Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

101
Théorie des graphes et MuPad 1 Stage Graphes et Mupad Première journée

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Théorie des graphes et MuPad 1

Stage Graphes et Mupad

Première journée

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Théorie des graphes et MuPad 2

Plan de la journée

• Graphes: outils de modélisation• Mathématisation

• Algorithmétisation • Découverte de Mupad

• MuPad et graphes

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Théorie des graphes et MuPad 3

Graphes: outils de modélisation

Optimisation combinatoirePlus court chemin…

Recherche opérationnelleOrdonnancement, flot…

Représentation de liens de dépendance Logique, promenades aléatoires…

Comportement de systèmes informatiquesSystèmes distribués…

Problèmes dans des réseaux etc.

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Théorie des graphes et MuPad 4

4 villages de Sildavie

Zmrzlina

Kava

Kolac Dort

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Théorie des graphes et MuPad 5

25

9

1211 8

9

6

7

Zmrzlina

Kava

Kolac Dort

Réseau routierProblème: organiser la signalisation (routage)

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Théorie des graphes et MuPad 6

Problème 2: trouver une tournée pour le postier

25

9

1211 8

9

6

7

Zmrzlina

Kava

Kolac Dort

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Théorie des graphes et MuPad 7

Zmrzlina

Kava

Kolac Dort

Une tournée possible du postier

9

1112

9

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Théorie des graphes et MuPad 8

Exercice 1Ce circuit est-il le plus court possible?

25

9

1211 8

9

6

7

Zmrzlina

Kava

Kolac Dort

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Théorie des graphes et MuPad 9

Matrice aux arcs du graphe

14

23

8

9

12

25

116 7

9

.434241

34.32.

2423.21

.13..

M

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Théorie des graphes et MuPad 10

Le produit est remplacé par la concaténation des mots et la somme par l’union, de plus, on ne retient que les chemins sans

circuit (chemins élémentaires).

.423.413432421

324.342341.321

234243.213.241

134.132.

.434241

34.32.

2423.21

.13..

.434241

34.32.

2423.21

.13..

2M

Le produit latin

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Théorie des graphes et MuPad 11

.421341324321

...3241.3421

21342413.2341

1324.1342.

.434241

34.32.

2423.21

.13..

.423.413432421

324.342341.321

234243.213.241

134.132.

3M

Proposition: Les puissances r-ièmes successives de M énumèrent les chemins élémentaires d’ordre r du graphe

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Théorie des graphes et MuPad 12

.421341324321

...3241.3421

21342413.2341

1324.1342.

3M

On obtient l’ensemble des chemins hamiltoniens (chemins élémentaires passant par tous les points du graphe)

D’où on déduit les circuits hamiltoniens du graphe

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Théorie des graphes et MuPad 13

Il y a essentiellement 2 circuits (hamiltoniens):

• 13421 Longueur 11+6+25+8=50

• 13241 Longueur 11+9+12+9=41

13421 est le meilleur!

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Théorie des graphes et MuPad 14

Exercice 2Le problème de monsieur Nô

Mr. Nô, personnage mythique japonais, habite la case du coin supérieur gauche d’un carré de 8x8 cases, et se propose de rendre visite à Mr. Gô, lequel habite la case du coin inférieur droit. Mr. Nô se déplace sur l’échiquier en passant d’une case à l’une des cases adjacentes (pas de diagonale). Est-il possible de trouver un parcours qui l’amène chez Mr. Gô , en passant une et une seule fois sur toutes les autres cases de l’échiquier?

Berge (1970)

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Théorie des graphes et MuPad 15

Le problème revient à trouver un chemin hamiltonien dans le graphe des déplacements

possibles sur l’échiquier

On peut cependant remarquer que Mr. Nô et Mr. Gô habitent sur des cases blanches, Mr. Nô doit faire 63 sauts,

il aboutira donc nécessairement sur une case noire(absurde)

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Théorie des graphes et MuPad 16

Un projet d’adduction d’eau

Zmrzlina

Kolac

Kava

Dort

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Théorie des graphes et MuPad 17

