z) est gal

Q(z) = Q1(z) + Q2(z )

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 46

Le reste est

R(z ) = R2(z ) .

degr[R2(z)] degr[B(z)]; on ritre le procd une fois de plus et ainsi de suite jusqu' l'ordre m tel que degr[Rm(z)] < degr[B(z)].

C'est le cas dans notre exemple. Le terme de plus haut degr de R2(z) est z3, le terme de plus haut degr de B(z) est z3. Donc on ritre le procd une dernire fois :

R2(z) = 2z 3 3z2 z + 2

R3(z) = R2(z ) B(z )Q3(z )

R3(z) = 2z3 3z2 z + 2R2(z )

1 2 4 4 3 4 4 4 - (z3 + 2z + 1)B(z )

1 2 4 4 3 4 4 2 Q3(z){

R3(z) = 2z3 3z2 z + 2 2z3 4z 2

R3(z) = 3z2 5z

Puisque degr[R3(z)] = 2 < degr[B(z)] = 3, la division est termine. En rsum, nous avons obtenu successivement :

]degr[B(z)(z)]degr[Rm

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 47

c) Unicit du quotient et du reste Supposons que par un procd diffrent nous ayons obtenu deux polynmes

Q '(z ) et

R ' (z ) diffrents respectivement de

Q(z) et

R(z ) et tels que :

A(z) = B(z )Q (z ) + R(z ) degr [R(z )] < degr [B(z )]A(z) = B(z )Q ' (z) + R' (z ) degr [R ' (z )] < degr [B(z)]

Alors, par diffrence : ( ) )z('R)z(R)z(Q)z('Q)z(B = (1) Le degr de la diffrence

R(z ) R' (z) est infrieur ou gal au plus grand des degrs de

R(z ) ou

R ' (z ) .

Dans ces conditions, on a : degr[R(z)-R(z)] < degr[B(z)] donc degr[R(z)-R(z)] < degr[B(z)(Q(z)-Q(z))]

Ainsi, R(z)-R(z) dune part et B(z)(Q(z)-Q(z)) dautre part sont deux polynmes de degr diffrents. Or nous avons vu que lgalit de deux polynmes nest possible que sils ont mme degr. Donc la seule solution cette galit est que

R(z ) R' (z) = 0, alors

Q(z) Q ' (z ) = 0 .

On aboutit donc aux deux galits:

=

=

)z('R)z(R)z('Q)z(Q

Dans la division euclidienne de deux polynmes, le quotient et le reste sont uniques.

d) Prsentation pratique de l'opration On adopte la mme prsentation que pour la division habituelle. Reprenons l'exemple prcdent :

{ { {

)z(Q)z(Q

2 )z(Q

z

)z(Q z

)z(B1z2z

z5z3 )z(R2z4z2 )z(Q)z(B2zz3z2 )z(R

zz2z )z(Q)z(B2zz2z )z(R

zz2z )z(Q)z(B2z4zz )z(A

321

2

3

23

33

232

242

2341

2351

345

4444 34444 21

48476

++

++

++

++

+++

6. Division Euclidienne par un polynme de degr 1

a) Critre de divisibilit par (z-a) (a rel ou complexe) L'quation

A(z) = B(z )Q (z ) + R(z) avec

degr [R(z)] < degr [B(z )] s'crit dans le cas particulier o

B(z) = z - a :

A(z) = (z a)Q(z) + R(z) .

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 48

On a forcment :

degr [R(z)] < degr [z - a] soit

degr [R(z)] < 1.

Donc le degr de R(z) est nul. R(z) se rsume un scalaire (rel ou complexe), R(z) = R, unique. D'autre part, pour la valeur particulire z = a, le terme (z - a) est nul et A(z=a) = A(a) = R. Finalement, on peut crire :

A(z) = (z a)Q(z) + A (a)

Si A(a) = 0,

A(z) = (z a)Q(z) , le polynme A(z) est divisible par (z - a) et on peut crire le thorme suivant.

