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Techniques de mesure K. Agbeviade 1 Cours de techniques des mesures Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement des signaux Mécanique, 6 ème semestre

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Page 1: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 1

Cours de techniques des mesures

Aperccedilu des chaines dacquisition de donneacutees

Et

Traitement des signaux

Meacutecanique 6egraveme semestre

Techniques de mesure K Agbeviade 2

Introduction

Un des points important de la conception dun essai est lacquisition

et le traitement des donneacutees Degraves lors les points ci-dessous

simposent dans tout dispositif complexe de prise de donneacutees

Concevoir la chaicircne drsquoacquisition

Ou analyser la chaine existante agrave disposition

Traiter les signaux et les informations acquis

Techniques de mesure K Agbeviade 3

Concevoir la chaine dacquisition

1 Architecture des chaines

Dune maniegravere geacuteneacuterale une chaine dacquisitions peut avoir lesarchitectures suivantes

11 Architecture A

Petits conditionneurs deacuteporteacutes carte AD multiplexeacutee ou carte multi AD connecteacutee au bus interne du PC

u i f

u i f

u i f

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

Conditionneur 1

Conditionneur 2

Convertisseur AD

Multiples ouMultiplexeacutes

Conditionneur n

PCBus PC

u i f

u i f

u i f u i f

Grandeurs physiques

Techniques de mesure K Agbeviade 4

Concevoir la chaine dacquisition

12 Architecture B

u i f

u i f

u i f

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

Conditionneur 1

Conditionneur 1

Convertisseur AD

Multiples ouMultiplexeacutes

Conditionneur n

PC

USBFire wireetc

u i f

u i f

u i f

Petits conditionneurs deacuteporteacutes module AD multiplexeacutee ou module multi AD connecteacute au PC par un bus seacuteriel USB ethernet voir fire wire

Techniques de mesure K Agbeviade 5

Concevoir la chaine dacquisition

13 Architecture C

Les divers conditionnements ainsi que lAD ou les AD sont inteacutegreacutes dans la centrale de mesure La centrale de mesure communique par donneacutees numeacuteriques et protocole de haut niveau avec le PC

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

PC

RS 232GPIBUSBFire wireEthernetetc

u i f

u i f

u i f

Centrale de mesureu i f

Techniques de mesure K Agbeviade 6

Concevoir la chaine dacquisition

14 Architecture DIl sagit de combinaisons des cas preacuteceacutedents Il faut alors reacutesoudre le problegraveme de synchronisation des donneacutees provenant des divers eacutequipements

Exemple Architecture A et C

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

PC

RS 232GPIBUSBFire wireEthernet etc

u i f

u i f

u i f

Centrale de mesureu i f

u i f

u i f

u i f

Capteur n+1

Capteur n+2

Capteur n+3

Conditionneur n+1

Conditionneur n+2

Convertisseur ADmultiples

ou multiplexeacutes

Bus PCu i f

u i f

Techniques de mesure K Agbeviade 7

Concevoir la chaine dacquisition

Capteur de pression

Conditionneur

Capteur de position

Capteur de tempeacuterature

Conditionneur avec affichage

Appareil de mes avec sorties pour acq

Centrale de mesure

Centrale de mesure

Carte dacquisition ISAMulti IO Analog in multiplexeacute

Carte dacquisition PCIMulti IO multi AD

Module dacquisition USBMulti IO multi AD

Le PC

15 Composants

Techniques de mesure K Agbeviade 8

2 Les Signaux

Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental

Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)

Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement

Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement

Traitement du signalIntroduction

S(t)

(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 9

21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique

Classification temporelle

Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire

ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps

Signal deacuteterministe

ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique

Signal aleacuteatoire

Traitement du signal Introduction

Techniques de mesure K Agbeviade 10

Traitement du signal Introduction

Peacuteriodiques Stationnaires

Deacuteterministes

Non Peacuteriodiques

Pseudo

aleacuteatoires

Quasi

Peacuteriodiques

TransitoiresPeacuteriodiques

composites

Ergodiques Non

Ergodiques

Non

Stationnaires

Signaux

Classification

speacuteciale

Aleacuteatoires

Sinusoiumldaux

211 Arbre de la classification temporelle

Techniques de mesure K Agbeviade 11

Traitement du signal Introduction

-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier

Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)

Peacuteriodiques composites

Pseudo aleacuteatoire

212 Classification signaux deacuteterministes

Techniques de mesure K Agbeviade 12

Traitement du signal Introduction

212 Classification signaux deacuteterministes

-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T

Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel

TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere

univ-angers

Y(t)

t

Techniques de mesure K Agbeviade 13

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps

Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique

Non ergodique

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 14

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 2: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 2

Introduction

Un des points important de la conception dun essai est lacquisition

et le traitement des donneacutees Degraves lors les points ci-dessous

simposent dans tout dispositif complexe de prise de donneacutees

Concevoir la chaicircne drsquoacquisition

Ou analyser la chaine existante agrave disposition

Traiter les signaux et les informations acquis

Techniques de mesure K Agbeviade 3

Concevoir la chaine dacquisition

1 Architecture des chaines

Dune maniegravere geacuteneacuterale une chaine dacquisitions peut avoir lesarchitectures suivantes

11 Architecture A

Petits conditionneurs deacuteporteacutes carte AD multiplexeacutee ou carte multi AD connecteacutee au bus interne du PC

u i f

u i f

u i f

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

Conditionneur 1

Conditionneur 2

Convertisseur AD

Multiples ouMultiplexeacutes

Conditionneur n

PCBus PC

u i f

u i f

u i f u i f

Grandeurs physiques

Techniques de mesure K Agbeviade 4

Concevoir la chaine dacquisition

12 Architecture B

u i f

u i f

u i f

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

Conditionneur 1

Conditionneur 1

Convertisseur AD

Multiples ouMultiplexeacutes

Conditionneur n

PC

USBFire wireetc

u i f

u i f

u i f

Petits conditionneurs deacuteporteacutes module AD multiplexeacutee ou module multi AD connecteacute au PC par un bus seacuteriel USB ethernet voir fire wire

Techniques de mesure K Agbeviade 5

Concevoir la chaine dacquisition

13 Architecture C

Les divers conditionnements ainsi que lAD ou les AD sont inteacutegreacutes dans la centrale de mesure La centrale de mesure communique par donneacutees numeacuteriques et protocole de haut niveau avec le PC

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

PC

RS 232GPIBUSBFire wireEthernetetc

u i f

u i f

u i f

Centrale de mesureu i f

Techniques de mesure K Agbeviade 6

Concevoir la chaine dacquisition

14 Architecture DIl sagit de combinaisons des cas preacuteceacutedents Il faut alors reacutesoudre le problegraveme de synchronisation des donneacutees provenant des divers eacutequipements

