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Signal

électrique

Traitement du signal

• Télécommunications, radiocommunications (ADSL, GSM, UMTS, TNT, Wifi, …)• Image et son (JPEG, MPEG, MP3, Filtrage, Annulation écho, Analyse, Synthèse, …)• Médical (Échographie, Imagerie, Biosignaux, …)• Radar, géophysique, Acoustique (sous-marine)• …

Grandeur

physique

Milieu de

transmissionCapteur

Bruit

Traitement du

signal

Exploitation

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Signaux et Systèmes

Les signaux :- Déterministes

- Impulsionnels

- Périodiques

- Aléatoires : bruits (bruit blanc), données, information, …

Les systèmes :– Linéaires Invariant dans le Temps (SLIT) : canaux de transmission,

composants électroniques passifs (R,L,C), filtres analogiques et numériques, …

� régis par l'opération de convolution� ayant les signaux sinusoïdaux comme fonctions propres

� Fonction de transfert et analyse de Fourrier

– Non linéaires ou non stationnaires : non linéarités (saturation),

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Traitement Numérique du Signal

Numérisation : double discrétisation�Discrétisation temporelle : Echantillonnage�Discrétisation numérique : Quantification

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Plan du coursIntroduction

Rappels� Systèmes linéaires invariants dans le temps� Analyse de Fourier

Echantillonnage� Théorème de l'échantillonnage� Bruit de quantification

Filtrage numérique� Filtre à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)� Filtre à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)� Transformée en Z

Transformée de Fourier Discrète (TFD)� Transformée de Fourier Discrète Rapide : FFT (Fast Fourier Transform)

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Références

Les livres :• Traitement numérique du signal, Maurice BELLANGER (Dunod) ;• Méthodes et techniques de traitement du signal, J.MAX (Masson) ;• Traitement numérique des signaux, M.KUNT (Dunod) ;• Digital signal processing, J. G. Proakis, D. G. Manolakis, (Prentice Hall)

Sur Internet :• Wikipédia : site en pleine progression• Luc Vandendorpe :

http://www.tele.ucl.ac.be/EDU/ELEC2900/tout_2900b.pdf• Joël Le Roux : http://users.polytech.unice.fr/~leroux/

Exercices, Devoirs surveillés et documents de cours :• http://luc.fety.free.fr• http://luc.fety.free.fr/ftp/EI1/• http://luc.fety.free.fr/ftp/ELE102/

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Systèmes linéaires invariants dans le temps

Linéarité :

Invariance temporelle :

Exemples : canaux de transmission, systèmes optiques, filtrage, …

)(tx SLIT )(ty

)(1 tx )(1 ty

)(2 tx )(2 ty

)()( 2211 txtx αα + )()( 2211 tyty αα +

)(tx )(ty

)( τ−tx )( τ−ty

Principede

superposition

Stationnarité

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Convolution

Réponse impulsionnelle :

Un signal quelconque peut être exprimé comme une somme d'impulsions :

En vertu de la linéarité et de l'invariance temporelle :

Cette opération s'appelle le produit de convolution :

)(tδ SLIT )(th

ττδτ dtxtx )()()( −= ∫+∞

∞−

τττ dthxty )()()( −= ∫+∞

∞−

)()()( thtxty ∗=

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Propriétés du produit de convolution

Le produit de convolution est– commutatif :

– associatif :

– distributif :

L'élément neutre est l'impulsion de Dirac :

La convolution par opère une translation de :

Évaluation graphique :

(Wikipedia)

)()()()( xfxgxgxf ∗=∗)())()(())()(()( xhxgxfxhxgxf ∗∗=∗∗

)()()()())()(()( xhxfxgxfxhxgxf ∗+∗=+∗

)()()()()( xfduuxfuxxf =−=∗ ∫+∞

∞−δδ

)()()()()( axfduuxfauaxxf −=−−=−∗ ∫+∞

∞−δδ

)( ax −δ a

duuxgufxgxf )()()()( −∗=∗ ∫+∞

∞−

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Fonctions propres

Fonctions telles que

Proposition : �

)()()( txdtxh ⋅=−∫+∞

∞−λτττ

)(tx )()()( txthtx ⋅=∗ λ

atetx =)( )()( )( txeeeetx aatata ⋅=⋅==− −−− ττττ

44 344 21

λ

ττ ττττ dehedeh aatta −+∞

∞−

−+∞

∞− ∫∫ ⋅= )()( )(

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Exprimer le signal d'entrée comme une somme de fonctions propres :

ou

Pour déterminer plus facilement le signal de sortie :

ou

est appelée " Transformée de ". est appelée " Fonction de Transfert ".

