Theorie Des Graphes-Extrait

8/13/2019 Theorie Des Graphes-Extrait

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LLeeoonn66 :: LLee pprroobb llmm eedduufflloo tt mmaa xx iimm uumm 115

1-Dfinitions 1162-Le problme de la recherche du flot maximum 119Exercices corrigs 127

LLeeoonn77 :: LLee pprroobb llmm eedd ''aa ffffeeccttaa tt iioonn 131

1-Position du problme 1332- La rsolution du problme daffectation par la mthode

hongroise134

Exercices corrigs 145LLeeoonn88 :: PPrroobb llmm eedd'' OOrrddoonnnnaa nncceemm ee nntt 149

1-La reprsentation du rseau PERT 1512-La dtermination du calendrier des dates au plus tt et des

dates au plus tard154

3-Analyse et identification des tches critiques 156Exercices corrigs 160

SSoolluutt iioo nnssddee ssEE xxeerrcc iiccee ss 163

Solutions : Concepts fondamentaux de la thorie des graphes 164Solutions : Autres reprsentations dun graphe 168Solutions : La connexit dans un graphe 175Solutions : Les cheminements remarquables 190Solutions : Arbres et Arborescences 192Solutions : Le problme du flot maximum 206Solutions : Le problme d'affectation 223Solutions : Problme d'Ordonnancement 236

BB ii bb ll ii oo gg rraa pp hh ii ee 248


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7

o n C o n c e p t s f o n d a m e n t a u x d e

l a t h o r i e d e s g r a p h e s

Objectif de la leon :

Savoir comment reprsenter graphiquement unproblme.

Dans cette leon:

1) Dfinitions2) Structure dun graphe 3) Les graphes particuliers4) Algorithme de K-coloration dun graphe

Exercices corrigs


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Leon 1:Concepts fondamentaux de la thorie des g raphes 8

8

La thorie des graphes est un outil puissant de modlisation et de rsolution

de problmes concrets. A lorigine, la thorie des graphes tait prsente comme

une curiosit mathmatique; Euler lors dune de ses promenades nocturnes a

voulu tracer un itinraire circulaire dans la ville de Koeinsberg. Partant dun

point donn, il voulut visiter les sept ponts de cette ville (disposs selon le schma

ci-dessous) une seule fois seulement, puis retourner son point de dpart.

Les points A, B, C et D sont des rives.

Ensuite la thorie des graphes a t utilise pour modliser des circuits

lectriques (Kirchoff), puis a trouv de nombreuses applications dans diffrents

domaines tels : la chimie, la psychologie etc.

Pont 1 Pont 2Pont 3

Pont 4

Pont 7Pont 5

D

B

A

Pont 6C

Figure 1


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11 -- DD ffii nn ii tt ii oo nn ss ::

1.1. Qu es t ce q u u n grap h e ?

C'est en 1822 que le mot graphe est introduit par l'Anglais J.J.Sylvester, eten 1936 que parat le premier livre sur la thorie des graphes, crit par D. Knig.

Un graphe est un dessin gomtrique dfini par la donne d'un ensemble de

points (appelssommets ou nuds), relis entre eux par un ensemble de lignes ou

de flches (Appeles artes ou arcs). Chaque arte a pour extrmits deux points,

ventuellement confondus.

Les graphes peuvent servir reprsenter un grand nombre de situations

courantes comme :

Les liens routiers Les rseaux de communication Les circuits lectriques Les liens entre diverses personnes ou entits administratives

Exemple :

La figure suivante reprsente un plan de circulation sens unique dune ville

o chaque localit est reprsente par un point appel sommet et chaque route par

un arc orient indiquant le sens de la circulation.

Ainsi les notions quon peut dfinir sur un graphe, vont servir rsoudre

certains problmes lis diffrents domaines.

A

B

D

C

E

Figure 2


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1 .2.Grap h e or ie n t :

Un graphe orient est un systme form dun ensemble fini de sommets que

lon notera {x1, x2,..xn} et dun ensemble fini darcs reliant dans un ordre biendfini ces sommets, ou un certain nombres dentre eux not { u1,u2 ,..um}.

