Rande P. Polynomes, Etude Algebrique(Fr)(18s)
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PolynômesÉtude algébrique
par Bernard RANDÉAncien élève de l’´École normale supérieure de Saint-Cloud Docteur en mathématiques Agrégé de mathématiques Professeur de mathématiques spéciales au lycée Saint-Louis
es polynômes permettent de résumer les calculs de base sur les nombres : somme, produit, élévation à une puissance entière. C’est la raison pour
laquelle ils se sont si tôt introduits comme outils naturels des mathématiques.Formellement, ils sont utilisés comme des schémas universels pour ces calculs,puisque, par substitution, ils permettent de réaliser tout calcul concret à partir de manipulation abstraite.
Dans cet article, nous n’abordons que les propriétés élémentaires de type algé- brique ou arithmétique. Nous nous limiterons aux situations les plus simples, en particulier en ce qui concerne les polynômes irréductibles et la recherche des racines. Les extensions naturelles de l’étude des polynômes sont la géométrie
1. Propriétés formelles................................................................................ AF 37 - 21.1 Polynômes à plusieurs indéterminées....................................................... — 2
1.1.1 Présentation de ........................................................... — 21.1.2 Polynômes homogènes ..................................................................... — 31.1.3 Fonctions polynomiales..................................................................... — 31.1.4 Dérivations partielles.......................................................................... — 4
1.2 Propriétés algébriques ................................................................................ — 5
1.2.1 Propriétés lorsque est un anneau quelconque...................... — 51.2.2 Propriétés élémentaires dans le cas d’un anneau intègre... .. .. ... .. .. — 51.2.3 Le théorème de Hilbert sur les anneaux noethériens.... .. .. ... .. .. ... .. .. — 6
1.3 Propriétés arithmétiques............................................................................. — 61.3.1 Algorithme de division euclidienne dans .............................. — 61.3.2 Racines et points d’annulation des polynômes...... .. .. ... .. .. ... .. .. ... .. .. — 7
1.3.3 Arithmétique dans ................................................................... — 8
1.4 Polynômes symétriques, antisymétriques de ................... — 12
2. Polynômes irréductibles ........................................................................ — 13
2.1 Racines d’un élément de .................................................................. — 132.1.1 Corps algébriquement clos................................................................ — 132.1.2 Multiplicité des racines ...................................................................... — 142.1.3 Résolution par radicaux ..................................................................... — 15
2.2 Cas des polynômes à coefficients réels..................................................... — 15
2.2.1 Polynômes irréductibles de .................................................... — 152.2.2 Racines de polynômes à coefficients réels....................................... — 16
2.3 Factorisation dans ............................................................................ — 16
2.3.1 Racines rationnelles d’un élément de .................................... — 162.3.2 Critères d’irréductibilité dans ................................................. — 17
X 1 … X n, ,[ ]
X [ ]
X [ ]
X [ ]
X 1 … X n, ,[ ]
X [ ]
X [ ]
X [ ]
X [ ]
X [ ]
L
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POLYNÔMES. ÉTUDE ALGÉBRIQUE _________________________________________________________________________________________________________
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algébrique réelle, objet de nombreux développement actuels, l’étude des poly- nômes sur les corps finis, très liés aux codages et, dans une mesure plus abs- traite, la géométrie algébrique complexe.
En outre, une étude plus poussée des méthodes numériques de localisation,de séparation et d’approximation des racines réelles ou complexes fera l’objet
d’un autre article.L’article présent suppose connu l’article « Langage des ensembles et des
structures » et est à mettre en relation avec les articles relatifs à l’algèbre com- mutative.
1. Propriétés formelles
1.1 Polynômes à plusieurs indéterminées
Dans tout ce paragraphe 1.1, on désigne par un anneaucommutatif. Le neutre pour l’addition est noté « 0 », le neutre pourla multiplication est noté « 1 ». Le produit de deux éléments x et y de
sera, le plus souvent, noté xy .
1.1.1 Présentation de
Soit n un entier naturel. Un élément est un n -uplet. On utilisera la somme de deux tels n -uplets :
.
On notera aussi :.
Bien sûr, si n = 1, on a : .
Soit X un symbole. On considère la famille desymboles ; X α n’est pas une puissance, mais un nouveau symbole.
Considérons l’ensemble de toutes les expressions :
,
où (λ α ) est une famille presque nulle d’éléments de (que l’ondésignera aussi sous le nom de scalaires). Cela signifie que tous lesλ α sont nuls, sauf un nombre fini d’entre eux.
Le symbole rappelle qu’il s’agit donc d’une somme finie.
On définit, sur l’ensemble de toutes ces expressions, deux lois,par les égalités :
;
.
Les lois sont donc internes. On définit aussi une loi externe :
.
Tout particulièrement, notons :
,
le 1 étant à la i ème place. La définition même du produit conduitaisément à l’égalité :
,
puis :
.
On utilisera tantôt l’une, tantôt l’autre notation.
Les symboles X 1, …, X n sont appelés indéterminées. Les expres-sions ainsi construites sont appelées polynômes en les n indétermi-nées X 1, …, X n .
On vérifie que, munie des lois précédentes, est une-algèbre commutative : l’algèbre des polynômes en n indétermi-
nées à coefficients dans .
Par définition, un élément de peut donc s’écrire, demanière unique, sous la forme :
.
Le scalaire λα est appelé coefficient de X α .
Puisque est une -algèbre, c’est aussi un -module. Ce qui précède exprime exactement que, en fait,
est un -module libre, admettant la base .
Identifications canoniques
Soient σ une permutation de [1, n ] et ; P peutaussi s’écrire, de façon unique :
,
s’identifiant ainsi à un élément de .
Soit, d’autre part, . Tout l’élément P de peutégalement s’écrire :
où et où, pour tout β , désigne un
élément de . Cette écriture, obtenue par regroupement
de termes, est unique. Cela permet d’identifier les -algèbres
.
+ ., ,( )
X 1 … X n , ,[ ]
α de n
α 1 … α n , ,( )
α β + α 1 … α n , ,( )= β 1 … β n , ,( )+ α 1 β 1 … α n β n+, ,+( )=
α α 1 … α n+ +=
α α =
X α ( )α n∈
′ λ α X α ∑
′∑
′ λ α X α ∑ ′ µ α X α ∑+ ′ λ α µ + α ( ) X α ∑=
′ λ α X α ∑( ) ′ µ β X β ∑( )⋅ ′ λ α µ β
α β + γ =∑ X γ ∑=
a ′ λ α X α = ′ a λ α ( ) X
α ∑∑
X i X 0 … 1 … 0, , , ,( )=
Lorsque n = 0, il n’y a pas d’indéterminée. On peut identifierl’algèbre en 0 indéterminée à elle-même.
X i α i X
0 … α i … 0, , , ,( )=
X 1α 1…X n
α n X α lorsque α α 1 … α n, ,( )= =
X 1 … X n, ,[ ]
X 1 … X n, ,[ ]
′∑ λ α X 1α 1… X nα n
X 1 … X n, ,[ ]
X 1 … X n, ,[ ] X α ( )α n∈
P X 1 … X n, ,[ ]∈
P ′
∑ λ
α
σ
X σ 1( )
α σ 1( )…X σ n( )
α σ n( )=
X σ 1( ) … X σ n( ), ,[ ]m n X 1 … X n, ,[ ]
′∑ Lβ X 1 … X m, ,( ) X m 1+β m 1+ …X n
β n
β β m 1+ … β n, ,( )= Lβ X 1 … X m, ,( )
X 1 … X m, ,[ ]
X 1 … X n, ,[ ] et X 1 … X m, ,[ ] X m 1+ … X n, ,[ ]
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Identification de à un sous-anneau de
L’élément X 0 (c’est-à-dire ) est le neutre multiplicatif de. On le note bien sûr « 1 ».
Dans ces conditions, l’application :
est un isomorphisme de sur un sous-anneau de .Cet isomorphisme nous permet d’identifier le scalaire λ avec le poly-nôme , que l’on notera donc λ . L’ensemble des est appeléaussi anneau des polynômes constants.
Exemples de calculs dans [X 1,…, X n ]
Puisque est un anneau commutatif, on dispose desmoyens de calcul les plus habituels :
(formule du binôme).
Notons, pour l’entier lorsque .
Alors :
(formule du multinôme).
1.1.2 Polynômes homogènes
Les polynômes tels que λ αX α , qui jouent un rôle particulier, sont
appelés monômes. Le degré du monôme X α est l’entier |α |. Plusgénéralement, on a la définition suivante.
Appelons H d l’ensemble des polynômes de qui sontcombinaison linéaire des monômes X α , avec |α | = d . Un élément deH d est appelé polynôme homogène de degré (total) égal à d . Biensûr, H d est stable par combinaison linéaire : c’est donc un -
module ; une base de H d est formée des monômes X α , avec |α | = d .
Le nombre de ces monômes est égal à :
.
Il en résulte que H d est un -module libre, de dimension égale à :
.
Un polynôme P de peut s’écrire, de façon unique :
,
où P t est homogène de degré t ; le polynôme P t est appelé partiehomogène de degré t du polynôme P . En d’autres termes :
.
1.1.3 Fonctions polynomiales
Soit une -algèbre, commutative. Étant donné un polynôme
P , égal à , et un n -uplet (x 1, …, x n ) de , on peut considé-
rer l’élément , défini par l’égalité :
.
On dit que l’on a donc substitué x i à X i ou, encore, que l’on a éva-lué le polynôme P en le n -uplet (x 1, …, x n ). Le résultat de cette éva-luation est parfois tout simplement noté P (x 1, …, x n ).
Proposition 1.
Soient une -algèbre commutative et .L’application :
est un morphisme d’algèbres.
Cette proposition, qui résulte immédiatement des définitions, per-met d’effectuer simplement des calculs sur des expressions polyno-miales en un n -uplet donné : ces calculs s’effectuent toutsimplement comme s’il s’agissait de polynômes.
