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Traitement du signal Chapitre 1- Signaux discrets Vahid Meghdadi ELT2 2012-2013

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Traitement du signalChapitre 1- Signaux discrets

Vahid MeghdadiELT2

2012-2013

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Rappel sur les signaux temps continus

Chapitre 1: Signaux discrets 1-1- Rappel sur les signaux continus

∫−

∞→=

2/

2/

2)(

1lim

T

T

aT

x dttxT

PLa puissance pour un signal illimité dans le temps:

Pour un signal limité dans le temps on définit l’énergie: ∫

=2

1

2)(

t

t

ax dttxE

Puissance instantanée: 2

)()( txtP a=

Energie dans (a,b) ∫=b

a

ba dttpE )(),(

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Transformée de Fourier

Chapitre 1: Signaux discrets 1-1- Rappel sur les signaux continus

2( ) ( ) j ftX f x t e dtπ∞

−∞

= ∫ ∫∞

∞−

= dfefXtx ftj π2)()(

Propriétés:

{ } 020) ( ) j ftx(t - t X f e π−ℑ =Délai temporel

Linéarité { } )()()()( fbXfaXtbytax +=+ℑ

���� est réel )()( * fXfX =

)(Im)(Im

)(Re)(Re

)()(

)()(

fXfX

fXfX

fXfX

fXfX

−−=−=−−=

−=≺≺

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Transformée de Fourier

Propriétés (suite)

)().()(*)( fYfXtytx ⇒

0 0 02 ( ) 20* ( ) ( )j f t j H f j f te h t H f e eπ π⇒ ≺

Convolution

Fonction de transfert

Exponentiel est une fonction propre d’un système linéaire. C’est la raison pour laquelle, il est important d’écrire un signal quelconque en fonction d’une somme des exponentiels.

)(*)()().( fYfXtytx ⇒Produit

Limité en temps � Illimité en fréquenceLimité en fréquence � Illimité en temps

Chapitre 1: Signaux discrets 1-1- Rappel sur les signaux continus

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Echantillonnage

Chapitre 1: Signaux discrets 1-2- Echantillonnage

Peigne de dirac.

∑∞

−∞=

−=n

T nTtt )()( δδ

{ } ∑∞

−∞=

−=ℑk

T T

kf

Tt )(

1)( δδ

)()()( ttxtx TT δ=

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Echantillonnage

Chapitre 1: Signaux discrets 1-2- Echantillonnage

{ } ∑∑∑ −=−=−=ℑ∞

−∞= kee

kkT kffXfTkfX

TT

kf

TfXtx )()/(

1)(

1*)()( δ

Chevauchement du spectre (aliasing). Pour l’éviter il faut respecter le critère de Shannon : La fréquence d’échantillonnage ≥ le double de la largeur de bande du signal.

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Signaux discrets

� � � est une séquence que l’on peut stocker dans la mémoire ou dans un fichier.

� La notion de temps disparaît donc ! � il faut garder la fréquence d’échantillonnage en tête !

Chapitre 1: Signaux discrets 1-3- Signaux discrets

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Définitions

� Un signal temps discret est limité dans le temps si :

1 2 2 1, ( ) 0N et N N x n pour n N ou n N∃ ∈ = > <

2( ) ( )P n x n=

� Un signal temps discret est illimité dans le temps si ce N1 ou N2 n’existe pas.