Base de fonctions propres

∑ ⋅=a

ateaXtx )()( ∫ ⋅=a

atdaeaXtx )()(

∑ ⋅⋅=a

at

aY

eaXaty43421

)(

)()()( λ ∫ ⋅⋅=a

at

aY

daeaXaty43421

)(

)()()( λ

)(tx )(tySLIT

)(aX )(tx

)(aλ )()()( aXaaY ⋅= λ

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Différentes transformées :

• Laplace :

• Fourier :

• En Z dans le cas des signaux échantillonnés, …

ωα jpa +== ∫ ⋅=p

ptdpepXtx )()(

fja π2= ∫+∞

∞−⋅= dfefXtx ftπ2)()(

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Exemple de décomposition

tftx 02cos)( π= ?)( =tySLIT

tfjtfj eetx 00 22

2

1

2

1)( ππ −+=

SLIT

SLIT

+

tfje 022

1 π

tfje 022

1 π−

tfjfH e 02

21

)0(π

tfjfH e 02

21

)0(π−

⋅−

))0(02cos()0()( ftffHty ϕπ +=

*)0()0( fHfHsi =−

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Exemple de SLIT

)(tx +τ

)()()( τ−+= txtxty

)1()(

22)(222

0

0000043421

fH

fjtfjtfjtfjtfj eeeee τππτπππ −− +=+→

)1()(

22)(222

0

0000043421

fH

fjtfjtfjtfjtfj eeeee−

+−−−−− +=+→ τππτπππ

tfjefHtfjefHtytfjetfjetftx 00

00

000

2)(212)(

21)(2

212

212cos)( πππππ −⋅−+⋅=→−+==

τπτπτπτπτπτπτπ 000

00

0000 cos2)(cos2)()( fj

effHetfj

effj

efj

efj

efH+⋅=−−⋅=−⋅−++=

)2cos(cos2)2(21)2(

21cos2)( 000

00000 τππτπτππτππτπ ftffftfjeftfjefty −⋅=

+−⋅+−⋅=

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Ce qu'il faut retenir

Les traitements des signaux sont le plus souvent des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps .

Ils sont régis par le produit de convolution :

est la réponse impulsionnelle du système. Elle caractérise entièrement le système.

Les transformées de Laplace et de Fourier sont très utilisées pour l'étude des SLIT car elles sontbasées sur des fonctions propres des SLIT de la forme .

Elles transforment le produit de convolution en produit simple.

)(tx )(tySLIT

τττ dthxthtxty )()()()()( −=∗= ∫+∞

∞−

)(th

ate

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Traitement Numérique du Signal

Le traitement numérique des signaux requiert leur numérisation :

1) Les calculateurs sont des systèmes discrets : Ils peuvent tout au plus mémoriser et calculer les valeurs des signaux à des instants dénombrables. � Il faut donc opérer une discrétisation temporelle :

L'Echantillonnage

2) Les mémoires disponibles dans les calculateurs sont elles-mêmes constituées d'un nombre fini de bits : Elles peuvent tout au plus mémoriser des valeurs arrondies des échantillons des signaux. � il s'agit d'une discrétisation numérique :

La Quantification

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L'Echantillonnage

L'échantillonnage d'un signal consiste à mesurer et ne conserver que ses valeurs à des instantsparticuliers :

Le signal obtenu est un signal discret :

est l'indice (ou indexe) des échantillons.

est le symbole de Kronecker :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

{ }LL 9.06.06.09.009.0)()( −−−==↑

nTexnx A

)(nx

)(txA

∑+∞

−∞=

−⋅=i

niixnx )()()( δ

)(nδ

=≠

=01

00)(

nsi

nsinδ

Nn∈

TeefTe

=1

: Période d'échantillonnageTe

: Fréquence d'échantillonnageef

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Reconstruction

Problème : Plusieurs signaux présentent les mêmes échantillons :

Il faut certainement compléter l'information contenue dans les échantillons pardes hypothèses supplémentaires.

