chap2 outil_mathematiques

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Traitement du signal Page 1 SEER1-TS Jamila BAKKOURY

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  • Traitement du signalPage *SEER1-TSJamila BAKKOURY

    SEER1-TS

  • Chap2 : outils mathmatiques pour le TSSEER1-TS*

    SEER1-TS*

  • PlanIntroductionSries de FourierTransforme de FourierTransforme de Laplace

    *SEER1-TS

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  • Sries de FourierPage *SEER1-TSUn signal priodique de priode peut tre dcompos en une somme dondes sinusodales dont les frquences sont multiples de frquenceJoseph Fourier (1768-1830)

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  • Sries de FourierPage *SEER1-TSSoit xT(t) un signal priodique de priode . Son dveloppement en sries de Fourier est par dfinition:O:f0 est la frquence fondamentale du signal.a0 est la valeur moyenne ou composante continue du signal .ak et bk sont les coefficient de Fourier du dveloppement en cosinus et sinus.

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  • Calcul des coefficient de Fourier :

    Remarque :

    xT(t) pair bn=0xT(t) impair an=0

    Sries de Fourier

  • le dveloppement en srie de Fourier peut scrire:

    o En considrant la relation trigonomtrique suivante:

    avecSrie de Fourier en cosinusSries de Fourier

  • - La reprsentation en cosinus est trs importante car elle correspond la description des signaux en rgime sinusodal permanent o lon reprsente un courant ou une tension par son amplitude et sa phase.- Dun point de vue pratique, cela revient considrer que le signal x(t) est cr de manire quivalente par une infinit de gnrateur sinusodaux.La reprsentation spectrale dans ce cas est unilatrale.Remarques :Sries de Fourier

  • Sries de Fourierformules dEuler : Notation complexe :la SF peut tre transforme en SF complexe :

  • Relation entre les trois formes :Sries de Fourier

    cos-sincoscomplexe

  • La transforme de Fourier est une extension de la dcomposition en srie de Fourier pour les signaux non priodiques.En effet, la passage dun signal priodique un autre apriodique peut se faire en considrant une priode qui tend vers linfini. Transforme de Fourier

  • Transforme de Fourier :Transforme de Fourier inverse :Transforme de Fourier

  • Linarit :Homothtie :

    Proprits :Transforme de Fourier

  • Dcalage en temps et en frquence :

    Drivation :

    Proprits : Transforme de Fourier

  • Produit de convolution :

    Proprits :Transforme de Fourier

  • Transforme de Fourier & Systmes :Un SLTI est caractris par sa rponse impulsionnelle h(t)La transforme de Fourier de h(t) donne la rponse en frquence du systme H(f) et inversement.h(t)x(t)y(t)=x(t)*h(t)H(f)X(f)Y(f)=X(f) . H(f)TFTFTFTransforme de Fourier

  • Thorme de Parseval :

    Proprits : Transforme de Fourier

    Densit Spectrale dEnergie

  • =

    Distribution de Dirac :Transforme de Fourier

  • Proprits :Transforme de Fourier

    Signal s(t)Spectre frquentiel S(f)Rel quelconqueComplexe (partie relle paire, partie imaginaire impaire)Rel pairRel pairRel impairImaginaire impairImaginaire quelconqueComplexe (partie relle impaire, partie imaginaire paire)Imaginaire pairImaginaire pairImaginaire impairRel impairComplexe pairComplexe pairComplexe impairComplexe impair

  • chantillonnage idal

    Transforme de Fourier

    priodisation en frquencechantillonnage temporel priodisation en frquenceTransforme de Fourier

  • Analyse spectrale

    La transforme de Fourier est loutil mathmatique permettant dobtenir une reprsentation frquentielle des signaux dterministes.

    Elle a pour but de reprsenter, lamplitude, la phase, lnergie ou la puissance dun signal en fonction de sa frquence note f et permet ainsi son analyse spectrale ou harmonique.

    Remarque : la transforme de Fourier permet danalyse un signal sous forme dune infinit de composantes sinusodales.

  • Forme exponentielle du dveloppement en srie de Fourier dun signal priodique xT(t) de priode T :

    cn.exp(jnt) est lharmonique dordre n du signal xT(t)lharmonique dordre1 est appel le fondamentallharmonique dordre 0 correspond la valeur moyenne du signal xT(t).*Analyse spectraleSignaux priodiques

  • Transforme de Fourier XT(f) dun signal priodique xT(t) de priode T :

    Le spectre dun signal priodique est donc un spectre de raies puisque cest la

    somme dimpulsions de Dirac dcales de 1/T de poids pondrs par les coefficients cn appels composantes du spectre.Si X(f) est la transforme de Fourier du motif x(t) de xT(t), alors :

    X(f) est appele lenveloppe complexe de XT(f)

    *Analyse spectraleSignaux priodiques

  • Forme relle du dveloppement en srie de Fourier dun signal priodique xT(t) de priode T :

    Les coefficients an et bn sont les coefficients rels de la srie de Fourier ou coefficients de Fourier trigonomtriques.

    ancos(nt)+bnsin(nt) est lharmonique dordre n du signal xT(t).lharmonique dordre 1 correspond au fondamentallharmonique dordre 0, a0 est la composante continue qui correspond la valeur moyenne du signal xT(t).*Analyse spectraleSignaux priodiques

  • Reprsentation des signauxExemples

  • Reprsentation des signauxExemples

  • Reprsentation des signauxExemples

  • Reprsentation des signauxExemples

  • On appelle produit de convolution entre deux fonctions x(t) et h(t), lopration * (note galement ) dfinie par :

    Produit de convolution

  • Proprits :Le produit de convolution est :

    commutatif: x(t)*h(t)=h(t)*x(t) distributif : x(t)*[h(t)+g(t)]=x(t)*h(t)+x(t)*g(t) associatif: x(t)*[h(t)*g(t)]=[x(t)*h(t)]*g

    lment neutre : x(t)*(t) = x(t)

    Produit de convolution

  • Expression simplifie :Si x(t) et h(t) sont causaux,

    Alors :Produit de convolution

  • La convolution est une opration fondamentale de traitement du signal. Elle indique que la rponse d'un SL linstant t est la somme (intgrale) pondre des valeurs antrieures de l'excitation x(t). La fonction de pondration est la rponse impulsionnelle h(t) du SL.Produit de convolutionRponse dun systme linaire :

  • Considrons lexemple de x(t) et h(t) ci-dessous :x(t) th(t) tProduit de convolutionInterprtation graphique

  • h() h(-) h(t-) tRemarque : le signal h(t-) est tout simplement le signal initial h(), retourn dans le temps pour obtenir h(-) puis translat de t .Produit de convolutionInterprtation graphique

  • Interprtation graphiquex().h(t-) th(t-)La surface hachure reprsente : Remarque : quand t varie de - + , on obtient la fonction y(t), convolution de x(t) et h(t). En pratique les fonctions sont non nulles sur un support fini, donc lintgrale a des bornes finies.Produit de convolutionx()

  • Le calcul du produit de convolution se fait en 3 tapesProduit de convolution

  • Interprtation graphiquex().h(t-) th(t-)La surface hachure reprsente : Remarque : quand t varie de - + , on obtient la fonction y(t), convolution de x(t) et h(t). En pratique les fonctions sont non nulles sur un support fini, donc lintgrale a des bornes finies.Produit de convolutionx()

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