1. SCIENCES SUPAide-mmoireIUT Licence Master coles dingnieursAIDE-MMOIRETRAITEMENT DU SIGNAL Francis Cottet

2. TRAITEMENT DU SIGNAL 3. Illustration de couverture : Lionel AuvergneNouvelle prsentation, 2005 Dunod, Paris, 2000 ISBN 2 10 049690 5 4. Seuls les esprits cultivs sont libres pictte, 1er sicle mes parents, Franoise, Joseph et Maza 5. Table des matiresAVANT-PROPOS NOTATIONS ET ABRVIATIONSXI XIIIPARTIE 1 : LE TRAITEMENT DES SIGNAUX ANALOGIQUES CHAPITRE 1 DFINITIONS ET REPRSENTATION DES SIGNAUX31.1Dnitions31.2Reprsentation des signaux7CHAPITRE 2 TRANSFORMATIONS DE FOURIER132.1Analyse spectrale des fonctions priodiques132.2Analyse spectrale des fonctions non priodiques24 6. VIIITable des matiresCHAPITRE 3 SYSTMES DE TRANSMISSION. FILTRAGE313.1Systmes de transmission313.2Filtrage363.3Corrlation50CHAPITRE 4 MODULATION DES SIGNAUX574.1Introduction574.2Modulation damplitude604.3Modulation exponentielle69CHAPITRE 5 SIGNAUX ALATOIRES. BRUIT915.1Signaux alatoires915.2Le bruit100PARTIE 2 : LE TRAITEMENT DES SIGNAUX NUMRIQUES CHAPITRE 6 NUMRISATION DES SIGNAUX1116.1chantillonnage1116.2Quantication du signal chantillonn1316.3Restitution du signal135CHAPITRE 7 ANALYSE SPECTRALE DES SIGNAUX DISCRETS1497.1Les diffrentes reprsentations frquentielles1497.2Transforme de Fourier discrte1517.3Transforme de Fourier rapide1567.4Convolution et corrlation numriques1637.5Les fentres de pondration167 7. Table des matiresIXCHAPITRE 8 FILTRAGE NUMRIQUE1798.1Introduction1798.2Synthse des ltres numriques rponse impulsionnelle innie1878.3Synthse des ltres numriques rponse impulsionnelle nie2028.4Ralisation des ltres numriques2058.5Techniques avances de ltrage numrique210ANNEXES213A.1Impulsion de Dirac213A.2Fonctions mathmatiques utilises en traitement du signal216A.3Transforme de Laplace224BIBLIOGRAPHIE227LEXIQUE ANGLAIS-FRANAIS229INDEX231 8. Avant-proposLe contenu et lorganisation de ce livre ont t dvelopps partir de lide directrice selon laquelle, dans une application de mesures, de tests ou de contrle dun procd physique, le concepteur se trouve confront des choix de traitements des signaux mettre en uvre an de rpondre ces besoins. Lefcacit, leffet produit, la ncessit, la validit du rsultat sont autant de questions auxquelles il est difcile de rpondre sans une connaissance et une pratique minimum de la discipline que constitue le traitement du signal. Ce livre est compos de deux grandes parties : le traitement des signaux analogiques (partie 1) et le traitement des signaux numriques (partie 2). Les cinq premiers chapitres sont consacrs aux bases du traitement des signaux analogiques et les trois suivants traitent des signaux numriques. Le chapitre 1 prsente les dnitions ncessaires la comprhension de louvrage. Il permet de plus de prciser les diffrentes reprsentations des signaux et de xer les notations utilises par la suite. Le chapitre 2 est 9. XIIAvant-proposconsacr aux transformations de Fourier des signaux analogiques priodiques et non priodiques qui constituent la base du traitement des signaux. Cette analyse spectrale des signaux analogiques permet de bien dcrire la reprsentation duale de tous signaux : temps et frquence. Le chapitre 3 prsente la thorie gnrale des systmes de transmission et traite du ltrage analogique. Cette prsentation permet ainsi une extension tous les types de ltres et de sollicitations de ces ltres. Le chapitre 4 tudie un des aspects importants du traitement des signaux : la modulation. Les mthodes les plus utilises y sont prsentes. Le chapitre 5 aborde le traitement des signaux alatoires en particularisant ltude au signal de bruit . La transformation des signaux analogiques en signaux numriques est tudie en dtail au chapitre 6. Ce chapitre, qui prsente en particulier le thorme dchantillonnage, est sans doute le plus important de cet ouvrage. Le chapitre 7 est consacr lanalyse spectrale des signaux numriques. Le chapitre 8 prsente les concepts de base du domaine trs riche que constitue le ltrage numrique avec des applications simples de diverses mthodes. Laspect thorie du signal a volontairement t limit au strict ncessaire pour la comprhension des modles utiliss. Les bases mathmatiques indispensables et utiles sont rappeles avec un maximum de simplicit et de concision en annexe. Ce livre na pas pour but dtre un ouvrage exhaustif. Dans cet ouvrage, nous nous contenterons dune approche pragmatique. En effet, il existe de nombreux ouvrages qui dcrivent de faon complte toutes les mthodes et techniques utilises dans le domaine du traitement du signal, sujet trs vaste et en constante volution. Par contre, il est destin aux tudiants qui dsirent acqurir une formation de base dans les techniques du traitement du signal. De plus cet ouvrage offre un outil de base tous les techniciens et ingnieurs qui travaillent dans le domaine du test, de la mesure ou du contrle de procds. Ainsi cet ouvrage permettra son lecteur de sinitier rapidement aux bases du traitement des signaux an de les mettre en uvre de faon pertinente. 10. Notations et abrviationsxyProduit de convolutionArctg (x)Fonction arctangenteb(t)Signal bruitcos(x)Fonction cosinusodaleCANConvertisseur analogique-numriqueCNAConvertisseur numrique-analogiqueCovxy (t)Fonction de covarianceCxx (t)Fonction dautocorrlationCxy (t)Fonction dintercorrlationexFonction exponentielle nEsp [x ]Esprance de xn ou moment dordre n de la variable xfFrquence 11. XIVNotations et abrviationsFTransforme de FourierFFTTransforme de Fourier rapidegfen (t)Fonction de la fentre de pondrationh(t)Rponse impulsionnelle ou percusionnelle dun ltreH(f ), H(p) ou H(z) Fonction de transfert dun ltre Jn (x)Fonction de Bessel de premire espce dordre nLTransforme de Laplacelog(x)Fonction logarithme base 10Ln (x)Fonction logarithme nprienmMoyenne temporelleOMAOnde module en amplitudeOMFOnde module en frquencepFrquence complexe (oprateur de Laplace)PgnT0 (x) Peigne de Dirac (suite de pic de Dirac)qQuantum de conversionrxyCoefcient de corrlations(t)Signal temporels (t)Complexe conjugu de la variable s(t)s (t)Moyenne temporelle du signal s(t)se (t)Signal temporel chantillonnse,P (t)Signal temporel chantillonn tronqu ou limit temporellementS(f )Transforme de Fourier du signal s(t)Se (f )Transforme de Fourier du signal chantillonn se (t)Se,P (f )Transforme de Fourier du signal chantillonn tronqu se,P (t) 12. Notations et abrviationssin(x)Fonction sinusodalesinc(x)Fonction sinus cardinal [sin(px)/(px)]sind (t)Rponse indicielle (rponse au signal u(t))Sxx (f )Densit spectrale ou spectre en puissanceSxy (f )Densit spectrale dinteractiontTempsTzTransforme en zTFDTransforme de Fourier discrteTe (= 1/Fe )Priode dchantillonnage dun signalT0 (= 1/F0 )Priode dun signalu(t)chelon unit ou fonction de HeavisideVeTension dentreVsTension de sortiewmk NFonction ej2pkm/Nd(x)Pic de DiracGxy (t)Fonction de corrlation statistiqueLt (t)Fonction triangle de base gale tv, VPulsation (= 2pf )Pt (x)Fonction porte de largeur tsxcart type de la variable xXV 13. PARTIE 1Le traitement des signaux analogiques 14. Chapitre 1Dnitions et reprsentation des signaux1.1 DFINITIONS 1.1.1 Dnitions de base Un signal est la reprsentation physique de linformation quil transporte de sa source son destinataire. Il sert de vecteur une information. Il constitue la manifestation physique dune grandeur mesurable (courant, tension, force, temprature, pression, etc.). Les signaux, considrs dans ce livre, sont des grandeurs lectriques variant en fonction du temps s(t) obtenues laide de capteurs. Mais le traitement du signal sapplique tous les signaux physiques (onde acoustique, signal optique, signal magntique, signal radiolectrique, etc.). Le traitement dimages peut tre considr comme une extension du traitement du signal aux signaux bidimensionnels (images). 15. 41 Dnitions et reprsentation des signauxLe bruit est dni comme tout phnomne perturbateur gnant la perception ou linterprtation dun signal, par analogie avec les nuisances acoustiques (interfrence, bruit de fond, etc.). La diffrentiation entre le signal et le bruit est articielle et dpend de lintrt de lutilisateur : les ondes lectromagntiques dorigine galactique sont du bruit pour un ingnieur des tlcommunications par satellites et un signal pour les radioastronomes. La thorie du signal a pour objectif fondamental la description mathmatique des signaux. Cette reprsentation commode du signal permet de mettre en vidence ses principales caractristiques (distribution frquentielle, nergie, etc.) et danalyser les modications subies lors de la transmission ou du traitement de ces signaux. Le traitement du signal est la discipline technique qui, sappuyant sur les ressources de llectronique, de linformatique et de la physique applique, a pour objet llaboration ou linterprtation des signaux. Son champ dapplication se situe donc dans tous les domaines concerns par la perception, la transmission ou lexploitation des informations vhicules par ces signaux. Le traitement de linformation fournit un ensemble de concepts permettant dvaluer les performances des systmes de transfert dinformations, en particulier lorsque le signal porteur de message est bruit. Cela inclut les mthodes de codage de linformation dans le but de la rduction de redondance, de la correction des erreurs, de la condentialit (cryptage). Lensemble des concepts et mthodes dvelopps dans le traitement de linformation et du signal forme la thorie de la communication.1.1.2 Principales fonctions du traitement du signal Les fonctions du traitement du signal peuvent se diviser en deux catgories : llaboration des signaux (incorporation des informations) et linterprtation des signaux (extraction des informations). Les principales fonctions intgres dans ces deux parties sont les suivantes : 16. 1.1Dnitions5 laboration des signaux : synthse : cration de signaux de forme approprie en procdant par exemple une combinaison de signaux lmentaires ; modulation, changement de frquence : moyen permettant dadapter un signal aux caractristiques frquentielles dune voie de transmission ; codage : traduction en code binaire (quantication), etc. Interprtation des signaux : ltrage : limination de certaines composantes indsirables ; dtection : extraction du signal dun bruit de fond (corrlation) ; identication : classement dun signal dans des catgories pralablement dnies ; analyse : isolement des composantes essentielles ou utiles dun signal de forme complexe (transforme de Fourier) ; mesure : estimation dune grandeur caractristique dun signal avec un certain degr de conance (valeur moyenne, etc.).1.1.3 Les systmes numriques Les qualits actuelles du traitement numrique de linformation conduisent son dveloppement pour rsoudre les problmes de contrle/commande de procds industriels. Le systme de traitement numrique, schmatis sur la gure 1.1, va raliser la saisie de linformation, traiter ces informations suivant un programme de contrle (rgulation, ltrage numrique, etc.) et daprs des valeurs de consignes entres par lutilisateur, envoyer des signaux de commande au processus industriel pour atteindre le comportement recherch. Le systme numrique prsente, en effet, un grand nombre davantages par rapport un contrle de processus par un systme analogique : 17. 