Exemple : pour n = 2, les quatre -algèbres.
peuvent être identifiées les unes aux autres. Voici les quatre écrituresdu même polynôme P :
Définition 1. Soit . On appelle degré totalde P , et on note deg P , l’entier naturel :
lorsque P n’est pas nul et s’écrit : .Si P = 0, on pose : deg P = – ∞.
Exemple : est de degré total égal à 5.
X 1 X 2,[ ] ; X 2 X 1,[ ] ; X 1[ ] X 2[ ] ; X 2[ ] X 1[ ]
P X 13 X 2 2X 1
2 X 22 X 1 X 2 X 1
2 dans X 1 X 2,[ ]( )+ + +=
P X 2 X 13= 2X 2
2 X 12 X 2 X 1 X 1
2 dans X 2 X 1,[ ]( )+ + +
P 2X 12( ) X 2
2= X 13 X 1+( ) X 2 X 1
2 dans X 1[ ] X 2[ ]( )+ +
P X = 2 X 13 2X 2
2 1+( ) X 12 X 2X 1 dans X 2[ ] X 1[ ]( )+ +
X 1 … X n , ,[ ]
X 10…X n
0
X 1 … X n, ,[ ]
X 1 … X n, ,[ ]→λ λ 1⋅
X 1 … X n, ,[ ]
λ 1⋅ λ 1⋅
X 1 … X n, ,[ ]
k X 1k X 2
k Ð∈∀ X 1 X 2 Ð( ) X 1 j X 2
k 1 Ð j Ð
j 0=
k 1 Ð
∑=
X 1 X 2+( )k C k j
j 0=
k
∑= X 1 j X 2k j Ð
α n C k α ,∈ k !
α 1!…α n!----------------------- α k =
X 1 … X n+ +( )k C k α X α
α k =
∑=
P X 1 … X n, ,[ ]∈
max α | λ α 0≠{ }
P ′∑ λ α X α =
P X 13 X 2
2 5X 14 2X 2
2 X 33+ Ð=
X 1 … X n, ,[ ]
Exemple :
Ainsi : ;
.
La commutativité de , essentielle, peut être remplacée parla condition plus faible suivante : les x i commutent deux à deux.
Exemples :
.
Soient . Si , on a :
.
card α 1 … α n, ,( ) n | α 1 … α n+ +∈ d ={ } n n 1+( )… n d 1 Ð+( )
d !-------------------------------------------------------=
n n 1+( )… n d 1 Ð+( )d !
-------------------------------------------------------
X 1 … X n, ,[ ]
P ′∑ P t =
X 1 … X n, ,[ ] H t ⊕t 0
=
P X 12 X 2 X 3 X 2
2 X 32 X 2 Ð X 3 1+ ++=
P 5 0 ; P 4 X 12X 2X 3 X 22X 32 ; P 3+ 0 ; P 2 0= = = =
P 1 X 2 Ð X 3 ; P 0+ 1= =
′∑ λ α X α n
P ÷ x 1 … x n, ,( ) de
P ÷ x 1 … x n, ,( ) ′∑ λ α x 1α 1…x nα n=
x 1 … x n, ,( ) n∈
X 1 … X n, ,[ ] →
P P ÷ x 1 … x n, ,( )
n, 1= =
x et P X 1[ ]∈∈ P λα X 1α
α 0=
d
∑=
P ÷ x ( ) λα x α
α 0=
d
∑=
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On considère à présent un entier n et une -algèbre commuta-tive . L’application :
est, d’après la proposition 1, un morphisme de la -algèbre vers la -algèbre des applications de
vers . Son image, l’ensemble des , est appelée algèbre desapplications polynomiales de vers .
Plus généralement, si D est un sous-ensemble de , on peutconsidérer les applications polynomiales sur D , qui sont les restric-tions à D des applications polynomiales sur .
1.1.4 Dérivations partielles
Soient n un entier naturel et . Posons :
On peut étendre, de façon unique, D i en un endomorphisme
linéaire de , appeléi -
ième
dérivation partielle ou déri-vation partielle par rapport à X i .
De façon équivalente, si P s’écrit :
,
on a :
.
Bien entendu, lorsque α i = 0, n’est pas défini dans. Cependant, doit être compris comme étant
égal à 0.
En considérant un élément de comme un élément
de , on peut ramener un problème
relatif à à un problème relatif à P ‘.
Proposition 2.
. Si P et Q sont dans , on a :
.
. Si P est dans , on a :
Preuve. ◊
Il n’est pas restrictif de supposer n = 1, et donc d’étudier le casoù P et Q sont dans . Si P = X α et Q = X β :
et .
L’égalité est vraie dans ce cas. Par bilinéarité, elle est vraie pourP et Q quelconques.
De façon analogue, on peut supposer P dans . Il suffit
alors de vérifier l’égalité pour et de conclure par bili-néarité. ◊
Notations. On note le polynôme :
La proposition 2, , exprime que D i et D j commutent. On peutdonc donner une forme normalisée à l’expression d’une dérivéepartielle en regroupant les dérivations partielles par rapport auxmêmes indéterminées. Ainsi :
,
le symbole « » remplaçant, au dénominateur, le symbole
« ». Si n = 1, on note P (k ) plutôt que .
Soit , considéré comme un élément de
:
.
Le degré partiel de P par rapport à X i est, par définition, le plusgrand des entiers α i tels que soit non nul. Le degré partiel dupolynôme nul par rapport à X i est – ∞ ; on note le degrépartiel de P par rapport à X i .
.
Soient . Si ,on a :
.
étant l’algèbre des matrices carréesde taille p à coefficients dans ).
Bien sûr, n’est pas commutative en général. On peut néanmoinsappliquer ce qui précède pour n = 1 puisque, dans ce cas, la conditionde la remarque est satisfaite. Lorsque , l’élément estun « polynôme en la matrice x ».
Soient P un élément de un n-uplet depolynômes en les indéterminées Y 1, …, Y m. On peut alors considérer
.
Dans le cas particulier où n = 1 et m = 1, on note aussi le poly-nôme . Cette notation provient de ce que, si x est un élémentd’une -algèbre, on a :
.
désignant la composée des applications . En d’autres ter-mes, on dispose de l’égalité :
n, quelconque=x 1 … x n, ,( ) n et P X 1 … X n, ,[ ]∈∈ P λα X α
α d
∑=
P ÷ x 1 … x n, ,( ) λα x 1α 1…x n
α n
α d ∑=
p ( ) n, 1 ( p ( ),= =
P X [ ]∈ P ÷ x ( )
Y 1 … Y m, ,[ ]= X 1 … X n, ,[ ] e t χ 1 … χ n, ,( )
P ÷ χ 1 … χ n, ,( ) Y 1 … Y m, ,[ ]∈
P χ P ÷ χ ( )
P χ( ) x ( ) P ÷ χ ÷( ) x ( )=
P ÷ χ ÷ P ÷ e t χ ÷
P χ = P̃ ̃χ.
X 1 … X n, ,[ ] n ,( )→P P ÷
X 1 … X n, ,[ ] n ,( ) n
P ÷n
n
n
i 1 n,[ ]∈
α n D i X 1α 1…X n
α n ( )∈∀ α i X 1α 1…X i
α i 1 Ð …X nα n
=
X 1 … X n, ,[ ]
P ′Lα i X 1 … X i 1 Ð X i 1+ … X n, , , , ,( ) X i α i
α i
∑=
D i P ( ) ′α i Lα i X 1 … X i 1 Ð X i 1+ … X n, , , , ,( ) X i α i 1 Ð
α i
∑=
X i α i 1 Ð
X 1 … X n, ,[ ] α i X i α i 1 Ð
Notations.
On note aussi le polynôme D i (P ).
Lorsque n = 1 (il y a donc une seule indéterminée), on note
P ‘ plutôt que .
∂P ∂X i --------
∂P ∂X 1---------
X 1 … X n, ,[ ]
X 1 … X i 1 Ð X i 1+ … X n, , , , ,[ ] X i [ ]
∂P ∂X i --------
X 1 … X n, ,[ ]
i 1 n,[ ] ∂ P ( Q )∂X i
-----------------∈∀ ∂P ∂X i --------Q P
∂Q ∂X i --------+=
X 1 … X n, ,[ ]
i j ,( ) 1 n,[ ]2 ∂∂X i --------
∂P ∂X j --------
∈∀ ∂∂X j --------
∂P ∂X i --------
=
X [ ]
PQ ( )′ α β +( )X α β 1 Ð+=
P ′Q PQ ′+ α X α 1 Ð X β β X α X β 1 Ð+=
X 1 X 2,[ ]
P X 1
α 1
X 2
α 2
=
D i 1 … D i k ( ) P ( )
∂k P ∂X i 1…∂ X i k ---------------------------
∂3P ∂X 1 ∂X 2 ∂X 1----------------------------------
∂3P ∂X 1 ∂X 1 ∂X 2----------------------------------
∂3P ∂X 1
2 ∂X 2----------------------= =
∂X 12
∂X 1 ∂X 1 ∂k P ∂X 1
k ----------
P X 1 … X , n,[ ]∈
X 1 … X i 1 Ð X i 1+ … X n, , , , ,[ ] X i [ ]
P ′Lα i X 1 … X i 1 Ð X i 1+ … X n, , , , ,( )X i α i
α i
∑=
Lα i degX i P
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Cas particulier.
Lorsqu’il n’y a qu’une seule indéterminée, le degré partiel par rap-port à cette indéterminée et le degré total sont égaux. On l’appelleradegré du polynôme considéré. D’autre part, si P est de degré ,on peut écrire :
,
avec .
Ce scalaire a d est appelé coefficient dominant du polynôme P .Lorsque a d = 1, on dit aussi que P est unitaire (ou encore normalisé).
Remarquons, dans ce cas, l’inégalité évidente :
.