Ordonnancement des tâches

Tâche Durée Opérations antérieures

a Cahier des charges 30

b Approbation par Zmrzlina 5 a

c Approbation par Kava 5 a

d Approbation par Kolac 5 a

e Approbation par Dort 5 a

f Lancement des appels d'offres 8 b,c,d,e

g Commande 2 f

h Creuser les tranchées 10 b,c,d,e

i Construire les châteaux 20 g

j Placer les canalisations 5 h

k Installer l'électronique 3 h,g

l Installer les pompes 3 j

m Tester le système 5 h,i,k,l

n Distribution de l'eau au public 6 m

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Théorie des graphes et MuPad 18

Graphe d’ordonnancement des tâches

a

c

bh

e

digf

lj

nmk

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Théorie des graphes et MuPad 19

Fin de chacune des tâches

30

35

3545

35

35644442

5350

756947

Chemin critique incompressible, si on allonge une durée sur ce chemin c’est la durée totale des travaux qui est allongée.

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Théorie des graphes et MuPad 20

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Théorie des graphes et MuPad 21

Capacité des canalisations et flot maximal

Zmrzlina

Kava

Kolac Dort

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Théorie des graphes et MuPad 22

Débit de chaque château d’eauCapacité des canalisations

A

C

2

1

4

3B

50

50

75

25

100100

7550

E

100

125

225

Consommation maximale de chaque village

S

150

100

50

150

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Théorie des graphes et MuPad 23

Flot dans le réseau

• On cherche des réels définissant le flux sur l’arête (a,b)

ba,

a bba,

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Théorie des graphes et MuPad 24

Conservation du flux

• Loi de Kirchof:

Le flux entrant est égal au flux sortant dans chaque nœud

4

i

5

3

2

1

54321

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Théorie des graphes et MuPad 25

Compatibilité avec la capacité des arêtes

• Compatibilité du flot:

Le flux dans chaque arête est inférieur ou égal à la capacité de l’arête

a bba,

bac ,

bac ,

baca c ,,0

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Théorie des graphes et MuPad 26

Le problème du flot maximal

Trouver un flot maximal c’esttrouver un flot compatible qui rend

maximal le flot dans l’arête virtuelle (S,E) dont la capacité est posée infinie

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Théorie des graphes et MuPad 27

Premières étapes

• Trouver un flot compatible

Le flot nul convient

• Saturer le flot

Tant qu’il existe un chemin de E vers S sans aucune arête saturée, on augmente le débit

sur ce chemin

jusqu’à saturation d’une arête

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Théorie des graphes et MuPad 28

Première étape de la boucle « tant que »

S

A

C

2

1

4

3B

0

0

0E 0

0

0

0 0

0

0

0

4000

0

0

0

(100)

(50)

(150)

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Théorie des graphes et MuPad 29

Première étape de la boucle « tant que »

S

A

C

2

1

4

3B

0

0

0E 0

0

50

50 50

0

0

0

40050

0

0

0

(100)(50)

(100)

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Théorie des graphes et MuPad 30

Deuxième étape de la boucle « tant que »

S

A

C

2

1

4

3B

0

0E 0

0

50

50

0

0

40050

0

0

0

50

50100

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Théorie des graphes et MuPad 31

Au bout d’un certain nombre d’étapes

En fait: au plus le nombre d’arêtes -2 !

Sur notre exemple exactement 8 étapes

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Théorie des graphes et MuPad 32

On obtient un flot complet Il n’est pas forcément maximal!

S

A

C

2

1

4

3B

50

50

50

25

50100

2550

E

100

125

175

150

100

50

100

400400

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Théorie des graphes et MuPad 33

S

A

C

2

1

4

3B

50

50

50

25

50100

2550

E

100

125

175

150

100

50

100

400400

Montrons qu’il n’est pas maximal

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Théorie des graphes et MuPad 34

Equation de conservation du flux

Flux entrant Flux sortant

100+125+100+50+50 = 25+400

Pour le flux entrant, on ne peut pas faire mieux!

Objectif: diminuer le flux sortant

de l’arête (B,3)

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Théorie des graphes et MuPad 35

S

C4

3B50

25

2550

E 125

175

50

100

400400

Réduction du débit sur le tuyau (B,3)

(225) (75) (100) (150)

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Théorie des graphes et MuPad 36

S

C4

3B

50

E 12550

75

0

50

200125

400400

On peut le réduire à zéro

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Théorie des graphes et MuPad 37

Equation de conservation du flux

Flux entrant Flux sortant

100+125+100+50+50 = 0 + 425

Le flux entrant est maximum

Le flot maximum est atteint !