61 Dnitions et reprsentation des signaux reproductibilit des systmes (circuits logiques) ; stabilit : pas de drive en temps ou en temprature ; adaptabilit et souplesse demploi (modication du programme) ; abilit : circuits trs grande intgration ; rapidit : jusqu 10 ms environ en temps rel. Les grandeurs physiques (mouvement mcanique, variation de temprature, etc.) lies aux procds physiques contrls mis en jeu doivent tre transformes en signaux analogiques lectriques (courant ou tension) : cela est le rle des capteurs ou transducteurs (quartz, thermocouple,...) dans le cas de la mesure. Inversement, la commande au niveau du processus est faite laide dactionneurs ou rcepteurs (moteur, vanne,...) qui transforment le signal analogique lectrique reu en grandeurs physiques (nergie mcanique, chaleur, etc.). ActionneurProcd physiquesignal analogiquesignal analogiqueInterface de conversion numrique/analogiquesignal numriqueCapteurInterface de conversion numrique/analogiqueSystme numrique de contrle/commandesignal numriqueFigure 1.1 Chane dacquisition et de restitution de donnes dun procd physique pilot par un systme numrique.Dans le cas des traitements par des systmes numriques, ces signaux analogiques transmis ou reus seront transforms en signaux numriques. Ce rle est rempli par des interfaces lectroniques spcialises qui sont composes de diffrents lments : les convertisseurs analogiques-numriques et numriques-analogiques, les chantillonneurs-bloqueurs, les 18. 1.2Reprsentation des signaux7multiplexeurs, les amplicateurs gain programmable, etc. Les fonctions du traitement numrique sont trs nombreuses : ltrage, analyse spectrale, modulation, dtection, estimation, transcodage, gnration de signaux, reconnaissance, correction, etc.1.2 REPRSENTATION DES SIGNAUX 1.2.1 Modlisation des signaux Un signal exprimental est une grandeur physique et doit donc tre physiquement ralisable. Les mesures macroscopiques analogiques, ralises partir dappareils de mesures comme un oscilloscope, fournissent des courbes tension en fonction du temps du type de celle reprsente sur la gure 1.2. Ces signaux physiques sont reprsents par des fonctions s(t) valeurs relles dune variable relle t. Par consquent, le signal possde les caractristiques suivantes : nergie borne ; amplitude borne ; continu temporellement ; causal (s(t) = 0 pour t < 0) ; spectre du signal born (tend vers 0 lorsque f tend vers ). Mais sur le plan thorique, pour la commodit du calcul et ltude de certains phnomnes, les signaux sont reprsents par des fonctions : nergie thorique innie ; avec des discontinuits (signal carr) ; dnies sur R (signaux non causaux) ; spectre du signal inni ; valeurs complexes : s(t) = Ae jvt = A (cos vt + j sin vt)(1.1) 19. 81 Dnitions et reprsentation des signauxsignal : s(t )amplitude bornetemps : tsupport bornFigure 1.2 Reprsentation dun signal physique rel.Remarque : il est important de noter que lintroduction de tels modles mathmatiques ncessite une interprtation des rsultats obtenus aprs traitement pour retrouver ensuite la ralit.1.2.2 Classication des signaux Pour faciliter ltude des signaux, diffrents modes de classication peuvent tre envisags : reprsentation temporelle des signaux ; reprsentation spectrale ; caractristique morphologique (signal continu ou discret). a) Reprsentation temporelle des signaux La premire classication, base sur lvolution du signal en fonction du temps, fait apparatre deux types fondamentaux : les signaux certains (ou dterministes) dont lvolution en fonction du temps peut tre parfaitement dcrite par un modle mathmatique. Ces signaux proviennent de phnomnes pour lesquels on connat les lois physiques correspondantes et les conditions initiales, permettant ainsi de prvoir le rsultat ; 20. 1.2Reprsentation des signaux9 les signaux alatoires (ou probabilistes) dont le comportement temporel est imprvisible et pour la description desquels il faut se contenter dobservations statistiques. Parmi les signaux dterministes, on distingue les signaux priodiques dont les signaux sinusodaux sont un cas particulier : 2p/T t + ws(t) = A sin(1.2)avec T la priode du signal et w la phase. Les signaux non priodiques se composent dune part des signaux pseudopriodiques forms dune somme de sinusodes de priodes diffrentes et dautre part des signaux transitoires dont lexistence est limite dans le temps. Ces signaux certains peuvent en principe tre reproduits rigoureusement identiques eux-mmes. Dans cet ouvrage nous nous intresserons principalement ce type de signaux, except le signal dit de bruit, qui fait partie de la deuxime catgorie. En ce qui concerne les signaux alatoires, ils sont dits stationnaires lorsque leur valeur moyenne est indpendante du temps, cest--dire que les rsultats de leur analyse statistique restent les mmes quel que soit le moment o lon en observe une partie dtermine. De plus ces signaux alatoires stationnaires sont ergodiques sil est identique de faire une moyenne statistique un instant donn sur diffrents essais ou de faire une moyenne temporelle sufsamment longue sur un seul de ces essais. b) Classication spectrale Un signal peut tre class suivant la distribution de son amplitude, sa puissance ou son nergie en fonction de la frquence (spectre du signal). Le domaine des frquences occup par son spectre est aussi appel la largeur de bande spectrale du signal DF (cf. gure 1.3) : DF = Fmax Fmin 21. 101 Dnitions et reprsentation des signauxpuissance du signal F frquence : fFminFmaxFigure 1.3 Distribution spectrale dun signal avec la dnition de la largeur de bande spectrale D F.Cette caractristique, exprime en hertz (Hz), est absolue. Aussi il est ncessaire de la comparer au domaine de frquences dans lequel se situe le signal. En considrant la frquence moyenne Fmoy = (Fmax + Fmin )/2, on peut distinguer deux types de signaux : les signaux bande troite avec DF/Fmoy petit (soit Fmax # Fmin ) ; les signaux large bande avec DF/Fmoy grand (soit FmaxFmin ).Pour les signaux bande troite, il est possible de les classer par le domaine de variation de la frquence moyenne Fmoy : Fmoy < 250 KHzsignaux basses frquences(BF) 250 KHz < Fmoy < 30 MHzsignaux hautes frquences(HF) 30 MHz < Fmoy < 300 MHz signaux trs hautes frquences(VHF) 300 MHz < Fmoy < 3 GHzsignaux ultra hautes frquences (UHF) Fmoy > 3 GHzsignaux super hautes frquences (SHF)Lorsque la frquence du signal devient trs grande, pratiquement suprieure quelques trahertz (THz = 1012 Hz), la longueur donde l est le paramtre de rfrence (l = c/F avec c : vitesse de la lumire 300 000 Km/s) : 700 nm < l < 0,1 mmsignal lumineux infrarouge 400 nm < l < 700 nmsignal lumineux visible 10 nm < l < 400 nmsignal lumineux ultraviolet 22. 1.2Reprsentation des signaux11c) Les signaux analogiques et numriques Le temps est un paramtre important de classication. Comme nous venons de le voir, le traitement numrique des signaux conduit faire la distinction entre les signaux dits temps continus (signaux continus) et les signaux dits temps discrets (signaux discrets ou chantillonns). Un autre paramtre des signaux traits est prendre en compte, cest lamplitude qui peut aussi tre continue ou discrte (quantie). Ainsi quatre formes de signaux, qui se retrouvent dans un systme numrique de contrle dun processus physique, peuvent tre distingues (cf. gure 1.4) : signal amplitude et temps continus (signal analogique) : s(t) ; signal amplitude discrte et temps continu (signal quanti) : sq (t). Ce signal correspond celui qui est fourni la sortie dun circuit convertisseur numrique-analogique pour la commande dun actionneur ; signal amplitude continue et temps discret (signal chantillonn) : s(nTe ). Ce signal, obtenu laide dun circuit chantillonneur-bloqueur, est transmis un circuit convertisseur analogique numrique pour obtenir un signal numrique utilisable par un ordinateur ; signal amplitude discrte et temps discret (signal logique ou numrique) : sq (nTe ). Ce dernier cas correspond en ralit une suite de nombres cods en binaire. Ces nombres, utiliss au sein dun ordinateur, se transmettent sous la forme de plusieurs signaux de type numrique 0 V (0 logique) ou 5 V (1 logique) se propageant en parallle : 8 signaux pour un nombre cod sur 8 bits. On appelle numrisation dun signal lopration qui consiste faire passer un signal de la reprsentation dans le domaine des temps et des amplitudes continus au domaine des temps et des amplitudes discrets. Cette opration de numrisation dun signal peut tre dcompose en deux tapes principales : chantillonnage et quantication. 23. 121 Dnitions et reprsentation des signauxLa restitution (ou linterpolation) constitue le processus inverse qui intervient lors du passage du signal numrique au signal analogique : commande dun actionneur. Ces trois tapes sont indissociables. En effet, le signal, tant le support physique dune information, doit conserver au cours de ces modications tout le contenu informatif initial. Cette condition, ajoute la notion de cot limite dun systme, va tre la base de la numrisation des signaux et de ltude du traitement numrique. signal quantifi : sq (t )amplitudeamplitudesignal analogique : s(t )tempstempssignal numrique : s q (nTe )amplitudeamplitudesignal chantillonn : s (nTe)tempstempsFigure 1.4 Classication morphologique des signaux. 24. Chapitre 2Transformations de Fourier2.1 ANALYSE SPECTRALE DES FONCTIONS PRIODIQUES 2.1.1 Dveloppement en srie de Fourier Si s(t) est une fonction priodique de t, de priode T0 (= 1/F0 ), elle peut scrire sous la forme dune somme de fonctions sinusodales et cosinusodales de frquences f multiple de la frquence F0 , dite frquence fondamentale. Soit : s(t) = a0 +(an cos 2pnF0 t + bn sin 2pnF0 t)(2.1)n=1o an et bn sont les coefcients de la srie de Fourier. Ils se calculent partir des relations suivantes : a0 =1 T0T0 0s(t) d t = s(t)(2.2) 25. 142 Transformations de Fourieravec a0 appel valeur moyenne ou composante continue an =2 T0bn =2 T0etT0 0 T0 0s(t) cos(2pnF0 t) d tpour n1(2.3)s(t) sin(2pnF0 t) d tpour n1(2.4)En introduisant la reprsentation complexe, nous pouvons donner une forme plus gnrale de lexpression de ce dveloppement en srie de Fourier : +s(t) =S (nF0 ) e j2pnF0 t(2.5)n=avec S (nF0 ) = et1 1 (an j bn ) = 2 T0T0 0s(t) e j2pnF0 t d tS (0) = a0 = s(t)pour n1(2.6)Le concept de frquence ngative na pas de signication physique. Il peut tre vu comme la traduction du sens de rotation de la vitesse angulaire ou pulsation (v = 2p f ). Ainsi la fonction relle cos (vt) ou cos (2pft) peut tre exprime comme la somme de deux fonctions complexes dans le plan complexe (cf. gure 2.1) : cos (vt) = 1/2 e jvt + ejvt Ces valeurs ngatives de la frquence sont introduites uniquement dans un but de rendre symtrique la fonction de reprsentation des frquences. Dans le cas de signaux rels, nous avons : an = anetbn = bnLes coefcients du dveloppement S(nF0 ) sont en gnral une grandeur complexe qui peut scrire sous la forme : S(nF0 ) = |S(nF0 )| e jwn(2.7) 26. 