Mécanique : tenseurs 1ère partie Algèbre linéaire ...leborgne/IsimathMeca/MecaAlgL.pdf · 4 1....

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Notes de cours de l'ISIMA, deuxime annehttp://www.isima.fr/leborgne

Mcanique : tenseurs 1re partie Algbre linaire : vecteurs et formes linaires duales (contravariance etcovariance), formules de changement de bases, tenseurs, contractions...

Gilles Leborgne

13 mai 2013

Table des matires

1 Introduction 41.1 Notation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.2 Espace vectoriel des fonctions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41.3 Rgle de calcul du produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4 Utilisation du mot canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.4.1 Dans l'espace Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.2 Dans un espace de dimension n, exemple P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51.4.3 Isomorphisme canonique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6

1.5 Utilisation du mot intrinsque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.5.2 Sur les vecteurs et leur reprsentation dans une base . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.3 Sur les produits scalaires et leur utilisation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.4 * Relativit restreinte et produit euclidien de R4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.5.5 * Relativit restreinte et pseudo-produit scalaire de Minkowski . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Applications linaires 92.1 Applications linaires et formes linaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

2.1.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92.1.2 Bases et caractrisation d'une application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.3 Dnition d'une base duale . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102.1.4 Expressions tensorielles d'une application linaire, et matrices . . . . . . . . . . . . . . . 112.1.5 Nullit d'un vecteur . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.6 Continuit des applications linaires en dimension nie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.7 Norme d'une application linaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.1.8 Normes matricielles et norme de Frobenius . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

2.2 Composition d'applications linaires et produit matriciel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3 Noyau, image, isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.3.1 Noyau . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.3.2 Image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.3.3 Isomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18

3 Dual, base duale 183.1 Espace dual E = L(E;R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183.2 Base duale (ei)i=1,...,n : base des projections parallles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.2.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193.2.2 Proprits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

3.3 Dimensions en physique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213.4 Bis : reprsentation tensorielle dans L(E;F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3.4.1 Tenseur lmentaire v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223.4.2 Expression tensorielle d'un endomorphisme . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.5 Application la direntielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.1 Dnitions . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 243.5.2 Jacobienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

4 Bidual E 254.1 Remarque : matrices transpose et adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 254.2 Espace bidual E et l'isomorphisme canonique J : E E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 264.3 Base (i) du bidual : oprateurs de drivation dans les directions ei . . . . . . . . . . . . . . . . 27

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5 Formes bilinaires 285.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.2 Matrice d'une forme bilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 285.3 Continuit d'une forme bilinaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 295.4 Dnition d'un produit scalaire, et matrice de masse . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 315.5 Endomorphisme transpos (relativement un produit scalaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 345.6 Endomorphisme symtrique (relativement un produit scalaire) . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

6 Tenseur : premire approche : forme multilinaire 36

7 Formules de changement de base 377.1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.2 Reprsentation des endomorphismes inversibles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 377.3 Matrice de passage P de changement de base : ej,new =

i P

ij ei,old . . . . . . . . . . . . . . . . 38

7.4 Matrice inverse de la matrice de passage : Q = P1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 387.5 Pour les composantes des vecteurs : [v]new = P

1.[v]old . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 397.6 Formules de changement de bases entre bases duales . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 407.7 Pour les composantes des formes linaires : []new = []old.P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.8 Pour les endomorphismes : [L]new = P

1.[L]old.P . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 417.9 Pour les tenseurs de T 02 : [g]new = P

T .[g]old.P (les produits scalaires en particulier) . . . . . . . 427.10 Pour les tenseurs de T 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.11 Loi d'inertie de Sylvester et signature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 437.12 * Pseudo produit scalaire et produit scalaire lorentzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45

7.12.1 * Dnition d'un pseudo produit scalaire . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.12.2 * Dnition du produit scalaire lorentzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 457.12.3 * Signature du produit scalaire lorentzien . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 467.12.4 * Transformation de Lorentz (changement de base) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

8 Vecteur covariant vs. vecteur contravariant 478.1 Dnition de vecteur co- ou contravariant : gomtrie direntielle . . . . . . . . . . . . . . . 478.2 Co- et contra- : traditionnellement attach aux rgles de changement de base . . . . . . . . . . 47

9 Vecteur de reprsentation d'un vecteur covariant 479.1 Thorme de reprsentation de Riesz et vecteur de reprsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

9.1.1 Le thorme de reprsentation de Riesz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 489.1.2 Rciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 499.1.3 Cas du pseudo-produit scalaire de Lorentz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

9.2 Le vecteur de reprsentation est un vecteur (est contravariant) . . . . . . . . . . . . . . . . . . 509.3 Exemple : le vecteur gradient est un vecteur de reprsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . 519.4 Exemple : une force est un vecteur de reprsentation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 549.5 Exemple : la quantit de mouvement est un vecteur de reprsentation . . . . . . . . . . . . . . 559.6 * Tenseur des contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56

9.6.1 Approche classique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.6.2 Approche physique mathmatique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 569.6.3 Application la mthode du gradient conjugu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

9.7 * Mtrique g(, ) associe dans E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

10 Tenseur de Kronecker (contraction) et trace 6010.1 Tenseur de contraction (Kronecker) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6010.2 Trace d'un endomorphisme et invariance de la trace par changement de base . . . . . . . . . . 61

10.2.1 Trace d'un tenseur de T 11 (E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6110.2.2 Trace d'un endomorphisme dans L(E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

10.3 Exemple de l'oprateur divergence . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6210.4 Exemple des contractions de Maxwell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.5 Contraction de tenseurs de T rs . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6310.6 Double contraction de deux tenseurs de T 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 64

11 Tenseur identit et inverse 6511.1 tenseur unit (identit) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

11.2 Inverse d'un tenseur(02

): un tenseur

(20

). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65

11.3 Notation tij , et notation associe tij . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

11.4 Cas particulier [gij ] = I . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6611.5 Puis notation associe tij , et justication [gij ] = [gij ]

1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66

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12 La transpose d'une application bilinaire 6712.1 Dnition . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6712.2 Isomorphisme canonique L(E, E;R) = L(E,E;R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6712.3 Applications aux tenseurs de T 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.4 Applications aux tenseurs de T 02 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6812.5 Applications aux tenseurs de T 20 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

13 Isomorphismes canoniques et naturels (objectifs) 6913.1 Application linaire adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69

13.1.1 Dnition de l'application linaire adjointe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6913.1.2 Reprsentation matricielle et tensorielle de l'application linaire adjointe . . . . . . . . . 69

13.2 Isomorphismes canoniques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7113.2.1 L'isomorphisme canonique L(E;F ) L(F ;E) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7113.2.2 L'isomorphisme canonique L(E,F ;R) L(E;F ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7213.2.3 L'isomorphisme canonique L(E, F ;R) L(F,E;R) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7313.2.4 Les identications . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73

13.3 Diagrammes commutatifs et isomorphismes naturels . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.3.1 Diagramme commutatif . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7413.3.2 Application linaire naturelle relativement un oprateur . . . . . . . . . . . . . . . . 74

13.4 Isomorphisme non naturel E E . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7613.5 L'isomorphisme E E donn par J est naturel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7713.6 Isomorphisme (non naturel) usuel de reprsentation entre E et E . . . . . . . . . . . . . . . . 78

Rfrences bibliographiques 78

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4 1. Introduction

1 Introduction

But : comprendre les calculs intrinsques en mcanique.Les tenseurs considrs ici sont plus prcisment des formes multilinaires dans un espace vectoriel

de dimension nie. C'est un polycopi d'algbre linaire. Le sujet est souvent connu, mais la prsen-tation adopte ici est oriente application la mcanique et la physique : sous l'angle formulationintrinsque.

1.1 Notation

Soit E une espace vectoriel de dimension nie 1 sur le corps R des rels. Par exemple E = Rn,ou encore E = un sous-espace vectoriel dans Rn, ou encore E = un sous-espace de fonctions dedimension n.

Si on dispose d'une base (ei)i=1,...,n =not (ei) =not (e) de E, si x est un vecteur de E, on peutreprsenter x l'aide de ses composantes (xi)i=1,...,n sur la base : il existe n rels uniques xi tels que :

x =

ni=1

xieinot=

x1...xn

|(ei)

. (1.1)

On a ici implicitement dni l'application (qui dpend de la base (ei)) :

F(ei) :

E M(n, 1)

x 7 F(e)(x) =

x1...xn

|(ei)

, quand x =n

i=1

xiei(1.2)

o M(n, 1) est l'ensemble des matrices n1 (soit n lignes et 1 colonne), soit ici l'ensemble des matricescolonnes. Ainsi (1.1) signie :

x =

ni=1

xiei 7

x1...xn

|(ei)

(1.3)

N.B. : on utilisera systmatiquement la convention d'Einstein (notations de la covariance et de lacontravariance) : les notations indicielles pour les vecteurs et exponentielles pour les composantes devecteurs. Ainsi (ei)i=1,...,n sera une base de E, et pour x E, on notera x =

ni=1 x

iei, i.e. xi Rest la i-me composante du vecteur x dans la base (ei)i=1,...,n.

On peut alors utiliser la convention d'Einstein sur les indices rpts :

ni=1

xieinot= xiei. (1.4)

Donc on peut omettre le signe

quand un indice est rpt deux fois sous la contrainte : une foisen indice et une fois en exposant comme dans (1.4).

Ainsi l'expression xiei reprsente une somme (sauf mention contraire), mais l'expression xiei nepeut pas tre considre comme une somme (incohrence des positions des indices pour reprsenterune somme).

La distinction entre position en indice et position en exposant est fondamentale : c'est ladistinction entre un vecteur et une fonction forme linaire, voir la suite.

1.2 Espace vectoriel des fonctions

Rappel : soit E et F deux espaces vectoriels et soit deux sous-ensembles U E et V F . On noteF(U ;V ) l'ensemble des fonctions (ou applications) de U dans V . Cet ensemble est muni de l'additiondes fonctions et de la multiplication par un scalaire : les fonctions f + g et f sont dnis par,pour tout u U : (f + g)(u)

df= f(u) + g(u),

(f)(u)df= (f(u)).

Et (F(U ;V ),+, .) not= F(U ;V ) est ainsi un espace vectoriel.

4 13 mai 2013

5 1. Introduction

1.3 Rgle de calcul du produit matriciel

Dnition 1.1 Soit p, n,m N.Soit le tableau de rels A = [Aij ] i=1,...,m

j=1,...,n, appel matrice m n de m lignes et de n colonnes.

Soit le tableau de rels B = [Bk ] k=1,...,n=1,...,p

, donc matrice n p de n lignes et de p colonnes.On dnit le produit A.B dit produit matriciel des deux matrices A et B comme tant la matrice

m p (de m lignes et de p colonnes) donne par :

A.B = [m

k=1

AikBk ] i=1,...,m

=1,...,p.

(Contraction des indices j et k.)

1.4 Utilisation du mot canonique

1.4.1 Dans l'espace Rn

Dans Rn = R ... R (produit cartsien n-fois), le premier vecteur de base canonique est :

E1 = (1, 0, ..., 0) R ... R, E1not=

10...0

.De mme pour le second vecteur de base canonique E2 = (0, 1, 0, ..., 0) et les suivants jusqu' En =(0, ..., 0, 1).

L'ensemble (E1, ..., En) form de ces vecteurs forment alors trivialement une base de Rn appele la

base canonique. En notation matricielle, on peut galement crire E1 = 1E1 + 0E1 + ... =

10...0

|(E)

,

..., jusqu' En =

0...01

|(E)

.