� Puissance instantané :

� Puissance moyenne d’un signal illimité dans le temps

� Energie

21lim ( )

2 1

N

Nn N

P x nN→∞ =−

=+ ∑

2lim ( )

N

Nn N

E x n→∞ =−

= ∑

Chapitre 1: Signaux discrets 1-3- Signaux discrets

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Exemples de fonctions

1 0( )

0 0

nn

== ≠

∑∞

=

−=−−=0

)()()1()()(m

mnnununun δδ

Delta

1

n

Echelon1 0

( )0 0

nu n

n

≥= <

1

n

Chapitre 1: Signaux discrets 1-3- Signaux discrets

Exponentiel 1

n

( ) ( )nx n u nα=

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Propriétés

)()()()( mnmxmnnx −=− δδ1-

2- ∑∞

−∞=

−=m

mnmxnx )()()( δ

Chapitre 1: Signaux discrets 1-3- Signaux discrets

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Transformée de Fourier Signal temps Discret (TFSD)

∫−

π

ωω ωπ

deeXnx njnj )(2

1)( ∑

−∞=

−=n

njj enxeX ωω )()(

Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier

Propriété: ������ est périodique : )()( 2 ωπω jj eXeX =+

Remarque: On écrit ������et non pas � � ce qui montre explicitement la périodicité. On verra par la suite qu’il y a aussi une autre raison.

On trace très souvent le spectre entre � et .

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Exemples

Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier

1)()()( =⇔= ωδ jeXnnx

0)()()( 0njj eeXnnnx ωωδ −=⇔−=

00( ) ( ) 2 ( )j n jx n e X eω ω πδ ω ω= ⇔ = −

[ ])()()(cos)( 000 ωωδωωδπω ω ++−=⇔= jeXnnx

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TFSD et échantillonnage

BffX a >= pour 0)(

)()( nTxnx a=

Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier

Soit �� � un signal temps continu à largeur de bande limitée:

On échantillonne avec une fréquence �� ��

�� 2�. Le signal temps discret

obtenu sera:

La TFSD de ���� donnera � ��� .

On peut démontrer que pour � � � � , � ��� ��

����

���

���. C’est-

à-dire que dans�� � , on remplace � par ���.

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TF et TFSD

Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier

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Propriété de la TFSD

)()( )2( ωπω jj eXeX =+

)()( )()( 2121ωω jj ebXeaXnbxnax +⇒+

Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier

1- Périodicité

2- Linéarité

3- Décalage en temps )( )( 00

ωω jnj eXennx −⇒−

un délai � une phase linéaireUne phase linéaire � Pas de distorsion (très important pour

la conception des filtres discrets)

4- Décalage en fréquence

)( )( )( 00 ωωω −⇒ jnj eXnxe

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Propriété de la TFSD (suite)

Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier

5- Dérivation en fréquenceω

ω

d

edXjnnx

j )( )( ⇒

6- Dérivation en temps )()1( )1()( ωω jj eXenxnx −−⇒−−

7- Conjugaison )( )( ** ωjeXnx −⇒

Résultat: si x(n) est réel: )()( * nxnx =

Alors: pairssont )(et )(Re ωω jj eXeX

impairssont )(arget )(Im ωω jj eXeX

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Propriété de la TFSD (suite)

8- Expansion dans le temps

=

=ailleurs

knnxnx

0

3)3/()()3(

)()( 3)3(

ωω jj eXeX =

9- Théorème de Parseval

∫∑−

−∞=

==π

π

ω ωπ

deXnxE j

n

22)(

2

1)(

Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier

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Propriété de la TFSD (suite)

10- Convolution

∑∑∞

−∞=

−∞=

−=−==mm

mhmnxmnhmxnhnxny )()()()()(*)()(

)()()( ωωω jjj eHeXeY =

11- Multiplication )()()( 21 nxnxny =

∫−

−=π

π

θωθω θπ

deXeXeY jjj )()(2

1)( )(

21)()()( 21

ωωω jjj eXeXeY ⊗=

Convolution circulaire ou périodique

Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier

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Exemples

1 )()( <= anuanx n

ωωω

jn

njnj

aeenuaeX −

−∞=

−== ∑ 1

1)()(

Exemple 1:

Exemple 2:

<<<

=πω

ωω

W

WeX j

0

1)(

πn

nWnx

sin)( =

Chapitre 1: Signaux discrets 1-4- Transformée de Fourier

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Système discret

Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets

T( . )x(n) y(n)

{ })()( nxTny =

Exemple: Délai )()( 0nnxny −=

Exemple: Accumulateur ∑∑∞

=−∞=

−==0

)()()(m

n

m

mnxmxny

Remarque : si x(n)=δ(n), alors y(n)=u(n).