2.1Analyse spectrale des fonctions priodiques15avec pour module : a2 + b2 n net pour phase wn :(2.8)|S(nF0 )| =(2.9)wn = Arctg bn /an Partie imaginaire e j t tPartie rellet cos ( t )e j tFigure 2.1 Introduction des frquences ngatives dans lexpression des signaux.2.1.2 Reprsentations frquentielles Les coefcients S(nF0 ) reprsentent les composantes du spectre en frquence de s(t). En introduisant limpulsion de Dirac d(x) qui est dcrite en annexes, la reprsentation frquentielle du signal est forme de pics de Dirac de poids |S(nF0 )| rparties sur tout laxe des frquences positives et ngatives (cf. gure 2.2). Par convention, on dessine chaque raie en lui donnant une hauteur proportionnelle son poids |S(nF0 )| . Il est important de noter que ce spectre S( f ) est en gnral complexe, form dune partie relle et dune partie imaginaire, et devrait donc tre reprsent dans un systme trois dimensions : axe des frquences f , axe de la partie imaginaire Im {S( f )} et axe de la partie relle Re {S( f )}. Lexpression du spectre est la suivante : +S( f ) =S(nF0 ) d ( f nF0 )(2.10)n=avec S (nF0 ) =1 T0T0 0s(t) e j2pnF0 t d tpour n1 et S (0) = s(t) 27. 162 Transformations de FourierLa reprsentation frquentielle ou le spectre en frquence S( f ) du signal s(t) est constitu de la composante continue la frquence 0, du fondamental la frquence F0 (ou harmonique dordre 1) et des diffrents harmoniques aux frquences f = n F0 . Il est important de remarquer que le spectre dune fonction priodique, de priode T0 (= 1/F0 ), est discontinu et compos de raies dont lcart minimum est, sur laxe des frquences, F0 . Cette reprsentation complexe du signal distribue donc, dans le domaine frquentiel, les contributions du signal symtriquement de part et dautre de lorigine sur laxe des frquences : cest la reprsentation spectrale bilatrale S( f) (frquences positives et ngatives). S(f )|S(nF0) ||S(2 F0) ||S(F0 ) | 2F0|S(2 F0) ||S(0)|F0 nF0|S(F0)||S(nF0) | f0 F0F02F0nF0Figure 2.2 Reprsentation frquentielle bilatrale dun signal priodique de priode T0 (= 1/F0 ).Seule la reprsentation unilatrale Srel ( f ) (spectres composs de frquences positives uniquement), calcule directement partir des quations 2.1 2.4 (srie de Fourier), est une reprsentation relle qui peut tre obtenue partir danalyseurs de spectres ou de transformateurs de Fourier qui prsentent le module de ce spectre. partir de lexpression initiale 2.1, nous pouvons crire : s(t) = a0 +cn cos(2pnF0 t + wn ) n=1avec cn = 2 |S(nF0 )| = 2 a2 + b2 n n(2.11) 28. 2.1Analyse spectrale des fonctions priodiques17Les coefcients cn reprsentent les amplitudes des composantes du spectre rel Srel ( f ) en reprsentation unilatrale (cf. gure 2.3). Il est trs ais de passer de lune lautre des reprsentations par la relation suivante : S( f ) = k Srel ( f )(2.12)avec k = {2 si f > 0 ; 1 si f = 0 ; 0 si f < 0}.2.1.3 Quelques proprits Nous avons une correspondance unique entre la fonction x(t), son dveloppement en srie de Fourier et par consquent sa reprsentation spectrale X( f ). Nous crirons donc cette rciprocit sous la forme : Fx(t) X( f ) a) Proprit de linarit FFtant donn x(t) X( f ) et y(t) Y( f ), nous avons : FA x(t) + B y(t) A X( f ) + B Y( f ) S rel(f )c1 c2a0 F00avec A et B des constantes2F0cn frquence : fnF0Figure 2.3 Reprsentation frquentielle unilatrale dun signal priodique de priode T0 (= 1/F0 ).b) Proprit de parit Si la fonction x(t) est paire, alors les coefcients bn sont nuls : X (nF0 ) =1 1 an = 2 T0T0 0x(t) cos (2pnF0 t) d t 29. 182 Transformations de FourierSi la fonction x(t) est impaire, alors les coefcients an sont nuls : X (nF0 ) =j j bn = 2 T0T0 0x(t) sin (2pnF0 t) d tSoit la fonction x(t) et X( f) sa reprsentation frquentielle, nous avons : Fonction x(t) relle paire relle impaire relleReprsentation frquentielle X( f ) relle paire imaginaire impaire complexe (partie relle paire, partie imaginaire impaire)c) Proprit de translation Ftant donn x(t) X( f ), nous avons : Fet rciproquement :x(t u) X( f ) ej2puf FX( f n) x(t) e+j2pnt2.1.4 Exemples de dveloppements en srie de Fourier Nous prsentons ci-aprs un ensemble de fonctions priodiques (de priode T0 = 1/F0 ) et de leurs dveloppements en srie de Fourier sous la forme dune reprsentation frquentielle bilatrale (partie imaginaire Im {S( f )} ou partie relle Re {S( f )}). Ainsi, partir de cette table et des proprits associes cette transformation, il est possible de dterminer la reprsentation spectrale de la plupart des fonctions priodiques usuelles sans effectuer les calcul donns par les relations 2.1 2.4. a) Signaux sinusodaux et cosinusodaux Reprsentation temporelle Signal sinusodal : s(t) = A sin(2pF0 t)Reprsentation spectrale jA (d ( f + F0 ) d ( f F0 )) 2 (cf. gure 2.4) S( f ) = 30. 2.1Analyse spectrale des fonctions priodiquesReprsentation temporelle Signal cosinusodal : s(t) = A cos(2pF0 t)19Reprsentation spectrale A (d ( f + F0 ) + d ( f F0 )) 2 (cf. gure 2.5) S( f ) =b) Signaux carrs Reprsentation temporelle Signal carr pair composante continue nulle : s(t) = sc1 (t) avec sc1 (t) = A pour t [T0 /2, T0 /4] et sc1 (t) = A pour t [T0 /4,T0 /4] et sc1 (t) = A pour t [T0 /4,T0 /2]Reprsentation spectrale +2A (1)p d ( f (2p + 1) F0 ) p p= 2p + 1 (cf. gure 2.6) Sc1 ( f ) = Signal carr pair composante continue non nulle (= A/2) : s(t) = sc2 (t) soit sc2 (t) = 1/2 sc1 (t) + A/2Sc2 ( f ) = 1/2 Sc1 ( f ) + A/2 d ( f ) A Sc2 ( f ) = d ( f ) 2 + A (1)p + d ( f (2p + 1) F0 ) p p= 2p + 1 (cf. gure 2.7) Signal carr impair composante continue nulle : s(t) = sc3 (t) soit : sc3 (t) = sc1 (t + T0 /4) avec sc3 (t) = A pour t [0,T0 /2] et sc3 (t) = A pour t [T0 /2,T0 ]Sc3 ( f ) = Sc1 ( f ) e j2p(T0 /4) f Signal carr impair composante continue non nulle (= A/2) : s(t) = sc4 (t) soit : sc4 (t) = 1/2 sc1 (t + T0 /4) + A/2Sc3 ( f ) + j 2A = d ( f (2p + 1) F0 ) p p= 2p + 1 (cf. gure 2.8) Sc4 ( f ) = 1/2Sc1 ( f )e j2p(T0 /4) f +A/2d ( f ) A Sc4 ( f ) = d ( f ) 2 + A j + d ( f (2p + 1) F0 ) p p= 2p + 1 (cf. gure 2.9) 31. 202 Transformations de FourierRe{S(f )}Im{S(f )}A /2A /2F0f0F0F0F00fA/2Figure 2.4 Reprsentation spectrale bilatrale dun signal sinusodal.Figure 2.5 Reprsentation spectrale bilatrale dun signal cosinusodal.Re{Sc1(f )}Re{Sc 2(f )}A /22A/A/ 3F03F0 F0f3F03F 0 F 00 F0A/32A/3Figure 2.6 Reprsentation spectrale bilatrale du signal carr pair sc1 (t).Figure 2.7 Reprsentation spectrale bilatrale du signal carr pair sc2 (t).Im{Sc4(f )}Im{Sc3(f )}A/22A/A/2A/3F0 3F0F00fF00Re{Sc4(f )}A/3 3F0f2A/3 2A/Figure 2.8 Reprsentation spectrale bilatrale du signal carr impair sc3 (t).F0 3F0F03F0f0A/3 A/Figure 2.9 Reprsentation spectrale bilatrale du signal carr impair sc4 (t). 32. 2.1Analyse spectrale des fonctions priodiques21c) Signaux impulsionnels Reprsentation temporelle Signal impulsionnel pair composante continue nulle : s(t) = si1 (t) pour t < T0 avec si1 (t) = A pour t [T0 /2,t/2] et si1 (t) = A pour t [t/2,t/2] et si1 (t) = A pour t [t/2,T0 /2] Signal impulsionnel pair composante continue non nulle (= At/T0 ) : s(t) = si2 (t) 1 A soit : si2 (t) = si1 (t) + 2 2 Signal impulsionnel composante continue nulle: s(t) = si3 (t) soit : si3 (t) = si1 (t + t/2) Signal impulsionnel composante continue non nulle (=At/T0 ) : s(t) = si4 (t) 1 A soit : si4 (t) = si1 (t + t/2) + 2 26F0 2/+Si2 ( f ) =Si2 ( f ) + At sin (pnF0 t) = d ( f n F0 ) T0 n= pnF0 t (cf. gure 2.10) Si3 ( f ) = Si1 ( f ) e j2p(t/2) f + 2At sin (pnF0 t) Si3 ( f ) = T0 n= pnF0 t e jpnF0 t d ( f n F0 ) A d( f ) 1 A Si1 ( f ) e j2p(t/2) f + d ( f ) 2 2 + At sin (pnF0 t) Si4 ( f ) = e jpnF0 t T0 n= pnF0 t d ( f n F0 ) Si4 ( f ) =sin( f ) f3F0 F02F 01/1 A Si1 ( f ) + d ( f ) 2 2Re{Si 2(f )}A /T04F0 3F 0Reprsentation spectrale sin (pnF0 t) 2At d ( f n F0 ) Si1 ( f ) = T0 n= pnF0 t A d( f ) sin (px) = sinc(x)) (cf. annexes : fonction px0 F04F0f 6F02F0 1/2/Figure 2.10 Reprsentation spectrale bilatrale du signal impulsionnel pair si2 (t). 33. 222 Transformations de FourierRemarque : le signal impulsionnel pair composante continue non nulle si2 (t) a pour limite la fonction peigne de Dirac PgnA (x) lorsque A tend vers linni, t vers 0 et en conservant le produit At gal 1 (cf. annexes). d) Signaux triangulaires Reprsentation temporelle Signal triangulaire pair composante continue nulle : s(t) = st1 (t) avec 4A t pour t [T0 /2,0] st1 (t) = A + T0 4A et st1 (t) = A t pour t [0,T0 /2] T0Reprsentation spectraleSt1 ( f ) =4A p2+1 d ( f (2p + 1) F0 ) (2p + 1) 2 p= Signal triangulaire pair composante continue non nulle (= A/2) : s(t) = st2 (t) soit st2 (t) = 1/2 st1 (t) + A/2St2 ( f ) = 1/2 St1 ( f ) + A/2 d ( f ) + 2A 1 St2 ( f ) = 2 d ( f (2p + 1) F0 ) p p= (2p + 1) 2 A + d(f) 2 Signal triangulaire impair composante continue nulle : s(t) = st3 (t) soit : st3 (t) = st1 (t + T0 /4)St3 ( f ) = St1 ( f ) e j2p(T0 /4) f + j4A (1) p St3 ( f ) = 2 d ( f (2p + 1) F0 ) p p= (2p + 1) 2 Signal triangulaire impair composante continue non nulle (= A/2) : s(t) = st4 (t) soit : 1 A st4 (t) = st1 (t + T0 /4) + 2 21 A St1 ( f ) e j2p(T0 /4) f + d ( f ) 2 2 + j2A (1) p St4 ( f ) = 2 d ( f (2p + 1) F0 ) p p= (2p + 1) 2 A + d(f) 2 St4 ( f ) = 34. 2.1Analyse spectrale des fonctions priodiques23e) Signaux divers Reprsentation temporelle Signal sinusodal redress simple alternance : s(t) = ssa (t) avec ssa (t) = A sin (2pF0 t) pour t [0,T0 /2] et ssa (t) = 0 pour t [T0 /2,T0 ]n=,n=0jA 2pjA 2p(1) n d ( f nF0 ) n+ n=,n=0+ n=,n=01 d ( f nF0 ) n A + d(f) 21 d ( f + nF0 ) n A + d(f) 22A d(f) p + 2A 1 d ( f 2pF0 ) p p=,p=0 4p2 1S( f ) =A jA d(f) d ( f F0 ) p 4 + A 1 + d ( f 2pF0 ) p p=,p=0 4p2 1S( f ) = Signal sinusodal redress double alternance : s(t) = A |sin(2pF0 t)|Sr2 ( f ) =+ Signal dent de scie ou rampe inverse composante continue non nulle (= A/2) : s(t) = sr3 (t) avec 1 A sr3 (t) = sr1 (t + T0 /2) + 2 2Sr2 ( f ) =jA p Signal rampe composante continue non nulle (= A/2) : s(t) = sr2 (t) avec 1 A sr2 (t) = sr1 (t + T0 /2) + 2 2Sr1 ( f ) = Signal rampe impair composante continue nulle : s(t) = sr1 (t) avec 2A t pour t [T0 /2,T0 /2] sr1 (t) = T0Reprsentation spectrale 35. 242 Transformations de Fourier2.2 ANALYSE SPECTRALE DES FONCTIONS NON PRIODIQUES 2.2.1 Transforme de Fourier On peut considrer la transforme de Fourier des fonctions non-priodiques comme une extension de la transformation prcdente pour laquelle la priode est innie. Lintervalle de frquence F0 tend alors vers zro et le spectre devient alors une fonction continue. Do, la transforme de Fourier de s(t), note S( f ) ou F{s(t)}, et la transforme de Fourier inverse, note F 1 {S( f )} : S( f ) = et s(t) =+s(t) ej2pf t d t(2.13)S( f ) e+j2pf t d f(2.14) + S( f ) est une fonction de f , en gnral complexe, qui comprend donc une partie relle Re [S( f )] et une partie imaginaire Im [S( f )] : Re [S( f )] = et Im [S( f )] =+ + s(t) cos (2p ft) d t(2.15)s(t) sin (2p ft) d t(2.16)Pour que la transforme de Fourier de s(t) existe et soit rciproque, il suft que s(t) soit une fonction de carr sommable. Cela signie que s(t), ainsi que sa transforme de Fourier, sont nergie nie. Toutes les fonctions existant physiquement vrient ces conditions parce quon les observe sur un temps ni.2.2.2 Proprits de la transforme de Fourier Nous avons une correspondance unique entre la fonction x(t) et sa transforme de Fourier X( f ) ou reprsentation spectrale. Nous crirons donc cette 36. 