Thorme: Une condition ncessaire et suffisante pour qu'un polynme A(z) soit divisible par (z - a) est que A(a) = 0.

Exemple: Soit diviser le polynme

A(z) = z3 2z + 1 par (z 2).

A(2) = 8 4 + 1 = 5 et

A(z) = (z 2)Q(z ) + A(2) = (z 2)Q(z ) + 5

Il en rsulte que le polynme

A(z) 5 = (z3 2z + 1) 5 = z3 2z 4 doit tre divisible par (z 2), ce que nous vrifions :

z3 2z 4 z3 +2z2

+2z2 2z 42z2 +4z

2z 42z +4

0 0

z 2

z2 + 2z + 2

A(z) A(2) = A(z) 5= z3 2z 4

= (z 2)(z2 + 2z + 2)

Donc :

A(z) = z3 2z + 1= (z 2)(z2 + 2z + 2) + A (2)= (z 2)(z2 + 2z + 2) + 5

b) Division de zn - an par (z-a) (a rel ou complexe) Remarquons tout de suite que le polynme P(z) = zn - an s'annule pour z = a, et qu'il est donc divisible par z - a.

Effectuons la division :

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 49

zn an

zn +azn1

azn1 an

azn1 +a2zn2

a2zn2 an

a2zn2 +a3zn3

a3zn3 an

an2z2

an2z2 +an1z an

an1z an

an1z +an

0 0

z a

zn1 + azn2

+a2zn3 + . ...

.. .. + an3z2

+an 2z + an1

On en dduit l'identit remarquable, valable quel que soit n et pour a rel ou complexe

zn an = (z a)(zn1 + azn2 + a2zn3 + . .. .. .. + an3z2 + an2z + an1)

Exemples: On peut vrifier titre d'exemple que :

z4 a4 = (z a)(z3 + az2 + a2z + a3)

3223

43

43

322

422

223

43

34

44

azaazz

az

aza

aza

zaza

aza

zaaz

aaz

azz

az

+++

+

+

+

+

De mme :

+=

++=

+++=

)1z)(1z(1z)1zz)(1z(1z

)1zzz)(1z(1z

2

23

234

ces trois exemples correspondent la recherche des racines nime (n = 4, 3 ou 2) de lunit.

( ) ( )( ) ( ) ( )( )2233 j1zj1zj1zj1z +++++=+

c) Division de zn - an par (z+a) (a rel ou complexe) La division par (z+a) implique que le critre de divisibilit devienne : P(-a) = 0. Cela nous conduit rechercher les solutions de l'quation (-a)n - an = 0.

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 50

Cette quation n'est vrifie que si n est un entier pair que nous crirons n = 2p.

On en dduit l'identit remarquable, valable quel que soit n pair (n = 2p) et pour a rel ou complexe (attention l'alternance des signes) :

z2p a2p = (z + a)(z2p1 az2p2 + a2z2p 3 ... .. .. a2p 3z2 + a2p2z a2p1)

Exemples:

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )( )32234442

234

23456

j1zj1zj1zj1zj1z4z)1z)(1z(1z

)1zzz)(1z(1z)1zzzzz)(1z(1z

++++++=+=+

+=

++=

+++=

d) Divisibilit de zn +an (a rel ou complexe) On remarque tout de suite que le critre de divisibilit P(z) = 0 ne peut tre vrifi pour z = a car l'galit an +an = 0 n'est jamais vrifie. On peut donc en conclure que zn +an n'est pas divisible par (z a). Par contre, la division par (z+a) implique davoir (-a)n + an = 0. Cette quation admet des solutions si n est un entier impair que nous crirons n = 2p + 1.