1.2 Propriétés algébriques
1.2.1 Propriétés lorsque est un anneauquelconque
Dans ce paragraphe 1.2.1, est un anneau commutatif.
Proposition 3.
Soit . On pose d = deg P et .
P est inversible dans si, et seulement si , a 0 est inversible dans et a 1, …, a d sont nilpotents .
P est nilpotent si, et seulement si , a 0, a 1, …, a d sont nilpotents . P est un diviseur de 0 dans si, et seulement si, il existe
tel que λ P = 0.
Preuve. ◊
Supposons P inversible, d’inverse , où e dési-gne le degré de Q .
Ainsi : .
Plaçons-nous dans le cas où .
En particulier : a d b e = 0.
Montrons par récurrence sur m que .
Cette propriété est vraie pour m = 0.
Supposons-la vraie pour tous les indices , avec .On a :
car . Donc :
Multiplions cette égalité par . On a, grâce à l’hypothèse deécurrence :
Donc : .
Appliquée à m = e , cette propriété montre que a d est nilpotent.
Donc P – a d X d , différence entre un inversible et un nilpotent, est
inversible. Il résulte d’une hypothèse de récurrence non formuléesur deg P que a 0 est inversible ; a 1, …, a d – 1 sont nilpotents.
Il faut vérifier que le résultat est vrai pour d = 0. Dans ce cas, on
obtient a 0 b 0 = 1. Donc a 0 est bien inversible.Si, réciproquement, a 0 est inversible et a 1, …, a d sont nilpotents,alors a 1X + … + a d X
d est encore nilpotent, comme somme de nilpo-tents. Donc P , somme d’un inversible et d’un nilpotent, est inversible.
Si P est nilpotent, il existe k tel que P k = 0. En particulier,, donc a d est nilpotent. Par conséquent, P – a d X
d est nilpo-tent et, grâce à une hypothèse de récurrence sur deg P , a 0,a 1, …, a d – 1 sont nilpotents.
Si a 0, …, a d sont nilpotents, P est nilpotent comme somme de nil-potents.
Parmi tous les polynômes non nuls Q tels que PQ = 0, choisis-sons-en un de degré e minimal. On a, par considération du coeffi-
cient de X d + e , a d b e = 0 (si ). Par conséquent,
puisque (a d Q ) P = 0 et que , on a : a d Q = 0.Montrons par récurrence que a d – m Q = 0.
Supposons cette propriété vraie pour tous les indices , où. On dispose de l’égalité :
Donc : .
Mais a d – m Q = 0, donc a d – m b e – 1 = 0, et de même pour les ter-mes suivants.
On a donc a d – m – 1 b e = 0 et le même raisonnement que précé-demment prouve que : a d – m – 1 Q = 0.
Ainsi, on a : et, en particulier, puisque Q est nonnul et qu’il existe i tel que :
Par conséquent b i P = 0, ce que l’on voulait prouver.
La réciproque est évidente. ◊
1.2.2 Propriétés élémentaires dans le casd’un anneau intègre
Dans ce paragraphe 1.2.2, on suppose que est un anneau com-mutatif intègre.
Proposition 4.
Si P et Q sont dans , on a :
.De plus, est intègre .
Preuve. ◊ Supposons d’abord P et Q non nuls, de degrés d et e .
Alors, en posant :
,
on a :
.
Exemple : soit .
On a : .
Remarquons que le degré total de P est égal à 5.
P X 13 X 2
2 X 24 1+ +=
de gX 1P 3 ; degX 2P 4= =
d 0
P a k X k
k 0=
d
∑=
a d 0≠
deg P Q +( ) max deg P deg Q ,( )
P X [ ]∈ P a k X k
k 0=
d
∑=
X [ ]
X [ ]λ \ {0}∈
Q b k X k
k 0=
e
∑=
a i b j i j + k =∑ X k
k 0=
d e +
∑ 1=
d 1
a d m 1+ b e m Ð 0=
m
m e 1 Ð
a i b j i j + d e m Ð 1 Ð+=
∑ 0=
d e m Ð 1 1 Ð+
a d b e m Ð 1 Ð a d 1 Ð b e m Ð …+ + 0=
a d m 1+
a d m 1+ b e m Ð 0 ; a d
m 1+ b e m Ð 1+ a d a d m b e m Ð 1+⋅ 0 ; etc.= = =
a d m 2+ b e m Ð 1 Ð 0=
a d k 0=
Q b k X k
k 0=
e
∑=
deg a d Q ( ) e 1 Ð
mm d 1 Ð
a i b j i j + d e m Ð 1 Ð+=
∑ 0=
a d m Ð 1 Ð b e a d m Ð b e 1 Ð …+ + 0=
k a k Q ∀ 0=b
i
0≠
k a k b i ∀ 0=
X [ ]
deg PQ deg P deg Q +=
X [ ]
P a k X k Q ,
0
d
∑ b k X k 0
e
∑= =
PQ a i b j i j + k =
∑ X k 0
d e +
∑=
-
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Le coefficient de X d + e dans PQ est a d b e , non nul comme produitd’éléments non nuls. Donc :
.
Si P ou Q est nul, chacun des deux membres est égal à – ∞.En particulier, si P et Q sont non nuls, PQ est non nul. Donc
est intègre. ◊
Corollaire 1. est intègre.
Preuve. ◊ Cela résulte de l’identification de à et du fait que, par récurrence,
est intègre. ◊
Corollaire 2. Si P et Q sont dans , alors :
.
Proposition 5.
Si P et Q sont dans , alors :
.
Preuve. ◊ Écrivons , où d , e sont les
degrés totaux de P , Q et où P t , Q t sont des polynômes homogènesde degré t . Alors :
.
Puisque est intègre, . Donc : deg PQ = d + e .
◊
Proposition 6.
Soit . Il y a équivalence entre :
P est inversible dans ;
P est un élément de , inversible dans .
Preuve. ◊ Bien que ce résultat soit une conséquence de la
proposition 3, le cadre usuel dans lequel nous nous plaçons mériteune démonstration directe.
est clair.
Soit Q l’inverse de P . On a :
deg (PQ ) = 0
car 1 est de degré 0. Donc deg P = deg Q = 0.
En particulier, ; comme , P est bien inversible dans. ◊
1.2.3 Le théorème de Hilbertsur les anneaux noethériens
Rappelons qu’un anneau est dit noethérien lorsque toute suitecroissante d’idéaux de est stationnaire. Un cas particulier
d’anneau noethérien est celui d’un anneau principal. La plupart desanneaux usuels en algèbre élémentaire sont noethériens. Le théo-rème suivant montre que les anneaux de polynômes sur un anneaunoethérien sont encore noethériens.
Preuve. ◊ Grâce à l’identification de avec et un raisonnement par récurrence, on peut
supposer n = 1. On appelle X l’unique indéterminée.
Soit I un idéal quelconque de . On note d n ( I ) l’ensembledes coefficients dominants des éléments de I qui sont exactement
de degré n , auxquels on ajoute 0. Il est facile de voir que d n ( I ) est
un idéal de . D’autre part, la suite est croissante, car, si
P appartient à I , XP appartient aussi à I .
Considérons, à présent, une suite croissante d’idéaux de
. La suite est alors croissante. En effet, on a :
.
La suite est donc stationnaire, égale à .
Il est clair que contient tous les , puisque, en posantr = max (k , n, p ), on a :
.
Considérons, par ailleurs, les suites .Elles sont toutes stationnaires, à partir d’un indice q que l’on peutsupposer supérieur ou égal à p .
Soit alors . Montrons que, pour tout k :
.
Premier cas : .
On a :
,
d’où l’égalité.
Deuxième cas : .
On a alors :
grâce à la constance de .
Montrons , finalement, que . On a . Montrons par
récurrence sur e = deg P que, si , alors : .
Le résultat est supposé vrai pour les polynômes de degré. Soit P de degré e , appartenant à I n . Puisque
, il existe lorsque a e est le coefficient dominant de P . Dans ces conditions :
et . Donc :
.
Ainsi, la suite ( I n ) est stationnaire à partir du rang q . ◊
1.3 Propriétés arithmétiques
1.3.1 Algorithme de division euclidiennedans
Théorème 1 (Hilbert). Si est un anneau noethérien, est un anneau noethérien.
deg PQ d e +=
X [ ]
X 1 … X n, ,[ ] X 1 … X n, ,[ ]
X 1 … X n 1 Ð, ,[ ] X n[ ] X 1 … X n 1 Ð, ,[ ]
X 1 … X n, ,[ ]
i 1 n,[ ] degX i PQ ∈∀ degX i P degX i Q +=
X 1 … X n, ,[ ]
deg PQ deg P deg Q +=
P P t et Q
t 0=
d
∑ Q t t 0=
e
∑= =
PQ P i Q d i j + t =
∑ t 0=
d e +
∑=
X 1 … X n, ,[ ] P d Q e 0≠
P X 1 … X n, ,[ ]∈ X 1 … X n, ,[ ]
⇒
⇒
P ∈ Q ∈
X 1 … X n, ,[ ]
X 1 … X n, ,[ ] X 1 … X n 1 Ð, ,[ ] X n[ ]
X [ ]
Théorème 2. Soient un anneau commutatif et N et D deuxéléments de . On suppose que D est non nul, et que soncoefficient dominant est inversible dans .
