Les Tenseurs

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  • Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    1 / 95

    MEC6418 - NOTES DE COURS

    Notions lmentaires sur les tenseurs

    Par: Martin Lvesqueprofesseur du dpartement de gnie mcanique

    Hiver 2011

  • Espaces vectoriels

    Rappels

    EspaceApp. n-Lin.

    Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    2 / 95

    Corps

    Ensemble de nombres (R, C, etc.) utiliss pour dfinir unespace vectoriel.

    Espace vectoriel linairel

    Ensemble dentits mathmatiques (scalaires, vecteurs,fonctions, matrices, etc.) dfinis sur un corps et ayantcertaines proprits communes.

    Par exemple, R3, qui pourrait tre not R R R,pourrait tre lensemble des triplets (x1, x2, x3) oxi R.

    Les rgles pour un espace vectoriel linaire sont:

    1. Si x et y E, alors x+ y E.2. Si R et x E, alors x E

    Il est intressant de noter que les objets dun espacevectoriel (x, y, etc.) sont appels vecteurs mme sil sagitde scalaires, vecteurs, matrices, fonctions, etc.

  • Espaces vectoriels

    Rappels

    EspaceApp. n-Lin.

    Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

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    Produit scalaire

    Pour x, y E, le produit scalaire dnot < x, y > est unefonction qui associe le doublet (x, y), compris dans lespaceE E, un lment de R. En langage mathmatique,cette phrase scrit: < , >: E E R .

    Les proprits du produit scalaire sont les suivantes:

    1. < x, y >= < x, y >2. < x+ y, z >=< x, z > + < y, z >3. < x, x >> 0 si x 6= 0, < x, x >= 0 x = 0

    Des exemples de produit scalaires sont:

    1. < x, y >=n

    k=1 xkyk o x, y Rn2. < f, g >=

    10 f(x)g(x)dx o f, g sont des fonctions

    continues pour x [0, 1]

  • Application n-linaire

    Rappels

    Espace

    App. n-Lin.Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

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    Une application n-linaire est une application qui faitcorrespondre un vecteur w, n vecteurs. La Figure 1 illustreschmatiquement une application bi-linaire.

    Application

    n-linaire

    Figure 1: Reprsentation dune application bi-linaire qui prend lecouple de vecteurs (u, v) de lespace E F et y fait correspondreun vecteur w dans un espace S. Si on nomme l cette application

    linaire on crira: l : E F S.

  • Application n-linaire

    Rappels

    Espace

    App. n-Lin.Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    5 / 95

    Les proprits de n-linarit sont les suivantes. Soient(u1, u2, . . . , un) n vecteurs appartenant diffrents espacesvectoriels, 1, 2, . . . n R et T cette application n-linaire.On aura:

    T (1u1, 2u2, . . . , nun) =(1 2 . . . n) T (u1, u2, . . . , un) (1a)

    T (u1 + un+1, u2 + un+2, . . . , un + un+n) =i1=1

    i1=0

    i2=1

    i2=0

    . . .

    in=1

    in=0

    T (uni1+1, uni2+2, . . . , unin+n) (1b)

  • Application n-linaire et forme n-linaire

    Rappels

    Espace

    App. n-Lin.Dfinitions

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    6 / 95

    Par exemple, pour une application bi-linaire, on aurait

    T (1u1, 2u2) = 12T (u1, u2) (2a)

    T (u1 + u3, u2 + u4) =T (u1, u2) + T (u1, u4) + T (u3, u2) + T (u3, u4) (2b)

    Une forme n-linaire est une application n-linaire qui faitcorrespondre n vecteurs un scalaire appartenant un corps.

    Particularits notre cours

    On notera par E lensemble de tous les triplets de scalairesrels permettant de dfinir tous les vecteurs de dimension 3.En dautres termes E est R R R, o R est considrcomme un espace vectoriel.

    On notera par {~e1, ~e2, ~e3} les vecteurs formant une baseorthonorme de E.

  • Tenseur dordre 1

    Rappels

    Dfinitions

    Tens. 1Tens. 2

    Tens. 4

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    7 / 95

    Dfinition:

    Un tenseur dordre 1 permet de dfinir une forme linaire

    sur E.

    Si on note par t un tenseur dordre 1, alors on aura:

    t(u) = o u E et R (3)

    Le produit scalaire classique est une forme linaire. Si u E,dans ce cas on aurait:

    t(u) =

    i=3

    i=1

    tiui

    = t1u1 + t2u2 + t3u3

    =

    (4)

    On peut montrer que les composantes de t sont donnes par:

    t (~ei) = ti (5)

    Voir dmonstration au tableau pour la linarit et (5).