On obtient l'identit remarquable, valable quel que soit n impair (n = 2p+1) et pour a rel ou complexe (attention l'alternance des signes) :

z2p+1 + a2p+1 = (z + a)(z2p az2p1 + a2z2p2 . ... .. . + a2p2z2 a2p1z + a2p)

Exemples:

( ) ( )( ) ( ) ( )( )223323

2345

j1zj1zj1zj1z)1zz)(1z(1z

)1zzzz)(1z(1z

+++++=++

++=+

+++=+

7. Division de deux polynmes suivant les puissances croissantes (division non Euclidienne) a) Dfinition Soient deux polynmes A(z) et B(z) ordonns suivant les puissances croissantes :

A(z) = a0 + a1z + a2z2 + .. . + anzn

B(z) = b0 + b1z + b2z2 + .. . + bpzp avec b0 0

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 51

Thorme: Etant donn un entier k positif et deux polynmes A(z) et B(z) (avec b0

diffrent de zro) coefficients rels ou complexes, il existe un polynme Q(z) et un seul, tel que

A(z)=B(z).Q(z) + zk+1.R'(z) avec degr[Q(z)] k et le reste R(z) = zk+1.R'(z) de degr tel que degr[R(z)] k + 1

Remarques : Dans le cas de la division non euclidienne, il ny a pas de condition particulire sur le degr des deux polynmes A(z) et B(z). Elle est donc toujours possible.

Une application de le division non euclidienne sera vue dans le calcul des dveloppements limits (cours danalyse).

b) Pratique de la division Dans la pratique, les polynmes Q(z) et R(z) sont obtenus en utilisant le mme procd que pour la division Euclidienne, les calculs tant arrts lorsque le reste R(z) contient au moins zk+1 en facteur (ou bien sr lorsqu'il est identiquement nul). On dit alors que l'on a pratiqu la division l'ordre k.

Il faut remarquer que cette division n'est pas unique, puisque les expressions obtenues pour les polynmes Q(z) et R(z) dpendent de la valeur choisie pour k. k est l'ordre maximal du quotient.

Exemple: soit diviser l'ordre 2, le polynme

A(z) = 1 + z par le polynme

B(z) = 1 z2 + z4

A (z ) 1 + zB(z ).Q1(z ) 1 +z2 z4

R1(z ) + z +z2 z4B(z ).Q2(z ) z + z3 z5

R2(z ) +z2 + z3 z4 z5B(z ).Q3(z ) z2 + z4 z6

R3(z ) + z3 z5 z6

B(z) = 1 z2 + z4

1 Q1(z){ + z

Q 2(z ){ + z

2

Q3(z )1 2 3

Q(z)1 2 4 4 4 4 3 4 4 4 4

degr [Q(z)] = 2 degr [Q(z)] k = 2

Dans l'expression du reste ( )3421 zz1zzzz)z(R +=+= , il n'est pas possible de faire apparatre en facteur un terme de la forme zk+1 = z3. La division doit tre poursuivie.

De mme ( )32254322 zzz1zzzzz)z(R +=+= ne fait apparatre que z2 en facteur.

Ce n'est qu'avec ( )3236533 zz1zzzz)z(R == que l'on peut mettre z3 en

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 52

facteur. La division l'ordre 2 est alors termine :

( ) ( )( ){

( )44 344 21

434214342143421321

)z(R)z('Rzz1

z

z

)z(Qzz1

)z(Bzz1

)z(Az1 32

1k

3242++++=+

+

Si nous voulons effectuer la mme division l'ordre 3, il faut poursuivre le procd jusqu' ce que l'on puisse mettre z4 en facteur dans l'expression du reste. Et on remarque alors que le reste ( )z1zzz)z(R 6764 == permet de faire apparatre non seulement z4 mais z6 en facteur, de sorte que la division est en fait effectue jusqu' l'ordre 5.