Exemple :Le graphe Gci-contre est orient :

Mathmatiquement, un graphe orient est reprsent par le couple G=(X, U), o : Xest lensemble des sommets. Uest lensemble des arcs.

Notation :On note un arc reliant un sommet x au sommet y dans un graphe Gpar :

u=(x, y).

Si le graphe Gcontient n sommets, on dit alors que Gest dordre nChaque arc du graphe G relie respectivement deux sommets, le sommet de

dpart qui reprsente lextrmit initiale de larc et le sommet darrive qui

reprsente lextrmitterminale.

xu

u10

B

D

C

E

u1

u2

u4

u5

u6

u7

u8

u9

A

(G)

Figure 3


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11

Autrement di t :Un graphe orient est dfini par le quadruplet : G=(X, U, I,T) o

Iest lapplication extrmit initiale dun arc dfinie par:I : U X

(x, y) I(x, y) =x

Test lapplication extrmit terminale dun arc dfini par:T : U X

(x, y) T(x, y) =y

Exemple :Soit u1=(A, B)un arc de lensemble des arcs Udu graphe Gci-dessus :

Remarque :On appelle larc dont lextrmit initiale est confondue avec lextrmit terminale

uneboucle note u= (x, x)

Exemple :Soit u10= (A,A)un arc de lensemble des arcs Udu graphe Gde la figure 3

Les deux extrmits de larc u10 sont confondues, cest--dire : I(u10) =A et

T(u10)=A.

Larc u10est donc une boucle

1 .3.Grap h e n on o r ien t :

Si on dfinit une relation sur un ensemble o la notion dordre nest pas

importante, on reprsente ainsi la relation entre deux sommets par un arc nonorient appel arte. On obtient alors un graphe non orient, not G=(X.E).

A Bu1

Le sommet A est lextrmitinitiale de larc u1Note : I(u1) =A

Le sommet B est lextrmitterminale de larc u1Note : T (u1) =B

A

u10


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Exemple :

Considrons le plan de la ville de Koeinsberg

modlis par Euler sous forme dun graphe non orientG=(X, E)o :

X= {A, B, C, D}; reprsente les diffrentes rives. E= {AB, AC, AD, DB (2), DC (2)} ; reprsente

lensemble des ponts.

On dira quil existe une arrte entre deux sommets

sil existe un pont permettant de relier deux rives

Remarques :Une arte dont les extrmits sont confondues est une boucle.

Une arte peut tre transforme en deux arcs de sens dfrents

1 .4.Grap h e s imp le e t grap h e mu l t ip le :

Un graphesimpleest un graphe sans boucles ni arcs (artes) multiples.

Dans le cas contraire, cest dire, si des boucles ou des arcs (artes)

multiples sont autoriss, on dira alors que le graphe est multiple.

Exemple :

A

B

C

D

y

x

x

y

Artes multiples Arcs multiples

xx


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On dfinit ainsi, la multiplicit dun graphe orient multiple par le nombre

maximum darcs ayant la mme extrmit initiale et la mme extrmit terminale.

Soit pce nombre, on dit alors que G est un pgraphe .P = Max {uU / I(u) =x et T (u) =y}

Exemple :Le graphe dEuler est un graphe multiple, car des artes multiples relient les

sommets Det Bet les sommets Det C.

1.5.Len semb le d es p rd cesseu rs , su ccesseu rs e t vo i s in s

d u n sommet :

Considrons le graphe correspondant la Figure 2 :

Partant des localits B et E, on peut atteindre la localit A par deux routesdirectes BAet EA.

Les sommets B et E forment ainsi lensemble des prdcesseursde A, quon

note -(A)

A

B

C

D

Artes

multiples

Prdcesseurs du

sommet AA

B

E


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Partant de la localit A, on peut atteindre directement les localits B et D,respectivement par les deux routesABetAD.

Les sommets Bet D forment ainsi lensemble des successeursdeA, quonnote +(A).