N.B : l'utilisation mot canonique signie : on considre1- un espace qui est le produit cartsien d'un corps avec lui-mme, ici E = R ... R, et2- on utilise uniquement le 0 lment neutre de l'addition, et le 1 lment neutre de la multiplication,

ce dernier n'tant utilis qu'une seule fois.

1.4.2 Dans un espace de dimension n, exemple P1

Lorsque E est un espace de dimension n qui n'est pas du type prcdent, comme par exemple unsous-espace vectoriel de Rn ou un espace de fonctions de dimension nie, on ne peut plus parler demanire vidente de base canonique.

Exemple : approximation d'une fonction f : [0, 1] R par une fonction fh : [0, 1] R qui estane par morceaux (ce qui est fait sur l'cran d'un ordinateur pour reprsenter une fonction, commela fonction sinus, pixel par pixel). On commence par exemple par dcouper [0, 1] en n intervallesgaux en posant xi = i 1n pour i = 0, ..., n (on a dni ainsi n+1 points), et on note :

P1 = {les fonctions continues sur [0, 1] qui sont anes sur chaque intervalle [xi1, xi], i = 1, ..., n}.

C'est espace n'est pas de type produit cartsien K ... K o K est un corps. Et quand on prendune base, elle n'est donc pas canonique.

P1 est un espace de dimension n+1 dont une base est par exemple donne par les fonctions (ditesfonctions chapeau) dnies par, pour tout i, j = 0, ..., n :

i P1, i(xj) = ij .

(Voir cours d'lments nis.) Bien que les i soient dnis l'aide de 1 (une fois pour i(xi) = 1) et de0 (n fois pour i(xj) = 0 pour j = i), on ne dit pas que (i)i=0,...,n est une base canonique. D'ailleurs :par exemple 0 est non nulle sur [x0, x1] : pour tout x ]x0, x1[ on a 0(x) = 0 et 0(x) = 1.

5 13 mai 2013

6 1. Introduction

On ne peut donc plus ici parler de produit scalaire canonique, mme si on utilise souvent leproduit scalaire usuel de L2 :

b0(f, g) =

10

f(x)g(x) dx. (1.5)

Usuel ne veut pas dire canonique.On utilise galement souvent le produit scalaire usuel :

b1(f, g) = b0(f, g) + b0(f, g) (1.6)

qui donne l'nergie de dformation (voir cours d'lments nis). Il n'est pas plus canonique que b0(, ).

1.4.3 Isomorphisme canonique

On verra l'expression isomorphisme canonique (entre E et E) : on aura J : E E qui seradni sans constante (au sens : on n'utilise que la constante = 1 lment neutre de la multiplication),et sans rfrence une base particulire ou un produit scalaire particulier.

Et on verra qu'il n'a aura pas d'isomorphisme canonique (naturel) entre E et E. Mme s'ilexiste beaucoup d'isomorphimes entre E et E, tous demandent l'introduction d'objets comme unebase ou comme un produit scalaire, qui l'un et l'autre dpendent du choix d'un observateur (voirparagraphe suivant et ce qu'est le caractre intrinsque).

Et on verra que l'espace des formes bilinaires L(E,E;R) est canoniquement (naturellement)isomorphe L(E;E) espace des applications linaires de E dans E.

Et donc qu'il n'y a pas d'isomorphisme canonique (naturel) entre L(E;E) espace des endomor-phismes sur E et L(E,E;R) espace de formes bilinaires sur E (on verra que L(E,E;R) L(E;E)).

1.5 Utilisation du mot intrinsque

1.5.1 Introduction

On utilisera le mot intrinsque dans le sens suivant :

l'expression considre est intrinsque ssi elle est indpendante d'un observateur.

Dans ce cours, cela voudra dire que l'expression considre sera indpendante d'une base ou d'unproduit scalaire (qui l'un et l'autre dpendent du choix de l'observateur).

Exemple 1.2 La trace d'une application linaire Rn Rn est une valeur intrinsque : sa valeur estindpendante d'un changement de base et sa dnition n'utilise pas de produit scalaire. C'est la notionde contraction d'une forme avec un vecteur, voir plus loin.

Mais il n'existe pas de notion de trace d'une application bilinaire (notion qui ne serait pas ind-pendante d'un observateur).

Exemple 1.3 De mme la notion de dterminant un sens pour les endomorphismes, pas pour lesproduits scalaires. C'est clair avec formules de changement de base notes gnriquement

[ei,new] = P.[ei,old]. (1.7)

Pour un endomorphisme L de Rn, on a :

[L]new = P1.[L]old.P, qui donne det([L]new) = det([L]old), (1.8)

et le dterminant est conserv.Alors que pour une forme bilinaire sur Rn on a :

[b]new = PT .[b]old.P, qui donne det([b]new) = det([b]old) det(P )

2. (1.9)

Le dterminant n'est conserv que si on considre des changements de bases orthonormes : c'esttrs dpendant du choix des bases et impose de plus d'avoir pralablement choisi un produit scalaire(notion d'orthogonalit).

6 13 mai 2013

7 1. Introduction

1.5.2 Sur les vecteurs et leur reprsentation dans une base

Un vecteur ei est un lment d'un espace vectoriel. En tant que tel il est intrinsque, c'est unvecteur, mme s'il a t dsign par un observateur.

Par contre son utilisation en tant que vecteur de base pour reprsenter un autre vecteur (commev =

i v

iei qui est une reprsentation de v sur la base (ei)) mne aux calculs qui eux ne sontpas intrinsques, cf. les rgles de changement de bases, le choix des vecteurs de base dpendant desobservateurs.

1.5.3 Sur les produits scalaires et leur utilisation

Un produit scalaire est une forme bilinaire symtrique dnie positive. C'est un objet particulierg L(E,E;R) de l'ensemble des formes bilinaires sur E. En tant que tel il est intrinsque.

Par contre les calculs qui l'utilisent ne sont pas intrinsques, cf. les rgles de changement de bases.

Et le choix d'un produit scalaire, est un choix ( !) qui dpend de l'observateur (mme si de nombreuxproduits scalaires sont des choix usuels).

C'est clair dans les espaces de fonctions (de dimension nie ou innie) o on ne dispose pas deproduit scalaire canonique (pas plus que de base canonique, voir plus haut).

C'est galement clair dans Rn. En eet le produit scalaire est un outil de mesure (de longueuret d'angle). Il sert mesurer ce qu'on voit (une mesure dpend d'un observateur pas de l'objetlui-mme). Et lorsqu'on s'en sert pour les calculs, on utilise les composantes gij = g(ei, ej) du produitscalaire dans une base. En particulier, on pourra choisir une base qui est orthonorme relativement ce produit scalaire g(, ), c'est dire une base telle que gij = ij . Mais ce n'est pas toujours lechoix pratique, en particulier pour le calcul sur les surfaces ou varits ou les bases qui apparaissentnaturellement sont les bases de systmes de coordonnes, bases qui ne sont pas orthonormes engnral.

Exemple 1.4 Si on prend une photo d'un cercle sur le sol terrestre partir d'un avion la verticale,alors pour mesurer les distances et les angles on prend le produit scalaire euclidien (x, y)R2 =[x]T .[y] =

i x

iyi (au moins localement autour de la verticale).Et si on prend une photo de ce mme cercle mais partir d'un avion qui n'est pas la verticale,

on verra une ellipse et non un cercle sur la photo. Alors pour mesurer les distances (relles) et lesangles (rels) partir de la photo (qui donne une reprsentation du cercle sous forme d'ellipse), onprend le produit scalaire elliptique (x, y)A = (A.x, y)R2 = [x]T .A.[y] =

ij x

jAijyi o A est la

matrice symtrique elliptique qui transforme l'ellipse apparaissant sur la photo en le cercle rel surle sol. Voir polycopi de 1re anne de complment la mthode du gradient conjugu : Directionsconjugues : orthogonalit sur l'ellipse versus orthogonalit sur le cercle.)

Autrement dit on dforme la photo par l'intermdiaire de ce produit scalaire (pour simuler unephoto qui aurait t prise la verticale). C'est ce produit scalaire elliptique qui est le mieux adaptdans ce cas.

On se sert galement du produit scalaire pour reprsenter une forme linaire par un vecteur(thorme de reprsentation de Riesz). Cette reprsentation (qui n'est donc pas l'objet lui-mme),comme toute reprsentation, n'est pas intrinsque (c'est une reprsentation et non l'objet lui-mme).Cela s'exprime (le caractre non intrinsque) en dmontrant qu'il n'y a d'isomorphisme canoniqueentre un espace E et son dual E.

Cette reprsentation d'une forme linaire par un vecteur (aprs avoir introduit un produit sca-laire : thorme de reprsentation de Riesz) est trs utilise dans les calculs, tout comme la reprsen-tation d'un vecteur dans une base. Mais ces deux reprsentation ne sont pas intrinsques.

1.5.4 * Relativit restreinte et produit euclidien de R4

L'espace-temps est ici approxim par l'espace vectoriel R4 = R R3 = temps espace.Quand deux observateurs, se dplaant l'un par rapport l'autre, mesurent un mme vecteur, ils

comparent leurs mesures l'aide des formules de changement de base donnes par les transformationsde Lorentz. Ces formules ne sont pas des changements de bases orthonormaux usuel dans R4 : ils nesont ni norms ni orthogonaux au sens du produit scalaire euclidien (, )R4 de R4

Exemple : mouvement le long d'une ligne : en espace, tout se passe dans la direction des x, ettout est conserv en y et z. On se contente donc de travailler dans R R = temps espace.

7 13 mai 2013

8 1. Introduction

Soit un rfrentiel K = (O, e0, e1) et un rfrentiel K = (O, e0, e1), le rfrentiel K se dplaant la vitesse v = ve1 dans K (dplacement en espace), avec |v| < c o c est la vitesse de la lumire. Onnote :

=v

cet =

11 2

, (1.10)

soit = 11 v2

c2

, avec donc || < 1 et > 1 pour v = 0.

On note (t, x) RR un vecteur dans K, et (t, x) RR un vecteur dans K . Les formules deLorentz sont : t

= t vxc2,

x = x vt,

soit(t

x

)=M.

(tx

)o M =

(1 v

vc2 1

)

La matrice M n'est pas symtrique. En gnral on prfre re-norme la variable de temps et prendrepour vecteurs (x0=ct, x) dans K et (x0=ct, x) dans K (revient re-norm la vitesse en prenantc = 1). Ainsi : ct

= (ct vcx),

x = (x vcct),

(1.11)

, soit : (ct

x

)= P1.

(ctx

)o P1 =

(1 1

). (1.12)

La matrice P1 est maintenant symtrique (et de plus det(P ) = 1 : conservation des volumes del'espace temps). Et donc la matrice de changement de base (passage de la base (e0, e1) la base est(e0

, e1)) :

P =

(1 ++ 1

), (1.13)

soit :

e0 = e0 + e1 =

(1

)|e, e1

= e0 + e1 =

(1

)|e. (1.14)

P est symtrique mais P n'est pas une matrice orthonormale : P1 = PT .La vrication du fait qu'une matrice n'est pas orthonormale se fait aussi l'aide de ses vecteurs

colonnes et du produit scalaire euclidien. Ici, Si la base initiale (e0, e1) est la base canonique de R2,base orthonorme relativement au produit scalaire euclidien, alors la nouvelle ne l'est pas quand v = 0.En eet, par exemple (e0, e1)R2 = 22 = 0 quand v = 0.

Remarque 1.5 Dans R4, toujours pour v = ve1, comme y et z sont inchangs, la transformation selit :

ct

x

y

z

= P1.ctxyz

, P1 =

vc 0 0 vc 0 00 0 1 00 0 0 1

. (1.15)

1.5.5 * Relativit restreinte et pseudo-produit scalaire de Minkowski

Minkowski garde comme postulat, dans un rfrentiel donn (relativit restreinte) :

chaque instant t, l'espace gomtrique est l'espace R3 usuel .