Il existe alors un unique couple tel que :
et .
d k I ( )( )k 0
I n( )n 0
X [ ] d n I n( )( )n 0
d n I n( ) d n I n 1+( ) car I n I n 1+ et d n I n 1+( ) d n 1+ I n 1+( )⊂,⊂⊂
d n I n( )( )n 0 d p I p ( )
d p I p ( ) d k I n( )
d k I n( ) d r I n( ) d r I r ( )⊂ ⊂ d p I p ( )=
d 0 I n( )( )n 0 … d p 1 Ð I n( )( )n 0, ,
n q
d k
I
q
( ) d k
I
n
( )=
k p
d k I q ( ) d k I n( ) d p I p ( ) d k I p ( ) d k I q ( )⊂⊂⊂⊂
k p 1 Ð
d k I n( ) d k I q ( )=
d k I n( )( )n q
I n I q = I q I n⊂
P I n∈ P I q ∈
e 1 Ðd e I n( ) d e I q ( )= Q I q tel que Q ∈ a e X
e …+=
deg P Q Ð( ) e 1 Ð
P Q I n∈ Ð
P Q I q et P I q ∈∈ Ð
X [ ]
X [ ]
Q R ,( ) X [ ] 2∈
N DQ R +=
deg R deg D ( ) 1 Ð
-
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Preuve. ◊
Unicité
Si (Q , R ) et (Q 1, R 1) sont solutions du problème, on a :
.
Or
car le coefficient dominant de D est inversible. Donc :
.
Il y a contradiction.
Il est donc nécessaire que Q = Q 1, puis que R = R 1.
Existence.
Lorsque , il suffit de prendre Q = 0, R = N .
Raisonnons ensuite par récurrence sur deg N . On pose :
On construit deux suites de polynô-mes tels que :
.
C’est possible pour , en prenant Q k = 0, R k = N .
Supposons construits Q i et R i . Posant R i = λ X i + …, on définit :
.
Alors :
Dans ces conditions, est le reste cherché et , le quo-
ient. En fait, est le monôme de degré de Q , qui se
construit ainsi petit à petit en partant des termes de plus haut degré.
Cet algorithme, appelé stathme de la division euclidienne, corres-pond à la division à la main.
1.3.2 Racines et points d’annulation des polynômes
Proposition 7.
Si est un anneau commutatif, il y a équivalence entre :
i) α est racine de P ;
ii) X – α divise P .
Preuve. ◊ Dire que X – α divise P , c’est affirmer l’existence d’unpolynôme Q tel que P = (X – α )Q .
est immédiat.
Effectuons la division euclidienne de P par X – α (c’estpossible car 1 est inversible). On peut écrire :
où , ce qui signifie que . Évaluant en α , on obtientR = 0. ◊
Dans la suite de ce paragraphe, et jusqu’à la fin de l’article, onsuppose que est un anneau intègre.
Proposition 8.
Soit un anneau intègre. Si , P admet au plus d racines .
Preuve. ◊ Soit α 1 une racine de P . On peut écrire :
.
Une racine α de P , différente de α 1, est nécessairement une racinede Q car . Comme, par récurrence, Q (qui est non nul) admet au plus d – 1 racines, P admet bien au plus d racines. ◊
Ainsi, pour montrer que deux polynômes P et Q sont égaux, il suf-fit de montrer qu’ils prennent les mêmes valeurs en (d + 1) pointsdistincts, où . En effet, dans ce cas, P – Q ne pourraappartenir à , donc sera nul.
Corollaire 1. Soit D un sous-ensemble infini de l’anneau intègre. L’application qui, au polynôme P de , associe
l’application polynomiale correspondante sur D , est injective.
Ce corollaire 1, qui se prouve en remarquant que, si , P admet une infinité de racines, donc est nul, admet une extensionconvenable dans le cas des polynômes à n indéterminées.
Corollaire 2. Soit un produit d’ensembles infi-nis. L’application qui, au polynôme P de , asso-cie l’application polynomiale correspondante sur D , est injective.
Preuve. ◊ Pour n = 1, il s’agit du corollaire 1. On suppose le résul-
tat vrai à l’ordre n – 1. Soit tel que :.
On peut écrire :
,
et considérer ainsi P comme un élément de , avec. Fixons .
On a donc :
.
Cela exprime que le polynôme admet une
infinité de racines, à savoir tous les éléments de D n ; il est donc nul.Par conséquent :
.
Cela étant réalisé pour tout (x 1, … ,x n – 1) dans ,l’hypothèse de récurrence entraîne que tous les Li sont nuls. DoncP = 0. ◊
Exemple :
L’anneau est ici égal à .
Définition 2. Soit . On dit que l’élément α de estracine de P lorsque .
D Q Q 1 Ð( ) R 1 R ú Ð=
deg R 1 R Ð( ) deg D ( ) 1 et si Q Q 1 on a :,≠, Ð
deg D Q Q 1 Ð( ) deg D deg Q Q 1 Ð( )+=
deg D Q Q 1 Ð( ) deg D
deg N deg D ( ) 1 Ð
N a k X k …+=
D b
X … avec b inversible dans .+=
Q i ( )i 1 k , Ð[ ]∈ et R i ( )i 1 k , Ð[ ]∈
N DQ i R i avec deg R i i ,+=
i k =
R i 1 Ð R i λ b 1 Ð DX
i Ð Ð=
N DQ i λ b Ð DX
ÐR i 1 Ð
DQ i 1 Ð R i 1 Ð avec deg R i 1 Ð i 1. Ð+=
+ +=
R 1 Ð Q 1 Ð
λ b
1 Ð X
i Ði Ð
N 2X 4 X 3 X Ð 2 ; D + + X 2 2X 1+ += =
R 4 N =
R 3
R 2
2X 4 X 3 X Ð 2+ +
3X 3 Ð 2X 2 X Ð 2+ Ð
4X 2 2X 2+ +
X 2 2X 1+ +
2X 2
2X 2 3X Ð
D
Q 3
Q 2
R 1
R = 6X Ð 2 Ð 2 X 2 3X Ð 4+ Q 1
Q =
P X [ ]∈ P ÷ α ( ) 0=
Il ne faudrait pas croire qu’un polynôme telque s’annule sur un ensemble infini quelconque est nécessai-rement nul. Par exemple, si n = 2, l’ensemble des (x 1, x 2) detels que x 1 = 0 est infini (c’est une droite !). Pourtant X 1 n’est pasle polynôme nul.
ii ) i )⇒i ) ii )⇒
P X α Ð( )Q R += deg R 0 R ∈
P X [ ] 0{ } et si deg P d Ð∈
P X α 1 Ð( )Q avec deg Q d 1 Ð=
α α 1 Ð( )Q ÷ α ( ) 0 et α α 1 0≠ Ð=
d deg P Q Ð( ) X [ ] 0{ } Ð
P P ÷ X [ ]
P ÷ 0=
D D 1 … D n××=P P ÷ X 1 … X n, ,[ ]
P X 1 … X n, ,[ ]∈x 1 … x n, ,( ) D P
÷ x 1 … x n, ,( )∈∀ 0=
P Li X 1 … X n 1 Ð, ,( ) X ni
i
∑=
X n[ ] X 1 … X n 1 Ð, ,[ ]= x 1 … x n 1 Ð, ,( ) D 1 … D × n 1 Ð×∈
x n D n Li x 1 … x n 1 Ð, ,( ) x ni
i
∑∈∀ 0=
Li x 1 … x n 1 Ð, ,( ) X ni
i
∑
i Li x 1 … x n 1 Ð, ,( )∀ 0=
D 1 … D n 1 Ð××
P X 1 … X n, ,[ ]∈P ÷
2
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1.3.3 Arithmétique dans
1.3.3.1 Rappels de vocabulaire
Dans ce paragraphe, nous rappelons le langage de la divisibilitédans un anneau commutatif intègre .
On appelle idéal (principal) engendré par l’élément a del’ensemble, noté , des multiples de a :
.
On dit que a divise c , et on note , lorsqu’il existe b dans telque c = ab . Autrement dit :
.
On dit que les éléments a et c sont associés lorsqu’ils se divisentmutuellement. On a :
.
Notons l’ensemble des éléments inversibles de ; il s’agitd’un groupe multiplicatif. On dispose de l’équivalence :
.
Soit p un élément de . On dit que p est irréductible lorsque et que :
.
Cette dernière condition équivaut à dire que p n’est divisible quepar les inversibles et les éléments qui lui sont associés.
Soient a et b deux éléments de . On dit qu’ils sont premiersentre eux lorsque :
.
En d’autres termes, ils admettent les inversibles pour seuls divi-seurs communs.
Soit une famille d’éléments de . L’idéal engendré par
cette famille est, par définition, le plus petit idéal de contenant
. On le note . Il est égal à :
.
Comme d’habitude, il s’agit de sommes finies.
1.3.3.2 Étude de ( corps)
Dans tout ce paragraphe, est un corps.
Puisque tout élément non nul de est inversible, le théorème 2s’applique dès que D n’est pas le polynôme nul. Cela a une consé-quence importante.
Preuve. ◊ Il s’agit de prouver que tout idéal I de est princi-pal, c’est-à-dire qu’il est de la forme , pourun certain polynôme D .
On peut évidemment supposer .
Soit D un polynôme de qui est de plus petit degré. On a,bien sûr, l’inclusion .
Soit, réciproquement, N un élément de I . Puisque , il existe tel que :
.
Or : .
Comme deg R < deg D , on a :. ◊
Ce théorème permet d’appliquer à l’arithmétique usuelle,c’est-à-dire celle à laquelle on est accoutumé dans l’anneau desentiers relatifs.
Soit I un idéal de . Le théorème 3 assure qu’il existe un poly-nôme ∆ tel que . Un tel polynôme ∆ est appelé un géné-rateur de I . Il n’est pas unique : les générateurs de I sont leséléments associés à ∆.
Si , ∆ n’est pas le polynôme nul. Soit λ son coefficient
dominant ; est alors unitaire et, précisément, c’est l’unique poly-
nôme unitaire qui engendre I . On parlera, par abus de langage, dugénérateur de I , le contexte devant rendre clair ce choix.
Bien entendu, si I = {0}, son seul générateur est le polynôme nul.Remarquons, d’autre part, qu’un générateur de I est caractérisé parle fait que c’est l’élément non nul de I de plus petit degré.