Exemple Architecture A et C

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

PC

RS 232GPIBUSBFire wireEthernet etc

u i f

u i f

u i f

Centrale de mesureu i f

u i f

u i f

u i f

Capteur n+1

Capteur n+2

Capteur n+3

Conditionneur n+1

Conditionneur n+2

Convertisseur ADmultiples

ou multiplexeacutes

Bus PCu i f

u i f

Techniques de mesure K Agbeviade 7

Concevoir la chaine dacquisition

Capteur de pression

Conditionneur

Capteur de position

Capteur de tempeacuterature

Conditionneur avec affichage

Appareil de mes avec sorties pour acq

Centrale de mesure

Centrale de mesure

Carte dacquisition ISAMulti IO Analog in multiplexeacute

Carte dacquisition PCIMulti IO multi AD

Module dacquisition USBMulti IO multi AD

Le PC

15 Composants

Techniques de mesure K Agbeviade 8

2 Les Signaux

Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental

Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)

Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement

Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement

Traitement du signalIntroduction

S(t)

(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 9

21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique

Classification temporelle

Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire

ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps

Signal deacuteterministe

ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique

Signal aleacuteatoire

Traitement du signal Introduction

Techniques de mesure K Agbeviade 10

Traitement du signal Introduction

Peacuteriodiques Stationnaires

Deacuteterministes

Non Peacuteriodiques

Pseudo

aleacuteatoires

Quasi

Peacuteriodiques

TransitoiresPeacuteriodiques

composites

Ergodiques Non

Ergodiques

Non

Stationnaires

Signaux

Classification

speacuteciale

Aleacuteatoires

Sinusoiumldaux

211 Arbre de la classification temporelle

Techniques de mesure K Agbeviade 11

Traitement du signal Introduction

-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier

Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)

Peacuteriodiques composites

Pseudo aleacuteatoire

212 Classification signaux deacuteterministes

Techniques de mesure K Agbeviade 12

Traitement du signal Introduction

212 Classification signaux deacuteterministes

-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T

Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel

TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere

univ-angers

Y(t)

t

Techniques de mesure K Agbeviade 13

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps

Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique

Non ergodique

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 14

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 3: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 3

Concevoir la chaine dacquisition

1 Architecture des chaines

Dune maniegravere geacuteneacuterale une chaine dacquisitions peut avoir lesarchitectures suivantes

11 Architecture A

Petits conditionneurs deacuteporteacutes carte AD multiplexeacutee ou carte multi AD connecteacutee au bus interne du PC

u i f

u i f

u i f

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

Conditionneur 1

Conditionneur 2

Convertisseur AD

Multiples ouMultiplexeacutes

Conditionneur n

PCBus PC

u i f

u i f

u i f u i f

Grandeurs physiques

Techniques de mesure K Agbeviade 4

Concevoir la chaine dacquisition

12 Architecture B

u i f

u i f

u i f

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

Conditionneur 1

Conditionneur 1

Convertisseur AD

Multiples ouMultiplexeacutes

Conditionneur n

PC

USBFire wireetc

u i f

u i f

u i f

Petits conditionneurs deacuteporteacutes module AD multiplexeacutee ou module multi AD connecteacute au PC par un bus seacuteriel USB ethernet voir fire wire

Techniques de mesure K Agbeviade 5

Concevoir la chaine dacquisition

13 Architecture C

Les divers conditionnements ainsi que lAD ou les AD sont inteacutegreacutes dans la centrale de mesure La centrale de mesure communique par donneacutees numeacuteriques et protocole de haut niveau avec le PC

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

PC

RS 232GPIBUSBFire wireEthernetetc

u i f

u i f

u i f

Centrale de mesureu i f

Techniques de mesure K Agbeviade 6

Concevoir la chaine dacquisition

14 Architecture DIl sagit de combinaisons des cas preacuteceacutedents Il faut alors reacutesoudre le problegraveme de synchronisation des donneacutees provenant des divers eacutequipements

Exemple Architecture A et C

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

PC

RS 232GPIBUSBFire wireEthernet etc

u i f

u i f

u i f

Centrale de mesureu i f

u i f

u i f

u i f

Capteur n+1

Capteur n+2

Capteur n+3

Conditionneur n+1

Conditionneur n+2

Convertisseur ADmultiples

ou multiplexeacutes

Bus PCu i f

u i f

Techniques de mesure K Agbeviade 7

Concevoir la chaine dacquisition

Capteur de pression

Conditionneur

Capteur de position

Capteur de tempeacuterature

Conditionneur avec affichage

Appareil de mes avec sorties pour acq

Centrale de mesure

Centrale de mesure

Carte dacquisition ISAMulti IO Analog in multiplexeacute

Carte dacquisition PCIMulti IO multi AD

Module dacquisition USBMulti IO multi AD

Le PC

15 Composants

Techniques de mesure K Agbeviade 8

2 Les Signaux

Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental

Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)

Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement

Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement

Traitement du signalIntroduction

S(t)

(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 9

21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique

Classification temporelle

Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire

ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps

Signal deacuteterministe

ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique

Signal aleacuteatoire

Traitement du signal Introduction

Techniques de mesure K Agbeviade 10

Traitement du signal Introduction

Peacuteriodiques Stationnaires

Deacuteterministes

Non Peacuteriodiques

Pseudo

aleacuteatoires

Quasi

Peacuteriodiques

TransitoiresPeacuteriodiques

composites

Ergodiques Non

Ergodiques

Non

Stationnaires

Signaux

Classification

speacuteciale

Aleacuteatoires

Sinusoiumldaux

211 Arbre de la classification temporelle

Techniques de mesure K Agbeviade 11

Traitement du signal Introduction

-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier

Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)

Peacuteriodiques composites

Pseudo aleacuteatoire

212 Classification signaux deacuteterministes

Techniques de mesure K Agbeviade 12

Traitement du signal Introduction

212 Classification signaux deacuteterministes

-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T

Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel

TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere

univ-angers

Y(t)

t

Techniques de mesure K Agbeviade 13

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps

Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique

Non ergodique

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 14

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 4: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 4

Concevoir la chaine dacquisition

12 Architecture B

u i f

u i f

u i f

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

Conditionneur 1

Conditionneur 1

Convertisseur AD

Multiples ouMultiplexeacutes

Conditionneur n

PC

USBFire wireetc

u i f

u i f

u i f

Petits conditionneurs deacuteporteacutes module AD multiplexeacutee ou module multi AD connecteacute au PC par un bus seacuteriel USB ethernet voir fire wire

Techniques de mesure K Agbeviade 5

Concevoir la chaine dacquisition

13 Architecture C

Les divers conditionnements ainsi que lAD ou les AD sont inteacutegreacutes dans la centrale de mesure La centrale de mesure communique par donneacutees numeacuteriques et protocole de haut niveau avec le PC