Et il introduit un pseudo-produit scalaire (, ) dans lequel la transformation de Lorentz est pseudo-orthonormale, i.e. la matrice de passage P donne en (1.13) est pseudo-orthonormale : notantX = (x0, x) = (ct, x1, x2, x3) R R3, le pseudo-produit de Minkowski est la forme bilinaire

8 13 mai 2013

9 2. Applications linaires

symtrique non dgnre (, ) donne par :

(X, Y ) = x0y0 (x, y)R3 . (1.16)

La pseudo-norme de Minkowski est :

||X|| =(X, X) =

(x0)2 ||x||2R3 (=

c2t2 ||x||2R3), (1.17)

o en particulier ||X|| = 0 quand ||x||R3 = c|t|, i.e. quand la particule atteint la vitesse de la lumire.Et ||X|| R+ (non complexe) car aucune particule ne dpasse la vitesse de la lumire (dans la thoriede la relativit restreinte).

Proposition 1.6 La transformation de Lorentz (1.11) conserve le pseudo-produit scalaire :

(X, Y ) = (X , Y ). (1.18)

Donc le changement de base conserve la pseudo-orthonormalit : X Y ssi (X, Y ) = 0 ssi(X , Y ) = 0 ssi X Y . Et conserve les pseudo-normes : ||X|| = ||X ||.

Preuve. La vrication est immdiate :

(ct)2 (x)2 = 2((c2t2 + 2x2 2vxt x2 2c2t2 + 2vxt)= 2((1 2)c2t2 (1 2)x2) = c2t2 x2.

Et la matrice de changement de base P donne en (1.13) est bien pseudo-orthonorme, au sens opour le pseudo-produit scalaire de Minkowski on a :

(e0, e1

) = 2(vc vc ) = 0 (pseudo-orthogonalit temps-espace),

(e0, e1

) = 2(1 v2

c2 ) = 1 (pseudo-norme en temps), et

(e0, e1

) = 2(v2

c2 1) = 1 (pseudo-norme en espace).

Remarque 1.7 La reprsentation de Minkowski est une reprsentation sous forme hyperbolique(x0)2 x2, soit c2t2 x2 (physiquement non observable), en complment de la reprsentation sousforme elliptique prcdente (x0)2 + x2, soit c2t2 + x2 adapte la mesure de vitesse et d'acclration(observable au sens de la mesure newtonienne).

Une reprsentation hyperbolique est souvent utilise pour reprsenter des lois de conservation, cequi est le cas de la reprsentation de Minkowski.

2 Applications linaires

On se donne deux espaces vectoriels E et F de dimension nie respective n et m.

2.1 Applications linaires et formes linaires

2.1.1 Dnitions

Dnition 2.1 Une application linaire L de E dans F est une application L F(E;F ) telle que :

u, v E, R, L(u+ v) = L(u) + L(v). (2.1)

On note L(E;F ) l'ensemble des applications linaires de E dans F . Et on note pour tout u E :

L(u) = L.u, (2.2)

notation du produit puisqu'on a la distributivit d'un produit, cf. (2.1).

Remarque 2.2 La notation L.u rsultera galement de l'opration de contraction d'une applicationlinaire et d'un vecteur.

C'est galement la notation utilise pour le produit matriciel, lorsqu'on a reprsent l'applicationlinaire par une matrice et le vecteur par la matrice colonne des coordonnes : ceci n'est possiblequ'aprs avoir choisi une base dans E et une base dans F (la reprsentation matricielle n'est pasintrinsque), contrairement la notation (2.2) qui est intrinsque (ne ncessite pas de choisir desbases), voir paragraphe 10.

En cas de doute sur la notation, on reviendra la notation classique L(u).

9 13 mai 2013


Ayant L(E;F ) F(E;F ), on munit L(E;F ) des oprations + et induites (somme de fonctionset multiplication externe par les scalaires).

Proposition 2.3 L(E;F ) est un espace vectoriel, sous-espace vectoriel de F(E;F ).

Preuve. Montrons que c'est un sous-espace vectoriel de (F(E;F ),+, .). Soit f, g L(E;F ), , Ret u, v E. On a (f+g)(u+v) = f(u+v)+g(u+v) par dnition de + dans F(E;F ). Et ayantf et g linaire on obtient (f+g)(u+v) = f(u)+f(v)+g(u)+g(v) = (f+g)(u)+(f+g)(v).Donc f + g est bien linaire, quels que soient f, g L(E;F ) et R.

Dnition 2.4 Quand F = R, une application linaire est appele une forme linaire. Donc, uneforme linaire est une application linaire valeurs scalaires, i.e. un lment de L(E;R). Et on note :

E = L(E;R),

et E est appel le dual de E.

(Plus gnralement, si E est un espace vectoriel construit sur le corps K appel corps de scalaires,on appelle forme linaire un lment de L(E;K). En mcanique classique, deux des corps les plusutiliss sont R et C. Ici, pour simplier la prsentation, on travaille essentiellement avec le corps Rdes rels.)

2.1.2 Bases et caractrisation d'une application linaire

On rappelle qu'une base d'un espace vectoriel de dimension n est une famille (ei)i=1,...,n de n vec-teurs e1, ..., en qui est libre (aucun des ei n'est combinaison linaire des autres) et gnratrice (toutvecteur de E est combinaison linaires des ei).

Soit E et F deux espaces vectoriels, avec E de dimension nie n.

Proposition 2.5 Soit (ei)i=1,...,n une base de E.Une application L L(E;F ) est entirement dtermine par la donne de tous les L(ej) pour tout

j = 1, ..., n.Et si on se donne n vecteurs quelconques fj F pour j = 1, ..., n, alors il existe une unique

application linaire L qui vrie L(ej) = fj pour tout j = 1, ..., n.

Preuve. Soit v E et soit vi ses composantes sur la base (ei) : v =n

i=1 viei. Par hypothse L est

linaire, donc L(n

i=1 viei) =

ni=1 v

iL(ei). Donc si on connat tous les L(ei), on connat L(v), et cepour tout v E.

Puis soit n vecteurs fj F pour j = 1, ..., n. On dnit L : E F , quand v =

i viei, par

L(v) =

i vifi. En particulier L(ej) = fj pour tout j = 1, ..., n comme souhait.

Vrions que L est linaire : immdiat car v+ w =

i(vi + wi)ei avec des notations implicites.

Vrions que L est unique : si une deuxime application linaire M vrie M(ej) = fj pour tout j,alors (ML)(ej) = 0 pour tout j et comme ML est linaire (car L(E;F ) est un espace vectoriel),on obtient (M L)(v) = 0 pour tout v E, donc M L = 0 application nulle, i.e. M = L. Donc ilexiste une seule application linaire vriant L(ej) = fj pour tout j.

2.1.3 Dnition d'une base duale

La proposition prcdente donne en particulier

Corollaire 2.6 Soit E de dimension n. Montrer que toute forme linaire E est donne par : si(ei) est une base de E, notant ai = .ei R pour i = 1, ..., n, on a pour tout x =

i x

iei E :

.x =n

i=1

aixi, (2.3)

et est parfaitement dtermine par la donne des images des vecteurs d'une base.

10 13 mai 2013


Preuve. On applique la proposition prcdente ou ici les fj sont des rels nots ai car F = R.(Ou calcul direct : par linarit .x = .(

i x

iei) =

i xi.ei =

i x

iai.)

Dnition 2.7 La base duale (ei)i=1,...,n d'une base (ei)i=1,...,n de E est la famille des formes linairesei E dnies par :

ei.ej = ij . (2.4)

Avec la proposition prcdente chaque ei existe et est unique : comme :

x =

ni=1

xiei ei.x = xi, (2.5)

ei est l'oprateur de projection sur la droite Vect{ei} paralllement aux directions ej pour j = i.

2.1.4 Expressions tensorielles d'une application linaire, et matrices

Soit (ei)i=1,...,n une base de E et soit (bi)i=1,...,m est une base de F .

Notation. On note Lk L(E;F ) l'application linaire dnie par, pour tout j = 1, ..., n :

Lk(ej) = j bk =

{0 si j = ,

bk si j = .(2.6)

Et comme prcdemment (applications linaires), on note :

Lk(v) = Lk.v. (2.7)

Ainsi :L11.e1 = b1, L11.e2 = 0,..., L11.en = 0,L21.e1 = 0, L21(.e2 = b1, L21.e3 = 0,..., L21.en = 0,L12.e1 = b2, L12(.e2 = 0, L12.e3 = 0,..., L12.en = 0,...

La proposition 2.5 prcdente nous dit que chaque Lk existe et est unique.Et on notera :

Lk = bk e, (2.8)notation tensorielle justie par la suite (proposition 3.19) avec l'introduction de la contraction :

(bk e).ej = bk (e.ej) = bk j = Lk.ej . (2.9)

On introduit ds maintenant cette notation, car elle lve un grand nombre d'ambiguts, et aide lalisibilit des formules venir.

Proposition 2.8 et dnition de la matrice.L(E;F ) est un espace vectoriel de dimension nm dont une base est forme des nm applications

linaires (Lij = bi ej) i=1,...,mj=1,...,n

. Et donc tout application linaire L L(E;F ) s'exprime sur cettebase : il existe n m rels uniques Lij pour i = 1, ...,m et j = 1, ..., n tels que :

L =mi=1

Lij bi ej . (2.10)

On a donc, pour tout j = 1, ..., n :

L.ej =mi=1

Lij bi =

L1j

...Lmj

|b

(2.11)

Le tableau de rels [Lij ] i=1,...,mj=1,...,n

de m lignes et de n colonnes est appel la matrice de L relativement

aux base (ej)j=1,...,n et (bi)i=1,...,m :

[Lij ] i=1,...,mj=1,...,n

=

L11 . . . L

1n

......

Lm1 . . . Lmn

(e),(b)

not= [L](e),(b) = [L],

la dernire notation tant utilise quand il n'y a pas d'ambigut sur les choix des bases.

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En particulier la colonne j de cette matrice stocke les composantes de L.ej dans la base (bi)i=1,...,m.En particulier la matrice de l'application linaire Lij = biej est une matrice o tous les lments

sont nuls sauf l'lment l'intersection de la ligne i et de la colonne j qui vaut 1.

Preuve. Montrons que (bi ej) i=1,...,mj=1,...,n

est une famille libre de L(E;F ) : soit ij des rels tels quei,j

ij bi ej = 0 (application nulle). Alors pour k x dans [1, n]N :

i,j

ij (bi ej).ek = 0, soit

i,j ij bi

jk =

i

ik bi = 0. Et (bi)i=1,...,m tant une base de F , cela implique

ik = 0 pour tout i,

k x. Ce calcul tant vrai pour tout k, on a ik = 0 pour tout i, k.Montrons que (bi ej) i=1,...,m

j=1,...,nest une famille gnratrice : soit L L(E;F ). L tant entirement

dtermine et uniquement par la donne des L(ej) pour les j=1, ..., n, il existe des rels Lij R telsque L(ej) =

i L

ij bi. On vrie immdiatement que donc L =

ij L

ij bi ej .

La linarit de L donne, quand v =

j vj ej :

L(v) =n

j=1

vjL(ej) =n

j=1

mi=1

vjLij bi =mi=1

(n

j=1

Lijvj )bi =

n

j=1 L1jv

j

...nj=1 L

mj v

j

(b)

,

soit :[L(v)]|(b) = [L](e),(b).[v](e), (2.12)

o on retrouve le produit matriciel usuel.