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Théorie des graphes et MuPad 38

Conclusion

Le réseau ne permet pas de répondre à une demande maximale des quatre villages!

Il faut construire une nouvelle canalisation de C vers 4 de capacité minimum 25 l/s

Les responsables auraient mieux fait de faire une étude préalable!

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Théorie des graphes et MuPad 39

S

A

C

2

1

4

3B

50

50

50

100

50

E

100

125

150

100

500

75

50

200125

400425

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Théorie des graphes et MuPad 40

Question

Evaluer le flot maximum du réseau électrique EDF sur toute la France

Algorithme de Ford et Fulkerson

Définition- Correction- Complexité

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Théorie des graphes et MuPad 41

Un autre problème: celui du chauffeur de taxi

Zmrzlina

Kava

Kolac Dort

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Théorie des graphes et MuPad 42

Graphe de transition

14

23

0.5 0.5

0.50.5

0.2

0.3

0.2

0.20.1

0.2

0.2

0.1 0.5

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Théorie des graphes et MuPad 43

Où désigne la probabilité conditionnelle que le taxi aille en j sachant qu’il est en i

Mathématisons la promenade aléatoire du taxi sur notre réseau

ijpM

ijp

Posons:

5.02.01.02.0

3.05.02.00

1.02.05.02.0

05.005.0

M

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Théorie des graphes et MuPad 44

Exercice 3

La matrice que nous venons de construire à les propriétés:

n

jijij petp

1

110

Toute matrice qui a ces propriétés est dite stochastique.

Montrer que les matrices stochastiques admettent 1 comme valeur propre.

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Théorie des graphes et MuPad 45

Réponse exo 3

• Le vecteur est vecteur propre pour la valeur propre 1

1

1

1

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Théorie des graphes et MuPad 46

Posons où désigne la probabilité que le taxi soit en i. Soit V’ le vecteur défini

par: V’=VM

4321 ,,, qqqqV iq 4321 ',',',' qqqq

alors désigne la probabilité conditionnelle que le taxi se trouve après une course dans la ville i sachant la distribution de probabilité initiale V de présence dans chacune des viles

iq'

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Théorie des graphes et MuPad 47

Chaîne de Markov

Par récurrence, on définit un processus:

MVV

qqqqV

nn 1

04

03

02

010 ,,,

Où désigne le vecteur « condition initiale » et le vecteur représente la distribution de probabilité de présence du taxi

dans chacune des villes à la fin de la nième course, sachant la condition initiale .

nV0V

0V

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Théorie des graphes et MuPad 48

Expérimentation

0,0,0,10 V

On fait l’hypothèse que le chauffeur de taxi part le matin de la ville de Dort (1). Où se trouve-t-il après la

cinquantième course?

Calculons 50V

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Théorie des graphes et MuPad 49

Un petit coup de MuPad!

M:=matrix(4,4,[[0.5,0,0.5,0],[0.2,0.5,0.2,0.1], [0,0.2,0.5,0.3],[0.2,0.1,0.2,0.5]]);

0

BBB@

0.5 0 0.5 00.2 0.5 0.2 0.10 0.2 0.5 0.3

0.2 0.1 0.2 0.5

1

CCCA

0

BBB@

0.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.25757575760.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.25757575760.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.25757575760.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.2575757576

1

CCCA

v:=matrix(1,4,[1,0,0,0]);v*N;

N:=M^50;

¡0.1818181818 0.1969696969 0.3636363636 0.2575757576

¢

Page 50: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 50

Manifestement au bout d’un certain nombre de courses, la position du taxi devient

« indépendante » de sa position de départ.

© 0.2701562119 0.3701562119 0.4 1.0

ª

432 ,,,1

44332214321 VVVVVMetVVVVV nnnn

linalg::eigenvalues(M);

Les sous espaces propres associés aux valeurs propres de tM sont supplémentaires,

on peut donc décomposer tout vecteur suivant ces 4 sous espaces

On note ces valeurs propres:

La composante est indépendante de la condition initiale, c’est le vecteur limite. On l’appelle la distribution stationnaire du processus, elle est l’unique

solution de l’équation X=XM avec x1+x2+x3+x4=1.