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

PC

RS 232GPIBUSBFire wireEthernetetc

u i f

u i f

u i f

Centrale de mesureu i f

Techniques de mesure K Agbeviade 6

Concevoir la chaine dacquisition

14 Architecture DIl sagit de combinaisons des cas preacuteceacutedents Il faut alors reacutesoudre le problegraveme de synchronisation des donneacutees provenant des divers eacutequipements

Exemple Architecture A et C

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

PC

RS 232GPIBUSBFire wireEthernet etc

u i f

u i f

u i f

Centrale de mesureu i f

u i f

u i f

u i f

Capteur n+1

Capteur n+2

Capteur n+3

Conditionneur n+1

Conditionneur n+2

Convertisseur ADmultiples

ou multiplexeacutes

Bus PCu i f

u i f

Techniques de mesure K Agbeviade 7

Concevoir la chaine dacquisition

Capteur de pression

Conditionneur

Capteur de position

Capteur de tempeacuterature

Conditionneur avec affichage

Appareil de mes avec sorties pour acq

Centrale de mesure

Centrale de mesure

Carte dacquisition ISAMulti IO Analog in multiplexeacute

Carte dacquisition PCIMulti IO multi AD

Module dacquisition USBMulti IO multi AD

Le PC

15 Composants

Techniques de mesure K Agbeviade 8

2 Les Signaux

Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental

Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)

Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement

Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement

Traitement du signalIntroduction

S(t)

(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 9

21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique

Classification temporelle

Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire

ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps

Signal deacuteterministe

ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique

Signal aleacuteatoire

Traitement du signal Introduction

Techniques de mesure K Agbeviade 10

Traitement du signal Introduction

Peacuteriodiques Stationnaires

Deacuteterministes

Non Peacuteriodiques

Pseudo

aleacuteatoires

Quasi

Peacuteriodiques

TransitoiresPeacuteriodiques

composites

Ergodiques Non

Ergodiques

Non

Stationnaires

Signaux

Classification

speacuteciale

Aleacuteatoires

Sinusoiumldaux

211 Arbre de la classification temporelle

Techniques de mesure K Agbeviade 11

Traitement du signal Introduction

-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier

Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)

Peacuteriodiques composites

Pseudo aleacuteatoire

212 Classification signaux deacuteterministes

Techniques de mesure K Agbeviade 12

Traitement du signal Introduction

212 Classification signaux deacuteterministes

-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T

Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel

TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere

univ-angers

Y(t)

t

Techniques de mesure K Agbeviade 13

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps

Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique

Non ergodique

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 14

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 5: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 5

Concevoir la chaine dacquisition

13 Architecture C

Les divers conditionnements ainsi que lAD ou les AD sont inteacutegreacutes dans la centrale de mesure La centrale de mesure communique par donneacutees numeacuteriques et protocole de haut niveau avec le PC

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

PC

RS 232GPIBUSBFire wireEthernetetc

u i f

u i f

u i f

Centrale de mesureu i f

Techniques de mesure K Agbeviade 6

Concevoir la chaine dacquisition

14 Architecture DIl sagit de combinaisons des cas preacuteceacutedents Il faut alors reacutesoudre le problegraveme de synchronisation des donneacutees provenant des divers eacutequipements

Exemple Architecture A et C

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

PC

RS 232GPIBUSBFire wireEthernet etc

u i f

u i f

u i f

Centrale de mesureu i f

u i f

u i f

u i f

Capteur n+1

Capteur n+2

Capteur n+3

Conditionneur n+1

Conditionneur n+2

Convertisseur ADmultiples

ou multiplexeacutes

Bus PCu i f

u i f

Techniques de mesure K Agbeviade 7

Concevoir la chaine dacquisition

Capteur de pression

Conditionneur

Capteur de position

Capteur de tempeacuterature

Conditionneur avec affichage

Appareil de mes avec sorties pour acq

Centrale de mesure

Centrale de mesure

Carte dacquisition ISAMulti IO Analog in multiplexeacute

Carte dacquisition PCIMulti IO multi AD

Module dacquisition USBMulti IO multi AD

Le PC

15 Composants

Techniques de mesure K Agbeviade 8

2 Les Signaux

Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental

Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)

Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement

Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement

Traitement du signalIntroduction

S(t)

(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 9

21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique

Classification temporelle

Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire

ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps

Signal deacuteterministe

ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique

Signal aleacuteatoire

Traitement du signal Introduction

Techniques de mesure K Agbeviade 10

Traitement du signal Introduction

Peacuteriodiques Stationnaires

Deacuteterministes

Non Peacuteriodiques

Pseudo

aleacuteatoires

Quasi

Peacuteriodiques

TransitoiresPeacuteriodiques

composites

Ergodiques Non

Ergodiques

Non

Stationnaires

Signaux

Classification

speacuteciale

Aleacuteatoires

Sinusoiumldaux

211 Arbre de la classification temporelle

Techniques de mesure K Agbeviade 11

Traitement du signal Introduction

-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier

Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)

Peacuteriodiques composites

Pseudo aleacuteatoire

212 Classification signaux deacuteterministes

Techniques de mesure K Agbeviade 12

Traitement du signal Introduction

212 Classification signaux deacuteterministes

-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T

Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel

TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere

univ-angers

Y(t)

t

Techniques de mesure K Agbeviade 13

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps

Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique

Non ergodique

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 14

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 6: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 6

Concevoir la chaine dacquisition

14 Architecture DIl sagit de combinaisons des cas preacuteceacutedents Il faut alors reacutesoudre le problegraveme de synchronisation des donneacutees provenant des divers eacutequipements

Exemple Architecture A et C

Capteur 1

Capteur 2

Capteur 3

Capteur n

PC

RS 232GPIBUSBFire wireEthernet etc

u i f

u i f

u i f

Centrale de mesureu i f

u i f

u i f

u i f

Capteur n+1

Capteur n+2

Capteur n+3

Conditionneur n+1

Conditionneur n+2

Convertisseur ADmultiples

ou multiplexeacutes

Bus PCu i f

u i f

Techniques de mesure K Agbeviade 7

Concevoir la chaine dacquisition

Capteur de pression

Conditionneur

Capteur de position

Capteur de tempeacuterature

Conditionneur avec affichage

Appareil de mes avec sorties pour acq

Centrale de mesure

Centrale de mesure

Carte dacquisition ISAMulti IO Analog in multiplexeacute

Carte dacquisition PCIMulti IO multi AD

Module dacquisition USBMulti IO multi AD

Le PC

15 Composants

Techniques de mesure K Agbeviade 8

2 Les Signaux

Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental

Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)

Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement

Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement

Traitement du signalIntroduction

S(t)

(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 9

21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique

Classification temporelle

Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire

ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps

Signal deacuteterministe

ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique

Signal aleacuteatoire

Traitement du signal Introduction

Techniques de mesure K Agbeviade 10

Traitement du signal Introduction

Peacuteriodiques Stationnaires

Deacuteterministes

Non Peacuteriodiques

Pseudo

aleacuteatoires

Quasi

Peacuteriodiques

TransitoiresPeacuteriodiques

composites

Ergodiques Non

Ergodiques

Non

Stationnaires

Signaux

Classification

speacuteciale

Aleacuteatoires

Sinusoiumldaux

211 Arbre de la classification temporelle

Techniques de mesure K Agbeviade 11

Traitement du signal Introduction

-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier

Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)

Peacuteriodiques composites

Pseudo aleacuteatoire

212 Classification signaux deacuteterministes

Techniques de mesure K Agbeviade 12

Traitement du signal Introduction

212 Classification signaux deacuteterministes

-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T

Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel

TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere

univ-angers

Y(t)

t

Techniques de mesure K Agbeviade 13

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps

Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique

Non ergodique

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 14

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 7: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 7

Concevoir la chaine dacquisition

Capteur de pression

Conditionneur

Capteur de position

Capteur de tempeacuterature

Conditionneur avec affichage

Appareil de mes avec sorties pour acq

Centrale de mesure

Centrale de mesure

Carte dacquisition ISAMulti IO Analog in multiplexeacute

Carte dacquisition PCIMulti IO multi AD

Module dacquisition USBMulti IO multi AD

Le PC

15 Composants

Techniques de mesure K Agbeviade 8

2 Les Signaux

Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental

Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)

Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement

Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement

Traitement du signalIntroduction

S(t)

(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 9

21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique

Classification temporelle

Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire

ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps

Signal deacuteterministe

ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique

Signal aleacuteatoire

Traitement du signal Introduction

Techniques de mesure K Agbeviade 10

Traitement du signal Introduction

Peacuteriodiques Stationnaires

Deacuteterministes

Non Peacuteriodiques

Pseudo

aleacuteatoires

Quasi

Peacuteriodiques

TransitoiresPeacuteriodiques

composites

Ergodiques Non

Ergodiques

Non

Stationnaires

Signaux

Classification

speacuteciale

Aleacuteatoires

Sinusoiumldaux

211 Arbre de la classification temporelle

Techniques de mesure K Agbeviade 11

Traitement du signal Introduction

-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier

Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)

Peacuteriodiques composites

Pseudo aleacuteatoire

212 Classification signaux deacuteterministes

Techniques de mesure K Agbeviade 12

Traitement du signal Introduction

212 Classification signaux deacuteterministes

-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T

Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel

TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere

univ-angers

Y(t)

t

Techniques de mesure K Agbeviade 13

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps

Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique

Non ergodique

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 14

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 8: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 8

2 Les Signaux

Les signaux recueillis sur un dispositif expeacuterimental

Sont des fonctions reacuteelles(S(xt)) de variables reacuteelles (xt)

Afin dalleacuteger leacutecriture nous faisons lhypothegravese geacuteneacuterale que les signaux sont adeacutequat au traitement

Certaines caracteacuteristiques du signal nous permettent de le classifier den deacuteduire la nature agrave fin de traitement

Traitement du signalIntroduction

S(t)

(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 9

21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique

Classification temporelle

Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire

ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps

Signal deacuteterministe

ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique

Signal aleacuteatoire

Traitement du signal Introduction

Techniques de mesure K Agbeviade 10

Traitement du signal Introduction

Peacuteriodiques Stationnaires

Deacuteterministes

Non Peacuteriodiques

Pseudo

aleacuteatoires

Quasi

Peacuteriodiques

TransitoiresPeacuteriodiques

composites

Ergodiques Non

Ergodiques

Non

Stationnaires

Signaux

Classification

speacuteciale

Aleacuteatoires

Sinusoiumldaux

211 Arbre de la classification temporelle

Techniques de mesure K Agbeviade 11

Traitement du signal Introduction

-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier

Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)

Peacuteriodiques composites

Pseudo aleacuteatoire

212 Classification signaux deacuteterministes

Techniques de mesure K Agbeviade 12

Traitement du signal Introduction

212 Classification signaux deacuteterministes

-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T

Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel

TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere

univ-angers

Y(t)

t

Techniques de mesure K Agbeviade 13

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps

Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique

Non ergodique

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 14

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 9: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 9

21 ClassificationParmi les diverses classifications existantes nous nous bornerons aux classifications temporelle et eacutenergeacutetique

Classification temporelle

Lobservation de leacutevolution du signal en fonction du temps permet de savoir si le signal est deacuteterministe ou aleacuteatoire

ndashEvolution preacutevisible en fonction du temps

Signal deacuteterministe

ndash Evolution du signal impreacutevisible en fonction du temps eacutevaluation du signal par un modegravele statistique

Signal aleacuteatoire

Traitement du signal Introduction

Techniques de mesure K Agbeviade 10

Traitement du signal Introduction

Peacuteriodiques Stationnaires

Deacuteterministes

Non Peacuteriodiques

Pseudo

aleacuteatoires

Quasi

Peacuteriodiques

TransitoiresPeacuteriodiques

composites

Ergodiques Non

Ergodiques

Non

Stationnaires

Signaux

Classification

speacuteciale

Aleacuteatoires

Sinusoiumldaux

211 Arbre de la classification temporelle

Techniques de mesure K Agbeviade 11

Traitement du signal Introduction

-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier

Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)

Peacuteriodiques composites

Pseudo aleacuteatoire

212 Classification signaux deacuteterministes

Techniques de mesure K Agbeviade 12

Traitement du signal Introduction

212 Classification signaux deacuteterministes

-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T

Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel

TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere

univ-angers

Y(t)

t

Techniques de mesure K Agbeviade 13

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps

Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique

Non ergodique

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 14

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 10: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 10

Traitement du signal Introduction

Peacuteriodiques Stationnaires

Deacuteterministes

Non Peacuteriodiques

Pseudo

aleacuteatoires

Quasi

Peacuteriodiques

TransitoiresPeacuteriodiques

composites

Ergodiques Non

Ergodiques

Non

Stationnaires

Signaux

Classification

speacuteciale

Aleacuteatoires

Sinusoiumldaux

211 Arbre de la classification temporelle

Techniques de mesure K Agbeviade 11

Traitement du signal Introduction

-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier

Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)

Peacuteriodiques composites

Pseudo aleacuteatoire

212 Classification signaux deacuteterministes

Techniques de mesure K Agbeviade 12

Traitement du signal Introduction

212 Classification signaux deacuteterministes

-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T

Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel

TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere

univ-angers

Y(t)

t

Techniques de mesure K Agbeviade 13

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps

Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique

Non ergodique

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 14

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 11: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 11