Exemple 2.9 Si (ei)i=1,...,n est une base de E = Rn, si on prend pour base dans F = R la basecanonique (1) constitue du rel 1, une forme linaire Rn = L(Rn;R) est donc entirementcaractrise par la donne de n rels (ei) =not i. Et on a immdiatement, par linarit, pour toutx =

i x

iei :

.x = 1x1 + . . .+ nx

n =n

i=1

ixi = ( 1 . . . n ) .

x1...xn

= [].[x]. (2.13)C'est la reprsentation usuelle d'une forme linaire. Donc la matrice reprsentant une forme linaire est une matrice ligne, ici la matrice ligne :

[] = ( 1 . . . n ) , (2.14)

et (x) = [].[x] est donn par le calcul matriciel usuel. Et avec (1) la base canonique de R on a :

=

L1j1 ejnot=

je

j = ( 1 ... n ) (une seule ligne).

N.B. : dans (2.13), la notation .x est intrinsque : c'est = (x). Alors que la notation [].[x] n'est pasdu tout intrinsque : les tableaux de rels [] (matrice ligne) et [x] (matrice colonne) dpendent desbases choisies.

Exercice 2.10 Soit V un hyperplan vectoriel dans Rn, muni de son produit scalaire euclidien, dontun vecteur normal unitaire est not n : donc V = Vect{n} et V = Vect{n}.

Soit n la forme linaire dnie sur Rn par n(v) = (n, v)Rn o (, )Rn est le produit scalairecanonique de Rn.

Montrer que n n est l'application linaire de projection orthogonale sur V = Vect{n} = ladroite vectorielle engendre par n.

Montrer que l'application linaire de projection orthogonale sur V est L = I n n o I estl'identit.

Rponse. Soit v Rn. On a n n.v = n (n.v) = (n, v)Rn n : c'est bien le projet de v le long de n.Notons v = (n, v)Rn n. On a (v v, n)Rn = (v, n)Rn (v, n)Rn = 0, et donc v0 = v v V , avec

v0 = (I n n).v et (v0, n)Rn = 0. Donc I n n est bien l'application linaire de projection orthogonalesur V .

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2.1.5 Nullit d'un vecteur

Proposition 2.11 Soit E et F deux espaces vectoriels de dimension 1. Soit v E.Si v = 0 dans E, alors il existe L L(E;F ) tel que L(v) = 0.Ou bien, de manire quivalente : si pour tout L L(E;F ) on a L(v) = 0, alors v = 0.

Preuve. Soit (ei)i=1,...,n une base de E. Pour v =n

i=1 viei E. Supposant v = 0, il existe au moins

un des vi qui est non nul. Quitte renumroter la base, supposons v1 = 0. Donc (v, e2, ..., en) estune base de E ; en eet, e1 = 1v1 (v

ni=2 v

iei) s'exprime en fonction de (v, e2, ..., en), et donc toutvecteur de E s'exprime en fonction de (v, e2, ..., en).

Soit alors w F , avec w = 0, et soit L l'application linaire L : E F dnie par L(v) = w etL(ei) = 0 pour tout i = 2, ..., n. Une telle application linaire existe d'aprs la proposition 2.8. Cetteapplication est non nulle car w = 0. Donc si v = 0 alors il existe bien une L L(E;F ) telle queL(v) = 0.

Comme [A B] est quivalent [non(B) non(A)], on a l'quivalence annonce.

2.1.6 Continuit des applications linaires en dimension nie

On suppose qu'on dispose de normes ||.||E et ||.||F sur E et F .

Proposition 2.12 Une application linaire L L(E;F ) est continue sur E ssi elle est continue en 0,ou encore ssi elle est borne sur la boule unit, ou encore ssi elle est borne sur la sphre unit.

Autrement dit : L est continue sur E ssi :

c > 0, v E, ||L.v||F c ||v||E , (2.15)

soit image borne par antcdent, la constante c prs.

Preuve. 1- Supposons L continue. Alors en particulier elle est continue en 0. Rciproquement, sup-posons L continue en 0. Montrons qu'elle est continue en x quelconque dans E. Pour tout h E, on a||L(x+ h)L(x)||F = ||L(h)||F (par linarit de L) qui par hypothse tend vers 0 ds que ||h||E 0,donc L est bien continue en x.

Et comme L(x) = ||x||E L( x||x||E ) (linarit), l'quivalence continue en 0 et born sur la bouleunit est immdiate. D'o (2.15).

Proposition 2.13 Si E est de dimension nie, alors toute application linaire L L(E;F ) estcontinue.

Preuve. Soit v =n

i=1 viei E. On a ||L(v)||F ( sup

i=1,...,n|vi|)(

ni=1

||L(ei)||F ), et posant cL =

n supi=1,...,n

||L(ei)||F et ||v|| = supi=1,...,n

(|vi|), on obtient ||L(v)||F cL ||v||, ce pour tout v E.

Comme toutes les normes sont quivalentes dans E (car de dimension nie), on a bien la continuitde L.

Remarque 2.14 En dimension innie, les applications linaires n'ont aucune raison d'tre continue.Par exemple, avec l'application linaire de drivation D : f C([0, ];R) f C([0, ];R) oC([0, ];R) est muni de la norme ||f ||L = supx[0,] |f(x)|. On prend la suite (fn(x) = sin(nx))qui est une suite borne par 1 dans C([0, ];R). Les images forment la suite (f n(x) = n cos(nx)) quivrie ||f n||L = n, et cette suite est non borne dans C([0, ];R). Donc D n'est pas borne sur laboule unit : D n'est pas continue pour la norme ||.||L .

2.1.7 Norme d'une application linaire

Notons Lc(E;F ) l'ensemble des applications linaires continues.

Dnition 2.15 Si L Lc(E;F ) (est continue), la plus petite des constantes c possible dans (2.15)est note c = ||L|| et dite norme de L.

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Puisque dans (2.15) on a c ||L.v||F pour tout ||v||E = 1, on dduit que les constantes c satisfontc sup||v||E=1 ||L.v||F , d'o :

||L|| = sup||v||E=1

||L.v||F , (2.16)

le sup sur la sphre unit. Soit encore, par linarit :

||L|| = supvE{0}

||L.v||F||v||E

= supvE{0}

||L( v||v||E

)||F . (2.17)

En particulier pour l'endomorphisme identit dans L(E;E), on a immdiatement :

||I|| = 1. (2.18)

Proposition 2.16 ||.|| : L Lc(E;F ) ||L|| R est une norme.

Preuve. Comme ||.||F est une norme, avec (2.16) on a immdiatement : 1- ||L|| = 0 ssi L = 0, 2-||L|| = || ||L||, 3- ||L+M || ||L||+ ||M ||.

Exemple 2.17 Pour x =n

i=1 xiEi Rn, on rappelle qu'on note :

||x||1 =n

i=1

|xi|. (2.19)

Pour L L(Rn;Rn) endomorphisme de Rn, on note :

||L||1 = sup||x||1=1

||L.x||1. (2.20)

Utilisant la base canonique de Rn et L =n

i,j=1 Lij Ei dxj (avec donc Lij = dxi.(L.Ej)), on a :

||L||1 = maxj=1,...,n

(n

i=1

|Lij |), (2.21)

i.e. sur chaque colonne on fait la somme des valeurs absolues, et on prend ensuite le max.

Exercice 2.18 Dmontrer (2.21).

Rponse. ||.||1 est une norme sur L(Rn;Rn) : facile.On a |(L.x)i| = |

nj=1 L

ijx

j | n

j=1 |Lij | |xj |

nj=1 |x

j |(n

i=1 |Lij |), d'o ||L||1 maxnj=1(

ni=1 |L

ij |)

pour ||x||1 1.Soit le j qui ralise le max. Alors (L.Ej)

i = Lij et ||(L.Ej)||1 =n

i=1 |Lij |. Comme ||Ej ||1 = 1, on obtient

||L||1 maxnj=1(n

i=1 |Lij |). D'o (2.21).



||x|| = supi=1,...,n

|xi|. (2.22)

Pour L L(Rn;Rn) endomorphisme de Rn, on note :

||L|| = sup||x||=1

||L.x||. (2.23)

Utilisant la base canonique de Rn et L =n

i,j=1 Lij Ei dxj (avec donc Lij = dxi.(L.Ej)), on a :

||L|| =n

maxi=1

(n

j=1

|Lij |), (2.24)

i.e. sur chaque ligne on fait la somme des valeurs absolues, et on prend ensuite le max.

14 13 mai 2013


Exercice 2.20 Dmontrer (2.24).En dduire ||[Lij ]T ||1 = ||[Lij ]||.

Rponse. ||.|| est une norme : facile.On a |(L.x)i| = |

nj=1 L

ijx

j | n

j=1 |Lij | |xj |

nj=1 |L

ij | pour ||x|| 1, d'o ||L||

maxni=1(n

j=1 |Lij |).

Soit le i qui ralise le max. Et soit alors x t.q. xj =Lij|Lij |

si Lij = 0, et xj = 0 sinon. Alors on a ||x|| = 1

et (L.x)i =n

j=1 |Lij |, d'o ||L|| maxni=1(

nj=1 |L

ij |). D'o (2.24).



||x||2 = (n

i=1

|xi|2) 12 . (2.25)

(Norme euclidienne.) Pour L L(Rn;Rn) endomorphisme de Rn, on note :

||L||2 = sup||x||2=1

||L.x||2. (2.26)

On a, notant A = [L] la matrice de L dans la base canonique :

||L||2 =(AT .A), (2.27)

o, quand M est une matrice (M) est le rayon spectral de M , soit (M) = max || la plus grande(en module) des valeurs propres (en module car les valeurs propres sont en gnral complexes). Enparticulier, si A est symtrique relle, alors ||L||2 = |(A)| la plus grande des valeurs propres.

Exercice 2.22 Dmontrer (2.27) dans les cas :1- A matrice symtrique relle o donc ||L||2 = |(A)|,2- A matrice relle,3- A matrice complexe.

Rponse. Voir cours diagonalisation....1- Si A est une matrice relle symtrique, alors A est diagonalisable dans une b.o.n. (relativement au

produit scalaire euclidien de Rn : D = P1.A.P = diag(1, ..., n), o les j sont les valeurs propres (relles)de A, et P1 = PT . Ici A = [Lij ] quand L =

ni,j=1 L

ij Ei dxj .

Donc, avec L.x = A.[x] =not A.x, o [x] est la matrice colonne contenant les composantes de x dansla base canonique, ||L.x||22 = ||A.x||22 = (A.x, A.x)Rn = (P.D.P1.x, P.D.P1.x)Rn = (PT .P.D.y,D.y)Rn =(D.y,D.y)Rn o y = P

1.x Rn et ||y||Rn = ||x||Rn (car P est orthonormale). Donc ||A.x||22 =n

i=1 2i (y

i)2 supi |i|2||y||2Rn , l'galit ayant lieu pour y vecteur propre associ la plus grande valeur propre, et on posex = P.y. Cqfd.

2- ||A.x||22 = (A.x, A.x)Rn = (AT .A.x, x)Rn avecAT .Amatrice symtrique relle. SoitD = P.(AT .A).P1 =diag(1, ..., n), o les j sont les valeurs propres (relles) de A, et P

1 = PT . Comme (AT .A.x, x)Rn =||A.x||22 0, les i sont 0. On a ||A.x||22 = (PT .D.P.x, x)Rn = (D.P.x, P.x)Rn = (D.y, y)Rn o y = P.x. Onprocde comme en 1-.

