Théorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Première journée.

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  • Thorie des graphes et MuPad1 Stage Graphes et Mupad Premire journe
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  • Thorie des graphes et MuPad2 Plan de la journe Graphes: outils de modlisation Mathmatisation Algorithmtisation Dcouverte de Mupad MuPad et graphes
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  • Thorie des graphes et MuPad3 Graphes: outils de modlisation Optimisation combinatoire Plus court chemin Recherche oprationnelle Ordonnancement, flot Reprsentation de liens de dpendance Logique, promenades alatoires Comportement de systmes informatiques Systmes distribus Problmes dans des rseaux etc.
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  • Thorie des graphes et MuPad4 4 villages de Sildavie Zmrzlina Kava Kolac Dort
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  • Thorie des graphes et MuPad5 25 9 12 11 8 9 6 7 Zmrzlina Kava Kolac Dort Rseau routier Problme: organiser la signalisation (routage)
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  • Thorie des graphes et MuPad6 Problme 2: trouver une tourne pour le postier 25 9 12 11 8 9 6 7 Zmrzlina Kava Kolac Dort
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  • Thorie des graphes et MuPad7 Zmrzlina Kava Kolac Dort Une tourne possible du postier 9 11 12 9
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  • Thorie des graphes et MuPad8 Exercice 1 Ce circuit est-il le plus court possible? 25 9 12 11 8 9 6 7 Zmrzlina Kava Kolac Dort
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  • Thorie des graphes et MuPad9 Matrice aux arcs du graphe 1 4 2 3 8 9 12 25 11 6 7 9
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  • Thorie des graphes et MuPad10 Le produit est remplac par la concatnation des mots et la somme par lunion, de plus, on ne retient que les chemins sans circuit (chemins lmentaires). Le produit latin
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  • Thorie des graphes et MuPad11 Proposition: Les puissances r-imes successives de M numrent les chemins lmentaires dordre r du graphe
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  • Thorie des graphes et MuPad12 On obtient lensemble des chemins hamiltoniens (chemins lmentaires passant par tous les points du graphe) Do on dduit les circuits hamiltoniens du graphe
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  • Thorie des graphes et MuPad13 Il y a essentiellement 2 circuits (hamiltoniens): 13421 Longueur 11+6+25+8=50 13241 Longueur 11+9+12+9=41 13421 est le meilleur!
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  • Thorie des graphes et MuPad14 Exercice 2 Le problme de monsieur N Mr. N, personnage mythique japonais, habite la case du coin suprieur gauche dun carr de 8x8 cases, et se propose de rendre visite Mr. G, lequel habite la case du coin infrieur droit. Mr. N se dplace sur lchiquier en passant dune case lune des cases adjacentes (pas de diagonale). Est-il possible de trouver un parcours qui lamne chez Mr. G, en passant une et une seule fois sur toutes les autres cases de lchiquier? Berge (1970)
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  • Thorie des graphes et MuPad15 Le problme revient trouver un chemin hamiltonien dans le graphe des dplacements possibles sur lchiquier On peut cependant remarquer que Mr. N et Mr. G habitent sur des cases blanches, Mr. N doit faire 63 sauts, il aboutira donc ncessairement sur une case noire (absurde)
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  • Thorie des graphes et MuPad16 Un projet dadduction deau Zmrzlina Kolac Kava Dort
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  • Thorie des graphes et MuPad17 Ordonnancement des tches TcheDureOprations antrieures a Cahier des charges 30 b Approbation par Zmrzlina 5a c Approbation par Kava 5a d Approbation par Kolac 5a e Approbation par Dort 5a f Lancement des appels d'offres 8b,c,d,e g Commande 2f h Creuser les tranches 10b,c,d,e i Construire les chteaux 20g j Placer les canalisations 5h k Installer l'lectronique 3h,g l Installer les pompes 3j m Tester le systme 5h,i,k,l n Distribution de l'eau au public 6m
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  • Thorie des graphes et MuPad18 Graphe dordonnancement des tches a c b h e d igf lj nm k
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  • Thorie des graphes et MuPad19 Fin de chacune des tches 30 35 45 35 644442 5350 7569 47 Chemin critique incompressible, si on allonge une dure sur ce chemin cest la dure totale des travaux qui est allonge.