Traitement du signal Introduction

-Signaux peacuteriodiques de forme y(t)=y(t+kT) k entier

Sinusoidaux forme y(t)= Asin(2π(t+φ)T)

Peacuteriodiques composites

Pseudo aleacuteatoire

212 Classification signaux deacuteterministes

Techniques de mesure K Agbeviade 12

Traitement du signal Introduction

212 Classification signaux deacuteterministes

-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T

Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel

TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere

univ-angers

Y(t)

t

Techniques de mesure K Agbeviade 13

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps

Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique

Non ergodique

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 14

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 12: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 12

Traitement du signal Introduction

212 Classification signaux deacuteterministes

-Signaux non peacuteriodiques nobeacuteissent pas agrave loi de reacutepeacutetition de peacuteriode T

Quasi peacuteriodiqueLes peacuteriodes des principales composantes du signal semblent identiques mais ne le sont pas Leur rapportdonne un nombre irrationnel

TransitoireCe signal est le plus souvent produit lors du passage dun eacutetat agrave un autre dun systegravemeil est par nature eacutepheacutemegravere

univ-angers

Y(t)

t

Techniques de mesure K Agbeviade 13

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps

Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique

Non ergodique

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 14

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 13: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 13

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques (moyenne eacutecart type hellip) du signal ne changent pas au cours du temps

Ergodique Si les moyennes statistiques du signal stationnaire sont eacutequivalentes aux moyennes temporelles alors le signal aleacuteatoire stationnaire est ergodique

Non ergodique

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 14

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 14: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 14

Traitement du signal Introduction

213 Classification signaux aleacuteatoires

-Signaux non stationnaires Les proprieacuteteacutes statistiques du signal changent au cours du temps

t

S(t)

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 15: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 15

Traitement du signal Introduction

214 Classification eacutenergeacutetiqueLe calcul de la puissance ou de leacutenergie contenue dans le signal permet de le classer dans lune des deux cateacutegories agrave savoir eacutenergie finie ou puissance finie

-Tout signal x(t) dont leacutenergie est borneacutee

et dont la puissance moyenne est nulle est dit agrave

eacutenergie finie Cest le cas des signaux transitoires deacuteterministes ou aleacuteatoires

-Tout signal x(t) dont puissance moyenne est finie

et dont leacutenergie tend vers linfini est dit agrave puissance finie

Cest le cas des signaux peacuteriodiques quasi peacuteriodiques et des signaux aleacuteatoires permanents

2

( )W dtx t

22

2

10lim ( )

T

TT

TP dtx t

22

2

10 lim ( )

T

TT

Tdtx t

2

( )W dtx t

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 16: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 16

Traitement du signal Introduction

22 Autres classifications

Il y en a deux autres principales que nous citons simplementLa classification spectrale (bandes de freacutequence largeur des

bandes )La classification morphologique (continu eacutechantillonneacute

numeacuteriquehellip)

Conclusions sur les classificationsDans la suite du cours on traitera les signaux deacuteterministes

Le traitement des signaux aleacuteatoires fait appel agrave dautres outils car la transformeacutee de Fourier nest pas directement applicable

Lergodiciteacute simplifie lanalyse de signaux aleacuteatoires(SASE)La moyenne la covariance la correacutelation la densiteacute spectrale de puissanceSont les outils de base pour le traitement des signaux aleacuteatoires

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 17: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 17

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

3 Echantillonnage31 Echantillonnage (vision temporelle)Les signaux physiques du dispositif sous test doivent ecirctre eacutechantillonneacutes en vue des calculs numeacuteriques

t

x(k)

kTe

Eacutechantillon x(k) = x(kTe)t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

Le signal temporel eacutechantillonneacute est obtenu

par simple produit entre x(t) et PD(t)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )D e e e

k k

xe t x t P t x kT t kT x k t kT

t = kTe x(kTe) est tout simplement leacutechantillon x(k)

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 18: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 18

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

Remarques sur leacutechantillonnage

La peacuteriode deacutechantillonnage Te doit ecirctre constante par commoditeacute

Dans leacutechantillonnage reacuteel les impulsions du peigne on une dureacutee non nulle

Lors de leacutechantillonnage reacuteel afin que le convertisseur ne voit pas les changements du signal durant la conversion induisant des erreurs le signal est maintenu (hold) pendant un court instant

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 19: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 19

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Afin de preacutesenter quelques lois importantes de leacutechantillonnage nous anticipons sur quelques notions et proprieacuteteacutes de la transformeacutee de Fourier

t

x(t) Signal continu x(t)

t kTe

PD(t)

Peigne de Dirac de peacuteriode Te

( ) ( )D e

k

P t t kT

La transformeacutee de Fourier x(f) du signal x(t) est

graphiquement cela correspond agrave une bande de freacutequence occupeacutee par le signal

2( ) ( ) j ftx f x t e dt

La transformeacutee de Fourier PD(f) du peigne de Dirac PD(t) est

graphiquement cela correspond agrave des impulsions de Dirac espaceacute de fe =1Te

2( ) ( ) ( )j ft

e e e

k k

x f t kT e dt f f kf

f-fB +fB

x(f)

f

f

PD(f)

+2fe-fe +fe

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 20: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 20

Traitement numeacuterique du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Lapplication du theacuteoregraveme de Plancherel (correspondance du produit dans un domaine (t) au produit de convolution dans lautre (f) et reacuteciproquement permet de trouver la TF du signal eacutechantillonneacute

Le signal freacutequentiel eacutechantillonneacute est obtenu

par produit de convolution entre x(f) et PD(f)

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )k D e e e e

k k

x f x f P f x f f f kf f x f kf

f

-fB +fB

x(f)

PD(f)

+2fe-fe +fe

xk(f)

+2fe-fe +fe

Le spectre du signal eacutechantillonneacute correspond agrave une peacuteriodisation aux multiples entiers de fe du spectre du signal agrave eacutechantillonner Cela eacutevoque aussi une modulation en amplitude

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 21: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 21

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

32 Echantillonnage (vision freacutequentielle)Conseacutequences

On deacutefinit fe2 comme la freacutequence de Nyquist

Si la composante freacutequentielle la plus eacuteleveacutee de x(f) est plus grande que la freacutequence de Nyquist on aura un recouvrement de spectre et deacutenaturation des signaux initiaux Dougrave le theacuteoregraveme de ShanonfB le fe2 ou fe ge 2bullfB

Lutilisation dun filtre de garde dont la freacutequence de coupure est au maximum agrave fe2 permet deacuteviter le recouvrement de spectre