Soit une famille d’éléments de . L’idéal ,
formé des sommes , où (U i ) décrit l’ensemble des familles
presque nulles de polynômes, est un idéal principal. Soit ∆ un géné-rateur de cet idéal. On dit que ∆ est un plus grand commun diviseurde la famille , en abrégé :
.
Le plus souvent, on prend un générateur particulier : l’unique
générateur unitaire lorsque , et 0 sinon. Tous les
pgcd sont associés à celui-ci.
Caractérisation d’un pgcd
Pour que ∆ soit un pgcd de la famille , il faut et il suffit qu’ilvérifie la double condition :
;
si .
Autrement dit, pour la relation de divisibilité, ∆ est un « plus grandélément » de l’ensemble des diviseurs communs aux Q i ; cettedénomination est quelque peu abusive, dans la mesure où la rela-tion de divisibilité dans est une relation de préordre, et pas
une relation d’ordre.On peut remarquer aussi qu’un pgcd de la famille est un
polynôme de plus grand degré qui divise tous les Q i , ce qui justifieautrement cette dénomination.
Relation de Bezout
Soit . Il existe alors une famille presque nulle de polynômes telle que :
Cette relation exprime que .
Théorème 3. est un anneau principal.
X [ ]
a
a ab { }b ∈=
a c
a c c a c a ⊂⇔∈⇔
a et c sont associés c ⇔ a =
U ( )
c a λ U ( ) a ∈∃⇔ λ b µ U ( ) b ∈∃⇔ µ a = = =
p U ( )∉
p ab p associé à a ou p associé à b ⇒=
d a et d b d U ( )∈⇒
a i ( )i I ∈
a i { }i I ∈ a i i I ∈∑
′a i b i i I ∈∑
b i ( ) I ( )∈
X [ ]
X [ ]
X [ ]D X [ ]⋅ DQ { }Q X [ ]∈=
I 0{ }≠
I 0{ } ÐD X [ ]⋅ I puisque D I ∈,⊂
D 0≠Q R ,( ) X [ ]2∈
N DQ R avec deg R deg D ( ) 1 Ð+=
R N DQ I , puisque N I et DQ I ∈∈∈ Ð=
R 0 , puis N DQ = =
X [ ]
X [ ] I ∆ X [ ]=
I 0{ }≠1λ ---∆
Q i ( )i I ∈ X [ ] Q i X [ ]i I ∈∑
′ Q i U i i I ∈∑
Q i ( )i I ∈
∆ pgcd Q i ( )i I ∈=
Q I X [ ] 0{ }≠I I ∈∑
Q i ( )i I ∈
i I ∆ Q i ∈∀
i I D Q i , alors D ∆∈∀
X [ ]
Q i ( )i I ∈
∆ pgcd Q i ( )i I ∈=U i ( )i I ∈
∆ ′ Q i U i i I ∈∑= .
∆ Q i X [ ]i I ∈∑∈
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On dit que la famille des est formée d’éléments premiers
entre eux dans leur ensemble lorsque : . On a
’équivalence suivante :
L’implication de gauche à droite n’est rien d’autre que la propriétégénérale d’un pgcd dans un anneau principal ci-dessus.
L’implication de droite à gauche résulte du fait que, si
, alors .
Les propriétés du pgcd dans sont celles vérifiées dans toutanneau principal. Nous ne les rappellerons pas en détail. Un pointmportant est que le stathme de division euclidienne permet des
calculs effectifs de pgcd, ainsi que des coefficients de Bezout, c’est-à-dire des polynômes U i . Pratiquement, on se limite à deux polynô-nes, puis on utilise la propriété d’associativité suivante :
.
Algorithme d’Euclide
L’algorithme d’Euclide permet de déterminer le pgcd de deuxpolynômes et, en outre, de déterminer deux polynômes coefficientsd’une relation de Bezout.
Notation
Soit D un polynôme non nul. On désigne par N mod D le reste dea division de N par D ; on lit ceci « N modulo D ».
On remarque que, si :
.
En effet, un diviseur de N et D divise aussi N mod D , qui est de laorme N – QD . De même, un diviseur de D et de N mod D divise N .
Cela fournit l’algorithme suivant ; on pose R 0 = N , R 1 = D . Tant queR
i est non nul, on pose :.
Ainsi, pgcd (R i , R i +1) est un invariant.
En outre, deg R i + 1 < deg R i pour . L’algorithme se terminedonc au bout d’un nombre fini d’étapes.
De plus, si R n est le dernier reste non nul, on a :
,
donc pgcd (N , D ) = R n :
.
De plus, . Le nombre de divisions successi-ves est inférieur ou égal à deg D .
Bien entendu, par une comparaison des degrés, on peut choisir D de telle sorte que :
deg D = min (deg N , deg D ).
En détaillant les calculs, on peut obtenir un couple de coefficientsde Bezout.
Initialisons :
.
Tant que (division euclidienne).
On peut écrire : R 0 = U 0 N + V 0 D et si, par récurrence :
,alors :
Introduisons la matrice : . Ainsi :
ou encore : M i = P i M i – 1.
En particulier, si , on aura :.
L’algorithme peut se reformuler ainsi :
.
Tant que , soit Q i le quotient euclidien de R i – 1 par R i .
Alors :
Factorialité de
Notons l’ensemble des polynômes irréductibles de quisont unitaires. Tout polynôme irréductible est ainsi associé à unpolynôme de .
Exemple : Le corps de base est . On cherche le pgcd des
polynômes :
Division euclidienne de R 0 = N par R 1 = D :
.
Q i ( )i I ∈1 pgcd Q i ( )i I ∈
=
1 pgcd Q i ( )i I ∈
U i ( )i I ∈
1∃⇔ ′ Q i U i i I ∈∑
= = .
1 Q i X [ ]i I ∈∑∈ Q i
i I ∈∑ X [ ] X [ ]=
X [ ]
pgcd Q 1 … Q n, ,( ) pgcd pgcd Q 1 … Q n 1 Ð, ,( ) Q n,( )=
D 0≠
pgcd N D ,( ) pgcd D N mod D ,( )=
R i 1+ R i 1 Ð mod R i =
i 1
pgcd R n R n 1+,( ) pgcd R n 0,( ) R n= =
le pgcd est le dernier reste non nul
n deg R 1 deg D =
N X 6
X 5
X 4 2X 2 2X Ð 2D
Ð Ð+ +X 4 X 2 2X Ð 1 Ð Ð
==
R 0 X 2 X 2+ +( )R 1 R 2 avec R 2,+ 3X
3 3X 2 3X + += =
Division euclidienne de R 1 par R 2 :
Division euclidienne de R 2 par R 3 :
.
Donc ∆ = pgcd (N , D ) = – R 3 = X2 + X + 1
(on a pris un pgcd de coefficient dominant égal à 1).
Complexité de l’algorithme d’Euclide. Il se trouve que, parmiles algorithmes de calcul de pgcd n’utilisant que des divisionseuclidiennes, l’algorithme d’Euclide précédent est optimal. Dansle pire des cas, il nécessite (1 + deg D ) divisions euclidiennes.
R 1X 1 Ð
3---------------R 2 R 3 avec R 3,+ X
2 X Ð 1 Ð Ð= =
R 2 3X R 3 Ð R 4 avec R 4,+ 0= =
M 01 0 N
0 1 D
R 0 N ; R 1 D = = =
R i 0 , posons R i 1 Ð≠ R i Q i R i 1++=
R i U i N V i D +=
R i 1+ U i 1 Ð N V i 1 Ð D U i Q i N Ð V i Q i D R i 1+
Ð+
U i 1 Ð U i Q i Ð( )N V i 1 Ð V i Q i Ð( )D + U i 1+ N V i 1+ D +=
= =
P i 0 1
1 Q i Ð
=
U i V i R i
U i 1+ V i 1+ R i 1+
P i U i 1 Ð V i 1 Ð R i 1 Ð
U i V i R i
=
R n 0 et R n 1+≠ 0=
R n pgcd N D ,( ) U n N V n D += =
M 01 0 N
0 1 D
; R 0 N ; R 1 D = = =
R i 0≠
U i V i R i
U i 1+ V i 1+ R i 1+ 0 1
1 Q i Ð
U i 1 Ð V i 1 Ð R i 1 Ð
U i V i R i
=
Résultat : R n pgcd N D ,( ) R n U n N V n D +=
=
.
X [ ]
X [ ]
-
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Le fait que est principal a pour conséquence la factorialitéde : tout polynôme Q non nul de peut s’écrire :
,
où λ est un élément non nul de , α P un entier naturel, les α P étantnuls sauf pour un nombre fini de polynômes P (ce qui est rappelépar le symbole Π’, qui indique que le produit porte sur un nombrefini de polynômes).
En outre, cette écriture est unique. En d’autres termes, la famille ne dépend que de Q .
On note : α P = v P (Q ). Cet entier est appelé valuation P -adique deQ .
On peut donc écrire :
.
Notons que λ n’est rien d’autre que le coefficient dominant de Q .
Il est facile de caractériser la relation de divisibilité. Si Q 1 et Q 2sont deux polynômes non nuls, on a :
On peut aussi calculer le pgcd d’une famille (Q i ) de polynômesnon nuls :
Cette méthode est plus théorique que pratique. En effet, la déter-mination de v P (Q ) est un problème difficile.
ppcm d’une famille de polynômes
Soit une famille de polynômes. L’idéal est un
idéal principal de . Un générateur µ de cet idéal est appelé plus
petit commun multiple de la famille . On note :
.
On le choisira souvent unitaire, lorsque .
Un polynôme µ est caractérisé par la double condition :
si .
Un ppcm de la famille est donc un plus petit élément
(pour la relation de divisibilité) de l’ensemble des diviseurs com-muns aux Q i . C’est, dans le cas particulier où I est un ensemble fini,
un diviseur de .
Notons aussi qu’un ppcm de la famille est un polynôme
de plus petit degré qui divise tous les Q i .