Solution retenue : Hypothèses dans le domaine spectral

� Le théorème d'échantillonnage

τττ dthxthtxty )()()()()( −=∗= ∫+∞

∞−

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1

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Spectre d'un signal échantillonné

Considérons l'expression analogique du signal numérique :

Peut-on exprimer comme une somme de sinusoïdes ?

ou peut-être

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

-0.5

0

0.5

1 )(txA

)(txN

)(txN

)(txN

∑=f

ftjfN eatx π2)( ∫=

f

ftjfN dfeatx π2)(

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Spectre d'un signal échantillonné

Les signaux présentent tous les mêmes échantillons :tkftxtx eAk π2cos)()( ⋅=

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1

0

1

tfeπ2cos

tftx eA π2cos)( ⋅

tfeπ4cos

tftx eA π4cos)( ⋅

)(txA

)(txA

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Spectre d'un signal échantillonné

Si nous faisons la somme de ces signaux : ∑= + −

⋅+K

k ee

eAA

tekfjtekfj

tkftxtx1 22

2cos2)()(43421

ππ

π

1=K

2=K

3=K

4=K

5=K

)(txA

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-101

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-202

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-505

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

-505

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-10

010

Nous obtenons un signal constitué d'impulsions approchant .)(txN

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0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

Spectre d'un signal échantillonné100=K

8.8 8.9 9 9.1 9.2

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

10001000=K

⋅+⋅= ∑

=1

2cos2)()()(k

eAAN tkftxtxfetx π

∑∞

−∞=

−⋅=n

AN nTetnTextx )()()( δ

)(ˆ txN

)()(ˆ2

2

nTexdttx A

nTe

nTeN

Te

Te≈⋅∫

+

∑∞

−∞=

⋅⋅=k

tkfjAN

eetxfetx π2)()(

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0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1-1000

-800

-600

-400

-200

0

200

400

600

800

1000

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10-100

-80

-60

-40

-20

0

20

40

60

80

100

8.6 8.7 8.8 8.9 9 9.1 9.2 9.3 9.4

-5

0

5

10

15

20

25

30

35

Vérification du facteur 1=fe

10=fe

ef

0.86 0.87 0.88 0.89 0.9 0.91 0.92 0.93 0.94

-50

0

50

100

150

200

250

300

350

1=Te

1.0=Te

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Modulation � Périodisation

∑+∞

−∞=

−⋅=k

eAN kffXfefX )()(

∑∞

−∞=

⋅⋅=k

tkfjAN

eetxfetx π2)()(

)( fX A

f0

)( fXN

f0efef ef2ef2−

∫+∞

∞−= dfefXtx ftj

AAπ2)()(

∑ ∫∞

−∞=∫ −

∞+

∞−

+

∞+∞−

⋅=k

dtekffX

tkffjAN

ftjeA

e dfefXfetx444 3444 21

π

π

2)(

)(2)()(

)( eA ffX − )2( eA ffX −)( eA ffX +)2( eA ffX +

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Transformée de Fourier de

∑∞

−∞=

−⋅=n

AN nTetnTextx )()()( δ

∑∞

−∞=

−⋅=n

fnTejAN enTexfX π2)()(

)(txN

∫+∞

∞−

−= dtetxfX ftjNN

π2)()(

∫ ∑∞+

∞−

−+∞

−∞=

−⋅= dtenTetnTexfX ftj

nAN

πδ 2)()()(

or

∑ ∫+∞

−∞=

+∞

∞−

−−⋅=n

ftjAN dtenTetnTexfX πδ 2)()()(

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Reconstruction

)()()( fHfXfX NA ⋅=

)( fH

f0

)( fXN

f0efef ef2ef2−

)( eAe ffXf +⋅ )( fXf Ae ⋅)2( eAe ffXf +⋅ )( eAe ffXf −⋅ )2( eAe ffXf −⋅

)( fX A

f0

2ef

2ef−

ef1

∫+

−⋅= 2

2

21 )()(ef

efedfefXtx ftj

NfAπ

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Formule de Shannon (reconstruction)