+fe2

xk(f)

+fe0f

Zone de recouvrement

+fe2

xk(f)

+fe0f

+fB

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 22: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 22

Traitement du signalNumeacuterisation dun signal

33 Quantification (lineacuteaire)Le signal eacutechantillonneacute et maintenu doit ecirctre quantifieacute cest-agrave-dire quon lui affecte une valeur numeacuterique entiegravere la plus proche possible de la vrai valeur

Soit X la plage max admissible en entreacutee du quantificateurSoit N le nombre de valeurs que peut prendre le signalSoit ΔX lincreacutement de quantification Alors X=Nbull ΔX + εε est lerreur de quantification Compte tenu du seuil pour larrondi ε=+- ΔX 2

lerreur relative car Ngtgt1

N=2n avec n =nbre de bits du convertisseur

X1 12e

X X 2N 1 2N

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 23: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 23

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

4 Meacutethodes de calcul du spectreLa repreacutesentation freacutequentielle des signaux facilite lapproche et lanalyse des pheacutenomegravenes vibratoiresLa meacutethode de calcul du spectre du signal deacutepend de sa classification

Signal temporel

Repreacutesentation Meacutethode de calcul

Signal freacutequentiel

Repreacutesentation

Continu et peacuteriodique

Seacuterie de Fourier Discret et non peacuteriodique

Continu et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et non peacuteriodique

Discret et non peacuteriodique

Inteacutegrale de Fourier

Continu et peacuteriodique

Discret et peacuteriodique

Transformeacutee de Fourier discregravete

Discret et peacuteriodique

t

x(t)

f

x(f)

t

x(t)

t

x(t)

t

x(t)

f

x(f)

f

x(f)

f

x(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 24: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 24

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Sapplique agrave un signal continu de peacuteriode

si les conditions de convergence de la seacuterie sont remplies

continue et deacutefinie sur lintervalle

peut se mettre sous forme dune seacuterie de fonctions sinusoiumldales

Valeur moyenne du signal

41 Seacuterie de Fourier

0

0

1T

fx(t)

x(t)

0 k 0 k 0 k 0 kk 1 k 0

x(t) a a cos(k t) b sin(k t) A cos(k t)

0 0T T

2 2

x(t)

0

0

t T

0

0 t T

1a x(t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1a x(t)cos(k t)dt

T

0t T

k 0

0 t

1b x(t)sin(k t)dt

T

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 25: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 25

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

412 Seacuterie de Fourier autres formes

Vectorielle

modulephase

Complexe

Proprieacuteteacutessi x(t) est paire alorssi x(t) est impaire alorsSymeacutetrie par glissement coeffs k impair nulsSym par gliss amp inversion coeffs k pair nuls

k 0 kk 0

x(t) A cos(k t)

2 2

k k kA a b

kk

k

barctg( )

a

0( jk t )

kk

x(t) C e

0

0

t T

( jk t )

k

0 t

1C x(t)e dt

T

x(t) x( t) kkb 0

x(t) x( t) ka 0 kT0

x(t) x(t ) t2

T0

x(t) x(t ) t2

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

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Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

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Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

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Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 26: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 26

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

42 Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de Fourier

Elle sapplique agrave un signal continu ou discret non peacuteriodique Sa formulation suppose un nombre infini deacutechantillon ce qui la rend peu pratique pour un traitement numeacuterique

Si linteacutegrale du signal a une valeur finie alors

est la transformeacutee de Fourier de x(t)

Eacutetant complexe sa partie reacuteelle vaut

sa partie imaginaire vaut

est la transformeacutee inverse de Fourier

dt)t(x

dte)t(x)f(x )ft2j(

)f(x

dt)ft2cos()t(x)f(xRe

dt)ft2sin()t(x)f(xIm

dfe)f(x)t(x)f(xF )ft2j(1

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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

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Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 27: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 27

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

Transformeacutee de Fourier ou Inteacutegrale de FourierQuelques proprieacuteteacutes

Domaine temporel Domaine freacutequentiel

Impulsion de Dirac(court dans le temps)

Spectre infini(large en freacutequences)

Signal infiniment large Impulsion courte

Porte Sinus cardinal

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 28: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 28

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Le traitement numeacuterique des donneacutees nous oblige agrave eacutechantillonner le signal temporel x(t) ceci conduit agrave une peacuteriodisation dans le domaine freacutequentiel

Le calcul de la transformeacutee de Fourier discregravete sur N eacutechantillons est un eacutechantillonnage dans le domaine freacutequentiel conseacutequence une peacuteriodisation dans le domaine temporel

On se trouve dans le dernier cas des meacutethodes de calcul de notre tableau

Quelque soit le signal la TFD sapplique

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 29: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 29

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

43 Transformeacutee de Fourier Discregravete

Soit un signal de N eacutechantillons xk la suite xm est la TFD du signal x(t) ayant produit les eacutechantillons xk

est la transformeacutee inverse

Reacutepartition des raies freacutequentielles Linformation pertinente se trouve entre 0 et fe2 Si N est pair le rang de la derniegravere raie est Si N est impair ce rang est

1N

0k

N

mk2j

km exx

12

N

2

1N

f

Fe2

0

Δf

A

f=Δf(N2)-1 N pair

f=Δf(N-1)2) N impair2Δf

1N

0m

N

mk2j

mk exN

1x

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 30: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 30

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

431 Transformeacutee de Fourier Rapide (FFT)

Le calcul dune TFD dun signal de N eacutechantillons requiegravere N2 multiplications complexes (gourmandes en temps de calcul) etN(N-1) additions complexes

Lalgorithme FFT reacuteduit le nombre de multiplication agrave (N2)log(N)A partir de N=512 le gain de temps est de plus de 100 et augmente vite avec le nbre deacutechantillons(372 pour N=2048)

La principale exigence de la FFT est quelle neacutecessite un nombre deacutechantillons en puissance de deux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 31: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 31

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

432 Reacutesolution freacutequentielle

Elle vaut Pour lameacuteliorer on agit geacuteneacuteralement sur N car les actions sur fe ont une incidence sur

ndashle respect de Shannonndashle mateacuteriel (filtre de garde freacutequence d horloge du CAN)

Laugmentation de la preacutecision en freacutequence est obtenue par augmentation du nombre deacutechantillon N ce qui revient agrave eacutelargir la fenecirctre dobservationSi des eacutechantillons suppleacutementaires ne sont pas disponibles on procegravede au ZERO PADDING qui consiste en lajout deacutechantillons de valeurs nulles

N

ff e

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 32: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 32

