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  • Exercices de Thorie des Graphes

    EFREIL3/L'3Anne 2008/2009

    Travaux Dirigs de Thorie des Graphes

    Enoncs des exercices

    Rappels - Notion principales sur les graphes

    Graphe - arte - sommetGraphe orient - arc - point d'entre - point de sortieChemin - Boucle - CircuitGraphe valuMatrice d'incidence - Matrice d'adjacence

    Exercice 1 - Conseil d'administration

    Le Conseil d'Administration de l'institut X est compos de 7 personnes : Mesdames D et P etMessieurs G, H, K, S et V.Chacune de ces personnes influence un certain nombre de ses collgues, conformment autableau ci-dessous :

    M. ou Mme InfluenceD G, H, P, S, VG PersonneH GK G, H, P, VP G, HS G, H, K, P, VV G, H, P

    Reprsentez, au moyen d'un graphe en explicitaant les sommets et les arcs du graphe lesjeux d'influence ( sphre d'influence ) au sein du conseil.

    Exercice 2 - Bouteilles

    Claude dispose d'une bouteille contenant huit litres de vin.Il a dans sa cave une bouteille vide de cinq litres, et une autre tout aussi vide de trois litres.Il dsisre partager le vin en deux parts de quatre litres chacune sans utiliser aucun autre moyende mesure.Indiquez-lui la faon de procder au moyen d'un graphe dans lequel chaque sommet possdeune tiquette reprsentant la quantit de vin contenue dans les bouteilles de cinq et trois litres.

    Vous devez pour cela :

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    dfinir le graphe que vous utilisez de faon formelle (sommets, arcs) ; noncer le problme rsoudre en terme de graphe et de problme que l'on rsoud de

    faon classique sur un graphe ; tracer le graphe.

    Exercice 3

    On dfinit une relation R sur l'ensemble des 9 premiers entiers naturels non nuls comme suit :x R y x est un diviseur de y

    1. Reprsenter cette relation par un graphe orients.2. Dterminer partir du graphe l'ensemble des nombres pairs et l'ensemble des nombresimpairs.

    Exercice 4

    Soit le graphe G = ( X , U ) reprsent par le graphique suivant :

    1. Reprsenter la matrice d'adjacence associe, et d'incidence aux arcs du graphe G.2. Dduire partir de la matrice associe le degr du sommet x2.3. Retrouver le rsultat de la deuxime question partir de la matrice d'incidence aux arcs.

    Exercice 5

    Etude des diffrentes reprsentations machinepossibles pour un graphe.

    Vous prendrez comme exemple le graphe ci-contre.Remarque : les valeurs indiques ct des arcs sontles numros des arcs.

    Vous ferez d'abord l'exercice dans le cas de graphenon valu.Ensuite, vous apporterez les modificationsncessaires vos rponses dans le cadre de graphevalu.

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    Vous utiliserez un pseudo-code, ou C.

    Dans un premier temps, pour chacune des reprsentations possibles :

    1) Dfinissez les structures de donnes2) Reprsentez graphiquement le graphe ci-dessus selon ces structures de donnes3) Ecrivez les formules ou algorithmes permettant de satisfaire aux oprations de bases

    telles que :- nombre (/ liste) des successeurs (/ des prdcesseurs)- recherche du successeur pour lequel l'arc a la plus faible valeur-

    Dans un deuxime temps, discutez de l'efficacit de telle ou telle reprsentation pour effectuertelle ou telle opration

    Exercice 6 - Dtection de circuit - Algorithme de Rosalind-Marimond

    Si un graphe est sans circuit, alors il existe un sommet qui n'a pas d'antcdentetil existe un sommet qui n'a pas de successeur

    1) Ecrire un algorithme permettant de dtecter si un graphe contient ou non un circuit2) Drouler l'algorithme sur l'exemple suivant :

    1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12succ 5 4 7 8

    127 1011

    8 1112

    12 1 310

    10 12 11 5 7 5 12

    Exercice 7 - Chemins lmentaires et hamiltoniens

    Soit les dominos suivants :

    BE TE SE ME VE CU LE SE TE LE RE MI1 2 3 4 5 6

    Rgles : 1. on commence par "BE-TE" et on joue de la gauche vers la droite uniquement2. deux dominos peuvent tre mis cte--cte si la 2ime partie du 1er domino forme unmot avec la 1re partie du 2nd dominoet bien videmment un domino ne peut tre utilis qu'une seule fois

    1) Construire un graphe avec la rgle 22) Donner toutes les configurations possibles du jeu avec les rgles 1 + 2