Pour calculer le ppcm de la famille , où I est fini ([ I = [1, n ]),
on utilise l’associativité du ppcm :
de façon à se ramener à deux polynômes non nuls Q 1 et Q 2.
On utilise ensuite la formule :
qui résulte de l’égalité :
.
De cette façon, le calcul du ppcm se ramène au calcul du pgcd,que l’on obtient à l’aide de l’algorithme d’Euclide.
1.3.3.3 Étude de ( anneau factoriel)
On suppose dans tout ce paragraphe que est un anneau facto-riel.
On notera une famille représentative des irréductibles de ,c’est-à-dire telle que tout irréductible de est associé à un élémentet un seul de la famille .
On notera aussi le groupe des inversibles de .
Rappelons que, par définition, un anneau factoriel est aussi intè-gre.
Bien entendu, c (Q ) n’est pas unique : deux contenus sont asso-ciés.
Nous disposons des propriétés suivantes : ;
si ;
si λ divise tous les coefficients de Q , on peut écrire :
;
en particulier, pour tout polynôme Q , on peut écrire :
.
En outre, c (Q ) = c (Q ) c (Q 1) d’après la propriété .
Si donc , on a : c (Q 1) = 1.
X [ ] X [ ] X [ ]
Q λ ′ P α P
P ∈∏=
α P ( )P ∈
Q λ ′ P v P Q ( )
P ∈∏=
Q 1 Q 2 P v P Q 1( ) v P Q 2( )∈∀⇔ .
P ∀ ∈ v P pgcd Q i ( )( ) min v P Q i ( )i I ∈
=
Q i ( )i I ∈ Q i X [ ]i I ∈∩
X [ ]
Q i ( )i I ∈
µ ppcm Q i ( )i I ∈=
Q i X [ ]i I ∈∩ 0{ }≠
i I µ Q i ;∈∀
i I m Q i , alors µ m∈∀
Q i ( )i I ∈
Q i
i I ∈
∏
Q i ( )i I ∈
Q i ( )i I ∈
ppcm Q 1 … Q n, ,( ) ppcm ppcm Q 1 … Q n 1 Ð, ,( ) Q n,( )=
pgcd Q 1 Q 2,( ) ppcm Q 1 Q 2,( )⋅ Q 1Q 2=
Exemple : Reprenons l’exemple de :
.
On a vu que .
Il en résulte que :
.
Une division euclidienne fournit :
.
Ainsi :
.
Définition 3. Soient . On appelle
contenu de Q , et on note c (Q ), un pgcd de la famille .
Exemple : .
On a alors : c (Q ) = 2.
.
Dans .
Donc : c (Q ) = X 1.
P min v P Q 1( ) v P Q 2( ),( ) max v P Q 1( ) v P Q 2( ),( )+∈∀
v P = Q 1( ) v P Q 2( )+
N X 6 X 5 X 4 2X 2 2X Ð 2 et D Ð Ð+ + X 4 X 2 2X Ð 1 Ð Ð= =
∆ pgcd N D ,( ) X 2 1+= =
ppcm N D ,( ) ND
∆---------- N
D
∆-----= =
D
∆---- X
2 X Ð 1 Ð=
ppcm N D ,( ) X 6 X 5 X 4 2X 2 2X Ð 2 Ð Ð+ +( ) X 2 X Ð 1 Ð( )=
X [ ]
U ( )
Q X [ ] et Q ∈ ′ q i X i i ∈∑=
q i ( )i I ∈
; Q 6X 3 2X 4 Ð+= =
X 1[ ] ; Q X 12 X 3 2X 1X
2 3X 14 X ++= =
X 1[ ] pgcd X 12 2X 1 3X 1
4,,( ), X 1=
c Q ( ) 0 Q ⇔ 0= =
λ alors c λ Q ( ),∈ λ c Q ( )=
Q λ Q 1 où Q 1 X [ ]∈=
Q c Q ( ) Q 1=
Q 0≠
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On appelle polynôme primitif un polynôme de contenu égal à 1.Tout polynôme peut donc s’écrire sous la forme :
Q = c (Q ) Q 1,
où Q 1 est un polynôme primitif (dans le cas où Q = 0, Q 1 n’est pasunique, mais on peut toujours prendre Q 1 = 1).
Proposition 9.
Soient Q et S deux polynômes de . Alors :
c (QS ) = c (Q ) c (S )
Preuve. ◊ Puisque est intègre, la propriété est vraie lorsqueQ ou S est nul.
Supposons à présent ces polynômes non nuls. On peut écrire :
Q = c (Q ) Q 1 et S = c (S ) S 1,
où Q 1 et S 1 sont de contenu 1. Alors :
QS = c (Q ) c (S ) Q 1 S 1
et c (QS ) = c (Q ) c (S ) c (Q 1S 1).
Tout revient donc à montrer que Q 1S 1 est primitif lorsque Q 1 et S 1e sont.
Soit . On sait que l’anneau quotient est intègre.
Notons le polynôme , lorsque
et lorsque désigne la classe de q i dans . On obtient alors :
Mais car p ne divise pas tous les coefficients de Q 1. Demême . Comme est intègre, . En parti-culier, c (Q 1S 1) n’est divisible par aucun irréductible de . C’estdonc un inversible de et : c (Q 1S 1) = 1. ◊
Cette proposition 9 est due à Gauss.
Considérons le corps des fractions de l’anneau intègre . Toutélément de peut donc être considéré comme un élément de. Nous allons caractériser les polynômes irréductibles de à l’aide des éléments irréductibles de et des polynômes
rréductibles de .
Proposition 10.
Soit est un anneau factoriel .
Il y a équivalence entre :
P est un irréductible de ;
P est primitif et P est un irréductible de .
Preuve. ◊
Puisque P = c (P ) P 1, où , on a nécessairement
.Supposons que P puisse s’écrire :
P = QS
où .
Un polynôme Q de peut s’écrire, après réduction à un déno-minateur commun :
.
Soit : ,
et où pgcd (µ , λ ’) = 1 (c’est-à-dire que l’on a pris une forme irréducti-
ble de la fraction ).
De même : , avec S 2 primitif et pgcd (α , β ’) = 1.
Donc :
ou encore .
Il en résulte :
.
Mais . Donc : .
Ainsi : .
Puisque P est irréductible dans , on a, par exemple,deg Q 2 = 0.
Donc deg Q = 0, et Q est inversible dans .
Supposons que P puisse s’écrire :
P = QS
où . Puisque P , Q , S sont dans , on a,par exemple, deg Q = 0. Donc ; notons Q = λ . Alorsc (P ) = λ c (S ). Comme λ divise un inversible de , λ est inversible.Cela prouve finalement que Q est irréductible. ◊
La proposition 10 caractérise les polynômes non constants de qui sont irréductibles dans ; quant aux polynômes
constants, il est facile de voir qu’ils sont irréductibles si, et seule-ment si, ils sont irréductibles comme éléments de .
Preuve. ◊ Soit R un élément de . On peut toujours écrire :
.
On peut, en outre, supposer c (S ) = 1. Si, de plus, R est irréductibledans , S est aussi irréductible dans , car il est associé(dans ) à R . Donc S , étant primitif, est irréductible dans .
Existence d’une décomposition en facteurs irréductibles dans
Soit . C’est un produit d’irréductibles de , car est principal (§ 1.3.3.2), donc factoriel. Par conséquent, on
peut écrire :
où et Q 1 est un produit d’irréductibles de .
En particulier, c (Q 1) = 1, donc α = β c (Q ). Ainsi, . Puisque
est factoriel, est un produit d’irréductibles de , donc, évidem-
ment, de .
L’existence d’une décomposition est ainsi assurée.
Unicité d’une décomposition en facteurs irréductibles dans
Supposons l’égalité :
X [ ]
X [ ]
p ∈ p ⁄
Q p ⁄ X [ ]∈ q i X i
i I ∈∑ Q q i X i
i I ∈∑=
q i p ⁄
Q 1S 1 Q 1S 1=
Q 1 0≠S 1 0≠ p ⁄ X [ ] Q 1S 1 0≠
X [ ] X [ ] X [ ]
X [ ]
P X [ ] où Ð∈
X [ ]
X [ ]
⇒P 1 X [ ]∈
c P ( ) U ( )∈
Q X [ ] et S X [ ]∈∈
X [ ]
Q 1λ --- Q 1 où Q 1 X [ ] λ ∈,∈=
Q µ
λ ′----- Q 2 où Q 2 X [ ] Q 2 est primitif,∈=
Théorème 4. Si est un anneau factoriel, alors estencore factoriel.
c Q 1( )λ
-----------------
S α
β ′-----S 2=
P QS αµ
λ ′β ′---------- Q 2S 2= =
λ ′β ′P αµ Q 2S 2=
λ ′β ′ αµ c Q 2S 2( ) αµ = =
pgcd λ ′β ′ αµ ,( ) 1= λ ′β ′ U ( ) et αµ U ( )∈∈P k Q 2S 2 où k U ( )∈=
X [ ]
⇒
Q X [ ] et S X [ ]∈∈ X [ ]Q ∈
X [ ] X [ ]
X [ ]
X [ ]
R λ
µ --- S , où λ µ ,( ) 2 et S X [ ]∈∈=
X [ ] X [ ] X [ ] X [ ]
X [ ]
Q X [ ]∈ X [ ] X [ ]
Q α
β --- Q 1=
α β ,( ) 2∈ X [ ]
α β --- ∈
α
β ---
X [ ]
X [ ]
Q ′P i α i
i I ∈∏=
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où les P i sont des irréductibles de . On peut écrire :
où a désigne le produit , les éléments P i intervenant dans
ce produit correspondant aux polynômes constants, c’est-à-dire auxéléments de . D’après l’unicité d’une décomposition dans ,
on a nécessairement lorsque désigne la valuation P i – adique
dans :
puisque P i est aussi un irréductible de . De plus :
car c (P i ) = 1. Donc est une décomposition de a en facteurs
irréductibles dans , décomposition unique d’après la factorialité
de . L’unicité est ainsi montrée. ◊On peut donc appliquer, dans , les règles usuelles de l’arith-
métique, pour autant qu’elles relèvent de la factorialité. Cependant,l’égalité de Bezout, et plus généralement les propriétés liées à laprincipalité, ne sont plus vérifiées en général dans .