A (z) 1 + zB(z ).Q1(z) 1 +z2 z4

R1(z) + z +z2 z4B(z ).Q2(z) z +z3 z5

R2(z) +z2 +z3 z4 z5B(z ).Q3(z) z2 + z4 z6

R3(z) +z3 z5 z6B(z ).Q4(z) z3 + z5 z7

R4(z) z6 z7

B(z ) = 1 z2 + z4

1 Q1(z){ + z

Q2(z ){ + z

2

Q3(z )1 2 3 + z

3

Q4(z)1 2 3

Q(z )1 2 4 4 4 4 4 3 4 4 4 4 4

degr [Q(z)] = 3 degr [Q(z)] k = 3

( ) ( )( ){

( )43421

4342144 344 2143421321

)z(R)z('Rz1

z

z

)z(Qzzz1

)z(Bzz1

)z(Az1

1k

63242+++++=+

+

Pour tre complet signalons que si la division avait t effectue jusqu' l'ordre 1 seulement, nous nous serions arrts ds que le reste aurait permis de mettre z2 en facteur c'est dire ds R2(z).

( ) ( )( ){

( )444 3444 21

44 344 2132143421321

)z(R)z('R

zzz1z

z

)z(Qz1

)z(Bzz1

)z(Az1 32

1k

242++++=+

+

c) Cas particulier Considrons la division l'ordre n de A(z) = 1 par B(z) = 1 - z.

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 53

11 +z

z Ordre 0z +z2

z2 Ordre 1z2 +z3

z3 Ordre 2.

.

.

zn +zn+1

zn+1 Ordre n

1 z

1 + z + z2 + z3 + . .. . + zn

Nous pouvons donc crire, en considrant la division aux ordres successifs:

l'ordre 0: ( ) z1.z11 += l'ordre 1: ( )( ) 2zz1z11 ++= l'ordre 2: ( )( ) 32 zzz1z11 +++= et l'ordre n: ( )( ) 1nn2 zz ... zz1z11 ++++++= Ainsi, si z est diffrent de 1, on obtient l'identit remarquable :

1 zn+1

1 z= 1+ z + z2 + . .. + zn = zi

i=0

n

En outre, si

z < 1 , alors

lim n zn+1

= 0 et on peut crire :

11 z

= 1 + z + z2 + .. . + zn + . .. = zii=0

Remarque : Ce rsultat bien connu figure dans les dveloppements usuels du formulaire mathmatique aide mmoire distribu.

III. FACTORISATION D'UN POLYNOME 1. Dfinition

Factoriser un polynme P(z) dans R (resp. C) revient chercher tous les zros rels (resp. rels et complexes) de P(z) et crire P(z) sous la forme dun produit de plusieurs polynmes, chacun relatif 1 ou 2 zros.

Remarque : Les zros dun polynme P(z) sont aussi appels les racines de lquation algbrique P(z) = 0.

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 54

Exemple : ( )1z31

z31z4z3 2

=+

2. Factorisation dans C

a) Dfinition Soit un polynme

P(z ) , de degr n.

D'aprs le thorme de D'Alembert, il admet au moins une racine, relle ou complexe z1. Donc ce polynme

P(z ) est divisible par z - z1 et l'on peut crire:

P(z ) = (z z1)P1(z)degr [P1(z)] = n 1

D'aprs le thorme de D'Alembert,

P1(z) , de degr n - 1 admet au moins une racine, relle ou complexe z2. Donc ce polynme est divisible par z - z2 et l'on peut crire:

P1(z) = (z z2 )P2(z )degr [P2(z)] = n 2

On poursuit ainsi n fois, jusqu'aux polynmes

Pn1(z) et

Pn(z ) tels que :

Pn1(z) = (z zn )Pn(z)degr [Pn(z )] = n n = 0

Le polynme Pn(z), de degr zro est une constante, note k, et l'on obtient:

P(z ) = k(z z1)(z z2 )(z z3) .. . (z zn1)(z zn )

Il suffit de dvelopper cette expression et d'identifier le terme de degr n avec celui du polynme pour en dduire la valeur de la constante k.