2.2Analyse spectrale des fonctions non priodiques25rciprocit sous la forme : Fx(t) X( f ) Nous retrouvons les mmes proprits que pour le dveloppement en srie de Fourier. a) Proprit de linarit FFtant donn x(t) X( f ) et y(t) Y( f ), nous avons : FA x(t) + B y(t) A X( f ) + B Y( f )avec A et B des constantesb) Proprit de parit Soit la fonction x(t) et X( f ) sa reprsentation frquentielle, nous avons : Fonction x(t)Reprsentation frquentielle X( f )relle pairerelle pairerelle impaireimaginaire impairerellecomplexe (partie relle paire, partie imaginaire impaire)imaginaire paireimaginaire paireimaginaire impairerelle impaireimaginairecomplexe (partie relle impaire, partie imaginaire paire) Ftant donn x(t) X( f ), nous avons : Fx(t) X(f )avec x signiant le complexe conjugu 37. 262 Transformations de Fourierc) Proprit de translation Ftant donn x(t) X( f ), nous avons : Fx(t u) X( f ) ej2puf Et rciproquement : FX( f n) x(t) e+j2pnt d) Proprit dhomothtie Ftant donn x(t) X( f ), nous avons : Fx(a t) 1/ |a| X(/a) avec a R e) Proprit de drivation Ftant donn x(t) X( f ), nous avons : d x(t) F (j2pf ) X( f ) dt et plus gnralement : d n x(t) F (j2pf )n X( f ) d tn De cette proprit de drivation, on en dduit la transforme des signaux valeur moyenne nulle qui facilite le calcul du spectre de signaux comme celui de la fonction chelon unit u(t). Soit un signal x(t) de la forme : x(t) = Ax + x0 (t) avec x0 (t) de valeur moyenne nulle Nous pouvons crire : x(t) = Ax +t d x0 (t) dt dtavec Ax la constante dintgration 38. 2.2Analyse spectrale des fonctions non priodiquestant donn27d x0 (t) F X0 ( f ), il vient : dt Fx(t) 1/( j2p f ) X0 ( f ) + Ax d ( f )2.2.3 Exemples de transformes de Fourier Nous prsentons ci-aprs un ensemble de fonctions non priodiques et de leurs transformes de Fourier. Ainsi, partir de cette table des transformes de Fourier et des proprits associes cette transformation, il est possible de dterminer la reprsentation spectrale de la plupart des fonctions usuelles sans effectuer le calcul intgrale donn par la relation 2.13. Reprsentation temporelleReprsentation spectrale Fonction porte : s(t) = A.Pt (t) avec Pt (t) = 1 pour t [t/2, + t/2] et Pt (t) = 0 pour t [t/2, + t/2]sin (p f t) = A t sinc ( f t) pf t sin (px) (cf. annexes : fonction = sinc(x)) px Fonction sinus tronque (limite lintervalle [t/2, + t/2] : s(t) = A sin (2pF0 t) Pt (t)S( f ) jAt sin (pt ( f + F0 )) sin (pt ( f F0 )) = 2 pt ( f + F0 ) pt ( f F0 ) Fonction cosinus tronque (limite lintervalle [t/2, + t/2] : s(t) = A cos (2pF0 t) Pt (t)S( f ) A t sin (pt ( f + F0 )) sin (pt ( f F0 )) = + 2 pt ( f + F0 ) pt ( f F0 ) Fonction sinus cardinal: sin (p tt) s(t) = A sinc ( tt) = A p ttS( f ) = Fonction sinusodale de variable quadratique : s(t) = A sin a t2S( f ) = A p p cos (pf )2 /a + a 4S( f ) = A p p cos (pf )2 /a a 4A Pt ( f ) t Fonction cosinusodale de variable quadratique : s(t) = A cos a t2S( f ) = A t 39. 282 Transformations de FourierReprsentation spectrale S( f ) = A t [sinc (t f )]2 sin (pt f ) =At pt f Fonction sinus cardinal quadratique : sin (pnt) 2 s(t) = A [sinc (nt)]2 = A pntS( f ) =A L2n ( f ) n Fonction exponentielle symtrique : s(t) = A ea|t| avec a > 0S( f ) =2Aa a2 + 4p2 f 2S( f ) =A ea| f | 2a Fonction rapport du second ordre : A avec a > 0 s(t) = 2 a + 4p2 t2 do le cas particulier : A s(t) = avec a > 0 1 + t2S( f ) = A p e2p| f | Fonction dHeaviside ou chelon unit : s(t) = u(t) avec u(t) = 0 pour t < 0 et u(t) = 1 pour t 0S( f ) =1 1 + d(f) j2p f 2 Fonction signe : t s(t) = sgn(t) = |t| avec sgn(t) = 1 pour t < 0 et sgn(t) = 1 pour t 0S( f ) =1 jp f Drive de la fonction signe : d (sgn(t)) s(t) = = 2 d (t) dtS( f ) = 2 Fonction exponentielle dcroissante : s(t) = A u(t) eat avec a > 0S( f ) =A a + j2p f2Reprsentation temporelle Fonction triangle: s(t) = A L2t (t) avec L2t (t) = 1 + t/t pour t [t,0] L2t (t) = 1 t/t pour t [0, + t] et L2t (t) = 0 pour t [t, + t] 40. 2.2Analyse spectrale des fonctions non priodiquesReprsentation temporelle29Reprsentation spectrale Fonction impulsionnelle exponentielle : s(t) = A u(t) eat ebt avec a > 0 et b > 0S( f ) =A (b a) (a + j2p f ) (b + j2p f ) Fonction sinusodale amortie : s(t) = A u(t) sin (2pF0 t) eat avec a > 0S( f ) =A (2pF0 ) (a + j2pf )2 + (2pF0 )2 Fonction cosinusodale amortie : s(t) = A u(t) cos (2pF0 t) eat avec a > 0S( f ) =A (a + 2p f ) (a + j2p f )2 + (2pF0 )2 Fonction cosinusodale causale : s(t) = A u(t) cos (2pF0 t)S( f ) = Fonction sinusodale causale : s(t) = A u(t) sin (2pF0 t)S( f ) = Fonction rampe amortie par une gaussienne : 2 s(t) = A t ept Fonction rampe centre : s(t) = 1 pour t t/2 s(t) = 1/2 + t/t pour |t| < t/2 s(t) = 0 pour t = t/2 Fonction gaussienne : 2 s(t) = A eptA d ( f + F0 ) + d ( f F0 ) 4 2f + 2 jp f 2 F0 jA d ( f + F0 ) d ( f F0 ) 4 2jf + 2 p f 2 F0S( f ) = A j f epfS( f ) =21 sin (pt f ) 1 + d(f) j2p f pt f 2S( f ) = A epf Fonction gaussienne quelconque: 2 s(t) = A eatS( f ) = A Pic de Dirac : s(t) = d(t)S( f ) = 12p (pf )2 a e a 41. 302 Transformations de FourierReprsentation temporelleReprsentation spectrale Pic de Dirac de poids A : s(t) = A.d(t)S( f ) = A Fonction constante : s(t) = AS( f ) = A d ( f ) Peigne de Dirac de priode T0 :S( f ) = F0 PgnF0 ( f )+s(t) = PgnT0 (t) =d (t k T0 ) k=s(t) = T0 PgnT0 (t) = T0 += F0 d ( f k F0 ) k=+d (t k T0 ) k=S( f ) = PgnF0 ( f ) =+d ( f k F0 ) k= Fonction exponentielle complexe : s(t) = A ej2pF0 tS( f ) = A d ( f F0 ) Pic de Dirac en t = T0 : s(t) = A d (t T0 )S( f ) = A ej2pT0 fRemarques : la fonction chelon unit u(t) permet en particulier de rendre un signal quelconque s(t) causal en ralisant le produit s(t) u(t). La fonction porte Pt (t) permet de dcouper dans un signal une portion de dure nie. Cette opration conduit transformer un signal thorique (reprsentation mathmatique) en un signal rel nexistant que pendant un temps ni de dure t, correspondant au temps de mesure ou dobservation. 42. Chapitre 3Systmes de transmission. Filtrage3.1 SYSTMES DE TRANSMISSION 3.1.1 Dnitions et proprits a) Comparaison des grandeurs dentre et de sortie Un systme de transmission fait correspondre un signal dentre e(t) quelconque un signal de sortie s(t), rponse du systme de transmission, fonction du signal dentre e(t) et des caractristiques du systme de transmission. Pour le systme de transmission, on ralise une comparaison des grandeurs dentre et de sortie en exprimant le rapport des puissances des deux grandeurs (de mme nature). Le logarithme base 10 de ce rapport 43. 323 Systmes de transmission. Filtrageest alors exprim en bel ; mais lunit pratique est le dcibel (abrviation db) : (3.1) Adb = 10 log10 s(t)/e(t) Si on compare pour un appareil (par exemple un amplicateur), les puissances dentre et de sortie, le rapport en puissance est donn par : Adb = 10 log10 Ps /Pe(3.2)avec un gain si Adb > 0 et un affaiblissement si Adb < 0. Si on exprime ce rapport en puissance en fonction des tensions Ve et Vs aux bornes des charges rsistives identiques, on obtient : Adb = 20 log10 Vs /Ve(3.3)Cette convention permet dexprimer, par un mme nombre, le rapport en tension et le gain en puissance si les rsistances (ou impdances) dentre et de sortie sont identiques. Quelques valeurs utiles sont donnes dans le tableau ci-aprs : Rapport des tensions Vs /Ve 1/10 1/2 1/ 2 2 10 100 Gain ou affaiblissement en db 206362040b) Bande passante Cette comparaison des puissances ou tensions dentre et de sortie dun systme de transmission est utilise lorsque lon veut tudier linuence dune autre grandeur : par exemple la frquence. On considre une tension sinusodale, fournissant lentre suppose rsistive (indpendante de la frquence), une puissance moyenne constante quelle que soit la frquence : Pe constant. On tudie lvolution de la puissance de sortie sur une charge rsistive en fonction de la frquence : Ps = Ps ( f ). Ps passe par un maximum Psm qui est considr comme une rfrence. La courbe ainsi obtenue reprsente la rponse du systme de transmission une entre xe en fonction de la frquence. 44. 3.1Systmes de transmission33On appelle bande passante du systme de transmission la zone de frquences pour lesquelles on a Ps /Psm < 0,5 ou Adb = 3 db. Ainsi la bande passante 3 db est la tranche des frquences pour lesquelles laffaiblissement de la puissance de sortie, puissance entrante constante, est infrieur 3 db par rapport sa valeur maximale (cf. gure 3.1). Si lon applique cette dnition pour les tensions, on obtient un rapport tension sortie / tension maximale (Vs /Vsm ) devant tre suprieur ou de gal 1/ 2 ( 0,7). On dnit galement une bande passante 6 db (Vs /Vsm = 0,5). Vs /V sm Ps /PsmAdb Bande passante 3 db110,70,5f0-3Figure 3.1 Bande passante 3 db dun systme de transmission.c) Proprit dun systme de transmission Nous allons nous intresser des systmes de transmission qui possdent les trois proprits suivantes : linarit, continuit et stationnarit. Systmes linaires En considrant s1 (t) rponse e1 (t) et s2 (t) rponse e2 (t), le systme de transmission, not S.T., est dit linaire si : S.T.a e1 (t) + b e2 (t) a s1 (t) + b s2 (t) Il est important de remarquer que presque tous les systmes sont linaires pour les faibles signaux (premire approximation). Dautre part, une des consquences de la linarit est que, pour prvoir la rponse 45. 343 Systmes de transmission. Filtrageune action quelconque, il suft de connatre la rponse pour une collection dnombrable de signaux dentre. Lextension de la proprit de liS.T. narit scrit de la faon suivante : si ei (t) si (t) , alors : +e (t) =+S.T.ai ei (t) s (t) = i=1ai si (t) i=1 Systmes continus Soit sn (t) la suite des rponses paramtres par n en (t), le systme est dit continu si nous avons la proprit suivante S.T.lim en (t) lim sn (t)n+n+Remarque : il est intressant de noter quun intgrateur pur est un systme continu, mais pas un drivateur pur . Systmes stationnaires Un systme est stationnaire si son comportement est indpendant de lorigine du temps, donc, si s(t) est la rponse e(t) : S.T.e (t u) s (t u) Les ltres sont dnis comme des systmes de transmission linaires, continus et stationnaires.3.1.2 La convolution a) Dnition Une impulsion brve, injecte lentre dun systme de transmission linaire, continu et stationnaire, donne en sortie un signal de dure nie. Cette rponse est appele rponse impulsionnelle (ou percussionnelle) du ltre et note h(t). Dans le cas gnral, cest--dire pour signal dentre 46. 3.1Systmes de transmission35quelconque, nous avons une relation mathmatique qui lie le signal dentre e(t) et le signal de sortie s(t) pour un systme de transmission possdant les trois proprits vues prcdemment ou ltre, not S.T.-L.C.S., soit : S.T.