    Chemin lmentaire : ne contient pas 2 fois le mme sommet3) Donner toutes les configurations totales (incluant tous les dominos)

    Chemin hamiltonien : lmentaire et contient tous les sommets

    Exercice 8 - Connexit d'un graphe

    Soit x et y deux sommets d'un graphe,x et y ont une relation de connexit si et seulement si

    il existe une chane entre x et y ou bien x = y

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    x et y ont une relation de forte connexit si et seulement siil existe un chemin de x y et de y x ou bien x = y

    Un graphe est dit [fortement] connexe si tous ses nuds ont deux deux la relation de [forte]connexit.Une composante [fortement] connexe est un ensemble de nud qui ont deux deux la relationde [forte] connexit ; et tel qu'aucun nud de cet ensemble la relation de [forte] connexitavec un lment en dehors de la composants.

    1) Ecrire un algorithme qui permet de dterminer la composante fortement connexecontenant un sommet donn.

    2) Ecrire un algorithme qui permet de trouver toutes les composantes fortement connexesd'un graphe.

    Exercice 9 -- Passeur, chvre, chou et loup

    Une chvre, un chou et un loup se trouvent sur la rive d'un fleuve ; un passeur souhaite lestransporter sur l'autre rive mais, sa barque tant trop petite, il ne peut transporter qu'un seuld'entre eux la fois.Comment doit-il procder afin de ne jamais laisser ensemble et sans surveillance le loup et lachvre, ni la chvre et le chou ?

    Exercice 10 -- Allumettes

    Deux joueurs disposent de 2 ou plusieurs tas d'allumettes. A tour de rle, chaque joueur peutenlever un certain nombre d'allumettes de l'un des tas. Le joueur qui retire la dernire allumetteperd la partie.

    4) Modliser ce jeu l'aide d'un graphe dans le cas o on dispose au dpart de 2 tas de 3allumettes chacun, et o un joueur peut enlever une ou deux allumettes chaque fois.

    5) Que doit jouer le premier joueur pour gagner la partie coup sr ?

    Exercice 11 -- Echiquier

    Essayez d'exprimer en termes de graphes les problmes suivants :

    1) Peut-on placer huit dames sur un chiquier sans qu'aucune d'elles ne puisse en prendreune autre ?

    2) Un cavalier peut-il se dplacer sur un chiquier en passant sur chacune des cases une foiset une seule ?

    3) Combien doit-on placer de dames sur un chiquier 5x5 afin de contrler toutes les cases ?

    Exercice 13 -- Quadrillage

    Est-il possible de tracer une courbe, sans lever le crayon, qui coupe chacun des 16 segmentsde la figure ci-dessus ?

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    Exercice 15 -- Algorithme de parcours dans un arbre

    On souhaite reprsenter un "dictionnaire" sous la forme d'un arbre.1) Dessiner l'arbre permettant de contenir les mots ABAT, ABIME, ACTE, ACTUEL.2) Ajouter le mot SOUTE.3) Ajouter le mot SORT.4) Ajouter le mot SOU.5) Expliquez comment, l'aide d'un tel arbre, il est possible de dterminer si un mot donn

    appartient ou non au dictionnaire.6) Ecrire l'algorithme d'une fonction qui dtermine si un "mot" appartient ou non un

    "dictionnaire" ("mot" et "dictionnaire" sont les paramtres de cette fonction).

    Exercice 16 - Mise en oeuvre d'un arbre

    1) Dcrivez des reprsentations possibles d'un arbre.2) Dessinez la reprsentation mmoire de l'arbre obtenu la question 4 de l'exercice prcdent.

    Exercice 17 -- Permutations autour d'une table ronde

    1. Un groupe de 9 lves se runit chaque jour autour d'une table ronde. Combien de jourspeuvent-ils se runir si l'on souhaite que personne n'ait 2 fois le mme voisin ?

    2. Mme question pour 10 lves, 11 lves, n lves.3. 9 lves, mais avec 2 tables, l'une 4 places et l'autre de 5 places.

    Exercice 19 -- Plan de table et incompatibilits

    Un groupe de 8 personnes se retrouve pour dner. Le graphe ci-contre reprsente les "incompatibilitsd'humeur" (ex. A ne s'entend pas avec B).Comment dterminer un plan de table pour que lasoire se passe bien ?

    Exercice 20 - Coloration de carte

    On veut colorier chaque rgion administrativefranaise (mtropole + Corse) de telle sorteque deux rgions voisines ne soient pas de lamme couleur.

    - Reprsenter le problmesous la forme d'un graphe.

    - Dcrivez et droulezl'algorithme permettant dersoudre ce problme.

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