∫+

−⋅= 2

2

21 )()(ef

efedfefXtx ftj

NfAπ

∑+∞

−∞=

−=n

fnTejAN enTexfX π2)()(

∫ ∑+

+∞

−∞=

− ⋅

= 2

2

221 )()(ef

efedfeenTextx ftj

n

fnTejAfA

ππ ∑ ∫+∞

−∞=

+

=

n

nTetfjfAA

ef

efedfenTextx

2

2

)(21)()( π

∑+∞

−∞=

−−−−

−=

n

nTetjnTetjnTetjfAA

efef

eeenTextx )(2)(2

)(211 22)()( ππ

π ( )∑+∞

−∞=−

−=n

nTetjnTetfj

fAAe

enTextx

)(2)(sin(21)()( π

π

∑+∞

−∞=−

−=n

nTetfnTetf

AAe

enTextx)(

)(sin()()( ππ

or

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Théorème d'échantillonnage de Nyquist-Shannon

)( fX A

f0

)( fXN

f0efef ef2ef2− 2

ef2ef−

)(ˆ fX A

f0efef ef2ef2− 2

ef2ef−

maxf

2maxeff < Au moins2 échantillons par période

Repliement de spectre

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∑∞

−∞=

−⋅=n

AN nTetnTextx )()()( δ ∑∞

−∞=

⋅⋅=k

tkfjAeN

eetxftx π2)()(

∑∞

−∞=

−⋅=n

AN nTettxtx )()()( δ ∑∞

−∞=

⋅=k

tkfjeAN

eeftxtx π2)()(

∑∑∞

−∞=

−∞=

=−k

tkfje

n

eefnTet πδ 2)(

∑∑∞

−∞=

−∞=

− −=k

een

fnTej kfffe )(2 δπ

∑∞

−∞=

−∗=k

eeAN kffffXfX )()()( δ∑∞

−∞=

−∗=n

fnTejAN efXfX π2)()(

TF

TFTF

En définitive

∑∞

−∞=

−=k

eAeN kffXffX )()(∑∞

−∞=

−=n

fnTejAN enTexfX π2)()(

TF TF

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Filtres Numériques

Linéarité :

Invariance temporelle :

)(nx SLIT discret )(ny

)(1 nx )(1 ny

)(2 nx )(2 ny

)()( 2211 nxnx αα + )()( 2211 nyny αα +

)(nx )(ny

)( τ−nx )( τ−ny

Principede

superposition

Stationarité

Ce sont des Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps discret :

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Convolution discrète

Réponse impulsionnelle :

Un signal numérique peut être exprimé comme une somme d'impulsions :

En vertu de la linéarité et de l'invariance temporelle :

Cette opération s'appelle la convolution discrète :

)(nδ SLIT Discret )(nh

∑ −= )()()( knkxnx δ

)()()( nhnxny ∗=

∑ −= )()()( knhkxny

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Le Systèmes Linéaires Invariants dans le Temps discrets sont régis par

Convolution continue � discrète

∫+∞

∞−−=∗= duutxuhthtxty )()()()()(

Ce sont des Systèmes à temps discrets : ∑+∞

−∞=

−==n

N nTetnhthth )()()()( δ

Traitant des signaux à temps discrets : ∑+∞

−∞=

−==n

N nTetnxtxtx )()()()( δ

∫ ∑∑+∞

∞−

+∞

−∞=

+∞

−∞=

−−−= dulTeutlxkTeukhtylk

)()()()()( δδ

∑ ∑ ∫+∞

−∞=

+∞

−∞=+−

+∞

∞−−−−=

k lTelkt

dulTeutkTeulxkhty44444 344444 21

))((

)()()()()(

δ

δδ

l'opération de convolution continue :

