Traitement du signal

TD0 : Introduction

Signaux géophysiques

• Signal = variation d’un paramètre physique en fonction du temps et/ou de l’espace

Exemple :– Signal sismique (vitesse ou déplacement du sol en fct du temps)– Gravimétrie (valeur de g en fonction du temps ou de l’espace)– INSAR (images pixélisées)

• Le signal enregistré inclut du bruit !!!

Signaux géophysiques

• Pour enregistrer un signal on utilise :– Un capteur (magnétomètre, sismomètre, thermomètre, …)

– Un numériseur => échantillonnage => support numérique

• Ce système d’acquisition agit comme un filtre dont il faut connaître les caractéristiques pour analyser correctement les observations

• La terre elle même se comporte comme un filtre (ex : sismologie, électromagnétisme, …). En étudiant le signal « en entrée » et « en sortie », on en déduit les propriétés de ce filtre

Numérisation =

1. Echantillonnage (spatial ou temporel)2. Quantification

« Signal Analogique »

« Signal Numérique »

Fonction de base

• Sinusoïde

€

y(t) = Asin(ωt +ϕ )

€

ω =2πf

ω =2π

T

€

y(x) = Asin(kx +ϕ )

€

k =2π

λ

€

λ =cTAcoustique, sismique, …

€

c célérité (vitesse)

pulsation

nombre d’onde

Exemple : signal acoustique

• Son = onde de pression

T

€

P(t) = Asin(ωt +ϕ )

Note, fréquence, spectre

€

f0 =1

2L

F

m

Résonnance d’une corde (de guitare)

f0 = fréquence fondamentaleL = longueur de la cordeF = tensionm = masse linéique

Représentation temporelle Représentation spectrale

« La »f0 = 440 Hz

Notes et harmoniques

€

sin(2πf0t)

€

+1

2sin(2π 2 f0t)

€

+1

2sin(2π 3 f0t)

€

+1

2sin(2π 4 f0t)

Représentation temporelle

Représentation spectrale

€

L = 20log10(P

P0)

Niveau sonore en décibels (dB)

P0 =Pression de référence (=10-5 Pa)

Niveau sonore

Oreille = filtre

Courbe d’isosonie = égale sensation sonore

Mais ce n’est pas un filtre linéaire … Car la forme de la réponse dépend de l’amplitude du signal d’entrée

Au premier ordre, l’oreille humaine est un filtre passe bande

Ce que j’entends =

Réponse de mon oreille

Ce qui est émis*

Produit de convolution

Filtre

Décomposition en série de Fourier

Tout signal x(t) de période T0 (T0 = 1 / f0) peut se décomposer sur une base d’harmoniques :

€

x(t) = a0 + an cos(2πnf0t) + bn sin(2πnf0t)n=1

∞

∑n=1

∞

∑

Avec :

€

a0 =1

T0x(t)dt

0

T0

∫

€

an =2

T0x(t)cos(2πnf0t)dt

0

T0

∫

€

bn =2

T0x(t)sin(2πnf0t)dt

0

T0

∫

Exemple du signal carré périodique(horloge)

Décomposition en série de Fourier

Autres écritures :

€

x(t) = a0 +an2 + bn

2

2sin(2πnf0t +ϕ n )

n=1

∞

∑

Avec :

€

ϕ n = arctan(bnan)

€

cn =1

2an2 + bn

2

€

x(t) = cn sin(2πnf0t +ϕ n )n=0

∞

∑

Module

Phase

C0 est la valeur moyenne

€

x(t) = cnei2πnf0t

n=−∞

+∞

∑

€

cn = Re(cn )2 + Im(cn )

2

€

ϕ n = arctan(Im(cn )

Re(cn ))

La transformée de Fourier

Généralisation aux fonctions non périodiques MAIS à support borné (énergie finie) et avec des discontinuités en nombre finies

€

f (t) =1

2πF(ω)e iωtdω

−∞

+∞

∫

€

F(ω) = f (t)e−iωtdt−∞

+∞

∫avec

€

F(ω) = F(ω) e iϕ (ω )

Module Phase

Signal analogique / signal numérique

€

F(ω) = f (t)e−iωtdt−∞

+∞

∫• Signal analogique (= phénomène) Transformée de Fourier :

• Signal numérique (= enregistrement)Transformée de Fourier discrète :

Signal défini en tout temps t

Signal défini en N points aux temps tk

€

fk = f (tk ) = f (kTe )

Te = pas d’échantillonnage en temps€

F(nΔf ) = fke−2iπ

nk

N

k=0

N −1

∑

€

k ∈ 0,N −1[ ]

€

fe =1

Te= NΔf ⇒ Δf =

1

NTe€

n ∈ 0,N −1[ ]

Δf = pas d’échantillonnage en fréquence

Programme des TDs

• TD 1 : Analyse de Fourier de signaux• TD 2 : Aliasing / repliement spectral• TD 3 : Convolution : exemple du sweep• TD 4 : Filtrage / réponse instrumentale• TD 5 : Signal analytique• TD 6 : Analyse temps fréquence (spectrogrammes,

ondelettes)

Evaluations :•CC en salle (½ cours + ½ TD) - fin Oct / début Nov – coef = 0.25•CC en salle (cours) – Décembre – coef = 0.5•DM (TD) à rendre fin Décembre – coef = 0.25

Bases de Matlab (à maitriser)

• Définition de variables, vecteurs, matrices• Opérations (+,*,.*,…)• Boucles (for), conditions (if), comparaisons• Représentation de graphes (plot, subplot) et habillage (xlim, title, …)

• Lecture de fichiers formatés (textread)• Programmes, fonctions