Post on 19-Oct-2020
Signal
électrique
Traitement du signal
• Télécommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, …)• Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation écho, Analyse, Synthèse, …)• Médical (Échographie, Imagerie, Biosignaux, …)• Radar, géophysique, Acoustique (sous-marine)• …
Grandeur
physique
Milieu de
transmissionCapteur
Bruit
Traitement du
signal
Exploitation
Signaux et Systèmes
Les signaux :- Déterministes
- Impulsionnels
- Périodiques
- Aléatoires : bruits (bruit blanc), données, information, …
Les systèmes :– Linéaires Invariant dans le Temps (SLIT) : canaux de transmission,
composants électroniques passifs (R,L,C), filtres analogiques et numériques, …
� régis par l'opération de convolution� ayant les signaux sinusoïdaux comme fonctions propres
� Fonction de transfert et analyse de Fourrier
– Non linéaires ou non stationnaires : non linéarités (saturation),
Traitement Numérique du Signal
Numérisation : double discrétisation�Discrétisation temporelle : Echantillonnage�Discrétisation numérique : Quantification
Plan du coursIntroduction
Rappels� Systèmes linéaires invariants dans le temps� Analyse de Fourier
Echantillonnage� Théorème de l'échantillonnage� Bruit de quantification
Filtrage numérique� Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)� Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)� Transformée en Z
Transformée de Fourier Discrète (TFD)� Transformée de Fourier Discrète Rapide : FFT (Fast Fourier Transform)
Références
Les livres :• Traitement numérique du signal, Maurice BELLANGER (Dunod) ;• Méthodes et techniques de traitement du signal, J.MAX (Masson) ;• Traitement numérique des signaux, M.KUNT (Dunod) ;• Digital signal processing, J. G. Proakis, D. G. Manolakis, (Prentice Hall)
Sur Internet :• Wikipédia : site en pleine progression• Luc Vandendorpe :
http://www.tele.ucl.ac.be/EDU/ELEC2900/tout_2900b.pdf• Joël Le Roux : http://users.polytech.unice.fr/~leroux/
Exercices, Devoirs surveillés et documents de cours :• http://luc.fety.free.fr• http://luc.fety.free.fr/ftp/EI1/• http://luc.fety.free.fr/ftp/ELE102/
Systèmes linéaires invariants dans le temps
Linéarité :
Invariance temporelle :
Exemples : canaux de transmission, systèmes optiques, filtrage, …
)(tx SLIT )(ty
)(1 tx )(1 ty
)(2 tx )(2 ty
)()( 2211 txtx αα + )()( 2211 tyty αα +
)(tx )(ty
)( τ−tx )( τ−ty
Principede
superposition
Stationnarité
Convolution
Réponse impulsionnelle :
Un signal quelconque peut être exprimé comme une somme d'impulsions :
En vertu de la linéarité et de l'invariance temporelle :
Cette opération s'appelle le produit de convolution :
)(tδ SLIT )(th
ττδτ dtxtx )()()( −= ∫+∞
∞−
τττ dthxty )()()( −= ∫+∞
∞−
)()()( thtxty ∗=
Propriétés du produit de convolution
Le produit de convolution est– commutatif :
– associatif :
– distributif :
L'élément neutre est l'impulsion de Dirac :
La convolution par opère une translation de :
Évaluation graphique :
(Wikipedia)
)()()()( xfxgxgxf ∗=∗)())()(())()(()( xhxgxfxhxgxf ∗∗=∗∗
)()()()())()(()( xhxfxgxfxhxgxf ∗+∗=+∗
)()()()()( xfduuxfuxxf =−=∗ ∫+∞
∞−δδ
)()()()()( axfduuxfauaxxf −=−−=−∗ ∫+∞
∞−δδ
)( ax −δ a
duuxgufxgxf )()()()( −∗=∗ ∫+∞
∞−
Fonctions propres
Fonctions telles que
�
Proposition : �
)()()( txdtxh ⋅=−∫+∞
∞−λτττ
)(tx )()()( txthtx ⋅=∗ λ
atetx =)( )()( )( txeeeetx aatata ⋅=⋅==− −−− ττττ
44 344 21
λ
ττ ττττ dehedeh aatta −+∞
∞−
−+∞
∞− ∫∫ ⋅= )()( )(
Exprimer le signal d'entrée comme une somme de fonctions propres :
ou
Pour déterminer plus facilement le signal de sortie :
ou
est appelée " Transformée de ". est appelée " Fonction de Transfert ".