knllknposons −=⇒+=

444 3444 2144 344 21

)()(

)()()()()()(

ty

nn

ny

k

N

nTetnynTetknxkhty ∑∑ ∑+∞

−∞=

+∞

−∞=

+∞

−∞=

−=−−= δδ ∑+∞

−∞=

−=k

knxkhny )()()(

)()()( ttt δδδ =∗

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Réponse en fréquence

∑+∞

−∞=

−=k

knxkhny )()()(

Si alors :fnTejenx π2)( = 43421

444 3444 21)(

2

)(

2)(2 )()()(nx

fnTej

fH

k

fkTej

k

Teknfj eekhekhny πππ

== ∑∑

+∞

−∞=

−+∞

−∞=

SLIT DiscretfnTeje π2 fnTejefH π2)( ⋅

∑+∞

−∞=

−=k

fkTejekhfH π2)()(

Les signaux de la forme sont les seuls pour lesquels ce phénomène est observé. Ce sont les fonctions propres des systèmes linéaires invariants dans le temps

nTeeα

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Importance de la décomposition de Fourier

dfefXnx fnTej

∫+∞

∞−= π2)()(

Convolution par)(nx )(ny

dfefHfXny fnTej

fY

∫+∞

∞−= π2

)(

)()()(43421

)(nh

)( fX)( fHMultiplication par

)( fY

TF TF -1

)()()( fHfXfY ⋅=

Résolution théorique, traitement d'images, traitement par blocs, …

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Comme leur nom l'indique, leur réponse impulsionnelle est finie ;

Filtres à Réponse Impulsionnelle Finie (RIF)

c'est-à-dire nulle en dehors d'un intervalle borné : par exemple dans le

∑∑−

=

+∞

−∞=

−=−=1

0

)()()()()(N

kk

knxkhknxkhny

cas d'un filtre causal :

)(nδ RIF )(nh

1−N n0n0

{ }LL4444 34444 21

LLL 00)1()1()0(00)(termesN

Nhhhnh −=

L'opération de convolution requière N multiplication-accumulations et elle

est généralement mise en œuvre telle qu'elle dans le processeur de traitement.

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Représentation

∑−

=

−=1

0

)()()(N

k

knxkhny

{ })1()1()0()( −=↑

Nhhhnh L

)(nx

)(ny

Te Te Te TeL Te

+

)1(h

+

)2(h

+

)3(h

+ +

)1( −Nh)0(h L

L

)1( +− Nnx

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Filtres à Réponse Impulsionnelle Infinie (RII)

∑+∞

=

−=0

)()()(k

knxkhny

Comme leur nom l'indique, leur réponse impulsionnelle est infinie :

L'opération de convolution requière un nombre infini de multiplication-accumulations et ne peut donc pas être mise en œuvre directement dans le processeur de traitement.

Solution : Systèmes récursifs

Exemple :

)(nx

)(ny

Te+b

)1()()( −⋅+= nybnxny

)()( nnx δ= � { }LLnbbbbnhny 321)()(

↑==

� Vérifier qu'il s'agit bien d'un SLIT

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Équations aux différences

∑∑−

=

=

−=−1

0

1

0

)()()()(N

k

M

k

knxkaknykb

Plus généralement, un Système Linéaire Invariant dans le Temps Discret peut être défini par son équation aux différences :

Il s'agit bien d'un système linéaire car :

∑∑−

=

=

−=−1

01

1

01 )()()()(

N

k

M

k

knxkaknykb

∑∑−

=

=

−=−1

02

1

02 )()()()(

N

k

M

k

knxkaknykb

Alors : ( ) ( )∑∑−

=

=

−+−=−+−1

021

1

021 )()()()()()(

N

k

M

k

knxknxkaknyknykb

Si :

Et si :

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Filtre récursif

{

44 344 2144 344 21

récursivepartie

M

k

transversepartie

N

k

knykbknxkanyb ∑∑−

=

=

−−−=1

1

""

1

01

)()()()()()0(

Sous certaines conditions, il est possible de calculer récursivement le signal de sortie :

Remarque : On peut faire en sorte que 1)0( =b

)(nx

)(ny

Conditions : Il faut que les soient tels que le système soit stable .

