Stratégie d’encerclement connexe dans les graphes

Stratégie d’encerclement connexe dans les graphes

Pierre Fraigniaud, Nicolas Nisse

LRI Orsay

Réunion FRAGILE, Aussois, 23 mars 2005 2/49

Encerclement dans les graphes But

Un groupe d’agents mobiles doit :

- capturer un intrus dans un réseau ;

- nettoyer un réseau contaminé ; Utiliser le moins de ressources possibles.

MotivationsSécurité dans les réseaux informatiques ;

Maintenance de réseaux de pipelines ;

Opération de secours dans des souterrains.


Plan

Stratégie d’encerclement

Connexité

Décomposition arborescente connexe

Rapport cs(G)/s(G)


Encerclement dans un graphe Stratégie d’encerclement (Parson. [GTC,1976]). Suite de 3 opérations élémentaires

1. Placer un agent sur un sommet du graphe ;2. Déplacer un agent le long d’une arête ;3. Supprimer un agent d’un sommet du graphe.

Résultant en le nettoyage du grapheUn agent nettoie une arête quand il la traverse ;Une arête reste propre si ses deux extrémités sont protégées.

On veut minimiser le nombre d’agentss(G), plus petit nombre d’agents nécessaire à une stratégie

d’encerclement dans le graphe G.


Graphes simples

Chemin


Graphes simples

s(Pn) = 1

Anneau

Chemin


Graphes simples

s(Pn) = 1

Anneau

Chemin

s(An) = 2


Stratégie d’encerclement monotone

DéfinitionUne stratégie d’encerclement est monotone s’il n’y a pas de

recontamination Encerclement monotone

ms(G), plus petit nombre d’agents nécessaire à une stratégie d’encerclement monotone dans le graphe G.


La recontamination n’aide pas

Pour tout graphe G, ms(G) = s(G).LaPaugh.

Recontamination does not help to search a graph. [JACM,1993]

Bienstock et Seymour.

Monotonicity in graph searching. [JoA,1991] s(G) ≤ k est un problème NP-complet


Décomposition arborescente (T, (Xv)vV(T) )

un arbre et une famille de sommets de G ; 3 propriétés.

Largeur de (T,X) = max{| Xv |-1 / v V(T)} Largeur d’arborescence de G, tw(G), est la largeur

minimale parmi toutes les décompositions arborescentes de G.

Décomposition linéaire (P, (Xv)vV(T) ), avec P un chemin

Largeur linéaire de G, pw(G).


Exemple


Relations avec des paramètres “classiques”

Le fugitif est :Omniscient;

Arbitrairement rapide. Selon les variantes, le fugitif peut être :

Visible => tw(G) ≤ s(G) ≤ tw(G)+1;

Invisible => pw(G) ≤ s(G) ≤ pw(G)+1.


s(G) ≤ pw(G) + 2

Soit (X1, X2,…, Xi, Xi+1,…, Xr) une décomposition linéaire d’un graphe G de largeur pw(G).

A l’étape i, le graphe induit par Uk<i Xk est nettoyé ;

1. Placer pw(G)+1 agents sur les sommets de Xi

2. Un agent supplémentaire nettoie les arêtes de Xi

3. Supprimer les agents des sommets de Xi/Xi+1

X1 Xi Xi+1XrXiXiXi Xi+1


pw(G) ≤ s(G)

Si (s1,s2,…,sr) est une stratégie d’encerclement monotone d’un graphe G, on construit une décomposition linéaire (X1, X2,…, Xi,…, Xr) telle que :

Xi contient les sommets occupés, ainsi que l’arête éventuellement nettoyée lors de l’étape i.


Largeur linéaire ≈ encerclement

J.A. Ellis, I.H. Sudborough et J.S. Turner. The Vertex Separation and Search Number of a Graph. Inf. Comput. 1994.

N.G. Kinnersley. The Vertex Separation number of a graph equals its path-width. IPL. 1992.

Pour tout graphe G de n sommets,

pw(G) ≤ s(G) ≤ pw(G) + 1


Plan


Connexité


Rapport cs(G)/s(G)


Introduction de la connexité dans le modèle

Limites du modèleImpossibilité de se déplacer à volonté dans la réalité ;Il est préférable que agents restent groupés.

Communications non sécurisées


Introduction de la connexité dans le modèle

Limites du modèleImpossibilité de se déplacer à volonté dans la réallité ;Il est préférable que agents restent groupés.

stratégie d’encerclement connexe, cs(G)A chaque étape, la partie nettoyée doit être connexe.


Exemple


Exemple

s(T) = 3


Exemple

s(T) = 3

cs(T) = 4 = 2s(T) - 2


Connexe vs non connexe L. Barriere, P. Fraigniaud, N. Santoro et D.

Thilikos. Connected and Internal Graph Searching. WG, 2003.L’encerclement connexe cs(G) n’est pas invariant par

mineur. Daniel Dyer. Sweeping Graphs and Digraphs.

[Thesis, 2004].Dans le cas connexe, la recontamination aide.


Cas des arbres L. Barriere, P. Flocchini, P. Fraigniaud et N.

Santoro. Capture of an Intruder by Mobile Agents. SPAA, 2002. Algorithme linéaire calculant une stratégie

d’encerclement connexe optimale et monotone dans le cas des arbres.