-L.C.S. e (t) s (t) =+e (t) h (t t) d t = e (t) h (t)(3.4)Cette opration, appele convolution et note , exprime la rponse un signal quelconque partir de celle un signal type (rponse impulsionnelle) ; la rponse dpend du ltre, caractris par h(t), et de lhistoire du signal. Le calcul de la convolution est complexe. Il ncessite de nombreuses tapes de calculs : pour chaque point de la rponse s(t), il est ncessaire dlaborer la fonction h(t t), symtrique de la rponse impulsionnelle par rapport laxe des ordonnes et dcale temporellement, puis le produit par le signal dentre e(t) et enn lintgration sur la variable t. Les ltres, qui sont dnis comme des systmes de transmission linaires, continus et stationnaires, sont des systmes de convolution. b) Proprits commutativit : x y = y x associativit : x (y z) = (x y) z distributivit par rapport laddition : x (y + z) = x y + x z lment neutre (pic de Dirac) : x d = d x = x c) Thorme de Plancherel La relation trs importante entre la transforme de Fourier et le produit de convolution snonce sous la forme du thorme suivant : La transforme de Fourier dun produit de convolution est un produit simple et rciproquement. 47. 363 Systmes de transmission. FiltrageAinsi, pour deux signaux x(t) et y(t) ayant pour transformes de Fourier respectives X( f ) et Y( f ), nous avons : Fx (t) y (t) X ( f )Y ( f )etFx (t)y (t) X ( f ) Y ( f ) (3.5 et 3.6)d) Convolution des signaux priodiques Pour deux signaux priodiques rels x(t) et y(t) de priode T0 , on dnit la convolution de la manire suivante : T0 1 Pconv (t) = x (t) y (t t) d t (3.7) T0 03.2 FILTRAGE 3.2.1 Fentrage temporel a) Principes gnraux Le terme de ltrage est habituellement utilis dans le domaine frquentiel. Aussi dans le domaine temporel, nous parlerons plus de fentrage, que de ltrage, temporel qui peut tre dni comme lopration consistant prlever, interrompre ou seulement attnuer un signal. Ainsi, le signal de sortie s(t) est le produit du signal dentre e(t) et de la fonction temporelle du ltre ou de la fentre g(t) : s (t) = e (t) g (t) La modication quentrane ce fentrage temporel au niveau du spectre de e(t) est donne en appliquant le thorme de Plancherel la relation prcdente : Fs (t) = e (t) g (t) S ( f ) = E ( f ) G ( f )(3.8)Par consquent, pour un ltre de fonction temporelle g(t) quelconque, le spectre du signal de sortie sera diffrent de celui du signal dentre consquence du produit de convolution. Ainsi les actions temporelles telles que 48. 3.2Filtrage37le prlvement dun signal (cas de toutes mesures ralises pendant un temps ni) ou linterruption (interrupteur mont sur le circuit dun hautparleur) ou encore lattnuation (attnuation ralise pendant un temps ni laide dun potentiomtre rglant le volume du son) sont des ltres ou fentrages temporels qui vont modier le spectre du signal. Dans le premier cas (dcoupage dune tranche temporelle dun signal), si la dure t, dite dure de la mesure, tend vers linni, nous pouvons vrier la cohrence de la relation 3.8 ; tant donn que g(t) = 1 pour tout t, il vient : Fg (t) = 1 G ( f ) = d ( f ) donc s (t) = e (t) g (t) = e (t)pas de modication du signaletpas de modication du spectreS(f) = E (f)d(f) = E (f)b) Mesure dun signal Lenregistrement par un appareil ou le traitement par ordinateur dun signal impose un temps ni au signal quil soit analogique ou chantillonn. Ce problme de la dure nie dun signal est celui de la mesure. Pour modliser cette troncature temporelle du signal, on utilise la fonction porte temporelle Pt (t) de largeur t. Comme nous lavons vu la transforme de Fourier de cette fonction porte est la fonction sinus cardinal sinc(tf ) (cf. chapitre 2). Ainsi, les relations de modications du signal dues la mesure sur une dure nie t sont : s (t) = e (t) Pt (t)etS(f) = E (f)sin (ptf ) ptfLinuence de cette fentre temporelle sur le signal et sur son spectre peut tre trs importante. Plus lobservation ou la mesure du signal sera longue et plus le spectre du signal sera prcis, cest--dire peu perturb par cette fentre temporelle physiquement invitable. Prenons lexemple dun signal cosinusodal pur de priode T0 . Le spectre de ce signal est reprsent par deux pics de Dirac situs aux frquences F0 49. 383 Systmes de transmission. Filtrageet F0 . Soit :Fe(t) = cos(2pF0 t) E ( f ) =1 [d ( f + F0 ) + d ( f F0 )] 2En utilisant les relations prcdentes, on obtient le signal mesur s(t) (cest--dire e(t) tronqu et limit t) et son spectre S( f ) : s (t) = cos (2pF0 t) Pt (t) t sin (pt ( f + F0 )) sin (pt ( f F0 )) + 2 pt ( f + F0 ) pt ( f F0 ) S( f ) =etNous obtenons ainsi un spectre form de deux fonctions de type sinc centres sur les frquences F0 et F0 (cf. gure 3.2). Dans le cas gnral dun signal priodique quelconque avec un spectre form dun ensemble de raies de diverses importances, le fentrage temporel, cest--dire la mesure dun tel signal, conduit un spectre form de la somme de toutes les fonctions sinc places au niveau des frquences existantes avec une amplitude proportionnelle limportance de la raie. Ce rsultat peut conduire une interprtation errone du spectre : distinction impossible de deux frquences proches, localisation dune frquence sans existence relle, etc. Remarque : il est donc important de constater que le spectre dun signal tronqu temporellement, cest--dire mesur sur un temps ni (cas rel), va tre modi dans le sens o chaque composante du spectre sera transforme en une forme sinc(x). Ce rsultat correspond au principe dincertitude : une connaissance complte du signal sur laxe des temps conduit une dtermination prcise dans le domaine frquentiel alors quune connaissance limite temporellement du signal induit un ou sur la dtermination du spectre de ce signal. Une tude complte de cet effet de fentrage temporel et des moyens de le limiter est faite dans le chapitre 7. 50. 3.2Filtrage39/2S(f )spectre modifi : sinc( f )spectre initialf F0F00Figure 3.2 Modication du spectre en frquence dun signal sinusodal par une troncature temporelle ou mesure.3.2.2 Filtrage frquentiel a) Thorme fondamental des ltres Les termes de ltre ou de ltrage sappliquent en gnral plus des systmes dnis par un produit dans lespace des frquences. De la mme manire que dans le domaine temporel, nous parlerons de ltrage frquentiel comme lopration consistant prlever, interrompre ou seulement attnuer tout ou partie des composantes frquentielles dun signal. Ainsi, le spectre S( f ) du signal de sortie s(t) est le produit du spectre E( f ) signal dentre e(t) et de la fonction frquentielle du ltre H( f ) : S(f) = E (f) H (f) La modication quentrane ce ltrage frquentiel au niveau de la reprsentation temporelle e(t) est donne en appliquant le thorme de Plancherel la relation prcdente : FS ( f ) = E ( f ) H ( f ) s (t) = e (t) h (t)(3.9)Le thorme fondamental des ltres sappuie sur la dnition mme des ltres comme systmes de convolution. Le ltre est dni par sa rponse impulsionnelle, note h(t), et par sa fonction de transfert, note H( f ) ou 51. 403 Systmes de transmission. FiltrageH(p) rciproquement transforme de Fourier ou de Laplace de h(t) (cf. annexes). La rponse s(t) dun tel ltre un signal dentre e(t) est donne par les oprations des relations 3.9, soit : Convolution dans lespace temps +s (t) = e (t) h (t) =e (t) h (t t) d t(3.10) Produit dans lespace des frquences (transforme de Fourier ou de Laplace) : S(f) = E (f) H (f)ou S (p) = E (p) H (p)(3.11)De plus, dans la pratique, un ltre sera souvent caractris par sa rponse indicielle sind (t), cest--dire sa rponse un chelon unit u(t) : sind (t) = u (t) h (t) =+ 0u (t) h (t t) d t(3.12)La relation de base 3.10 peut prendre diffrentes formes suivant les caractristiques temporelles des signaux e(t) et h(t) : h(t) causal (ltre ralisable : cf. paragraphe suivant) : s (t) =t e (t) h (t t) d t e(t) causal (exemple du signal u(t) chelon unit ) : s (t) =+ 0e (t) h (t t) d t e(t) et h(t) causaux : s (t) =t 0e (t) h (t t) d t partir de ces relations, il est possible de dterminer la rponse une action ou signal dentre quelconque. Mais il peut tre trs intressant de passer dans le domaine frquentiel pour dterminer la rponse, car lopration raliser est alors un produit 52. 3.2Filtrage41simple. Le passage du domaine temporel au domaine frquentiel pour le signal dentre se fait par transforme de Fourier ou de Laplace, de mme le retour dans le domaine temporel pour le signal de sortie se fait par les transformations inverses (le calcul de ces transformes se faisant partir des tables des fonctions usuelles, des proprits et des rgles opratoires de base). Soit le chemin de calcul suivant : Domaine temporelAction e(t)FILTRE (convolution par h(t))Rponse s(t) Transforme de Fourier ou de Laplace Domaine frquentiel Transforme de Fourier ou de Laplace E( f ) ou E(p) FILTRE (produit par H( f ) ou H(p)) S( f ) ou S(p)Une des applications les plus importantes de ce processus est le calcul de la rponse de ltres en chane. Si n ltres, caractriss par leur rponse impulsionnelle hi (t) et leur fonction de transfert Hi ( f ) ou Hi (p), sont mis en srie, on peut les remplacer par un ltre quivalent dont la rponse impulsionnelle peut tre calcule par : h (t) = h1 (t) h2 (t) hn (t) Ce calcul est relativement difcile effectuer. Par contre le calcul de la fonction de transfert quivalente sera trs simple : nH ( f ) = H1 ( f ) H2 ( f ) Hn ( f ) =Hi ( f ) i=1Il est toutefois trs important de noter que ce calcul nest possible que si la mise en chane des ltres ne modie pas leurs caractristiques, cest-dire si limpdance de sortie du ltre est trs petite par rapport limpdance dentre du ltre suivant. Cette condition sera remplie en particulier dans le cas des ltres numriques (cf. chapitre 8). 53. 423 Systmes de transmission. Filtrageb) Filtres ralisables Un ltre est ralisable si sa rponse impulsionnelle h(t) est nulle pour t n, ai = 0. Donc nous avons un spectre born qui peut tre reprsent de faon continue en supposant les raies trs proches, cest-dire la diffrence entre les vi trs petite (cf. gure 4.3). En posant mi = mai , lexpression du signal modul est donne par : nsOMA (t) = A 1 +mi cos (vi t) cos(V t + w) i=0Spectre de sOMA (t ) A Am/2frquence +Figure 4.2 Reprsentation unilatrale du spectre de londe module en amplitude par un signal sinusodal. S(f ) aifrquence inFigure 4.3 Reprsentation du spectre born dun signal modulant quelconque.Soit :nsOMA (t) = A cos(Vt +w)+ i=0Ami [cos((Vvi )t +w)+cos((V+vi )t +w)] 2 74. 4.2Modulation damplitude63Cette reprsentation conduit une reprsentation spectrale unilatrale SOMA ( f ) se prsentant sous la forme dune raie centrale de frquence V identique au cas prcdent et de deux bandes latrales stendant de V V + vn (bande latrale suprieure) et de V vn V (bande latrale infrieure) (cf. gure 4.4). La largeur spectrale est donc de 2vn . Ainsi si lon dsire transporter par un mme canal plusieurs informations de type basse frquence (BF), lcart minimal entre les porteuses doit tre de 2vn . Remarque : en radiodiffusion o le spectre des signaux BF a t volontairement tronqu 4,5 kHz, chaque metteur occupe autour de sa frquence porteuse une largeur spectrale de 9 kHz. Ainsi pour la gamme Grandes Ondes (GO), situe entre 150 et 450 kHz, il peut thoriquement tre plac environ 30 metteurs. En ralit, an dviter toutes les interfrences une zone non utilise, dite de silence, a t place entre les missions et seule une quinzaine dmetteurs peuvent coexister.4.2.3 Puissance en modulation damplitude a) Puissance moyenne de londe porteuse Par dnition, pour un signal de londe porteuse sp (t), nous avons : POP =1 TpTp 0[sp (t)]2 d t SOMA (f ) Bande latrale infrieureAA2 2avec Tp =2p VBande latrale suprieureAmi /2frquence ni+i+nFigure 4.4 Reprsentation spectrale unilatrale dun signal modul en amplitude par un signal quelconque spectre born. 75. 