P(z ) = anzn + an1zn1 + ... + a2z2 + a1z + a0 et k = an

Finalement, on en conclut qu'un polynme de degr n admet n zros z1, z2, ..., zn et se factorise sous la forme :

P(z ) = anzn + an1zn1 + ... + a2z2 + a1z + a0P(z ) = an(z z1)(z z2)(z z3) .. . (z zn1)(z zn )

b) Ordre dun zro Dans une telle factorisation, il est possible que plusieurs zros soit identiques. On dfinit l'ordre d'un zro gal au nombre de fois que cette valeur intervient dans la factorisation.

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 55

Exemples : ( ) ( )( ) ++=++ 1z1zjz33jz6z6jz6z3 2234 j racine dordre 2 1 racine dordre 1 (-1) racine dordre 1

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

++=+++

31

z1zjz31zj22zj44zj62z3 2234

j racine dordre 2 1 racine dordre 1

31

racine dordre 1

Supposons que les n zros du polynme

P(z ) se rpartissent en r valeurs distinctes. Plus prcisment, supposons que parmi les zros de

P(z ) la valeur z1 intervienne 1 fois, que la valeur z2 intervienne 2 fois, etc ... jusqu' la valeur zr que nous supposons intervenir r fois. Le polynme

P(z ) se factorise sous la forme :

P(z ) = anzn + an1zn1 + ... + a2z2 + a1z + a0P(z ) = an(z z1)1 (z z2)2 (z z3)3 ... (z zr)ravec 1 + 2 + 3 + . .. + r = n

c) Relations entre coefficients et zros dun polynme

Considrons l'quation algbrique :

P(z ) = anzn + an1zn1 + ... + a2z2 + a1z + a0 = 0

et dsignons par z1, z2, ..., zn ses n racines, distinctes ou confondues. La factorisation du polynme

P(z ) nous conduit :

P(z ) = an(z z1)(z z2)(z z3) .. . (z zn1)(z zn ) = 0

Le dveloppement de cette expression va nous fournir des relations importantes entre les coefficients du polynme

P(z ) et les racines z1, z2, ..., zn de l'quation

P(z ) = 0 .

Considrons d'abord le cas simple d'un polynme du premier degr :

P1(z) = a1z + a0 = 0

P1(z)a1

= z +a0a1

L'quation admet une racine unique, z1 et s'crit :

P1(z)a1

= z z1 = 0 avec

z1 = a0a1

Considrons maintenant le cas d'un polynme du second degr :

P2(z) = a2z2 + a1z + a0 = 0

Cette quation admet deux racines, z1 et z2 et l'on peut crire :

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 56

P2(z)a2

= z2 +a1a2

z +a0a2

= (z z1)(z z2 )= z2 z1z z2z + z1z2

Soit :

P2(z)a2

= z2 (z1 + z2)z + z1z2 = 0

Par identification, on obtient l'expression de la somme des racines :

z1 + z2 = a1a2

ainsi que celle de leur produit

z1z2 = +a0a2

Remarque : On retrouve le rsultat page 18 dans le chapitre 1 pour les quations de la forme az2 + bz + c = 0 :

a

czzP

a

bzzS

21

21

==

=+=

Le cas d'un polynme du troisime degr est un peu plus compliqu.

L'quation

P3(z) = a3z3 + a2z2 + a1z + a0 = 0 admet trois racines, z1, z2 et z3 et l'on peut crire :

P3(z)a3

= z3 +a2a3

z2 +a1a3

z +a0a3

= (z z1)(z z2)(z z3)

Soit :

P3(z)a3

= z3 (z1 + z2 + z3 )z2 + (z1z2 + z2z3 + z3z1)z z1z2z3 = 0

Par identification, on obtient diffrentes expressions en en fonction des coefficients du polynme : - la somme des racines:

z1 + z2 + z3 = a2a3

- le produit des racines :

z1z2z3 = a0a3

- la somme des produits deux deux des racines :

z1z2 + z2z3 + z3z1 = +a1a3

Considrons maintenant le cas gnral d'une quation de degr n:

P(z ) = anzn + an1zn1 + ... + a2z2 + a1z + a0 = 0

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 57

En dveloppant l'expression factorise et en identifiant les termes de mme degr, on obtient la suite de calculs ci-aprs :

P(z ) = an(z z1)(z z2)(z z3) .. . (z zn1)(z zn ) = 0

P(z )an

= zn +an1an

zn1 +an2an

zn2 + . .. +a2an

z2 +a1an

z +a0an

= (z z1)(z z2)(z z3) ... .. (z zn1)(z zn)

P(z )an

= zn (z1 + z2 + z3 + ... + zn1 + zn )zn1

+(z1z2 + z1z3 + . .. + z1zn + z2z3 + z2z4 + . .. + z2zn + . .. + zn1zn )zn2

.. .. . + (1)n z1z2z3 .. .zn

on obtient les expressions gnrales suivantes :

- la somme des n racines :

1 = z1 + z2 + z3 + .. . + zn1 + zn = an1an

= (1)1 an1an

- la somme des produits 2 2 des racines :

2 = z1z2 + z1z3 + .. . + zn1zn = +an2an

= (1)2 an2an

-la somme des produits 3 3 des racines :

3 = z1z2z3 + ... + zn2zn1zn = an3an

= (1)3 an 3an

- la somme des produits 4 4 des racines :

4 = z1z2z3z4 + .. . + zn 3zn2zn1zn = +an 4an

= (1)4 an 4an

et ainsi de suite.

Le terme gnral de la somme des produits k k des racines est :

k = z1z2z3 . ..zk + ... .+znk+1. ..zn 2zn1zn = (1)kankan

Enfin le dernier terme donne le produit des n racines:

n = z1z2z3 ... zn = (1)na0an

Remarques : Si certains des coefficients du polynme P(z) que lon cherche factoriser sont complexes alors la factorisation dans C est la seule possible. En revanche, si tous les coefficients de P(z) sont rels, on peut alors factoriser ce polynme dans R.

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 58

3. Factorisation dans R

a) Dfinition Seuls les polynmes

P(z ) coefficients rels peuvent tre factoriss dans R.

b) Proprits de la factorisation dans C Soit un polynme

P(z ) coefficients rels. Soit 000 jyxz += un nombre complexe. Alors le polynme ( ) )y,x(jB)y,x(A)jyx(PzP 0000000 +=+= est lui aussi un nombre complexe. Les coefficients de

P(z ) tant rels, A(x0,y0) et B(x0,y0) sont rels et on peut dmontrer que ( ) )z(PzP 00 = soit )y,x(jB)y,x(A)jyx(P 000000 = .

Si z0 est racine de lquation algbrique P(z) = 0 alors l'galit 0)y,x(jB)y,x(A 0000 =+ impose que :

=

=

0)y,x(B0)y,x(A

00

00

Dans ces conditions, ( ) 0zP)z(P)y,x(jB)y,x(A 000000 === Ceci montre que 000 jyxz = est aussi racine de

P(z ) = 0 .

Thorme: Si un nombre complexe est racine d'ordre d'une quation algbrique

coefficients rels, son conjugu est galement racine d'ordre .

Consquence : Toute quation algbrique coefficients rels

P(z ) = 0 admet donc :

des racines relles x1, x2, ... , xu d'ordres respectifs 1, 2, ... , u,

des couples de racines complexes conjugues

(z1 , z 1),(z2 , z 2 ), ... , (zv ,z v ) d'ordres respectifs

1,2 , .. . , v .