1V

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Théorie des graphes et MuPad 51

Exercice 4

Montrer que pour un processus à deux états, ce phénomène arrive toujours, sauf dans deux cas.

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Théorie des graphes et MuPad 52

Eliminons le cas où la matrice est l’identité, dans ce cas le processus est stationnaire quelque soit la distribution initiale.

1 21 1

10

01M

Eliminons aussi le cas où -1 est valeur propre, le processus est alors périodique

1 21

1

01

10M

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Théorie des graphes et MuPad 53

Supposons que la matrice de transition soit de la forme

1010,101

1

abetbaavec

bb

aa

1 est valeur propre et la trace est la somme des valeurs propres, donc la deuxième valeur propre est l=a+b-1

Elle vérifie la double inégalité: 11 l

On obtient le même phénomène: convergence vers l’unique solution de l’équation XM=X avec x1+x2=1

1 2

1-a

1-ba b

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Théorie des graphes et MuPad 54

linalg::eigenvectors(linalg::transpose(M));

2

64

2

641 1

2

64

0B@

b1

a 1ÅÅÅÅ

1

1CA

3

75

3

75

"

a b 1 1

"Ã 11

! ##3

75

abba

V

1,12

1Soit, en normalisant

Résolvons cette équation

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Théorie des graphes et MuPad 55

Définition: On dit qu’un processus de Markov est positivement régulier si, quand n tend vers l’infini, la matrice tend vers une matrice composée de r lignes A identiques.

nM

Proposition: dans les conditions de la définition, quelle que soit la distribution initiale la loi limite est rqqqV ,, 210

AV

Proposition: Pour qu’une suite aléatoire de Markov soit positivement régulière, il est nécessaire et suffisant qu’il existe un entier s tel que tous les termes de soient strictement positifs sM

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Théorie des graphes et MuPad 56

Exercice 5

Que pensez-vous d’un processus dont le graphe serait le suivant?

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Théorie des graphes et MuPad 57

Zone A

Zone B

Zone C

La zone A est transitoire, les zones B et C sont absorbantes, le processus n’est pas positivement régulier.

Question: quelle est la durée moyenne de présence dans la zone A d’un processus, avant de tomber dans l’une des zones absorbantes?

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Théorie des graphes et MuPad 58

Pour cela on réunit les deux zones absorbantes en un état absorbant, la réponse pour cette configuration est la même que celle précédente.

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Théorie des graphes et MuPad 59

Le soir, le taxi rentre chez lui

Quand le chauffeur décide de rentrer, il utilise la méthode suivante: il continue

à faire des courses jusqu’à ce qu’il soit rendu dans sa ville de Dort (1).

14

23

0.5 0.5

10.5

0.2

0.3

0.2

0.20.1

0.2

0.2

0.1 0.5

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Théorie des graphes et MuPad 60

Encore un petit coup de MuPad

M:=matrix(4,4,[[1,0,0,0],[0.2,0.5,0.2,0.1], [0,0.2,0.5,0.3],[0.2,0.1,0.2,0.5]]);

0

BBB@

1 0 0 00.2 0.5 0.2 0.10 0.2 0.5 0.3

0.2 0.1 0.2 0.5

1

CCCA

n:=M^50;0

BBB@

1 0 0 00.9991499134 0.0002442339085 0.0002981942818 0.00030765842020.9988517191 0.0003299065377 0.0004027951879 0.00041557916680.9991499134 0.0002442339085 0.0002981942818 0.0003076584202

1

CCCA

v:=matrix(1,4,[0,1,0,0]): v*n;:¡0.9991499134 0.0002442339085 0.0002981942818 0.0003076584202

¢

Page 61: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 61

Question: quelle est la probabilité que le chauffeur rentre chez lui?

Posons la probabilité que le chauffeur rentre chez lui, en partant de l’état iiq

Ces probabilités vérifient le système:

43214

43213

43212

1

5.02.01.02.0

3.05.02.00

1.02.05.02.0

1

qqqqq

qqqqq

qqqqq

q

On trouve une unique solution:

14321 qqqq

Ce qui est rassurant!