)(kb

+

)(ka )(kbTe Te Te TeL Te

+

)1(a

+

)2(a

+

)3(a

+ +

)1( −Na)0(a L

L

Te Te Te TeL Te

+ +

)3(b

+

)2(b)1( −Mb L

L+

)1(b

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Réponse Impulsionnelle Infinie

44 344 2144 344 21

récursivepartie

M

k

transversepartie

N

k

knhkbknkanh ∑∑−

=

=

−−−=1

1

""

1

0

)()()()()( δ

)(nδ

)(nh

+

)(ka )(kbTe Te Te TeL Te

+

)1(a

+

)2(a

+

)3(a

+ +

)1( −Na)0(a L

L

Te Te Te TeL Te

+ +

)3(b

+

)2(b)1( −Mb L

L+

)1(b

{ ( ) }L)0()1()1()1()0(*)2()2()0()1()1()0()( abababaabaanh ++++=↑

0 20 40 60 80 100-20

-10

0

10

20

0 20 40 60 80 100-1

-0.5

0

0.5

1

Système stable : Système instable

est difficile àdéterminer de cette manière !

)(nh

∞<∑∞

=0

)(k

kh

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En effet, si alors :

Réponse en fréquence et fonction de transfert en Z

Si la réponse impulsionnelle est divergente : alors :

+fnTejenx π2)( =44 344 21

43421

)(

0

2

)(

2 )()(

fH

k

fkTej

nx

fnTej ekheny ∑∞

=

−= ππ

∑∞

=

−=0

2)()(k

fkTejekhfH π

∑∞

=

−=0

)()()(k

knxkhny

∞→)( fH

Mais il est toujours possible de calculer la réponse à un signal :

( )43421

nfTeje

fnTejnn eZπ

πρ2

2=

nZnx =)( {

43421

)(

0)(

)()(

ZH

k

k

nx

n ZkhZny ∑∞

=

−=

∑∞

=

−=0

)()(k

kZkhZH

est la TF de )( fH )(nh

Et si alors, amortit et rend la série convergente.minZ ρ> kZ −

est la TZ de )(ZH )(nh

réel)(kh

∞<∑∞

=0

)(k

kh

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Transformée en Z

La fonction de transfert en Z est la Transformée en Z de

nZnx =)(

∑∞

=

−=0

)()(k

kZkhZH

)(ZH )(nh

{ }L)3()2()1()0()( hhhhnh↑

=

TeZ de retard1 ≡−

{ {kTe

k

nx

nkn ZZZknx −− ⋅==−)(

)(

)( pnh − )()'()(

)''(0'

)'( ZHZZkhZpkh p

pkkpkkk

pk

pk

k −

+=→−=

=

+−∞

=

− ==− ∑∑

)( pnx − ∑∞

=

−− =0

)()( avec )(k

kp ZkxZXZXZ

Généralisation :

La transformation en Z est l'équivalent de la transformation de Laplace : pTeeZ =

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Application

∑∑−

=

=

−=−1

0

1

0

)()()()(N

k

M

k

knxkaknykb

De même si :

∑−

=

=

=1

0

1

0

)(

)(

)(M

k

k

N

k

k

Zkb

Zka

ZH

∑∞

=

−=0

)()()(k

knxkhny

∑∑∞

=

−∞

=

− ⋅=⋅=00

)()()()()(k

k

k

k ZkhZXZZXkhZY

∑∞

=

−==0

)()(

)()(

k

kZkhZX

ZYZH

∑∑−

=

−−

=

− =1

0

1

0

)()()()(N

k

kM

k

k ZkaZXZkbZY

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Pour retrouver , il suffit de remplacer par

)()( fHZH ↔

fTejeZ π2↔

)( fH Z fTeje π2

∑∑∞

=

=

− =↔=0

2

0

)()()()(k

fkTej

k

k ekhfHZkhZH π

Mais attention, il faut que la série converge pour 1=Z

De même :

∑−

=

=−

=

=

=↔=1

0

2

1

0

2

1

0

1

0

)(

)(

)(

)(

)(

)(M

k

fkTej

N

k

fkTej

M

k

k

N

k

k

ekb

eka

fH

Zkb

Zka

ZHπ

π

Remarque : )()( mais )()( 2 fTejeZHfHZfHfH π===≠

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Factorisation

∑−

=

=

=1

0

1

0

)(

)(

)(M

k

k

N

k

k

Zkb

Zka

ZH

La fonction de transfert apparaît comme une fraction polynomiale et peut-être factorisée :