La factorisation de

P(z ) s'crit alors :

[ ] [ ] v1u21 )zz)(zz(...)zz)(zz()xz...()xz()xz(a)z(P vv11u21n =

Posons

z1 = p1 + jq1 donc

z1 = p1 jq1 Il s'ensuit que

(z z1)(z z1) = (z p1 jq1)(z p1 + jq1)= (z p1) jq1[ ](z p1) + jq1[ ]= (z p1)2 ( jq1)2

Soit :

(z z1)(z z1) = (z p1)2 + q12

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 59

Finalement : [ ] [ ] v1u21 2v2v2121111n q)pz(...q)pz()xz...()xz()xz(a)z(P ++= avec

1 + 2 + ... + u + 2(1 + 2 + . .. + v ) = n Cette factorisation ne fait apparatre que des termes rels, du premier ou du second degr.

Remarques : Pour une quation algbrique coefficients rels, le nombre de racines complexes est toujours pair (deux deux conjugues).

Exemple : ( )( )( )( )1z2zj1zj1z4z2z2z3z 234 ++++=++ Une quation algbrique coefficients rels dont le degr est impair possde au moins une racine relle.

Exemple : ( )( )( )2zj1zj1z4z6z4z 23 ++++=+++

c) Factorisation dans R Soit un polynme P(z) coefficients rels que lon veut factoriser sur R. On peut obtenir cette factorisation partir de sa factorisation dans C. Il suffit de rassocier deux deux les termes relatifs aux racines complexes conjugues pour donner des polynmes dordre 2.

Exemple : Soit factoriser le polynme P(z) = z4 + 1. Les zros de ce polynme sont les racines quatrimes de -1.

Posons

z = e j

Il vient

z4 = 4e j4 = 1 = e jpi .

On en dduit le module et l'argument des racines :

= 1

= pi4

+ k pi2

Explicitement les racines sont :

)j1(22

z

ez

1

4j

1

+=

=

pi

)j1(22

z

ez

2

43j

2

+=

=

pi

23

45j

3

z)j1(22

z

ez

=+=

=

pi

14

47j

4

z)j1(22

z

ez

==

=

pi

La factorisation du polynme sur C est:

++

+

+=

=

=

pipipipi

)j1(22

z)j1(22

z)j1(22

z)j1(22

z

)ez)(ez)(ez)(ez(

)zz)(zz)(zz)(zz()z(P4

7j4

5j4

3j4

j

4321

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 60

En regroupant les termes complexes conjugus,

)12zz(21

22

z)j1(22

z)j1(22

z

)12zz(21

22

z)j1(22

z)j1(22

z

2

2

2

2

++=+

+=

++

+

+=+

=

+

On aboutit la factorisation dans R suivante :

P(z ) = (z2 z 2 +1)(z2 + z 2 + 1)

IV. COMPLEMENT : RESOLUTION D'UNE EQUATION DU 3me DEGRE A COEFFICIENTS REELS 1. Forme gnrale

On appelle quation algbrique du troisime degr coefficients rels une expression de la forme ay3+by+cy+d = 0 dans laquelle la variable z est complexe (ou relle) et les coefficients, a, b, c, d, sont rels.

Pour tudier une telle quation, on effectue le changement de variable a3b

xy =

Il vient alors : 0da3b

xca3b

xba3b

xa

23

=+

+

+

0da3b

xca9b

a3b

x2xba27

ba9b

x3a3b

x3xa 22

23

3

2

223

=+

+

++

+

On constate que les termes en b s'liminent. Aprs division de l'ensemble par a, il vient : x3 + px + q = 0 C'est sous cette forme que l'on rsout l'quation du 3me degr.

2. Nombre de racines relles On crit lquation algbrique prcdente sous la forme :

x3 + px = q

On tudie alors le graphe des deux fonctions :

y1 = x3 + px = x(x2 + p)

y2 = q (droite )

dont les intersections donnent les racines de l'quation

x3 + px + q = 0

Considrons la premire fonction. Sa drive est :

dy1dx

= 3x2 + p

Elle ne s'annule que si p est ngatif, aux points

x0 =p3

et

x0 = p3

.