Page 62: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 62

Combien de courses fait-il en moyenne avant de rentrer?

Posons le nombre moyen de courses faites en partant de l’état iim

Ces valeurs moyennes vérifient le système

43214

43213

43212

1

5.02.01.02.01

3.05.02.001

1.02.05.02.01

0

mmmmm

mmmmm

mmmmm

m

On trouve une unique solution:

7,9,7,0 4321 mmmm

Ce qui est beaucoup!

Page 63: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 63

Quelques simulations (10 transitions)

107.552.5

4

3.5

3

2.5

2

1.5

1

x

y

x

y

107.552.5

4

3.5

3

2.5

2

x

y

x

y

107.552.5

2

1.75

1.5

1.25

1

x

y

x

y

107.552.5

2

1.75

1.5

1.25

1

x

y

x

y

Page 64: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 64

Page 65: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 65

Mathématisation

Page 66: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 66

Un graphe (orienté) G est la donnée d’une partie F d’un produit cartésien S×S, où S est

un ensemble

S peut être

Fini, infini dénombrable, infini

Notation: G=(S,F)S est l’ensemble des sommets de G

F est l’ensemble des arcs (arêtes orientées) de G{u,v} est une arête de G si (u,v) ou (v,u), est dans F

Page 67: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 67

Représentation d’un graphe

1

2

3

4

5

6

S={1,2,3,4,5,6}F={ (1,2) , (1,5) , (2,1) , (2,4) , (2,5) , (4,6) , (6,2) , (6,3) }

Page 68: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 68

Exercice 6

Construire le graphe des diviseurs pour n=10

Page 69: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 69

Réponse exercice 6

1

9

8

105

3

6

4

2

7

Page 70: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 70

Dans ce qui suit S est fini

le graphe G est dit alors fini

L’ordre de G est le cardinal de S

Page 71: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 71

Vocabulaire de base

• Boucle: arc de la forme (x,x)

X

Page 72: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 72

• Graphe simple:

Graphe sans boucle

• Graphe complet

Graphe simple avec F maximal

1

3

2

1

32

4

Page 73: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 73

• Graphe symétrique (ou non orienté)FijFji ),(),(

1

3

2

4

1

3

2

4

Une arête {u,v} est un arc non orienté

Page 74: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 74

Chemins et chaînes

nsss ...21

nn ssssss ,,...,,,, 13221

Un chemin dans un graphe G est une suite finie d’arcs consécutifs, c’est-à-dire de la forme :

Une chaîne dans un graphe G est une suite finie d’arêtes consécutives:

Notation:

La longueur d’un chemin (resp. d’une chaîne) est le nombre d’arcs (resp. d’arêtes) constituant le chemin (resp. la chaîne)

nn ssssss ,,...,,,, 13221

Page 75: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 75

Cycles et circuits

• Un circuit (resp. un cycle) est un chemin (resp. une chaîne) dont les extrémités coïncident, et dont les arcs (resp. arêtes) sont tous distincts (resp. toutes distinctes)

Page 76: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 76

Chemins et circuits Hamiltoniens

Dans un graphe G, on dit qu’un chemin s1s2…sn est hamiltonien s’il passe une et une seule fois par chaque sommet du graphe.

On dit qu’un circuit s1s2…sns1 est hamiltonien s’il passe une et une seule fois par chaque sommet du graphe.

nsss ...21

Page 77: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 77

Voyage autour du monde (Hamilton)

Trouver un circuit hamiltonien sur le dodécaèdre régulier

Page 78: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 78

Voyage autour du monde (Hamilton)

Page 79: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 79

Le graphe de Petersen

Ce graphe n’admet pas de circuit hamiltonien

Page 80: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 80

Exercice 7

Proposer une méthode pour prouver ce résultat

Page 81: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 81

Chaînes et cycles eulèriens

Soit G un graphes

On appelle chaîne eulérienne (resp. cycle eulèrien) une chaîne (resp. un cycle) qui

utilise toutes les arêtes du graphe une et une seule fois.

