Post on 25-Jul-2020
Traitement du signalChapitre 1- Signaux discrets
Vahid MeghdadiELT2
2012-2013
Rappel sur les signaux temps continus
Chapitre 1: Signaux discrets 1-1- Rappel sur les signaux continus
∫−
∞→=
2/
2/
2)(
1lim
T
T
aT
x dttxT
PLa puissance pour un signal illimité dans le temps:
Pour un signal limité dans le temps on définit l’énergie: ∫
−
=2
1
2)(
t
t
ax dttxE
Puissance instantanée: 2
)()( txtP a=
Energie dans (a,b) ∫=b
a
ba dttpE )(),(
Transformée de Fourier
Chapitre 1: Signaux discrets 1-1- Rappel sur les signaux continus
2( ) ( ) j ftX f x t e dtπ∞
−
−∞
= ∫ ∫∞
∞−
= dfefXtx ftj π2)()(
Propriétés:
{ } 020) ( ) j ftx(t - t X f e π−ℑ =Délai temporel
Linéarité { } )()()()( fbXfaXtbytax +=+ℑ
���� est réel )()( * fXfX =
)(Im)(Im
)(Re)(Re
)()(
)()(
fXfX
fXfX
fXfX
fXfX
−−=−=−−=
−=≺≺
Transformée de Fourier
Propriétés (suite)
)().()(*)( fYfXtytx ⇒
0 0 02 ( ) 20* ( ) ( )j f t j H f j f te h t H f e eπ π⇒ ≺
Convolution
Fonction de transfert
Exponentiel est une fonction propre d’un système linéaire. C’est la raison pour laquelle, il est important d’écrire un signal quelconque en fonction d’une somme des exponentiels.
)(*)()().( fYfXtytx ⇒Produit
Limité en temps � Illimité en fréquenceLimité en fréquence � Illimité en temps
Chapitre 1: Signaux discrets 1-1- Rappel sur les signaux continus
Echantillonnage
Chapitre 1: Signaux discrets 1-2- Echantillonnage
Peigne de dirac.
∑∞
−∞=
−=n
T nTtt )()( δδ
{ } ∑∞
−∞=
−=ℑk
T T
kf
Tt )(
1)( δδ
)()()( ttxtx TT δ=
Echantillonnage
Chapitre 1: Signaux discrets 1-2- Echantillonnage
{ } ∑∑∑ −=−=−=ℑ∞
−∞= kee
kkT kffXfTkfX
TT
kf
TfXtx )()/(
1)(
1*)()( δ
Chevauchement du spectre (aliasing). Pour l’éviter il faut respecter le critère de Shannon : La fréquence d’échantillonnage ≥ le double de la largeur de bande du signal.
Signaux discrets
� � � est une séquence que l’on peut stocker dans la mémoire ou dans un fichier.
� La notion de temps disparaît donc ! � il faut garder la fréquence d’échantillonnage en tête !
Chapitre 1: Signaux discrets 1-3- Signaux discrets
Définitions
� Un signal temps discret est limité dans le temps si :
1 2 2 1, ( ) 0N et N N x n pour n N ou n N∃ ∈ = > <
2( ) ( )P n x n=
� Un signal temps discret est illimité dans le temps si ce N1 ou N2 n’existe pas.
� Puissance instantané :
� Puissance moyenne d’un signal illimité dans le temps
� Energie
21lim ( )
2 1
N
Nn N
P x nN→∞ =−
=+ ∑
2lim ( )
N
Nn N
E x n→∞ =−
= ∑
Chapitre 1: Signaux discrets 1-3- Signaux discrets
Exemples de fonctions
1 0( )
0 0
nn
nδ
== ≠
∑∞
=
−=−−=0
)()()1()()(m
mnnununun δδ
Delta
1
n
Echelon1 0
( )0 0
nu n
n
≥= <
1
n
Chapitre 1: Signaux discrets 1-3- Signaux discrets
Exponentiel 1
n
( ) ( )nx n u nα=
Propriétés
)()()()( mnmxmnnx −=− δδ1-
2- ∑∞
−∞=
−=m
mnmxnx )()()( δ
Chapitre 1: Signaux discrets 1-3- Signaux discrets
Transformée de Fourier Signal temps Discret (TFSD)
∫−
=π
π
ωω ωπ
deeXnx njnj )(2
1)( ∑
∞
−∞=
−=n
njj enxeX ωω )()(
Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier
Propriété: ������ est périodique : )()( 2 ωπω jj eXeX =+
Remarque: On écrit ������et non pas � � ce qui montre explicitement la périodicité. On verra par la suite qu’il y a aussi une autre raison.
On trace très souvent le spectre entre � et .
Exemples
Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier
1)()()( =⇔= ωδ jeXnnx
0)()()( 0njj eeXnnnx ωωδ −=⇔−=
00( ) ( ) 2 ( )j n jx n e X eω ω πδ ω ω= ⇔ = −
[ ])()()(cos)( 000 ωωδωωδπω ω ++−=⇔= jeXnnx
TFSD et échantillonnage
BffX a >= pour 0)(
)()( nTxnx a=
Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier
Soit �� � un signal temps continu à largeur de bande limitée:
On échantillonne avec une fréquence �� ��
�� 2�. Le signal temps discret
obtenu sera:
La TFSD de ���� donnera � ��� .
On peut démontrer que pour � � � � , � ��� ��
����
���
���. C’est-
à-dire que dans�� � , on remplace � par ���.