644 Modulation des signauxb) Puissance crte de londe module en amplitude Pour un signal modul en amplitude, la puissance crte est la puissance moyenne obtenue lorsque le signal modulant est maximum : Pc = POP [1 + m]2pour |s(t)|max1c) Puissance moyenne de londe module en amplitude tant donn que nous avons T0 Tp (T0 la priode du signal modulant s(t)), le signal s(t) peut tre considr comme constant sur cette priode. Ainsi le calcul de la puissance de lOMA sur la priode de la porteuse Tp donne : A2 POMA = [1 + m s (t)]2 2 Le calcul de la puissance de lOMA sur la priode du signal modulant est : T0 1 A2 [1 + m s (t)]2 cos2 (V t) d t POMA = T0 0 soit : T0 T0 A2 POMA = [1 + m s (t)]2 d t + [1 + m s (t)]2 cos (2Vt) d t 2T0 0 0 Or, comme le signal s(t) peut tre considr comme constant sur la priode de londe porteuse Tp , il vient : T0 0A2 2 T0POMA =1 + 2 m s (t) + m2 s2 (t) d tEn posant s (t) la valeur moyenne du signal et s2 (t) la valeur quadratique moyenne, nous avons : POMA = POP [1 + 2 m s (t) + m2 s2 (t)] Pour un signal sinusodal modulant, on obtient : POMA = POP 1 +m2 2 76. 4.2Modulation damplitude65d) Conclusion Dans le cas le plus favorable sur le plan nergtique, cest--dire pour un taux de modulation m = 1 et un signal sinusodal modulant, nous avons : Pc = 4 POPetPOMA =3 POP 2Il est important de remarquer que la puissance crte ne dpend que du taux de modulation m, alors que la puissance moyenne de londe module en amplitude dpend de m et aussi de la forme du signal modulant.4.2.4 Systmes drivs de la modulation damplitude Ltude de systmes drivs de la modulation damplitude provient de deux constatations : dune part, une proportion trs importante de la puissance transmise par le canal est affecte la porteuse : 2/3 dans le cas dun taux de modulation de 1 et dun signal sinusodal modulant ; dautre part, on peut remarquer que les deux bandes latrales correspondant au signal modulant transportent la mme information. a) Modulation porteuse supprime La modulation damplitude porteuse supprime consiste liminer la porteuse dans la transmission. Le signal modul thorique sexprime de la faon suivante : sOMA (t) = A s (t) cos (V t + w) En ralit, cette transmission dinformation, plus conomique du point de vue nergtique, prsente un inconvnient majeur au niveau de la dtection puisque le rcepteur ne disposant plus de la rfrence de la frquence porteuse V, devient trs complexe raliser. Ce problme est limin en transmettant un embryon donde porteuse, sufsant pour la dtection. 77. 664 Modulation des signauxb) Modulation bande latrale unique An de supprimer la redondance des signaux transmis au niveau des deux bandes latrales, on rduit de moiti la largeur du canal pour ne transmettre quune bande latrale : modulation bande latrale unique (BLU). En considrant le signal modulant sous la forme dune dcomposition en srie de Fourier limite aux n premiers termes, pour la bande latrale suprieure (BLS), le signal modul sexprime par : sOMABLS (t) =A 2nai cos((V + vi )t + w) i=0et pour la bande latrale infrieure (BLI) par : sOMABLI (t) =A 2nai cos((V vi )t + w) i=0Ce systme de modulation peut tre ralis partir des signaux obtenus lors de la modulation damplitude classique en ltrant la bande latrale non utilise (cf. gure 4.5). Ce type de modulation conduit un spectre utile de largeur de bande gale ou lgrement suprieure vn . En effet, dans ce cas, une partie faible de londe porteuse peut tre aussi transmise pour permettre une dtection plus facile, rejoignant ainsi le cas suivant. c) Modulation bande latrale rsiduelle Ce type de modulation ralise un compromis entre la modulation damplitude complte avec son occupation spectrale large et la modulation bande latrale unique avec les difcults de synchronisation la rception. La modulation damplitude bande latrale rsiduelle est obtenue partir dun signal de modulation complte ltr an dliminer partiellement lune des bandes latrales et de diminuer lamplitude de londe porteuse. Remarque : ce procd de modulation est utilis en tlvision. En effet le signal vido transmettre a une largeur de bande importante (5 MHz) excluant ainsi une modulation damplitude complte en raison de loccupation spectrale. 78. 4.2Modulation damplitude67d) Modulation deux porteuses en quadrature Cette modulation permet de diminuer la largeur spectrale du signal modul en utilisant deux ondes porteuses. Cette technique consiste diviser le signal informatif s(t) en deux signaux s1 (t) et s2 (t) modulant deux porteuses sp1 (t) et sp2 (t) de mme frquence et en quadrature de phase : sp1 (t) = A cos(Vt + w) et SOMA (f )sp2 (t) = A sin(Vt + w) Bande latrale suprieureFiltre passe-hautfrquence n+nlargeur de bande n Figure 4.5 Reprsentation spectrale unilatrale dun signal modul en amplitude bande latrale suprieure unique (BLS).Les signaux s1 (t) et s2 (t) peuvent tre constitus en prenant deux composantes de s(t) : donnes paires et impaires, la composante de droite et la composante de gauche dun signal strophonique. Le ddoublement du signal la sortie du codeur permet de diviser par deux la rapidit de modulation et donc de diminuer la largeur spectrale par le mme facteur. Par consquent, on retrouve une occupation spectrale du signal modul identique une modulation BLU du signal initial s(t). Ce type de modulation est trs utilis dans le domaine de la modulation des signaux numriques.4.2.5 Procds de la modulation damplitude a) Lmetteur La modulation est une opration essentiellement non linaire ; un circuit ou un composant non linaire du deuxime ordre (diode, transistor) est donc 79. 684 Modulation des signauxncessaire pour obtenir la porteuse module partir du signal de porteuse pure et signal modulant BF. Dans le cas de circuit non linaire, le signal de sortie s(t) est une fonction du signal dentre e(t) de la forme : s (t) = a + b e (t) + c e2 (t) Si le signal dentre e(t) est directement li au signal de londe porteuse et au signal modulant (par exemple la somme des deux signaux), nous obtenons en sortie un signal comportant de nombreuses composantes frquentielles. Seules les composantes correspondant londe module en amplitude (OMA), obtenues aprs ltrage, seront utilises pour la transmission. Les deux structures principales de circuit utilises sont les systmes suivants : Modulation addition et amplication non linaire : lutilisation dun lment non linaire (diode) comme amplicateur de la somme des deux signaux porteuse et modulant conduit produire les composantes frquentielles ncessaire lOMA. Modulation multiplication de signaux : la mthode idale consiste utiliser un multiplieur analogique, qui effectue directement le produit du signal porteur par [1 + m. s(t)]. Ce multiplieur peut tre reprsent par un amplicateur linaire dont le gain est le signal modulant. Une troisime mthode, appele modulation en anneau, est utilise pour les modulations sans porteuse. Le circuit comporte un anneau de diodes. La conduction ou le blocage des diodes deux deux sont pilots par londe porteuse. La sortie peut tre modlise par le produit du signal modulant et dun signal carr damplitude + 1, 1 et de frquence identique celle de londe porteuse. Il est remarquer que ce systme de modulation, qui thoriquement ne donne pas un signal la frquence porteuse, fait apparatre un embryon de porteuse du fait de la dissymtrie pratique de certains composants lectroniques. 80. 4.3Modulation exponentielle69b) Le rcepteur La dmodulation ou dtection est lopration inverse de la modulation, il sagit partir de la porteuse HF module de reconstituer le signal BF modulant. Deux techniques permettent de raliser cette dtection : La dmodulation synchrone : le principe de cette mthode consiste raliser le produit du signal modul et dun signal de frquence V0 proche de la frquence de londe porteuse V. Si on ralise un calage de loscillateur local, cest--dire que V0 = V, le signal de sortie, ltr par un ltre passe-bande, est directement proportionnel au signal BF modulant initial. Cette dtection synchrone sapplique toutes les formes de signaux moduls en amplitude condition quun signal de porteuse soit mis (signal faible) pour synchroniser ou caler loscillateur local. La dmodulation denveloppe : la dtection denveloppe, aussi appele dtection linaire, utilise contrairement sa deuxime appellation un composant non linaire : une diode monte pour un redressement monoalternance suivie dun ltre passe-bas. En choisissant la constante de temps du ltre trs suprieure la priode du signal modulant et trs infrieure la priode de londe porteuse, le signal BF de sortie sera constitu de lenveloppe du signal. La diode tant un composant non linaire, le signal obtenu en sortie devra tre ltr an disoler la composante basse frquence utile.4.3 MODULATION EXPONENTIELLE 4.3.1 Principe Le signal de londe porteuse de frquence fp peut scrire sous la forme dj vue :sp (t) = A cos (V t + w)avec fp = V/2p 81. 704 Modulation des signauxou encore sous une forme faisant intervenir la phase instantane wi (t) et avec la notation complexe : sp (t) = A cos (wi (t))ou sp (t) = A e jwi (t)Cette dernire reprsentation explique le nom donn ce type de modulation : la modulation exponentielle consistant faire varier au rythme du signal modulant la grandeur de la fonction exponentielle, par opposition la modulation damplitude. Cette modulation est aussi appele modulation angulaire ou dangle puisquelle concerne une variation de la phase instantane. Nous pouvons aussi dnir la pulsation instantane Vi (t) : Vi (t) =d wi (t) dtCe sont ces grandeurs wi (t) et Vi (t) qui vont tre modies en fonction dun signal BF transmettre. Suivant les caractristiques de cette modication, nous aurons une modulation de frquence (MF) qui est une action linaire sur la pulsation instantane Vi (t) ou une modulation de phase (MP) qui agit de faon linaire sur la phase instantane wi (t). Ainsi, le tableau 4.1 montre une prsentation parallle de ces deux types de modulation dans le cas dun signal modulant quelconque s(t). Nous pouvons remarquer que, dun point de vue de la formulation mathmatique, la seule diffrence entre les expressions de londe module en frquence et en phase est la drivation du signal modulant. Pour un signal modulant cosinusodal s(t) = cos(t), nous obtenons aisment le rsultat des relations prcdentes et dnissons les grandeurs caractrisant les excursions de frquence et de phase indiquant les domaines de variation de la frquence et de la phase respectivement autour de la valeur centrale V0 ou w0 = V0 t (cf. tableau 4.2). De plus, dans ce cas simple dun signal modulant deux niveaux, nous pouvons faire une comparaison graphique des deux modulations de type exponentiel avec la modulation damplitude (cf. gure 4.6). 82. 