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  • Thorie des graphes et MuPad20
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  • Thorie des graphes et MuPad21 Capacit des canalisations et flot maximal Zmrzlina Kava Kolac Dort
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  • Thorie des graphes et MuPad22 Dbit de chaque chteau deau Capacit des canalisations A C 2 1 4 3 B 50 75 25 100 75 50 E 100 125 225 Consommation maximale de chaque village S 150 100 50 150
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  • Thorie des graphes et MuPad23 Flot dans le rseau On cherche des rels dfinissant le flux sur larte (a,b) ab
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  • Thorie des graphes et MuPad24 Conservation du flux Loi de Kirchof: Le flux entrant est gal au flux sortant dans chaque nud i
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  • Thorie des graphes et MuPad25 Compatibilit avec la capacit des artes Compatibilit du flot: Le flux dans chaque arte est infrieur ou gal la capacit de larte ab
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  • Thorie des graphes et MuPad26 Le problme du flot maximal Trouver un flot maximal cest trouver un flot compatible qui rend maximal le flot dans larte virtuelle (S,E) dont la capacit est pose infinie
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  • Thorie des graphes et MuPad27 Premires tapes Trouver un flot compatible Le flot nul convient Saturer le flot Tant quil existe un chemin de E vers S sans aucune arte sature, on augmente le dbit sur ce chemin jusqu saturation dune arte
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  • Thorie des graphes et MuPad28 Premire tape de la boucle tant que S A C 2 1 4 3 B 0 0 0 E 0 0 0 0 0 0 0 0 400 0 0 0 0 (100) (50) (150)
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  • Thorie des graphes et MuPad29 Premire tape de la boucle tant que S A C 2 1 4 3 B 0 0 0 E 0 0 50 0 0 0 400 50 0 0 0 (100) (50) (100)
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  • Thorie des graphes et MuPad30 Deuxime tape de la boucle tant que S A C 2 1 4 3 B 0 0 E 0 0 50 0 0 400 50 0 0 0 100
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  • Thorie des graphes et MuPad31 Au bout dun certain nombre dtapes En fait: au plus le nombre dartes -2 ! Sur notre exemple exactement 8 tapes
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  • Thorie des graphes et MuPad32 On obtient un flot complet Il nest pas forcment maximal! S A C 2 1 4 3 B 50 25 50 100 25 50 E 100 125 175 150 100 50 100 400
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  • Thorie des graphes et MuPad33 S A C 2 1 4 3 B 50 25 50 100 25 50 E 100 125 175 150 100 50 100 400 Montrons quil nest pas maximal
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  • Thorie des graphes et MuPad34 Equation de conservation du flux Flux entrant Flux sortant 100+125+100+50+50 = 25+400 Pour le flux entrant, on ne peut pas faire mieux! Objectif: diminuer le flux sortant de larte (B,3)
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  • Thorie des graphes et MuPad35 S C 4 3 B 50 25 50 E 125 175 50 100 400 Rduction du dbit sur le tuyau (B,3) (225) (75) (100) (150)
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  • Thorie des graphes et MuPad36 S C 4 3 B 50 E 125 50 75 0 50 200 125 400 On peut le rduire zro
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  • Thorie des graphes et MuPad37 Equation de conservation du flux Flux entrant Flux sortant 100+125+100+50+50 = 0 + 425 Le flux entrant est maximum Le flot maximum est atteint !
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  • Thorie des graphes et MuPad38 Conclusion Le rseau ne permet pas de rpondre une demande maximale des quatre villages! Il faut construire une nouvelle canalisation de C vers 4 de capacit minimum 25 l/s Les responsables auraient mieux fait de faire une tude pralable!
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  • Thorie des graphes et MuPad39 S A C 2 1 4 3 B 50 100 50 E 100 125 150 100 50 0 75 50 200 125 400 425
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  • Thorie des graphes et MuPad40 Question Evaluer le flot maximum du rseau lectrique EDF sur toute la France Algorithme de Ford et Fulkerson Dfinition- Correction- Complexit
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  • Thorie des graphes et MuPad41 Un autre problme: celui du chauffeur de taxi Zmrzlina Kava Kolac Dort
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  • Thorie des graphes et MuPad42 Graphe de transition 1 4 2 3 0.5 0.2 0.3 0.2 0.1 0.2 0.1 0.5
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  • Thorie des graphes et MuPad43 O dsigne la probabilit conditionnelle que le taxi aille en j sachant quil est en i Mathmatisons la promenade alatoire du taxi sur notre rseau Posons:
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  • Thorie des graphes et MuPad44 Exercice 3 La matrice que nous venons de construire les proprits: Toute matrice qui a ces proprits est dite stochastique. Montrer que les matrices stochastiques admettent 1 comme valeur propre.
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  • Thorie des graphes et MuPad45 Rponse exo 3 Le vecteur est vecteur propre pour la valeur propre 1
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  • Thorie des graphes et MuPad46 Posons o dsigne la probabilit que le taxi soit en i. Soit V le vecteur dfini par: V=VM alors dsigne la probabilit conditionnelle que le taxi se trouve aprs une course dans la ville i sachant la distribution de probabilit initiale V de prsence dans chacune des viles
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  • Thorie des graphes et MuPad47 Chane de Markov Par rcurrence, on dfinit un processus: O dsigne le vecteur condition initiale et le vecteur reprsente la distribution de probabilit de prsence du taxi dans chacune des villes la fin de la nime course, sachant la condition initiale.
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  • Thorie des graphes et MuPad48 Exprimentation On fait lhypothse que le chauffeur de taxi part le mat