Base de fonctions propres
∑ ⋅=a
ateaXtx )()( ∫ ⋅=a
atdaeaXtx )()(
∑ ⋅⋅=a
at
aY
eaXaty43421
)(
)()()( λ ∫ ⋅⋅=a
at
aY
daeaXaty43421
)(
)()()( λ
)(tx )(tySLIT
)(aX )(tx
)(aλ )()()( aXaaY ⋅= λ
Différentes transformées :
• Laplace :
• Fourier :
• En Z dans le cas des signaux échantillonnés, …
ωα jpa +== ∫ ⋅=p
ptdpepXtx )()(
fja π2= ∫+∞
∞−⋅= dfefXtx ftπ2)()(
Exemple de décomposition
tftx 02cos)( π= ?)( =tySLIT
tfjtfj eetx 00 22
2
1
2
1)( ππ −+=
SLIT
SLIT
+
tfje 022
1 π
tfje 022
1 π−
tfjfH e 02
21
)0(π
⋅
tfjfH e 02
21
)0(π−
⋅−
))0(02cos()0()( ftffHty ϕπ +=
*)0()0( fHfHsi =−
Exemple de SLIT
)(tx +τ
)()()( τ−+= txtxty
)1()(
22)(222
0
0000043421
fH
fjtfjtfjtfjtfj eeeee τππτπππ −− +=+→
)1()(
22)(222
0
0000043421
fH
fjtfjtfjtfjtfj eeeee−
+−−−−− +=+→ τππτπππ
tfjefHtfjefHtytfjetfjetftx 00
00
000
2)(212)(
21)(2
212
212cos)( πππππ −⋅−+⋅=→−+==
τπτπτπτπτπτπτπ 000
00
0000 cos2)(cos2)()( fj
effHetfj
effj
efj
efj
efH+⋅=−−⋅=−⋅−++=
)2cos(cos2)2(21)2(
21cos2)( 000
00000 τππτπτππτππτπ ftffftfjeftfjefty −⋅=
+−⋅+−⋅=
Ce qu'il faut retenir
Les traitements des signaux sont le plus souvent des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps .
Ils sont régis par le produit de convolution :
est la réponse impulsionnelle du système. Elle caractérise entièrement le système.
Les transformées de Laplace et de Fourier sont très utilisées pour l'étude des SLIT car elles sontbasées sur des fonctions propres des SLIT de la forme .
Elles transforment le produit de convolution en produit simple.
)(tx )(tySLIT
τττ dthxthtxty )()()()()( −=∗= ∫+∞
∞−
)(th
ate
Traitement Numérique du Signal
Le traitement numérique des signaux requiert leur numérisation :
1) Les calculateurs sont des systèmes discrets : Ils peuvent tout au plus mémoriser et calculer les valeurs des signaux à des instants dénombrables. � Il faut donc opérer une discrétisation temporelle :
L'Echantillonnage
2) Les mémoires disponibles dans les calculateurs sont elles-mêmes constituées d'un nombre fini de bits : Elles peuvent tout au plus mémoriser des valeurs arrondies des échantillons des signaux. � il s'agit d'une discrétisation numérique :
La Quantification
L'Echantillonnage
L'échantillonnage d'un signal consiste à mesurer et ne conserver que ses valeurs à des instantsparticuliers :
Le signal obtenu est un signal discret :
est l'indice (ou indexe) des échantillons.
est le symbole de Kronecker :
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
{ }LL 9.06.06.09.009.0)()( −−−==↑
nTexnx A
)(nx
)(txA
∑+∞
−∞=
−⋅=i
niixnx )()()( δ
)(nδ
=≠
=01
00)(
nsi
nsinδ
Nn∈
TeefTe
=1
: Période d'échantillonnageTe
: Fréquence d'échantillonnageef
Reconstruction
Problème : Plusieurs signaux présentent les mêmes échantillons :
Il faut certainement compléter l'information contenue dans les échantillons pardes hypothèses supplémentaires.