1.4 Polynômes symétriques,antisymétriques de
Rappelons que ε (σ ) désigne la signature de σ ; ε (σ ) vaut 1 ou – 1, selon que σ est une permutation paire ou impaire.
Proposition 11.
Soit un anneau, de caractéristique différente de 2.
Soit . Il y a équivalence entre :
P est antisymétrique .
Il existe T symétrique tel que :
P = VT
Preuve. ◊
On a, d’après les propriétés de la substitution (§ 1.1.3) :
.
Considérons et
.
Puisque le coefficient dominant de S est 1, on peut appliquer lethéorème 2 et diviser P par S :
.
Pour , on a :
car , où τ est la transposition (i , n ).
Donc : .
Il en résulte que :
puisque .
Le polynôme R , considéré comme un élément de, admet les (n – 1) racines X 1, …, X n – 1. Comme
il est de degré inférieur ou égal à (n – 2), il est nul. Ainsi :P = SQ .
Soit σ une permutation telle que σ (n ) = n . On a :
.
Donc : .
On peut appliquer une hypothèse de récurrence à, antisymétrique par rapport aux (n – 1)
dernières indéterminées. Ainsi, il existe T tel que :Q = V 1 T,
avec . Donc :
.
De plus :
.
Donc T est nécessairement symétrique. ◊Grâce à la proposition 11, l’étude des polynômes antisymétriques
se ramène, lorsque la caractéristique de est différente de 2, àl’étude des polynômes symétriques. Lorsque est de caractéris-tique 2, on a – P = P , donc les polynômes antisymétriques et symé-triques sont les mêmes.
Nous introduisons les polynômes symétriques élémentairesS 1, …, S n suivants :
Définition 4. Soient , groupe des permutations de[1, n ], et . On pose :
.
Le polynôme P est dit symétrique lorsque :
.
Le polynôme P est dit antisymétrique lorsque :
.
Exemple : Soit :
Les propriétés du déterminant prouvent que V est antisymétrique.Ce polynôme est appelé polynôme de Vandermonde. On peutl’expliciter :
.
C’est un polynôme homogène, de degré . On a aussi :
.
X [ ]
Q a ′P i α i
i I ∈∏=
′ P i α i
i I J Ð∈
∏
X [ ]v P i
X [ ]
α i v P i Q ( )=
X [ ]
c Q ( ) a =
′ P i α i
i I J Ð∈∏
X [ ]
X [ ]
X 1 … X n , ,[ ]
σ S n∈P X 1 … X n, ,[ ]∈
P σ P X σ 1( ) … X σ n( ), ,( )=
σ S n P σ ∈∀ P =
σ S n P σ ∈∀ ε σ ( )P =
V
1 1 … 1X 1 X 2 … X n
X 1
n 1 Ð X 2
n 1 Ð … X n
n 1 Ð
X 1 …
X n
, ,[ ]∈
=
V X i X j Ð( )n i j 1>
∏=
n 1 Ð( )n2
---------------------
deg X i V n 1 Ð=
P X 1 … X n, ,[ ]∈
⇒
P σ V σ Q σ ε σ ( ) VQ ε σ ( )P = = =
⇒ P X 1 … X n 1 Ð, ,[ ] X n[ ]∈
S X n X 1 Ð( )… X n X n 1 Ð Ð( ) X 1 … X n 1 Ð, ,[ ] X n[ ]∈=
P SQ R ; deg X nR n 2 Ð+=
i 1 n 1 Ð,[ ]∈
P X 1 … X i … X n 1 Ð X i , , , , ,( ) P X 1 … X i … X n 1 Ð X i , , , , ,( ) Ð=
P τ P τ Ð=
P X 1 … X i … X n 1 Ð X i , , , , ,( ) 0=
R X 1 … X i … X n 1 Ð X i , , , , ,( ) 0=
S X 1 … X i … X n 1 Ð X i , , , , ,( ) 0=
X 1 … X n 1 Ð, ,[ ] X n[ ]
S σ S =
Q σ ε σ ( ) Q =
Q X n[ ] X 1 … X n 1 Ð, ,[ ]∈
V 1 X i X j Ð( )n 1 i j 1> Ð
∏=
P SV 1T VT = =
V σ T σ P σ P VT σ ⇒ Ð VT T σ ⇒ T = = = =
S 1 X 1 … X n+ + X i
S 2
i 1=
n
∑
X 1X 2 … X 1X n X 2X 3 … X 2X n … X n 1 Ð X n+ + + + + + +
= =
=
-
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et, plus généralement :
Ainsi :
;
Proposition 12.
On a, dans :
.
Cette proposition résulte d’un simple calcul. Évaluée en un n -uplet (x 1,…, x n ) de , l’égalité précédente permet d’exprimer lescoefficients d’un polynôme de
, connaissant la liste (x 1,…, x n ) de ses racines.
Pour cette raison, on parle souvent de fonctions symétriques élé-mentaires des racines.
Il est clair que S 1,…, S n sont des polynômes symétriques de : il suffit de substituer à (X 1, …, X n )
dans le membre de gauche de l’égalité qui précède. De plus, S k estun polynôme homogène de degré k , qui est de degré 1 par rapportà chacun des X i .
Soit U un polynôme en n indéterminées, à coefficients dans . Lepolynôme U (S 1, …, S n ) est manifestement un polynôme symétri-que de .
Le théorème ci-dessous affirme que la réciproque est vraie.
Preuve. ◊ Sur les monômes , on met l’ordre lexicogra-phique défini par :
.
Pour cet ordre, cherchons le plus grand monôme de S k : c’estmanifestement X 1 … X k .
Le plus grand monôme de est donc :
.
Unicité
Par différence, il s’agit de montrer que si :
dans , Q est le polynôme nul. Supposons le contraire,
et soit λ le coefficient non nul de , où (β 1, …, β n ) est choisi
de telle façon que soit maximal
pour l’ordre lexicographique introduit ci-dessus. Il faut seulementemarquer qu’il existe un unique tel monôme, car la donnée de
détermine celle de . On voit alors
que λ est le coefficient du plus grand monôme de P , donc est nul :d’où la contradiction.
Existence
Soit le plus grand monôme de ,avec .
Il est certain que . En effet, on a, pour toute per-mutation :
,
puisque figure aussi dans l’expression de P .
On peut alors déterminer des entiers naturels β 1, …, β n tels que :
.
Le polynôme est encore symétrique, et son
monôme maximal est strictement inférieur à (α 1, …, α n ).
On conclut alors par une hypothèse de récurrence (qui utilise lefait que l’ordre lexicographique est un bon ordre sur ). ◊
La démonstration précédente est constructive.
2. Polynômes irréductibles
Puisque, lorsque l’anneau est factoriel, l’étude de la divisibilitése ramène à la décomposition d’un polynôme en facteurs irréducti-bles, il est essentiel de pouvoir déterminer les polynômes irréducti-bles d’un anneau de polynômes. Cette question ne peut pas êtreabordée sans une connaissance préalable de . Très souvent,sera d’ailleurs un corps. Nous discuterons donc des polynômes irré-
ductibles en relation étroite avec l’anneau .
2.1 Racines d’un élément de
Dans ce paragraphe 2.1, désigne un corps.
2.1.1 Corps algébriquement clos
Dans , un polynôme de degré 1 est toujours irréductible, carun diviseur non constant est aussi de degré 1, donc est associé aupolynôme initial.
Théorème 5. Soit , symétrique. Il existe ununique polynôme U , à n indéterminées et à coefficients dans ,tel que P = U (S 1, …, S n ).
soit S 2 X i 1X i 21 i 1 i 2 n β 1 et α 2 β 2 )… ou α n β n( )… )>=
S 1β 1 S 2
β 2 … S nβ n
X 1β 1 … β n+ + X 2
β 2 … β n+ + … X nβ n
P X 1 … X n, ,( ) Q S 1 … S n, ,( ) 0= =
X 1 … X n, ,[ ]
S 1β 1… S n
β n
β 1 … β n β 2 … β n … β n, ,+ +,+ +( )
β 1 … β n … β n, ,+ +( ) β 1 … β n, ,( )
λ X 1α 1 …X n
α n P X 1 … X n, ,[ ]∈λ 0≠
.
Le monôme maximal est . On a :
Donc :
Le plus grand monôme est ensuite . On calcule :
Donc :
.
Enfin, X 1 X 2 X 3 = S 3. D’où :
.
α 1 α 2 … α n σ S n∈
α σ 1( ) … α σ n( ), ,( ) α 1 … α n, ,( )
λ X σ 1( )α
1 … X σ n( )α n
β 1 … β n+ + α 1 … β n;; α n= =
R λ S 1β 1… S n
β n Ð
n
P X 13
X 23
X 33
X 12
Ð X 2 X 12
Ð X 3 X 22 X 3 Ð X 1X 2
2 Ð X 1X 3
2 Ð X 2 X 3
2 Ð+ +=
X 13
S 13 X 13 X 23 X 33+ +=
3+ X 12 X 2 X 1
2 X 3 X 2
2 X 3 X 1X 2
2X 1X 3
2X 2 X 3
2+ + + + +( ) 6X 1X 2X 3+
P S 13
Ð 4 X 12X 2 X 1
2 X 3 X 2
2 X 3 X 1X 2
2X 1X 3
2X 2X 3
2+ + + + +( ) Ð 6X 1X 2X 3 Ð=
4 X 12 X 2 Ð
S 1S 2 X 1 X 2 X 3+ +( ) X 1 X 2 X 1 X 3 X 2 X 3++( )=
P S 13
Ð 4 S 1S 2+ 6 X 1X 2X 3=
P S 13
4 S 1S 2 6 S 3+ Ð=
X [ ]
X [ ]
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Proposition 13.Soit un corps. Les propriétés suivantes sont équivalentes :
est algébriquement clos ;
tout polynôme P de , non constant, admet au moins une racine ;
tout polynôme P de , non nul, peut s’écrire :
.