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 61

L'tude du signe de la drive montre que la fonction y1 est croissante si x < -x0 et pour x > x0 puis dcroissante de -x0 x0 avec

dy1dx

= 3x2 p = 3(x x0 )(x + x0) .

x x0 x0x x0 +

x + x0 + +dy1dx

+ +

y1 croissante dcroissante croissante

-5

-4

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

5

-3.0 -2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0 3.0

3 racines relles

y 0

1 racine relle, 2 racines complexes conjugues

1 racine relle, 2 racines complexes conjugues

-y 0

x

y

y2 = -q q2 < y0

2

p < 0

y2 = -q; q2 > y0

2

y2 = -q; q2 > y0

2

Si on trace le graphe de y2 = -q, on aura 3 intersections avec la courbe reprsentant la fonction y1, donc 3 racines relles, si et seulement si

q y 0

c'est dire si

q2 y02

Or 27p4

9p4

3pp

3p

3p)px(xy

32222

02

02

0 =

=

+=+=

On aura donc 3 racines relles si

4p3 + 27q2 0

L'galit correspond au cas o l'une des racines est double.

Le cas o

4p3 + 27q2 > 0 correspond une seule intersection, donc une seule racine relle. Les deux autres racines sont imaginaires conjugues.

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 62

Par contre si p est positif, la courbe ne prsente plus ni maximum ni minimum. On

a seulement un point d'inflexion l'origine. En effet la drive seconde

d2y1dx2

= 6x

s'annule et change de signe en x = 0. Le graphe prend l'allure suivante:

-12

-8

-4

0

4

8

12

-2.0 -1.0 0.0 1.0 2.0

p > 01 racine relle

2 racines imaginaires conjugues

y2 = -q

y

x

Il ne peut y avoir qu'une seule racine relle, les deux autres tant imaginaires conjugues. Une mthode de calcul utilise la relation trigonomtrique = cos3cos43cos 3 . En posant x = cos, on obtient une quation du troisime degr :

03cosx3x43

=

soit 03cos4x

43x

323

=

qui est formellement identique

x3 + px + q = 0 avec

=

=

3cos4

q

43p

3

2

On calcule donc partir de la premire galit, puis on en dduit cos3,. On en tire , donc cos, et on obtient x.

Examinons les conditions d'application de cette mthode.

On limine entre les deux quations, =

=

=

3cosp4

q27

3cos16

q

2427p

23

2

26

2

63

Or

0 cos 2 3 1.

POLYNOMES EQUATIONS ALGEBRIQUES 63

On obtient les deux conditions : 3

2

p4q270 - soit p < 0

et

-

27q2

4p3 1 qui conduit 4p

3 + 27q2 0

Cette mthode est donc applicable dans le cas de trois racines relles.

Si

4p3 + 27q2 > 0 la mthode prcdente n'est plus applicable.

On utilise alors la mthode de Cardan consiste poser

x = u + v

L'quation devient : 0q)vu(p)vu( 3 =++++

0)puv3)(vu(qvu0q)vu(pvuv3vu3u

0q)vu(p)vu(

33

3323

3

=+++++

=++++++

=++++

Cette quation peut tre satisfaite si on a simultanment

u3 + v3 + q = 0(u + v )(3uv + p) = 0

soit u3 + v 3 = q

3uv + p = 0

Remarque : le cas

u + v = 0 est impossible car on aurait alors

u = v et

u3 + v3 = 0 q

Finalement, il apparat que la somme et le produit de u3 et v3 sont donns par :

=

=+

27p

vu

qvu3

33

33

u3 et v3 sont donc les solutions T1 et T2 d'une quation du second degr :

T 2 + qT p3

27= 0

la condition que le discriminant soit tel que

= q2 + 4p3

27> 0 .

On retrouve la condition

4p3 + 27q2 > 0 . Les racines x sont alors donnes par:

x = T1( )13 + T2( )13 C'est la formule de Cardan.