Solution retenue : Hypothèses dans le domaine spectral
� Le théorème d'échantillonnage
τττ dthxthtxty )()()()()( −=∗= ∫+∞
∞−
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1
Spectre d'un signal échantillonné
Considérons l'expression analogique du signal numérique :
Peut-on exprimer comme une somme de sinusoïdes ?
ou peut-être
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
-0.5
0
0.5
1 )(txA
)(txN
)(txN
)(txN
∑=f
ftjfN eatx π2)( ∫=
f
ftjfN dfeatx π2)(
Spectre d'un signal échantillonné
Les signaux présentent tous les mêmes échantillons :tkftxtx eAk π2cos)()( ⋅=
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1
0
1
tfeπ2cos
tftx eA π2cos)( ⋅
tfeπ4cos
tftx eA π4cos)( ⋅
)(txA
)(txA
Spectre d'un signal échantillonné
Si nous faisons la somme de ces signaux : ∑= + −
⋅+K
k ee
eAA
tekfjtekfj
tkftxtx1 22
2cos2)()(43421
ππ
π
1=K
2=K
3=K
4=K
5=K
)(txA
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-101
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-202
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
-505
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10
010
Nous obtenons un signal constitué d'impulsions approchant .)(txN
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
Spectre d'un signal échantillonné100=K
8.8 8.9 9 9.1 9.2
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
10001000=K
⋅+⋅= ∑
∞
=1
2cos2)()()(k
eAAN tkftxtxfetx π
∑∞
−∞=
−⋅=n
AN nTetnTextx )()()( δ
)(ˆ txN
)()(ˆ2
2
nTexdttx A
nTe
nTeN
Te
Te≈⋅∫
+
−
∑∞
−∞=
⋅⋅=k
tkfjAN
eetxfetx π2)()(
0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000
-800
-600
-400
-200
0
200
400
600
800
1000
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100
-80
-60
-40
-20
0
20
40
60
80
100
8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 9.4
-5
0
5
10
15
20
25
30
35
Vérification du facteur 1=fe
10=fe
ef
0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94
-50
0
50
100
150
200
250
300
350
1=Te
1.0=Te
Modulation � Périodisation
∑+∞
−∞=
−⋅=k
eAN kffXfefX )()(
∑∞
−∞=
⋅⋅=k
tkfjAN
eetxfetx π2)()(
)( fX A
f0
)( fXN
f0efef ef2ef2−
∫+∞
∞−= dfefXtx ftj
AAπ2)()(
∑ ∫∞
−∞=∫ −
∞+
∞−
+
∞+∞−
⋅=k
dtekffX
tkffjAN
ftjeA
e dfefXfetx444 3444 21
π
π
2)(
)(2)()(
)( eA ffX − )2( eA ffX −)( eA ffX +)2( eA ffX +
Transformée de Fourier de
∑∞
−∞=
−⋅=n
AN nTetnTextx )()()( δ
∑∞
−∞=
−⋅=n
fnTejAN enTexfX π2)()(
)(txN
∫+∞
∞−
−= dtetxfX ftjNN
π2)()(
∫ ∑∞+
∞−
−+∞
−∞=
−⋅= dtenTetnTexfX ftj
nAN
πδ 2)()()(
or
∑ ∫+∞
−∞=
+∞
∞−
−−⋅=n
ftjAN dtenTetnTexfX πδ 2)()()(
Reconstruction
)()()( fHfXfX NA ⋅=
)( fH
f0
)( fXN
f0efef ef2ef2−