3- ||A.x||22 = (A.x, A.x)Cn = (A.A.x, x)Cn avec A.A matrice hermitienne, donc diagonalisable dans Cavec des valeurs propres relles : mme dmarche qu'en 2- avec P1 = P (= (P )T ).

Remarque 2.23 ||.||2 est la plus petite des normes matricielles dans le cas d'un endomorphisme Lde E : si ||.|| est une norme matricielle, alors (L) ||L||.

En eet, si || = (L) (la plus grande valeur propre en valeur absolue) et si v est un vecteur propreassoci alors (L)||v||E = ||v||E = ||L.v||E ||L|| ||v||E , et donc (L) ||L||.

2.1.8 Normes matricielles et norme de Frobenius

Dnition 2.24 Si A = [Aij ] est la matrice d'un endomorphisme L Lc(E;F ), on appelle normematricielle de ||A||, subordonne aux normes ||.||E et ||.||F , le rel donn par (2.16) :

||A|| = ||L|| = sup||v||E=1

||L.v||F . (2.28)

15 13 mai 2013


Il est immdiat que si A : Rn Rn est une matrice carre n n, alors si on utilise la normesubordonne, on a en particulier pour la matrice identit, cf. (2.18) :

||I|| = 1, (2.29)

i.e., la norme subordonne de l'identit vaut 1.

Il existe un norme non subordonne qui est trs utilise : la norme de Frobenius (cette normedrive d'un produit scalaire euclidien, est une norme matricielle, et est invariante par changementde base orthonorme, voir plus loin).

Dnition 2.25 Pour A = [Aij ] matrice n n, la norme de Frobenius (ou norme de Hilbert-Schmidten dimension innie) est :

||A||Fdf= (

ni,j=1

|Aij |2)12 . (2.30)

Autrement dit :||A||F = Tr(AT .A), (2.31)

et ||.||F est la norme qui drive du produit scalaire sur Mn,n(Rn) :

(A,B)F = Tr(BT .A) =

ni,j=1

AijBij . (2.32)

On vrie immdiatement que c'est un bien un produit scalaire, produit scalaire qui est appel produitscalaire euclidien car c'est le produit terme terme.

Dnition 2.26 Sur Mn,n(R) l'ensemble des matrices n n relles, une norme ||.|| : Mn,n(R) Rest dite matricielle ssi :

1- c'est une norme,2- et si de plus on a :

A,B Mn,n(R), ||A.B|| ||A|| ||B|| (2.33)

Exercice 2.27 Vrier que ||L||1, ||L||2 et ||L|| (qui sont des normes subordonnes) donnent desnormes matricielles.

Rponse. Pour une norme subordonne, ||A.(B.x)|| ||A|| ||B.x|| ||A|| ||B|| ||x||.

Exemple 2.28 Montrer que ||.||F n'est pas une norme subordonne (pour n 2).Rponse. On a ||I||F =

n alors qu'une norme subordonne ||.||s vrie ncessairement ||I||s = 1, cf. (2.29).

Exemple 2.29 Vrier ||.||F est bien une norme matricielle (norme qui vrie (2.33)).Rponse. ||A.B||2F =

ij((A.B)

ij)

2 =

ij(

k AikB

kj )

2

ij(

k(Aik)

2)(

(Bj)

2) par CauchySchwarz

dans Rn (produit scalaire major par produit des normes), donc ||A.B||2F (

ik(Aik)

2)(

j(Bj)

2) =

||A||2F ||B||2F .

Exercice 2.30 Montrer que la norme de Frobenius est invariante par rotation, i.e. invariante parchangement de b.o.n..

Rponse. Soit B = P1.A.P avec P1 = PT (matrice de rotation, ou matrice de changement de b.o.n.).

Alors ||B||2F = Tr(BT .B) = Tr((PT .A.P )T .P1.A.P ) = Tr(PT .AT .P.P1.A.P ) = Tr(PT .AT .A.P ) =Tr(AT .A.P.PT ), car Tr(M.N.P ) = Tr(N.P.M) (invariance cyclique de la trace), d'o ||B||2F = Tr(AT .A) =||A||2F .

Exercice 2.31 Montrer que ||A||2 ||A||F n||A||2.

Donner des matrices pour lesquelles l'une des ingalits est atteinte.

Rponse. 1re ingalit. A.x =

i(

j Aijx

j)Ei, donne par Pythagore ||A.x||2 =

i(

j Aijx

j)2 i(

j(Aij)

2)(

j(xj))2 (CauchySchwarz), donc ||A.x||2 ||A||F ||x||2Rn , donc ||A|| ||A||F .

Pour A matrice dont seule la premire colonne est non nulle, on a ||A||2 = ||A||F . En eet A.x = x1 A.Ei =x1 c1 o c1 est le premier vecteur colonne de A, et donc ||A||2 est atteinte pour x = E1 avec ||A.E1||Rn =||c1||Rn =

i(A

i1)

2.

2me ingalit. ||A||2F = Tr(AT .A) =n

i=1 i o les i sont les valeurs propres de AT .A. Et AT .A est une

matrice positive, car [x]T .(AT .A).[x] = ||A.x||2Rn . D'o ||A||2F nmaxi(i) = n((AT .A)) = n||A||22.Pour A = I on a ||A||2 = 1 (c'est une norme subordonne), et ||A||2F = n = n||A||22.

16 13 mai 2013


2.2 Composition d'applications linaires et produit matriciel

Proposition 2.32 Si L L(E;F ) et M L(F ;G), avec dimE = n, dimF = m et dimG = p, alorsl'application compose M L L(E;G) est linaire.

Et si (ei)1in, (bi)1im et (ci)1ip sont des bases de E, F et G, si [M ]|(bi),(ci) =not [M ] et

[L]|(ei),(bi) =not [L] sont les matrices deM et L dans ces bases, alors la matrice [ML]|(ei),(ci) =not [M

L] reprsentant M L dans ces bases est le produit des matrices :

[M L] = [M ].[L].

Preuve. Linarit immdiate. Puis on se donne , on calcule [M L]|(e),(c), et le produit matriciel[M ]|(b),(c).[L]|(e),(b) : ils sont bien gaux (exercice).

Calcul direct avec la contraction matricielle : M =

ij Mij ci bj et L =

ij L

ij bi ej donnent :

M.L =ijk

M ikLj(ci bk).(b ej) =

ijk

M ikLj ci ej(bk .b) =

ijk

M ikLj ci ejk

=ijk

M ikLkj ci ej =

ij

([M ].[L])ij ci ej .(2.34)

On utilise galement la notation de la contraction de tenseurs :

M L not= M.L, (2.35)

correspondant aussi la notation du calcul matriciel.Attention cependant, les notations M L et M.L sont intrinsques (indpendantes de bases), alors

que la notation [M ].[L] n'a de sens qu'aprs choix de bases puisqu'elle correspond aux matrices dereprsentations d'applications linaires dans des bases.

2.3 Noyau, image, isomorphisme

2.3.1 Noyau

Dnition 2.33 Une application f : E F est injective (en anglais : one-to-one) ssi :

si x, y E vrient x = y, alors f(x) = f(y),

ou de manire quivalente :

si x, y E vrient f(x) = f(y), alors x = y.

Dnition 2.34 Soit L L(E;F ) une application linaire. On appelle noyau de L le sous-ensemblede E :

Ker(L) = L1({0}) (= {v E : L(v) = 0}).

(Abrviation du mot allemand der Kern=le noyau.) On note aussi Ker(L) = KerL.

Proposition 2.35 Si L L(E;F ) alors : L injective KerL = {0}.Et si L linaire est injective, alors dimE dimF .

Preuve. Une application linaire vrie L(0) = 0 car L(0) = L(0 + 0) = 2L(0) et 2 = 1.Supposons L injective. Soit v KerL : comme L(v) = 0 = L(0) et L injective, on a v = 0. D'o

KerL {0}, d'o KerL = {0}.Rciproquement, supposonsKerL = {0}. Alors si L(v) = L(u), on a L(vu) = 0, donc vu KerL

et donc v u = 0, i.e. v = u : L est bien injective.Dimensions : soit (ei)i=1,...,n une base de E, et posons bj = L(ej) pour j = 1, ..., n. Supposons L

injective.Sin

i=1 ibi = 0, alorsn

i=1 iL(ei) = 0 = L(n

i=1 iei) car L est linaire, doncn

i=1 iei = 0

car L est injective, donc i = 0 pour tout i car (ei) est une base. Donc (bi)i=1,...,n est une famille librede F .

Donc dimF n, soit dimF dimE.

17 13 mai 2013

18 3. Dual, base duale

2.3.2 Image

Dnition 2.36 L'image d'une application f F(E;F ) est le sous-ensemble de F dni par :

Im(f) =vE

{f(v)} = {w F : v E, w = f(v)} not= f(E),

Dnition 2.37 On dit que f est surjective (en anglais : onto) ssi f(E) = F .

Proposition 2.38 Si L L(E;F ) (linaire), alors ImL est un sous-espace vectoriel de F .

Preuve. Immdiat.

Dnition 2.39 Si L L(E;F ) (linaire), la dimension dim(ImL) est appele le rang de L.

Proposition 2.40 Si L L(E;F ) et si L est surjective alors dimE dimF .

Preuve. Soit (ei)i=1,...,n une base de E et posons bj = L(ej) pour j = 1, ..., n. Montrons que (bi)i=1,...,nengendre F quand l'application linaire L est injective.

Soit w F . L tant surjective, il existe v E tel que w = L(v). Et v E donc de la formev =

ni=1 v

iei. On obtient w =n

i=1 viL(ei) =

ni=1 v

ibi. Donc w F est combinaison linairedes bi, et les bi engendrent F . Donc dimF n, soit dimF dimE.

2.3.3 Isomorphisme

Dnition 2.41 Une application bijective (en anglais : one-to-one and onto) est une applicationinjective et surjective.

Dnition 2.42 Un isomorphisme Is entre les espaces vectoriels E et F est une application linaireIs L(E;F ) qui est bijective :

Is isomorphisme Is L(E;F ) t.q. Is bijective.

On note Li(E;F ) l'ensemble des isomorphismes.

Dnition 2.43 Lorsque F = E, un isomorphisme est galement appel un changement de base (ouun changement d'observateur).

Proposition 2.44 Si E et F sont de dimension nie, et s'il existe un isomorphisme Is Li(E;F ),alors dimE = dimF (les espaces ont mme dimension).

Rciproquement, si E et F sont de dimension nie et si dimE = dimF alors il existe un isomor-phisme Is Li(E;F ).

Preuve. S'il existe un isomorphisme, alors il est injectif donc dimF dimE et il est surjectif doncdimF dimE. Donc dimE = dimF .

Et si dimE = dimF , soient (ei)i=1,...,n une base de E et (bi)i=1,...,n une base de F . Dnissonsl'application linaire Is : E F par Is(ei) = bi : c'est bien un isomorphisme. (Un tel isomorphismen'est pas unique : il dpend du choix des bases de E et F .)

3 Dual, base duale

3.1 Espace dual E = L(E;R)Dnition 3.1 L'ensemble des applications linaires valeurs relles L(E;R) =not E est appell'espace dual de E. Une application linaire valeurs relles (un lment de E) est appele une formelinaire.

18 13 mai 2013


Proposition 3.2 On se donne une base (ei)i=1,...,n de E, et un vecteur v E avec v =n

i=1 viei.

Alors une forme linaire E est de la forme :

.v =n

i=1

ivi o i = (ei) R. (3.1)

Et rciproquement, si est de cette forme, alors E.

Preuve. Voir exemple 2.9.

Notation du crochet de dualit. On note galement, si E et v E :

.v = , vE,E = |v, (3.2)

et on omet l'indice E,E si le contexte est clair.