  • Tenseur dordre 2

    Rappels

    Dfinitions

    Tens. 1

    Tens. 2Tens. 4

    Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    8 / 95

    Un tenseur dordre 2 permet de dfinir une forme bi-linaire sur

    E E. Si on note par un tenseur dordre 2, alors on aura:

    (u, v) = o u, v E et R (6)

    La forme bi-linaire suivante est un tenseur dordre 2:

    (u, v) =

    i=3

    i=1

    j=3

    j=1

    uiijvj

    =i=3

    i=1

    uii1v1 + uii2v2 + uii3v3

    = u111v1 + u221v1 + u331v1+

    u112v2 + u222v2 + u332v2+

    u113v3 + u223v3 + u333v3

    =

    (7)

    Voir dmonstration au tableau pour la bi-linarit

  • Tenseur dordre 4

    Rappels

    Dfinitions

    Tens. 1

    Tens. 2

    Tens. 4Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    9 / 95

    Un tenseur dordre 4 peut avoir plusieurs significations. Forme 4-linaire de E4 : T(u, v, w, a) = o u, v, w et a E

    et R. Par exemple,

    T(u, v, w, a) =3

    i=1

    3

    j=1

    3

    k=1

    3

    l=1

    uivjwkalTijkl = (8)

    La proprit de 4-linarit se vrifie de manire analogue la bi-linarit pour les tenseurs dordre 2.

    Cette interprtation est rarement utilise en mcanique.

  • Tenseur dordre 4

    Rappels

    Dfinitions

    Tens. 1

    Tens. 2

    Tens. 4Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    10 / 95

    Un tenseur dordre 4 peut avoir plusieurs significations. Forme bi-linaire de F F , o F est lespace des tenseurs

    dordre 2.

    Par exemple,

    T(

    , )

    =3

    i=1

    3

    j=1

    3

    k=1

    3

    l=1

    ijTjiklkl = (9)

    Si et sont la dformation et si T est le tenseur de

    rigidit C, alors un tenseur dordre 4 peut servir dfinir

    lnergie de dformation.

  • Tenseur dordre 4

    Rappels

    Dfinitions

    Tens. 1

    Tens. 2

    Tens. 4Oprations

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    11 / 95

    Un tenseur dordre 4 peut avoir plusieurs significations. Application linaire de F F , o F est lespace des tenseurs

    dordre 2.

    Par exemple,

    T(

    )

    =3

    k=1

    3

    l=1

    Tijklkl = ij = (10)

    Si est la dformation et si T est le tenseur de rigidit C,

    est le tenseur des contraintes . Un tenseur dordre 4 peut donc faire le lien entre les

    dformations et les contraintes.

  • Produit tensoriel

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    ProduitEinstein

    Contraction

    Delta

    Identits

    Drive

    Ch. base

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    12 / 95

    Deux tenseurs dordre m et n permettent de crer un tenseurdordre m+ n par lopration suivante:

    Ai1i2...im Bj1j2...jn = Ai1i2...imBj1j2...jn (11)

    Par exemple:

    a b = = aibj = ij =

    a1b1 a1b2 a1b3a2b1 a2b2 a2b3a3b1 a3b2 a3b3

    (12)

    o a t reprsent comme une matrice.

  • Produit contract et notation dEinstein

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    EinsteinContraction

    Delta

    Identits

    Drive

    Ch. base

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    13 / 95

    Le produit scalaire de deux vecteurs peut sexprimer par~u ~v =

    3i=1 uivi.

    Avec la notation dEinstein, on suppose quil y a somme surtous les indices rpts. On pourra donc crire:

    3

    i=1

    uivi = uivi (13)

    On qualifiera les indices rpts de muets car on aurait puobtenir le mme rsultat en crivant ujvj , uzvz, etc.

    On qualifiera de franc un indice qui ne disparat pas lors delopration.

  • Produit contract et notation dEinstein

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    Einstein

    ContractionDelta

    Identits

    Drive

    Ch. base

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

    14 / 95

    Le produit n-fois contract consiste dans un premier temps effectuer le produit tensoriel entre deux tenseurs et par la suiterpter n paires dindices o un indice appartient chaquetenseur originel.

    Par exemple, considrons le produit simplement contract, notpar un point (), entre deux tenseurs dordre 1, qui scrira:u v:1. On ralise le produit tensoriel: u v = uivj2. On rpte une paire dindices: uivj devient uivi

    Alors, en vertu de la convention dEinstein,u v = u1v1 + u2v2 + u3v3.

  • Produit contract et notation dEinstein

    Rappels

    Dfinitions

    Oprations

    Produit

    Einstein

    ContractionDelta

    Identits

    Drive

    Ch. base

    Symtries

    Symtries mat.

    Projecteurs.

    Const. Ingnieur

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    Considrons le produit simplement contract entre un tenseurdordre 2 et un tenseur dordre 1, qui scrira: u:1. On ralise le produit tensoriel: u = ijuk2. On rpte une paire