)( eAe ffXf +⋅ )( fXf Ae ⋅)2( eAe ffXf +⋅ )( eAe ffXf −⋅ )2( eAe ffXf −⋅
)( fX A
f0
2ef
2ef−
ef1
∫+
−⋅= 2
2
21 )()(ef
efedfefXtx ftj
NfAπ
Formule de Shannon (reconstruction)
∫+
−⋅= 2
2
21 )()(ef
efedfefXtx ftj
NfAπ
∑+∞
−∞=
−=n
fnTejAN enTexfX π2)()(
∫ ∑+
−
+∞
−∞=
− ⋅
= 2
2
221 )()(ef
efedfeenTextx ftj
n
fnTejAfA
ππ ∑ ∫+∞
−∞=
+
−
−
=
n
nTetfjfAA
ef
efedfenTextx
2
2
)(21)()( π
∑+∞
−∞=
−−−−
−=
n
nTetjnTetjnTetjfAA
efef
eeenTextx )(2)(2
)(211 22)()( ππ
π ( )∑+∞
−∞=−
−=n
nTetjnTetfj
fAAe
enTextx
)(2)(sin(21)()( π
π
∑+∞
−∞=−
−=n
nTetfnTetf
AAe
enTextx)(
)(sin()()( ππ
or
�
�
Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon
)( fX A
f0
)( fXN
f0efef ef2ef2− 2
ef2ef−
)(ˆ fX A
f0efef ef2ef2− 2
ef2ef−
maxf
2maxeff < Au moins2 échantillons par période
Repliement de spectre
∑∞
−∞=
−⋅=n
AN nTetnTextx )()()( δ ∑∞
−∞=
⋅⋅=k
tkfjAeN
eetxftx π2)()(
∑∞
−∞=
−⋅=n
AN nTettxtx )()()( δ ∑∞
−∞=
⋅=k
tkfjeAN
eeftxtx π2)()(
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
=−k
tkfje
n
eefnTet πδ 2)(
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
− −=k
een
fnTej kfffe )(2 δπ
∑∞
−∞=
−∗=k
eeAN kffffXfX )()()( δ∑∞
−∞=
−∗=n
fnTejAN efXfX π2)()(
TF
TFTF
En définitive
∑∞
−∞=
−=k
eAeN kffXffX )()(∑∞
−∞=
−=n
fnTejAN enTexfX π2)()(
TF TF
Filtres Numériques
Linéarité :
Invariance temporelle :
)(nx SLIT discret )(ny
)(1 nx )(1 ny
)(2 nx )(2 ny
)()( 2211 nxnx αα + )()( 2211 nyny αα +
)(nx )(ny
)( τ−nx )( τ−ny
Principede
superposition
Stationarité
Ce sont des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps discret :
Convolution discrète
Réponse impulsionnelle :
Un signal numérique peut être exprimé comme une somme d'impulsions :
En vertu de la linéarité et de l'invariance temporelle :
Cette opération s'appelle la convolution discrète :
)(nδ SLIT Discret )(nh
∑ −= )()()( knkxnx δ
)()()( nhnxny ∗=
∑ −= )()()( knhkxny
Le Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps discrets sont régis par
Convolution continue � discrète
∫+∞
∞−−=∗= duutxuhthtxty )()()()()(
Ce sont des Systèmes à temps discrets : ∑+∞
−∞=
−==n
N nTetnhthth )()()()( δ
Traitant des signaux à temps discrets : ∑+∞
−∞=
−==n
N nTetnxtxtx )()()()( δ
∫ ∑∑+∞
∞−
+∞
−∞=
+∞
−∞=
−−−= dulTeutlxkTeukhtylk
)()()()()( δδ
∑ ∑ ∫+∞
−∞=
+∞
−∞=+−
+∞
∞−−−−=
k lTelkt
dulTeutkTeulxkhty44444 344444 21
))((
)()()()()(
δ
δδ
l'opération de convolution continue :
knllknposons −=⇒+=
444 3444 2144 344 21
)()(
)()()()()()(
ty
nn
ny
k
N
nTetnynTetknxkhty ∑∑ ∑+∞
−∞=
+∞
−∞=
+∞
−∞=
−=−−= δδ ∑+∞
−∞=
−=k
knxkhny )()()(
)()()( ttt δδδ =∗
Réponse en fréquence
∑+∞
−∞=
−=k
knxkhny )()()(