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Système sans mémoire

Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets

La sortie à l’instant n est une fonction de l’entrée uniquement à l’instant n.

Exemple:

y(n)=2x(n)y(n)=x2(n)+2x(n)

Contre exemple:

y(n)=x(n-1)

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Système linéaire

Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets

TLIN( . )x(n) y(n)

{ } { } { })()()()()( 2121 nxbTnxaTnbxnaxTny +=+=Exemple:

y(n) = 4 x(n)y(n) = x(n-1) -2x(n) + x(n+1)

Contre exemple:

y(n) = 4x(n) + 1y(n) = x2(n)

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Système causal

Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets

L’entrée à l’instant n0 n’influence pas la sortie aux instants n<n0.

C’est-à-dire que le système ne peut pas anticiper.

Exemple d’un dérivateur causal : ���� � � � � ��� � 1�

Exemple d’un dérivateur non causal : � � � � � ! 1 � ����

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Système stable

Chapitre 1: Signaux discrets 1-5- Systèmes discrets

Un système est stable si n’importe quelle entrée bornée donne une sortie bornée.

Exemple: Accumulateur n’est pas un système stable.

∑∞

=

−=0

)()(m

mnxny

Par exemple si � � � "��� la sortie tend vers l’infinie quand � tend vers l’infinie.

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Système linéaire et invariant dans le temps

Chapitre 1: Signaux discrets 1-6- Système linéaire et invariant dans le temps

LITx(n) y(n) { })()( nxTny =

Si l’entrée est un delta Dirac # � , la sortie, par convention, s’appelle $���.

∑∞

−∞=

−=k

knkxnx )()()( δ

{ }∑∑∞

−∞=

−∞=

−=

−=

kk

knTkxknkxTny )()()()()( δδ

On a utilisé la linéarité, et maintenant l’invariance dans le temps.

∑∞

−∞=

−=k

knhkxny )()()( )()()( nhnxny ∗=Définition de convolution

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Propriétés des systèmes LIT

Chapitre 1: Signaux discrets 1-6- Système linéaire et invariant dans le temps

Commutativité:

∑∑∞

=

=

−=−

∗=∗=

00

)()()()(

)()()()()(

kk

knxkhknhkx

nxnhnhnxny

Connexion parallèle

[ ] )()()()()()()( 2121 nhnxnhnxnhnhnx ∗+∗=+∗

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Propriétés des systèmes LIT

Chapitre 1: Signaux discrets 1-6- Système linéaire et invariant dans le temps

- Connexion série

( ))(*)(*)()(*)(*)()(*)(*)( 211121211 nhnhnxnhnhnxnhnhnx ==

- Stabilité:Un système LIT est stable si et seulement si ∞<∑

−∞=k

kh2

)(

- CausalitéUn système LIT et causal si et seulement si h(n)=0 pour n<0

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Système défini par un équation aux différences

Chapitre 1: Signaux discrets 1-7- Système définie par une équation aux différences

)(...)1()()(...)1()( 101 MnxbnxbnxbNnyanany MN −++−+=−++−+

∑∑==

−−−=N

mm

M

mm mnyamnxbny

10

)()()(

Exemple: Accumulateur ∑−∞=

=n

k

kxny )()(

∑−

−∞=

=−1

)()1(n

k

kxny )()1()()()(1

nxnynxkxnyn

k

+−=+= ∑−

−∞=

)()1()( nxnyny =−−

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Présentation en diagramme bloc

Accumulateur

Exemple dérivateur causal

Chapitre 1: Signaux discrets 1-7- Système définie par une équation aux différences