Preuve. ◊
: P admet une décomposition en facteurs irréductiblesunitaires, de la forme X – α , . Le nombre m (α ) n’est riend’autre que la valuation (X – α ) – adique de P .
est clair, car , donc au moins un des
m (α ) est supérieur ou égal à 1.
: si P est irréductible (donc non constant), il admet uneracine α , donc est associé à X – α . Il est par conséquent de degré 1.
◊
Un exemple fondamental est donné par le théorème suivant.
Preuve. ◊ Soit , non constant. On a :
Si, par l’absurde, P ne s’annule pas dans , l’application
, continue et tendant vers 0 à l’infini, est bornée sur .
Comme elle est holomorphe, elle est constante sur , ce qui est unecontradiction. ◊
Ce théorème explique l’usage fréquent que l’on fait du corps descomplexes pour des calculs qui, a priori, sont destinés à des polynô-mes à coefficients réels.
Abstraitement, on peut plonger un corps quelconque dans uncorps algébriquement clos.
La construction générale de ce corps n’est pas effective bienque, dans certains cas particuliers, un tel corps puisse être expli-cité : par exemple, lorsque .
2.1.2 Multiplicité des racines
Soit . On note m (α ) la valuation (X – α ) – adique du poly-nôme P de , supposé non nul. Ainsi, m (α ) est la plus grandepuissance de X – α qui divise P . Bien entendu, en général, α n’estpas racine de P , ce qui signifie que m (α ) = 0.
Lorsque m (α ) = 1, on dit que α est racine simple de P .
Lorsque , on dit que α est racine multiple de P : doublelorsque m (α ) = 2, triple lorsque m (α ) = 3, etc.
De façon générale, m(α ) est appelé ordre de multiplicité de α dans P .
Proposition 14.
Soit . Il y a équivalence entre : ;
.
Preuve. ◊
Si , on a :
.
Donc : .
. Si P (α ) = 0, on peut écrire :
avec . Ainsi, R est divisible parX – α . ◊
Pour déterminer m (α ) de façon générale, remarquons que lafamille est une base de , car la matrice de cettefamille dans la base canonique est triangulaire supérieure,avec des 1 sur la diagonale. Un polynôme P de peut doncs’écrire, de façon unique :
.
Soit . Alors :
.
Clairement, (X – α ) j divise P et le quotient ne
s’annule pas en α (puisque ). Donc ce quotient n’est pas divisi-
ble par X – α , et finalement :
. ◊
Pour déterminer m (α ), il suffit donc de déterminer les coefficientsλ i .
Cas particulier : α = 0.
La valuation X – adique de P est appelée valuation (tout court)de P .
Proposition 15 (formule de Taylor).
Soient un corps de caractéristique nulle et . Alors :
.
Preuve. ◊ Par linéarité, il suffit de le vérifier sur les monômes X k .Dans ce cas :
,
Donc :
. ◊
Définition 5. On dit qu’un corps est algébriquement closlorsque les polynômes irréductibles sont ceux de degré un.
Autrement dit, il n’y a pas d’autre polynôme irréductible queceux qui sont de degré 1.
Théorème 6. Le corps des nombres complexes est algé-briquement clos.
Théorème 7. Soit un corps. Il existe un sur-corps dequi est algébriquement clos.
X [ ]
X [ ]
λ ′ X α Ð( )m α ( ) où m α ( ) et λ 0{ } Ð∈∈α ∈∏
⇒α ∈
⇒ deg P ′ m α ( )α ∈∑=
⇒
P X [ ]∈
P z ( ) ∞+→z ∞+→
z 1
P z ( )-------------
et = =
α ∈ X [ ]
m α ( ) 2
P X [ ] 0{ } Ð∈m α ( ) 2P α ( ) P ′ α ( ) 0= =
⇒ P X α Ð( )2 Q =
P ′ 2 X α Ð( )Q X α Ð( )2 Q ′+=
P α ( ) P ′ α ( ) 0= = ⇒
P X α Ð( )R =
P ′ X α Ð( )R ′ R , donc R α ( )+ 0= =
X α Ð( )i ( )i ∈ X [ ]X i ( )i ∈
X [ ]
P ′ λ i X α Ð( )i i ∈∑=
j min i ∈( ) λ i 0≠{ } , lorsque P 0≠=
P λ i X α Ð( )i et λ j 0≠i j
∑=
λ i X α Ð( )i j Ði j
∑
λ j 0≠
m α ( ) j =
P X [ ]∈
P Y Z +( ) P i ( ) Y ( )i !
----------------- i ∈∑= Z i
P i ( ) k k 1 Ð( )= … k i Ð 1+( ) X k i Ð si k i
P i ( ) 0 sinon.=
P i ( ) Y ( )i !
------------------- Z i i ∈∑ k k 1 Ð( )… k i Ð 1+( )i !------------------------------------------------------ Y
k i Ð Z i i k
∑=
C k i Y k i Ð Z i
i 0=
k
∑= Y Z +( )k P Y Z +( )= =
-
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Il en résulte que, lorsque est de caractéristique nulle, on a :
,
ormule obtenue en évaluant la formule précédente en (α , X – α ).
Ainsi :
.
Corollaire. .
En d’autres termes, m (α ) est l’unique entier m tel que :
.
On remarquera que cette caractérisation montre que, si α estd’ordre multiplicité m pour P , α est d’ordre de multiplicité m – k pourP (k ) (k = 0, …, m).
Une telle caractérisation ne s’applique pas aux corps de caracté-istique non nulle.
2.1.3 Résolution par radicaux
Dans certains cas, on peut déterminer les racines d’un polynômeà l’aide de formules explicites, qui font cependant intervenir desadicaux. On notera un élément b de tel que b n = a . Bien
entendu, l’existence d’un tel élément n’est pas toujours assurée.
Équation de degré 2
Soit . On suppose que n’est pas de caractéris-ique 2. On peut écrire :
.
Posons ∆ = p 2 – 4q . Soit δ , s’il en existe, une racine carrée de ∆.
Ainsi :
.
Autrement dit, la liste des racines de P est :
.
Équation de degré 3
Soit P = X 3 + a X 2 + b X + c . Le polynôme P peut s’écrire :
,
orsque n’est pas de caractéristique 3 ; s’écrit donc :
.
Quitte à effectuer une translation sur la variable, on peut doncsupposer que :
.
Cherchons les racines de P sous la forme :
.
Alors : .
Imposons ; u et v doivent satisfaire :
.
Réciproquement, si et u 3 + v 3 = – q , alors u + v est
racine de P .
Nécessairement :
,
donc u 3 et v 3 sont racines de .
D’après l’étude de l’équation de degré 2 :
(on a supposé ici de caractéristique différente de 2).
Il y a donc éventuellement 6 valeurs de u qui répondent à cette
dernière condition, v étant alors nécessairement égal à (pour
).
Le choix des valeurs de u qui donnent effectivement lieu à uneracine de P est plus délicat. Nous nous contenterons de ces remar-ques.
Les formules ainsi obtenues sont appelées formules de Cardan.
2.2 Cas des polynômes à coefficientsréels
2.2.1 Polynômes irréductibles de
Soit . On peut considérer sa décomposition en fac-teurs irréductibles dans :
.
Notons le polynôme conjugué de P , c’est-à-dire celui qui estobtenu à partir de P en conjuguant ses coefficients. Alors :
Il résulte immédiatement de l’unicité de la décomposition d’unpolynôme en facteurs irréductibles que . Cette éga-lité ne nous apporte rien si . En revanche, si , onconstate que les ordres de multiplicité de α et sont égaux. Onpeut ainsi, en regroupant les racines non réelles, écrire :
.
Les polynômes .
Il résulte de cela que les polynômes irréductibles de sont,ou bien les polynômes de degré 1, ou bien les polynômes dedegré 2 sans racine réelle.
P X ( ) P i ( ) α ( )i !
------------------- X α Ð( )i i ∈∑=
λ i P i ( ) α ( )
i !-------------------=
m α ( ) min i P i ( ) α( ) 0≠{ }=
P α ( ) … P m 1 Ð( ) α ( ) 0 ; P m( ) α ( ) 0≠= = =
a n
P X 2 p X q + +=
P X p
2--- +
2 q p 2
4------ Ð+=
P X p
2--- +
2 δ 2---
2 Ð X p δ +2
------------ + X p δ Ð
2------------ +
= =
p Ð ∆+
2---------------------- ,
p Ð ∆ Ð
2---------------------
X a
3--- +
3 b a 2
3----- Ð
X c a 3
27------ Ð+ +
P X a
3--- Ð
X 3 b a 2
3----- Ð
X ab 3
------ Ð2a 3
27--------- c + + +
P X 3 p X q + +=
x u v +=
0 x 3 px q + + u 3 v 3 u v +( ) p 3uv +( ) q + + += =
uv p
3--- Ð=
u 3 v 3+ q Ð=
uv p
3--- Ð=
u 3 v 3+ q Ð=
u 3 v 3 p 3
27------ Ð=
Y 2 qY p 3
27------ Ð+
u 3 q Ð q 2
4p 3
27---------++
2-----------------------------------------
q Ð q 24p 3
27---------+ Ð
2----------------------------------------,
∈
p
3u ------- Ð
u 0≠
X [ ]
P X [ ] 0{ } Ð∈
P λ ′ X α Ð( ) m α ( ) où λ 0{ } Ð∈α ∈∏=
P
P P λ ′ X α Ð( )
m α ( )
α ∈∏= =
m α ( ) m α ( )=α ∈ α Ð∈