Si alors :fnTejenx π2)( = 43421
444 3444 21)(
2
)(
2)(2 )()()(nx
fnTej
fH
k
fkTej
k
Teknfj eekhekhny πππ
== ∑∑
+∞
−∞=
−+∞
−∞=
−
SLIT DiscretfnTeje π2 fnTejefH π2)( ⋅
∑+∞
−∞=
−=k
fkTejekhfH π2)()(
Les signaux de la forme sont les seuls pour lesquels ce phénomène est observé. Ce sont les fonctions propres des systèmes linéaires invariants dans le temps
nTeeα
Importance de la décomposition de Fourier
dfefXnx fnTej
∫+∞
∞−= π2)()(
Convolution par)(nx )(ny
dfefHfXny fnTej
fY
∫+∞
∞−= π2
)(
)()()(43421
)(nh
)( fX)( fHMultiplication par
)( fY
TF TF -1
)()()( fHfXfY ⋅=
Résolution théorique, traitement d'images, traitement par blocs, …
Comme leur nom l'indique, leur réponse impulsionnelle est finie ;
Filtres à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)
c'est-à-dire nulle en dehors d'un intervalle borné : par exemple dans le
∑∑−
=
+∞
−∞=
−=−=1
0
)()()()()(N
kk
knxkhknxkhny
cas d'un filtre causal :
)(nδ RIF )(nh
1−N n0n0
{ }LL4444 34444 21
LLL 00)1()1()0(00)(termesN
Nhhhnh −=
L'opération de convolution requière N multiplication-accumulations et elle
est généralement mise en œuvre telle qu'elle dans le processeur de traitement.
Représentation
∑−
=
−=1
0
)()()(N
k
knxkhny
{ })1()1()0()( −=↑
Nhhhnh L
)(nx
)(ny
Te Te Te TeL Te
+
)1(h
+
)2(h
+
)3(h
+ +
)1( −Nh)0(h L
L
)1( +− Nnx
Filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)
∑+∞
=
−=0
)()()(k
knxkhny
Comme leur nom l'indique, leur réponse impulsionnelle est infinie :
L'opération de convolution requière un nombre infini de multiplication-accumulations et ne peut donc pas être mise en œuvre directement dans le processeur de traitement.
Solution : Systèmes récursifs
Exemple :
)(nx
)(ny
Te+b
)1()()( −⋅+= nybnxny
)()( nnx δ= � { }LLnbbbbnhny 321)()(
↑==
� Vérifier qu'il s'agit bien d'un SLIT
Équations aux différences
∑∑−
=
−
=
−=−1
0
1
0
)()()()(N
k
M
k
knxkaknykb
Plus généralement, un Système Linéaire Invariant dans le Temps Discret peut être défini par son équation aux différences :
Il s'agit bien d'un système linéaire car :
∑∑−
=
−
=
−=−1
01
1
01 )()()()(
N
k
M
k
knxkaknykb
∑∑−
=
−
=
−=−1
02
1
02 )()()()(
N
k
M
k
knxkaknykb
Alors : ( ) ( )∑∑−
=
−
=
−+−=−+−1
021
1
021 )()()()()()(
N
k
M
k
knxknxkaknyknykb
Si :
Et si :
Filtre récursif
{
44 344 2144 344 21
récursivepartie
M
k
transversepartie
N
k
knykbknxkanyb ∑∑−
=
−
=
−−−=1
1
""
1
01
)()()()()()0(
Sous certaines conditions, il est possible de calculer récursivement le signal de sortie :
Remarque : On peut faire en sorte que 1)0( =b
)(nx
)(ny
Conditions : Il faut que les soient tels que le système soit stable .