Page 82: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 82

Les ponts de Kœnigsberg (Euler)

A

B

C

D

Partir de A, passer une seule fois par chacun des ponts, et revenir en A

Page 83: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 83

Graphe associé

: Tracer les arcs de ce graphe sans lever le crayon

C

DA

B

3

3

3

5

Page 84: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 84

Page 85: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 85

Page 86: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 86

Connexité et forte connexité

Un graphe G = (S,F) est dit connexe (resp. fortement connexe) s’il vérifie la propriété suivante :

pour toute paire de sommet (x,y) de S, il existe une chaîne (resp. un chemin) reliant x à y.

La composante connexe (resp. fortement connexe) d’un sommet x de S est le plus grand sous-graphe connexe (resp. fortement connexe) de G contenant le sommet x.

Page 87: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 87

Connexité et forte connexité

1

2

3

4 7

5 6

8

9

2 composantes connexes

Page 88: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 88

Connexité et forte connexité

1

2

3

4 7

5 6

8

9

7 composantes fortement connexes

Page 89: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 89

Exercice 8

1. Calculez les composantes connexes (resp.fortement connexes) du graphe des diviseurs pour n=10.

Page 90: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 90

Représentation des graphes Matrices d’adjacence

On identifie l’ensemble S des sommets à {1, 2, …, N }

La matrice d’adjacence du graphe orienté G = (S,F) est la matrice A de MN({0,1}) définie par :

• A[i][j] = 1 si et seulement si (i,j) F

• A[i][j] = 0 si et seulement si (i,j) F

Représentation fondamentalement booléenne des arcs Complexité en espace : O(N2)

Page 91: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 91

Représentation des graphes Matrices d’adjacence

0 1 00 0 11 1 1

A =

Matrice d’adjacencedu graphe G

1 2

3

Un graphe G

Page 92: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 92

Représentation des graphes MuPadMatrices d’adjacence

Page 93: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 93

Représentation des graphes Listes de successeurs

On identifie l’ensemble S des sommets à {1, 2, …, N }.

La liste des successeurs du sommet i d’un graphe orienté G = (S,F) est la liste L[i] définie par :

• L[i] = { j S, (i,j) F }

La donnée de l’ensemble des listes de successeurs est équivalente à celle du graphe G.

Représentation dynamique du graphe

Complexité en espace : O(N+M) où M = |F|

Page 94: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 94

Représentation des graphes :Listes de successeurs

Listes de successeursdu graphe G

1

2

3

L2

3

1 2

3

1 2

3

Un graphe G

Page 95: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 95

Représentation des graphes MuPadListes de successeurs

Page 96: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 96

Parcours de graphe :Exploration en profondeur d’abord

Etant donné un graphe orienté G = (S,F), comment parcourir tous les sommets de manière systématique ?

Initialement tous les sommets ne

sont pas marqués

Principe :marquer ou numéroter

les sommets

Page 97: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 97

Parcours de graphe :Exploration en profondeur d’abord

Etant donné un graphe orienté G = (S,F), comment parcourir tous les sommets de manière systématique ?

-1

-1 -1 -1

Initialement tous les sommets ne

sont pas marqués

Principe :marquer ou numéroter

les sommetsC’est-à-dire sont

tous numérotés à -1

C’est-à-dire sont tous numérotés à -1

Page 98: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 98

Parcours de graphe :Exploration en profondeur d’abord

Etant donné un graphe orienté G = (S,F), comment parcourir tous les sommets de manière systématique ?

0

-1 -1 -1

Etape 1 : on numérote à 0le sommet initial

Etape 2 :on numérote récursivement les successeurs du sommet

initial

Page 99: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 99

Parcours de graphe :Exploration en profondeur d’abord

Etant donné un graphe orienté G = (S,F), comment parcourir tous les sommets de manière systématique ?

0

1 -1 -1

si ceux-ci ne sont pas déjà numérotés !

Etape 2 :on numérote récursivement les successeurs du sommet

initial

Un sommet non encore exploré peut en effet avoir été numéroté lors de l’exploration récursive de l’un de ces frères.

Un sommet non encore exploré peut en effet avoir été numéroté lors de l’exploration récursive de l’un de ces frères.

Page 100: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 100

Exploration en profondeur d’abord

Page 101: Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

Théorie des graphes et MuPad 101

Exercice 2 :Exploration en profondeur d’abord

Appliquer la méthode d’exploration en profondeur d’abord au graphe donné ci-dessus en commençant l’exploration en 1.

1

2

3

4 7

5 6