3.2 Base duale (ei)i=1,...,n : base des projections parallles

3.2.1 Dnition

On note E = L(E;R) l'ensemble des formes linaires sur E.On se donne une base (ei) de E.

Dnition 3.3 La i-me forme linaire de projection, relativement la base (ei), est la forme linaireei E dnie sur les vecteurs de base par :

ei(ej) = ij , (3.3)

i.e. :ei(ei) = 1 et e

i(ej) = 0 j = i.

ei est galement appel l'oprateur de projection sur Vect{ei} paralllement aux autres directions ej.

Donc, les ei tant linaires :

v =

nj=1

vj ej E = ei(v) =n

j=1

vj ei(ej) = vi. (3.4)

Autrement dit, pour connatre la i-me composante d'un vecteur sur la base (ei), on lui applique lei-me oprateur de projection ei.

Remarque 3.4 Ce ne sont pas des projections orthogonales. D'ailleurs, orthogonal n'a de sens que sion a pralablement introduit un produit scalaire sur E, ce qui n'est pas le cas ici. Et mme si on avaitintroduit un produit scalaire, on aurait d supposer la base (ei) orthogonale pour que les projections ei

soient orthogonales. Or ici on n'a pas utilis de produit scalaire et (ei) est une base quelconque.

Dnition 3.5 (Notation). Lorsque (ei)i=1,...,n = (Ei)i=1,...,n est la base canonique de Rn, on notegalement :

ei = Einot= dxi, (3.5)

i.e. on note (dxi)i=1,...,n la base duale de (Ei)i=1,...,n. Donc, quand x =n

i=1 xiEi, on a dxi(x) = xi :

dxi est la projection sur Vect{Ei} paralllement aux autres directions de base canonique (dxi.Ej = 0pour tout j = i, et dxi.Ei = 1).

3.2.2 Proprits

Proposition 3.6 et dnition. Soit (ei)i=1,...,n une base de E. La famille (ei)i=1,...,n dnie en (3.3)est une base de E, appele base duale de (ei)i=1,...,n. Et on a dim(E) = dim(E).

Ainsi toute forme linaire E s'exprime sur cette base (ei)i=1,...,n :

=n

i=1

iei E, o i = (ei) R.

Autrement dit, la i-me composante i de sur la base duale est obtenue en calculant (ei).

19 13 mai 2013


Et alors, pour tout v E :

(v) =

ni=1

ivi = [].[v],

o [] = ( 1 ... n ) est la matrice ligne de relativement la base (ei), et [x] est la matrice colonneusuelle donnant les composantes de x sur la base (ei).

Preuve. Une application linaire, ici , est dtermine par ses valeurs sur les vecteurs de base, iciles (ej). Notons j = (ej). Montrons que =

ni=1 ie

i. Comme E est un espace vectoriel, lacombinaison linaire

ni=1 ie

i est dans E. Et :

(n

i=1

iei)(ej) =

ni=1

iei(ej) =

ni=1

iij = j = (ej).

Ceci tant vrai pour tout les vecteurs de base ej (pour j = 1, ..., n), on a obtenu =n

i=1 iei.

D'o (ei)i=1,...,n est une famille gnratrice de E. Et cette famille est libre car si

i iei = 0

alors en particulier pour tout j on a

i iei(ej)=0=

i i

ij=j .

Et (ei)i=1,...,n est donc une base de E, d'o dim(E) = n.

Corollaire 3.7 Une application linaire L L(E;F ) est entirement dtermine par la donne des(L(u)) pour tout (u, ) E F . En particulier, si (ei) est une base de E et (bi) une base de F debase duale (bi), alors L est entirement dtermine par la donne des :

bi(L(ej)) = Lij , (3.6)

avec [Lij ] = [L]e,b la matrice de L relativement aux bases (ei) de E et (bi) de F , i.e. L.ej =

i Lij bi.

Preuve. La dnition des Lij est : L.ej =

k Lkj bk pour tout j. D'o, par linarit des b

i, on a

bi(L.ej) =

k Lkj (b

i .bk) =

k Lkj

ik = L

ij .

Exemple 3.8 Dans R2 muni de sa base canonique (E1, E2), la forme linaire dx1 = E1 (R2) est

dnie par dx1(E1) = 1, et dx1(E2) = 0. Donc, si v = V 1E1+V 2E2 =

(V 1

V 2

), on a dx1(v) = V 1 pour

tout v R2 : dx1 est projection sur Vect{E1} paralllement E2. Et la matrice reprsentant dx1 estla matrice ligne ( 1 0 ).

De mme, dx2(v) = V 2 : dx2 est projection sur Vect{E2} paralllement E1. Et la matricereprsentant dx2 est la matrice ligne ( 0 1 ).

Exercice 3.9 Dans R2 muni de sa base canonique (E1, E2), on prend e1 = E1 =not(10

)et

e2 = E1 + E2 =not

(11

). Faire un dessin. Montrer que [e1] = dx1 dx2 =not ( 1 1 ) et

[e2] = dx2 =not ( 0 1 ) (matrices relativement la base duale canonique).On rappelle qu'un vecteur est reprsent par une matrice colonne, et qu'une forme linaire est

reprsente par une matrice ligne, ce qui permet d'utiliser le calcul matriciel [.x] = [].[x] d'une lignepar une colonne.

Rponse. Par dnition de la base duale on a e1(e1) = 1 et e1(e2) = 0. Donc si e

1 = a dx1 + b dx2, o(dx1, dx2) est la base duale de la base canonique, on a

1 = e1(e1) = a dx1(E1) + b dx

2(E1) = a et 0 = e1(e2) = a dx

1(E1 + E2) + b dx2(E1 + E2) = a+ b.

Donc a = 1 et b = 1 comme annonc. Si on prfre utilis le calcul matriciel, on crit

1 = e1(e1) = ( a b ) .

(10

)= a et 0 = e1(e2) = ( a b ) .

(11

)= a+ b.

Idem pour le calcul de e2.

Voir exercice 3.12, plus loin, pour un calcul systmatique.

20 13 mai 2013


Exercice 3.10 Soit L L(Rn;Rn) (endomorphisme de Rn).Montrer : si pour tout v Rn on a L.v est parallle v, alors il existe p R t.q. L = pI o I est

l'identit.

Rponse. Soit L donn par L.ej =

i Lij ei pour tout j. Par hypothse il existe pj R t.q. L.ej = pj ej ,

d'o :ei.(pj ej) = pj

ij .

Et donc, pour i = j :ei.(L.(ei + ej)) = e

i.(L.ei) + ei.(L.ej) = e

i.(piei + pj ej) = pi + 0 = pi.Et par hypothse il existe pi+j R t.q. L.(ei + ej) = pi+j(ei + ej). Et donc, pour i = j :

ei.(L.(ei + ej)) = ei.(pi+j(ei + ej)) = pi+j(1 + 0) = pi+j ,

Donc pi+j = pi pour tout i, j, donc pi+j = pj+i = pj pour tout i, j, donc pi = pj pour tout i, j.

Exercice 3.11 Soit L L(E;E) (endomorphisme de E) avec E de dimension 2.Montrer que si pour tout x E il existe p(x) R t.q. L.x = p(x)x, alors p : E R est une

fonction constante. (C'est trivial si dimE = 1.)

Rponse. Soit x1 et x2 deux vecteurs indpendants, soit V = Vect{x1, x2} le sous-espace engendr par x1et x2, et soit L|V la restriction de L V . Soit (x

1, x2) la base duale de (x1, x2) : on s'est ramen l'exercice

prcdent, d'o p(x1) = p(x1 + x2) = p(x2). D'o p(x1) = p(x2) pour tout = 0 (car x1 et x2 sontindpendants). (On peut prendre la valeur qu'on veut pour p(0) : donc p est la fonction constante ailleurs

qu'en 0, donc l'nonc est un peu abusif, mais dans la pratique la fonction p est intgrable et seule sa valeur

presque partout intervient. Ici la fonction p est bien constante presque partout.)

Exercice 3.12 Soit (ei)i=1,...,n une base de Rn. Montrer qui si P est la matrice nn (de passage) quistocke dans ses colonnes les composantes des vecteurs ej dans la base canonique (Ei), alors Q = P1

stocke dans ses lignes les composantes des formes ei constituant la base duale de (ei). (Cela donnerales formules de changement de base ou de coordonnes.)

En d'autres termes, calculer les composantes des ei dans la base (dxi) (duale de la base canonique)revient calculer P1.

Rponse. On a P1.P = I matrice identit de Rn, galit matricielle qui s'crit [iQ].[cPj ] = ij , si [iQ] =

(Qi1 . . . Qin ) est la i-me ligne de Q = P

1, et si [cPj ] =

P1j

...Pnj

est la j-me colonne de P .C'est le rsultat annonc : ei.ej =

ij une fois pos e

i =

j Qijdx

j , sachant ej =

i Pij Ei.

(Noter la cohrence des positions respectives des indices et exposants dans les sommes.)

3.3 Dimensions en physique

Une question permanente en physique est : quelle est la longueur de ... ? Quelle est la tempraturede ... ?

Pour y rpondre, il faut prciser l'unit de mesure : en mtre, en pied ? En degr Celsius, en degrsFahrenheit ?

Et il faut prciser l'appareil de mesure : ici un objet mesurer est un vecteur v et l'appareilde mesure est une forme linaire qui un vecteur v donne une valeur .v. Autrement dit E estl'ensemble des appareils de mesures qui sont linaires.

Modlisation :1- On se donne donc un objet de rfrence, objet auquel on donne la valeur 1 (par exemple le

mtre talon ou le pied anglais). L'objet de rfrence est reprsent par un vecteur e.

2- Donner une valeur d'un autre objet (valeur relative l'objet de rfrence), c'est crer unefonction qui un objet donn lui donne la valeur (objet).

L'autre objet est reprsent par un vecteur v, et la valeur est donne par (v).

3- On suppose qu'on souhaite donne des valeurs proportionnelles : on impose donc que soitlinaire. Si l'espace des objets mesurer est modlis par un espace vectoriel E, on impose donc E.

4- Dans cet espace vectoriel, si v = e, on aura (v) = (e) = o est en unit e.

21 13 mai 2013


Exemple 3.13 En 1-D. Mesurer la taille d'un tre humain, reprsente par la hauteur sous la toise.On prend un objet de rfrence (par exemple le mtre talon ou le pied romain), et on l'appelle e.On cre la fonction linaire : R R telle que (e) = 1 (une forme linaire est dtermine ds

qu'on connat ses valeurs sur une base, et ici on est en dimension 1).Cela permet de crer une graduation de la toise en multiple de e.La hauteur sous la toise d'un vecteur v est la valeur (v) donnant la taille (en mtres, en pieds...).Exemple : notons em et ep les vecteurs reprsentant respectivement le mtre et le pied. On leur

associe m et p les formes linaires dnies par m(em) = 1 et p(ep) = 1. Si on veut la taille de ven mtre on calcule m(v), et si on la veut en pieds on calcule p(v).

Et bien sr faire m(ep) donne la taille du pied en mtres (par exemple pour le pied anglaism(ep) = 0.3048m valeurs en mtres, i.e. relative la base de rfrence em.

Exemple 3.14 En 3-D. En aviation, les distances horizontales sont donnes en mile nautique (unmile nautique 1NM = 1852m o NM = Nautical Mile) et les distances verticales sont donnes enpied anglais (un pied anglais 1 ft = 0.3048m o ft = foot).

Une tour de contrle qui demande au pilote sa position reoit les informations d NM et h ft.On suppose qu'on est dans un petit aroport uniquement concern par deux couloirs ariens, disonspour xer les ides, un au nord et l'autre au nord-ouest.