)(kb
+
)(ka )(kbTe Te Te TeL Te
+
)1(a
+
)2(a
+
)3(a
+ +
)1( −Na)0(a L
L
Te Te Te TeL Te
+ +
)3(b
+
)2(b)1( −Mb L
L+
)1(b
Réponse Impulsionnelle Infinie
44 344 2144 344 21
récursivepartie
M
k
transversepartie
N
k
knhkbknkanh ∑∑−
=
−
=
−−−=1
1
""
1
0
)()()()()( δ
)(nδ
)(nh
+
)(ka )(kbTe Te Te TeL Te
+
)1(a
+
)2(a
+
)3(a
+ +
)1( −Na)0(a L
L
Te Te Te TeL Te
+ +
)3(b
+
)2(b)1( −Mb L
L+
)1(b
{ ( ) }L)0()1()1()1()0(*)2()2()0()1()1()0()( abababaabaanh ++++=↑
0 20 40 60 80 100-20
-10
0
10
20
0 20 40 60 80 100-1
-0.5
0
0.5
1
Système stable : Système instable
est difficile àdéterminer de cette manière !
)(nh
∞<∑∞
=0
)(k
kh
En effet, si alors :
Réponse en fréquence et fonction de transfert en Z
Si la réponse impulsionnelle est divergente : alors :
+fnTejenx π2)( =44 344 21
43421
)(
0
2
)(
2 )()(
fH
k
fkTej
nx
fnTej ekheny ∑∞
=
−= ππ
∑∞
=
−=0
2)()(k
fkTejekhfH π
∑∞
=
−=0
)()()(k
knxkhny
∞→)( fH
Mais il est toujours possible de calculer la réponse à un signal :
( )43421
nfTeje
fnTejnn eZπ
πρ2
2=
nZnx =)( {
43421
)(
0)(
)()(
ZH
k
k
nx
n ZkhZny ∑∞
=
−=
∑∞
=
−=0
)()(k
kZkhZH
est la TF de )( fH )(nh
Et si alors, amortit et rend la série convergente.minZ ρ> kZ −
est la TZ de )(ZH )(nh
réel)(kh
∞<∑∞
=0
)(k
kh
Transformée en Z
La fonction de transfert en Z est la Transformée en Z de
nZnx =)(
∑∞
=
−=0
)()(k
kZkhZH
)(ZH )(nh
{ }L)3()2()1()0()( hhhhnh↑
=
TeZ de retard1 ≡−
{ {kTe
k
nx
nkn ZZZknx −− ⋅==−)(
)(
)( pnh − )()'()(
)''(0'
)'( ZHZZkhZpkh p
pkkpkkk
pk
pk
k −
+=→−=
∞
=
+−∞
=
− ==− ∑∑
)( pnx − ∑∞
=
−− =0
)()( avec )(k
kp ZkxZXZXZ
Généralisation :
La transformation en Z est l'équivalent de la transformation de Laplace : pTeeZ =
Application
∑∑−
=
−
=
−=−1
0
1
0
)()()()(N
k
M
k
knxkaknykb
De même si :
∑
∑−
=
−
−
=
−
=1
0
1
0
)(
)(
)(M
k
k
N
k
k
Zkb
Zka
ZH
∑∞
=
−=0
)()()(k
knxkhny
∑∑∞
=
−∞
=
− ⋅=⋅=00
)()()()()(k
k
k
k ZkhZXZZXkhZY
∑∞
=
−==0
)()(
)()(
k
kZkhZX
ZYZH
∑∑−
=
−−
=
− =1
0
1
0
)()()()(N
k
kM
k
k ZkaZXZkbZY
Pour retrouver , il suffit de remplacer par
)()( fHZH ↔
fTejeZ π2↔
)( fH Z fTeje π2
∑∑∞
=
∞
=
− =↔=0
2
0
)()()()(k
fkTej
k
k ekhfHZkhZH π
Mais attention, il faut que la série converge pour 1=Z
De même :
∑
∑
∑
∑−
=
−
=−
=
−
−
=
−
=↔=1
0
2
1
0
2
1
0
1
0
)(
)(
)(
)(
)(
)(M
k
fkTej
N
k
fkTej
M
k
k
N
k
k
ekb
eka
fH
Zkb
Zka
ZHπ
π
Remarque : )()( mais )()( 2 fTejeZHfHZfHfH π===≠
Factorisation
∑
∑−
=
−
−
=
−
=1
0
1
0
)(
)(
)(M
k
k
N
k
k
Zkb
Zka
ZH
La fonction de transfert apparaît comme une fraction polynomiale et peut-être factorisée :
( )
( )
( )
( )
( )
( )∏
∏
∏
∏
∑
∑
=
−
=
−
=
−−
=
−−
−
=
−−−−
−
=
−−−−
−
−=
−
−==
M
kk
N
kk
M
kk
M
N
kk
N
M
k
kMM
N
k
kNN
ZPb
ZZa
PZbZ
ZZaZ
ZkbZ
ZkaZ
ZH
1
1
1
1
1
1
1
1
1
0
11
1
0
11
1)0(
1)0(
)0(
)0(
)(
)(
)(
)(ZH
Les racines du numérateur sont appelées zéros .kZ
Les racines du dénominateur sont appelées pôles .kP
Cascade
Toutes les cellules récursives doivent être stables !