TF et TFSD
Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier
Propriété de la TFSD
)()( )2( ωπω jj eXeX =+
)()( )()( 2121ωω jj ebXeaXnbxnax +⇒+
Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier
1- Périodicité
2- Linéarité
3- Décalage en temps )( )( 00
ωω jnj eXennx −⇒−
un délai � une phase linéaireUne phase linéaire � Pas de distorsion (très important pour
la conception des filtres discrets)
4- Décalage en fréquence
)( )( )( 00 ωωω −⇒ jnj eXnxe
Propriété de la TFSD (suite)
Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier
5- Dérivation en fréquenceω
ω
d
edXjnnx
j )( )( ⇒
6- Dérivation en temps )()1( )1()( ωω jj eXenxnx −−⇒−−
7- Conjugaison )( )( ** ωjeXnx −⇒
Résultat: si x(n) est réel: )()( * nxnx =
Alors: pairssont )(et )(Re ωω jj eXeX
impairssont )(arget )(Im ωω jj eXeX
Propriété de la TFSD (suite)
8- Expansion dans le temps
=
=ailleurs
knnxnx
0
3)3/()()3(
)()( 3)3(
ωω jj eXeX =
9- Théorème de Parseval
∫∑−
∞
−∞=
==π
π
ω ωπ
deXnxE j
n
22)(
2
1)(
Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier
Propriété de la TFSD (suite)
10- Convolution
∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−=−==mm
mhmnxmnhmxnhnxny )()()()()(*)()(
)()()( ωωω jjj eHeXeY =
11- Multiplication )()()( 21 nxnxny =
∫−
−=π
π
θωθω θπ
deXeXeY jjj )()(2
1)( )(
21)()()( 21
ωωω jjj eXeXeY ⊗=
Convolution circulaire ou périodique
Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier
Exemples
1 )()( <= anuanx n
ωωω
jn
njnj
aeenuaeX −
∞
−∞=
−
−== ∑ 1
1)()(
Exemple 1:
Exemple 2:
<<<
=πω
ωω
W
WeX j
0
1)(
πn
nWnx
sin)( =
Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier
Système discret
Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets
T( . )x(n) y(n)
{ })()( nxTny =
Exemple: Délai )()( 0nnxny −=
Exemple: Accumulateur ∑∑∞
=−∞=
−==0
)()()(m
n
m
mnxmxny
Remarque : si x(n)=δ(n), alors y(n)=u(n).
Système sans mémoire
Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets
La sortie à l’instant n est une fonction de l’entrée uniquement à l’instant n.
Exemple:
y(n)=2x(n)y(n)=x2(n)+2x(n)
Contre exemple:
y(n)=x(n-1)
Système linéaire
Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets
TLIN( . )x(n) y(n)
{ } { } { })()()()()( 2121 nxbTnxaTnbxnaxTny +=+=Exemple:
y(n) = 4 x(n)y(n) = x(n-1) -2x(n) + x(n+1)
Contre exemple:
y(n) = 4x(n) + 1y(n) = x2(n)
Système causal
Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets
L’entrée à l’instant n0 n’influence pas la sortie aux instants n<n0.
C’est-à-dire que le système ne peut pas anticiper.
Exemple d’un dérivateur causal : ���� � � � � ��� � 1�
Exemple d’un dérivateur non causal : � � � � � ! 1 � ����
Système stable
Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets
Un système est stable si n’importe quelle entrée bornée donne une sortie bornée.
Exemple: Accumulateur n’est pas un système stable.
∑∞
=
−=0
)()(m
mnxny
Par exemple si � � � "��� la sortie tend vers l’infinie quand � tend vers l’infinie.
Système linéaire et invariant dans le temps
Chapitre 1: Signaux discrets 1-6- Système linéaire et invariant dans le temps
LITx(n) y(n) { })()( nxTny =
Si l’entrée est un delta Dirac # � , la sortie, par convention, s’appelle $���.
∑∞
−∞=
−=k
knkxnx )()()( δ
{ }∑∑∞
−∞=
∞
−∞=
−=
−=
kk
knTkxknkxTny )()()()()( δδ
On a utilisé la linéarité, et maintenant l’invariance dans le temps.
∑∞
−∞=
−=k
knhkxny )()()( )()()( nhnxny ∗=Définition de convolution
Propriétés des systèmes LIT
Chapitre 1: Signaux discrets 1-6- Système linéaire et invariant dans le temps
Commutativité:
∑∑∞
=
∞
=
−=−
∗=∗=
00
)()()()(
)()()()()(
kk
knxkhknhkx
nxnhnhnxny
Connexion parallèle
[ ] )()()()()()()( 2121 nhnxnhnxnhnhnx ∗+∗=+∗
Propriétés des systèmes LIT
Chapitre 1: Signaux discrets 1-6- Système linéaire et invariant dans le temps
- Connexion série
( ))(*)(*)()(*)(*)()(*)(*)( 211121211 nhnhnxnhnhnxnhnhnx ==
- Stabilité:Un système LIT est stable si et seulement si ∞<∑
∞
−∞=k
kh2
)(
- CausalitéUn système LIT et causal si et seulement si h(n)=0 pour n<0
Système défini par un équation aux différences
Chapitre 1: Signaux discrets 1-7- Système définie par une équation aux différences
)(...)1()()(...)1()( 101 MnxbnxbnxbNnyanany MN −++−+=−++−+
∑∑==
−−−=N
mm
M
mm mnyamnxbny
10
)()()(
Exemple: Accumulateur ∑−∞=
=n
k
kxny )()(
∑−
−∞=
=−1
)()1(n
k
kxny )()1()()()(1
nxnynxkxnyn
k
+−=+= ∑−
−∞=
)()1()( nxnyny =−−
Présentation en diagramme bloc
Accumulateur
Exemple dérivateur causal
Chapitre 1: Signaux discrets 1-7- Système définie par une équation aux différences