Modlisation : on se donne un objet (ici virtuel) de longueur 1 NM qui est notre longueur derfrence dans le plan horizontal, et un objet de longueur 1 ft qui est notre hauteur de rfrence.

On se donne deux vecteurs horizontaux indpendants de longueur 1 NM, soit e1 (vers le nord) ete2 (vers le nord-est), et on se donne un vecteur e3 (vertical) de longueur 1 pied. On dispose de notrebase de R3 adapt notre aroport.

Puis on dnit les trois fonctions linaires qui forment la base duale (e1, e2, e3) dnie par pourtout i, j :

ei(ej) = ij .

Ainsi, si x =

i xiei est la position de l'avion (donc dans le repre (O, (e1, e2, e3)) de l'aroport),

l'altitude en pieds sera donne :

e3(x) = x3 ft, altitude en pieds.

Et par exemple si l'avion vient du nord, sa distance l'aroport sera donne par :

l'avion arrive du nord :

{e1(x) = x1 NM, distance en miles entre l'avion et l'aroport,

e2(x) = 0 car l'avion qui vient du nord.

Et si l'avion vient du nord-ouest est on a e1(x) = 0 et e2(x) = x2 NM est la distance entre l'avion etl'aroport.

Remarque 3.15 On n'a pas besoin de produit scalaire pour dnir les dimensions. Un produit scalaireest une forme deux-linaire et sert comparer deux vecteurs (d'o la notion d'angle entre deuxvecteurs). Une forme linaire est une forme un-linaire, qui agit sur un seul vecteur, et sert donnerune dimension (ici une hauteur ou une distance d'loignement).

D'ailleurs un produit scalaire tant une forme bilinaire, un produit scalaire g(, ) est entirementdtermin par ses valeurs sur une base, soit ici par les g(ei, ej) =not gij . Soit g =

ij gije

i ej . Etl'utilisation explicite des ei indique qu'eectivement on peut aussi se servir d'un produit scalaire pourobtenir les dimensions. C'est juste utiliser les ei sans le savoir.

3.4 Bis : reprsentation tensorielle dans L(E;F )La reprsentation tensorielle permet de lever toute ambigut sur la reprsentation matricielle des

applications linaires : elle crit explicitement les bases de reprsentation et indique les lignes et lescolonnes.

3.4.1 Tenseur lmentaire v

Dnition 3.16 Soit E une forme linaire sur E et soit v F un vecteur de F . On appelleproduit tensoriel de v et l'application linaire de v L(E;F ) dnie par :

v :

{E Fu 7 (v )(u) = v(.u) = (u) v.

(3.7)

22 13 mai 2013


Remarque 3.17 Une autre dnition de v est la dnition tensorielle usuelle : c'est l'applicationbilinaire L(F , E;R) donne par (v )(m, u) = (m.v) (.u) pour tout (m, u) F E ; et comme(m.v).(.u) = m.((.u) v) on retrouve (3.7).

On aura d'ailleurs l'isomorphisme canonique L(F , E;R) L(E;F ).

Proposition 3.18 v : E F dnie en (3.7) est une application linaire d'image Vect{v} (doncde rang 1).

Et si (ei) est une base de E de base duale (ei), si bi est une base de F , si v =

i vibi et si

=

i iei, alors :

[v ]|e,b = [vij ] i=1,...,n

j=1,...,m(3.8)

est la matrice de l'application linaire v dans les bases choisies (matrice dgnre puisquerang(Im(v )) = 1.

Preuve. La linarit est immdiate (car est linaire), et v est bien valeur dans Vect{v}, cf. (3.7).Et la matrice [Lij ] de v relativement aux bases choisies est dnie par (v ).ej =

i L

ij bi, avec

(v ).ej = (.ej)v = j v =

i jvibi. On a bien Lij = v

ibj .

3.4.2 Expression tensorielle d'un endomorphisme

Proposition 3.19 Et si (ei) est une base de E de base duale (ei), si bi est une base de F , alors(bi ej) i=1,...,n

j=1,...,mest une base de L(E;F ) : on a bi ej = Lij o Lij a t dni en (2.6).

Cela justie la notation (2.8), puis l'criture de la formule (2.10).

Preuve. (bi ej).ek = (ej .ek )bi = jk bi = Lij .ek pour tout k, donc bi ej = Lij .

En particulier l'utilisation du produit tensoriel et de la contraction rendent les calcul non ambigus.Exemple : avec (2.10), savoir :

L =mi=1

nj=1

Lij bi ej ,

on obtient quand u =

k ukek :

L.u =

mi=1

nj=1

Lij bi ej .(n

k=1

ukek) =

mi=1

nj,k=1

Lijuk bi

jk =

mi=1

nj=1

Lijuj bi = [L].[u].

En particulier on retrouve L.ej =m

i=1 Lij bi et :

bk.(L.ej) = bk(

mi=1

Lij bi) = Lkj .

Exemple 3.20 Soit L L(Rn;Rn) l'endomorphisme dni par :

L =mi=1

nj=1

P ij Ei dxj .

Alors P = [P ij ] est la matrice de passage de la base canonique (Ei) la base (ei) dnie par :

ej = L(Ej) =mi=1

P ij Ei.

Autrement dit, (P ij )i=1,...,n (la j-me colonne de P ) donne les composantes de ej dans la base (Ei).

En eet ej = L.Ej =m

i=1

nk=1 P

ikEi(dx

k.Ej) =m

i=1

nk=1 P

ikEi

kj =

i P

ij Ei.

Exemple 3.21 L'criture tensoriel justie le calcul fait en (2.34).

23 13 mai 2013


3.5 Application la direntielle

3.5.1 Dnitions

Soient E et F deux espaces vectoriels norms de dimension nie, et soit un ouvert de E. Soitf : F une application valeurs vectorielles.

Dnition 3.22 On dit que f est direntiable en un point x ssi f admet un dveloppementlimit l'ordre 1 au voisinage de x E, i.e. ssi il existe une application linaire Lx L(E;F ) telleque, pour tout v Rn :

f(x+ hv) = f(x) + hLx(v) + o(h) F, (3.9)

pour h dans un voisinage de 0.Et si f est direntiable en x, alors Lx =not df(x) L(E;F ) est appele la direntielle de f

en x, ou encore l'application linaire tangente f en x.

Dnition 3.23 Si pour tout x l'application linaire df(x) existe, alors

df :

{ L(E;F )

x 7 df(x)(3.10)

est appele la direntielle de f .Si de plus df est continue sur , on dit que f est C1(;F ).

Dnition 3.24 Si f direntiable en x, alors pour v E :

df(x)(v)not= df(x).v = lim

h0

f(x+ hv) f(x)h

F

est appel la drive directionnelle de f en x dans la direction v.Si de plus E = Rn et (ei) = (Ei) est la base canonique de Rn, alors :

df(x).Einot=

f

xi(x) F

est appel la i-me drive partielle de f .

3.5.2 Jacobienne

Si (ei)i=1,...,n est une base donne dans E de base duale (ei)i=1,...,n, et si (bi)1im est une basede F , alors L = df(x), tant linaire, est de la forme :

df(x) =i,j

Lij(x)bi ej o Lij(x) = bi(df(x).ej). (3.11)

Dnition 3.25 La matrice :

[df(x)] = [bi.(df(x).ej)] (= [Lij(x)]) (3.12)

est appele la matrice jacobienne de f en x relativement aux bases choisies.

En particulier on a :

df(x).ej =i

Lij(x)bi, et [df(x)(ej)] =

L1j (x)...

Lmj (x)

|(b)

, (3.13)

et les composantes du vecteur df(x).ej sont stockes dans la j-me colonne de [L(x)] = [df(x)] matricejacobienne dans les bases choisies.

24 13 mai 2013

25 4. Bidual E

Puis notons f =

i fibi =

f1

...fm

|b

, i.e. on note f i(x) les composantes du vecteur image f(x) F

dans la base (bi). Alors (3.9) s'crit comme un systme de m quations :f1(x+ hv) = f1(x) + h 1x.v + o(h),

...

fm(x+ hv) = fm(x) + h mx .v + o(h),

(3.14)

o les ix = dfi(x) E (formes linaires) sont les composantes de Lx = df(x) :

[df(x)] =

[df1(x)]...

[dfm(x)]

= L

11(x) L1n(x)...

...Lm1 (x) Lmn (x)

, (3.15)matrice dont les lignes sont les matrices lignes [ix] = [L

i1(x) Lin(x)].

Remarque 3.26 Donc, aprs s'tre donn une base dans F , dire que f est direntiable en x, c'estdire que toutes les f i : R sont direntiables en x, i.e. que les graphes de toutes les f i admettentun plan tangent en x.

Et en particulier, si E = Rn et si (ei) = (Ei) est sa base canonique, alors on a :

df(x).Ej =f

xj(x) =

i,j

f i

xj(x)bi, et [

f

xj(x)] =

f1

xj

...fm

xj

|(b)

(3.16)

(j-me colonne), et :

df i(x) =j

f i

xj(x)dxj , [df i(x)] =

(fi

x1 (x) ...fi

xn (x))|(dx) (3.17)

(i-me ligne), et :

[df(x)] = [f i

xj(x)]|(E),(b) (3.18)

est la matrice jacobienne de f en x relativement la base canonique de Rn (ensemble de dpart) et une base (bi) de F (espace d'arrive).

4 Bidual E

4.1 Remarque : matrices transpose et adjointe

Soit L : E F une application linaire. Pour dnir l'application transpose, on a besoin d'intro-duire deux produits scalaires, qui seront nots (, )E dans E et (, )F dans F , ce qui rend les calculsnon intrinsques. On rappelle que la transpose LT : F E est dnie par, pour tout u, v E F :

(LT v, u)Edf= (v, Lu)F . (4.1)

Et dans le cas (F, (, )F ) = (E, (, )E) (cas L endomorphisme de E), L est dit symtrique ssi LT = L,i.e. ssi (Lv, u)E =df (v, Lu)E .

En particulier le caractre non intrinsque de la dnition du transpose se manifeste comme (voirplus loin paragraphes 5.5 et 5.6) :

1- dans des bases donnes, la matrice [LT ] de LT dpend du choix des produits scalaires, et direque L est symtrique dpend du choix du produit scalaire (L peut tre symtrique relativement unproduit scalaire et non symtrique relativement un autre).

25 13 mai 2013

26 4. Bidual E

2- produits scalaire xs, aprs choix de bases, la matrice [LT ] de LT dpend la fois de [L] etde [(, )E ] et de [(, )F ]. Et si L est symtrique (relativement aux produits scalaires xs), la matrice[LT ] est en gnral dirente de la matrice transpose [L]T ].

Pour avoir une notion intrinsque, donc sans faire appel un produit scalaire, on dnira l'appli-cation linaire adjointe L : F L. E, pour tout (, u) F E :

L., uE,Edf= , L.uF,F , (4.2)

o on a utilis les crochets de dualit ( comparer (4.1)), i.e. :

(L.).udf= .(L.u)). (4.3)

La confusion entre l'application adjointe et l'application transpose vient de l'usage courant duproduit scalaire canonique dans le cas E = F = Rn qui fait qu'on utilise sans le voir le thorme dereprsentation de Riesz d'une forme linaire par un vecteur (reprsentation non intrinsque puisqu'ellen'a de sens qui si on dispose d'un produit scalaire).

Mais dans un espace de dimension n il n'y a pas ncessairement de produit scalaire canonique(exemple des espaces de fonctions) ; et mme s'il existe un produit scalaire canonique, ce n'est pasncessairement le plus simple utiliser relativement au problme considr (par exemple on tudiedes ellipses et non des cercles).