4.3Modulation exponentielle71Tableau 4.1 Dnitions des modulations de frquence et de phase.Modulation de frquence Vi (t) = V0 + DV.s(t) avec DV : excursion de frquence phase instantane : t0Vi (t) d t= V0 t + DVt 0s (t) d t expression de londe module : tsOMF (t) = A cos V0 t + DV0s (t) d twi (t) =Modulation de phase wi (t) = V0 t + Dw. s(t) avec Dw : excursion de phase pulsation instantane : d wi (t) d s (t) = V0 + Dw Vi (t) = dt dt expression de londe module : sOMP (t) = A cos[V0 t + Dw s (t)]Tableau 4.2 Modulations de frquence et de phase (cas dun signal cosinusodal).Modulation de frquenceModulation de phaseVi (t) = V0 + DV cos(vt) avec DV : excursion de frquence phase instantane : DV sin (vt) wi (t) = V0 t + v indice de modulation :wi (t) = V. t + Dw cos(vt) 0 avec Dw : excursion de phase pulsation instantane : Vi (t) = V0 Dw v sin (vt)m = DV/v excursion de phase: DV/v = m excursion de frquence : Dw v expression de londe module : expression de londe module :sOMF (t)sOMP (t) = A cos[V0 t+Dwcos (vt)]= A cos[V0 t + DV/v sin (vt)] 83. 724 Modulation des signauxsignal modulantT0 tmodulation dampitudeA1A2 tmodulation de frquenceF1F2 tmodulation de phase+tFigure 4.6 Comparaison des modulations damplitude, de frquence et de phase pour un signal modulant de type carr.4.3.2 Modulation de frquence a) Expression de londe module en frquence : cas dun signal cosinusodal Dans le cas dun signal modulant cosinusodal (frquence f ou pulsation v), nous venons de voir lexpression de londe module : DV sin (vt) vsOMF (t) = A cos V0 t +avec m =DV DF = v f 84. 4.3Modulation exponentielle73An dobtenir le spectre de ce signal modul, nous allons dvelopper cette expression. Soit : sOMF (t) = A[cos(V0 t) cos(m sin(vt)) sin(V0 t) sin(m sin(vt))] Pour pouvoir obtenir une relation sous la forme dune combinaison linaire des fonctions sin et cos , nous devons expliciter les deux termes cos[m sin a] et sin[m sin a]. En utilisant les fonctions de Bessel de premire espce Jn (m) (cf. annexes), on obtient en dveloppant lexpression prcdente de sOMF la forme suivante : n=+Jn (m) cos((V0 + nv)t)sOMF (t) = A n=Le spectre contient donc une innit de raies latrales de part et dautre de la frquence de londe porteuse F0 . Pour un indice de modulation donn m, la fonction de Bessel Jn (m) reprsente donc lamplitude de la raie de frquence F0 + n f (ou pulsation : V0 + nv). Lvolution des fonctions de Bessel Jn (m) et leurs proprits vont permettre de donner les principales caractristiques du spectre de londe module en frquence (OMF). tant donn la symtrie par rapport laxe des ordonnes des fonctions de Bessel, les deux raies latrales du spectre de frquence F0 nf ont des amplitudes de mme module, le spectre est symtrique par rapport la frquence F0 . Bien que le nombre de raies et, par consquent, la largeur de bande du signal secondaire soient thoriquement innis, lamplitude des raies latrales loignes de F0 nit par dcrotre. En effet les fonctions de Bessel Jn (m) ont une amplitude dcroissante lorsque n augmente m constant. Cette dcroissance est dautant plus tardive que m est plus lev (cf. tableau 4.3). Ce rsultat est trs important car il permet de dterminer ce que lon appelle la largeur utile du spectre Lu,OMF , cest--dire la bande de frquence utilise rellement par lOMF. Pour dterminer cette largeur de spectre, il faut se donner une valeur limite pour laquelle la composante de frquence 85. 744 Modulation des signauxnf ne sera plus prise en compte. Cette limite, cre par un ltrage du signal, dpend de la qualit recherche pour la transmission. Tableau 4.3 Amplitude de la composante F0 + n f du spectre pour diffrentes valeurs de m avec lindication de la limitation du spectre m + 1.n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15m=1 0,77 0,44 .0,11 . . . . . .... 0,02 0,0025m=2 0,22 0,58 0,35 .0,129 . . . . ..... 0,034 0,007 0,001m=5 0,18 0,32 0,046 0,36 0,39 0,26 .0,13 . . . . . .... 0,05 0,02 0,005 0,002m=10 0,25 0,04 0,25 0,06 0,22 0,23 0,014 0,22 0,32 0,29 0,21 .0,123 . . . . ..... 0,063 0,029 0,012 0,005Si lon considre que seules les raies damplitude dpassant 10 % de lamplitude de la porteuse non module sont conserves, la largeur utile du spectre peut sexprimer en se limitant la valeur n = m + 1 (rgle de Carson), soit : Lu,OMF = 2(1 + m + m) f Lu,OMF 2(1 + m) f = 2( f + DF) Il est important de noter que, par rapport la modulation damplitude, nous avons dans ce cas une largeur de spectre (1 + m) fois plus grande. 86. 4.3Modulation exponentielle75De plus si la frquence du signal modulant est petite devant lexcursion de frquence (m 1), on a : Lu,OMF 2mf = 2DF Dautre part, il est intressant de connatre la position de la raie damplitude maximale dans le spectre pour un indice de modulation m donn. Nous pouvons ainsi remarquer que la position de la composante damplitude maximale sloigne de F0 au fur et mesure que m crot. La gure 4.7 met en vidence pour trois indices de modulations cette rpartition dnergie du spectre de lOMF qui sloigne de la frquence centrale F0 . Et ainsi nous pouvons noter que les composantes damplitude leve ont tendance se placer de plus en plus prs de F0 DF. Si lon fait lhypothse dun indice de modulation faible m 1, les seules composantes spectrales signicatives sont celles correspondant aux frquences F0 et F0 f . Le spectre de lOMF est alors identique celui obtenu dans le cas de la modulation damplitude la phase prs. s OMF (f )raie maximalem=2f F 0 (1/2)L u,OMF= 3fs OMF (f )raie maximalem=5f F0(1/2)L u,OMFs OMF (f )= 6f raie maximalem = 10f F0(1/2)L u,OMF= 11fFigure 4.7 Variation du spectre dune onde module en frquence par un signal sinusodal en fonction de lindice de modulation m. 87. 764 Modulation des signauxRemarque : les missions radiophoniques en modulation de frquence sont effectues avec une frquence de londe porteuse de lordre de 100 MHz (88 108 MHz) et un indice de modulation de 5. Ainsi pour des signaux modulants de largeur spectrale denviron 15 kHz, le domaine frquentiel occup par une mission est de 2 (6 15) = 2 90 kHz = 180 kHz autour de la frquence centrale. Donc deux metteurs peuvent tre spars thoriquement par seulement 0,18 MHz, en ralit au moins 0,2 MHz. Il peut donc tre plac thoriquement 100 metteurs. En ralit, an dviter toutes les interfrences une zone de silence a t place entre les missions et dautre part les missions tant pour la plupart strophoniques, elles ont une largeur spectrale plus importante. Pour ces mmes missions en modulation damplitude, la largeur de spectre aurait t de seulement 30 kHz au lieu de 180 kHz. b) Puissance en modulation en frquence La puissance de londe porteuse sexprime de la mme faon que pour la modulation damplitude, soit : POP A2 /2 La puissance moyenne de londe module en frquence sobtient partir de lexpression de sOMF mise sous sa forme complexe : n=+Jn (m) e j(V0 +nv)tsOMF (t) = A n=ou sOMF (t) = A e jV0 t n=+Jn (m) e jnvtn=Les fonctions de Bessel tant de puissance borne (cf. annexes), il vient : POMF = POP A2 2Contrairement ce que nous avons obtenu pour la modulation damplitude, cette puissance est indpendante du signal modulant. Il est donc possible daugmenter le signal informatif, cest--dire lindice de modulation 88. 4.3Modulation exponentielle77sans augmenter la puissance transmise. Or laugmentation de lindice de modulation amliore de faon importante le rapport signal sur bruit, bien que lon augmente aussi le bruit capt en largissant le spectre transmettre. Ainsi lamlioration de la modulation de frquence par rapport la modulation damplitude, exprime en db, est directement fonction de lindice de modulation m selon lexpression suivante : 5 + 20 log10 m c) Traitement spcique des signaux de la parole en MF Le spectre de frquence des signaux de parole et musique na pas une rpartition constante des diffrentes composantes. Si la frquence de 400 Hz est la rfrence, le niveau baisse et atteint 14 db 10 KHz (cf. gure 4.8). Amplitude (db) 100 Hz 0 2 4 6 8 10 12 14 161 KHz10 KHzlog(f )Figure 4.8 Rpartition spectrale dun signal audiofrquence (parole ou musique).Il sensuit que le rapport signal/bruit diminue en hautes frquences avec un niveau de bruit identique sur tout le spectre. Cette dgradation est encore plus importante en modulation de frquence puisque la bande spectrale transmise est plus large. Pour palier ce problme, on ralise au niveau de lmetteur une praccentuation permettant daugmenter les amplitudes des hautes frquences du spectre. la rception, on effectue bien videmment lopration inverse : la dsaccentuation (cf. gure 4.9). 89. 784 Modulation des signaux20Amplitude (db)15Pr-accentuation10 5 01 KHz100 Hz10 KHzlog(f )5 10Dsaccentuation15 20Figure 4.9 Courbes de pr-accentuation et de dsaccentuation utilises pour viter un rapport signal/bruit faible en hautes frquences (pour t = 50 ms).d) Spectre de londe module en frquence : cas gnral Le signal s(t) informatif peut se dcomposer suivant la srie de Fourier limite au terme n (signal physique) : ns (t) =ai cos (vi t) i=1Lexpression de lOMF sous sa forme complexe est donc :sOMF (t) = A e j[V0 t+n i=1mi ai sin(vi t)]avec mi =DV DF = vi fiDo, en utilisant les fonctions de Bessel, lexpression gnrale est : n+i=1sOMF (t) = A e j[V0 t] k=[Jk (mi ) ai e jkvi t ]Prenons lexemple dun signal avec uniquement deux composantes frquentielles de pulsation v1 et v2 , nous avons lexpression du signal s(t) : s (t) = a1 cos(v1 t) + a2 cos(v2 t) 90. 4.3Modulation exponentielle79Do lexpression de lOMF dans ce cas particulier : sOMF (t) = Ae j[V0 t] +[Jk (m1 ) a1 e jkv1 t k=+[Jk (m2 ) a2 e jkv2 tk=Il est important de remarquer que cette fonction nest pas linaire et donc que le principe de superposition nest pas applicable. Le signal modul en frquence par la somme de deux signaux sinusodaux nest pas la somme des deux signaux moduls en frquence par chacun de ces signaux. Le spectre va se composer de nombreuses raies dont les premires auront les amplitudes suivantes : Pulsation V0 V0 + v1 V0 v1 V0 + v2 V0 v2Amplitude A J0 (m1 ) J0 (m2 ) A J1 (m1 ) J0 (m2 ) A J1 (m1 ) J0 (m2 ) A J0 (m1 ) J1 (m2 ) A J0 (m1 ) J1 (m2 )On peut remarquer que toutes les amplitudes des raies vont dpendre des indices de modulation m1 et m2 . Le spectre sera born lorsque les deux quantits Jk (m1 ) et Jp (m2 ) ou leur produit deviendront ngligeables. Si lon cherche la largeur spectrale maximale, on peut faire le raisonnement suivant : si v1 < v2 , alors m1 > m2 . Donc la fonction Jk (m1 ) sera petite pour n = 1 + m1 . Cette condition implique que la fonction Jp (m2 ) soit aussi de faible valeur puisque si n = 1+m1 et m1 > m2 , alors n = 1+m1 . Ainsi la valeur n est dnie par lindice de modulation de la frquence la plus petite, mais la largeur spectrale sera obtenue pour la frquence la plus grande : Lu,OMF 2(1 + m1 )v2avec m1 =DV v1 91. 