Lensemble des voisinsdu sommetAest gal la runion de lensemble de sesprdcesseurs et de ses successeurs, on le note (A)ouV(A).

Notation :Soit G=(X, U)un graphe orient :

Lensemble des prdcesseurs dun sommet xse dfinit par :-(x) ={yX / uU o I(u)= y et T(u)=x}

Lensemble des successeurs dun sommet xse dfinit par :+(x) ={yX / uU o T(u)= y et I(u)=x}

Lensemble des voisins dun sommet xse dfinit par :(x) = +(x) -(x)

A

B

D

Successeurs du

sommet A

A

B

D

E

Voisins du

sommet A


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Exemple :Soit le graphe G=(X, U) suivant :

Daprs le graphe :

+(A)= {B, D, E} et -(A)= {B}Alors : (x) = {B, D, E}

+(B)= {A, E} et -(B)= {A, C}Alors : (x) = {A, C, E}

+(C)= {B, E} et -(C)= {D}Alors : (x) = {B, D, E}

+(D)={C} et -(D)= {A}Alors : (x) ={C, A}

+(E)= et -(E)={A, B, C}Alors : (x) = {A, B, C}

1.6. Le d egr d u n sommet :

Soit le graphe de la figure 4, considrons le sommetA:

Une route mne vers la localit Aet 3 autres en partent, on peut dfinir ainsila notion de degr dun sommet dans un graphe comme suit:

Le sommet Aest lextrmit initiale de 3 arcs, on dit alors que le demi -degrextrieur deAest 3, on le note Gd (A)=3.

De mme le sommet Aest lextrmit terminale dun seul arc. On dit dans cecas que le demi-degr intrieur deAest 1 on le note d-G(A)=1

La somme du demi-degr intrieur et du demi-degr extrieur du sommet Adfinit le degr du sommetAquon note d (A)=4

Notation :Soit G=(X, U)un graphe orient on a :

Le demi-degr extrieur dun sommet xest gal au nombre darcs ayant lesommet xcomme extrmit initiale, on dit aussi le nombre darcs incidents

extrieurs au sommet x. On le note : d+G(x) ={uU/ I(u)=x}

A

A

E

B

D

C

Figure 4


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Le demi-degr intrieur dun sommet xest gal au nombre darcs ayant lesommet x comme extrmit terminale, on dit aussi le nombre darcs

incidents intrieurs au sommet x. On le note : d-G(x) ={uU/ T(u)=x}

Le degr dun sommet x est le nombre darcs ayant x comme extrmitinitiale ou terminale, on dit aussi le nombre darcs adjacents x.

On le note dG(x) = d+

G(x) + d-G(x)

Remarque :Si un sommet possde une ou plusieurs boucles, chacune apporte une contribution

de 2 dans le calcul du degr de ce sommet.

Proprits :1)Dans un graphe orient G=(X, U), la somme des demi-degrs intrieurs des

sommets de Gest gale la somme des demi-degrs extrieurs des sommets

de G,

Autrement dit :

XxXx

xG

xG

dd )()(

2)Dans tout graphe, la somme des degrs est un nombre pair.3)La somme des degrs dun graphe non orient est gale deux fois le

nombre dartes.

Exemple :

Le tableau suivant dtermine les demi-degrs extrieurs et intrieurs dessommets du graphe prcdent de la figure 4.

A B C D E Total

d (x) 3 2 3 1 0 9

d (x) 1 2 1 1 4 9d (x) 4 4 4 2 4 22

On voit bien que :

XxXx

xG

xG

dd )()(est vrifie et

Xx

xG

d )( est un nombre pair.


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Notation :On note le plus grand degr des sommets dun graphe par (G) et le plus

petit degr des sommets par (G). Autrement dit :Gx

Max

d(x)=(G) etGx

Min

d(x)=(G)

Application lexemple:

(G) = Min [dG(A), dG(B), dG(C), dG(D), dG(E)] = Min [4, 4, 4, 2, 4] = 2

(G) = Max [dG(A), dG(B), dG(C), dG(D), dG(E)] = Max [4, 4, 4, 2, 4] = 4

Remarque :On appelle un sommet dont le degr est gal zro [dG(x)=0] un sommet isol

et un sommet dont le degr est gal un [dG(x)=1] un sommet pendant.