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrageLe calcul dune TFD neacutecessite N eacutechantillons Selon le nombre deacutechantillons deacutesireacutes la troncature peut ecirctre vue dans le domaine temporel comme un produit dune fenecirctre rectangulaire de largeur variable et du signal eacutechantillonneacuteCe qui dans le domaine freacutequentiel correspond agrave un produit de convolution entre la TF du signal eacutechantillonneacute et une fonction sinus cardinal reacutesultat de la TF de la fenecirctre

t

x(k)

t

w(t)

t

x(k)w(t)

f

w(f)

f

x(f)

f

x(f)w(f)

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 33: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 33

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4331 Pheacutenomegravene de GIBBSLes discontinuiteacutes preacutesentes dans le signal eacutechantillonneacute et tronqueacute suite au fenecirctrage rectangulaire (flancs raides du rectangle)creacuteent des oscillations sur le signal freacutequentiel Lamplitude des oscillations reste constante quelque soit N alors que leur freacutequence croicirct avec N Afin de minimiser ces erreurs on utilise plusieurs types de fenecirctresLes TF de toutes ces fenecirctres sont des fonctions Sinc caracteacuteriseacutees par la largeur agrave -3dB et -6dB du lobe principal le niveau du 1er lobe secondaire et le taux de deacutecroissance des lobes secondaires

Pente de deacutecroissance

Niveau du1er lobe secondaireLargeur agrave -3dB

Largeur agrave -6dB

A dB

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 34: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 34

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4332 Quelques fenecirctres courantes

Fenecirctre AllureTemporelle

Equation Largeur Lobe Princ

-3dB

Largeur Lobe Princ

-6dB

Niveau 1er lobe

sec

Pente datt des lobes sec

Rect Wk=1K=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs089N 121N -13 dB -6 dBoct

Hamming

K=0hellipN-1Wk=0 ailleurs

13N 181N -43 dB -6 dBoct

HanningK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

144N 2N -32 dB -18 dBoct

BlackmanK=0hellipN-1

Wk=0 ailleurs

168N 235N -58 dB -18 dBoct

k

2W 054 046cos( k)

N

k

2W 05 05cos( k)

N

k

2 4W 042 05cos( k) 08cos( k)

N N

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 35: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 35

Traitement du signalRepreacutesentation freacutequentielle

433 Effet de la troncature et fenecirctrage4333 Fenecirctres courantes eacuteleacutements de choix

Fenecirctre AllureTemporelle

Remarques

Rect Offre la plus faible largeur spectrale au sommet donc bien indiqueacute pour une identification fine dune freacutequence Les lobes secondaires eacutetant importants les mesures damplitude des raies lateacuterales au sommet sont erroneacutees

Hamming Meilleur compromis en reacutesolution freacutequentielle et en amplitude

HanningA peine moins bon que le Hamming

Blackman Lobes secondaires fortement atteacutenueacutes tregraves bonne preacutecision sur lamesures en amplitude des raies preacutesentes dans le lobe principal Compte tenu de sa largeur elle offre la moins bonne reacutesolution freacutequentielle

1

0 k

1

0 k

1

0 k

1

0 k

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 36: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 36

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes51 Convolution discregraveteLe produit de convolution permet dobtenir agrave la sortie dun systegraveme lineacuteaire causal et invariant dans le temps son signal de sortie

xi leacutechantillon appliqueacute agrave lentreacutee gk-i leacutechantillon correspondant de la reacuteponse impulsionnelle du systegravemegk peut ecirctre consideacutereacute comme un signal car cest la reacuteponse du systegraveme exciteacute par un Dirac Pour N eacutechantillons de x et g le produit de convolution seacutecrit

k k k i k ii

y x g x g

N 1

k k k i k ii 0

y x g x g k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 37: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 37

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantes52 Correacutelation discregraveteLa correacutelation (intercorreacutelation) permet de mesurer agrave chaque instant la ressemblance entre deux signaux Le reacutesultat est dautant eacuteleveacute que les signaux se ressemblent Lautocorreacutelation montre le degreacute de ressemblance entre deux valeurs dun mecircme signalLa correacutelation est utiliseacutee pour mesurer et ameacuteliorer le rapport signal sur bruit pour eacutevaluer des deacutecalages etc Soit xi et yi les eacutechantillons des deux signaux

Lintercorreacutelation des deux signaux vaut

Pour N eacutechantillons de xi et yi le produit de correacutelation seacutecrit

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

xy k i i ki

C x y k

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 0N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 38: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 38

Traitement du signalautres opeacuterations

5 Autres opeacuterations courantesRemarques sur la convolution et la correacutelation discregraveteCes deux opeacuterations requiegraverent un deacutecalage de signal sur toute la plage temporelle par lintermeacutediaire de lindice i Afin deacuteviter les distorsions sur le reacutesultat on recopie les eacutechantillons (0hellipN-1) en avant (-(N-2)hellip-1)et apregraves (Nhellip2N-1) on peacuteriodise le signal et on fait le calcul sur 2N-1 eacutechantillons

Pour la convolution la relation devient

Pour la correacutelation la relation devient

Remarque Diffeacuterence entre convolution et correacutelation les indices i-k et k-i

N 1

xy k i i ki 0

C x y k 02N 1

N 1

k i k ii 0

y x g k 02N 1

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

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Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 39: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 39

Traitement du signalfiltrage

6 FiltrageIl peut ecirctre neacutecessaire de modifier la distribution des composantes freacutequentielles dun signal afin den amplifier certaines (exsignal) ou den atteacutenuer dautres (exbruit) ce sont les filtres qui permettent datteindre ces objectifsLe sujet eacutetant vaste et pas lobjet premier de ce cours nous nous limitons agrave des notions geacuteneacuterales permettant de ne pas ecirctre deacutemuni si lobtention de signaux adeacutequat lexigeait61 Classification (nature)

-Moyenne glissante

-Meacutethode de la fenecirctre

-Echantillonnage en freacuteq

Filtres

Analogiques Numeacuterique

Reacuteponse Imp

Finie

Reacuteponse Imp

Infinie

-Synthegraveses par eacutequivalences

Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

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Techniques de mesure K Agbeviade 40

Traitement du signalfiltrage

62 Classification (type)Il existe cinq principaux types de filtres selon la forme de leur reacuteponse

f

|H(s)|

Passe basf

|H(s)|

Passe bandef

|H(s)|

Passe haut

f

|H(s)|

Coupe bandef

|H(s)|

Passe tout ou deacutephaseur

Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

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Techniques de mesure K Agbeviade 41

Traitement du signalfiltrage

63 Gabarit dun filtreLe gabarit permet de deacuteterminer les performances dun filtre

Gabarit dun filtre passe bas

En vue dun dimensionnement ou dune comparaison tous les autres types de filtre peuvent se ramener par changement de variable au filtre passe bas de reacutefeacuterence normaliseacute avec leacutequation prototype correspondante