( ) ∏∏=
−=
−
−×−=
M
k k
N
kk
ZPZZaZH
11
1
1
1
11)0()(
)(ZX
: Toujours stable
)1()()()(
)(
1
11
−+=→=− − nyPnxny
ZX
ZY
ZPk
k: Cellule récursive
du premier ordre
111 −− ZZ 1
21 −− ZZ 11 −− ZZNL
)(ZY111
1−− ZP 1
21
1−− ZP 11
1−− ZPM
L
)1()()()(
)(1 1 −+=→=− − nxZnxny
ZX
ZYZZ kk
Cellule récursive du 1er Ordre
Si alors croît exponentiellement � divergence
)(nx
)(ny
Te+b
1>b
{ }LLnbbbbnh 321)(
↑=
{ )1()()( −⋅+= nybnxnykP
)(nh
Si alors � mémoire infinie1=b 1)( =nh
Si alors décroît exponentiellement � satisfaisant1<b )(nh
� Le système est stable si : 1<b
( )
∞
<−====
−−
∞
=
−∞
=
−∞
=
− ∑∑∑sinon
1si1
1)()(
11
0
1
00
bZbZbZZbZkhZH
k
k
k
kk
k
k
→<→
<→
− 111
2
bbZ
eZ fTej π
1<kP Stabilité si tous les pôles sont àl'intérieur du cercle unité.
Interprétation Géométrique
( ) ( )
( ) ( )∏
∏
=
−−
=
−−
−
−=
M
k
kM
N
kk
N
PZZ
ZZZ
aZH
1
1
1
1
)0()(
( )
( )∏
∏
=
−−
=
−−
−
−===
M
kk
fTejTeNfj
N
kk
fTejTeNfj
fTej
Pee
Zee
aeZHfH
1
2)1(2
1
2)1(2
2 )0()()(ππ
ππ
π
∏
∏
∏
∏
=
=
=
==
−
−
=M
kk
N
k
k
M
kdp
kfTej
N
kdz
kfTej
fdp
fdz
a
Pe
Ze
afH
k
k
1
1
1
2
1
2
)(
)(
)0()0()(
43421
4434421
π
π
Re
Im
0=f
1
j
1−
j−
4Fef =
43Fef =
2Fef =
1Z
1Z
1P
1P
0 0.2 0.4 0.6 0.8 10
0.5
1
1.5|H(f)|
0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2
0
2phase
Phase non-linéaire
Réponse en fréquence périodique
)( fdz
)( fdp
fTeje π2
Synthèse
La synthèse des filtres RII est basée comme en analogique sur les fonctions modèles : Butterworth , Tchebycheff, Cauer (Elliptique)
Influence des pôles
Influence des zéros
(Source : Wikipédia)
Exemple sous Matlab (TP)
[N, Wn] = ellipord(0.4, 0.6, 0.09, 60); � N = 6 Wn = 0.4
[B,A] = ellip(N,0.09,60,Wn);
� B = 0.0207 0.0585 0.1060 0.1255 0.1060 0.0585 0.0207
� A = 1.0000 -1.9673 2.9074 -2.5353 1.5771 -0.5972 0.1163
0 0.5 10
0.5
1
1.5|H(f)|
0 0.5 1-100
-50
0
50|H(f)| (dB)
0 0.5 10
5
10
15
20Groupe delay
0 0.5 1-200
-100
0
100
200Phase (°)