Exemple :Soit le graphe G=(X, U)suivant, et considrons les sommetsAet D:

dG(A) =1 alors le sommetAest un sommet pendant. dG(D) =0 alors le sommet Dest un sommet isol.

22 -- SS tt rruu cc tt uu rree dd uu nn gg rraa pp hh ee ::

Considrons le rseau routier de lAlgrie G=(X, U)tel que :

X reprsente lensemble des villes dAlgrie et U reprsente lensemble desroutes nationales et dpartementales algriennes.

a) Soit A X, lensemble des villes de la wilaya de Tizi_Ouzou et UAlensemble desroutes reliant ces villes. On dfinit ainsi le graphe GA= (A, UA), ditsous-graphedeG, reprsentant lensemble du rseau routier de la wilaya de Tizi_Ouzou.

b)Soit W U, lensemble des routes dpartementales Algriennes. On dfinitainsi le graphe GW=(X, W), dit graphe partiel de G reprsentant les routes

dpartementales Algriennes.

A

E

B

D

C

(G)


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c)Soient UA lensemble des routes reliant les villes de la wilaya de Tizi_Ouzou(nationales et dpartementales) et W lensemble des routes dpartementales

algriennes. On dfinit ainsi le graphe GA,W=(A

,WUA), ditsous-graphe partielde Greprsentant lensemble des routes dpartementales de la wilaya de Tizi-

Ouzou.

Exemple :Soit le graphe dEuler G=(X, U):

Soient A= {A, D, C}etW= {e1, e2, e5}

a)Le sous-graphe engendr par Aest le graphe GA= (A, EA), avec EA={e2, e3, e5, e7}

b)Le graphe partiel engendr parWest :

e7

e6

e5

e4

e3

e2

e1

A

B

C

D

e7e5

e3

e2A

C

D

e5

e2

e

A

B

C

D


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c)Le sous-graphe engendr parAetWest :

33 -- LL ee ss gg rraa pp hh ee ss pp aa rrtt ii cc uu ll ii ee rrss ::

3 .1. Grap h e co mp le t :

On appelle graphe completun graphe dont tous les sommets sont adjacents.

Exemple :

Les sommets x1 et x3 dans le graphe (G1)ne sont pas adjacents, le graphe est

donc non complet.

Les sommets du graphe (G2) sont tous adjacents, do le graphe (G2) estcomplet.

Si un graphe Gest simple et complet, dordre n, on le note Kn.

Exemple :

e5

e2

A

C

D

x2

x1

x3

x4

(G1)

x2

x1

x3

x4

(G2)

x2

x1

x3

x1

x2

x3

x4

K3 K4


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3 .2. Grap h e co mp lmen ta ire :

A un graphe simple G=(X, U), on peut dfinir un graphe complmentaire

),( ____ UXG comme suit : UuUu __

Cest dire : une arrte (arc) appartient au graphe complmentaire (__

G ) si

elle nappartient pas au graphe initial G

Exemple :On considre le graphe simple suivant :

Son graphe complmentaire (__

G ) est :

Consquence :__

GG est un graphe simple complet, donc un Kn

Appl ica ti on :Quatre runions sont programmer dans une administration auxquelles

participent 7 responsables de services. Chaque responsable peut participer

plusieurs runion comme lindique le tableau suivant:

x1

x3

x2

x4

(G)

x1

x3

x2

x4

(__

G )

G G =k4

x1

x3

x2

x4


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Les par ti cipants Les confrencesR1 C1, C2, C3

R2 C2, C4R3 C2, C4R4 C1, C2R5 C1, C3R6 C1, C3R7 C2, C4

On associe cette situation le graphe non orient G=(X, E)tel que :

X: lensemble des sommets reprsentant les confrences X= {Ci/i=1 7} E: lensemble des artes, deux sommets sont relis par une arrte si elle ne

peuvent pas avoir lieu au mme temps.