Il n'y a pas d'isomorphisme naturel entre E et E (voir plus loin) et on ne pourra pas identiernaturellement LT et L : pour une telle identication il faut introduire un outil supplmentaire commeun produit scalaire ou une base (non intrinsques).

Ainsi pour rester dans un cadre intrinsque on va s'intresser au bidual. Dans un cadre plus gnral,les vecteurs sont des lments u d'un espace vectoriel, et les lments du bidual seront des drivesdirectionnelles u dans la direction d'un vecteur (uf = df.u =

fu ), et on aura ainsi un isomorphisme

naturel u u entre E et E (voir plus loin).

4.2 Espace bidual E et l'isomorphisme canonique J : E E

Pour E e.v., le dual E = L(E;R) est un e.v. ; et donc (E) = L(E;R) est un e.v. (dual de E).On pose :

Edf= (E) = L(E;R). (4.4)

On va voir que E est l'ensemble des drives directionnelles.

Proposition 4.1 La fonction J F(E;E) dnie par :

J :

{E E,v 7 J (v),

telle que J (v)() = (v), E, v E, (4.5)

est un isomorphisme, appel l'isomorphisme canonique de E dans E. Cet isomorphisme est in-trinsque, i.e. sa dnition ne dpend pas du choix d'une base ou du choix d'un produit scalaire (nedpend pas de l'observateur).

Cet isomorphisme canonique J permet l'identication de v E et de J (v) E, et on peut ainsinoter :

J (v). not= v. df= .v. (4.6)

(J (v) =not v est la drivation de dans la direction v, voir la suite.)

Preuve. La linarit est immdiate, et comme dim(E) = dim(E) (= dim(E)), il sut de dmontrerl'injectivit pour avoir la bijectivit. Soit donc v E t.q. J (v) = 0, i.e. t.q. (v) = 0 pour tout E.Alors la proposition 2.11 implique v = 0. Cqfd.

Remarque 4.2 Cet isomorphisme canonique permet l'identication champs de vecteurs et champsde drivations, voir polycopi suivant Mcanique : tenseurs 2me partie....

26 13 mai 2013

27 4. Bidual E

4.3 Base (i) du bidual : oprateurs de drivation dans les directions ei

Soit (ej)j=1,...,n une base de E et soit (ei)i=1,...,n sa base duale (base de E).

Dnition 4.3 Soit (j)j=1,...,n E la base duale de (ei)i=1,...,n. Elle est dnie par, pour touti, j = 1, ..., n :

j .ei = ij (donc = e

i.ej). (4.7)

et est appele base biduale de la base (ei)j=1,...,n.

Proposition 4.4 Les j forment une base de E et vrient, pour tout j = 1, ..., n :

j = J (ej) E, (4.8)

o J est l'isomorphisme canonique (4.5). Ainsi on peut identier j et ej : on note j = J (ej) = ej .

Preuve. On a dim(E) = dimE = dimE = n, donc il sut de montrer que (j) est une famillelibre. Supposons

j jj = 0. Alors

j jj .e

i = 0 =

j jij = i, pour tout i : la famille libre

contenant n lments, c'est une base.A j x qcq, j(ei) = ij = e

i(ej) = J (ej)(ei) pour tout i=1, ..., n, d'o j = J (ej).

D'o l'interprtation :

Proposition 4.5 Soit x E donn. j E = L(E;R) est l'oprateur de drivation en x dans ladirection ej :

E, j . = d(x).ej . (4.9)

Comme ej peut tre identi j = J (ej), le vecteur ej peut galement tre considr commel'oprateur de drivation au point x dans la direction ej .

En particulier, si E = Rn et (ej) = (Ej) est la base canonique, alors j . = xj (x) pour tout E, i.e. j L(E;R) vrie :

j =

xj(x), (4.10)

i.e. ( xj (x))j=1,...,n est la base biduale dans (Rn) de (Ej)j=1,...,n la base canonique de Rn. Et le

vecteur Ej peut galement tre considr comme l'oprateur xj (x) de drivation au point x dans la

direction Ej .

Preuve. N.B. : comme est linaire, d(x) = : c'est une forme linaire indpendante de x. Eneet le dveloppement limit au premier ordre est (y) (x) = d(x).(y x) + o(x y) pour toutx, y E, et la linarit donne (y) (x) = (y x). Et dans (4.9) on utilise d(x) et non pour avoirl'interprtation (4.10).

D'o pour =

i iei E, et j tant linaire :

j() =n

i=1 i j(ei) =

ni=1 i

ij = j = (ej) = d(x)(ej).

Remarque 4.6 Ainsi, pour x Rn et f C1(;R), on a df(x) (Rn), et :

df(x) =i

(df(x).Ei) dxi =

i

f

xi(x) dxi. (4.11)

Et par application de j (base biduale de la base canonique) :

j(df(x)) =i

f

xi(x)(j .dx

i) =i

f

xi(x)ij =

f

xj(x), (4.12)

on rcupre bien la i-me composante fxi (x) de df(x) sur la base (dxi).

27 13 mai 2013

28 5. Formes bilinaires

5 Formes bilinaires

5.1 Dnition

Dnition 5.1 Une forme bilinaire est une application b : EF R linaire par rapport chaquevariable, i.e. telle que, pour tout u1, u2 E, v1, v2 F et R :{

b(u1 + u2, v1) = b(u1, v1) + b(u2, v1),

b(u1, v1 + v2) = b(u1, v1) + b(u1, v2).

Autrement dit, v x quelconque, la fonction bv : E R dnie par bv(u) = b(u, v) est linaire, i.e.bv E ; et, u x quelconque, la fonction bu : F R dnie par bu(v) = b(u, v) est linaire, i.e.bu F .

On note L(E,F ;R) l'ensemble des formes bilinaires de E F dans R. Quand F = E, on noteL(E,E;R) =not L2(E;R).

Exemple 5.2 Dans la base canonique de R2, notant x =(x1x2

)et y =

(y1y2

), l'application dnie

par b : (x, y) R2R2 x1y1+x2y2 R est une forme bilinaire appele produit scalaire canoniquede R2.

Exemple 5.3 b : (x, y) R R b(x, y) = xy R est la forme bilinaire appele produit dans R(c'est le produit scalaire dans R).

Ne pas confondre avec la fonction f : (x, y) R2 f(x, y) = xy R qui n'est pas linaire sur R2.Le graphe de f est une selle de cheval : sur l'axe y=x on a la parabole z=x2, sur l'axe y=x on ala parabole z= x2, et sur les axes de coordonnes (x=0 ou bien y=0) on a z=0.

N.B. : toujours avec f , changeons de base dans R2 (espace de dnition de f) : on pose e1 =12(E1 + E2) et e2 = 12 (E1 + E2) (base tourne de

4 ). (Ce changement de base n'a pas de sens

pour b(, ) puisqu'un changement de base dans ce cas est un changement de base dans R et nondans R2). Alors en posant X = xE1 + yE2 = ue1 + ve2, on a x = 12 (u v) et y =

12(u+ v), et donc

z = f(x, y) = 12 (u2 v2) = h(u, v). Et le graphe de h dans le systme (u, v) est donne sous forme

usuelle reprsentant une selle.Et on verra que la formule de changement de base pour b : EF R est une formule qui change

deux bases : celle de E et celle de F , qui a priori n'ont rien voir, E et F tant en gnral distinctset de dimensions direntes.

Le changement de base propos sert donc uniquement visualiser le graphe de b, en fait le graphede f , sous un autre angle (tourn de 4 dans le plan horizontal), et dans ce cas b not f n'est plusconsidr comme un produit scalaire mais comme une fonction quadratique.

5.2 Matrice d'une forme bilinaire

Dnition 5.4 Etant donn deux formes linaires E E et F F , la forme bilinaire E F L(E,F ;R) est dnie sur E F par :

(x, y) E F, (E F )(x, y) = E(x)F (y) R, (5.1)

produit des deux rels E(x) et F (y).Attention, le produit tensoriel n'est pas commutatif : d'ailleurs en gnral E = F , et dans ce cas x

et y n'appartiennent pas au mme espace, et (E F )(x, y) a un sens, et (F E)(x, y) n'en a pas.

La bilinarit annonce de E F est immdiate (linarit en x car E est linaire, et linariten y car F est linaire).

En particulier si (ei)i=1,...,n et (bi)i=1,...,m sont des bases de E de F de base duale (ei)i=1,...,n et(bi)i=1,...,m, alors la forme bilinaire ei bj est celle qui est donne par :

(ei bj)(x, y) = xiyj , (5.2)

quand x =n

i=1 xiei et y =

mj=1 y

j bj , autrement dit est donne sur les vecteurs de base par :

(ei bj)(ek, b) = ikj . (5.3)

28 13 mai 2013

29 5. Formes bilinaires

Proposition 5.5 On se donne une base (ei)i=1,...,n de E et une base (bj)j=1,...,m de F , ainsi que lesbases duales (ei)i=1,...,n deE et (bj)i=1,...,m de F .

L(E,F ;R) est un espace vectoriel de dimension nm, produit des dimensions n=dimE etm=dimF , dont une base est (ei bj) i=1,...,n

j=1,...,m. Et toute forme bilinaire b L(E,F ;R) s'crit :

b =ij

bijei bj , o bij = b(ei, bj), (5.4)

o [b] = [bij ] est la matrice reprsentant b relativement aux bases choisies.Ainsi une forme bilinaire b L(E,F ;R) est entirement dtermine par la donne des images

b(ei, bj) R. Et si on se donne nm rels (bij) i=1,...,nj=1,...,m

, il existe une unique forme bilinaire b

L(E,F ;R) qui vrie b(ei, bj) = bij pour tout i = 1, ..., n et tout j = 1, ...,m.Et si v =

i v

iei et w =

i wibi sont reprsents par leur matrices colonnes [v] et [w] on a :

b(v, w) =

ni=1

mj=1

vibijwj = [v]T .[b].[w], (5.5)

Et on a galement b(v, w) = [w]T .[b]T .[v], puisque b(v, w) tant un rel est gal son transpos.

Preuve. L(E,R;R) est stable par sommation et multiplication par un scalaire (immdiat), donc c'estun sous-espace vectoriel de F(E,F ;R).

La famille (ei bj) i=1,...,nj=1,...,m

est libre car

ij ijei bj = 0 implique

ij ije

i bj(ek, b) = 0,i.e. que

ij ij

ik

j = 0, i.e. que k = 0, ce pour tout k, . Donc L(E,F ;R) est de dimension au

moins nm.Par bilinarit, il est immdiat que si on connat les nm rels b(ei, bj), alors on connat les b(v, w)

pour tout (v, w) E F car b(v, w) =

ij viwib(ei, bj) quand v =

i v

iei et w =

j wj bj . Donc

b(, ) est entirement dtermine par ses valeurs sur les vecteurs de base.Et

ij viwib(ei, bj) =

ij b(ei, bj)e

i bj(v, w), d'o b(, ) =

ij bijei bj , d'o (5.4) et la famille

(eibj) est gnratrice. Comme on a vu qu'elle tait libre, c'est donc une base, et dim(L(E, f ;R) = nm.Puis comme (ei bj) est une base, pour b donn, si on se donne nm rels bij , alors il existe une

unique forme bilinaire vriant b(ei, bj) = bij , savoir b =

ij bijei bj .

5.3 Continuit d'une forme bilinaire

Dnition 5.6 Une forme bilinaire a(, ) : E F R est dite continue ssi :

c > 0, (x, y) E F, on a |a(x, y)| c ||x||E ||y||F . (5.6)

Par bilinarit de a(, ) la proprit (5.6) est quivalente :

c

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