804 Modulation des signauxe) Spectre de londe module en frquence : cas dun signal deux niveaux Lorsque le signal s(t) est un signal numrique, on associe une frquence donne chacun de ses tats. Dans le cas dune transmission dun signal binaire (transmission sur rseaux informatiques), deux frquences sont utilises (cf. gure 4.6). Cette modulation peut tre effectue par autant doscillateurs quil y a dtats numriques et alors le signal modul a une phase discontinue ou par un oscillateur command par tension (VCO : Voltage Controlled Oscillator) et alors le signal modul a une phase continue. Hors la discontinuit de phase a pour effet dtaler le spectre du signal (introduction de transitions raides) ; on prfre donc en gnral la modulation de frquence continuit de phase du fait de la bande passante limite des supports de transmission. Dans ce cas, en considrant u la dure de base dun bit bi du signal numrique, lexpression de londe module en frquence est : sOMF (t) = A cos 2p (F0 + Df bi ) t + wipour t [iu,(i + 1)u]et la frquence instantane fi (t) et lindice de modulation m sexpriment par : fi (t) = F0 + D f bi (t) avec f1 = F0 D f fi (t) f2 = F0 + Df et 2pD f m= = 2 Df u 2p 1/2u Le spectre de ce signal modul en frquence continuit de phase est donn par lexpression suivante (cf. gure 4.10) : 2A2 D f sin2 (pu( f D f )) sin2 (pu( f + D f )) 2 (pu) 1 cos (2puD f ) cos (2puf ) + f 2 D f 2 cos2 (2puD f ) SOMF ( f ) =Pour dnir le meilleur indice de modulation, on peut chercher un compromis entre les deux caractristiques suivantes : le coefcient de corrlation entre les deux tats du signal permet de mesurer la probabilit derreur la rception. Celle-ci est minimale pour m = 0,715 92. 4.3Modulation exponentielle81 la largeur spectrale est dnie comme la bande de frquence rassemblant 95 % de la puissance, alors le spectre le plus troit est obtenu pour un indice de m = 0,64 . Soit lexemple des systmes de transmissions numriques (modems conformes lavis V23 du CCITT), qui utilisent une modulation de frquence deux valeurs frquences : 1 300 Hz et 2 100 Hz (do D f = 400 Hz et F0 = 1 700 Hz). La rapidit de modulation tant de 1 200 bit/s (1/u), lindice de modulation est de (800(1/1 200)) = 0,66. SOMF (f )m = 0,5m = 1,4 m = 0,9f F 0 fF0F 0 + fFigure 4.10 Spectre dun signal modul en frquence par un signal numrique.f) Les mthodes de modulation de frquence Les principales mthodes de modulation de frquence sont au nombre de deux : le modulateur indirect de Armstrong et le modulateur direct. Le modulateur indirect de Armstrong est bas sur un circuit intgrateur dans lequel est inject le signal modulant basse frquence suivi dun modulateur damplitude sans porteuse du type modulateur en anneau. Ce signal obtenu est additionn au signal de la porteuse dphase de p/2, dj utilise pour la modulation damplitude, et enn le signal rsultant est crt pour obtenir un signal amplitude constante. Il est intressant de noter que le modulateur dArmstrong sans le module dintgration est un modulateur de phase. 93. 824 Modulation des signauxLe modulateur direct consiste modier, au rythme du signal basse frquence, la frquence de fonctionnement dun oscillateur. Cette dernire est en gnral dnie par la valeur dune capacit. La mthode de loin la plus rpandue consiste utiliser une diode capacit variable ou varicap. En effet une jonction P-N polarise en sens inverse se comporte comme une capacit dont la valeur est inversement proportionnelle la racine carre de la tension ses bornes. g) Les mthodes de dmodulation de frquence Aprs un amplicateur haute frquence (HF), un rcepteur complet pour une onde module en frquence se compose en premier lieu dun systme de changement de frquence. Sur les entres dun circuit mlangeur ou dun multiplieur sont envoys le signal de londe module en frquence sOMF (t) et le signal sOL (t) en provenance dun oscillateur local, accord par lutilisateur du rcepteur : sOMF (t) = A cos (Vt + m sin(vt)) sOL (t) = AL cos (VL t) Le signal de sortie sm (t) est donc constitu de deux signaux centrs sur V VL et sur V + VL (respectivement bandes latrales infrieure et suprieure) : sm (t) = kAAL cos ((V VL )t + m sin(vt)) + cos ((V + VL )t + m sin(vt))Un ltre de moyenne frquence ou encore de frquence intermdiaire Fi = Vi /2p (FI) permet de slectionner la bande latrale infrieure uniquement. Le signal sFI (t), rsultat de ce changement de frquence, est donc : sFI (t) = kAAL cos (Vi t + m sin(vt))avec Vi = V VLLe systme daccord est organis de telle sorte que cette frquence intermdiaire soit indpendante de la frquence dmission. Ceci permet dajuster dnitivement tous les paramtres de lamplicateur intermdiaire et du dmodulateur de frquence. Par exemple, dans le cas de la 94. 4.3Modulation exponentielle83radiodiffusion en modulation de frquence, cette frquence intermdiaire a t xe par convention 10,7 MHz. Cet amplicateur est en gnral suivi dun limiteur damplitude. En effet, les variations damplitude, qui ne transportent aucune information, ne pourraient contribuer qu perturber la phase suivante : la dmodulation de frquence. Le circuit dmodulateur de frquence ou discriminateur de frquence doit fournir un signal proportionnel la dviation de frquence du signal sFI (t) par rapport la frquence intermdiaire Fi . Parmi les nombreux systmes plus ou moins complexes et performants de dmodulation de frquence qui existent, nous ntudierons les principes que de quelques uns : Transformation en modulation damplitude : ce systme utilise un circuit rsonnant du type RLC, accord sur une frquence f0 . Nous savons que si une tension damplitude constante et de frquence f est applique un tel circuit, la tension de sortie a une amplitude fonction de la position relative de f0 et f . Selon le coefcient de surtension du circuit rsonnant, une faible variation de f se traduit par une variation proportionnelle de lamplitude. Do le passage une modulation de type amplitude quil faut ensuite dmoduler par les mthodes vues au chapitre prcdent. Discriminateurs dphasage ou variation de phase : le principe de ces circuits utilise le fait que si les enroulements primaire et secondaire dun transformateur sont accords et fortement coupls, les tensions sont en quadrature la rsonance et leur dphasage varie presque linairement autour de cette frquence de rsonance. Dmodulateur de frquence par comptage : le principe de ce dmodulateur consiste en un premier temps raliser une transformation du signal dentre en crneaux par crtage ou par comparateur. Le signal carr ainsi obtenu, de frquence identique au signal initial, est diffrenci an dobtenir des impulsions qui sont mises en forme par un circuit monostable. Ainsi, le signal obtenu est une suite dimpulsions de largeur et 95. 844 Modulation des signauxdamplitude xe dont la priodicit est celle du signal dentre. Sa valeur moyenne est donc rigoureusement proportionnelle la frquence de ce dernier. Un intgrateur permet directement dobtenir le signal modulant recherch. Dtection dune onde module en frquence par une boucle dasservissement de phase : une boucle dasservissement ou verrouillage de phase (PLL : phase lock loop) est un circuit compos dun oscillateur frquence qui fournit un signal de frquence proportionnelle une tension dentre et dun circuit comparateur de phase qui fournit un signal qui est fonction du dphasage entre les signaux, supposs sinusodaux et de mme frquence, appliqus ses deux entres. Dans notre cas le signal dentre du dtecteur de phase est le signal modul en frquence (signal Fi ) et la sortie de ce circuit fournit un signal proportionnel la variation de frquence : rsultat recherch. La boucle asservissement de phase est donc un dmodulateur de frquence idal, la seule condition satisfaire est que la vitesse de variation de la frquence soit infrieure la frquence de coupure de la boucle.4.3.3 Modulation de phase La modulation en phase dune porteuse par un signal BF est quivalente une modulation de frquence par la drive du signal informatif. Par consquent, tout ce qui a t dvelopp pour la modulation de frquence sapplique. Cette modulation est la plus employe pour la transmission des signaux numriques. En effet elle ralise un bon compromis puissance/efcacit spectrale, cest dire le meilleur nombre de bits par seconde et par hertz de bande passante . Cette notion a dj t voque dans la modulation damplitude deux porteuses en quadrature (cf. chapitre 4.2). a) Modulation de phase pour la transmission de signaux numriques Pour minimiser la probabilit derreur, les diffrents tats de la phase sont rgulirement rpartis sur lintervalle disponible [0,2p]. Pour des raisons 96. 4.3Modulation exponentielle85techniques de dmodulation avec une probabilit derreur acceptable, on ne dpasse pas 8 valeurs de phase. Dans la cas dun signal cod binaire, la modulation deux phases scrit : s (t) = A cos (2pF0 t + wi )avec wi = p (selon la donne 0 ou 1)La densit spectrale S( f ) du signal modul en phase dpend de la dure dun bit gale au temps u, soit : modulation cohrente (F0 = k/u) : sin2 (puf ) A2 2 u p2 f 2 F02SOMF ( f ) = f2 modulation non cohrente (F0 = k/u) : A2 sin2 (pu( f F0 )) sin2 (pu( f + F0 )) + u2 p2 ( f F0 )2 p2 ( f + F0 )2SOMF ( f ) =Si F0 1/u (k trs grand), les deux expressions sont quasiment identiques et le spectre est centr autour de F0 . Pour augmenter le dbit binaire en conservant la frquence de modulation (1/u), il suft daugmenter le nombre dtats de phase (cf. gure 4.11). 01101000101 010011101 10000111 10 1(a)(b)10 0(c)Figure 4.11 Reprsentation vectorielle dun signal modul en phase deux valeurs (a), quatre valeurs (b) et huit valeurs (c). Dans le cas (c), le code est tel quun seul bit change lorsque lon passe dun tat de phase au plus proche voisin (code de Gray). 97. 864 Modulation des signauxb) Dmodulation des signaux moduls en phase pour la transmission de signaux numriques La rception et la dmodulation des signaux moduls en phase peuvent se raliser avec deux types de dmodulateurs : dmodulateur cohrent et dmodulateur diffrentiel. Le principe du dmodulateur cohrent est lutilisation dun oscillateur local synchronis sur la frquence de la porteuse. Le signal reu est multipli par le signal de loscillateur local dphas des mmes tats utiliss la modulation; la sortie de ces circuits multiplieurs est soumise un ltrage passe-bas qui indique sil y a identit entre le signal reu et un des signaux du rcepteur. La dmodulation diffrentielle consiste multiplier le signal reu par le signal reu prcdent (retard de u). La phase du signal reu tant wi et celle du signal retard wi1 , un ltrage passe-bas de la sortie permet dobtenir un signal proportionnel cos(wi wi1 ) et de dterminer le saut de phase 0 ou p. c) Modulations combines damplitude et de phase Au lieu de faire correspondre les diffrents tats du signal numrique lun des paramtres caractristiques de londe porteuse (amplitude, frquence ou phase), on peut utiliser la fois deux paramtres. Cest lassociation simultane amplitude Ai et phase wi qui a t retenue. Le signal modul est le suivant : sOMF (t) = Ai cos [2pF0 t + wi ]pour t [iu,(i + 1)u]Un cas particulier est la modulation damplitude deux porteuses en quadrature (MAQ). Dans le diagramme spatial reprsentatif de la modulation, chaque tat du signal numrique est reprsent par un point M(Ai ,wi ). Si nous considrons 16 tats (quatre valeurs damplitude : 2 codes avec A1 et 2 codes avec A2 ), le signal modul scrit (cf. gure 4.12) : sOMF (t) = A1 cos [2pF0 t + w]+A2 sin [2pF0 t + w]avec A1,2 = 1 et 3 98. 4.3Modulation exponentielle87Nous pouvons remarquer que, comme prcdemment, on utilise un codage de type code de Gray. 001001103 1110011110001 0101 00001111 10011 310 1001001011 113 100111013 110010 00Figure 4.12 Diagramme spatial de la modulation damplitude deux porteuses en quadrature avec 16 tats.4.3.4 Modulation primaire