Les confrences 1, 2 et 3 ne

peuvent pas avoir lieu au mme

moment

Le graphe complmentaire (__

G ) du graphe Gdtermine les confrences qui

peuvent avoir lieu au mme moment.

La confrence C1 peut avoir lieu au

mme moment que la confrence C4, mais

ne peut pas avoir lieu la fois avec la

confrence C3

3 .3. Grap h e p la n aire :

Un graphe est dit planairesi on peut le dessiner sur un plan de telle faon

que les artes ne se coupent pas, en dehors de leurs extrmits.

Ce type de graphe est particulirement utilis dans les problmes de circuits

imprims (ces circuits, construits sur des surfaces planes, constituent actuellement

l'une des limitations des dveloppements de l'informatique).

(G)C1 C2

C4C3

C1C2

C4 C3

(__

G )


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Exemple :

Dfinitions : Unefacedun graphe planaire est une rgion du plan limit par des artes de

telle sorte que deux points arbitraires dans cette rgion relis par une arte ne

rencontrent ni sommet, ni arte.

La frontire dune face est lensemble des artes qui lentourent. Une face infinie est une face illimite, elle nadmet pas de contour et elle est

unique. Les autres faces sont finies.

Deux faces sont dites adjacentes si leurs frontires ont une arte commune. Remarque :

Les graphes planaires vrifient la formule X+ F = E+ 2, tel que :

F est le nombre de faces (ou rgions),X le nombre de sommets, et E le nombredartes.

Exemple :

On considre le graphe

planaire G suivant, correspondant

une carte gographique :

x1

x2

x4

x3x1

x2

x4

x3

Larte (x2x4)peut treredessine de telle faon

que le graphe soit planaire.

x5

x1

x3

x2

x4

D

C

BA

e1e2

e4

e3

e5

e7

e8

e6(G)

E


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A, B, Cet Dsont des faces finies. Eest la face infinie. Les artes e1, e2et e3sont les frontires de la face A. Les facesA et Bsont adjacentes.

3 .4. Grap h e b ip art i :

Un graphe est bipartisi lensemble de ses sommets peut tre rparti en deux

classes X1 et X2 telles que, deux sommets de la mme classe ne soient pas

adjacents. On le note G= (X1, X2, U). Avec : X1X2= X

X1X2=

Exemple :

Remarque : Un graphe G est biparti complet, si tout sommet de X1est adjacent tout sommet de X2. Si de plus le graphe G est simple, alors G est un graphe simple biparti -complet, on

le note Kp .qavec X1=p et X2=q

Exemple :

Considrons le graphe Gsuivant :

Le graphe Gest un graphesimple biparti-complet,

il est un K3. 2

x1

x2

x3

x4x5

G =(X .U )

x2

x4

x5

x1

x3

X1 X2

G= (X1, X2, U)est biparti

x1

x2

x3

x4

x6

(G)


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Exemple :Dans un atelier comportant cinq ouvriers o chacun peut effectuer de 1 4

tches, on reprsente les possibilits daffectation des ouvriers aux diffrentes

tches par le graphe biparti (G1):

Si chaque ouvrier peut effectuer toutes les tches, on obtiendra dans ce cas un

graphe simple biparti-complet (G2).

O1

O2

O3

O4

O5

T1

T 2

T3

T4

(G1)

(G2)

O1

O2

O3

O4

O5

T1

T 2

T3

T4


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44 -- AA ll gg oo rrii tt hh mm ee dd ee KK -- cc oo ll oo rraa tt ii oo nn dd uu nn gg rraa pp hh ee ::

Le principe :On appelle K-coloration dun graphe G=(X, E) une partition de

lensemble des sommets Xde Gen K-classes (X1, X2, , Xk), de telle faon que

deux sommets dune mme classe ne soient pas adjacents, et les sommets dune

classe sont coloris de la mme couleur. Autrement dit, deux sommets

adjacents nont pas la mme couleur.