Amax

Amin

Freq

stop

f

|H(s)|

Freq

coupure

OndulationDs BP

Zone de transition

Bande coupeacuteeBande

passante

Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

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N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

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Techniques de mesure K Agbeviade 42

Traitement du signalfiltrage

64 Speacutecificiteacute des filtresSelon les caracteacuteristiques attendues du filtre on choisira un des types reacutepertorieacutes dans le tableau

65 Ordre du filtrePlus il est eacuteleveacute plus la pente dans la zone de transition est eacuteleveacutee

TypeOndulation

Dans la bande passante

PhaseZone de transition

Bessel Leacutegegravere atteacutenuation La plus lineacuteaire

Butterworth Reacuteponse la plus plate Leacutegegraverement distordu

Tchebytchev Plusieurs niveauxdondulation

Distortions Plus raide que les preacuteceacutedentes

Elliptiques Ondulations La plus distordue Les plus raides

Techniques de mesure K Agbeviade 43

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

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Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

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1

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)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

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Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

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Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesLeur reacutealisation requiegravere du mateacuteriel eacutelectronique et ils offrent peu de souplesse par rapport au changement des performances Une application type est le filtre anti-repliement avant le CANLes eacutetapes dune mise en œuvre comprennentEtablissement du gabarit deacuteduction des paramegravetres ( lordre les freacutequences de coupurehellip)Choix du typeReacuteglage des appareils (pour des filtres variables precircts agrave lemploi) Deacuteduction des fonctions de transmission et particularisation aux

paramegravetres du gabarit pour obtenir la fonction de transfert speacutecifique ex Bessel3iegraveme ordre 60dBdec Fc=1KHz

2

1Ftransmission H(s)

(04771s 0996s 1)(0756s 1)

9 2 6 6

1Ftransfert H( )

(12083E (j ) 158518E j 1)(12032E j 1)

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Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

2

Nk N

kj2

1

e

0N

)ez(1

)NT

kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

ndashTheacuteorie et traitement des signaux Freacutedeacuteric de Coulon PPUR

ndashTraitement numeacuterique du signal Kidiyo KpalmaVeronique Haese-Coat Ellipse

ndashTechniques de mesure polycopieacute EPFL

ndashLe signal deacuteterministe D Declercq-A Quinquis Hermes

ndashTraitement numeacuterique des signaux Murat Kunt PPUR

ndashCours de meacutecatronique K Agbeviade EPFL

ndashIngeacutenierie du signal Philippe Courmontagne Ellipse

ndashCommande numeacuterique de systegravemes dynamiques Roland Longchamp PPUR

Bibliographie

Page 44: Aperçu des chaines d'acquisition de données Et Traitement ... · Techniques de mesure K. Agbeviade 12 Traitement du signal Introduction 2.1.2 Classification: signaux déterministes-Signaux

Techniques de mesure K Agbeviade 44

Traitement du signalfiltrage

67 Filtres analogiquesChoix de la structure eacutelectrique (passif actif Sallen-KeyRauchhellip) pour le filtre preacuteceacutedent on choisit un Sallen-Key 2iegraveme et un SK 1er ordre

Identification des termes des fonctions de transfert et calcul des composants

Techniques de mesure K Agbeviade 45

Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

Techniques de mesure K Agbeviade 46

Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

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Techniques de mesure K Agbeviade 47

Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

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kj

e

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N

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2

N

2

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kj2

1

e

0N

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)NT

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N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

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Bibliographie

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Traitement du signalfiltrage

68 Filtres NumeacuteriquesSoit la structure suivante avec x(n) et y(n) les eacutechantillons en entreacutee et en sortie et h(n) la loi de filtrage

Est leacutequation aux diffeacuterences du filtre lorsque tous les coefficients bm

sont nuls le filtre est non reacutecursif ou agrave reacuteponse impulsionnelle finie

681 Filtres agrave RIFLes filtres agrave reacuteponse impulsionnelle finie ont lavantage decirctre stables et

linconveacutenient decirctre plus gourmand en temps de calcul

N

0mm

N

0nn )mk(yb)nk(xa)k(y

X(n)y(n)h(n)

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Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

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1)k(y

n

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Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

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2

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Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

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Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

Les donneacutees acquises sont geacuteneacuteralement traiteacutees avec des logiciels tel que

MatlabLabviewVEE proExcel

Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

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Bibliographie

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Traitement du signalfiltrage

6811 Filtres RIF agrave moyenne glissanteSi le coefficient an de tous les Eacutechantillons vaut 1N N eacutetant la profondeur de filtrage on a affaire agrave un filtre agrave moyenne mobile dont leacutequation aux diffeacuterences prends la forme

Ce genre de filtre facile agrave impleacutementer est assez pratique pour lisser un signal

6812 Filtres RIF meacutethode de la fenecirctreDe leacutechantillonnage de la reacuteponse impulsionnelle h(s) on deacuteduit h(k) Leacutequation aux diffeacuterences a la forme

1N

0n

)nk(xN

1)k(y

n

0k

)kn(x)k(h)n(y

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Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

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e

0 ee)NT

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N

1)m(h

2

N

2

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1

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)ez(1

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kj(T

N

z1)z(T

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Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

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Traitement du signalfiltrage

Autres filtres agrave RIF6813 A eacutechantillonnage en freacutequenceA partir du gabarit freacutequentiel eacutechantillonneacute et de contraintes sur la phase on calcule les coefficients du filtre Pour une phase lineacuteaire les coefficients sont donneacutes par

6814 Filtres agrave RIF reacutecursifsIls ont moins de coefficients pour un ordre eacuteleveacute et sont par conseacutequent plus rapide par contre il y a apparition de pocircles donc risque dinstabiliteacuteLa transmitance dun tel filtre a la forme ci-dessous

12

N

2

Nk

N

mjk2

kj

e

0 ee)NT

k(T

N

1)m(h

2

N

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kj(T

N

z1)z(T

Techniques de mesure K Agbeviade 48

Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

Techniques de mesure K Agbeviade 49

Traitement numeacuterique du signalapplication

7 Logiciels

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Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

Techniques de mesure K Agbeviade 50

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Traitement du signalfiltrage

682 Filtres agrave RII (Reacuteponse Impulsionnelle Infini)

Si leacutequation aux diffeacuterences possegravede au moins un coefficient an et bn on a un filtre agrave structure reacutecursive ou agrave RIILa synthegravese du filtre sobtient par transposition de la reacuteponse continue en discretSelon les objectifs deacutesireacutes on utilise leacutequivalence de la reacuteponse impulsionnelle dEuler de Tustin ou bilineacuteaireLes filtres RII sont plus rapides mais peuvent ecirctre instables car on a des pocircles et des zeacuteros la stabiliteacute doit ecirctre veacuterifieacutee

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Tous ces programmes ont des fonctions permettant de faire tous les traitements numeacuteriques standards

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