L. Barriere, P. Fraigniaud, N. Santoro et D. Thilikos. Connected and Internal Graph Searching. WG, 2003. Pour tout arbre T, s(T) ≤ cs(T) ≤ 2 s(T)-2 ;


Cas des graphes arbitraires P.D. Seymour et R. Thomas. Call Routing and the

Ratcatcher. Combinatorica, 14(2):217-241, 1994. Carving connexe ;

F. Fomin, P. Fraigniaud et D. Thilikos [rapport technique, 2004]

Décomposition en branche connexe ; Algorithme polynomial constructif.

F. Fomin, P. Fraigniaud et D. Thilikos [rapport technique, 2004]

Pour tout graphe connexe G, cs(G) ≤ s(G) (2+log2 |E(G)|).


Plan


Connexité


Rapport cs(G)/s(G)


Définitions :

Arête connexee est dite connexe si G[T1(e)] et G[T2(e)] sont des sous graphes connexes de G.

Décomposition arborescente connexe (T,X)Toute arête de E(T) est connexe.

Largeur arborescente connexe, ctw(G).

T1(e) T2(e)

e


Résultat (1)

M. Golumbic, Algorithmic graph theory and perfect graphs.

Triangulation minimale

tw(G) = min {w(H)/ H triangulation minimale de G}

Arbre de cliques

A. Parra and P. Scheffler, Characterizations and algorithmic applications of chordal graphs embedding.


Résultat (1)

Théorème : Pour tout graphe connexe G, ctw(G) = tw(G).

Preuve constructive : Algorithme polynomial qui, étant donnée une décomposition arborescente de largeur k de G, retourne une décomposition arborescente connexe de largeur ≤ k de G.


Définition

Décomposition arborescente enraciné en un sommet u. Arête sous-connexe

Une arête e = (w,v) où w est le père de v, est sous-connexe si : G[T(v)] est un sous graphe connexe de G.

(T,X) sous connexe en vV(T)- G[T(v)] est un sous graphe connexe de G ;- toute arête de T(v) est sous connexe.

T(v)

e

u

w

v


Algorithme (1) Entrée :

(Tu,X) une décomposition arborescente de largeur k de G.

2 phases Montée : rend la décomposition sous-connexe Descente : rend la décomposition connexe


Algorithme (2) Sous-procédure appliquée à un sommet v V(T) tel

que T est sous connexe en w1,…,ws les fils de s :

V’

w1 w2 w3 w4 w5

v



que T est sous connexe en w1,…,ws les fils de s :- détermine les composantes connexes de Xv : Y1 ,…,Yr;

Y1 Y2 Y3

V’

w1 w2 w3 w4 w5



que T est sous connexe en w1,…,ws les fils de s :- crée un graphe bipartie dont une partition est formée de r sommets

Y1 ,…,Yr et l’autre des s sommets w1,…,ws. Il y a une arête entre Yi et wj ssi Yi Xwj

Y1 Y2 Y3

w1 w2 w3 w4 w5

Y1 Y2 Y3

V’

w1 w2 w3 w4 w5



que T est sous connexe en w1,…,ws les fils de s :

- modifie la décomposition arborescente en fonction des composantes connexes du graphe bipartie

Y1 Y2 Y3

w1 w2 w3 w4 w5

V’

v1

v2

V’

Y1 Y2 Y3

V’

w1 w2 w3 w4 w5


Algorithme (2)

Y1 Y2 Y3

w1 w2 w3 w4 w5

V’

v1

v2Y1 Y2 Y3

V’

w1 w2 w3 w4 w5

V’V’

La décomposition arborescente résultante est sous connexe en les nouveaux descendants de v’


Algorithme (3) Phase 2 : descente de la racine aux feuilles

Entrée : décomposition arborescente sous-connexe ; Il reste des arêtes qui font défaut à la connexité ;



Rotation de la décomposition ;



Application de la sous procedure.


Complexité Algorithme en O(N.k3) avec N=|V(G)| et k la largeur de la décomposition

arborescente en entrée

V.Bouchitté, D.Kratsch, H.Muller and I.Todinca. On treewidth approximations.Il existe un algorithme polynomial qui calcule une

décomposition arborescente de largeur au plus tw(G).log tw(G).


Plan


Connexité


Rapport cs(G)/s(G)


Résultat (2)

Théorème : Pour tout graphe connexe G, cs(G) ≤ s(G) (2+log2 |V(G)|).

Preuve constructive : Algorithme construisant une stratégie d’encerclement connexe de G utilisant au plus tw(G).log |V(G)| agents.


Idée de la démonstration (1) Démonstration par induction sur |V(G)|. N. Robertson et P.D. Seymour. Graph Minors II.

Algorithmic Aspects of Tree-Width. J. of Alg 7, 1986. 2 cas : pour toute décomposition arborescente d’un graphe

G de n sommets, il existe 1 ou 2 sommets tels que : Pour tout 1 ≤ j ≤ r, |G[Tj]| ≤ n/2

T1 Ti Tr T1 Ti Ti+1 Tr


Idée de la démonstration (2) Décomposition arborescente connexe

Empécher la recontamination

≤ tw (G) agents

≤ tw(G) log n/2 agents


Idée de la démonstration (2) Décomposition arborescente connexe

≤ tw(G) log n/2 agents

cs(G) ≤ tw(G). log2 n

Empécher la recontamination

≤ tw (G) agents

cs(G) ≤ s(G). (log2 n + 2)


Conclusions Résultats

connexité inhérente à la décomposition arborescente ; nouvelle borne supérieure pour cs(G)/s(G) ;

Perspectives Amélioration de la borne cs/s ; généralisation aux graphes q-connexes ; algorithmes répartis ; algorithmes paramétrés.

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