Le procd :On commence par tablir une liste ordonne des sommets (ordonner les

sommets suivant l'ordre dcroissant de leur degr)

Tant quil reste des sommets colorier, excuter les actions suivantes :

1.Choisir une nouvelle couleur appele couleur d'usage;2.Chercher dans la liste des sommets le premier sommet non color et le

colorer avec la couleur d'usage ;

3.Examiner tour tour, dans lordre de la liste, tous les sommets non coloriset ; colorier chaque sommet non adjacent un sommet dj color avec la

couleur dusage.

Remarque :On appelle le nombre chromatique dun graphe G, le nombre minimum pour

lequel le graphe G est K-coloriable. On le note par (G). Si(G)=2, le graphe estbiparti.

Appl ica ti on:Soit le graphe G=(X, E)suivant :

(G)

x1x2

x5

x3 x4


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1. On commence par tablir une liste ordonne des sommets suivant l'ordredcroissant de leur degr soit : x1- x3- x4- x5- x2.

2. Colorier le sommet x1 par lacouleur verte (V), puischerchons dans lordre de la

liste, le sommet non color, qui

nest adjacent aucun sommet

color avec la couleur verte,

soit le sommet x4.

La liste ordonne devient

comme suit : x3- x5- x2

3.Colorons le sommet x3 par lacouleur Rouge (R), puis

cherchons dans lordre de la

liste, le sommet non color, qui

nest adjacent aucun sommet

color avec la couleur rouge,

soit le sommet x5.

La liste ordonne devient

comme suit : x3

4.Il reste le sommet x3, colorons-le avec la couleur Bleu (B)Le graphe Gest 3-coloriable, donc il peut tre partitionn en 3 classes :X1={x1, x4}; X2={x2, x5}; X3={x3}.

Le nombre minimum de couleurs est de 3, alors (G)=3. Le graphe G

devient :

V

V

(G

x1x2

x5

x3x4

B

R

R

V

V

(G)

x1x2

x5

x3x4

X3X2X1

1

2

4 5

3


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EE xx ee rr cc ii cc ee ss

Concepts fondamentaux de la thorie des graphes

LL eess ssooll uutt iioonnss ssoonntt ddoonnnn eess ll aa ffiinndduull iivvrree

Exercice 1 :

Problme pos :Dans une partie de jeu dchec, le joueur a effectu les dplacements suivants

pour son cavalier : b1- a3b5c3a4c3d5

Reprsenter les dplacements du cavalier par un graphe orient.

Exercice 2 :

Problme pos :Le tableau ci-dessous donne les liaisons internes assures par diffrentes

compagnies dAIR ALGERIE au 30 dcembre2001.

Alger Bejaia Annaba Oran Constantine Tamanrasset

AlgerBejaia

Annaba

OranConstantine

Tamanrasset

1. Reprsenter les diffrentes liaisons par un graphe2. Dterminer les destinations des vols partant de Annaba.

Indication :Le signe signifie quil ya un vol entre les deux villes.

Notation :1 : Alger, 2 : Bejaia, 3 : Annaba, 4 : Oran, 5 : Constantine, 6 : Tamanrasset


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Exercice 3 :

Problme pos :Le tableau suivant reprsente lintervention de 5 arbitres dans un tournoi,

6 rencontres sont programmes pour la premire journe

Arbitres A1 A2 A3 A4 A5Rencontre M1- M 2 M3-M4 - M2 M5 - M-4- M6 M1-M3 M6- M5

Reprsenter la programmation du droulement des rencontres de la

premire journe par un graphe.

Indication :Deux sommets sont relis par une arte si les rencontres correspondantes

peuvent se drouler au mme moment.

Exercice 4 : (Non corrig)

Problme pos :Reprsenter les situations ci-dessous laide dun graphe :

1. On considre un cube ; un sommet est associ une face du cube etdeux sommets sont relis par une arte si les faces correspondantes

ont une arte commune ;

2. Les sommets du graphe sont tous les sous-ensembles deux lmentsde {1, 2, 3, 4}; deux sommets sont relis si leur intersection est non

vide ;

3. Comparer les deux graphes dfinis ci-dessus.Exercice 5 : (Non corrig)

Problme pos :Une ligue de football comporte 5 quipes.