( )

( )

( )

( )

( )

( )∏

=

=

=

−−

=

−−

=

−−−−

=

−−−−

−=

−==

M

kk

N

kk

M

kk

M

N

kk

N

M

k

kMM

N

k

kNN

ZPb

ZZa

PZbZ

ZZaZ

ZkbZ

ZkaZ

ZH

1

1

1

1

1

1

1

1

1

0

11

1

0

11

1)0(

1)0(

)0(

)0(

)(

)(

)(

)(ZH

Les racines du numérateur sont appelées zéros .kZ

Les racines du dénominateur sont appelées pôles .kP

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Cascade

Toutes les cellules récursives doivent être stables !

( ) ∏∏=

−=

−×−=

M

k k

N

kk

ZPZZaZH

11

1

1

1

11)0()(

)(ZX

: Toujours stable

)1()()()(

)(

1

11

−+=→=− − nyPnxny

ZX

ZY

ZPk

k: Cellule récursive

du premier ordre

111 −− ZZ 1

21 −− ZZ 11 −− ZZNL

)(ZY111

1−− ZP 1

21

1−− ZP 11

1−− ZPM

L

)1()()()(

)(1 1 −+=→=− − nxZnxny

ZX

ZYZZ kk

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Cellule récursive du 1er Ordre

Si alors croît exponentiellement � divergence

)(nx

)(ny

Te+b

1>b

{ }LLnbbbbnh 321)(

↑=

{ )1()()( −⋅+= nybnxnykP

)(nh

Si alors � mémoire infinie1=b 1)( =nh

Si alors décroît exponentiellement � satisfaisant1<b )(nh

� Le système est stable si : 1<b

( )

<−====

−−

=

−∞

=

−∞

=

− ∑∑∑sinon

1si1

1)()(

11

0

1

00

bZbZbZZbZkhZH

k

k

k

kk

k

k

→<→

<→

− 111

2

bbZ

eZ fTej π

1<kP Stabilité si tous les pôles sont àl'intérieur du cercle unité.

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Interprétation Géométrique

( ) ( )

( ) ( )∏

=

−−

=

−−

−=

M

k

kM

N

kk

N

PZZ

ZZZ

aZH

1

1

1

1

)0()(

( )

( )∏

=

−−

=

−−

−===

M

kk

fTejTeNfj

N

kk

fTejTeNfj

fTej

Pee

Zee

aeZHfH

1

2)1(2

1

2)1(2

2 )0()()(ππ

ππ

π

=

=

=

==

=M

kk

N

k

k

M

kdp

kfTej

N

kdz

kfTej

fdp

fdz

a

Pe

Ze

afH

k

k

1

1

1

2

1

2

)(

)(

)0()0()(

43421

4434421

π

π

Re

Im

0=f

1

j

1−

j−

4Fef =

43Fef =

2Fef =

1Z

1Z

1P

1P

0 0.2 0.4 0.6 0.8 10

0.5

1

1.5|H(f)|

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1-2

0

2phase

Phase non-linéaire

Réponse en fréquence périodique

)( fdz

)( fdp

fTeje π2

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Synthèse

La synthèse des filtres RII est basée comme en analogique sur les fonctions modèles : Butterworth , Tchebycheff, Cauer (Elliptique)

Influence des pôles

Influence des zéros

(Source : Wikipédia)

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Exemple sous Matlab (TP)

[N, Wn] = ellipord(0.4, 0.6, 0.09, 60); � N = 6 Wn = 0.4

[B,A] = ellip(N,0.09,60,Wn);

� B = 0.0207 0.0585 0.1060 0.1255 0.1060 0.0585 0.0207

� A = 1.0000 -1.9673 2.9074 -2.5353 1.5771 -0.5972 0.1163

0 0.5 10

0.5

1

1.5|H(f)|

0 0.5 1-100

-50

0

50|H(f)| (dB)

0 0.5 10

5

10

15

20Groupe delay

0 0.5 1-200

-100

0

100

200Phase (°)