1. Il est dcid par le bureau de la ligue que lors dun week-enddentranement, chaque quipe jouera quatre matches.


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Faire un planning des rencontres sachant que deux quipes ne peuvent

pas se rencontrer plus dune fois ?

2. Le calendrier tant trop charg, les organisateurs dcident que chaquequipe ne jouera que trois matches. Comment l'organiser ?


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Exercice 6 :

Problme pos :Peut-on tracer le graphe correspondant au tableau suivant ?

xi x1 x2 x3 x4d+G (xi) 0 2 1 4

d-G(xi) 2 1 3 0

Exercice 7 :

Problme pos :On dfinit une relation Rsur lensemble des 9 premiers entiers naturels

non nuls comme suit :

x R y xest un diviseur de y

1. Reprsenter cette relation par un graphe orient.2. Dterminer partir du graphe lensemble des nombres pairs et

lensemble des nombres premiers.

Exercice 8 : (Non corrig)

Problme pos :Donner des exemples dont linterprtation est sous forme de graphes.

Exercice 9 :

Problme pos :Rpondre par vrai (V) ou faux (F)

1)Lordredun graphe est gal au:a.Nombre de sommet du graphe

b.Nombre darcs du graphec. Degr maximum des sommets du graphed.

Degr minimum des sommets du graphe


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31

2)Tout arc dun graphe contient:a. Une extrmit initiale

b. Une extrmit terminalec. Deux extrmits initiales et une extrmit terminaled. Une extrmit initiale et une extrmit terminale

3)Une boucle est un arc donta. Lextrmit initiale et terminale concident

b. Lextrmit initiale et terminale sont diffrentes4)La multiplicit dun graphe est dfinie par

a. Le nombre darcs du grapheb. Le nombre de sommets du graphec. Le nombre maximal darcs ayant la mme extrmit initiale et la

mme extrmit terminale

d. Le degr maximum des sommets du graphee. Le degr minimum des sommets du graphef. Le nombre maximum darcs ayant la mme extrmit initialeg. Le nombre darcs ayant la mme extrmit terminale

5)Un sommet y est un prdcesseur dun sommet x si:a. Il existe un arc u tel que u= (x, y)

b. Il existe un arc u tel que u =(y, x)c. Il nexiste pas darcs u tels que u=(y, x)

6)Un sommet y est un successeur dun sommet x si a. Il existe un arc u tel que u= (x, y)

b. Il existe un arc u tel que u =(y, x)c. Il nexiste pas darcs u tels que u=(y, x)

7)Un sommet y est un voisin dun sommet x si a. Il existe un arc u tel que u= (x, y)

b. Il existe un arc u tel que u =(y, x)c. Il nexiste pas darcs u tels que u=(y, x)d. Il existe un arc u tel que u =(x, y) ou u = (y, x)

8)Le demi-degr extrieur dun sommet xesta. La somme des arcs ayant xcomme extrmit terminale

b. La somme des arcs ayant xcomme extrmit initialec. La somme des arcs nayant aucune relation avec le sommet xd.

La somme des arcs ayant xcomme extrmit initiale et terminale.


29/29

9)Le demi-degr intrieur dun sommet xesta. La somme des arcs ayant le sommet xcomme extrmit terminale

b. La somme des arcs ayant le sommet xcomme extrmit initialec. La somme des arcs nayant aucune relation avec le sommet xd. La somme des arcs ayant le sommet x comme extrmit initiale et

terminale

10)Le degr dun sommet x esta. La somme des arcs ayant le sommet xcomme extrmit terminale

b. La somme des arcs ayant le sommet xcomme extrmit initialec. La somme des arcs nayant aucune relation avec le sommet xd. La somme des arcs ayant le sommet x comme extrmit initiale et

terminale.

e. La somme des arcs ayant le sommet xcomme extrmit initiale outerminale

Theorie Des Graphes-Extrait

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